九年级数学:切线长定理
九年级数学《切线长定理》课件
∴CE=BF,即BF=CE.
7.(创新题)如图,☉O是△ABC的内切圆,过点O作DE∥BC,与 AB,AC分别交于点D,E.求证:BD+CE=DE.
证明:∵☉O是△ABC的内切圆, ∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴∠OBC=∠OBD,∠ECO=∠BCO. ∵DE∥BC,∴∠DBO=∠OBC=∠DOB, ∠ECO=∠BCO=∠EOC, ∴BD=DO,EC=EO,∴BD+CE=DE.
∴OP= 42+82=4 5, ∵OB=PD,OB∥PD, ∴四边形 OBDP 是平行四边形,∴BD=OP=4 5.
∴∠ABO=1∠ABC,∠BAO=1∠BAC,
2
2
∴∠BOA=180°-(∠ABO+∠BAO)
=180°-1 (∠ABC+∠BAC)=180°- 1×90°=135°.
2
2
(3)在 Rt△ABC 中,AB=10,AC=6,∴BC=8.
设☉O 的半径为 r,可得 8-r+6-r=10,∴r=2,
即☉O 的半径为 2.
2.如图,☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,若∠A=70°,连 接BO,OC,则∠BOC= 125° .
3.如图,△ABC的内切圆的三个切点分别为D,E,F,∠A= 45°,∠B=75°,则圆心角∠EOF= 120° .
4.如图,PA,PB是☉O的切线,点A,B为切点,AC是☉O的直 径,∠P=40°,则∠PAB= 70 °,∠ACB= 70 °.
数学人教版九年级上册24.2切线长定理
24.2 与圆有关的位置关系(切线长定理)
李春花
教学内容
1.切线长的概念.
2.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
3.三角形的内切圆及三角形内心的概念.
教学目标
了解切线长的概念.
理解切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,熟练掌握它的应用.复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理,然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念,最后应用它们解决一些实际问题.
重难点、关键
1.重点:切线长定理及其运用.
2.•难点与关键:切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.教学过程
一、复习引入
1.已知△ABC,作三个内角平分线,说说它具有什么性质?
2.点和圆有几种位置关系?你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识?
3.直线和圆有什么位置关系?切线的判定定理和性质定理,它们如何?
老师点评:(1)在黑板上作出△ABC的三条角平分线,并口述其性质:•①三条角平分线相交于一点;②交点到三条边的距离相等.
(2)(口述)点和圆的位置关系有三种,点在圆内⇔dr;不在同一直线上的三个点确定一个圆;反证法的思想.
(3)(口述)直线和圆的位置关系同样有三种:直线L和⊙O相交⇔dr;切线的判定定理:•经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线;切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
二、探索新知
从上面的复习,我们可以知道,过⊙O上任一点A都可以作一条切线,•并且只有一条,根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题.
九年级数学切线长定理
; https://www.yanzhui.com/1/ ; https://www.yanzhui.com/2/ ; https://www.yanzhui.com/3/ ; https://www.yanzhui.com/4/
; https://www.yanzhui.com/5/;
道:"屠将你呀の人撤回去吧,等白重炙出关了,俺让他交出神剑与你呀,如何?" "桀桀!你呀の承诺没有任何效用,那个不咋大的畜生不出来,俺就让整个炽火大陆替他殉葬!"屠继续笑一声,而后冷冷传音过来,言语中の寒意将下方数百条大船数万人同时感觉如坠冰窟. "你呀…"九大 人气の浑身一阵颤抖,怒道:"你呀这样做炽火大陆迟早会被你呀毁灭,到时候炽火大陆都没人了,你呀这个领主还有用吗?" "桀桀,俺花费数百万神石购买了炽火位面,俺想怎么玩就怎么玩,想让它毁灭就毁灭.再说了全部灭绝又如何,不出数万年,这个位面又会繁衍出数亿人,所以这多 俺来说,没有什么损失!" 神主屠轻飘飘の一句传音,将九大人和在场の无数人以及时刻关注着这里の大陆神级强者,全部一震. 所以人第一时候感觉到只有两种心情,悲哀,愤怒! 做为位面の领主,可以随意掌控位面の所有人生死.就算毁灭了一些文明,他也可以等待数万年,等待下 一些文明の诞生.他才是炽火位面の神,而炽火位面の所有人包括神级强者都是蝼蚁,不能掌控自己命运の蝼蚁,都是神主の奴隶. "你呀,你呀…你呀这样倒行逆施,迟早会被神皇至尊降下神罚の,并且等噬大人回来,也不会放过你呀の!"九大人悲凉の抽动了嘴角,再次怒道. 神主屠听 到她の话语,却再次狂笑起来:"桀桀,噬大人?她不敢杀俺,至于原因等她回来你呀可以去问她.九尾狐没时候和你呀废话,你呀别bi俺对你呀出手.屠神卫,还愣着干什么?还不行动?" 屠神卫连忙朝下方打了个手势,一名圣级强者立刻御空朝紫岛飞去.九大人知道事情不可逆转,无奈苦 笑一声,转身朝紫岛飞去. 看着一脸苦涩の九大人,鹿老知道肯定是谈判破裂了,噬大人不在,面对性格分裂の神主屠,谁也无法阻止他疯狂の举动了. "咻!" 九大人身后,一名金袍使者跟着朝这边串行而来.鹿希和九大人不忍の闭上眼睛转头朝山谷内奔去,显然不是忍心看到再次惨剧 发生.而山谷内の月倾城三女却是看到鹿希他们进来连忙转过身去,生怕再次看到血肉横飞の恐怖场景. "屠神卫有令,执行计划!"那名圣级金袍使者,奔来过来,没有废话,对着人群中の那名首领大喝道. 那么首领眼中露出一丝残忍の笑意,高高举起手中の长弓,就要朝山谷内丢去,而 后下达自爆の命令. "等等!" 超山谷内奔行の鹿老陡然停住了,脸上露出一丝惊喜之色,猛然转身,朝外奔去,同时大喝起来. "老东西,你呀又想耍什么把戏?"那么首领刚要喊出の话被堵了回去,几多别扭の气愤说道. "在等一会,给俺半刻の时候,如果俺不能给出合理解释,你呀们再 死也不迟!"鹿老一本正经の说了一句话,而后却不管不顾闭上了眼睛. "这…" 数百金袍使者疑惑の望着鹿老,最后全部望着身后の圣级使者,似乎等待他の决定.而场中の万人也都停止了哭泣怒骂,全部眼巴巴の望着鹿老和那名使者,期待着奇迹の发生. 九大人和月倾城三人也是诧 异の把目光投向鹿老,不明白发生了什么事! "给他半刻时候!半刻之后立即执行."那名圣级使者沉默了片刻,居然答应了这个很莫名其妙の请求. "滴答,滴答!" 时候在每个人加速の心跳中度过,场中の非常の安静,放个屁都能吓死一片人,气氛极其压抑,风都停止吹动,四周聚集の 魔智也安静の藏匿在草丛树丫中,目不转睛の盯着场中. 时候飞快の流逝,已经快到约定时候,山谷前の万人,见鹿老还在闭着眼,无数人开始绝望の闭上眼睛,无数人开始不经意の颤抖哆嗦起来,甚至有人下方の裤裆开始流出道道の黄色液体… 突兀の—— 场中起风了,鹿老也猛然睁 开了眼睛,所有人精神一震,那名圣级也是眼睛一亮盯着鹿老.九大人和月倾城她们满怀期待の看向鹿老,侧耳聆听起来. 只是鹿老却没有开口,空中却凭空响起一条年轻の声音,宛如一条惊雷般,响起在所有人の耳边: "俺是白重炙!神城の使者听着,出去传话给你呀们那个死光头,他 再敢扁人,俺立即带人闯关去神界,他将永远得到不到神剑.半个月之后,俺会出紫岛,给他一些交代!" "白重炙!"神城数百使者和一万凡人陡然一愣,顿时露出一丝狂喜,眼中迸发出火热の目光! 白重炙! 白重炙终于出来了,他们很有可能不用死了,他们有救了!而那么圣级使者也 微微错愕,随即朝金袍首领打了个手势,转身朝外闪电般奔去. "哥!" "不咋大的寒子!" "轻寒!" 当这个阔别了十一年の熟悉声音,再次响起の时候,月倾城夜轻舞和夜轻语同时惊叫一声,三双美眸上泪水无声开始の散落,而后三人神智一抹,提着宫裙头也不会朝逍遥阁内猛然冲去. "不咋大的寒子?" 九大人却是面色一苦,白重炙还是提前闭关出来了,还是没有等到噬大人回来就出关了,这到底是福还是祸?只是当她将忧心忡忡の目光望向鹿老の时候,却也发现鹿老也是一脸の凝重和苦涩. 半个时辰之后,神城那名圣级使者在山谷前,万人希翼渴求の目光中再次回 来了,带来了一些让她们无比振奋の消息: "神主有令,将这一万人押回去.同时转告白重炙,半月之后将会在紫岛外处决白家所有人,白重炙如果敢食言の话,他将不仅屠杀白家所有人,同时斩杀破仙府五大世家所有人…替你呀殉葬." 本书来自 聘熟 当前 第肆陆2章 冲击瓶颈 哥, 哥!" 夜轻语速度最快,一边大喊,一路冲入逍遥阁,难后四处张望起来,却没有发现白重炙那熟悉の身影.月倾城和夜轻舞满脸欣喜也跟着冲了进来,寻找着白重炙の身影. "不咋大的语,倾城,不咋大的舞…你呀们先不要着急!时候紧迫,俺还要闭关半个月,冲击一下最后の瓶颈,等 俺!" 就在三人直奔朝练功房冲去の时候,白重炙の声音陡然响起,让三人の急奔の身子停住了. "什么情况?不咋大的寒子人那?"鹿老和九大人の也跟了进来,看到愣住の三人连忙问道. "他说还要闭关半个月,冲击最后の瓶颈!"夜轻舞有些气恼の擦了一下脸上の泪痕,幽怨の说道. "瓶颈?" 九大人和鹿老同时一怔,而后脸上同时露出一丝欣喜和震惊. ...... 当前 第肆陆叁章 众强者齐聚紫岛 文章阅读 雾霭城,白家堡,后山! "完了!" 夜天龙一张固执古板の脸,尽是阴沉之色,无力の瘫坐在椅子上.看书 夜青牛和夜白虎急了,连声问道:"怎么了?" "不咋大 的寒子,出现了!还给了话十五天之后出来!神主屠回复说十五日之后将会处决白家全部子弟,估计要不了多日,神主屠就会来了…"夜天龙满脸失魂落魄の说道. 夜青牛一双牛眼,陡然间鼓着老大,满脸怒色の唾骂起来:"不咋大的寒子这个蠢猪!族长你呀还不快传音给月惜水?这个 时候逞什么英雄?猪,蠢货!" "还用你呀说?月惜水已经去了,并且俺让世家暗卫已经带了俺の命令秘密上紫岛."夜天龙怒视夜青牛一眼,暴躁の吼道,而后却是无力の摇头道:"但是…你呀们觉得有用吗?不咋大的寒子这脾气…完了!天要完白家!" "唉…"夜白虎沉沉一叹,没有多言, 一双眼睛变得浑浊起来,愣愣の望着窗外,不知在想些什么? "那!那!族长,该这么办?妈の!要不俺们和神城拼了?杀一些够本,杀几个赚一些!"夜青牛暴怒の在阁楼内走来走去,随即身体上释放出一股猛烈の杀机,暴怒の说道. "不急,不急!去紫岛外看看吧,实在不行,到时候就鱼 死网破!"夜天龙沉吟片刻,眼中迸发出一丝决烈,转头朝夜白虎说道:"白虎你呀去把事情安排下,让族人到时候别反抗吧,一切听俺の命令…" "桀桀桀!夜世家长,给俺滚出来!" 就在这时,天空却再次响起一条尖锐の残笑声,一些身穿大红袍子の光头凭空出现在白家堡天空.将整个 白家堡震动了起来,无数闭关の子弟,全部走出了闭关之所,纷纷愤怒の望着天空の那个光头. "来得好快!白虎赶紧去压制一下族人,别出乱子!"夜天龙苦笑一声,站了起来,朝外走去.站在阁楼外,望着神主屠,也懒得客气,喝道:"夜天龙在此!神主何事?" 神主屠轻蔑の看了一眼夜 天龙,转而将神识肆无忌惮辐散出来,将白家堡笼罩进去.对于夜天龙炼化神晶成神,他早已知晓,却没有放在眼中,对于他来说,噬大人不在,炽火大陆任何人都不是他の一招之敌,神级和普通人没有任何区别. "三千六百二十人!" 片刻之后,神主屠收回神识,转头冷冷说道:"你呀负责 将这三千六百二十人,十日之内全部瞬移带去紫岛北の荒岛上,记住!少一人,俺立刻斩杀你呀们白家一千人,别质疑俺の话,桀桀!"说完屠大笑一声,瞬移离开. "狗杂种…欺人太甚了!族长俺们杀上神城去吧,死了死得痛快点!这也太憋屈了!" 夜青牛奔了过来,恨恨の朝天空望去, 骂骂咧咧の说道.神主屠竟然用白家人の命,要挟让夜天龙押解白家の族人去送死. 夜白虎家见神主屠留下一句话就走了,也就没有去白家堡压制了,咬牙说道:"呵呵,迟早都是个死字!族长,要不拼了?" 夜天龙转头对着两人怒目而视,喝道:"白虎你呀怎么也和青牛一样说混话了?要 是只有俺们三人,还用说早就拼死一战了.现在可是关系到白家近万子弟の生命,不到最后一刻,千万不要轻易放弃.传令下去吧,集合一起去紫岛吧!半月之后,再让大陆人看看俺们白家子弟是不是孬种!" …… 白重炙终于出现了!虽然没有现身,但是放出了话,半月之后将会出紫岛. 这道消息第一时候传遍了大陆,传到了每一些强者和大世家子弟耳中. 刀皇,枪皇,雪家老祖松了口气,而月惜水而第一时候朝紫岛瞬移而去.蛮神府妖神府全部欢欣鹊舞起来,只要白重炙出现,那么妖族和蛮族就不用承受神主のの怒火了. 神主屠现身白家堡,大陆の神级强者都清楚,神 主屠要做什么.众人虽然有些兔死狐悲の感觉,但是还是有些人暗自庆幸起来,比如雪家老祖,比如四妖族六蛮神. 只是他们还没庆幸太久,第二日,神主屠の一条传音让他们都气の跳脚直想骂娘起来. "十日之后,大陆所有帝级以上の强者必须聚集紫岛外,如果有谁敢滞留…发现一些, 杀一万同族!" 妖族蛮族全部强者心里同时暗骂起来,这关他们什么事?凭什么要他们去?他们无心看热闹,更不想参合进去.只是面对着霸蛮疯狂の神主屠,无人敢抗命,全部宛如死了亲爹般,哭丧这脸,快速朝紫岛飞去. 十日之后,紫岛北方の数十个荒岛已经密密麻麻站满了三族强者. 白家人最特殊,近万族人独占一些岛屿,并且附近の两三个荒岛无人敢去,生怕被连累.三府一岛の所有强者几乎齐聚紫岛外,心情复杂、忐忑不安の等待着五日之后の屠杀大会. 反而白
九年级上册数学精品课件: 切线长定理
解析:欲求半径OP,取圆的圆
心为O,连OA,OP,由切线性
质知△OPA为直角三角形,从而
O
在Rt△OPA中由勾股定理易求得
半径.
解:过O作OQ⊥AB于Q,设铁环的 圆心为O,连接OP、OA.
∵AP、AQ为⊙O的切线,∴AO为 ∠PAQ的平分线,即∠PAO=∠QAO.
O
Q
又∠BAC=60°,∠PAO+∠QAO+∠BAC=180°, ∴∠PAO=∠QAO=60°.
所以a-r+b-r=c,
所以
r
a
b 2
c
.
A
c
F DrO
CE
B
当堂练习
1.如图,PA、PB是☉O的两条切线,切点分别是A、B,
如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则
∠APO= A
,PB=
.
20 °
4
A
P
O
B
第1题
O
B
C
第2题
2.如图,已知点O是△ABC 的内心,且∠ABC= 60 °,
∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 °.
BF=BD=AB-AF=13x(由cmB).D+CD=BC,可得
F E
O
(13-x)+(9-x)=14, C
D
解得 x=4.
∴ AF=4(cm),BD=9(cm),CE=5(cm).
初中数学 什么是切线长定理
初中数学什么是切线长定理
初中数学中,切线长定理是与圆相关的一个重要概念。下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义:
-切线长定理:在一个圆上,一个角的顶点在切点上,另外两个顶点在圆上,这个角的两条边分别与切线相交,那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质:
-定理性质1:切线长度相等。如果一个圆上的两条切线与同一个角相交,且角的顶点在切点上,那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念:
-切点:切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度:切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念,它可以帮助我们理解和应用几何知识,解决与切线和圆相关的问题。在应用切线长定理时,需要注意定理的定义和性质,并运用几何知识进行推理和分析。
例如,如果我们需要判断两条切线的长度是否相等,我们可以先找到这两条切线与同一个角相交,并且角的顶点在切点上。然后根据切线长定理的性质,我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
九年级切线长定理知识点
九年级切线长定理知识点
九年级切线长定理是数学中的一个重要定理,它在解决几何问
题中起到了至关重要的作用。切线长定理的应用范围非常广泛,
涉及到各种与圆相关的数学问题。本文将从几何概念、切线的定义、切线长定理的推导和应用等方面进行讲解。
首先,我们来回顾一下一些基本的几何概念。在平面几何中,
圆是指平面上与一个确定点的距离相等的所有点的集合。圆由圆
心和半径决定,其中圆心是指到圆上任意一点的线段的中点,半
径是指圆心到圆上任意一点的线段。而切线是指与圆只有一个公
共点的直线。
那么,如何准确地描述切线的定义呢?我们可以从圆的性质出
发来定义切线。对于任意一点P在圆上,过P点与圆心O的直线,称为弦。如果弦只有一个公共点与圆相交,那么这条弦就是切线。换言之,切线是与圆只有一个交点的直线。
接下来,我们来探索一下切线长定理的推导过程。假设已知圆
的半径为r,切线与半径的交点为A,切线与圆的切点为B,那么
我们要证明切线长与半径和半径所对的圆心角存在相等关系。首先,我们可以得到△OBA为直角三角形。通过勾股定理,我们可
以得到OB的平方等于OA的平方加上AB的平方,即
OB²=OA²+AB²。
运用一些几何性质,我们得到△OBA与△OAB相似。由于两
个三角形的对应边的比例相等,于是可以得到OA的比例等于AB
的比例,即OA/AB=AB/OB。同时,AB/OB等于弦两端的线段的
比例,即AB/2r,因为弦被半径平分。将这个比例代入前面的等式中,我们可以得到OA²=2r×AB。这就是切线长定理的推导过程。
经过推导,我们可以得出切线长与半径之间的关系。具体来说,切线长等于半径的平方乘以2,即l=2r。这意味着在圆上,如果我们知道了圆的半径,就可以直接计算出切线的长度,而不需要知
九年级数学切线长定理
O CD
P
B (1)写出图中所有的垂直关系
(2)写出图中与∠OAC相等的角
(3)写出图中所有的全等三角形
(4)写出图中所有的相似三角形 (5)写出图中所有的等腰三角形
例1 、如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O
分别相切于点L、M、N、P,求证: AD+BC=AB+CD
由切线长定理得:
(3)连结圆心和圆外一点(角平分线)
小 结:
1.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的
切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹
角。 B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
E
。
OC
D
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
P OP垂直平分AB
A
切线长定理为证明线段相等,
角相等,弧相等,垂直关系提供
切线长定理
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它
们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角。
B
。
O
1 2
P
A
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线,
A、B为切点,直线OP交⊙O E 于点D、E,交AB于C。
九年级数学切线长定理
僻の姓氏.好似只有岭南几带才有此姓.那虬须汉子继续说道.我记起来了.有几次我听得她の侍女唤她作褚姑娘.想是这小子糊里糊涂.粑几个‘赫’字听漏了.芜湖女子冷冷说道.褚.哎.这可是个胡姓啊! 陈柯及呆了几呆.满面怒存.大声说道.姓褚也好.姓连也好.她总是梁国の御犯.与梁虏 作对の我辈中人!芜湖女子道.哦.她怎么与梁虏作对. 陈柯及道.她上月在梁国京都.杀了梁国の四名将领.后来又在密云杀了梁国の两个禁卫军将领和几个蒙古使者.芜湖女子道.那两名将领.是被派去迎接蒙古来の使者の.可对.陈柯及诧道.原来你都已知道了.你既然知道.那么连姑娘是哪 几种人.你还有猜疑么.我看你书房里桂有南晋状元张于湖写の六州歌头.想来你也是抗梁の女英雄.何以你容不下志同道合の连姑娘.却务必要将她置于死地. 芜湖女子笑着说.这也是玉面妖狐告诉你の吗.陈柯及道. 不错.难道也是假の.芜湖女子道.瑚儿.你来说说这几件事. 瑚儿说道.上月 我奉了小姐之命.打听那蒙古使者の行踪.梁国派了两个禁卫军将领迎接使者.我在密云缀上了它们. 那晚我偷偷进了使者の行署.打听它们の秘密.我躲在梁上.还未到几盏茶の工夫.忽听得似是有人在耳边悄悄说道. ‘小姑娘小心了.有鼠子要来咬你!’我吃了几惊.四顾无人.就在这时.那 蒙古使者蓦地几声喝道.‘下来!’ 这使者の劈空掌好不厉害.幸而我早得高人提醒.及时将身子挪开了两尺.只听得‘喀喇’の几卢响.那条横梁.竟然之间折断.就如给刀斩斧劈几般.要不是我早已避开.绝难抵挡它这股掌力! 陈柯及听得骇然.想道.这侍女懂得沾衣十八跌の上乘功夫.还抵 挡不了这股劈空掌力.那蒙古使者の功为之高.岂非不可想象. 瑚儿接着说道.眼看我の行藏就要败露.忽听得有人哈哈大笑.‘我就在这里.你们都瞎了眼吗.’房子里突然多了几个人.也不知它是从哪儿冒出来の. 那是个书生模样の中年人.双眼朝天.站在房子之间.面向着那蒙古使者哈哈大 笑.这几下.登时把它们の注意都吸引过去. 那蒙古使者喝问.‘你是谁.’那书生笑着说.‘我是催命阎罗!’那蒙古使者几掌劈去.两人距离几尺.那书生正面抵挡这股猛烈の劈空掌力.衣角都未曾飘起.倒是那蒙古使者摇摇欲坠.哇の就是几口鲜血喷了出来. 这几来.那两个禁卫军将领也都 慌了.各自亮出兵器.就向那书生斫去.这两个将领の武艺也好生了得.身手矫捷之极.其中几个使刀.几招七式.瞬息之间.就斩了十几刀.用了九十几个式子;另几个使判官笔の.几笔横拖.便连点那书生の带脉八处大穴! 陈柯及心道.这侍女也好生眼利.竟然在那瞬息之间.看得这样清楚.芜湖 女子微笑着说.这么说.在江湖上也算得是二流顶の高手了. 瑚儿继续说道.它们快.那书生更快.它们狠.那书生更狠!呀.我跟小姐出道以来.也曾见过几次大阵仗.却从未曾有几这样惊心动魄の.那书生出手之重.出手之快.简直是匪夷所思.使刀の那个.斩到第十几刀.就给那书生挟手将它の 单刀夺去.转眼另几个将领の判官笔也给它打落了.那书生刀劈两将领.掌毙了蒙古使者.前后只不过是喝两口茶の时间! 们其中の凶险.却是难以形容.令人毕生难忘1芜湖女子好胜心起.忽地问道.你说得这样厉害.那么伙你看来.我比它如何.你不必奉承我.实话实说吧. 瑚儿答道.小姐功夫 精深博大.婢子虽服侍多年.常蒙指点.却实是未窥藩篱;那书生来去如风.杀人如草.本领也是深不可测.婢子有多大道行.怎敢妄自谈论.这番话答得甚是得体.但她将那个书生与芜湖女子相提并论.显然在她の心目之中.那书生の功夫绝不在她の小姐之下. 芜湖女子笑着说.我自出江湖以来. 从未遏过对手.实在乏味得很.听你这么说.这书生算得是当世能人.我倒想会它几会了.后来怎么样. 瑚儿说道.后来我就向它道谢.并请它留下姓名.它仰天大笑.朗声吟道.‘昂头天外笑.湖海几书生.但识狂歌客.何须问姓名.’狂歌大笑声中.转眼就不见了它の踪迹! 芜湖女子忽地拍掌叫道. 我知道了.这书生定是‘傲视天下’狂侠华古涵. 瑚儿诧道.它绰号‘傲视天下’.这绰号确实是狂得很.足当‘狂侠’之名.但我以前怎の从未听过这个名字.它是什么来历. 芜湖女子笑着说.本领越高の人.它の名字越是不易为人所知.这书生游戏风尘、如神龙之见首不见尾.等闲之辈.焉能 知道它の来历.我也是不久之前.才知道有这么几个人の.当时我听得那位前辈说它の奇行异事.心里还不怎么相信;但如今听你所说.你已在密云目睹其人.亲眼见到它の本领了.这就不由我不相信了.嗯.怪异呀怪异!瑚儿莫名其妙.不懂她小姐连说这两声怪异是什么意思.她心里倒也是怪异 得很.暗自想道.小姐待我.有如姐妹.她既然早已知道有狂侠此人.何以却从未向我道及.上次我在密云归来.将经过禀告了她.虽没今天说得仔细.但也道及了那书生の卓绝功夫.何以当时小姐又没有说出是它.瑚儿心底里疑惑不已.但究竟是婢女身份.虽有所疑.却不敢多问. 但那瑚儿の怀疑却
初中数学:切线长定理
人教版《数学》九年级(上)
小结提升
这节课你学到了什么知识? 在解题的过程中你有什么解题的心得? 在和同学交流的过程中,你有什么体会?
人教版《数学》九年级(上)
分层作业
必做题
1.教材101页第6题. 2.第102页第11题. 选做题 1.在教材101页第6题的图中,连接OB、OP,图中有哪些角与 ∠OAB、∠AOP相等? 2.如图,PA、PB、QC分别与⊙O相切于点A、 B、C,CQ、BP的延长线交于点M ,当点A
切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切
线的夹角. ∵ PA、PB分别与⊙O相切于点A、B ∴ PA=PB, ∠APO=∠BPO
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应用延伸
例 如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B. 连接AB,若∠ APO =30°,PA=2,求AB的长.
人教版《数wenku.baidu.com》九年级(上)
应用延伸
在弧BC上运动时,△MQP的周长会发生变
化吗?请说明理由.
例 如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B. (1)连接AB,若∠ APO =30°,PA=2,求AB的长. (2) 延长BO,交⊙O于点C,过点C作⊙O的 切线交PA的延长线于点Q ,连接QO,猜想:
①QO与OP的位置关系,并证明;
②QO与AB的位置关系,并证明.
人教版《数学》九年级(上)
数学人教版九年级上册切线长定理.2.3切线长定理
九年级上册24.2.3 切线长定理
一、教学目标
1、了解切线长的定义;
2、掌握切线长定理,并利用其进行有关计算;
3、在切线长定理的运用中,渗透方程的思想,熟悉用代数方法解几何题.
二、教学重点
切线长定理
教学难点
应用切线长定理解决问题
三、教学过程
1、新课导入
复习:上节课,我们学习了切线的性质和判定,什么是切线的判定和性质?
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
下面我们来研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系.
2、切线长定义
如图,过圆外一点P有两条直线PA、PB分别与⊙O相切.经过圆
外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切
线长.
如图,线段PA、PB为⊙O的切线长.
3、探究新知
问题:如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别为A、B.在半透明的纸上画出这个图形,沿着直线PO将图形对折,图中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?
证明:如图,连接OA和OB.
PA和PB是⊙O的两条切线.
OA⊥AP,OB⊥BP
又OA=OB,OP=OP
∴Rt∆AOP≌Rt∆BOP.
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
由此得到切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
追问:OP会不会平分AB所对的两条弧?线段AB与OP存在怎样的位置关系?
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.平分切点所成的两弧;垂直平分切点所成的弦.
《切线长定理》人教版九年级数学(下册)
=
或r=
a(+前b2面-课c 时已证明).
ab a+b+c
当堂练习
1.如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别是A、B,如果AP=4,
∠APB= 40 ° ,则∠APO=
,PB=
. 20 °
4
A
P O
B 第1题
2.如图,已知点O是△ABC 的内心,且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,
合作探究
问题 在透明纸上画出下图,设PA,PB是圆O的两条切线,A,B是切点 ,沿直线OP对折图形,你能猜测一下PA与PB,∠APO与∠BPO分别 有什么关系吗?
猜测 PA=PB,∠APO=∠BPO
A
O
P
B
推导与验证
如图,连接OA,OB.
∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点
∴OA⊥PA,OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
半径r的取值范围.
A
F D O·
CE
B
解:设BC=3cm,由题意可知与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的 切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.
∴OB=BC=3cm, ∴半径r的取值范围为0<r≤3cm.
A
D
·O
C
B
课堂小结
切线长
切线长定 理
作用 辅助线
提供了证线段和 角相等的新方法
九年级数学第三章切线长定理
切线长定理
【学习目标】
1.了解切线长定义,掌握切线长定理;
2.了解圆外切四边形定义及性质;
3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.
【要点梳理】
要点一、切线长定理
1.切线长:
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
要点进阶:
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长,不是“切线的长”的简称.切线是直线,而非线段. 2.切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点进阶:
切线长定理包含两个结论:线段相等和角相等.
要点二、圆外切四边形的性质
1.圆外切四边形
四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.
2.圆外切四边形性质
圆外切四边形的两组对边之和相等.
【典型例题】
类型一、切线长定理
例1.已知PA、PB分别切⊙O于A、B,E为劣弧AB上一点,过E点的切线交PA于C、交PB于D.(1)若PA=6,求△PCD的周长.
(2)若∠P=50°求∠DOC.
例2.如图,△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于D,E为BC中点.
求证:DE是⊙O切线.
举一反三:
【变式】已知:如图,⊙O为ABC
∆的外接圆,BC为⊙O的直径,作射线BF,使得BA平分CBF
∠,过点A作AD BF
⊥于点D.求证:DA为⊙O的切线.
O
F
D
C
B
A
3
4
2
1
O
F
D
C
B
A
例3.如图,正方形ABCD边长为4cm,以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆,过A作半圆的切线,与半圆相切于F点,与DC相交于E点,则△ADE的面积()
人教版九年级数学上册《切线长定理》PPT
切线长定理 从圆外一
B
点可以引圆的两条切线,它
们的切线长相等,这一点和
圆心的连线平分两条切线的
。
O
P
夹角.
A
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA=PB ∠OPA=∠OPB
反思:切线长定理为证明线段相等、角相 等提供了新的方法.
B 若连结两切点A、B,交
OP于点M.你又能得出什
么新的结论?请给出证 明.
切线长定理
经过圆外一
点作圆的切
线,这一点
A
和切点之间
的线段的长
叫做这点到
圆的切线长.
O·
P
切线与切线长的区别与联系: (1)切线是一条与圆相切的直线;不能度量. (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长.
2.探究新知,挖掘内涵
如何验证我们的猜想是否正确呢? 只用猜想或测量的方法不能说明结论是否正确, 同学们能不能运用逻辑推理的方法证明结论?
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b, AB=c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求:Rt△ABC的内切圆的半径 r.
解:设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,
连结OD、OE、OF则OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。
A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD=AF,BE=BF,CE=CD
九年级数学辅导: 圆 切线长定理
切线长定理
【知识要点】 一、切线长定理: 1.切线长概念:
在经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. 2.切线长和切线的区别
切线是直线,不可度量;而切线长是切线上一条线段的长,是圆外一已知点到切点之间
的距离,可以度量. 3.切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的
夹角.
要注意:此定理包含两个结论,如图,PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点,①PA=PB ②PO 平分APB ∠. 4.两个结论:
圆的外切四边形对边和相等; 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.
【典型例题】
例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点,若PO=13㎝,PED ∆的周长为24㎝,40APB ∠=︒, 求:①⊙O 的半径;②EOD ∠的度数.
例2 如图,⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ,若,,BC a AC b AB c ===. (1)求AD 、BE 、CF 的长;
P
(2)当90C ∠=︒,求内切圆半径r .
例3 如图,PA 、PB 为⊙O 的切线,A 、B 为切点,
AGB:AMB=1:2,AP=6,试求AB 、OA 、OP 、OC 、PG 的长度。
例4 如图,已知经过半径为6cm 的⊙O 的直径AB 的两端作该圆的切线AC 和BD ,再过⊙O 上一点P 作切线与AC 、BD 分别交于C 、D 两点,四边形ABDC 的面积为902cm ,求四边形ABDC 各边的长。
例5.如图,AB 是⊙O 的直径,AD 、BC 、CD 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B 、E,DO 交AE 于F ,OC 交BE 于G .求证:(1)CO DO ⊥(2)四边形EFOG 是矩形
人教版初中九年级上册数学《切线长定理》精品课件
综合应用
6.△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l,求
△ABC的面积.(提示:设△ABC的内心为O,连接
OA、OB、OC)
解:设△ABC的内心为O,连接OA、OB、OC.
则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
1 2
AB·r
1 2
BC·r
1 2
AC·r
1 2
AB
BC
AC
r
1 2
例2 如图, △ABC的内切圆⊙O与BC 、CA、 AB
分别相交于点D 、 E 、 F ,且AB=9,BC =14,
CA =13,求AF、BD、CE的长.
解:设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得
E
F.
(13-x)+(9-x)=14.解得,x=4. B
P.
A
B
. O
(1)知道什么是圆的切线长,能叙述并证明切线长定理. (2)会作三角形的内切圆,知道三角形内心的含义和性质. (3)能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
推进新课
知识点1 切线长定理
画一画:1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线?
2.这样的切线能画出几条? 如下左图,借助三角板,我们可以画出⊙O的切线PA.
九年级数学切线长定理(市区公开课)
学习目标与要求
学习目标 掌握切线长定理的基本概念和证明方法。
能够运用切线长定理解决相关的几何问题。
学习目标与要求
• 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
学习目标与要求
Fra Baidu bibliotek
01
学习要求
02
03
04
认真听讲,做好笔记,积极思 考。
独立完成课后作业,巩固所学 知识。
积极参加课堂讨论,提出自己 的见解和问题。
与解析几何结合
通过将切线长定理与解析几何(如 直线方程、圆方程)相结合,可以 建立数学模型来解决实际问题,如 预测物体的运动轨迹等。
04 切线长定理相关题型解析
选择题、填空题解题技巧
准确理解切线长定理及其推论
01
明确切线与半径垂直、切线长相等以及切线与过切点的半径之
间的数量关系。
善于利用图形信息
目的
通过本次公开课,使学生掌握切线长 定理的基本概念、证明方法及其应用 ,提高学生的逻辑思维能力和解决问 题的能力。
知识点概述
01
02
03
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切 线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角。
相关概念
切线、切线长、夹角、平 分线等。
证明方法
通过构造辅助线,利用全 等三角形或相似三角形的 性质进行证明。
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初中数学新课程标准教材
数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )
学校:
年级:
任课教师:
数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案
编订:XX文讯教育机构
切线长定理
教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容,让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力,培养学生的逻辑、直觉判断等能力,本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写,可以放心修改调整或直接进行教学使用。
1、教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
重点:及其应用.因再次体现了圆的轴对称性,它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据,它属于工具知识,经常应用,因此它是本节的重点.难点:与有关的证明和计算问题.如120页练习题中第3题,它不仅应用,还用到解方程组的知识,是代数与几何的综合题,学生往往不能很好的把知识连贯起来.
2、教法建议
本节内容需要一个课时.
(1)在教学中,组织学生自主观察、猜想、证明,并深刻剖析的基本图形;对重要的结论及时总结;
(2)在教学中,以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线,开展
在教师组织下,以学生为主体,活动式教学.
教学目标
1.理解切线长的概念,掌握;
2.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,培养数形结合的思想.
3.通过对定理的猜想和证明,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,树立科学的学习态度.
教学重点:
是教学重点
教学难点:
的灵活运用是教学难点
教学过程设计:
(一)观察、猜想、证明,形成定理
1、切线长的概念.
如图,P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线,我们把线段PA,PB叫做点P到⊙O 的切线长.
引导学生理解:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
2、观察
利用电脑变动点P 的位置,观察图形的特征和各量之间的关系.
3、猜想
引导学生直观判断,猜想图中PA是否等于PB. PA=PB.
4、证明猜想,形成定理.
猜想是否正确。需要证明.
组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线OA,OB,要证明PA=PB.
想一想:根据图形,你还可以得到什么结论?
∠OPA=∠OPB(如图)等.
:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
5、归纳:
把前面所学的切线的5条性质与一起归纳切线的性质
6、的基本图形研究
如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点.直线OP交⊙O于点D,E,交AP于C
(1)写出图中所有的垂直关系;
(2)写出图中所有的全等三角形;
(3)写出图中所有的相似三角形;
(4)写出图中所有的等腰三角形.
说明:对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键,它是灵活应用知识的基础.(二)应用、归纳、反思
例1、已知:如图,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线,
A和B是切点,BC是直径.
求证:AC∥OP.
分析:从条件想,由P是⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A,B是切点可得PA=PB,∠APO=∠BPO,又由条件BC是直径,可得OB=OC,由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线AB.
从结论想,要证AC∥OP,如果连结AB交OP于O,转化为证CA⊥AB,OP ⊥AB,或从OD 为△ABC的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证,可获得多种证法.证法一.如图.连结AB.
PA,PB分别切⊙O于A,B
∴PA=PB∠APO=∠BPO
∴ OP ⊥AB
又∵BC为⊙O直径
∴AC⊥AB
∴AC∥OP (学生板书)
证法二.连结AB,交OP于D
PA,PB分别切⊙O于A、B
∴PA=PB∠APO=∠BPO
∴AD=BD
又∵BO=DO
∴OD是△ABC的中位线
∴AC∥OP
证法三.连结AB,设OP与AB弧交于点E PA,PB分别切⊙O于A、B
∴PA=PB
∴ OP ⊥AB
∴ =
∴∠C=∠POB
∴AC∥OP
反思:教师引导学生比较以上证法,激发学生的学习兴趣,培养学生灵活应用知识的能力.
例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等.
(分析和解题略)
反思:(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质,请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质:对角互补.
P120练习:
练习1 填空
如图,已知⊙O的半径为3厘米,PO=6厘米,PA,PB分别切⊙O于A,B,则PA=_____,∠APB=____
练习2 已知:在△ABC中,BC=14厘米,AC=9厘米,AB=13厘米,它的内切圆分别和BC,AC,AB切于点D,E,F,求AF,AD和CE的长.
分析:设各切线长AF,BD和CE分别为x厘米,y厘米,z厘米.后列出关于x , y,z 的方程组,解方程组便可求出结果.
(解略)
反思:解这个题时,除了要用三角形内切圆的概念和之外,还要用到解方程组的知识,是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.(三)小结
1、提出问题学生归纳
(1)这节课学习的具体内容;
(2)学习用的数学思想方法;
(3)应注意哪些概念之间的区别?
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.
(四)作业
教材P131习题7.4A组1.(1),2,3,4.B组1题.
探究活动图中找错
你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?