2017届高三数学文理通用一轮复习课件：11.3 离散型随机变量及其分布列

解析:由题意知
× a=1,
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11.3 离散型随机变量及其分布列
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方法总结1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要 注意检验,以保证每个概率值均为非负数. 2.求随机变量取值在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范 围内随机变量对应的取值概率相加即可,其依据是互斥事件的概率 加法公式.
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1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量 ,所有取值 可以一一列出的随机变量,称为离散型 随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表
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解:(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件 A, (1 分) 则 P(A)=
1 C1 2 C6
C2 8
= .
13 , 28 9 , 28
3 7
(5 分) (6 分) (7 分) (8 分)
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1.对于分布列易忽视其性质p1+p2+…+pn=1及pi≥0(i=1,2,…,n), 其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确. 2.确定离散型随机变量的取值时,各个可能取值表示的事件是彼 此互斥的.
=
=
(9 分) (10 分)
P(X=4)=
2 2 C2 8 C6 C 4
· · =
1 . 28
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X 的分布列为 X P
1
13 28
2
9 28
3
5 28
4
1 28 (12 分)
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求离散型随机变量的分布列 典例(12分)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每摸 出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则试验结束. (1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率; (2)记试验次数为X,求X的分布列.
13 1 − 63 126
=
11 . 14
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所以随机变量 X 的概率分布如下表: X 2 3 4 13 1 11 P 63 126 14 11 13 1 20 因此随机变量 X 的数学期望 E(X)=2× +3× +4× = .
C3 8 C3 9
=
2 C2 ,P(X=-1)= 4 3 C3 9
=
1 1 2 ,P(X=1)=1- − 14 14 3
=
11 . 42
所以 X 的分布列为 X
2 1 11 P 3 14 42 2 1 11 4 则 E(X)=0× +(-1)× +1× = .
3 14 42 21
0
-1
1
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解:(1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球, 所以 P=
2 2 C2 4 +C3 +C2
C2 9
=
6+3+1 36
=
5 . 18
(2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4. {X=4}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”,故 P(X=4)=
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
称为离散型随机变量X的 概率分布列 (2)离散型随机变量的分布列的性质
������ ������ =1
,简称为X的分布列.
①pi≥0(i=1,2,…,n);② ∑ pi= p1+p2+…+pn =1.
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1 C2 6 C4
C3 10
+
0 C3 6 C4
C3 10
= + = .
1 2
1 6
2 3
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离散型随机变量的分布列的性质 1.设X是一个离散型随机变量,其分布列为
X P -1 1 2 0 1-2q 1 q2
5 , 28
(2)由题知 X 的可能取值为 1,2,3,4. 则 P(X=1)= P(X=2)=
C2 8 2 1 1 C6 C4 C2+C2 2
2· 1 2 C1 2 CHale Waihona Puke Baidu +C2
=
C8 2 C2 6 C4 P(X=3)= 2 · 2 C8 C6 2 C2 6 C4
·
C2 6 1 2 C1 2 C2 +C2 C2 2 C2 4
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������ 2.若离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= ������(������+1) 5 1 5 (n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 P < ������ < 的值为 . 6 2 2
1 1 1 1 + + + 1×2 2×3 3×4 4×5 4 5 即 a=1,解得 a= . 5 4 1 5 故 P < ������ < =P(1)+P(2) 2 2 1 5 1 5 5 = × + × = . 2 4 6 4 6
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3.两点分布:若随机变量X服从两点分布,其分布列为
X P 0 1-p 1 p
其中p=P(X=1)称为成功概率.
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1 2 3 4
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量. ( √ ) (2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随 机现象. ( √ ) (3)在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和 可以小于1. ( × ) (4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的. ( √ ) (5)由下表给出的随机变量X的分布列服从二点分布. ( × )
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对点练习 (2015山东高考)若n是一个三位正整数,且n的个位数 字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如 137,359,567等). 在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中 随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递 增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但 不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”; (2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X).
4.老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵,规定至少要背出 其中2篇才能及格,某同学只能背诵其中的6篇,则他能及格的概率 2 为 . 3
解析:设从 10 篇课文中随机抽 3 篇该同学能背诵篇数为 x,该同 学能及格,表示他能背诵 2 篇或 3 篇,则概率为 P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=
14 63 126 9
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方法总结1.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所 取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、排列组合、古 典概型等知识. 2.求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列 是否正确.
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考纲要求 理解取有限值的离 散型随机变量及其 分布列的概念,认识 分布列对于刻画随 机现象的重要性.
命题角度分析 通过近几年的高考试题分析,离散型随机 变量的分布列是高考考查的重点,题型为 解答题,属中档题 ,分布列常与排列、组 合、概率、均值与方差等知识结合考查, 侧重考查基础知识、运算能力和理解能 力.
C4 4 C4 9
=
1 ; 126
1 3 1 C3 4 C5 +C3 C6
{X=3}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他 颜色的球,或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球”,故 P(X=3)=
20+6 126 13 ; 63 C4 9
=
=
于是 P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-
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解:(1)个位数是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345; 3 (2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C9 =84, 随机变量 X 的取值为:0,-1,1, 因此 P(X=0)=
3 A. 16 2 5 D. 16 1 1 3 解析:P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)= 3 + 4 = . 16 2 2 1 B. 4 1 C. 16
1
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3.已知离散型随机变量X的分布列为
则q等于( C )
A.1
B.1±
√2
2
C.1-
√2
2
D.1+
√2
2
1-2������ ≥ 0, 2 ������ ≥ 0, 解析:由分布列的性质知 1 + 1-2������ + ������2 = 1, 解得 q=1- .
2
√2
2
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X P 2 0 .3 5 0 .7
(6)某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从 两点分布. ( × )
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2.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= ������,k=1,2,…,则 P(2<X≤4) 等于( A )
X P 1 k n .
������ ������
2 k n
3
… k … n
n k n
则k的值为
������ ������ ������ ������
1
解析:由 + +…+ =1,得 k=1.
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求离散型随机变量的分布列 例题盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些 球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P; (2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分 别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和 数学期望E(X).