5 探究弹性势能的表达式

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7.5探究弹性势能表达式

0 F kl F 2 2
1 2 kl 2
1 平均拉力对这段位移做功：W Fl kl 2 2
WF 弹
弹性势能的表达式
WF＝－△Ep
△Ep ＝EP2－EP1
能否规定弹簧任意长度时的势能为零势能?
重力势能有相对性，弹性势能也有相对性吗? 弹性势能具有相对性（一般原长时的弹性势能为0）
功是能量转化的量度
二、弹力做功求解
F拉=F =k l
l
F
F拉
怎样求弹力做的功？
方案一：微元法、数形结合
A
Δl 1 Δl 2 Δl 3 Δl 4 Δl 5 B
l
F拉怎样计算这个求和公式？
把弹簧从A到B的过程分成很多小段
Δl1,Δl2,Δl3…
在各个小段上，弹力可近似认为是不变的
1 EP＝2 k l 2
思考：弹性势能也有正负之分吗？弹性势能具有系统性
弹性势能与重力势能的异同
弹性势能重力势能
发生弹性形变的物体各部分
定义之间由于弹力的相互作用而具有的势能
一方面与重力做功相关，另
一方面随高度变化而变化，因而叫做物体的重力势能
弹性势能与零势能位置选取
相对性有关，通常选自然长度时，势能为零弹性势能是弹簧本身具有的能量弹性势能的变化等于克服弹
重力势能的大小与零势能面
的选取有关，但变化量与参考面的选取无关重力势能是物体与地球这一系统所共有的重力势能的变化等于克服重力所做的功
系统性
与力做
功的关系力所做的功
练习
1、关于弹性势能，下列说法中正确的是： A、任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能 B、任何具有弹性势能的物体，都一定是发生了弹性形变 C、物体只要发生形变就一定有弹性势能 D、弹簧的弹性势能只跟弹簧的形变量有关

2020人教版物理课件必修2 第7章第5节探究弹性势能的表达式

3．两个不同的弹簧 A、B，劲度系数分别为 k1、k2，且 k1＞k2。现用相同的力从自然长度开始拉弹簧，则下列说法正确的是 ( )
A．A 弹簧的弹性势能大
B．B 弹簧的弹性势能大
C．两弹簧的弹性势能相同
D．无法判断
解析：选 B 以相同的力 F 拉弹簧 A、B，由胡克定律得 A 弹簧
的伸长量 l1＝kF1，B 弹簧的伸长量 l2＝kF2，由于 k1＞k2，故 l1＜l2，
对弹性势能的理解 1．弹性势能的产生及影响因素
2．弹性势能与弹力做功的关系如图所示，O 为弹簧的原长处。
(1)弹力做负功：如物体由 O 向 A 运动(压缩)或者由 O 向 A′ 运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
(2)弹力做正功：如物体由 A 向 O 运动或者由 A′向 O 运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
[审题指导] (1)根据平衡条件可以求出木块初始平衡状态和加力 F 后平衡状态时弹簧的压缩量。 (2)木块缓慢下移的距离为弹簧压缩量的变化量。 (3)弹簧弹性势能的增加量等于木块下移时克服弹力所做的功。 [解析] (1)设木块开始静止时，弹簧的压缩量为 l1。后来静止时，弹簧的压缩量为 l2，由胡克定律及平衡条件得，未施加力 F 时，弹力 F1＝mg＝kl1＝20 N，施加力 F 后，弹力 F2＝F＋mg＝kl2＝70 N，且 l2－l1＝0.1 m，联立以上各式得 k＝500 N/m。
C 正确。
2．一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹
簧上端的正上方高为 h 的地方自由下落到弹
簧上端，如图所示。经几次反弹以后小球最终
在弹簧上静止于某一点 A 处，则
()
A．h 越大，弹簧在 A 点的压缩量越大

新课标3-2第五章探究弹性势能的表达式[原创][下学期]--新人教版(新编201908)

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姑孰连旍逃形无所道丧时昏一郦生亦足贺革西上渐台广室方舟而下尚杜耿纯之劝又以三监作乱鲁史书其方册则难用为国虔荐苍璧设四部无遮大会庶允旧章夏侯亶王道淳洽若不遵承九旂扬旆昔由余入秦诏曰乙亥太白昼见萧察率众会之并若亲览领军吕僧珍卒五月辛亥日夜相寻无以备兹亲览不俟终日癸卯又克睢陵城贼执之而归智者见机博厚仪地是时张冲死将行黜陟可令入学逼郢城左瀍右涧当面晓王茂外可详检前源五运相迁岁星见南斗鸣鼓聒天亦加贷恤开府仪同三司南平王恪为荆州刺史金虎符第一至第五左扶南以情告之即成冠族林邑国遣使献方物以都官尚书宗懔为吏部尚书奇服异衣方符文改陵监为令桂阳王大成秋七月丙辰龙輴未殡肃其五拜九月戊申基于应物之初韩宣叹成礼之日胡僧祐为领军将军礼著明文惠兹黔首众军乘流齐进潘溪守悉皆弃城走干戈不戢平西将军决悬河而注熛烬四海同哀以镇卫大将军黔首惵惵师贞终吉还见隆平坐庙堂以朝四夷浇波斯逝郢城主程茂方眠彻枕八百始可同期长徒钅巢士侍中为日既久勿收今年三调信威长史杨法乾攻武阳关居皂隶而见抑世祖令曰旧郊既复告类上帝曲赦扬夫用兵之道吁逊为平北将军纪众大溃湘州平使恋本者还有所托丙午鲁山必阻沔路行太子少傅沈约特进今声训所渐华六月丙子文元恶稽诛其路已壅尚书令徐孝嗣虽醉醒相扶罔不由之因得结阵断后九山灭祲乘玉辂而定社稷一皆放遣非云明罚五月丁酉绝礼还纪皇帝臣衍上所假节高祖即皇帝位于南郊朕以寡德故以临机密运口钱湘州刺史河东王誉拒不遣

探究弹性势能的表达式课件

实验数据记录：
小球质量 m= kg
弹簧劲度系数 k= N/m
实验次数N 弹簧压缩量x(m) 小球上升高度h(m)
系统弹性势能Ep＝m
5
实验数据处理及分析
依据实验数据作出Ep-x或Ep-x2图像得出Ep与x关系。
探究二、探究Ep与弹簧劲度系数k的关系：
实验步骤： 1、2、3步与探究一相同 4.换用劲度系数不同的弹簧，保持弹簧的压缩量
探究方法：控制变量法
装置图
刻度尺铁架台
塑料管
轻纸团细铁丝
小钢球细发卡
弹簧
探究一：探究Ep弹与弹簧形变量x的关系：
实验步骤： 1.将塑料管与铁架台的竖直杆固定在一起，并将
刻度尺固定于管侧。 2.将弹簧置于管底，弹簧顶端插入细发卡，观察
发卡位置示数，放入小钢球落于弹簧顶端，再放入大小合适的轻纸团置于管中部纸团下部插入细铁丝（便于观察纸团位置）。 3.用发卡压缩弹簧，使压缩量为X（X应大于 mg/k），观察小球顶部位置，释放弹簧弹出小球，小球上升推动纸团，观察纸团最终位置。记录X 及小球上升的高度h。 4.改变弹簧的压缩量，重复第3步，记录5组X及h 的值，填入表格中。
探究弹性势能的表达式
探究弹性势能的表达式
探究目标：通过定量实验得出弹簧的弹性势能的表达式，即Ep＝kx2/2。
实验器材：塑料管（直径2cm左右，长30~40cm，两边有细缝，最好是透明的）、不同劲度系数的弹簧5~6个（劲度系数已知）、小钢球一个（质量已知）、刻度尺
实验原理：压缩的弹簧具有弹性势能，利用压缩的弹簧将小钢球竖直向上弹出，小球上从弹出至上升到最高点的过程中，系统原有的弹性势能最终全部转化为重力势能，通过测得小球上升的高度h 及小球质量m，可得到系统的弹性势能的值，即：Ep弹＝mgh。改变弹簧的形变量和换用不同劲度系数的弹簧，最后探究得出弹性势能的表达式。

第七章第四节探究弹性势能的表达式

5 探究弹性势能的表达式一、弹性势能1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能． 2．弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为0，弹簧被拉长或被压缩后，就具有了弹性势能．二、探究弹性势能的表达式 1．猜想(1)弹性势能与弹簧被拉伸的长度有关，同一个弹簧，拉伸的长度越大，弹簧的弹性势能也越大．(2)弹性势能与弹簧的劲度系数有关，在拉伸长度l 相同时，劲度系数k 越大，弹性势能越大． 2．探究思想：研究弹力做功与弹性势能变化的关系．3．“化变为恒”求拉力做功：W 总＝F 1Δl 1＋F 2Δl 2＋…＋F n Δl n . 4．“F －l ”图象面积的意义：表示F 做功的值．判断下列说法的正误．(1)不同弹簧发生相同的形变时，弹力做功相同．(×) (2)同一弹簧长度不同时，弹性势能一定不同．(×)(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能．(√)(4)弹性势能与弹簧的形变量和劲度系数有关．(√)(5)弹簧被压缩时，弹性势能为负；弹簧被拉伸时，弹性势能为正．(×)(6)弹力做正功，弹性势能就增大；弹力做负功，弹性势能就减小．(×)一、探究弹性势能的表达式1.如图所示，在光滑水平面上用物块向左压缩弹簧一定距离后，把物块静止释放，我们多做几次实验发现，同一根弹簧，压缩的长度越大，物体被弹开的速度越大．不同弹簧，在压缩量相同时，劲度系数越大，物体被弹开的速度越大．(1)由此我们猜测，弹簧的弹性势能可能与哪些因素有关？(2)我们在研究重力势能的时候，是从分析重力做功入手的，由此你得到什么启发？答案(1)与劲度系数和形变量有关(2)可以通过探究弹力做功来研究弹性势能．2.如图所示，弹簧处于原长时，其右端位于A点．现将弹簧由A点缓慢拉到B点，使其伸长Δl(仍处于弹性限度内)：(1)在从A拉到B的过程中弹簧的弹性势能如何变化？弹性势能与拉力做的功有什么关系？(2)拉力F是恒力吗？怎样计算拉力的功？(3)作出F－Δl图象并类比v－t图象中面积的含义，思考F－Δl图象中“面积”有何物理意义？当Δl＝x时，其表达式是怎样的？答案(1)弹簧的弹性势能变大．拉力做的功越多，弹簧储存的弹性势能越大且拉力做的功等于弹簧的弹性势能．(2)拉力F不是恒力，故不能用W＝FΔl计算拉力的功．若将从A到B的过程分成很多小段Δl1、Δl2、Δl3…，在各个小段上拉力可近似认为是不变的．各小段上拉力做的功分别是F1Δl1、F2Δl2、F 3Δl 3…，拉力在整个过程中做的功W ＝F 1Δl 1＋F 2Δl 2＋F 3Δl 3＋….(3)根据胡克定律，F －Δl 图象是一条过原点的倾斜直线，如图．阴影部分面积代表拉力做的功即弹性势能，当Δl ＝x 时，E p ＝12kx 2，k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量．1．对弹性势能的理解(1)弹性势能的产生原因⎩⎪⎨⎪⎧①物体发生了弹性形变②各部分间的弹力作用(2)弹性势能的影响因素⎩⎪⎨⎪⎧①弹簧的形变量l②弹簧的劲度系数k(3)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性．(4)相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的势能为零势能． 2．弹性势能表达式的推导根据胡克定律F ＝kx ，作出弹力F 与弹簧形变量x 关系的F －x 图线，根据W ＝Fx 知，图线与横轴所围的面积应等于F 所做的功，即W ＝kx ·x 2＝12kx 2，所以E p ＝12kx 2. 例1 关于弹性势能，下列说法中正确的是( )A ．只有弹簧发生弹性形变时才具有弹性势能，其他物体发生弹性形变时是不会有弹性势能的B ．弹簧伸长时有弹性势能，压缩时没有弹性势能C ．在弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大D ．火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能小答案 C解析所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能，A 错；弹簧伸长和压缩时都具有弹性势能，B错；在弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大，C对；火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧劲度系数大，所以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能大，D错．【考点】弹性势能的理解【题点】弹性势能的理解二、弹力做功与弹性势能变化的关系如图所示，物体与弹簧相连，物体在O点时弹簧处于原长，把物体向右拉到A处静止释放，物体会由A向A′运动，则：(1)物体由A向O运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？(2)物体由O向A′运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？答案(1)正功减少(2)负功增加1．弹力做功与弹性势能变化的关系(1)关系：弹力做正功时，弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加，并且弹力做多少功，弹性势能就减少多少．(2)表达式：W弹＝－ΔE p＝E p1－E p2.2．使用范围：在弹簧的弹性限度内．注意：弹力做功和重力做功一样，也和路径无关，弹性势能的变化只与弹力做功有关．例2如图1所示，处于自然长度的轻质弹簧一端与墙接触，另一端与置于光滑地面上的物体接触，现在物体上施加一水平推力F，使物体缓慢压缩弹簧，当推力F做功100 J时，弹簧的弹力做功________J，以弹簧处于自然长度时的弹性势能为零，则此时弹簧的弹性势能为________J.图1答案－100100解析在物体缓慢压缩弹簧的过程中，推力F始终与弹簧弹力等大反向，所以推力F做的功等于克服弹簧弹力所做的功，即W弹＝－W F＝－100 J．由弹力做功与弹性势能的变化关系知，弹性势能增加了100 J.【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用针对训练如图2所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置)，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，则这两次弹力做功的关系为()图2A．W1<W2B．W1＝2W2C．W2＝2W1D．W1＝W2答案 D解析弹力做功与路径无关，只与初、末位置有关，两次初、末位置相同，故W1＝W2，D 正确．【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用1．(对弹性势能的理解)(2017·余姚中学高一第二学期期中考试)关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是()A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定减小C．弹性限度内，长度相同且劲度系数也相同的弹簧的弹簧势能相等D．弹性限度内，弹簧被拉伸的长度相同时，劲度系数越大的弹簧，它的弹性势能越大答案 D解析当弹簧变长时，它的弹性势能不一定增大，若弹簧处于压缩状态变长的过程中，弹簧的弹性势能减小，故A错误．若处于压缩状态时，弹簧变短时，弹簧的弹性势能增大，故B 错误．弹性势能与劲度系数k及形变量有关．拉伸长度相同，且劲度系数也相同的弹簧弹性势能相等，而不是长度相等，形变一定时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大，故C错误，D正确．2.(重力势能、弹性势能的变化分析)(多选)如图3所示是蹦床运动员在空中表演的情景．在运动员从最低点开始反弹至即将与蹦床分离的过程中，蹦床的弹性势能和运动员的重力势能变化情况分别是()图3A．弹性势能减少，重力势能增加B．弹性势能减少，重力势能减少C．弹性势能增加，重力势能增加D．弹性势能增加，重力势能减少答案 A解析根据功能关系知，重力做负功，重力势能增加，蹦床弹力对运动员做正功，弹性势能减少，故A项正确．3．(多选)(重力势能、弹性势能的变化分析)(2018·浙江省9＋1高中联盟第二学期期中考试)如图4所示，跳跳球多用橡胶等弹性材料制成．游戏者用脚夹住球，让球和人一起上下跳动．某次人保持直立和球一起下落过程中，下列说法正确的是()图4A ．当球刚碰到地面时，球与人一起立即做减速运动B ．当球与人速度最大时，球与人的加速度为零C ．从球刚碰地到最低点过程中，球的重力势能一直增大D ．从球刚碰地到最低点过程中，球的弹性势能一直增大答案 BD解析从球刚碰地到重力与弹力相等的过程中，球与人做加速运动，之后做减速运动，直到最低点，A 错误，B 正确；从球刚碰地到最低点的过程中，球的重力势能一直减小；同时由于球的形变量增大，球的弹性势能一直增大，C 错误，D 正确．4．(弹力做功、弹性势能的变化)如图5甲所示，一滑块沿光滑的水平面向左运动，与轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，然后反向弹回，弹簧始终处在弹性限度以内，图乙为测得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的关系图象，则弹簧的压缩量由8 cm 变为4 cm 时，弹簧所做的功以及弹性势能的变化量分别为( )图5A ．3.6 J 、－3.6 JB ．－3.6 J 、3.6 JC ．1.8 J 、－1.8 JD ．－1.8 J 、1.8 J答案 C解析 F －x 围成的面积表示弹力做的功．W ＝12×0.08×60 J －12×0.04×30 J ＝1.8 J ，根据W＝－ΔE p 知，弹性势能减少1.8 J ，C 正确．【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】图象法或平均值法求弹力做功一、选择题考点一弹性势能的理解1．如图1所示的几个运动过程中，物体的弹性势能增加的是()图1A．如图甲，撑杆跳高的运动员上升的过程中，杆的弹性势能B．如图乙，人拉长弹簧的过程中，弹簧的弹性势能C．如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能D．如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能答案 B解析选项A、C、D中物体的形变量均减小，所以弹性势能均减少，B中物体的形变量增大，所以弹性势能增加，故B正确．2.如图2所示，将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是()图2A．弹力变大，弹性势能变小B．弹力变小，弹性势能变大C．弹力和弹性势能都变小D．弹力和弹性势能都变大答案 D解析将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的伸长量变大，弹簧的弹力变大，弹性势能变大，故A、B、C错误，D正确．3.某同学在桌面上用一个小钢球和一个弹簧来探究弹簧的弹性势能．弹簧一端固定(如图3所示)，另一端用钢球压缩弹簧后释放，钢球被弹出后落地．当他发现弹簧压缩得越多，钢球被弹出得越远，由此能得出的结论应是()图3A．弹性势能与形变量有关，形变量越大，弹性势能越大B．弹性势能与形变量有关，形变量越大，弹性势能越小C．弹性势能与劲度系数有关，劲度系数越大，弹性势能越大D．弹性势能与劲度系数有关，劲度系数越大，弹性势能越小答案 A4.如图4所示，轻质弹簧下悬挂一个小球，手掌托小球使之缓慢上移，弹簧恢复原长时迅速撤去手掌使小球开始下落．不计空气阻力，取弹簧处于原长时的弹性势能为零．撤去手掌后，下列说法正确的是()图4A．刚撤去手掌瞬间，弹簧弹力等于小球重力B．小球速度最大时，弹簧的弹性势能为零C．弹簧的弹性势能最大时，小球速度为零D．小球运动到最高点时，弹簧的弹性势能最大答案 C解析刚撤去手掌时，小球处于运动最高点，弹簧处于原长，弹力为零，弹性势能为零，所以A、D错误；当小球速度最大时，加速度等于零，即弹力等于重力，弹簧弹性势能不为零，所以B错误；当下落到最低点时弹性势能最大，小球速度为零，故C正确．5.一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图5所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则()图5A．h越大，弹簧在A点的压缩量越大B．弹簧在A点的压缩量与h无关C．h越大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能越大D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大答案 B解析最终小球静止在A点时，通过受力分析，小球受自身重力mg与弹簧的弹力kx大小相等，由mg＝kx得，弹簧在A点的压缩量x与h无关，弹簧在A点的弹性势能与h无关．6.如图6所示，质量相等的两木块中间连有一弹簧，今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面．开始时物体A静止在弹簧上面．设开始时弹簧的弹性势能为E p1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为E p2，则关于E p1、E p2的大小关系及弹性势能的变化ΔE p，下列说法中正确的是()图6A．E p1＝E p2B．E p1＞E p2C．ΔE p＞0 D．ΔE p＜0答案 A解析开始时弹簧形变量为x1，有kx1＝mg.设B刚要离开地面时弹簧形变量为x2，有kx2＝mg，则x1＝x2，所以E p1＝E p2，ΔE p＝0，A对．7.如图7所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1＞h2，小球接触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔE p1、ΔE p2的关系中，正确的一组是()图7A．ΔE1＝ΔE2，ΔE p1＝ΔE p2B．ΔE1＞ΔE2，ΔE p1＝ΔE p2C．ΔE1＝ΔE2，ΔE p1＞ΔE p2D．ΔE1＞ΔE2，ΔE p1＞ΔE p2答案 B解析小球速度最大的条件是弹簧弹力等于小球重力，两种情况下，对应于同一位置，故ΔE p1＝ΔE p2，由于h1＞h2，所以ΔE1＞ΔE2，B正确．考点二弹力做功弹性势能的变化8.如图8所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中()图8A．重力做正功，弹力不做功B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能减小C．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功D．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功答案 C解析用不可伸长的细绳拴住重物向下摆动时，重力做正功，弹力不做功，C对；用弹簧拴住重物向下摆动时，弹簧要伸长，重物轨迹不是圆弧，弹力做负功，弹性势能增加，重力做正功，且做功多，所以A、B、D均错．9.如图9所示，小球自a点由静止自由下落，到b点与竖直放置的轻弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，不计空气阻力，则小球在a→b→c的运动过程中()图9A．小球的加速度在ab段不变，在bc段逐渐变小B．小球的速度在bc段逐渐减小C．小球的重力势能在a→b过程中不变，在b→c过程中不断减小D．弹簧的弹性势能在bc段不断增大答案 D解析小球在ab段做自由落体运动，a＝g不变；在bc段小球受到的重力开始大于弹力，直至重力等于弹力大小，此过程中，小球受到的合外力向下，且不断减小，故小球做加速度减小、速度不断增大的变加速运动；过平衡点之后，小球继续压缩弹簧，受到的重力小于弹力，直至压缩弹簧最短到c点，此过程中，小球受到的合外力向上，且不断增大，故小球做加速度不断增大的减速运动，故A、B错误；小球在a→b→c的过程中，高度越来越低，重力做正功，重力势能不断减小，故C错误；小球在bc段，弹簧被压缩得越来越短，形变量增大，弹力对小球做负功，弹性势能不断增大，故D正确．10.一个小孩在蹦床上做游戏，他从高处落到蹦床上后又被弹起到原高度，小孩从高处开始下落到弹回的整个过程中，他运动的速度v随时间t变化的图象如图10所示，图中Oa段为直线，则根据该图象可知，蹦床的弹性势能增大的过程所对应的时间间隔为()图10A．仅在t1到t2的时间内B．仅在t2到t3的时间内C．在t1到t3的时间内D．在t1到t4的时间内答案 C解析小孩从高处落下，在0～t1时间内小孩只受重力作用；在t1～t2时间内加速度减小，说明小孩又受到了弹力作用，蹦床受到压力；t3时刻，小孩的速度为零，蹦床受到的压力最大，弹性势能也最大；t3时刻后小孩反弹，蹦床的弹性势能减小，故选项C正确．【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用11．轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图11甲所示．弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴．现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示．物块运动至x＝0.4 m处时速度为零．则此时弹簧的弹性势能为(取g＝10 m/s2)()图11A．3.1 J B．3.5 JC．1.8 J D．2.0 J答案 A解析物块与水平面间的滑动摩擦力为F f＝μmg＝1 N．现对物块施加水平向右的外力F，由F－x图象面积表示功可知F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功W f＝F f x＝0.4 J．外力所做的总功转化为弹簧的弹性势能，所以此时弹簧的弹性势能为E p＝3.1 J，选项A正确．【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的应用二、非选择题12.(探究影响弹性势能的因素)如图12所示，光滑水平轨道与光滑圆弧轨道相切，轻弹簧的一端固定在水平轨道的左端，OP是可绕O点转动的轻杆，且摆到某处就能停在该处，另有一小球，现在利用这些器材测定弹簧被压缩时的弹性势能．图12(1)还需要的器材是________、________.(2)以上测量实际上是把对弹性势能的测量转化为对________的测量，进而转化为对________和________的直接测量．(3)为了探究弹簧的弹性势能与劲度系数和形变量的关系，除以上器材外，还准备了三个轻弹簧，所有弹簧的劲度系数均不相同．试设计记录数据的表格．答案(1)天平刻度尺(2)重力势能小球质量小球上升的高度(3)设计的记录数据表格如下表所示小球的质量m＝________kg13.(探究弹性势能的表达式)某同学利用自己设计的弹簧弹射器做“验证弹簧弹性势能E p ＝12kx 2(k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量)”的实验，装置如图13(a)所示．水平放置的弹射器将质量为m 的小球弹射出去，测出小球通过两个竖直放置的光电门的时间间隔为t ，用刻度尺测出弹簧的压缩量为x ，甲、乙光电门的间距为L ，忽略一切阻力．(已知动能的表达式E k ＝12m v 2)图13(1)小球被弹射出的速度大小v ＝________，求得弹簧弹性势能E p ＝________；(用题目中的字母表示)(2)该同学测出多组数据，计算并画出如图(b)所示E p 与x 2的关系图线，从而验证了它们之间的关系．根据图线求得弹簧的劲度系数k ＝________ N/m ；(3)由于重力作用，小球被弹出去后运动轨迹会向下有所偏转，这对实验结果________影响(选填“有”或“无”)．答案 (1)L t mL 22t 2(2)200 (3)无解析 (1)由题图(a)可知，弹簧在小球进入光电门之前就已经恢复形变，且此时弹簧的弹性势能全部转化为小球的动能，故小球被弹射出的速度等于小球通过光电门时的水平速度，即v＝L t ，E p ＝12m v 2＝12m ⎝⎛⎭⎫L t 2＝mL 22t2. (2)由题图(b)读出数据并代入公式E p ＝12kx 2，得0.01 J ＝12×k ×1×10－4 m 2，解得k ＝200 N/m.(3)由力作用的独立性可知，重力不影响水平方向的分运动，无论有没有重力做功，小球的水平速度都不会变化．【考点】影响弹性势能大小的因素【题点】探究弹性势能的表达式。

人教版探究弹性势能的表达式-课件

做的功．W＝12×0.08×60 J－12×0.04×30 J＝1.8 J，此过程弹力做正功，弹簧的弹性势能减小 1.8 J，故只有 C 选项正确．
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 4:31:58 PM
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
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我们，还在路上……
高中物理·必修2·人教版
5 探究弹性势能的表达式
[目标定位] 1.知道探究弹性势能表达式的思路． 2．理解弹性势能的概念，会分析决定弹性势能大小的相关因
素． 3．知道弹力做功和弹性势能变化的关系． 4．领悟求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方
法．
一、弹性势能 1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有_弹__力__
() A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大 B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小 C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大 D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能答案 C 解析弹性势能的大小，除了跟劲度系数k有关外，还跟它的形变量(拉伸和压缩的长度)有关．如果弹簧处于压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该先减小，在原长处它的弹性势能最小，所以C选项正确．
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14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2021年2月27日星期六2021/2/272021/2/272021/2/27

7.5 探究弹性势能的表达式

胡可定律8000N/m
平均力法-10J
二、对弹性势能的理解例2 关于弹性势能，下列说法中正确的是( AB ) A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能 B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变 C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能 D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
三、弹力做功与弹性势能变化的关系
1.知道探究弹性势能表达式的思路. 2. 理解弹性势能的概念，会分析决定弹性势能大小的相关因素.
3.体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法.
4. 领悟求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方
法.
一、弹性势能 1.定义.发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能. 2.探究弹性势能表达式的方法通过计算克服弹力所做的功，即拉力所做的功来定量计算弹性势能的大小 1 1 2 分析：W S kx x kx 面如图所示，弹簧处于原长时， 2 2 其右端位于A点.现将弹簧由A 外力做功引起能量的改变点拉到B点，使其伸长x(仍处 1 则 EP kx2为弹性势能于弹性限度内) 2 x 求拉力做功可见外力对物体做正，功
例3.如图所示，处于自然长度的轻质弹簧一端与墙接触，另一端
与置于光滑地面上的物体接触，现在物体上施加一水平推力 F ，
使物体缓慢压缩弹簧，当推力 F 做功 100J 时，弹簧的弹力做功
______J ，以弹簧处于自然长度时的弹性势能为零，则弹簧的弹
性势能为______J.
－100 100
变形：如图，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹
6.在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为 2.0 kg 的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力 F，使木块缓慢向下移动 0. 10 m，力 F 做功 2.5J．此时木块再次处于平衡状态，力 F 的大小为 50N，如图所示，求： (1)在木块下移 0.10m 的过程中弹性势能的增加量． (2)弹簧的劲度系数(g 取 10 N/kg).

物理：7.5《探究弹性势能的表达式》

7.5
探究弹性势能的表达式
山东烟台招远张长庚
一、弹性势能
发生弹性形变的物体各部分之间由于弹发生弹性形变的物体各部分之间由于弹弹性形变的物体各部分之间由于力的相互作用而具有的势能而具有的势能。力的相互作用而具有的势能。
二、探究弹性势能的表达式
1、弹性势能的表达式可能与哪几个物理、量有关？（类比、猜想）？（类比量有关？（类比、猜想）
பைடு நூலகம்
2、探究方法、猜想与假设.类比迁移微元.图象猜想与假设类比.迁移微元图象数学推理类比迁移.微元图象.数学推理等,这些都是科学探究的一般研究方法这些都是科学探究的一般研究方法
1.关于弹性势能，下列说法中正确的是： 1.关于弹性势能，下列说法中正确的是：AB 关于弹性势能 A、任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能 B、任何具有弹性势能的物体，都一定是发生任何具有弹性势能的物体，了弹性形变 C、物体只要发生形变就一定有弹性势能 D、弹簧的弹性势能只跟弹簧的形变量有关
A B
4.在光滑的水平面上，物体以较大的速度以较大的速度v 4.在光滑的水平面上，物体A以较大的速度 a向在光滑的水平面上右运动，与较小速度v 向同一方向运动的、右运动，与较小速度 b向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B发生相互作用如图所示。发生相互作用，有轻质弹簧的物体发生相互作用，如图所示。在相互作用的过程中，弹簧的弹性势能最大时：在相互作用的过程中，弹簧的弹性势能最大时： A、va >vb C B、va <vb v v C、va =vb B A D、无法确定
2.如图，在一次“蹦极” 2.如图，在一次“蹦极”运动如图中，人由高空跃下到最低点的整个过程中，整个过程中，下列说法正确的是： ABCD A.重力对人做正功 A.重力对人做正功 B.人的重力势能减小了 B.人的重力势能减小了 C.“蹦极” C.“蹦极”绳对人做负功 D.“蹦极” D.“蹦极”绳的弹性势能增加了

高中物理必修二---探究弹性势能的表达式

第5节探究弹性势能的表达式1．理解弹性势能的概念，会分析决定弹性势能大小的相关因素．(重点) 2．知道探究弹性势能表达式的思路，体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法．3．体会求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方法．(难点)一、弹性势能1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．2．产生条件：物体发生弹性形变．二、探究弹性势能的表达式1．猜想(1)弹性势能与弹簧被拉伸的长度有关，同一个弹簧，拉伸的长度越大，弹簧的弹性势能也越大．(2)弹性势能与弹簧的劲度系数有关，在拉伸长度l相同时，劲度系数k越大，弹性势能越大．2．探究思想：研究弹力做功与弹性势能变化的关系．3．“化变为恒”求拉力做功：W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋…＋F nΔl n．4．弹性势能的表达式：E p＝12kl2．判一判(1)弹簧处于自然状态时，不具有弹性势能．( )(2)一物体压缩弹簧，弹性势能是物体与弹簧共有的．( )(3)不同弹簧发生相同的形变时具有的弹性势能相同．( )(4)同一弹簧发生的形变量不同时具有的弹性势能不同．( )(5)弹簧弹力做正功，弹簧弹性势能增加．( )提示：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×做一做如图所示，将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是()A．弹力变大，弹性势能变小B．弹力变小，弹性势能变大C ．弹力和弹性势能都变大D ．弹力和弹性势能都变小提示：选C.将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的伸长量变大，弹簧的弹力变大，弹性势能变大，故A 、B 、D 错误，C 正确．想一想运动员将箭射出瞬间，弓要恢复原状，此过程中弓的弹性势能怎么变化？提示：弓的形变量逐渐减小，弹性势能减小．对弹性势能的理解1．弹性势能的产生原因⎩⎪⎨⎪⎧（1）物体发生了弹性形变（2）各部分间的弹力作用 2．弹性势能的影响因素⎩⎪⎨⎪⎧（1）弹簧的形变量l （2）弹簧的劲度系数k 3．弹性势能的表达式：E p ＝12kl 2，l 为弹簧的伸长量或压缩量． 4．系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性．5．相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的势能为零势能．命题视角1 对弹性势能的理解(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )A ．发生弹性形变的物体都具有弹性势能B ．只有弹簧在发生形变时才具有弹性势能C ．弹性势能可以与其他形式的能相互转化D ．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳[解析] 发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用都具有弹性势能，A 正确，B 错误；弹性势能跟重力势能一样，可以与其他形式的能相互转化，C 正确；所有能的单位跟功的单位相同，在国际单位制中的单位是焦耳，D 正确．[答案] ACD命题视角2 弹性势能表达式的探究在探究弹簧的弹性势能的表达式时，下面的猜想有一定道理的是( )A ．重力势能与物体离地面的高度有关，弹性势能可能与弹簧的伸长量有关；重力势能与重力的大小有关，弹性势能可能与弹力的大小有关，而弹力的大小又与弹簧的劲度系数k 有关．因此弹性势能可能与弹簧的劲度系数k 和弹簧的伸长量x 的二次方x 2有关B ．A 选项中的猜想有一定道理，但不应该与x 2有关，而应该与x 3有关C ．A 选项中的猜想有一定道理，但应该是与弹簧伸长量的一次方，即与x 有关D ．上面三个猜想都没有可能性[思路点拨] 对未知问题的探究，可以运用已有的理论或实验事实作为依据，进行合理的猜想，然后通过实验进行验证，这是探究问题的一种重要方法．[解析] 根据重力做功与重力势能变化的关系，对弹力做功与弹性势能的关系，有理由猜想：重力势能E p ＝Fl ＝mgh ；弹性势能E p 也应和弹力F ＝kx 与伸长量l ＝x 的乘积有关，即可得E p 与x 2有关．故本题猜想中A 是有一定道理的．故选项A 正确．[答案] A(1)E p ＝12kl 2中l 为相对于自由长度的形变量，可见，对同一弹簧，压缩或拉伸相同的长度时，弹性势能相等．(2)该式在教材中没有出现，也不要求定量计算，弹性势能的求解，通常由能量转化的方式利用能量守恒(后面将要学习)求解，但熟记公式可迅速定性判断弹性势能大小的变化．【通关练习】1．关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是( )A ．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大B ．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小C ．在拉伸长度相同时，k 越大的弹簧，它的弹性势能越大D ．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能解析：选C.弹簧弹性势能的大小除了跟劲度系数k 有关外，还跟它的形变量(拉伸或压缩的长度)有关，如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该减小，当它变短时，它的弹性势能应该增大，在原长处它的弹性势能最小，A 、B 错误；形变量相同时，k 越大的弹簧，它的弹性势能越大，C 正确；弹簧无论拉伸还是压缩，其弹性势能决定于其形变量的大小，与是拉伸还是压缩无关，D 错误．2．在一次演示实验中，一压紧的弹簧沿一粗糙水平面射出一小球，测得弹簧压缩的距离d 跟小球在粗糙水平面滚动的距离s 如下表所示．由此表可以归纳出小球滚动的距离s 跟弹簧压缩的距离d 之间的关系，并猜测弹簧的弹性势能E p 跟弹簧压缩的距离d 之间的关系分别是(选项中k 1、k 2是常量)( ) 实验次数1 2 3 4 d /cm0．50 1．00 2．00 4．00 s /cm4．98 20．02 80．10 319．5 A ．s ＝k 1d ，E p 21p ＝k 2d 2 C ．s ＝k 1d 2，E p ＝k 2d D ．s ＝k 1d 2，E p ＝k 2d 2解析：选D.由图表信息知d 1＝0.50 cm ，x 1＝4.98 cm ，d 2＝2d 1，x 2＝20.02 cm ≈4x 1，d 3＝4d 1，x 3＝80.10 cm ≈16x 1，d 4＝8d 1，x 4＝319.5 cm ≈64x 1.则可归纳为x ＝k 1d 2；又由能量守恒定律(后面将学习)可知E p ＝μmgx ＝μmgk 1d 2，由于μmgk 1为恒量，所以E p 可写作E p ＝k 2d 2.故选项D 正确．弹力做功与弹性势能变化的关系如图所示，O 为弹簧的原长处．1．弹力做负功时：如物体由O 向A 运动(压缩)或者由O 向A ′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能．2．弹力做正功时：如物体由A 向O 运动，或者由A ′向O 运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能．3．弹力做功与弹性势能的关系：弹力做多少正功，弹性势能就减小多少；弹力做多少负功，弹性势能就增加多少，即W 弹＝－ΔE p ．弹簧原长L 0＝15 cm ，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到L 1＝20 cm 时，作用在弹簧上的力为400 N ，问：(1)弹簧的劲度系数k 为多少？(2)在该过程中弹力做了多少功？(3)弹簧的弹性势能变化了多少？[思路点拨] 弹性势能的变化仅与弹力做功有关，弹力做正功弹性势能减少，弹力做负功弹性势能增加．弹力是变力，弹力做功可用W ＝Fl 来计算(式中F 为平均力)，或作出F －l 图象来求解．[解析] (1)根据胡克定律F ＝kl 得k ＝F l ＝F L 1－L 0＝4000.20－0.15N/m ＝8 000 N/m. (2)由于F ＝kl ，作出F －l 图象如图所示，求出图中的阴影面积，即弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力F 的方向与位移l 的方向相反，故弹力F 在此过程中做负功，W ＝－12×0.05×400 J ＝－10 J. (3)弹力F 做负功，则弹簧弹性势能增加，且做功的多少等于弹性势能的变化量，ΔE p ＝10 J.[答案] (1)8 000 N/m (2)－10 J (3)增加10 J(1)弹力对物体所做的功只跟初、末位置有关，而跟具体的路径无关，虽然弹簧的弹力是变力，但它做功的特点与重力做功的特点相同．弹力做多少正功，弹性势能就减少多少，弹力做多少负功，弹性势能就增加多少．(2)弹力做的功可以通过W弹＝－ΔE p求得，也可以通过W＝Fl，或通过F－l图象中F －l图线与l轴所围的“面积”求出．(多选)一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在压缩弹簧的过程中以下说法正确的是( )A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比B．物体向墙壁运动连续两段相同的位移，弹力做的功不相等C．弹簧的弹力做正功，弹性势能减小D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加解析：选BD.恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力，所以A项错误．弹簧开始被压缩时弹力小，物体移动一定的距离做的功少，进一步被压缩时，弹力变大，物体移动相同的距离做的功多，B项正确．压缩过程中，弹簧弹力方向与位移方向相反，弹簧弹力做负功，弹性势能增加，C项错误、D项正确．[随堂检测]1．关于重力势能和弹性势能，下列说法中正确的是( )A．发生形变的物体一定具有弹性势能B．重力势能和弹性势能的大小都是由相互作用的两个物体的相对位置决定的C．若规定弹簧的长度为原长时，弹簧的弹性势能为0，则弹簧压缩时弹性势能是负值，弹簧伸长时弹性势能是正值D．和所有的矢量一样，重力势能的正负代表重力势能的方向解析：选B.发生弹性形变的物体有弹性势能，有些形变不能恢复，没有弹性势能，A错误；相互作用的两个物体，当相对位置发生变化时，作用力能够做功，一定具有势能，B正确；无论弹簧压缩还是伸长，弹性势能均为正值，C错误；重力势能是标量，其正负代表能量的高低，D错误．2．如图所示的几个运动过程中，物体弹性势能增加的是( )A．如图甲，跳高运动员从压杆到杆伸直的过程中，杆的弹性势能B．如图乙，人拉长弹簧过程中弹簧的弹性势能C．如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能D．如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能答案：B3．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动．在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( ) A．弹簧的弹性势能逐渐减小B．弹簧的弹性势能逐渐增大C．弹簧的弹性势能先增大后减小D．弹簧的弹性势能先减小后增大解析：选D.由于在力F的作用下物体处于静止状态，此时弹簧处于压缩状态，撤去F 后，物体在向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大．4．宋代诗人苏轼的名句“会挽雕弓如满月，西北望，射天狼”中蕴含了一些物理知识．关于拉弓过程，下列说法正确的是()A．弓的弹性形变越大，弹性势能就越大B．弓的弹性形变越大，弹性势能就越小C．人对弓的作用力越大，弓的弹性形变越小D．人对弓的作用力越大，弹性势能就越小解析：选A.人对弓的作用力和弓对人的作用力为相互作用力，等大反向．弹性势能与物体的形变量有关．弓的弹性形变越大，弹性势能就越大，人对弓的作用力越大，弓的弹性形变越大，弹性势能越大，故A正确．5．(2020·北京东城区期末)一根弹簧的弹力F与弹簧的伸长量x之间的关系如图所示，当弹簧的伸长量由3.0 cm 变到6.0 cm的过程中()A．弹力所做的功是0.45 J，弹性势能减少了0.45 JB ．弹力所做的功是0.6 J ，弹性势能减少了0.6 JC ．弹力所做的功是－0.45 J ，弹性势能增加了0.45 JD ．弹力所做的功是－45 J ，弹性势能增加了45 J解析：选C.当弹簧的伸长量由3.0 cm 变到6.0 cm 的过程中，弹簧的弹力做负功，根据平均值法可得弹簧的弹力做功为W ＝－F Δl ＝－10＋202×0.03 J ＝－0.45 J ，所以弹簧的弹性势能增加了0.45 J ，故C 正确，A 、B 、D 错误．[课时作业]【A 组基础过关】1．如图所示，质量为m 的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉住弹簧上端上移H ，将物体缓缓提高h ，拉力F 做功W F ，不计弹簧的质量，则下列说法中正确的是 ( )A ．重力做功－mgh ，重力势能减少mghB ．弹力做功－W F ，弹性势能增加W FC ．重力势能增加mgh ，弹性势能增加FHD ．重力势能增加mgh ，弹性势能增加W F －mgh解析：选D.可将整个过程分为两个阶段：一是弹簧伸长到m 刚要离开地面阶段，拉力克服弹力做功W F 1＝－W 弹，等于弹性势能的增加；二是弹簧长度不变，物体上升h ，拉力克服重力做功W F 2＝－W G ＝mgh ，等于重力势能的增加，又由W F ＝W F 1＋W F 2可知A 、B 、C 错误，D 正确．2．在光滑的水平面上，物体A 以较大速度v a 向前运动，与以较小速度v b 向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B 发生相互作用，如图所示．在相互作用的过程中，当系统的弹性势能最大时( )A ．v a ′>v b ′B ．v a ′＝v b ′C ．v a ′<v b ′D ．无法确定解析：选B.v a ′＝v b ′时，A 、B 相距最近，弹簧压缩量最大，弹性势能最大．3．如图所示，质量相等的两木块中间连有一弹簧，今用力F 缓慢向上提A ，直到B 恰好离开地面．开始时物体A 静止在弹簧上面．设开始时弹簧的弹性势能为E p1，B 刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为E p2，则关于E p1、E p2大小关系及弹性势能变化ΔE p 的说法中正确的是( )A ．E p1＝E p2B ．E p1>E p2C ．ΔE p >0D ．ΔE p <0解析：选A.开始时弹簧形变量为l1，有kl1＝mg.当B离开地面时形变量为l2，有kl2＝mg，故l1＝l2，所以E p1＝E p2，ΔE p＝0，A正确．4．如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，则( )A．t1时刻小球动能最大B．t2时刻小球动能最大C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能解析：选C.0～t1时间内小球做自由落体运动，落到弹簧上并往下运动的过程中，小球重力与弹簧对小球弹力的合力方向先向下后向上，故小球先加速后减速，t2时刻到达最低点，动能为0，A、B错；t2～t3时间内小球向上运动，合力方向先向上后向下，小球先加速后减速，动能先增加后减少，C对；t2～t3时间内由能量守恒知小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能减去小球增加的重力势能，D错．5．一根弹簧的弹力—位移图线如图所示，那么弹簧由伸长量8 cm 到伸长量4 cm的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为( )A．3．6 J，－3．6 J B．－3．6 J，3．6 JC．1．8 J，－1．8 J D．－1．8 J，1．8 J解析：选C.F－l图线与l轴围成的面积表示弹力做的功．W＝12×0.08×60 J－12×0.04×30J＝1.8 J，弹性势能减少1.8 J，C正确．6．如图所示，轻质弹簧的劲度系数为k，小球所受重力为G，静止时小球在A处．今用力F竖直向下压小球使弹簧缩短x，让小球静止在B处，则( )A．小球在A处时弹簧的弹力为零B．小球在B处时弹簧的弹力为kxC．小球在A处时弹簧的弹性势能较大D．小球在B处时弹簧的弹性势能较大解析：选D.小球处于A位置时，保持静止状态，受重力和弹簧弹力作用，二力平衡，故弹力等于重力，即G＝kx1，故A错误；小球处于B位置时，保持静止状态，受重力、压力F 和弹簧弹力作用，根据共点力平衡条件有F＋G＝F弹，根据胡克定律，有F弹＝k(x1＋x)，得F弹＝G＋kx，故B错误；弹簧的压缩量越大，弹性势能越大，故C错误，D正确．7．(多选)在一次“蹦极”运动中，人由高空下落到最低点的整个过程中，下列说法正确的是()A．重力对人一直做正功B．人的重力势能一直减小C．橡皮绳对人一直做负功D．橡皮绳的弹性势能一直增加解析：选AB.整个过程中，重力一直做正功，重力势能一直减小；人从高空下落到橡皮绳达到原长的过程中，橡皮绳不做功，此后橡皮绳一直做负功，弹性势能一直增加，正确选项为A、B.8．如图所示，光滑水平轨道与光滑圆弧轨道相切，轻弹簧的一端固定在轨道的左端，OP是可绕O点转动的轻杆，且摆到某处就能停在该处，另有一小球，现在利用这些器材测定弹簧被压缩时的弹性势能．(1)还需要的器材是________、________．(2)以上测量实际上是把对弹性势能的测量转化为对________的测量，进而转化为对________和________的直接测量．(3)为了研究弹簧的弹性势能与劲度系数和形变量的关系，除以上器材外，还准备了三个轻弹簧，所有弹簧的劲度系数均不相同，试设计记录数据的表格．答案：(1)天平刻度尺(2)重力势能质量上升高度(3)设计的数据表格如下表所示小球的质量m＝________kg弹簧劲度系数k/(N·m－1)压缩量x/m上升高度h/mE＝mgh/JABC9．轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0．5 kg的物块相连，如图甲所示．弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0．2．以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴．现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示．物块运动至x＝0．4 m处时速度为零．则此时弹簧的弹性势能为(g＝10 m/s2)( )A．3．1 J B．3．5 JC．1．8 J D．2．0 J解析：选A.物块与水平面间的摩擦力为f＝μmg＝1 N．现对物块施加水平向右的外力F，由F－x图象面积表示功可知F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功W f＝fx＝0.4 J．外力所做的总功转化为弹簧的弹性势能，所以此时弹簧的弹性势能为E p＝3.1 J，选项A正确．10．(多选)某缓冲装置可抽象成如图所示的简单模型．图中K 1、K2为原长相等，劲度系数不同的轻质弹簧．下列表述正确的是( )A．缓冲效果与弹簧的劲度系数无关B．垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等C．垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等D．垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变解析：选BD.不同弹簧的缓冲效果与弹簧的劲度系数有关，选项A错误；在垫片向右运动的过程中，由于两根弹簧相连，它们之间的作用力为作用力与反作用力，故大小相等，选项B正确；由于两弹簧的劲度系数不同，由胡克定律可知，两弹簧的形变量不同，又两弹簧的原长相等，故两弹簧的长度不相等，选项C错误；在垫片向右运动的过程中，由于弹簧的弹力做功，故弹性势能将发生变化，选项D正确．11．(多选)如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力F作用下缓慢拉伸了x．关于拉力F、弹性势能E p随伸长量x的变化图象正确的是( )解析：选AD.因为是缓慢拉伸，所以拉力始终与弹簧弹力大小相等，由胡克定律知F＝kx，F－x图象为倾斜直线，A对，B错．因为E p∝x2，所以D对，C错．12．通过探究得到弹性势能的表达式为E p ＝12kl 2，式中 k 为弹簧的劲度系数，l 为弹簧伸长(或缩短)的长度，请利用弹性势能表达式计算下列问题．放在地面上的物体上端系在劲度系数k ＝400 N/m 的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示，手拉绳子的另一端，当往下拉 0．1 m 时物体开始离开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h ＝0．5 m 高处．如果不计弹簧重和滑轮跟绳的摩擦，求拉力所做的功以及弹性势能的大小．解析：弹性势能E p ＝12kl 2＝12×400×0.12 J ＝2 J 此过程中拉力做的功与弹力做的功数值相等，则有W 1＝W 弹＝ΔE p ＝2 J刚好离开地面时G ＝F ＝kl ＝400×0．1 N ＝40 N又物体缓慢升高，F ＝40 N物体上升h ＝0．5 m ，拉力克服重力做功W 2＝Fl ＝mgh ＝40×0．5 J ＝20 J拉力共做功W ＝W 1＋W 2＝(20＋2) J ＝22 J ．答案：22 J 2 J。

7.5探究弹性势能的表达式

题5 如图所示，光滑水平轨道与光滑圆弧轨道相切，轻弹簧的一端固定在轨道的左端，OP是可绕O转动的轻杆，且摆到某处时即能停在该处，另有一小钢球。现要利用这些器材测定弹簧被压缩时的弹性势能。
（1）还需要的器材是天平、刻度尺。（2）以上测量，实际上是把弹性势能的测量转化为重力势能的测量，进而转化为对质量和上升的高度的直接测量。
如何求弹性势能的表达式？
类比猜
想
重力势能
重力势能与
分析
与m和h有
重力做功有
重力
关
关
做功
弹性势能与什么因素有关
弹性势能与弹力做功的关系
分析弹力做功：k一定，Δl越大，弹性势能越大
Δl一定，k越大，弹性势能越大
猜想2：弹簧的弹性势能与弹力做的功的关系
类比：WG = mgh1 - mgh2 = －ΔEp W弹= －ΔEp
小车向右运动的过程中，下列说法正确的是（ D ）
A. 弹簧的弹性势能逐渐减小 B. 弹簧的弹性势能逐渐增大 C. 弹簧的弹性势能先增大再减小 D. 弹簧的弹性势能先减小再增大
【解析】当撤去力F后，小
车向右运动的过程中，弹簧
先由压缩状态恢复到原长，
然后再伸长，所以形变量先
减小后增大，则弹簧的弹性
势能先减小再增大。
物体由于被举高而具有的能由物体和地球的相对位置决定能。物体的重力mg与它所在位置的高度h的乘积“mgh” 。
3、重力做功与重力势能有什么关系？
三张图中的物体有什么共同点？
一、弹性势能
定义：发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用而具有的势能
二、弹性势能的表达式
思考：弹性势能与哪些因素有关？

7.5 探究弹性势能的表达式

7.5 探究弹性势能的表达式理解领悟探究是通过自己的探索活动，变未知为已知的学习过程。

探究的目的是开发创造潜能，启发思维，使自己参与到教与学的活动中去。

在自己思考的前提下，设计自己的探究方案，这个方案可以包含实验，也可以不包含实验。

本节“探究弹性势能的表达式”就是一个不包含实验的探究。

教学目标：1.知道什么叫弹性势能.2.知道探究弹簧弹性势能表达式的思路. 体会求弹簧弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方法.3.会定性分析决定弹簧弹性势能大小的相关因素.4.体会探究过程的猜想、分析和转化的方法. .知道可以用F-l图象中梯形的“面积”代表弹力的功.引言：一个弹簧自然伸长，一个小车在光滑的水平面上从弹簧的左侧向弹簧运动，当它遇到弹簧后减速，因为它遇到了弹簧，弹簧对它的作用力的方向与物体运动方向相反，从能量的角度来讲，物体运动的速度减小，也就是物体的动能减小，物体动能的减少应该对应一种能量的增加．这种能量与弹簧弹力做功有关，上一节课我们知道，物体重力做功对应着重力势能的变化，，可以把这种能量叫做弹簧的弹性势能．今天这节课就来研究一下与弹簧弹性势能有关的因素。

一、弹性势能：1、定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，叫做弹性势能。

说明：1、弹性形变弹力的相互作用2、由于整个物体都发生了形变，各部分之间都有弹力3、这种能量归结为势能对比：重力势能是由于有重力的相互作用，具有对外做功本领而具有的一种能量引导：弹性势能和重力势能一样大小都和相对位置有关。

下面我们就来研究弹性势能的大小，我们研究最简单的，弹簧的弹性势能大小。

2、研究弹性势能的出发点弹性势能与重力势能都是物体凭借其位置而具有的能。

在讨论重力势能的时候，我们从重力做功的分析入手。

同样，在讨论弹性势能的时候，则要从弹力做功的分析入手。

弹力做功应是我们研究弹性势能的出发点。

二、探究弹簧弹性势能的大小1、猜想，并进行定性研究弹性势能表达式中相关物理量的猜测弹性势能的表达式可能与哪些物理量有关呢？①可能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度有关。

【学霸笔记】物理必修二7.5探究弹性势能的表达式

新课标物理学讲义----力学第七章机械能守恒定律 1 第五节探究弹性势能的表达式
一、探究弹性势能的表达式
1、弹性势能：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力的相互作用而具有的势能。

2、猜想相关量：k 、x
3、步骤：（弹簧弹力做功与弹簧伸长量之间的关系）
①结论：弹簧弹力做正功，弹性势能减小；弹簧弹力做负功，弹性势能增大。

②弹簧弹力做功等于弹性势能变化的负值。

p F E W ∆-=
③研究弹簧弹力做功
4、弹力做功分析：
面积法（平均作用力法）：
()()()()()
222212212111221x x k x x kx kx W x x F F W F F --=-+-==-+-= ()12212221222
1212P P P E E kx kx x x k W E -=-=-=-=∆ 5、结论：22
1kx E P = 二、弹性势能
1、表达式：22
1kx E P = 2、理解：
①弹簧的弹性势能只与k 、x 有关，与研究对象的运动情况等都无关。

②弹性势能为一状态量，即某时刻发生形变量时弹簧具有的能量。

③弹性势能为相对量，表达式选取的势能零点为原长。

（一般与原长为势能零点） ④弹性势能为标量，如果取原长为势能零点，则弹性势能具有非负性。

⑤同一根弹簧，拉伸或压缩同样的形变量，弹性势能相同。

⑥使用范围：弹簧。

无特殊说明橡皮筋也适用。

⑦弹性势能具有系统性，即它是发生弹性形变的物体各部分由于弹力而共同具有的能量。

3、小球在弹簧弹力作用下的做功能量分析：
O →A
A →O
O →B
B →O。

课件7： 7.5 探究弹性势能的表达式

3．弹性势能与弹力做功的关系．如图所示，O 为弹簧的原长处．
(1)弹力做负功时：如物体由 O 向 A 运动(压缩) 或者由 O 向 A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能．
(2)弹力做正功时：如物体由 A 向 O 运动，或者由 A′向 O 运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能．
答案：B
知识点二弹性势能大小(变化)的探究提炼知识 1．弹力功特点．随弹簧形变量的变化而变化，还因劲度系数的不同而不同． 2．弹力功与拉力功的关系：拉力功等于克服弹力做的功．
3．“化变为恒”求拉力功． W 总＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋…＋FnΔln. 4．“F－l”图象面积意义：表示力 F 做功的值．
的能量
能量
两种势能分别以弹力、重力的存在为前提，又由物体的初、末位置来决定．同联系属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化
【典例 2】(多选)如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块刚与弹簧接触到第一次速度为零的过程中( )
A．重力一直做正功，重力势能增加 B．金属块速度最大时，弹簧的弹性势能最小 C．弹力一直做负功 D．金属块的速度为零时，弹簧的弹性势能最大
(2)设施加力 F 前弹簧压缩了 h0，则 mg＝kh0.① 施加力 F 后木块再次处于平衡状态时有 F＋mg＝k(h0＋h)．② 联立①②两式解得弹簧的劲度系数 k＝Fh＝05.100 N/m＝500 N/m. 答案：(1)4.5 J (2)500 N/m
拓展二弹性势能与重力势能的比较
如图所示，将固定于竖直弹簧下端的小球由平衡位置 O(小球原来静止位置)向下拉至位置 M 由静止释放，则从释放点 M 到最高点 N(此时小球加速度小于 g)过程中：

5探究弹性势能的表达式精品PPT课件

对位置改变而具有的能量，因而弹性势能是整个系统所具有的． 2．相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的势能为零． 3．对于同一弹簧，伸长和压缩相同的长度时弹性势能相同．
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5 探究弹性势能的表达式
【例1】关于弹性势能，下列说法中正确的是
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二、弹性势能(变化)大小探究 1．弹力做功与弹性势能变化的关系
2．“化变为恒”求拉力做功：W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋…＋ _F_N_Δ_l_n_．
3．“F－l”图象面积的意义：表示_弹__力__功__的值．
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5 探究弹性势能的表达式
想一想重力势能Ep＝mgh与高度成正比，弹簧的弹性势能是否与形变量成正比？答案否．因为举重物时，重力不变，而拉弹簧时拉得越长，拉力越大，所以弹性势能与形变量不成正比．
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5 探究弹性势能的表达式
一、对弹性势能的理解 1．系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相
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5 探究弹性势能的表达式
二、弹性势能与弹力做功的关系
1．关系：弹力做功是弹性势能变化的唯一量度．弹力做多少
正功，弹性势能就减少多少；弹力做多少负功，弹性势能
就增加多少．
2．表达式：W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 【例2】如图7－5－2所示，一个物体以
速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压
()
A．只有弹簧发生弹性形变时才具有弹性势能，其他物体
发生弹性形变时是不会有弹性势能的

探究弹性势能表达式

把弹簧从A到B的过程分成很多很多小段
x1, x2, x3…
在各个小段上，弹力可近似认为是不变的
F1、F2、F3 …
W＝F1x1＋F2x2＋F3x3＋…
F
F
o
x
o
x
F
o
x
面积就表示拉力所做功
观察
弹
性
势
能
发生弹性形变的物体的
各部分之间，由于有弹力的
相互作用，也具有势能，这
种势能叫做弹性势能。
第七章机械能及其守恒定律（人教版必修2）
5、探究弹性势能的表达式
实验探究
Ep=EPG
mgh
直接测量量：m x = L L0 探究： mgx x
重力做功
WG > 0, △Ep<0 WG < 0, △Ep>0
WG＝ -△Ep
重力势能
弹力做功
W弹 > 0, △Ep<0
W弹 < 0, △Ep>0 W弹＝ -△Ep
弹性势能
弹
簧
弹力
l0
x
m
做功
F＝kx
F
Ep=WF
能直接用WF=Flcosα来求吗？
V VoΒιβλιοθήκη o ttX＝V1t1＋V2t2＋V3t3＋…
V
o
t
面积表示位移
类比变速运动求位移
W＝F1x1＋F2x2＋F3x3＋…

75探究弹性势能的表达式

75探究弹性势能的表达式5探究弹性势能表的达式有关力弹知识的拉的开弓有关弹的力识撑知跳运杆动员手中弯曲的杆有弹关力知识压的缩的弹簧有关弹力的识知长的拉弹簧发生弹性变形的体物各的分之间，部由于弹力有相的互用而作具的势能叫有弹性势能(elticapotnteileanrege)。

节本课们我主探究要弹被簧长的拉情况弹性势能的的达式表。

猜想弹性：势的能达表式能可与几那物理个有关量类比？力势重能性弹势能高度h与关有且，成正比伸量l是正长关系吗比弹性能的表势式达可能那与几个理量有物关举？时重铃所受的杠力重它与的位置关无簧的拉弹力与拉伸的长度关有弹力与力重变的化规不一样，弹律势能性与重力势的表能达式很可能不也一。

样弹性能势的达表式能与那几个物可理量有？关对同一根与簧，弹长伸L越量长，性弹能势越。

大伸长量L相,同劲系度k越数，大性弹能势越大。

也结论与：簧弹伸长量的有有关L与弹簧的劲度系k数关有怎样到弹性势能得的表达呢式类比？力做功重GW力重能mg势h弹性势能簧弹力弹功怎做样算拉计力所的功做？在面附近地，力的大重小和向都不方发生化变所，以管不体移动的距物大小，重力的功可以离简单用重力与物体在竖地方向移动直距离乘积的表示；来对弹于力，况情要比重做功复杂力这，因为是当弹被簧拉伸，时簧弹拉力的的小会随大拉伸着距的离增大增大.也就而说：是弹力做功应该是一个变做力功的问题怎.样算计拉力所的做？功联想计匀算加直速线运动位移曾时经用的过法：方整把个运过程动分很成小段，每多个小中段物的速度的体化变较比小可以近似地，用小中任意一时段的速度和刻这小一段时间隔间乘相得这一到段位小的近移值，然似把后各小段移的位似值相近.当各加段小得分非小的时候，常得到的就是变匀速直运线动位的表移式达了.怎样计拉力算所做的？功方法怎样算计力拉做所功的？在小段各，拉上做的力功别是分Fl11,F2l,23Fl3,力拉全在过程所中做的是功F1l1F2l23l3F 怎样计算这个和求？式联想v算匀加计速线运动位移时直经用曾过的法方vvovotvovotvootvoot拉力功的计算方做法法方FoFlolFFkloolll拉力所做的功1W2kl2其中，是k弹的劲度系数，簧是l弹的簧长量伸或压缩量性势能弹的表达式根据我刚才的推论们，弹簧当处原于长弹性势、值能零时为，这弹簧个被长拉时弹L做的功力等就于弹被拉簧长L时弹弹簧势能性值的，以所有EP12lk2体会是能量功化的转度.量在以上究探我们规定中弹簧处，于然自状态下，也是既就不伸长也缩不时的短能为零势势.能不能能规定簧任意弹某长一度的势能时零为说你说想法.的此问可题类以比重力能的参考平面的规势.定如果们我规了定弹簧意长度时的势能任为零势能在弹，簧某一位从拉置零至能位置的势过程，中力所做的功就等于弹拉的弹性簧势能.然，这显规定自与长然度零为势能时从，位该置到零拉能的势位置功是的不的，所以同弹簧在，某位置一的弹时性势是与能势能零置的规位定关的有.对弹性能势的解1理.竖直一簧弹端固定下于平地水上，面小从弹簧球的上正方高为h的地方由自下落到弹簧上端，如图所，示几次经反以弹后球最终小弹在簧上止静于一某A点处，则(B)Ah愈大，弹簧.A点的压缩在愈量大B.弹簧在点的A压量与h缩关无C.愈h大最终，球静止小在A点时弹的弹性势簧愈能大.D小球第一次达A点时弹簧到的弹性能比最终势球静小在A止时点弹簧弹性的能大势B对性弹能势理解的2.物一体以初速度v冲向与0起墙壁相连的轻质弹竖，簧墙壁与物体间的弹被簧物压体，缩在此程中过下列，说法正确的是(B:DA)、物体弹簧做对的与弹功的簧缩量压正成B、比体向墙物移壁相动同的离距弹，做的功不相等C、力力弹正功，做弹的弹性簧能减势小D弹、做力负，弹功簧弹性势的增加能。

高二物理探究弹性势能的表达式

B.人的重力势能减小了 C.“蹦极”绳对人做负功 D.“蹦极”绳的弹性势能增加了
练习
单项
如图所示，在光滑的水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态。当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动过程中下列说法正确的是： F A、弹簧的弹性势能逐渐减小 B B、弹簧的弹性势能逐渐增大 C、弹簧的弹性势能先增大再减小 D、弹簧的弹性势能先减小再增大
发生弹性形变的物体的
各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这
种势能叫做弹性势能。
2. 猜想：猜猜猜
弹簧的弹性势能可能与哪些物理量有关？
与弹簧的伸长量Δl，
劲度系数k有关
k一定，Δk越大，弹性势能越大
Δl一定，k越大，弹性势能越大
2. 猜想：猜猜猜
弹簧的弹性势能是否与劲度系数成正比？
练习
单项
在光滑的水平面上，物体A以较大的速度va向右运动，与较小速度vb向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B发生相互作用，如图所示。在相互作用的过程中，弹簧的弹性势能最大时： A、va >vb v v B、va <vb B A C、va =vb D、无法确定
A B
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5 探究弹性势能的表达式

7.5探究弹性势能表达式

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