江苏省南京市、盐城市2013届高三年级第三次模拟考试

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数学_2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷(含答案)

2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 记函数f(x)=√3−x 的定义域为A ，函数g(x)=lg(x −1)的定义域为B ，则A ∩B =________．2. 已知复数z 满足(z +1)i =3+5i ，其中i 为虚数单位，则|z|=________．3. 某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为3，则输入x 的值为________．4. 如图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是________．5. 已知函数f (x)＝2sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝________．6. 在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →=(3, −1)，OB →=(0, 2)．若OC →⋅AB →=0，AC →=λOB →，则实数λ的值为________．8. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β，②若m ⊂α，α∩β=n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α // β，则m // n ； ④若m // α，m ⊂β，α∩β=n ，则m // n ．上述命题中为真命题的是________（填写所有真命题的序号）． 9.如图，在△ABC 中，∠B =45∘，D 是BC 边上的一点，AD =5，AC =7，DC =3，则AB 的长为________．10. 记定义在R 上的函数y =f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x 0∈[a, b]，使得f(b)−f(a)=f′(x 0)(b −a)成立，则称x 0为函数f(x)在区间[a, b]上的“中值点”．那么函数f(x)=x 3−3x 在区间[−2, 2]上“中值点”的个数为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长FA 与另一条渐近线交于点B ．若FB →=2FA →，则双曲线的离心率为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C:x 2+y 2−(6−2m)x −4my +5m 2−6m =0，直线l 经过点(1, 0)．若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为________．13. 已知数列{a n }的通项公式为a n =−n +p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n−5．设c n ={a n ，a n ≤b n b n ，a n >b n，若在数列{c n }中，c 8>c n (n ∈N ∗, n ≠8)，则实数p 的取值范围是________．14. 设点P 是曲线y =x 2上的一个动点，曲线y =x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y =x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为________．二、解答题：本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知α，β∈(0, π)，且tanα=2，cosβ=−7√210． (1)求cos2α的值； (2)求2α−β的值．16.如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A =√2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF // 平面ABC ；（2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．17. 已知函数f(x)=12m(x −1)2−2x +3+lnx ，m ∈R ．（1）当m =0时，求函数f(x)的单调增区间；（2）当m >0时，若曲线y =f(x)在点P(1, 1)处的切线l 与曲线y =f(x)有且只有一个公共点，求实数m 的值．18. 将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S 1cm 2，S 2cm 2，其中S 1≤S 2．记折痕长为lcm ．（1）若l =4，求S 1的最大值；（2）若S 1:S 2=1:2，求l 的取值范围．19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:x 2m +y 28−m =1．（1）若椭圆C 的焦点在x 轴上，求实数m 的取值范围；（2）若m =6，①P 是椭圆C 上的动点，M 点的坐标为(1, 0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标；②过椭圆C 的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点N ，证明：ABFN 是定值，并求出这个定值． 20. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）求证：数列{Snn }是等差数列；（2）若a 1=1，且对任意正整数n ，k(n >k)，都有√S n+k +√S n−k =2√S n 成立，求数列{a n }的通项公式；（3）记b n =a a n (a >0)，求证：b 1+b 2+⋯+b nn≤b 1+b n 2．21. 如图，三棱锥P −ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，D ，E 分别为PB ，PC 中点．（1）若PA =2，求直线AE 与PB 所成角的余弦值；（2）若平面ADE ⊥平面PBC ，求PA 的长．22.如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13，刚开始时，棋子在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n ．（1）求p 1，p 2的值；（2）求证：∑14p i −1n i=1>n 2n+1．三、【选做题】在23、24、25、26四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23. 选修4−1：几何证明选讲如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，线段OP 交⊙O 于点C ．若PA =12，PC =6，求AB 的长．24. 选修4−2：矩阵与变换已知矩阵M =|1ab 1|对应的变换将点A(1, 1)变为A′(0, 2)，将曲线C:xy =1变为曲线C′．（1）求实数a ，b 的值；（2）求曲线C′的方程．25. 选修4−4：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ−π6)，点M 的极坐标为(6, π6)，直线l 过点M ，且与圆C 相切，求l 的极坐标方程．26. 选修4−5：不等式选讲解不等式x|x −4|−3<0．2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷答案1. (1, 3]2. 53. 84. 127 5. 236. 710 7. 2 8. ①④ 9.5√6210. 2 11. 212. 2x +y −2=0 13. (12, 17) 14.3√3215. 解：(1)cos2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α，因为tanα=2，所以1−tan 2α1+tan 2α=1−41+4=−35，所以cos2α=−35．(2)因为α∈(0, π)，且tanα=2，所以α∈(0,π2)，又cos2α=−35，所以2α∈(π2,π)，sin2α=45.因为β∈(0, π)，cosβ=−7√210．所以sinβ=√210，β∈(π2,π)，所以sin(2α−β)=sin2αcosβ−cos2αsinβ=45×(−7√210)−(−35)×√210=−√22，又2α−β∈(−π2,π2 )，所以2α−β=−π4．16. 证明：（1）如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG．又∵ F为C1B的中点，∴ FG= // 12C1C．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A= // C1C，E为A1A的中点，∴ FG= // EA，∴ 四边形AEFG是平行四边形．∴ EF // AG．∵ EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，∴ EF // 平面ABC．（2）∵ 点D是正△ABC的AC边的中点，∴ BD⊥AC，由正三棱柱ABC−A1B1C1中，可得侧面ACC1A1⊥平面ABC，∴ BD⊥侧面ACC1A1．∴ BD⊥C1E．∵ A1C1AE =A1EAD=√2，∴ Rt△A1C1E∽Rt△AED，∴ ∠A1EC1=∠ADE．∴ ∠AED+∠A1EC1=90∘，∴ C1E⊥ED．∵ ED∩DB=D．∴ C1E⊥平面BDE．17. 解：（1）当m=0时，函数f(x)=−2x+3+lnx由题意知x>0，f′(x)=−2+1x =−2x+1x，令f′(x)>0，得0<x<12时，所以f(x)的增区间为(0, 12)．（2）由f′(x)=mx−m−2+1x，得f′(1)=−1，知曲线y=f(x)在点P(1, 1)处的切线l的方程为y=−x+2，于是方程：−x+2=f(x)即方程12m(x−1)2−x+1+lnx=0有且只有一个实数根；设g(x)=12m(x−1)2−x+1+lnx，(x>0)．则g′(x)=mx 2−(m+1)x+1x=(x−1)(mx−1)x，①当m=1时，g′(x)=(x−1)(x−1)x≥0，g(x)在(0, +∞)上为增函数，且g(1)=0，故m=1符合题设；②当m>1时，由g′(x)>0得0<x<1m或x>1，由g′(x)=(x−1)(mx−1)x <0得1m<x<1，故g(x)在区间(0, 1m )，(1, +∞)上单调递增，在(1, 1m)区间单调递减，又g(1)=0，且当x→0时，g(x)→−∞，此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点，故m>1不合题意；③当0<m<1时，由g′(x)=(x−1)(mx−1)x >0得0<x<1或x>1m，由g′(x)<0得1<x<1m，故g(x)在区间(0, 1)，(1m , +∞)上单调递增，在(1, 1m)区间单调递减，又g(1)=0，且当x→+∞时，g(x)→+∞，此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点，故0< m<1不合题意；∴ 由上述知：m=1．18. 解：如图所示：不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：情形①情形②情形③①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．（1）在情形②③中，MN≥6，故当l=4时，折痕必定是情形①．设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16．因为x 2+y 2≥2xy ，当且仅当x =y 时取等号，所以S 1=12xy ≤4，当且仅当x =y =2√2时取等号，即S 1的最大值为4．（2）由题意知，长方形的面积为S =6×8=48，因为S 1:S 2=1:2，S 1≤S 2，所以S 1=16，S 2=32．当折痕是情形①时，设AM =xcm ，AN =ycm ，则12xy =16，即y =32x，由{0≤x ≤80≤32x ≤6，解得163≤x ≤8，所以l =√x 2+y 2=√x 2+322x 2，163≤x ≤8，设f(x)=x 2+322x2，x >0，则f′(x)=2x −2×322x 3=2(x 2+32)(x+4√2)(x−4√2)x 3，x >0，故当x ∈(163,4√2)时f′(x)<0，f(x)递减，当x ∈(4√2, 8)时，f′(x)>0，f(x)递增，且f(163)=6449，f(8)=80，所以f(x)的取值范围为[64, 80]，从而l 的范围是[8, 4√5]．当折痕是情形②时，设AM =xcm ，DN =ycm ，则12(x +y)×6=16，即y =163−x ，由{0≤x ≤80≤163−x ≤8，解得0≤x ≤163，所以l =√62+(x −y)2=√62+4(x −83)2，0≤x ≤163，所以l 的范围为[6, 2√1453]；当折痕是情形③时，设BN =xcm ，AM =ycm ，则12(x +y)×8=16，即y =4−x ，由{0≤x ≤60≤4−x ≤6，得0≤x ≤4，所以l =√82+(x −y)2=√82+4(x −2)2，0≤x ≤4，所以l 的取值范围为[8, 4√5]，综上，l 的取值范围为[6, 4√5]． 19. 解：（1）由题意得，m >8−m >0，解得4<m <8，所以实数m 的取值范围是(4, 8)；（2）因为m =6，所以椭圆C 的方程为x 26+y 22=1，①设点P 坐标为(x, y)，则x 26+y 22=1，因为点M 的坐标为(1, 0)，所以PM 2=(x −1)2+y 2=x 2−2x +1+2−x 23=23x 2−2x +3=23(x −32)2+32，x ∈[−√6，√6]，所以当x =32时，PM 的最小值为√62，此时对应的点P 坐标为(32,±√52)；②由a 2=6，b 2=2，得c 2=4，即c =2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2, 0)，右准线方程为x =3，离心率e =√63，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AB 的中点H(x 0, y 0)，则x 126+y 122=1，x 226+y 222=1，两式相减得，x 12−x 226+y 12−y 222=0，即k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−x3y 0，令k =k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y −y 0=−1k (x −x 0)，令y =0，则x N =ky 0+x 0=23x 0，因为F(2, 0)，所以FN =|x N −2|=23|x 0−3|，因为AB =AF +BF =e(3−x 1)+e(3−x 2)=2√63|x 0−3|．故ABFN =2√63×32=√6，即ABFN 为定值√6．20. 解：设等差数列{a n }的公差为d ，（1）由于S n =na 1+n(n−1)2d ，从而S nn =a 1+n−12d ，所以当n ≥2时，S n n−S n−1n−1=(a 1+n−12d)−(a 1+n−22d)=d 2，即数列{Snn }是等差数列．（2）∵ 对任意正整数n ，k(n >k)，都有√S n+k +√S n−k =2√S n 成立， ∴ √S n+1+√S n−1=2√S n ，即数列{√S n }是等差数列，设其公差为t ，则√S n =√S 1+(n −1)t =1+(n −1)t ，所以S n =[1+(n −1)t]2，所以当n ≥2时，a n =S n −S n−1=[1+(n −1)t]2−[1+(n −2)t]2=2t 2n −3t 2+2t ，又由等差数列{a n }中，a 2−a 1=a 3−a 2，即(4t 2−3t 2+2t)−1=(6t 2−3t 2+2t)−(4t 2−3t 2+2t)所以t =1，即a n =2n −1．（3）由于a n =a 1+(n −1)d ，b n =a a n ，则b n+1b n=a a n+1−a n =a d ，即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列，记其公比是q(q >0)．以下证明：b 1+b n ≥b p +b k ，其中p ，k 为正整数，且p +k =1+n ．∵ (b 1+b n )−(b p +b k )=b 1+b 1q n−1−b 1q p−1−b 1q k−1=b 1(q p−1−1)(q k−1−1)，当q >1时，因为y =q x 为增函数，p −1≥0，k −1≥0， ∴ q p−1−1≥0，q k−1−1≥0，∴ b 1+b n ≥b p +b k ；当q =1时，b 1+b n =b p +b k ；当q =1时，因为y =q x 为减函数，p −1≥0，k −1≥0， ∴ q p−1−1≤0，q k−1−1≤0，∴ b 1+b n ≥b p +b k ，综上：b 1+b n ≥b p +b k ，其中p ，k 为正整数，且p +k =1+n ．∴ n(b 1+b n )=(b 1+b n )+(b 1+b n )+…(b 1+b n )≥(b 1+b n )+(b 2+b n−1)+…(b n +b 1) =(b 1+b 2+...+b n )+(b n +b n−1+...+b 1)，即b 1+b 2+⋯+b nn≤b 1+b n 2．21. 解：（1）如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则BF ⊥AC ．以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则A(0, 0, 0)，B(√3, 1, 0)，C(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)，E(0, 1, 1)∴ PB →=(√3, 1, −2)，AE →=(0, 1, 1)设直线AE 、PB 所成的角为θ，则cosθ=||PB →|⋅|AE →|˙|=14 即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14；（2）设PA =a ，则P(0, 0, a)，可得PB →=(√3, 1, −a)，PC →=(0, 2, −a)设平面PBC 的法向量为n 1→=(x, y, z)，则n 1→⋅PB →=0且n 1→⋅PC →=0∴ {√3x +y −az =02y −az =0，令z =2，得y =a ，x =√33．可得n 1→=(√33a, a, 2)是平面PBC 的一个法向量 ∵ D 、E 分别为PB 、PC 中点，∴ D(√32, 12, a2)，E(0, 1, a 2) 因此，AD →=(√32, 12, a2)，AE →=(0, 1, a 2)，类似求平面PBC 法向量n 1→的方法，可得平面ADE 的一个法向量n 2→=(−√33a, −a, 2) ∵ 平面ADE ⊥平面PBC ，∴ n 1→⊥n 2→，可得n 1→⋅n 2→=−13a 2−a 2+4=0，解之得a =√3因此，线段PA 的长等于√3．22. 解：（1）棋子在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点，棋子从A 出发．由3条路径，所以p 1=23．棋子移动两次，还在上底面时，有两种可能，p 2=23×23+13(1−23)=59．（2）因为移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率为p n ．故落在下底面顶点的概率为1−p n ．于是，移了n +1次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n+1=23p n +13(1−p n )=13p n +13，从而p n+1−12=13(p n −12)，所以数列{p n −12}是等比数列，首项为16公比为13，所以p n −12=16×(13)n−1，用数学归纳法证明：∑14p i−1n i=1>n 2n+1．①当n =1时左式=14×23−1=35，右式=12，因为35>12，所以不等式成立．当n =2时，左式=14×23−1+14×59−1=7855，右式=43，所以不等式成立；②假设n =k(k ≥2)不等式成立，即∑14p i −1k i=1>k 2k+1．则n =k +1时，左式=∑14p i−1k i=1+14pk+1−1>k 2k+1+14(12+12×13k+1)−1=k 2k+1+3k+13k+1+2，要证k 2k+1+3k+13k+1+2≥(k+1)2k+2，只要证3k+13k+1+2≥(k+1)2k+2−k 2k+1，即证：3k+13k+1+2≥k 2+3k+1k 2+3k+2，只要证23k+1≤1k 2+3k+1，只要证3k+1≥2k 2+6k +2，因为k ≥2，所以3k+1=3(1+2)k ≥3(1+2k +4C k 2)=6k 2+3=2k 2+6k +2+2k(2k −3)+1>2k 2+6k +2 所以k 2k+1+3k+13k+1+2≥(k+1)2k+2，即n =k +1时不等式也成立，由①②可知∑14p i−1n i=1>n 2n+1对任意n ∈N ∗都成立．23. 解：如图所示，延长PO 交⊙O 于D 点，连接AO ，BO ，AB 交OP 于点E ． ∵ PA 与⊙O 相切，∴ PA 2=PC ⋅PD ．设⊙O 的半径为R ，∵ PA =12，PC =6． ∴ 122=6(6+2R)，解得R =9．∵ PA ，PB 与⊙O 都相切，∴ PA =PB ．又∵ OA =OB ，∴ OP 垂直平分AB ．即OP ⊥AB ，AB =2OE ．在Rt △OAP 中，12OA ⋅AP =12OP ⋅AE ． ∴ AE =9×126+9=365．∴ AB =725．24. 解：（1）由已知得M [1′1′]=[0′2′]，即[1a b 1][1′1′]=[0′2′]，∴ {1+a =0b +1=2 ∴ {a =−1b =1．（2）设点P(x ′, y ′)是曲线C:xy =1上的任意一点，变换后的点为P ′(x, y)则[1−111][x′′y′′]=[x′y′]，即{x′−y′=x x′+y′=y ，解得{x′=x+y 2y′=y−x 2，因为x′y′=1，所以y+x 2×y−x 2=1，即y 24−x 24=1．即曲线C′的方程为y 24−x 24=1．25. 解：圆C 的直角坐标方程为(x −√3)2+(y −1)2=4．…点M 的直角坐标为(3√3, 3)，当直线l 的斜率不存在时，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为；y −3=k(x −3√3)，圆心到直线的距离为r =2，…因为圆心到直线l 的距离d =√3k−2|√k 2+1=2，所以k =0或k =√3．故所求直线的方程为y =3或√3x −y −6=0，其极坐标方程为ρsinθ=3或ρsin(π3−θ)=3…26. 解：原不等式转化为：{x ≥4x 2−4x −3<0或{x <4x 2−x +3>0解得{x ≥42−√7<x <2+√7或{x <4x <1或x >3即4≤x <2+√7或3<x <4或x <1．综上不等式的解集为：{x|x <1或3<x <2+√7}．。

南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试英语(南京三模)含答案(校对版)

南京市、盐城市2013届高三年级第三次模拟考试英语2013.05 本试卷分选择题和非选择题两部分。

共120分。

考试用时120分钟。

注意事项：答题前，考生务必将0己的学校、姓名、考试号写在答题卡上。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一部分：听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）请听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. When can Mr. Jones see the man?A. At 10: 00 a. m.B. At 3: 40 p. m.C. At 4:00 p.m.2. What does the woman suggest the man should do?A. Go to work by bike.B. Get up earlier in the morning.C. Watch out for the bikes in the street.3. Who is Kristen?A. The man‘s wife.B. The man‘s sister.C. The woman‘s sister-in-law4. What is the weather 1ike now?A. Hot and wet.B. Rainy and cold.C. Sunny and dry5. Where does the conversation probably take place?A. On the plane.B. At the airport.C. At the railway station第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独自。

2013年高三语文三模试卷(南京市、盐城市有答案)

2013年高三语文三模试卷（南京市、盐城市有答案）江苏省南京市、盐城市2013届高三年级第三次模拟考试语文试题一、语言文字运用（15分） 1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是（3分） A. 弹劾／檀香木讷／方枘圆凿呼天抢地／强词夺理 B. 熨帖／愠怒桑梓／莘莘学子自给自足／人才济济C. 裨益／毗连唆使／逡巡不前挑拨是非／调嘴弄舌 D. 棱角／聆听辜负／沽名钓誉危如累卵／自吹自擂 2．下列表意明确无误的一句是（3分） A．NBA市场上猎头动作快，大牌球员几乎被瓜分殆尽。

B．交大面试以开放式问答的方式考查学生思辨能力和创新潜质。

C．无票人员和车站工作人员持公务票未经签证严禁上车。

D．中国军团在2012年伦敦奥运会囊括金牌38枚，仅次于美国。

3．根据下面的一段文字，指出3D 打印所面临的问题。

（不超过20字）（5分）以3D打印为代表的数字化制造技术，被认为是引发第三次工业革命的关键因素。

3D打印不需要模具，可以直接进行样品原型制造，因而大大缩短了从图纸到实物的时间。

但目前的3D打印机只能处理诸如塑料和蜡这样的软材料，而要打印混凝土结构的大型模具，它完成的速度太慢了。

随之而来的是伦理争议，例如国外有人就希望通过3D打印自制枪械。

另外，只要有图纸和一台打印机，设计师们就很难保护他们的劳动成果。

▲ 4．仔细阅读下面的漫画，在横线处填上合适的话。

（4分）二、文言文阅读（19分）阅读下面的文言文，完成5―8题。

梅长公传钱谦益公讳之焕，字长公，黄之麻城人。

其先，宋宛陵先生后也。

公十岁丧父，从其母刘，居东山之沈庄，日课书盈寸。

倜傥雄俊，异于凡儿。

年十四，为诸生。

台使者按部阅武，骑马横绝教场，使者怒，命与材官角射，执弓腰矢，射九发连九中，中辄一军大呼以笑。

长揖上马径去，使者不怿而罢。

万历癸卯，与应山人杨涟同举于乡，以功名节义相期许，盱衡�W掌，视举世无如也。

甲辰举进士，选翰林院庶吉士。

高阳孙少师以史官同馆，性严重，不可一世士，独推重公。

南京市、盐城市2013届高三年级第三次模拟考试语文三模答案_解读

盐城市2013届高三年级第三次模拟考试语文答案一、语言文字运用（15分）1．C (A tán/tán,nè/ruì, qiāng/qiǎng；B yù/yùn, zǐ/shēn, jǐ/jǐ；C bì/pí, suō/qūn, tiǎo/tiáo；D léng/líng, gū/gū, lěi/léi2．B(A语义重复，C有歧义，D自相矛盾3．材料限制伦理争议法律纠纷（“伦理争议”1分，“材料限制”和“法律纠纷”各2分）4.示例：狐狸：如今干什么都得有靠山！兔子：凡事都要给自己留条后路！（每句2分，内容和形式各1分）二、文言文阅读（19分）5.B（依附）6. C（介词，用。

A介词，跟/比。

B连词，修饰/顺承。

D介词，替/向）7. D（袁八老俯首谢罪，不是在潮州，是在登州）8．（1）梅公不满当时的朝政，慷慨激昂想要有所作为。

（“扼腕”“慨然”“建置”各1分）（2）你是想自己的儿子出来自首讨一条活路呢，还是想让他躲起来（直到被抓）判死罪呢？（“其”“抑”各1分，“出而生”“匿而死”各1分）（3）梅公是文人，不熟习军事，但他竟然被大海盗如此地敬畏服从。

（“便”“剧”各 1分，被动句式1分）附参考译文梅公名之焕，字长公，黄州麻城人。

他的祖先，是宋朝宛陵先生（梅尧臣）的后人。

梅公十岁时父亲去世，跟随他的母亲刘氏住在东山的沈庄，每天研习的书文（摞在一起）超过一寸厚。

为人洒脱，英武雄壮，不同于普通的孩子。

十四岁时就成为生员。

某台使巡视部属，正在讲习武事，梅公骑马横穿教场，使者大怒，命令梅公与武士比赛射箭。

梅公手持弓，腰佩箭，九发连中。

每射中一次整个军队总是大呼而笑，梅公作了个长揖后上马径自离开。

使者虽不高兴也只好作罢。

万历癸卯年，梅公与应山人杨涟参加乡试一同中举，二人用功名节义来相互勉励，扬眉举目，击掌而谈，认为世上没人能比得上他们。

【中国教育出版网精品解析】南京市、盐城市2013届高三年级第三次模拟考试英语

南京市、盐城市2013届高三年级第三次模拟考试英语试题和解析第一部分听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题：每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. When can Mr. Jones see the man?A. At 10: 00 a. m.B. At 3: 40 p. m.C. At 4:00 p.m.2. What does the woman suggest the man should do?A. Go to work by bike.B. Get up earlier in the morning.C. Watch out for the bikes in the street.3. Who is Kristen?A. The man‟s wi fe.B. The man‟s sister.C. The woman‟s sister-in-law4. What is the weather 1ike now?A. Hot and wet.B. Rainy and cold.C. Sunny and dry5. Where does the conversation probably take place?A. On the plane.B. At the airport.C. At the railway station第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独自。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独自前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

江苏省南京、盐城市2013届高三地理第三次模拟考试试题(含解析)新人教版

XX 省XX 、XX 市2013届高三地理第三次模拟考试试题（含解析）新人教版一、选择题（共60分）（一）单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共计36分。

在下列各小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

读“6月某日，M 、P 两地的太阳高度角示意图”（图1），完成1-2题。

1．关于两地方向的判断正确的是（）A ．M 在Ｐ东南方向B ．M 在Ｐ西北方向C ．M 在Ｐ东北方向D ．M 在Ｐ西南方向2．关于图中Ｍ、Ｐ两地共同点的叙述，最有可能的是（）A ．区时相同B ．同在西半球C ．线速度相同D ．同在大陆西侧第二届青奥会将于2014年8月16日-28日在XX 举行。

图2为“新栽树木遮阳网示意图”。

据此回答3-4题。

3．此时段XX 可能出现的天气及其影响是（）A ．连续不断的对流雨图212:0024:00时间4:00图1B．持续的高温天气C．冷锋过境出现寒潮D．反气旋发展成台风4．在此季节，XX园林工人一般会给新栽大树覆盖黑色尼龙网（如图2），其目的是（）A．增加大气逆辐射，提高夜间温度B．阻止地面辐射，防止夜间温度过低C．增强地面辐射，提高树木存活率D．削弱太阳辐射，减少树木水分蒸腾读世界部分地区简图（图3），完成5-6题。

北极圈图35．有关甲、乙洋流的说法，正确的是（）A．甲洋流所在环流系统呈逆时针方向流动B．乙洋流因受东北信风影响，形成上升流C．甲洋流增加了沿岸温度，形成森林景观D．乙洋流降低了沿岸湿度，形成荒漠景观6．当P处的气压值达一年中最小值时（）A．我国华北平原正值小麦越冬期B．地中海地区正值水稻收割期C．美国的玉米带正值播种时节D．我国长江流域油菜正值花开期图4中实线和虚线表示自然状态下某河流两个不同时期的河岸线。

读图完成7-8题。

7．下列叙述正确的是（）A ．实线河岸形成时间早于虚线河岸B ．河岸的变迁只与地转偏向力有关C ．甲乙丙三处，甲处侵蚀作用最强D ．甲乙丙三处，乙处以堆积作用为主8．若图示河段形成“地上河”，其成因不可能是（）A ．河道弯曲，水流不畅B ．防御洪涝，人工修堤C ．中上游植被破坏，水土流失D ．地壳断裂，局部抬升图5为“XX （25°01′N，海拔1891m ）与吐鲁番(42°56′N，海拔34m)日均温≥10℃持续期和积温（气温≥10℃持续期间日平均气温的总和）相关数据示意图”。

2013年江苏省南京市、盐城市高考物理三模试卷

2013年江苏省南京市、盐城市高考物理三模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(本大题共8小题，共27.0分)1.如图所示，物体A和B的重力分别为9N和4N，不计弹簧秤和细线的重力和一切摩擦，则弹簧秤的读数为（）A.0NB.4NC.5ND.9N【答案】B【解析】解：以A为研究对象，分析A受力情况：重力，细线的拉力和地面的支持力，细线的拉力小于A的重力，A静止在地面上，则B也静止，细线的拉力等于B的重力，又弹簧秤的读数等于细线的拉力，所以弹簧秤的读数为4N．故选B弹簧秤的读数显示弹簧称受到的拉力．以A为研究对象，分析A受力情况：重力，细线的拉力和地面的支持力而静止．B物体也静止，细线的拉力等于B的重力．弹簧秤的读数等于细线的拉力．本题是基础题，要分析两物体的状态，静止时细线的拉力才等于B的重力．2.如图，MN是流速稳定的河流，河宽一定，小船在静水中的速度为V．现小船自A点渡河，第一次船头沿AB方向，到达对岸的D处；第二次船头沿AC方向，到达对岸E处，若AB与AC跟河岸垂线AD的夹角相等，两次航行的时间分别为t B、t C，则（）A.t B＞t CB.t B＜t CC.t B=t CD.无法比较t B与t C的大小【答案】C【解析】解：设合速度沿AB方向上的静水速为v1，设合速度沿AC方向上的静水速为v2，根据平行四边形定则知，v1与河岸的夹角等于于v2与河岸的夹角，因为静水速不变，则v1在垂直于河岸方向上的速度等于v2垂直于河岸方向上的速度，根据等时性知，t B=t C．故C正确，A、B、D错误．故选C．根据合速度的方向，通过平行四边形定则确定静水速的方向，然后将静水速沿河岸方向和垂直于河岸方向分解，通过等时性比较渡河的时间．解决本题的关键是比较静水速垂直于河岸方向分速度的大小，根据等时性进行比较．3.如图所示的电路中，R1、R2、R3是定值电阻，R4是光敏电阻，其阻值随光照的强度增强而减小．开关S闭合且无光照射，电容器C不带电，当用强光照射R4，待电路稳定后，与无光照射时比较（）A.通过R4的电流变小B.电源提供的总功率变小C.电源的路端电压增大D.电容器C的下极板带正电【答案】D【解析】解：A、C、因有光照射时，光敏电阻的阻值减小，故总电阻减小；由闭合电路的欧姆定律可知，干路电路中电流增大，由E=U+I r可知路端电压减小；R1与R2支路中电阻不变，故该支路中的电流减小；则由并联电路的电流规律可知，另一支路中电流增大，即通过R2的电流减小，而通过R4的电流增大；故A错误，C错误；B、当电源内外电阻相同时，电源输出功率最大，由于各个电阻与电源内阻的关系不明，故无法判断电源提供的总功率的变化情况，故B错误；D、当没有光照时，C不带电说明C所接两点电势相等，以电源正极为参考点，R1上的分压减小，而R3上的分压增大，故上极板所接处的电势低于下极板的电势，故下极板带正电，故D正确；故选D．容在电路稳定时可看作开路，故由图可知，R1、R2串联后与R3、R4并联，当有光照射时，光敏电阻的阻值减小，由闭合电路欧姆定律可得出电路中总电流的变化及路端电压的变化，再分析外电路即可得出C两端电势的变化，从而得出电容器极板带电情况；同理也可得出各电阻上电流的变化．本题为含容电路与电路动态分析问题的综合，解题时要明确电路稳定时电容器相当于开路，可不考虑；电容器正极板的电势高于负极板，故高电势的极板上一定带正电．在分析电容带电问题上也可以电源负极为零电势点分析两点的电势高低．4.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其角速度大小为ω．假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F0．已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：行星表面的重力加速度g=．根据万有引力等于重力得，，解得M=根据万有引力提供向心力有：，联立万有引力等于重力得，g=Rω2，则R=所以M=．故A正确，B、C、D错误．故选A．根据弹簧测力计的读数求出行星表面的重力加速度，根据万有引力提供向心力求出行星的质量．解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．5.如图所示，分别在M、N两点固定放置两个点电荷，电荷量均为+Q，MN连线的中点为O．正方形ABCD以O点为中心，E、F、G、H是正方形四边的中点，则下列说法正确的是（）A.点电势低于B点电势B.正点电荷沿直线从G到H，电势能先增大后减小C.O点的电场强度为零，电势也为零D.沿路径A→C→D比沿路径A→B移动同一负点电荷，电场力做的功多【答案】B【解析】解：A、等量同种电荷等势面对称性可知，A点与B点的电势相等．故A错误．B、正电荷从G到H，电势先升高后降低，则电势能先增大后减小．故B正确．C、根据对称性，O点场强为零，由于零电势点不知道，无法确定O点的电势，故C错误．D、根据对称性，U AD=U AB，同一负点电荷，沿路径A→C→D比沿A→B电场力做的功一样多．故D错误．故选：B根据等量同种电荷等势面分布情况，判断出A与B电势相等，高于G点；O点电场强度为0，电势零点不确定，无法确定O点电势；根据U AD=U AB，可判断A→C→D与A→B 电场力做功一样多．掌握等量同种电荷、异种电荷电场线、等势面的分布情况，对解答这类问题至关重要，紧扣对称性是常用方法．6.某同学为了验证断电自感现象，找来带铁心的线圈L、小灯泡A、开关S和电池组E，用导线将它们连接成如图所示的电路．检査电路后，闭合开关S，小灯泡发光；再断开开关S，小灯泡仅有不显著的延时熄灭现象．虽经多次重复，仍未见老师演示时出现的小灯泡闪亮现象，可能的原因是（）A.电源的内阻偏大B.线圈电阻偏大C.小灯泡电阻偏大D.线圈的自感系数偏小【答案】BD【解析】解：A、开关断开开关时，灯泡能否发生闪亮，取决于灯泡的电流有没有增大，与电源的内阻无关．故A错误．B、线圈电阻偏大，稳定时流过灯泡的电流大于线圈的电流，断开开关时，根据楞次定律，流过灯泡的电流从线圈原来的电流逐渐减小，灯泡不发生闪亮现象．故B正确．C、若小灯泡电阻偏大，稳定时流过灯泡的电流小于线圈的电流，断开开关时，根据楞次定律，流过灯泡的电流从线圈原来的电流逐渐减小，灯泡将发生闪亮现象．故C错误．D、线圈的自感系数较大，产生的自感电动势较大，但不能改变稳定时灯泡和线圈中电流的大小．故D正确．故选BD．线圈与小灯泡并连接电池组上．要使灯泡发生闪亮，断开开关时，流过灯泡的电流要比以前的电流大．根据楞次定律和并联的特点分析．自感现象是特殊的电磁感应现象，根据楞次定律分析要使实验现象明显的条件：线圈的电阻应小于灯泡的电阻．7.我国“蛟龙号”深潜器经过多次试验，终于在2012年6月24日以7020m深度创下世界最新纪录（国外最深不超过6500m），这预示着它可以征服全球99.8%的海底世界．在某次实验中，深潜器内的显示屏上显示出的深度曲线如图a所示、速度图象如图b所示，则下列说法中正确的是（）A.图中h3是本次实验下潜的最大深度B.本次实验中深潜器的最大加速度是0.025m/s2C.超重现象发生在3～4min和6～8min的时间段内D.在6～10min吋间段内深潜器的平均速度为0【答案】AC【解析】解：A、（a）图是深度曲线，图中h3代表本次最大深度，是6min时到达的，故A正确．B、由图b的斜率表示加速度，则在0-1min和3-4min时间内的加速度最大，最大加速度大小是a==m/s2=0.033m/s2，故B错误C、3～4min内减速下降和6～8min加速上升均会出现超重现象，故C正确．D、在6～10min吋间段内位移等于图象的面积，可以看出位移不等于零，则平均速度也不为零．故D错误．故选AC本题要看懂速度图象和深度图象意义，蛟龙号先加速下沉，后匀速下称后减速下沉，在某深度停留2min，而后加速上升，后减速上升至水面，而后逐项依次分析即可．看懂图象是解题的关键，此外要明白超重的实质等，考查较为广泛，是道好题8.如图所示，理想变压器原副线圈匝数之比为n1：n2=22：1，原线圈接在电压为U0=220V的正弦式交流电源上，副线圈连接理想电压表V、交流电流表A、理想二极管D和电容器C．则（）A.电压表的示数为10VB.电容器不断地充电和放电，电量不断变化C.稳定后电流表的读数为零D.稳定后电容器两极板间电势差始终为V【答案】ACD【解析】解：A、根据电压与匝数成反比可知，副线圈的电压为10V，所以A正确．B、在电路没有稳定之前，由于二极管的作用，只有正向的电流可以通过，在电路稳定之后，由于电容器的隔直流的作用，就没有电流通过了，所以电容器不会反复的充电和放电，所以B错误．C、根据B的分析可知，C正确．D、电容器两极板间电势差为副线圈的最大的电压，即为V，所以D正确．故选：ACD．由电压与匝数成反比可以求得副线圈的电压的大小，二极管的作用是指允许正向的电流通过，电容器的作用是通交流隔直流．本题需要掌握变压器的电压之比和匝数比之间的关系，同时对于二极管和电容器的作用要了解．二、多选题(本大题共1小题，共4.0分)9.如图所示，A、B两小球用轻杆连接，竖直放置．由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽运动，B球沿水平光滑槽运动．则在A球到达底端前（）A.A球做匀加速直线运动B.轻杆对A球做负功，对B球做正功C.A球到达竖直槽底端时B球的速度为零D.A球的机械能最小时轻杆对B球的作用力为零【答案】CD【解析】解：A、A球到达竖直槽底端时受到重力和轻杆向右的拉力，合力斜向右下方，加速度也斜向右下方，而在到达竖直槽底端前A的加速度是竖直方向，说明A的加速度是变化，不可能做匀加速运动．故A错误．B、C，A球到达竖直槽底端瞬间，A的速度方向竖直向下，则B球的速度为零．B的动能开始是0，最终还是0，则B的动能先增大后减小，系统机械能守恒，所以A球的机械能先减小后增大．则轻杆对A先做负功再做正功，对B球先做正功再做负功．故B 错误，C正确；D．A球的机械能最小时，B的机械能最大，这是一个瞬间状态，是轻杆对B做负功和正功的临界点，所以作用力为0，故D正确．故选CD．A分析球到达竖直槽底端时受力情况，判断加速度的方向，根据加速度是否变化，判断A球的运动情况．受到重力和轻杆向右的拉力，杆刚水平时，A球的速度是竖直方向的，B球的速度为0．根据系统机械能守恒，A的机械能转化为B的动能，B的动能开始是0，最终还是0，所以A球的机械能先减小后增大．最终，A球以一定的竖直速度撞击横槽．该题突破口是系统机械能守恒（墙和地对球的弹力不做功），由绳物模型可知，B的速度沿杆方向的分速度等于杆的速度，越向下运动杆的速度越小，当A刚要到地面时杆的速度为零．即B的速度为零．三、实验题探究题(本大题共2小题，共18.0分)10.某同学按图a做“探究小车速度随时间变化的规律”实验．（1）图中仪器A叫______ ，释放小车前，小车停在______ （选填“靠近”、“远离”）仪器A的位置．（2）实验中得到一条纸带，如图b所示．图中相邻两个计数点时间间隔为0.10s，相邻的两个连续计数点间距依次为S1=1.00cm、S2=2.78cm、S3=4.55cm、S4=6.35cm、S5=8.10cm、S6=9.93cm；则小车的加速度是______ m/s2，在打计数点2时小车运动的速度是______ m/s．（计算保留3位有效数字）（3）仪器A使用的电源频率低于50赫兹时，若仍按相邻两个计数点时间间隔为0.10s 计算，则测出的速度值比物体的实际速度______ （选填“偏大”、“不变”或“偏小”）．【答案】打点计时器；靠近；1.78；0.367；偏大【解析】解：（1）“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，图中A仪器为打点计时器，为了在纸带上打更多的点，释放小车前，小车应该停在靠近打点计时器的位置．（2）根据匀变速直线运动的推论公式△x=a T2可以求出加速度的大小，得：x4-x1=3a1T2x5-x2=3a2T2x6-x3=a3T2为了更加准确的求解加速度，我们对三个加速度取平均值，有：a=在该题中即为：a=，代入数据解得：a≈1.78m/s2据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度，可得：（3）电源频率低于低于50H z时，实际打点周期将变大，而进行计算时，仍然用0.10s，因此测出的速度数值将比物体的真实数值大．故答案为（1）打点计时器，靠近；（2）1.78，0.367；（3）偏大．（1）明确打点计时器的构造和原理以及熟练应用打点计时器即可正确解答该题；（2）根据匀变速直线运动的推论公式△x=a T2可以求出加速度的大小，根据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度，可以求出打纸带上2点时小车的瞬时速度大小．（3）要知道打点计时器的打点频率和周期的含义和关系，即可判断测出的速度值与物体的实际速度之间的关系．对于基本实验仪器，要会正确使用，了解其工作原理，为将来具体实验打好基础，对于实验装置和工作原理，我们不仅从理论上学习它，还要从实践上去了解它，自己动手去做做．11.某课题小组在测量电源电动势E和内阻r的实验中．（1）用如图1所示的电路，测量得到下表数据，请在如图2所示的坐标图中描绘U-R 图象．实验数据表格（2）某同学将上述图象进行适当的坐标变换后，图线成了一次函数图象，其中横轴表示，则纵轴表示的是______ ，此一次函数图线斜率表示的物理意义是______ ．（3）在测量中，另一小组由于所选电源是两节干电池（干电池正常工作时允许流过的电流不能大于0.3A），电路在满足电流条件时，电压表示数总是大于1.5V．为了能测出从0到1.5V范围内U的不同值，他们经过讨论，对（1）中的电路进行了改进，完成了实验，请你在如图3所示的虚线框中画出改进后的电路图．【答案】；电源的内电阻和电动势的比值【解析】解：（1）根据电压表和电阻箱的读数描点作图，用平滑曲线连接，如图所示．（2）根据E=U+得，，因为成线性关系，所以纵轴表示，图线的斜率表示电源的内电阻和电动势的比值．（3）由于电路中的电流I=，在电流较小的条件下，R的值就取得较大，又从（2）解中知电压表示数，U在R值较大时总是比较大，是电源内阻较小所致，故要改进，应该让电源的内阻增大．电路改造如图所示，图中R0相当于增大了电源的内阻．故答案为：（1）如图所示．（2），电源的内电阻和电动势的比值．（3）如图所示．（1）根据电阻箱和电压表的值描点作图．（2）根据测量电源电动势和内电阻的原理E=U+推导出的表达式，通过斜率和截距得出表示的物理意义．（3）为了保护电压表，需与电源串联一个定值电阻起分压作用，相当于电源的内阻增大．解决本题的关键知道实验原理，本实验通过伏阻法测量电源的电动势和内阻，以及掌握用图象法测量电动势和内电阻．四、计算题(本大题共6小题，共81.0分)12.（选修3-3）（1）以下说法正确的是______ ．A．分子间距越大，分子力越小，分子势能越大B．布朗运动不能反映液体分于的热运动C．单晶体中原子（或分子、离子）的排列都具有空间上的周期性）．D．当液晶中的电场强度不同时，液晶显示器就能显示各种颜色（2）一定质量理想气体的压强P随体积V的变化过程如图所示．已知状态A的温度是300K则状态B的温度是______ K．在BC过程中气体将______ ，（选填“吸热”、“放热”）．（3）1mol某种理想气体的质量和体积分别为M A和V A，每个气体分子的质量为m0，求：①阿伏加德罗常数N A；②该气体分子间的平均距离．【答案】CD；900K；放热【解析】解：（1）A、当分子力表现为引力时，分子间距越大，分子力先越大后越小，分子势能越大；当分子力表现为斥力时，分子间距越大，分子力越小，分子势能越小；故A错误．B、布朗运动是由液体分子碰撞引起的，所以布朗运动反映了液体分子的热运动．故B 错误．C、单晶体中原子（或分子、离子）的排列是规则的，这样才表现为各向异性的．故C 正确．D、液晶具有各向异性，当液晶中的电场强度不同时，液晶显示器就能显示各种颜色．故D正确．故选CD（2）气体从A到B过程，发生了等压变化，根据盖•吕萨克定律得：=代入解得，T B==900K在BC过程中，PV减小，则气体的温度降低，而一定质量理想气体的内能只跟温度有关，温度降低，则内能减小．体积减小，外界对气体做功，则根据热力学第一定律△U=Q+W 得知，气体将放热．（3））①根据定义知：阿伏加德罗常数N A=②每个分子占有的体积V占有=故分子间的平均值为d=占有=故答案为：（1）CD；（2）900K，放热．（3）①阿伏加德罗常数N A为．②分子间的平均值为（1）可以根据分子力做功判断分子势能的变化，分子力做正功，分子势能减小，分子力做负功，分子势能增加．布朗运动能反映液体分于的热运动．单晶体中原子（或分子、离子）的排列是规则的．当液晶中的电场强度不同时，液晶显示器就能显示各种颜色．（2）气体从A到B过程，发生了等压变化，根据盖•吕萨克定律求状态B的温度．一定质量理想气体的内能只跟温度有关，温度降低，内能减小．根据热力学第一定律分析吸热或放热情况．（3）①1mol任何物质所含有的微粒数目即为阿伏加德罗常数N A，可由气体的质量和每个分子质量之比求N A．②将气体分子占据的空间看成正方体形，求出每个分子占有的体积，其边长就等于分子间的距离．根据P-V图象，分析气体做什么变化，应用盖•吕萨克定律求出气体的体积，判断气体是吸热还是放热，要注意热力学第一定律的应用．13.（选修3-4）（1）下列说法中正确的是______ ．A．太阳能真空玻璃管采用镀膜技术增加透射光，这是利用了光的干涉原理B．在受迫振动中，驱动力的频率不一定等于物体的固有频率C．拍摄玻璃橱窗内的物品时，要在镜头前加装一个偏振片以增加透射光的强度D．宇航员驾驶宇宙飞船以接近光速经过地球时，地球上的人观察到飞船上的时钟变快（2）一列沿着X轴正方向传播的横波，在t=0时刻的波形如图甲所示．图甲中某质点的振动图象如图乙所示．该波的波速为______ m/s，甲图中的质点L从图示位置第二次到波峰的时间是______ s．（3）如图丙，直角三棱镜∠ACB=30°，玻璃的折射率为1.5，一束单色光从AB边的某一点垂直AB射入棱镜．①画出光从入射到最先射出棱镜的光路图；②计算光从棱镜中最先射出时的折射角．【答案】AB；0.5；5【解析】解：（1）A、太阳能真空玻璃管采用镀膜技术增加透射光，这是利用了光的干涉原理．故A正确．B、在受迫振动中，物体振动的频率等于驱动力的频率，与固有频率不一定相等．故B 正确．C、拍摄玻璃橱窗内的物品时，要在镜头前加装一个偏振片以减弱透射光的强度．故C 错误．D、宇航员驾驶宇宙飞船以接近光速经过地球时，根据时间的相对性，，知时间间隔变长，地球上的人观察到飞船上的时钟变慢．故D错误．故选AB．（2）从波动图象可知，波长λ=2.0m，从振动图象可知，周期T=4s，则波速v=．波沿x轴正方向传播，根据上下坡法，质点L向上振动，经过个周期到达波峰，所以第二次到达波峰经历的时间t=．（3）①作出光路图，如图．光射到BC面上的入射角为60°，大于临界角C=故在BC面上发生全反射．射向AC面，其入射角为30°，小于临界角．故能从AC边最先射出．②由n=可解得sini=0.75．故答案为：（1）AB （2）0.5，5（3）如图所示，sini=0.75．（1）太阳能真空玻璃管采用镀膜技术增加透射光，利用光的干涉；在受迫振动中，振动频率等于驱动力频率，当驱动力频率等于固有频率，发生共振．根据时间的相对性，判断时钟变快还是变慢．（2）根据振动图象得出周期，根据波动图象得出波长，从而根据v=求出波速．根据上下坡法得出L的振动方向，从而确定出质点L第二次到达波峰的时间．（3）根据几何关系比较入射角与临界角的大小，判断是否发生全反射，从而作出光路图．根据折射定律求出光从棱镜中最先射出时的折射角．本题考查了波动和振动、光的折射、光的干涉和偏振等知识点，难度不大，关键要熟悉教材，牢记基本概念和基本规律．14.（选修3-5）（1）下列说法中正确的是______ ．A．某光电管发生光电效应时，如果仅增大入射光的强度，则光电子的最大初动能将增加B．为了解释黑体辐射规律，普朗克提出电磁辐射的能量是量子化的C．经典物理学不能解释原子的稳定性和原子光谱的分立特征D．按照玻尔理论，氢原子辐射出一个光子后，氢原子的电势能增大（2）一个铀核（）放出一个粒子后衰变成钍核（），其衰变方程为______ ，已知静止的铀核、钍核和粒子的质量分别为m1、m2、和m3，真空中的光速为c，上述衰变过程中释放出的核能为______ ．（3）如图所示，质量都为M的A、B船在静水中均以速率v0向右匀速行驶，一质量为m的救生员站在A船的船尾．现救生员以水平速度v，向左跃上B船并相对B船静止，不计水的阻力．救生员跃上B船后，求：①救生员和B船的总动量大小；②A船的速度大小．【答案】BC；U→T h+H e；（m1-m2-m3）c2【解析】解：（1）A、根据光电效应方程E K m=hγ-W0，入射光的频率越大，光电子的最大初动能越大，与入射光的强度无关．故A错误．B、为了解释黑体辐射规律，普朗克提出电磁辐射的能量是量子化的．故B正确．C、经典物理学不能解释原子的稳定性和原子光谱的分立特征．故C正确．D、按照玻尔理论，氢原子辐射出一个光子后，轨道半径减小，电场力做正功，氢原子的电势能．故D错误．故选BC（2）根据质量数守恒和电荷数守恒配平可知，放出的粒子是α粒子，衰变方程为U→T h+H e根据爱因斯坦质能方程求衰变过程中释放出的核能为△E=（m1-m2-m3）c2．（3）①取v0的方向为正方向，救生员跃上B船前救生员的动量为-mv，B船的动量为M v0．根据动量守恒得：救生员跃上B船后总动量为P总=M v0-mv．②救生员和A船组成的系统满足动量守恒，以v0的方向为正方向，则有：（M+m）v0=M v′-mv解得，v′=故答案为：（1）BC（2）U→T h+H e，（m1-m2-m3）c2（3）①救生员和B船的总动量大小是M v0-mv．；②A船的速度大小是．（1）光电子的最大初动能与入射光的强度无关，随着入射光的频率增大而增大．为了解释黑体辐射规律，普朗克提出电磁辐射的能量是量子化的．经典物理学不能解释原子的稳定性和原子光谱的分立特征．按照玻尔理论，氢原子辐射出一个光子后，轨道半径减小，电场力做正功，氢原子的电势能减小．（2）根据质量数守恒和电荷数守恒配平，得出衰变所放出的粒子，即可书写衰变方程．根据爱因斯坦质能方程求衰变过程中释放出的核能．（3）①取v0的方向为正方向，分别列出救生员跃上B船前救生员和B船的动量，即可由动量守恒求出总动量．②根据动量守恒定律求A船的速度大小．本题考查的知识点较多，要在平时的学习中多积累．要熟练掌握光电效应方程E K m=hγ-W0、玻尔理论和动量守恒定律等等知识．难度不大．15.如图所示，AB为一段弯曲轨道，固定在水平桌面上，与水平桌面相切于A点，B点距桌面的高度为h=0.6m，A、B两点间的水平距离为L=0.8m，轨道边缘B处有一轻小定滑轮，一根轻绳两端系着质量分别为m1与m2的物体P、Q，挂在定滑轮两边，P、Q可视为质点，且m1=2.0kg，m2=0.4kg．开始时P、Q均静止，P紧靠B点，P释放后沿弯曲轨道向下运动，运动到A点时轻绳突然断开，断开后P沿水平桌面滑行距离x=1.25m停止．已知P与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.25，g=10m/s2求：（1）P经过A点时的速度大小；（2）P从B到A的过程中Q重力势能的增量；（3）弯曲轨道对P的摩擦力做的功．【答案】解：（1）P在水平轨道上运动过程，根据动能定理得：-μm1gx=0-得：P经过A点时的速度v1==m/s=2.5m/s（2）P由B到A的过程中，Q上升的高度H==1m则P从B到A的过程中Q重力势能的增量△E P=mg H=4J（3）设P经过A点时，Q的运动速度为v2，将速度P的速度v1进行分解如图．则有v2=v1cosα又sinα==0.6，得α=37°对P、Q组成的系统，根据动能定理得：m1gh-m2g H+W f=+代入数据解得，弯曲轨道对P的摩擦力做的功W f=-0.95J．答：（1）P经过A点时的速度大小是2.5m/s；。

【解析版】江苏省南京、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．（5分）（2013•盐城三模）记函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=lg（x﹣1）的定义域为B，则A∩B=（1，3]．
2．（5分）（2013•盐城三模）已知复数z满足（z+1）i=3+5i，其中i为虚数单位，则|z|=5．
=
=
3．（5分）（2013•盐城三模）某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为8．
y=，再利用输出值为
或
4．（5分）（2013•盐城三模）如图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是．
=90
[
=
故答案为：．
5．（5分）（2013•盐城三模）已知函数f （x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω=．
=
==
．
6．（5分）（2013•盐城三模）在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2
张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是．
张卡片，共有
一个偶数和一个奇数，有
张卡片，共有
另一类是一个偶数和一个奇数，有
．
故答案为．
7．（5分）（2013•盐城三模）在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，
=λ，则实数λ的值为2．
根据向量、的坐标，得到=，设•=．而=λ，得到
解：∵==
=﹣=。

[闻道英语]2013届南京,盐城市高三年级第三次模拟考试英语试题解析单选和完形解析

2013年南京盐城第三次质量检测【单选和完形填空解析】主编：周龙明，孙三五总审：章艳，程云满编写人员：贺艳花，乔军钗，阚忠平21. In _________ recent online survey, about 60 percent of the 4,000 participants did not agreewith _______ policy to charge so much import tax.A. the; aB. the; theC. a; theD. a; a21. C。

考查冠词。

解题关键：掌握冠词表特指还是泛指。

从语境可知第1空意为“最近的一项网络调查”，表泛指，要用a；第2空的名词policy有不定式定语修饰，特指“收进口税的政策”，要用the，故此题选C。

【拓展】有后置定语修饰的名词，特指某人/物时用the；指一类事物时用a/an。

试比较：①I’d like to buy a present that is useful but not expensive.②I like the present that was given by Mother.【句意】最近网上的一项调查显示，4000名参与者中大约有60 ％不同意这项收如此之多进口税的政策。

22. —Look! Someone _____ the floor.—Well, it wasn’t me. I went shopping just now.A. had sweptB. has sweptC. was sweepingD. is sweeping22. B。

考查动词时态的用法。

解题关键：抓住时间点、已有动词的时态和理解语境。

Ａ项过去现在完成时；Ｂ项现在完成时；Ｃ项过去进行时；Ｄ项现在进行时。

从时间点“just now”和动词“wasn’t , went shopping”可知“扫地动作已结束”。

根据“Look”可知扫地的动作对现在有影响，要用现在完成时，故选B。

南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)

南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1221． (1， 3]2． 53． 84． 75． 375 66． 107． 28．①④9． 210． 23 311． 212． 2x ＋y － 2＝ 0 13． (12， 17) 14． 2二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解（ 1）方法一：因为 tan α＝ 2，所以sin α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分＝ 2，即 sin α＝ 2cos α．cos α又 sin 2α＋ cos 2α＝1，解得 sin 2α＝4，cos 2α＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分55所以 cos2α＝ cos 2 2α＝－ 3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分α－ sin 5方法二：22α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分因为 cos2α＝ cos α－ sincos 2α－sin 2 α 1－tan 2α4 分＝ sin 2α＋cos 2 α＝tan 2α＋1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 又 tan α＝2，所以 cos2α＝ 12－22＝－ 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2 ＋15（ 2）方法一：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π(0， )．2又 cos2α＝－ 3＜0，故 2α∈(π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分，π) ，sin2α＝ 4．5257 22π由 cos β＝－10 ， β∈ (0， π)，得 sin β＝ 10 ，β∈ (2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4 7 2 3 2 2． ⋯⋯⋯⋯ 12 分所以 sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝×(－10)－(－ ) × ＝－ 255 10又 2α－ β∈π π π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分(－， )，所以 2α－ β＝－．224方法二：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π2tan α4 ．(0， )，tan2α＝2 ＝－321－ tan απ从而 2α∈(2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分由 cos β＝－ 7 2 ， π)，得 sin β＝ 2 π， β∈ (0 10 ，β∈ (2 ， π)，10因此 tan β＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分7－4＋1所以 tan(2α－β)＝tan2α－tan β＝37＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分1＋tan2αtan β411＋(－ 3)× (－ 7)π ππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分又 2α－ β∈ (－， )，所以 2α－ β＝－．2 2 416．证明（ 1）如图，取 BC 的中点 G ，连结 AG ， FG ．C 1A 1因为 F 为 C 1B 的中点，所以 FG∥ 1C 1C ．B 1＝ 2在三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中， A 1A ∥＝ C 1C ，且 E 为 A 1A 的中点，EF所以 FG ＝∥EA ．所以四边形 AEFG 是平行四边形．所以 EF ∥ AG ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分DCAGB（第 16 题）因为 EF 平面 ABC ， AG 平面 ABC ，所以 EF ∥平面 ABC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（ 2）因为在正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中， A 1A ⊥平面 ABC ， BD平面 ABC ，所以 A 1A ⊥ BD ．因为 D 为 AC 的中点， BA ＝ BC ，所以 BD ⊥ AC ．因为 A 1A ∩AC ＝A ， A 1 A 平面 A 1ACC 1 ，AC 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥平面 A 1ACC 1．因为 C 1E 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥C 1E ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分根据题意，可得 EB ＝C 1E ＝ 62 AB ， C 1B ＝ 3AB ，所以 EB 2＋C 1E 2 ＝C 1B 2．从而∠ C 1EB ＝ 90°，即 C 1E ⊥ EB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分因为 BD ∩EB ＝ B ，BD 平面 BDE ， EB 平面 BDE ，所以 C 1E ⊥平面 BDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分17．解（ 1）由题意知， f(x)＝－ 2x ＋ 3＋ lnx ，－ 2x ＋ 1 (x ＞ 0)．2 分所以 f ′(x)＝－ 2＋ 1＝x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x由 f ′(x)＞ 0 得 x ∈ (0，1) ．2所以函数 f( x)的单调增区间为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(0， )．2（ 2）由 f ′(x)＝ mx － m － 2＋ 1，得 f ′(1)＝－ 1，x所以曲线 y ＝ f(x)在点 P(1， 1)处的切线 l 的方程为 y ＝－ x ＋ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由题意得，关于 x 的方程 f(x)＝－ x ＋ 2 有且只有一个解，即关于 x 的方程1 2－ x ＋ 1＋ln x ＝0 有且只有一个解．m(x － 1)2令 g(x)＝12m(x － 1)2－x ＋ 1＋ lnx(x ＞ 0)．2 －(m ＋ 1)x ＋ 1(x ＞ 0)． ⋯⋯⋯⋯⋯8 分则 g ′(x) ＝m(x － 1)－ 1＋ 1＝ mx＝ (x － 1)(mx － 1)xxx①当 0＜ m ＜1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜ x ＜ 1 或 x ＞1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜ x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1)为增函数，在 (1， 1)上为减函数，在 ( 1，＋∞ )上为增函数．mm又 g(1)＝ 0，且当 x →∞时， g(x)→∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 0＜m ＜ 1 不合题意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分②当 m ＝ 1 时， g ′(x)≥ 0， g(x)在 (0，＋∞ )上为增函数，且 g(1) ＝ 0，故 m ＝ 1 符合题意．③当 m ＞ 1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜x ＜ 1 或 x ＞ 1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1) 为增函数，在 ( 1，1) 上为减函数，在 (1，＋∞ )上为增函数．m m又 g(1)＝ 0，且当 x → 0 时， g(x)→－∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 m ＞ 1 不合题意．综上，实数 m 的值为 m ＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18．解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ， AB＝ 8cm， AD ＝ 6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N 分别在边AB， AD 上；②折痕的端点M，N 分别在边AB， CD 上；③折痕的端点M，N 分别在边AD ， BC 上．D C D N C D CN MNA MB A M B A B（情形①）（情形②）（情形③）（ 1）在情形②、③中MN ≥6，故当 l＝ 4 时，折痕必定是情形①．设 AM＝ xcm， AN＝ ycm，则 x2＋ y2＝ 16．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因为 x2＋ y2≥ 2xy，当且仅当x＝ y 时取等号，1所以 S1＝2xy≤ 4，当且仅当x＝y＝ 22时取等号．即 S1的最大值为4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）由题意知，长方形的面积为S＝6× 8＝ 48．因为 S1∶S2＝1∶ 2， S1≤S2，所以 S1＝ 16， S2＝ 32．当折痕是情形①时，设AM＝ xcm， AN＝ ycm，则132．xy＝16，即 y＝x20≤x≤ 8，16由0≤32x≤6，得3≤x≤8．所以 l＝22232216⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x＋ y ＝x＋ 2 ，≤x≤ 8．x3322222)(x－ 4 2) 22× 322(x ＋ 32)(x＋ 4设 f(x)＝x＋x2 ，x＞0，则f′(x)＝2x－x3＝x3，x＞0．故x16162）4 2（ 4 2， 8）83（3，4f ′(x)－0＋f(x)4↘64↗80 649所以 f(x)的取值范围为 [64， 80]，从而 l 的范围是 [8 ，45]；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分当折痕是情形②时，设AM＝ xcm， DN＝ ycm，则1(x＋y)× 6＝ 16，即 y＝16－ x．230≤x≤ 8，得 0≤x≤16．由16所以 l ＝2228 2 16 6 ＋ (x － y)＝ 6 ＋ 4(x － ) ， 0≤x ≤．33所以 l 的范围为 [6，2145 ]； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分31当折痕是情形③时，设BN ＝xcm ，AM ＝ ycm ，则 2(x ＋ y)× 8＝16，即 y ＝ 4－ x ．由 0≤ x ≤ 6，得 0≤ x ≤4．0≤4－ x ≤ 6，所以 l ＝ 82＋ (x － y)2＝ 82＋ 4(x －2) 2， 0≤ x ≤4．所以 l 的取值范围为 [8， 4 5]．综上， l 的取值范围为 [6， 4 5]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分19．解（ 1）由题意得， m ＞ 8－ m ＞ 0，解得 4＜ m ＜ 8．即实数 m 的取值范围是 (4， 8)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分22（ 2）因为 m ＝ 6，所以椭圆 C 的方程为 x ＋y＝ 1．6 2x 2 y 2①设点 P 坐标为（ x ， y ），则 6＋2 ＝ 1．因为点 M 的坐标为（ 1， 0），所以PM 2＝( x －1)2 ＋ y 2＝x 2－ 2x ＋ 1＋ 2－x 2＝2x 2－2x ＋ 33323 2 3 ， x ∈ [－6， 6]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＝(x － ) ＋3 2 2363 5所以当 x ＝ 2时， PM 的最小值为2 ，此时对应的点 P 坐标为（ 2，±2 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由 a 2＝ 6，b 2＝ 2，得 c 2＝ 4，即 c ＝ 2，从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为 (2， 0)，右准线方程为x ＝ 3，离心率 e ＝ 6．3设 A （ x 1， y 1）， B （x 2 ，y 2 ）， AB 的中点 H （ x 0， y 0），则22 22x 1 ＋ y 1 ＝1， x 2 ＋ y 2 ＝1，62622222所以 x 1 － x 2 ＋ y 1－y2＝ 0，即 k AB ＝y 1－y2＝－ x 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯62x 1－ x 2 3y 0令 k ＝ k AB ，则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y － y 0＝－ 1k (x － x 0)．4 分6 分9 分令 y ＝0，则 x N ＝ ky 0＋ x 0＝2x 0．322 6因为 AB ＝ AF ＋ BF ＝ e(3－x 1)＋ e(3－ x 2)＝ 3 | x 0－ 3| ．故 AB ＝ 2 6× 3＝ 6．FN 32即 AB 为定值6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分FN20．解（ 1）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 S n ＝ na 1＋n(n － 1)nn － 1 d ．2d ，从而 S＝ a 1＋2n≥n S n －1n － 1n －2dS －＝ (a ＋＋n 2 2 d)＝n － 11d)－ (a 12即数列 {S n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n } 是等差数列．（ 2）因为对任意正整数n ，k(n ＞k)，都有 S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 成立，所以 S n ＋ 1＋ S n － 1＝ 2 S n ，即数列 { S n } 是等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分设数列 { S n } 的公差为 d 1，则 S n ＝ S 1＋ (n － 1)d 1＝ 1＋ (n －1)d 1，所以 S n ＝[1 ＋(n － 1)d 1] 2，所以当 n ≥2 时，a n ＝ S n － S n － 1＝ [1 ＋( n － 1)d 1] 2－ [1＋ (n －2)d 1] 2＝ 2d 21n － 3d 21＋ 2d 1，因为 { a n } 是等差数列，所以 a 2－ a 1＝ a 3－a 2，即(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－ 1＝ (6d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)，所以 d 1＝1，即 a n ＝ 2n － 1．又当 a n ＝2n － 1 时， S n ＝ n 2， S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 对任意正整数 n ， k(n ＞ k)都成立，因此 a n ＝2n － 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 3）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 a n ＝ a 1＋ (n － 1)d ， b n ＝ a an ，所以b na n －a n － 1db n－1 ＝ a＝ a ，即数列 { b n } 是公比大于 0，首项大于 0 的等比数列． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分记公比为 q(q ＞ 0)．以下证明： b 1＋ b n ≥b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．因为 (b 1＋ b n )－ (b p ＋ b k )＝ b 1＋b 1q n － 1－ b 1q p － 1－b 1q k － 1＝b 1( q p －1－ 1)( q k －1－ 1)．当 q ＞1 时，因为 y ＝ q x 为增函数， p －1≥ 0，k － 1≥ 0，所以 q p －1－ 1≥0， q k －1－ 1≥ 0，所以 b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ．当 q ＝1 时， b 1＋ b n ＝ b p ＋ b k ．当 0＜q ＜ 1 时，因为 y ＝ q x 为减函数， p － 1≥0， k － 1≥0，p 1k 1综上， b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分所以 n(b 1＋ b n )＝ (b 1＋ b n )＋ (b 1＋ b n )＋⋯＋ (b 1＋ b n )≥(b 1＋ b n )＋ (b 2＋ b n－ 1)＋ (b 3＋ b n － 2)＋⋯＋ (b n ＋ b 1)＝ ( b 1 ＋ b 2 ＋⋯＋ b n )＋ (b n ＋ b n － 1＋⋯＋ b 1)，b 1＋ b 2＋⋯＋ b nb 1＋ b n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分即≤．n2南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2013.0521．【选做题】在 A 、 B 、 C 、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．A ．选修 4— 1：几何证明选讲证明如图，延长 PO 交⊙ O 于 D ，连结 AO ， BO ． AB 交 OP 于点 E ．A因为 PA 与⊙ O 相切， DOE C P 所以 PA 2＝ PC · PD ．B设⊙ O 的半径为 R ，因为 PA ＝ 12， PC ＝ 6，（第 21 题 A ）所以 122＝6(2R ＋ 6)，解得 R ＝9． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因为 PA ，PB 与⊙ O 均相切，所以PA ＝ PB ．又 OA ＝ OB ，所以 OP 是线段 AB 的垂直平分线． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分即 AB ⊥ OP ，且 AB ＝ 2AE ．在 Rt △ OAP 中， AE ＝OA · PA ＝ 36．OP 5所以 AB ＝72．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5B ．选修 4— 2：矩阵与变换1 a 1 0，即 1＋ a ＝0，解（ 1）由题知，11＝b 2b ＋ 1＝2，解得 a ＝－ 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分b ＝ 1．（ 2）设 P' (x ， y)是曲线 C'上任意一点， P' 由曲线 C 上的点 P (x 0 ， y 0) 经矩阵 M 所表示的变换得到，1 － 1x 0 x x 0－ y 0＝x ，x 0＝ y ＋ x，解得2所以y 0＝，即 x 0＋ y 0＝y ，y － x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分11yy 0＝．2因为 x0y0＝ 1，所以y＋x·y－x＝ 1，即y2－ x2＝ 1．2244即曲线 C' 的方程为y2－ x2＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44C．选修 4— 4：坐标系与参数方程解以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆 C 的直角坐标方程为 (x－ 3)2＋ ( y－1) 2＝ 4，点 M 的直角坐标为 (3 3，3)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分当直线 l 的斜率不存在时，不合题意．设直线 l 的方程为 y－3＝ k(x－ 3 3)，由圆心 C( 3， 1)到直线 l 的距离等于半径2．故 |2 3k－ 2|＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分k2＋1解得 k＝ 0 或 k＝ 3．所以所求的直线 l 的直角坐标方程为y＝3或3x－ y－ 6＝0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分π所以所求直线l 的极坐标方程为ρsinθ＝3或ρsin(－θ)＝3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3D．选修 4— 5：不等式选讲x≥ 4，x＜ 4，解原不等式等价于x 2－ 4x－ 3＜0，或－ x2＋ 4x－ 3＜ 0．x≥ 4，或 x＜ 4，解得2－ 7＜ x＜ 2＋ 7，x＜ 1或x＞ 3．即4≤x＜ 2＋ 7或 3＜ x＜ 4 或 x＜1．综上，原不等式的解集为 { x| x＜ 1 或 3＜ x＜ 2＋ 7} ．【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共 20 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分22．解（ 1）如图，取AC 的中点 F ，连接 BF ，则 BF ⊥ AC．以 A 为坐标原点，过 A 且与 FB 平行的直线为x 轴， AC 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0，0， 0)， B( 3， 1，0)，z PC(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， E(0， 1， 1)，ED →→从而 PB ＝ (3， 1，－ 2)， AE＝ (0， 1， 1)．设直线 AE 与 PB 所成角为θ，A FC y→ →1x B则 cosθ＝|PB· AE→ →|＝．4（第 22 题）|PB|× |AE|即直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4．→→ （ 2）设 PA 的长为 a ，则 P(0， 0， a)，从而 PB ＝ ( 3， 1，－ a)，PC ＝(0 ，2，－ a)．→→设平面 PBC 的法向量为 n ＝( x ， y ， z) ，则 n ·1·11 PB ＝ 0， n PC ＝ 0，所以 3x ＋ y －az ＝ 0， 2y －az ＝ 0．令 z ＝ 2，则 y ＝ a ， x ＝33 a ．3所以 n 1＝( 3 a ，a ， 2)是平面 PBC 的一个法向量．因为 D ， E 分别为 PB ，PC 中点，所以 3 1 a aD( ， 2， )，E(0， 1， ) ，2 2 2 →3 1 a → a )．则 AD ＝ ( 2 ，， )， AE ＝ (0，1， 22 2 设平面 ADE 的法向量为 n ＝( x ，y ， z)，则 n→→··22 AD ＝0， n 2 AE ＝ 0．所以31aa2 x ＋ 2y ＋ 2z ＝ 0， y ＋ 2z ＝0．3令 z ＝ 2，则 y ＝－ a ， x ＝－ 3 a ．所以 n 2＝(－3 a ，－ a ， 2)是平面 ADE 的一个法向量． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3因为面 ADE ⊥面 PBC ，所以 n ⊥n ，即 n ·＝ (32) ·31 2－ a 2＋ 4＝ 0，121 n 23 a ， a ，(－ 3 a ，－ a ， 2)＝－ 3a解得 a ＝ 3，即 PA 的长为 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分223．解（ 1）p 1＝，p 2＝ 2× 2＋ 1× ( 1－2 ) ＝5．33 3 3 9（ 2）因为移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率为于是移了 n ＋ 1 次后棋子落在上底面顶点的概率为从而 p n+1－1＝ 1 (p n －1)．2 3 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分p n ，故落在下底面顶点的概率为1－ p n ．pn+12 1 11．＝ p n ＋ (1－p n )＝ p n ＋333 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分所以数列 { p n －1} 是等比数列，其首项为1，公比为 1．26 311 ×( 1 ) n －1 1 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分所以 p n －＝3．即 p n ＝＋ ×n ．262 23用数学归纳法证明：①当 n ＝ 1 时，左式＝1＝3，右式＝ 1，因为3＞1，所以不等式成立．4× 2－ 1 525 23当 n ＝2 时，左式＝1＋ 1＝78，右式＝ 4，因为 78＞ 4，所以不等式成立．4× 2－ 1 4× 5－ 155355 339②假设 n ＝ k(k ≥ 2)时，不等式成立，即k1 ＞k2∑．i =14P i － 1 k ＋ 1k112123 k+1则 n ＝k ＋ 1 时，左式＝ ∑＋＞k＋＝ k＋．i － k+1 － 11 11k+1 i =114Pk ＋ 1k ＋ 13 ＋ 24P＋ × k+1)－ 14( 22 3要证 k23k+12＋ ≥ (k ＋ 1) ，k ＋13 k +1＋ 2k ＋ 2k+122只要证3≥(k ＋1) － k．3k+1＋2k ＋ 2 k ＋ 13k+1k 2 ＋3k ＋ 1只要证 3k+1＋2≥ k 2＋ 3k ＋ 2．2 1 只要证3k+1≤k 2＋ 3k ＋1．只要证 3k+1≥ 2k 2＋ 6k ＋2．因为 k ≥2，所以 3k+1＝ 3(1＋ 2)k ≥ 3(1＋ 2k ＋ 4C 2k )＝ 6k 2＋ 3＝ 2k 2 ＋6k ＋ 2＋ 2k(2k －3)＋ 1＞ 2k 2＋ 6k ＋ 2，k 23k+1(k ＋ 1)2所以 k ＋1 ＋ 3k+1＋ 2≥ k ＋ 2 ．即 n ＝k ＋ 1 时，不等式也成立．n1 ＞ n2由①②可知，不等式 ∑对任意的 n ∈ N * 都成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分i =14P i －1 n ＋ 1。

南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)

南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准 2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(1，3] 2．5 3．8 4．127 5． 236．710 7．2 8．①④ 9．56210．2 11．2 12．2x ＋y －2＝0 13．(12，17) 14．332二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解（1）方法一：因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α． ………………………… 2分又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15． ………………………… 4分所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35． ………………………… 6分方法二：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α ………………………… 2分＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1－tan 2αtan 2α＋1， ………………………… 4分又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35． ………………………… 6分（2）方法一：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)．又cos2α＝－35＜0，故2α∈(π2，π) ，sin2α＝45． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)． ………………………… 10分所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22． ………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43．从而2α∈(π2，π)． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)，因此tan β＝－17． ………………………… 10分所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋(－43)×(－17)＝－1． ………………………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分16．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点，所以FG ＝∥EA ．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ． ………………………… 4分因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ，所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ， EB ⊂平面BDE ，（第16题）ABC D EC 1A 1B 1FG所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分17．解（1）由题意知，f (x )＝－2x ＋3＋ln x ，所以f ′(x )＝－2＋1x ＝－2x ＋1x (x ＞0)． ……………………… 2分由f ′(x )＞0得x ∈(0，12) ．所以函数f (x )的单调增区间为(0，12)． ……………………… 4分（2）由f ′(x )＝mx －m －2＋1x，得f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2．…………………… 6分由题意得，关于x 的方程f (x )＝－x ＋2有且只有一个解，即关于x 的方程12m (x －1)2－x ＋1＋ln x ＝0有且只有一个解．令g (x )＝12m (x －1)2－x ＋1＋ln x (x ＞0)．则g ′(x )＝m (x －1)－1＋1x ＝mx 2－(m ＋1)x ＋1x ＝(x －1)(mx －1)x(x ＞0)． …………… 8分①当0＜m ＜1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g ′(x )＜0得1＜x ＜1m ，所以函数g (x )在(0，1)为增函数，在(1，1m )上为减函数，在(1m ，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →∞时，g (x )→∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点．故0＜m ＜1不合题意． ……………………… 10分 ②当m ＝1时，g ′(x )≥0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数，且g (1)＝0，故m ＝1符合题意． ③当m ＞1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g ′(x )＜0得1m＜x ＜1，所以函数g (x )在(0，1m ) 为增函数，在(1m ，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →0时，g (x )→－∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点．故m ＞1不合题意．综上，实数m 的值为m ＝1． ……………………… 14分18．解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上；③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①．设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则x 2＋y 2＝16． ……………………… 2分因为x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，所以S 1＝12xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．即S 1的最大值为4． ……………………… 5分（2）由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48．因为S 1∶S 2＝1∶2，S 1≤S 2，所以S 1＝16，S 2＝32．当折痕是情形①时，设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则12xy ＝16，即y ＝32x．由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得163≤x ≤8．所以l ＝x 2＋y 2＝x 2＋322x 2，163≤x ≤8． ……………………… 8分设f (x )＝x 2＋322x 2，x ＞0，则f ′(x )＝2x －2×322x 3＝2(x 2＋32)(x ＋42)(x －42)x 3，x ＞0．故所以f (x )的取值范围为[64，80]，从而l 的范围是[8，45]； ……………… 11分当折痕是情形②时，设AM ＝x cm ，DN ＝y cm ，则12(x ＋y )×6＝16，即y ＝163－x ．由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，得0≤x ≤163．所以l ＝62＋(x －y )2＝62＋4(x －83)2，0≤x ≤163．所以l 的范围为[6，21453]； ……………………… 13分当折痕是情形③时，设BN ＝x cm ，AM ＝y cm ，则12(x ＋y )×8＝16，即y ＝4－x ．ABCD （情形①）MNABCD （情形②）MNABCD （情形③）MN由⎩⎨⎧0≤x ≤6，0≤4－x ≤6，得0≤x ≤4．所以l ＝82＋(x －y )2＝82＋4(x －2)2，0≤x ≤4．所以l 的取值范围为[8，45]．综上，l 的取值范围为[6，45]． ……………………… 16分19．解（1）由题意得，m ＞8－m ＞0，解得4＜m ＜8．即实数m 的取值范围是(4，8)． ……………………… 2分（2）因为m ＝6，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1．①设点P 坐标为（x ，y ），则x 26＋y 22＝1．因为点M 的坐标为（1，0），所以PM 2＝(x －1)2＋y 2＝x 2－2x ＋1＋2－x 23＝2x 23－2x ＋3＝23(x －32)2＋32，x ∈[－6，6]． ……………………… 4分所以当x ＝32时，PM 的最小值为62，此时对应的点P 坐标为（32，±52）．……………………… 6分②由a 2＝6，b 2＝2，得c 2＝4，即c ＝2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2，0)，右准线方程为x ＝3，离心率e ＝63．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点H （x 0，y 0），则x 126＋y 122＝1，x 226＋y 222＝1，所以x 12－x 226＋y 12－y 222＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 03y 0． ……………………… 9分令k ＝k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)．令y ＝0，则x N ＝ky 0＋x 0＝23x 0．因为F (2，0)，所以FN ＝|x N －2|＝23|x 0－3|． ……………………… 12分因为AB ＝AF ＋BF ＝e (3－x 1)＋e (3－x 2)＝263|x 0－3|．故AB FN ＝263×32＝6．即ABFN为定值6． ……………………… 16分20．解（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，从而S nn ＝a 1＋n －12d ．所以当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝(a 1＋n －12d )－(a 1＋n －22d )＝d2．即数列{S nn }是等差数列． ……………………… 2分（2）因为对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 成立，所以S n ＋1＋S n －1＝2S n ，即数列{S n }是等差数列． ……………………… 4分设数列{S n }的公差为d 1，则S n ＝S 1＋(n －1)d 1＝1＋(n －1)d 1，所以S n ＝[1＋(n －1)d 1]2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[1＋(n －1)d 1]2－[1＋(n －2)d 1]2＝2d 21n －3d 21＋2d 1，因为{a n }是等差数列，所以a 2－a 1＝a 3－a 2，即(4d 21－3d 21＋2d 1)－1＝(6d 21－3d 21＋2d 1)－(4d 21－3d 21＋2d 1)，所以d 1＝1，即a n ＝2n －1．又当a n ＝2n －1时，S n ＝n 2，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 对任意正整数n ，k (n ＞k )都成立，因此a n ＝2n －1． ……………………… 7分（3）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝a a n ，所以b n b n －1＝a a n －a n －1＝a d ，即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列． ……………………… 9分记公比为q (q ＞0)．以下证明：b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ．因为(b 1＋b n )－(b p ＋b k )＝b 1＋b 1q n －1－b 1q p －1－b 1q k －1＝b 1(q p －1－1)( q k －1－1)．当q ＞1时，因为y ＝q x 为增函数，p －1≥0，k －1≥0，所以q p －1－1≥0，q k －1－1≥0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．当q ＝1时，b 1＋b n ＝b p ＋b k ．当0＜q ＜1时，因为y ＝q x 为减函数，p －1≥0，k －1≥0，所以q p －1－1≤0，q k －1－1≤0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．综上，b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ．………………… 14分所以n (b 1＋b n )＝(b 1＋b n )＋(b 1＋b n )＋…＋(b 1＋b n )≥(b 1＋b n )＋(b 2＋b n －1)＋(b 3＋b n －2)＋…＋(b n ＋b 1)＝(b 1＋b 2＋…＋b n )＋(b n ＋b n －1＋…＋b 1)，即b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n2． …………………… 16分南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2013.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明如图，延长PO 交⊙O 于D ，连结AO ，BO ．AB 交OP 于点E ．因为P A 与⊙O 相切，所以P A 2＝PC ·PD ．设⊙O 的半径为R ，因为P A ＝12，PC ＝6，所以122＝6(2R ＋6)，解得R ＝9． …………………… 4分因为P A ，PB 与⊙O 均相切，所以P A ＝PB ．又OA ＝OB ，所以OP 是线段AB 的垂直平分线． …………………… 7分即AB ⊥OP ，且AB ＝2AE ．在Rt △OAP 中，AE ＝OA ·P A OP ＝365．所以AB ＝725． …………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解（1）由题知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1 ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤02，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，b ＋1＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1．…………………… 4分（2）设P' (x ，y )是曲线C'上任意一点，P' 由曲线C 上的点P (x 0，y 0) 经矩阵M 所表示的变换得到，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x 0－y 0＝x ，x 0＋y 0＝y ，解得⎩⎨⎧x 0＝y ＋x 2，y 0＝y －x 2．…………………… 7分因为x 0y 0＝1，所以y ＋x 2·y －x 2＝1，即y 24－x 24＝1．即曲线C' 的方程为y 24－x 24＝1． …………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，点M 的直角坐标为(33，3)． …………………… 3分ABOC （第21题A ）DE当直线l 的斜率不存在时，不合题意．设直线l 的方程为y －3＝k (x －33)，由圆心C (3，1)到直线l 的距离等于半径2．故|23k －2|k 2＋1＝2． …………………… 6分解得k ＝0或k ＝3．所以所求的直线l 的直角坐标方程为y ＝3或3x －y －6＝0． ………………… 8分所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3或ρsin(π3－θ)＝3． …………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲解原不等式等价于 ⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0． …………………… 5分解得⎩⎨⎧x ≥4，2－7＜x ＜2＋7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3．即4≤x ＜2＋7或3＜x ＜4或x ＜1．综上，原不等式的解集为{x | x ＜1或3＜x ＜2＋7}． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．22．解（1）如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则BF ⊥AC ．以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，B (3，1，0)， C (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，1，1)，从而→PB ＝(3，1，－2)， →AE ＝(0，1，1)．设直线AE 与PB 所成角为θ，则cos θ＝|→PB ·→AE|→PB |×|→AE ||＝14．即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14 ． …………………… 4分（2）设P A 的长为a ，则P (0，0，a )，从而→PB ＝(3，1，－a )，→PC ＝(0，2，－a )．设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·→PB ＝0，n 1·→PC ＝0，所以3x ＋y －az ＝0，2y －az ＝0．令z ＝2，则y ＝a ，x ＝33a ．所以n 1＝(33a ，a ，2)是平面PBC 的一个法向量．（第22题）因为D ，E 分别为PB ，PC 中点，所以D (32，12，a 2)，E (0，1，a2)，则→AD ＝(32，12，a 2)，→AE ＝(0，1，a2)．设平面ADE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·→AD ＝0，n 2·→AE ＝0．所以32x ＋12y ＋a 2z ＝0，y ＋a2z ＝0．令z ＝2，则y ＝－a ，x ＝－33a ．所以n 2＝(－33a ，－a ，2)是平面ADE 的一个法向量． …………………… 8分因为面ADE ⊥面PBC ，所以n 1⊥n 2，即n 1·n 2＝(33a ，a ，2)·(－ 33a ，－a ，2)＝－13a 2－a 2＋4＝0，解得a ＝3，即P A 的长为3． …………………… 10分 23．解（1）p 1＝23，p 2＝23×23＋13×(1－23)＝59． …………………… 2分（2）因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n ．于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n +1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13．…………………… 4分从而p n +1－12＝13(p n －12)．所以数列{p n －12}是等比数列，其首项为16，公比为13．所以p n －12＝16×(13)n －1．即p n ＝12＋12×13n ． …………………… 6分用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左式＝14×23－1＝35，右式＝12，因为35＞12，所以不等式成立．当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞43，所以不等式成立．②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即i =1∑k14P i －1＞k 2k ＋1．则n ＝k ＋1时，左式＝i =1∑k14P i －1＋14P k +1－1＞k 2k ＋1＋14(12＋12×13k +1)－1＝k 2k ＋1＋3k +13k +1＋2．要证k 2k ＋1＋3k +13k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2，只要证3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2－k 2k ＋1．只要证3k +13k +1＋2≥k 2＋3k ＋1 k 2＋3k ＋2．只要证2 3k +1≤1k 2＋3k ＋1．只要证3k +1≥2k 2＋6k ＋2．因为k ≥2，所以3k +1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2k )＝6k 2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k (2k －3)＋1＞2k 2＋6k ＋2，所以k 2k ＋1＋3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2．即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，不等式i =1∑n14P i －1＞n 2n ＋1对任意的n ∈N *都成立． ……………………10分。

南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)

南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准 2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(1，3] 2．5 3．8 4．127 5． 236．710 7．2 8．①④ 9．56210．2 11．2 12．2x ＋y －2＝0 13．(12，17) 14．332二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解（1）方法一：因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α． ………………………… 2分又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15． ………………………… 4分所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35． ………………………… 6分方法二：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α ………………………… 2分＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1－tan 2αtan 2α＋1， ………………………… 4分又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35． ………………………… 6分（2）方法一：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)．又cos2α＝－35＜0，故2α∈(π2，π) ，sin2α＝45． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)． ………………………… 10分所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22． ………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43．从而2α∈(π2，π)． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)，因此tan β＝－17． ………………………… 10分所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋(－43)×(－17)＝－1． ………………………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分16．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点，所以FG ＝∥EA ．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ． ………………………… 4分因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ，所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ， EB ⊂平面BDE ，（第16题）ABC D EC 1A 1B 1FG所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分17．解（1）由题意知，f (x )＝－2x ＋3＋ln x ，所以f ′(x )＝－2＋1x ＝－2x ＋1x (x ＞0)． ……………………… 2分由f ′(x )＞0得x ∈(0，12) ．所以函数f (x )的单调增区间为(0，12)． ……………………… 4分（2）由f ′(x )＝mx －m －2＋1x，得f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2．…………………… 6分由题意得，关于x 的方程f (x )＝－x ＋2有且只有一个解，即关于x 的方程12m (x －1)2－x ＋1＋ln x ＝0有且只有一个解．令g (x )＝12m (x －1)2－x ＋1＋ln x (x ＞0)．则g ′(x )＝m (x －1)－1＋1x ＝mx 2－(m ＋1)x ＋1x ＝(x －1)(mx －1)x(x ＞0)． …………… 8分①当0＜m ＜1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g ′(x )＜0得1＜x ＜1m ，所以函数g (x )在(0，1)为增函数，在(1，1m )上为减函数，在(1m ，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →∞时，g (x )→∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点．故0＜m ＜1不合题意． ……………………… 10分 ②当m ＝1时，g ′(x )≥0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数，且g (1)＝0，故m ＝1符合题意． ③当m ＞1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g ′(x )＜0得1m＜x ＜1，所以函数g (x )在(0，1m ) 为增函数，在(1m ，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →0时，g (x )→－∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点．故m ＞1不合题意．综上，实数m 的值为m ＝1． ……………………… 14分18．解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上；③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①．设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则x 2＋y 2＝16． ……………………… 2分因为x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，所以S 1＝12xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．即S 1的最大值为4． ……………………… 5分（2）由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48．因为S 1∶S 2＝1∶2，S 1≤S 2，所以S 1＝16，S 2＝32．当折痕是情形①时，设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则12xy ＝16，即y ＝32x．由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得163≤x ≤8．所以l ＝x 2＋y 2＝x 2＋322x 2，163≤x ≤8． ……………………… 8分设f (x )＝x 2＋322x 2，x ＞0，则f ′(x )＝2x －2×322x 3＝2(x 2＋32)(x ＋42)(x －42)x 3，x ＞0．故所以f (x )的取值范围为[64，80]，从而l 的范围是[8，45]； ……………… 11分当折痕是情形②时，设AM ＝x cm ，DN ＝y cm ，则12(x ＋y )×6＝16，即y ＝163－x ．由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，得0≤x ≤163．所以l ＝62＋(x －y )2＝62＋4(x －83)2，0≤x ≤163．所以l 的范围为[6，21453]； ……………………… 13分当折痕是情形③时，设BN ＝x cm ，AM ＝y cm ，则12(x ＋y )×8＝16，即y ＝4－x ．ABCD （情形①）MNABCD （情形②）MNABCD （情形③）MN由⎩⎨⎧0≤x ≤6，0≤4－x ≤6，得0≤x ≤4．所以l ＝82＋(x －y )2＝82＋4(x －2)2，0≤x ≤4．所以l 的取值范围为[8，45]．综上，l 的取值范围为[6，45]． ……………………… 16分19．解（1）由题意得，m ＞8－m ＞0，解得4＜m ＜8．即实数m 的取值范围是(4，8)． ……………………… 2分（2）因为m ＝6，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1．①设点P 坐标为（x ，y ），则x 26＋y 22＝1．因为点M 的坐标为（1，0），所以PM 2＝(x －1)2＋y 2＝x 2－2x ＋1＋2－x 23＝2x 23－2x ＋3＝23(x －32)2＋32，x ∈[－6，6]． ……………………… 4分所以当x ＝32时，PM 的最小值为62，此时对应的点P 坐标为（32，±52）．……………………… 6分②由a 2＝6，b 2＝2，得c 2＝4，即c ＝2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2，0)，右准线方程为x ＝3，离心率e ＝63．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点H （x 0，y 0），则x 126＋y 122＝1，x 226＋y 222＝1，所以x 12－x 226＋y 12－y 222＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 03y 0． ……………………… 9分令k ＝k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)．令y ＝0，则x N ＝ky 0＋x 0＝23x 0．因为F (2，0)，所以FN ＝|x N －2|＝23|x 0－3|． ……………………… 12分因为AB ＝AF ＋BF ＝e (3－x 1)＋e (3－x 2)＝263|x 0－3|．故AB FN ＝263×32＝6．即ABFN为定值6． ……………………… 16分20．解（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，从而S nn ＝a 1＋n －12d ．所以当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝(a 1＋n －12d )－(a 1＋n －22d )＝d2．即数列{S nn }是等差数列． ……………………… 2分（2）因为对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 成立，所以S n ＋1＋S n －1＝2S n ，即数列{S n }是等差数列． ……………………… 4分设数列{S n }的公差为d 1，则S n ＝S 1＋(n －1)d 1＝1＋(n －1)d 1，所以S n ＝[1＋(n －1)d 1]2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[1＋(n －1)d 1]2－[1＋(n －2)d 1]2＝2d 21n －3d 21＋2d 1，因为{a n }是等差数列，所以a 2－a 1＝a 3－a 2，即(4d 21－3d 21＋2d 1)－1＝(6d 21－3d 21＋2d 1)－(4d 21－3d 21＋2d 1)，所以d 1＝1，即a n ＝2n －1．又当a n ＝2n －1时，S n ＝n 2，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 对任意正整数n ，k (n ＞k )都成立，因此a n ＝2n －1． ……………………… 7分（3）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝a a n ，所以b n b n －1＝a a n －a n －1＝a d ，即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列． ……………………… 9分记公比为q (q ＞0)．以下证明：b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ．因为(b 1＋b n )－(b p ＋b k )＝b 1＋b 1q n －1－b 1q p －1－b 1q k －1＝b 1(q p －1－1)( q k －1－1)．当q ＞1时，因为y ＝q x 为增函数，p －1≥0，k －1≥0，所以q p －1－1≥0，q k －1－1≥0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．当q ＝1时，b 1＋b n ＝b p ＋b k ．当0＜q ＜1时，因为y ＝q x 为减函数，p －1≥0，k －1≥0，所以q p －1－1≤0，q k －1－1≤0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．综上，b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ．………………… 14分所以n (b 1＋b n )＝(b 1＋b n )＋(b 1＋b n )＋…＋(b 1＋b n )≥(b 1＋b n )＋(b 2＋b n －1)＋(b 3＋b n －2)＋…＋(b n ＋b 1)＝(b 1＋b 2＋…＋b n )＋(b n ＋b n －1＋…＋b 1)，即b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n2． …………………… 16分南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2013.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明如图，延长PO 交⊙O 于D ，连结AO ，BO ．AB 交OP 于点E ．因为P A 与⊙O 相切，所以P A 2＝PC ·PD ．设⊙O 的半径为R ，因为P A ＝12，PC ＝6，所以122＝6(2R ＋6)，解得R ＝9． …………………… 4分因为P A ，PB 与⊙O 均相切，所以P A ＝PB ．又OA ＝OB ，所以OP 是线段AB 的垂直平分线． …………………… 7分即AB ⊥OP ，且AB ＝2AE ．在Rt △OAP 中，AE ＝OA ·P A OP ＝365．所以AB ＝725． …………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解（1）由题知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1 ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤02，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，b ＋1＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1．…………………… 4分（2）设P' (x ，y )是曲线C'上任意一点，P' 由曲线C 上的点P (x 0，y 0) 经矩阵M 所表示的变换得到，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x 0－y 0＝x ，x 0＋y 0＝y ，解得⎩⎨⎧x 0＝y ＋x 2，y 0＝y －x 2．…………………… 7分因为x 0y 0＝1，所以y ＋x 2·y －x 2＝1，即y 24－x 24＝1．即曲线C' 的方程为y 24－x 24＝1． …………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，点M 的直角坐标为(33，3)． …………………… 3分ABOC （第21题A ）DE当直线l 的斜率不存在时，不合题意．设直线l 的方程为y －3＝k (x －33)，由圆心C (3，1)到直线l 的距离等于半径2．故|23k －2|k 2＋1＝2． …………………… 6分解得k ＝0或k ＝3．所以所求的直线l 的直角坐标方程为y ＝3或3x －y －6＝0． ………………… 8分所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3或ρsin(π3－θ)＝3． …………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲解原不等式等价于 ⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0． …………………… 5分解得⎩⎨⎧x ≥4，2－7＜x ＜2＋7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3．即4≤x ＜2＋7或3＜x ＜4或x ＜1．综上，原不等式的解集为{x | x ＜1或3＜x ＜2＋7}． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．22．解（1）如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则BF ⊥AC ．以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，B (3，1，0)， C (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，1，1)，从而→PB ＝(3，1，－2)， →AE ＝(0，1，1)．设直线AE 与PB 所成角为θ，则cos θ＝|→PB ·→AE|→PB |×|→AE ||＝14．即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14 ． …………………… 4分（2）设P A 的长为a ，则P (0，0，a )，从而→PB ＝(3，1，－a )，→PC ＝(0，2，－a )．设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·→PB ＝0，n 1·→PC ＝0，所以3x ＋y －az ＝0，2y －az ＝0．令z ＝2，则y ＝a ，x ＝33a ．所以n 1＝(33a ，a ，2)是平面PBC 的一个法向量．（第22题）因为D ，E 分别为PB ，PC 中点，所以D (32，12，a 2)，E (0，1，a2)，则→AD ＝(32，12，a 2)，→AE ＝(0，1，a2)．设平面ADE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·→AD ＝0，n 2·→AE ＝0．所以32x ＋12y ＋a 2z ＝0，y ＋a2z ＝0．令z ＝2，则y ＝－a ，x ＝－33a ．所以n 2＝(－33a ，－a ，2)是平面ADE 的一个法向量． …………………… 8分因为面ADE ⊥面PBC ，所以n 1⊥n 2，即n 1·n 2＝(33a ，a ，2)·(－ 33a ，－a ，2)＝－13a 2－a 2＋4＝0，解得a ＝3，即P A 的长为3． …………………… 10分 23．解（1）p 1＝23，p 2＝23×23＋13×(1－23)＝59． …………………… 2分（2）因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n ．于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n +1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13．…………………… 4分从而p n +1－12＝13(p n －12)．所以数列{p n －12}是等比数列，其首项为16，公比为13．所以p n －12＝16×(13)n －1．即p n ＝12＋12×13n ． …………………… 6分用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左式＝14×23－1＝35，右式＝12，因为35＞12，所以不等式成立．当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞43，所以不等式成立．②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即i =1∑k14P i －1＞k 2k ＋1．则n ＝k ＋1时，左式＝i =1∑k14P i －1＋14P k +1－1＞k 2k ＋1＋14(12＋12×13k +1)－1＝k 2k ＋1＋3k +13k +1＋2．要证k 2k ＋1＋3k +13k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2，只要证3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2－k 2k ＋1．只要证3k +13k +1＋2≥k 2＋3k ＋1 k 2＋3k ＋2．只要证2 3k +1≤1k 2＋3k ＋1．只要证3k +1≥2k 2＋6k ＋2．因为k ≥2，所以3k +1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2k )＝6k 2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k (2k －3)＋1＞2k 2＋6k ＋2，所以k 2k ＋1＋3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2．即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，不等式i =1∑n14P i －1＞n 2n ＋1对任意的n ∈N *都成立． ……………………10分。

南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试

南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学 2013．05注意事项：1．本试卷共160分、考试用时120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．考试结束后，交回答题卡．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．记函数f (x )＝3－x 的定义域为A ，函数g (x )＝lg(x －1)的定义域为B ，则A ∩B ＝ ▲ ．2．已知复数z 满足(z ＋1)i ＝3＋5i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝ ▲ ． 3．某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为3，则输入x 的值为 ▲ ．4．右图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是 ▲ ．5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋ϕ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝ ▲ ．6．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0，2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为 ▲ ．8．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β； ②若m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n ； ④若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n ．上述命题中为真命题的是 ▲ （填写所有真命题的序号）．Read xIf x ≤0 Then y ←x ＋2 Elsey ←log 2x End If Print y （第3题）8 8 9 9 9 0 1 1 2 （第4题）9．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5， AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为 ▲ ．10．记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”．那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长F A 与另一条渐近线交于点B ．若FB →＝2FA →，则双曲线的离心率为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m )x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(1，0)．若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为 ▲ ． 13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5．设c n ＝⎩⎨⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n ＞b n ，若在数列{c n }中，c 8＞c n (n ∈N*，n ≠8)，则实数p 的取值范围是 ▲ ．14．设点P 是曲线y ＝x 2上的一个动点，曲线y ＝x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210．（1）求cos2α的值；（2）求2α－β的值．ABDC（第9题）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ；（2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝12m (x －1)2－2x ＋3＋ln x ，m ∈R ．（1）当m ＝0时，求函数f (x )的单调增区间；（2）当m ＞0时，若曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 与曲线y ＝f (x )有且只有一个公共点，求实数m 的值．18．(本小题满分16分)将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S 1cm 2，S 2cm 2，其中S 1≤S 2．记折痕长为l cm ．（1）若l ＝4，求S 1的最大值；（2）若S 1∶S 2＝1∶2，求l 的取值范围．ABC DEC 1A 1B 1F （第16题）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： x 2m ＋y 28－m ＝1．（1）若椭圆C 的焦点在x 轴上，求实数m 的取值范围；（2）若m ＝6，①P 是椭圆C 上的动点， M 点的坐标为(1，0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标； ②过椭圆C 的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点N ，证明：ABFN是定值，并求出这个定值．20．(本小题满分16分)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）求证：数列{S nn}是等差数列；（2）若a 1＝1，且对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 成立，求数列{a n }的通项公式；（3）记b n ＝a a n (a ＞0)，求证：b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n2．南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准 2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(1，3] 2．5 3．8 4．127 5． 236．710 7．2 8．①④ 9．56210．2 11．2 12．2x ＋y －2＝0 13．(12，17) 14．332二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解（1）方法一：因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α． ………………………… 2分又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15． ………………………… 4分所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35． ………………………… 6分方法二：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α ………………………… 2分＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1－tan 2αtan 2α＋1， ………………………… 4分又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35． ………………………… 6分（2）方法一：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)．又cos2α＝－35＜0，故2α∈(π2，π) ，sin2α＝45． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)． ………………………… 10分所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22． ………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43．从而2α∈(π2，π)． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)，因此tan β＝－17． ………………………… 10分所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋(－43)×(－17)＝－1． ………………………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分16．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点，所以FG ＝∥EA ．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ． ………………………… 4分因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ，所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分（第16题）ABC D EC 1A 1B 1FG因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ， EB ⊂平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分17．解（1）由题意知，f (x )＝－2x ＋3＋ln x ，所以f ′(x )＝－2＋1x ＝－2x ＋1x (x ＞0)． ……………………… 2分由f ′(x )＞0得x ∈(0，12) ．所以函数f (x )的单调增区间为(0，12)． ……………………… 4分（2）由f ′(x )＝mx －m －2＋1x，得f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2．…………………… 6分由题意得，关于x 的方程f (x )＝－x ＋2有且只有一个解，即关于x 的方程12m (x －1)2－x ＋1＋ln x ＝0有且只有一个解．令g (x )＝12m (x －1)2－x ＋1＋ln x (x ＞0)．则g ′(x )＝m (x －1)－1＋1x ＝mx 2－(m ＋1)x ＋1x ＝(x －1)(mx －1)x(x ＞0)． …………… 8分①当0＜m ＜1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g ′(x )＜0得1＜x ＜1m ，所以函数g (x )在(0，1)为增函数，在(1，1m )上为减函数，在(1m ，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →∞时，g (x )→∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点．故0＜m ＜1不合题意． ……………………… 10分 ②当m ＝1时，g ′(x )≥0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数，且g (1)＝0，故m ＝1符合题意． ③当m ＞1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g ′(x )＜0得1m＜x ＜1，所以函数g (x )在(0，1m ) 为增函数，在(1m ，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →0时，g (x )→－∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点．故m ＞1不合题意．综上，实数m 的值为m ＝1． ……………………… 14分18．解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①．设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则x 2＋y 2＝16． ……………………… 2分因为x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，所以S 1＝12xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．即S 1的最大值为4． ……………………… 5分（2）由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48．因为S 1∶S 2＝1∶2，S 1≤S 2，所以S 1＝16，S 2＝32．当折痕是情形①时，设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则12xy ＝16，即y ＝32x．由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得163≤x ≤8．所以l ＝x 2＋y 2＝x 2＋322x 2，163≤x ≤8． ……………………… 8分设f (x )＝x 2＋322x 2，x ＞0，则f ′(x )＝2x －2×322x 3＝2(x 2＋32)(x ＋42)(x －42)x 3，x ＞0．故所以f (x )的取值范围为[64，80]，从而l 的范围是[8，45]； ……………… 11分当折痕是情形②时，设AM ＝x cm ，DN ＝y cm ，则12(x ＋y )×6＝16，即y ＝163－x ．由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，得0≤x ≤163．所以l ＝62＋(x －y )2＝62＋4(x －83)2，0≤x ≤163．ABCD （情形①）MNABCD （情形②）MNABCD （情形③）MN所以l 的范围为[6，21453]； ……………………… 13分当折痕是情形③时，设BN ＝x cm ，AM ＝y cm ，则12(x ＋y )×8＝16，即y ＝4－x ．由⎩⎨⎧0≤x ≤6，0≤4－x ≤6，得0≤x ≤4．所以l ＝82＋(x －y )2＝82＋4(x －2)2，0≤x ≤4．所以l 的取值范围为[8，45]．综上，l 的取值范围为[6，45]． ……………………… 16分19．解（1）由题意得，m ＞8－m ＞0，解得4＜m ＜8．即实数m 的取值范围是(4，8)． ……………………… 2分（2）因为m ＝6，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1．①设点P 坐标为（x ，y ），则x 26＋y 22＝1．因为点M 的坐标为（1，0），所以PM 2＝(x －1)2＋y 2＝x 2－2x ＋1＋2－x 23＝2x 23－2x ＋3＝23(x －32)2＋32，x ∈[－6，6]． ……………………… 4分所以当x ＝32时，PM 的最小值为62，此时对应的点P 坐标为（32，±52）．……………………… 6分②由a 2＝6，b 2＝2，得c 2＝4，即c ＝2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2，0)，右准线方程为x ＝3，离心率e ＝63．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点H （x 0，y 0），则x 126＋y 122＝1，x 226＋y 222＝1，所以x 12－x 226＋y 12－y 222＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 03y 0． ……………………… 9分令k ＝k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)．令y ＝0，则x N ＝ky 0＋x 0＝23x 0．因为F (2，0)，所以FN ＝|x N －2|＝23|x 0－3|． ……………………… 12分因为AB ＝AF ＋BF ＝e (3－x 1)＋e (3－x 2)＝263|x 0－3|．故AB FN ＝263×32＝6．即ABFN为定值6． ……………………… 16分20．解（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，从而S nn ＝a 1＋n －12d ．所以当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝(a 1＋n －12d )－(a 1＋n －22d )＝d2．即数列{S nn }是等差数列． ……………………… 2分（2）因为对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 成立，所以S n ＋1＋S n －1＝2S n ，即数列{S n }是等差数列． ……………………… 4分设数列{S n }的公差为d 1，则S n ＝S 1＋(n －1)d 1＝1＋(n －1)d 1，所以S n ＝[1＋(n －1)d 1]2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[1＋(n －1)d 1]2－[1＋(n －2)d 1]2＝2d 21n －3d 21＋2d 1，因为{a n }是等差数列，所以a 2－a 1＝a 3－a 2，即(4d 21－3d 21＋2d 1)－1＝(6d 21－3d 21＋2d 1)－(4d 21－3d 21＋2d 1)，所以d 1＝1，即a n ＝2n －1．又当a n ＝2n －1时，S n ＝n 2，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 对任意正整数n ，k (n ＞k )都成立，因此a n ＝2n －1． ……………………… 7分（3）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝a a n ，所以b n b n －1＝a a n －a n －1＝a d ，即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列． ……………………… 9分记公比为q (q ＞0)．以下证明：b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ．因为(b 1＋b n )－(b p ＋b k )＝b 1＋b 1q n －1－b 1q p －1－b 1q k －1＝b 1(q p －1－1)( q k －1－1)．当q ＞1时，因为y ＝q x 为增函数，p －1≥0，k －1≥0，所以q p －1－1≥0，q k －1－1≥0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．当q ＝1时，b 1＋b n ＝b p ＋b k ．当0＜q ＜1时，因为y ＝q x 为减函数，p －1≥0，k －1≥0，所以q p －1－1≤0，q k －1－1≤0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．综上，b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ．………………… 14分所以n (b 1＋b n )＝(b 1＋b n )＋(b 1＋b n )＋…＋(b 1＋b n )高三数学试卷第11页（共4页） ≥(b 1＋b n )＋(b 2＋b n －1)＋(b 3＋b n －2)＋…＋(b n ＋b 1)＝(b 1＋b 2＋…＋b n )＋(b n ＋b n －1＋…＋b 1)，即b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n 2． …………………… 16分。

2013届南京盐城三模试卷.

材料限制伦理争议法律纠纷
（“伦理争议”1分，“材料限制”和“法律纠纷”各2 分）
• 4．仔细阅读下面的漫画，在横线处填上合适的话。（4分） • 狐狸：如今干什么都得有靠山！ • 兔子：凡事都要给自己留条后路！ • （每句2分，内容和形式各1分）
梅长公传 • 公讳之焕，字长公，黄之麻城人。其先，宋宛陵先生后也。公十岁丧父，从其母刘，居东山之沈庄，日课书盈寸。 • 倜傥雄俊，异于凡儿。年十四，为诸生。台使者按部阅武，骑马横绝教场，使者怒，命与材官角射， • 执弓腰矢，射九发连九中，中辄一军大呼以笑。长揖上马径去，使者不怿而罢。
鸳鸯俱是白头时,江南渭北三千里。
(1) 桑之未落，其叶沃若。 (2) 若夫乘天地之正,而御六气之辩，以游无穷者，彼且恶乎待哉！ (3)扪参历井仰胁息，以手抚膺坐长叹。 (4) 吾师道也，夫庸知其年之先后生于吾乎？ (5) 春冬之时，则素湍绿潭，回清倒影。 (6) 若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。 (7)往者不可谏，来者犹可追。 (8) 辅车相依，唇亡齿寒。
梅公名之焕，字长公，黄州麻城人。他的祖先，是宋朝宛陵先生（梅尧臣）的后人。梅公十岁时父亲去世，跟随他的母亲刘氏住在东山的沈庄，每天研习的书文（摞在一起）超过一寸厚。为人洒脱，英武雄壮，不同于普通的孩子。十四岁时就成为生员。某台使巡视部属，正在讲习武事，（梅公）骑马横穿教场，使者大怒，命令梅公与武士比赛射箭。梅公手持弓，腰佩箭，九发连中。每射中一次整个军队总是大呼而笑，梅公作了个长揖后上马径自离开。使者虽不高兴也只好作罢。
• 其视学，阔略教
条，谢绝请寄，
考课之暇，进诸
• 梅公考察学政的时候，不讲究教条，谢绝任何请托，考核空闲之时，召来生员教育劝诫他们。

南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)

南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1221． (1， 3]2． 53． 84． 75． 375 66． 107． 28．①④9． 210． 23 311． 212． 2x ＋y － 2＝ 0 13． (12， 17) 14． 2二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解（ 1）方法一：因为 tan α＝ 2，所以sin α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分＝ 2，即 sin α＝ 2cos α．cos α又 sin 2α＋ cos 2α＝1，解得 sin 2α＝4，cos 2α＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分55所以 cos2α＝ cos 22α＝－ 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分α－ sin 5方法二：22α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分因为 cos2α＝ cos α－ sincos 2α－sin 2 α 1－tan 2α4 分＝ sin 2α＋cos 2 α＝tan 2α＋1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 又 tan α＝2，所以 cos2α＝ 12－22＝－ 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2 ＋15（ 2）方法一：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π(0， )．2又 cos2α＝－ 3＜0，故 2α∈(π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分，π) ，sin2α＝ 4．5257 22π由 cos β＝－10 ， β∈ (0， π)，得 sin β＝ 10 ，β∈ (2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4 7 2 3 2 2． ⋯⋯⋯⋯ 12 分所以 sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝×(－10)－(－ ) × ＝－ 255 10又 2α－ β∈π ππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分(－， )，所以 2α－ β＝－．224方法二：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π2tan α4 ．(0， )，tan2α＝2 ＝－321－ tan απ从而 2α∈(2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分由 cos β＝－ 7 2 ， π)，得 sin β＝ 2 π， β∈ (0 10 ，β∈ (2 ， π)，10因此 tan β＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分7－4＋1所以 tan(2α－β)＝ tan2α－tan β＝37＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分1＋tan2αtan β411＋(－ 3)× (－ 7)π ππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分又 2α－ β∈ (－， )，所以 2α－ β＝－．2 2 416．证明（ 1）如图，取 BC 的中点 G ，连结 AG ， FG ．C 1A 1因为 F 为 C 1B 的中点，所以 FG∥ 1C 1C ．B 1＝ 2在三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中， A 1A ∥＝ C 1C ，且 E 为 A 1A 的中点，EF所以 FG ＝∥EA ．所以四边形 AEFG 是平行四边形．所以 EF ∥ AG ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分DCAGB（第 16 题）因为 EF 平面 ABC ， AG 平面 ABC ，所以 EF ∥平面 ABC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（ 2）因为在正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中， A 1A ⊥平面 ABC ， BD平面 ABC ，所以 A 1A ⊥ BD ．因为 D 为 AC 的中点， BA ＝ BC ，所以 BD ⊥ AC ．因为 A 1A ∩AC ＝A ， A 1 A 平面 A 1ACC 1 ，AC 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥平面 A 1ACC 1．因为 C 1E 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥C 1E ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分根据题意，可得 EB ＝C 1E ＝ 62 AB ， C 1B ＝ 3AB ，所以 EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠ C 1EB ＝ 90°，即 C 1E ⊥ EB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分因为 BD ∩EB ＝ B ，BD 平面 BDE ， EB 平面 BDE ，所以 C 1E ⊥平面 BDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分17．解（ 1）由题意知， f(x)＝－ 2x ＋ 3＋ lnx ，－ 2x ＋ 1 (x ＞ 0)．2 分所以 f ′(x)＝－ 2＋ 1＝x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x由 f ′(x)＞ 0 得 x ∈ (0，1) ．2所以函数 f( x)的单调增区间为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(0， )．2（ 2）由 f ′(x)＝ mx － m － 2＋ 1，得 f ′(1)＝－ 1，x所以曲线 y ＝ f(x)在点 P(1， 1)处的切线 l 的方程为 y ＝－ x ＋ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由题意得，关于 x 的方程 f(x)＝－ x ＋ 2 有且只有一个解，即关于 x 的方程1 2 － x ＋ 1＋ln x ＝0 有且只有一个解．m(x － 1)2令 g(x)＝12m(x － 1)2－x ＋ 1＋ lnx(x ＞ 0)．2 －(m ＋ 1)x ＋ 1(x ＞ 0)． ⋯⋯⋯⋯⋯8 分则 g ′(x) ＝m(x － 1)－ 1＋ 1＝ mx＝ (x － 1)(mx － 1)xxx①当 0＜ m ＜1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜ x ＜ 1 或 x ＞1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜ x ＜ 1，mm 所以函数 g(x)在 (0， 1)为增函数，在 (1， 1)上为减函数，在 ( 1，＋∞ )上为增函数．mm又 g(1)＝ 0，且当 x →∞时， g(x)→∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 0＜m ＜ 1 不合题意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分②当 m ＝ 1 时， g ′(x)≥ 0， g(x)在 (0，＋∞ )上为增函数，且 g(1) ＝ 0，故 m ＝ 1 符合题意．③当 m ＞ 1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜x ＜ 1 或 x ＞ 1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1) 为增函数，在 ( 1，1) 上为减函数，在 (1，＋∞ )上为增函数．m m又 g(1)＝ 0，且当 x → 0 时， g(x)→－∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 m ＞ 1 不合题意．综上，实数 m 的值为 m ＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18．解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ， AB＝ 8cm， AD ＝ 6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N 分别在边AB， AD 上；②折痕的端点M，N 分别在边AB， CD 上；③折痕的端点M，N 分别在边AD ， BC 上．D C D N C D CN MNA MB A M B A B（情形①）（情形②）（情形③）（ 1）在情形②、③中MN ≥6，故当 l＝ 4 时，折痕必定是情形①．设 AM＝ xcm， AN＝ ycm，则 x2＋ y2＝ 16．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因为 x2＋ y2≥ 2xy，当且仅当x＝ y 时取等号，1所以 S1＝2xy≤ 4，当且仅当x＝y＝ 22时取等号．即 S1的最大值为4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）由题意知，长方形的面积为S＝6× 8＝ 48．因为 S1∶S2＝1∶ 2， S1≤S2，所以 S1＝ 16， S2＝ 32．当折痕是情形①时，设AM＝ xcm， AN＝ ycm，则132．xy＝16，即 y＝x20≤x≤ 8，16由0≤32x≤6，得3≤x≤8．所以 l＝22232216⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x＋ y ＝x＋ 2 ，≤x≤ 8．x3322222)(x－ 4 2) 22× 322(x ＋ 32)(x＋ 4设 f(x)＝x＋x2 ，x＞0，则f′(x)＝2x－x3＝x3，x＞0．故x16162）4 2（ 4 2， 8）83（3，4f ′(x)－0＋f(x)4↘64↗80 649所以 f(x)的取值范围为 [64， 80]，从而 l 的范围是 [8 ，45]；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分当折痕是情形②时，设AM＝ xcm， DN＝ ycm，则1(x＋y)× 6＝ 16，即 y＝16－ x．230≤x≤ 8，得 0≤x≤16．由16所以 l ＝2228 2 16 6 ＋ (x － y)＝ 6 ＋ 4(x － ) ， 0≤x ≤．33所以 l 的范围为 [6，2145 ]； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分31当折痕是情形③时，设BN ＝xcm ，AM ＝ ycm ，则 2(x ＋ y)× 8＝16，即 y ＝ 4－ x ．由 0≤ x ≤ 6，得 0≤ x ≤4．0≤4－ x ≤ 6，所以 l ＝ 82＋ (x － y)2＝ 82＋ 4(x －2) 2， 0≤ x ≤4．所以 l 的取值范围为 [8， 4 5]．综上， l 的取值范围为 [6， 4 5]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分19．解（ 1）由题意得， m ＞ 8－ m ＞ 0，解得 4＜ m ＜ 8．即实数 m 的取值范围是 (4， 8)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分22（ 2）因为 m ＝ 6，所以椭圆 C 的方程为 x ＋y＝ 1．6 2x2y2①设点 P 坐标为（ x ， y ），则 6＋2 ＝ 1．因为点 M 的坐标为（ 1， 0），所以PM 2＝( x －1)2＋ y 2＝x 2－ 2x ＋ 1＋ 2－x 2＝2x 2－2x ＋ 33323 2 3， x ∈ [－ 6， 6]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＝(x － ) ＋3 2 2363 5所以当 x ＝ 2时， PM 的最小值为2 ，此时对应的点 P 坐标为（ 2，±2 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由 a 2＝ 6，b 2＝ 2，得 c 2＝ 4，即 c ＝ 2，从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为 (2， 0)，右准线方程为x ＝ 3，离心率 e ＝ 6．3设 A （ x 1， y 1）， B （x 2 ，y 2 ）， AB 的中点 H （ x 0， y 0），则22 22x 1 ＋ y 1 ＝1， x 2 ＋ y 2 ＝1，62622222所以 x 1 － x 2 ＋ y 1－y2＝ 0，即 k AB ＝y 1－y2＝－ x 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯62x 1－ x 2 3y 0令 k ＝ k AB ，则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y － y 0＝－ 1k (x － x 0)．4 分6 分9 分令 y ＝0，则 x N ＝ ky 0＋ x 0＝2x 0．322 6因为 AB ＝ AF ＋ BF ＝ e(3－x 1)＋ e(3－ x 2)＝ 3 | x 0－ 3| ．故 AB ＝ 2 6× 3＝ 6．FN 32即 AB 为定值6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分FN20．解（ 1）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 S n ＝ na 1＋n(n － 1)nn － 1 d ．2d ，从而 S＝ a 1＋2n≥n S n －1n － 1n －2dS －＝ (a ＋＋n 2 2 d)＝n － 11d)－ (a 12即数列 {S n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n } 是等差数列．（ 2）因为对任意正整数n ，k(n ＞k)，都有S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 成立，所以 S n ＋ 1＋ S n － 1＝ 2 S n ，即数列 { S n } 是等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分设数列 { S n } 的公差为 d 1，则 S n ＝ S 1＋ (n － 1)d 1＝ 1＋ (n －1)d 1，所以 S n ＝[1 ＋(n － 1)d 1] 2，所以当 n ≥2 时，a n ＝ S n － S n － 1＝ [1 ＋( n － 1)d 1] 2－ [1＋ (n －2)d 1] 2＝ 2d 21n － 3d 21＋ 2d 1，因为 { a n } 是等差数列，所以 a 2－ a 1＝ a 3－a 2，即(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－ 1＝ (6d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)，所以 d 1＝1，即 a n ＝ 2n － 1．又当 a n ＝2n － 1 时， S n ＝ n 2， S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 对任意正整数 n ， k(n ＞ k)都成立，因此 a n ＝2n － 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 3）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 a n ＝ a 1＋ (n － 1)d ， b n ＝ a a n，所以b na n －a n － 1db n－1 ＝ a＝ a ，即数列 { b n } 是公比大于 0，首项大于 0 的等比数列． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分记公比为 q(q ＞ 0)．以下证明： b 1＋ b n ≥b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．因为 (b 1＋ b n )－ (b p ＋ b k )＝ b 1＋b 1q n － 1－ b 1q p － 1－b 1q k － 1＝b 1( qp －1－ 1)( q k － 1－ 1)．当 q ＞1 时，因为 y ＝ q x为增函数， p －1≥ 0，k － 1≥ 0，所以 qp －1－ 1≥0， qk －1－ 1≥ 0，所以 b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ．当 q ＝1 时， b 1＋ b n ＝ b p ＋ b k ．当 0＜q ＜ 1 时，因为 y ＝ q x为减函数， p － 1≥0， k － 1≥0， p 1k 1综上， b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分所以 n(b 1＋ b n )＝ (b 1＋ b n )＋ (b 1＋ b n )＋⋯＋ (b 1＋ b n )≥(b 1＋ b n )＋ (b 2＋ b n－ 1)＋ (b 3＋ b n － 2)＋⋯＋ (b n ＋ b 1)＝ ( b 1 ＋ b 2 ＋⋯＋ b n )＋ (b n ＋ b n － 1＋⋯＋ b 1)，b 1＋ b 2＋⋯＋ b nb 1＋ b n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分即≤．n2南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2013.0521．【选做题】在 A 、 B 、 C 、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．A ．选修 4— 1：几何证明选讲证明如图，延长 PO 交⊙ O 于 D ，连结 AO ， BO ． AB 交 OP 于点 E ．A因为 PA 与⊙ O 相切， DOE C P 所以 PA 2＝ PC · PD ．B设⊙ O 的半径为 R ，因为 PA ＝ 12， PC ＝ 6，（第 21 题 A ）所以 122＝6(2R ＋ 6)，解得 R ＝9． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因为 PA ，PB 与⊙ O 均相切，所以PA ＝ PB ．又 OA ＝ OB ，所以 OP 是线段 AB 的垂直平分线． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分即 AB ⊥ OP ，且 AB ＝ 2AE ．在 Rt △ OAP 中， AE ＝OA · PA ＝ 36．OP 5所以 AB ＝72．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5B ．选修 4— 2：矩阵与变换1 a 1，即 1＋ a ＝0，解（ 1）由题知，11＝b 2b ＋ 1＝2，解得 a ＝－ 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分b ＝ 1．（ 2）设 P' (x ， y)是曲线 C'上任意一点， P' 由曲线 C 上的点 P (x 0 ， y 0) 经矩阵 M 所表示的变换得到，1 － 1x 0 x x 0－ y 0＝x ，x 0＝ y ＋ x，解得2所以y 0＝，即 x 0＋ y 0＝y ，y － x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分11yy 0＝．2因为 x0y0＝ 1，所以y＋x·y－x＝ 1，即y2－ x2＝ 1．2244即曲线 C' 的方程为y2－ x2＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44C．选修 4— 4：坐标系与参数方程解以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆 C 的直角坐标方程为 (x－ 3)2＋ ( y－1) 2＝ 4，点 M 的直角坐标为 (3 3，3)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分当直线 l 的斜率不存在时，不合题意．设直线 l 的方程为 y－3＝ k(x－ 3 3)，由圆心 C( 3， 1)到直线 l 的距离等于半径2．故 |2 3k－ 2|＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分k2＋1解得 k＝ 0 或 k＝ 3．所以所求的直线 l 的直角坐标方程为y＝3或3x－ y－ 6＝0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分π所以所求直线l 的极坐标方程为ρsinθ＝3或ρsin(－θ)＝3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3D．选修 4— 5：不等式选讲x≥ 4，x＜ 4，解原不等式等价于x 2－ 4x－ 3＜0，或－ x2＋ 4x－ 3＜ 0．x≥ 4，或 x＜ 4，解得2－ 7＜ x＜ 2＋ 7，x＜ 1或x＞ 3．即4≤x＜ 2＋ 7或 3＜ x＜ 4 或 x＜1．综上，原不等式的解集为 { x| x＜ 1 或 3＜ x＜ 2＋ 7} ．【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共 20 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分22．解（ 1）如图，取AC 的中点 F ，连接 BF ，则 BF ⊥ AC．以 A 为坐标原点，过 A 且与 FB 平行的直线为x 轴， AC 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0，0， 0)， B( 3， 1，0)，z PC(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， E(0， 1， 1)，ED →→从而 PB ＝ (3， 1，－ 2)， AE＝ (0， 1， 1)．设直线 AE 与 PB 所成角为θ，A FC y→ →1x B则 cosθ＝|PB· AE→ →|＝．4（第 22 题）|PB|× |AE|即直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4．→→ （ 2）设 PA 的长为 a ，则 P(0， 0， a)，从而 PB ＝ ( 3， 1，－ a)，PC ＝(0 ，2，－ a)．→→设平面 PBC 的法向量为 n ＝( x ， y ， z) ，则 n ·1·11 PB ＝ 0， n PC ＝ 0，所以 3x ＋ y －az ＝ 0， 2y －az ＝ 0．令 z ＝ 2，则 y ＝ a ， x ＝33 a ．3所以 n 1＝( 3 a ，a ， 2)是平面 PBC 的一个法向量．因为 D ， E 分别为 PB ，PC 中点，所以 3 1 a aD( ， 2， )，E(0， 1， ) ，2 2 2 →3 1 a → a )．则 AD ＝ ( 2 ，， )， AE ＝ (0，1， 22 2 设平面 ADE 的法向量为 n ＝( x ，y ， z)，则 n→→··22 AD ＝0， n 2 AE ＝ 0．所以31aa2 x ＋ 2y ＋ 2z ＝ 0， y ＋ 2z ＝0．3令 z ＝ 2，则 y ＝－ a ， x ＝－ 3 a ．所以 n 2＝(－3 a ，－ a ， 2)是平面 ADE 的一个法向量． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3因为面 ADE ⊥面 PBC ，所以 n ⊥n ，即 n ·＝ (32) ·31 2－ a 2＋ 4＝ 0，121 n 23 a ， a ，(－ 3 a ，－ a ， 2)＝－ 3a解得 a ＝ 3，即 PA 的长为 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分223．解（ 1）p 1＝，p 2＝ 2× 2＋ 1× ( 1－2 ) ＝5．33 3 3 9（ 2）因为移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率为于是移了 n ＋ 1 次后棋子落在上底面顶点的概率为从而 p n+1－1＝ 1 (p n －1)．2 3 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分p n ，故落在下底面顶点的概率为1－ p n ．pn+12 1 11．＝ p n ＋ (1－p n )＝ p n ＋333 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分所以数列 { p n －1} 是等比数列，其首项为1，公比为 1．26 311 ×( 1 ) n －1 1 11 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分所以 p n －＝3．即 p n ＝＋ ×n ．262 23用数学归纳法证明：①当 n ＝ 1 时，左式＝1＝3，右式＝ 1，因为3＞1，所以不等式成立．4× 2－ 1 525 23当 n ＝2 时，左式＝1＋ 1＝78，右式＝ 4，因为 78＞4，所以不等式成立．4× 2－ 1 4× 5－ 155355 339②假设 n ＝ k(k ≥ 2)时，不等式成立，即k1 ＞k2∑．i =14P i － 1 k ＋ 1k112123 k+1则 n ＝k ＋ 1 时，左式＝ ∑＋＞k＋＝ k＋．i － k+1 － 11 11k+1 i =114Pk ＋ 1k ＋ 13 ＋ 24P＋ × k+1)－ 14( 22 3要证 k23k+12＋ ≥ (k ＋ 1) ，k ＋13 k +1＋ 2k ＋ 2k+122只要证3≥(k ＋1) － k．3k+1＋2k ＋ 2 k ＋ 13k+1k 2＋3k ＋ 1只要证 3k+1＋2≥ k 2＋ 3k ＋ 2．2 1 只要证 3k+1≤k 2＋ 3k ＋1．只要证 3k+1≥ 2k 2＋ 6k ＋2．因为 k ≥2，所以 3k+1＝ 3(1＋ 2)k ≥ 3(1＋ 2k ＋ 4C 2k )＝ 6k 2＋ 3＝ 2k 2 ＋6k ＋ 2＋ 2k(2k －3)＋ 1＞ 2k 2＋ 6k ＋ 2，k23k+1(k ＋ 1)2所以 k ＋1 ＋3k+1＋ 2≥k ＋ 2．即 n ＝k ＋ 1 时，不等式也成立．n1 ＞ n2由①②可知，不等式 ∑对任意的 n ∈ N * 都成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分i =14P i －1 n ＋ 1。

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