2011高考数学三轮复习必做的数列综合题
2011年高考试题选-数列
2011年高考试题选—数列1. 已知数列{n a }的前n 项和n S 满足:n m n m S S S ++=,且1a =1.那么10a =2.已知函数f (x )=e+x ,对于曲线y=f (x )上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ,给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中,正确的判断是 3.设7211a a a ≤≤≤≤ ,其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列,642,,a a a 成公差为1的等差数列,则q 的最小值是________4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足:1a a =(0)a ≠,1n n a rS +=(n ∈N *,,1)r R r ∈≠-.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若存在k ∈N *,使得1k S +,k S ,2k S +成等差数列,是判断:对于任意的m ∈N *,且2m ≥,1m a +,m a ,2m a +是否成等差数列,并证明你的结论.5. 设数列{}n a 满足10a =且111 1.11n na a +-=--(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设1, 1.nn n kn k b bS ===<∑记S 证明:6. 等比数列{}n a中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n b 满足:(1)ln n n n b a a =+-,求数列{}n b的前n 项和n S .7. 设d 为非零实数,12211*1(2(1)]()n n n n n n n n n a C d C dn C dnC d n N n--=+++-+∈(1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列。
2011年高考数学重点难点讲解十四:数列综合应用问题(学生版)
难点14 数列综合应用问题纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度.●难点磁场(★★★★★)已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值-42t (t >0),f (1)=0.(1)求y =f (x )的表达式;(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1[g (x )]为多项式,n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ;(3)设圆C n 的方程为(x -a n )2+(y -b n )2=r n 2,圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列,记S n 为前n 个圆的面积之和,求r n 、S n .●案例探究[例1]从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少51,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式;(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?命题意图:本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型,属★★★★★级题目.[例2]已知S n =1+3121++…+n 1,(n ∈N *)设f (n )=S 2n +1-S n +1,试确定实数m 的取值范围,使得对于一切大于1的自然数n ,不等式:f (n )>[log m (m -1)]2-2011[log (m -1)m ]2恒成立.命题意图:本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.●锦囊妙计1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关:(1)事理关:需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力.(2)文理关:需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.(3)事理关:在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后,要正确得到问题的解,还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知二次函数y =a (a +1)x 2-(2a +1)x +1,当a =1,2,…,n ,…时,其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1,d 2,…,d n ,…,则lim ∞→n (d 1+d 2+…+d n )的值是( )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题2.(★★★★★)在直角坐标系中,O 是坐标原点,P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)是第一象限的两个点,若1,x 1,x 2,4依次成等差数列,而1,y 1,y 2,8依次成等比数列,则△OP 1P 2的面积是_________.3.(★★★★)从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升,然后再用水加满,再倒出b 升,再用水加满;这样倒了n 次,则容器中有纯酒精_________升.4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上年增长7.3%,”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.三、解答题5.(★★★★★)已知数列{a n }满足条件:a 1=1,a 2=r (r >0),且{a n a n +1}是公比为q (q >0)的等比数列,设b n =a 2n -1+a 2n (n =1,2,…).(1)求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2>a n +2a n +3(n ∈N *)成立的q 的取值范围;(2)求b n 和n n S 1lim∞→,其中S n =b 1+b 2+…+b n ;(3)设r =219.2-1,q =21,求数列{n n b b 212log log +}的最大项和最小项的值.6.(★★★★★)某公司全年的利润为b 元,其中一部分作为奖金发给n 位职工,奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1到n 排序,第1位职工得奖金n b元,然后再将余额除以n 发给第2位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额,试求a 2,a 3,并用k 、n 和b 表示a k (不必证明);(2)证明a k >a k +1(k =1,2,…,n -1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义;(3)发展基金与n 和b 有关,记为P n (b ),对常数b ,当n 变化时,求lim ∞→n P n (b ).7.(★★★★)据有关资料,1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨,占地562.4平方公里,若环保部门每年回收或处理1吨旧物资,则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾,并可节约开采各种矿石20吨,设环保部门1996年回收10万吨废旧物资,计划以后每年递增20%的回收量,试问:(1)2001年回收废旧物资多少吨?(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)?(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地?8.(★★★★★)已知点的序列A n(x n,0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中A n-1的中点,….点,…,A n是线段A n-2(1)写出x n与x n-1、x n-2之间关系式(n≥3);(2)设a n=x n+1-x n,计算a1,a2,a3,由此推测数列{a n}的通项公式,并加以证明;x n.(3)求limn∞→。
2011年高考数学预测题:专题三__数列(新课标理)
后细胞的个数为 an ,则 an =________(用 n 表示) .
三、解答题
15 、 已 知 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn , 公 差 d 0 , 且
a4a7 135, a3 a8 24 .
an1 . an
S n1 . Sn
7、已知各项均不为零的数列{an} ,定义向量 cn (an , an1) , bn (n, n 1) , n N* .下列命
题中为真命题的是( )
. 若 n N* 总有 cn / /bn 成立,则数列{an} 是等差数列
. 若 n N* 总有 cn / /bn 成立,则数列{an} 是等比数列
则项数 n 为( ) .12 .14 .15
.16
5、各项都为正数的等比数列{an } 中, a1 2, a6 a1a2a3 ,则公比 q 的值为( )
.2
.3
.2
.3
6、设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 8a2 a5 0 ,则下列式子中数值不能确定的是
()
a5 . a3
S5 . S3
f () ,数列{bn} 满足 b1
1 3
,
bn
f (bn1)(n N , n 2)
,求
数列
{1 bn
}
的前
n
项和
Tn
.
17、已知{an } 是各项均为正数的等比数列,且 a1
a2
2
1 a1
1 a2
, a3
a4
32
1 a3
1 a4
.
(1)求{an } 的通项公式;
2011年高考数学数列配套试卷及答案
2011年《新高考全案》高考总复习配套测评卷单元检测卷(五)数列时间:90分钟 满分:150分一、选择题(共8小题,每小题7分,满分56分)1.数列2,5,22,11,…,则25是该数列的( )A .第6项B .第7项C .第10项D .第11项由数列2,5,22,11,…,即2,5,8,11,…,可知数列是等差数列2,5,8,11,…的每一项开方,而25=20,故选B. B2.已知{a n }为等差数列,a 3+a 8=22,a 7=7,则a 5=( )A .20B .25C .10D .15等差数列中a 3+a 8=a 5+a 7,易得 D3.记等差数列的前n 项和为S n ,若S 2=4,S 4=20,则该数列的公差d =( )A .2B .3C .6D .7由2a 1+d =4且4a 1+6d =20解得 d =3 B4.已知等差数列{a n }中,a 1a 5=9,a 2=3,则a 4=( )A .3B .7C .3或-3D .3或7由数列{a n }为等差数列,则 a 1a 5=(a 2-d )(a 2+3d )=9,又a 2=3,可得d =0或d =2,又因a 4=a 2+2d ,可得 D 5.在各项均不为零的等差数列{a n }中,若a n +1-a 2n +a n -1=0(n ≥2),则S 2n -1-4n =( ) A .-2 B .0 C .1 D .2 设公差为d ,则a n +1=a n +d , a n -1=a n -d ,由a n +1-a 2n +a n -1=0(n ≥2) 可得2a n -a 2n =0,解得a n =2(零解舍去),故S 2n -1-4n =2×(2n -1)-4n =-2. A6.等比数列{a n }中,已知对任意自然数n ,a 1+a 2+a 3+…+a n =2n -1,则a 21+a 22+a 23+…+a 2n 等于( )A .(2n -1)2 B.13(2n -1)C .4n -1 D.13(4n -1)当n =1时a 1=21-1=1,当n =2时a 1+a 2=22-1=3故a 2=2且数列{a n }公比q=2.所以数列{a 2n }是首项为1,公比为4的等比数列且S n =1-4n1-4D7.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +ln(1+1n),则a n =( )A .2+ln nB .2+(n -1)ln nC .2+n ln nD .1+n +ln na 2=a 1+ln(1+11),a 3=a 2+ln(1+12),…,a n =a n -1+ln(1+1n -1)⇒a n =a 1+ln(21)(32)(43)…(nn -1)=2+ln n A8.右图是一个“直角三角形数阵”,已知它的每一行从左往右的数均成等差数列,同时从左往右的第三列起,每一列从上往下的数也成等比数列,且所有等比数列的公比相等.记数阵第i 行第j 列的数为a ij (i ≤j ,i 、j ∈N *),则a 68=( )A.16B.124C.13D.112a 68为第6行,第8列,依题意可得第8列第一个数为13+(8-1)×13=83,故83为等比数列的首项,则第6项为83×(12)5=112D二、填空题(共6小题,每小题7分,满分42分)9.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 12=-8,S 8=-9,则S 16=________.⎩⎪⎨⎪⎧ a 12=-8S 9=-9⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+11d =-89a 1+36d =-9⇒⎩⎪⎨⎪⎧d =-1a 1=3所以S 16=16a 1+8×15d =-72 -7210.已知等比数列{a n }中,a 1+a 2=9,a 1a 2a 3=27,则{a n }的前n 项和S n =________.∵a 1a 2a 3=27,∴a 2=3,又因a 1+a 2=9故a 1=6,公比q =12所以S n =6[1-(12)n ]1-12=12S n =1211.设数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +n +1,则通项a n =________. 由已知有a n +1-a n =n +1所以a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1) =2+2+3+…+n =n (n +1)2+1n (n +1)2+112.已知数列{a n }的通项公式a n =1n +n +1,若它的前n 项和为10,则项数n 为________.∵a n =1n +n +1=n +1-n∴S n =(2-1)+(3-2)+…(n +1-n )=n +1-1∴n +1-1=10,解得n =120 13.对于∀x ∈R +,用F (x )表示log 2x 的整数部分,则F (1)+F (2)+…+F (1023)=________. 令F (1)+F (2)+…+F (1023)=S , S =1×2+2×22+3×23+…+9×292S =1×22+2×23+3×24+…+8×29+9×210,S =9×210-210+2=8194 819414.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部奖金的一半多一万元,第二名得余下的一半多一万元,以名次类推都得到余下的一半多一万元,到第十名恰好分完,则此单位共拿出________万元资金进行奖励.设第十名到第一名得到的奖金分别是a 1,a 2,…,a 10,则a n =12S n +1∴a 1=2,a n-a n -1=12a n∴a n =2a n -1则每人所得奖金数组成一个以2为首项,公比为2的等比数列,所以S 10=2(1-210)1-2=20462046三、解答题(共4小题,满分52分)15.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,对任意的正整数n ,都有a n =5S n+1成立,求数列{a n }的通项公式.当n =1时,a 1=5a 1+1,∴a 1=-14又∵a n =5S n +1,a n +1=5S n +1+1∴a n +1-a n =5a n +1,即a n +1=-14a n∴数列{a n }成等比数列,其首项a 1=-14,通项公式a n =(-14)n .16.(本小题满分12分)已知数列{x n }的首项x 1=3,通项x n =2n p +np (n ∈N *,p ,q 为常数),且x 1,x 4,x 5,成等差数列.求:(1)p ,q 的值;(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式.(1)由x 1=3,得2p +q =3,又x 4=24p +4q ,x 5=25p +5q ,且x 1+x 5=2x 4,⇒3+25p +5q =25p +8q ,⇒p =1,q =1(2)S n =(2+22+ (2))+(1+2+…+n )=2n +1-2+n (n +1)2.17.(本小题满分14分)设数列{a n }满足a 0=a ,a n +1=ca n +1-c ,c ∈N *,其中a ,c 为实数,且c ≠0(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设a =12,c =12,b n =n (1-a n ),n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和S n .(1)∵a n +1-1=c (a n -1)∴当a ≠1时,{a n -1}是首项为a -1,公比为c 的等比数列.∴a n -1=(a -1)c n -1,即a n =(a -1)c n -1+1.当a =1时,a n =1仍满足上式. ∴数列{a n }的通项公式为a n =(a -1)c n -1+1(n ∈N *).(2)由(1)得b n =n (1-a )c n -1=n (12)nS n =b 1+b 2+…+b n =12+2(12)2+…+n (12)n12S n =(12)2+2(12)3+…+n (12)n +1 ∴12S n =12+(12)2+…+(12)n -n (12)n +1 ∴S n =1+12+(12)2+…+(12)n -1-n (12)n=2-n (12)n ,∴S n =2-(2+n )(12)n18.(本小题满分14分)已知正项数列{a n }中,a 1=2点A n (a n ,a n +1)在双曲线y 2-x 2=1上,数列{b n }中,点(b n ,T n )在直线y =-12x +1上,其中T n 是数列的前项和.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:数列{b n }是等比数列; (3)若c n =a n b n ,求证:c n +1<c n .(1) 由已知点A n (a n ,a n +1)在曲线y 2-x 2=1上知a n +1-a n =1.所以数列{a n }是一个以2为首项,公差为1的等差数列,所以a n =a 1+(n -1)d =2+n -1=n +1(2) 因为点(b n ,T n )在直线y =-12x +1上,所以T n =-12b n +1①T n -1=-12b n -1+1②两式相减得b n =-12b n +12b n -1∴b n =13b n -1令b =1得b 1=-12b 1+1 所以b 1=23.所以数列{b n }是以23为首项,以13为公比的等比数列,所以b n =23(13)n -1=23n(3) c n =a n ·b n =(n +1)·23n ,所以c n +1-c n =(n +2)·23n +1-(n +1)·23n=23n +1 =23n +1(n +2-3n -3) =23n +1(-2n -1)<0 故c n +1<c n .。
2011年高考数学试题分类汇编 数列
十、数列 一、选择题 1.(天津理4)已知{}n a 为等差数列,其公差为-2,且7a 是3a 与9a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,*n N ∈,则10S 的值为A .-110B .-90C .90D .110 【答案】D 2.(四川理8)数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈.若则32b =-,1012b =,则8a =A .0B .3C .8D .11【答案】B 【解析】由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法3.(上海理18)设{}n a 是各项为正数的无穷数列,iA 是边长为1,i i a a +的矩形面积(1,2,i =),则{}n A 为等比数列的充要条件为 A .{}n a 是等比数列。
B .1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列。
C .1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列。
D .1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列,且公比相同。
【答案】D4.(全国大纲理4)设nS 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差2d =,224k k S S +-=,则k =A .8B .7C .6D .5【答案】D5(江西理5) 已知数列{na }的前n 项和nS 满足:n m n mS S S ++=,且1a =1.那么10a =A .1B .9C .10D .55【答案】A 二、填空题8.(湖南理12)设nS 是等差数列{}n a ()n N *∈,的前n 项和,且141,7a a ==,则9S = .【答案】259.(重庆理11)在等差数列{}n a 中,3737a a +=,则2468a a a a +++=__________【答案】7410.(北京理11)在等比数列{an}中,a1=12,a4=-4,则公比q=______________;12...n a a a +++=____________。
【数学】2011年江苏高考热点题型聚焦:数列(2)
数列综合题两题1.等差数列{}n a 的各项均为正数,13a =,前n 项和为n S ,{}n b 为等比数列, 12b =,且2232,b S = 33120b S =.(1)求n a 与n b ;(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T 。
(3)若2121111nx ax S S S +++≤++ 对任意正整数n 和任意x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)设的公差为,的公比为,则为正整数,,依题意有,即,解得或者(舍去),故。
-------------------------------- 5分(2)。
,,两式相减得,所以。
----------------------------------------10分(3),∴---------------------14分问题等价于的最小值大于或等于,即,即,解得。
----------------------------16分说明:本题是一道数列与不等式的一道综合题,重点考查如何根据将数列问题化归为基本量求解,或根据数列性质简化运算;差比数列的求和是数列中的重点和难点,学生在运算中很容易出错,所以要加强这方面的训练。
数列与不等式的综合是本题的一大亮点,加强知识的综合在高三二轮复习中显得尤其重要。
2、已知数列{}n a 的前n 项和为n s ,点(,)n S n n在直线21121+=x y 上.数列{}n b 满足:2120()n n n b b b n N *++-+=∈,且113=b ,前9项和为153.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)设)12)(112(3--=n n n b a c ,数列{}n c 的前n 项和为n T ,求使不等式57k T n >对一切()n N *∈都成立的最大正整数k 的值;(3)设N n ∈*,,为偶数,为奇数,⎩⎨⎧=n b n a n f n n )(问是否存在m N *∈,使得)m f m f (5)15(=+成立?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)点(n ,S n n )在直线y =12x +112上,∴S n n =12n +112,即S n =12n 2+112,a n =n +5.∵b n +2-2b n +1+b n =0(n ∈N *),∴b n +2-b n +1= b n +1-b n =…= b 2-b 1. ∴数列{b n }是等差数列,∵b 3=11,它的前9项和为153,设公差为d ,则b 1+2d =11,9b 1+9×82×d =153,解得b 1=5,d =3.∴b n =3n +2.(2)由(1)得,c n = 3(2a n ―11)(2b n ―1)= 1(2n ―1)(2n +1)=12(12n ―1-12n +1),∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =12(1-13)+12(13-15)+12(15-17)+…+12(12n ―1-12n +1)=12(1-12n +1). ∵T n =12(1-12n +1)在n ∈N *上是单调递增的,∴T n 的最小值为T 1=13∵不等式T n >k 57对一切n ∈N *都成立,∴k 57<13.∴k <19.∴最大正整数k 的值为18.(3) n ∈N *,f (n )=⎩⎨⎧a n ,n 为奇数,b n ,n 为偶数=⎩⎨⎧n +5,n 为奇数,3n +2,n 为偶数.当m 为奇数时,m +15为偶数;当m 为偶数时,m +15为奇数.若f (m +15)=5f (m )成立,则有3(m +15)+2=5(m +5)(m 为奇数)或m +15+5=5(3m +2)(m 为偶数). 解得m =11.所以当m =11时,f (m +15)=5f (m ). 说明:本题为综合题,主要考查数列中的常见问题,如已知n S 求n a ,裂项求和等知识与方法,分类讨论、恒成立的问题在本题中得到了应用。
河北省2011届高考数学一轮复习知识点攻破习题:数列的综合应用
数列的综合应用时间:45分钟分值:100分一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则此数列的奇数项的前n项和是()A.错误!(2n+1-1)B.错误!(2n+1-2)C.错误!(22n-1)D。
错误!(22n-2)解析:由S n=2n-1,得a n=2n-1,∴数列{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列.∴此数列的奇数项的前n项和为错误!=错误!=错误!(22n-1).答案:C2.已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列,且0<log m (ab)〈1,则m的取值范围是() A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,8)D.(8,+∞)解析:∵a,b,a+b成等差数列,∴2b=2a+b,b=2a。
①∵a,b,ab成等比数列,∴a≠0,b≠0,且b2=a2b,b=a2.②由①②知a2=2a,a=2,b=4,ab=8.∵0<log m(ab)=log m8<1,∴m〉8.答案:D3.一套共7册的书计划每两年出一册,若出完全部,各册书公元年代之和为13958,则出齐这套书的年份是()A.1994 B.1996C.1998 D.2000解析:设出齐这套书的年份是x,则(x-12)+(x-10)+(x-8)+…+x=13958,∴7x-7(12+0)2=13958,x=2000.答案:D4.(2009·宁夏银川一模)已知正数组成的等差数列{a n}的前20项的和为100,那么a7·a14的最大值为()A.25 B.50C.100 D.不存在解析:由S20=100得a1+a20=10,∴a7+a14=10。
又a7〉0,a14〉0,∴a7·a14≤(a7+a142)2=25。
答案:A5.(2009·河南郑州一模)数列{a n}中,a1=1,a n,a n+1是方程x2-(2n+1)x+错误!=0的两个根,则数列{b n}的前n项和S n等于() A。
2011高考数学三轮复习必做的数列综合题[1]
2011高考数学三轮复习必做的数列综合题1.数列{}n a 的各项均为正数,n S 为其前n 项和,对于任意*N n ∈,总有2,,n n n a S a 成等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,且2ln nn n a x b =,求证:对任意实数(]e x ,1∈(e 是常数,e =2.71828⋅⋅⋅)和任意正整数n ,总有n T < 2; (Ⅲ) 正数数列{}n c 中,())(,*11N n c a n n n ∈=++.求数列{}n c 中的最大项.(Ⅰ)解:由已知:对于*N n ∈,总有22n n n S a a =+ ①成立∴21112n n n S a a ---=+ (n ≥ 2)② ①--②得21122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a∵1,-n n a a 均为正数,∴11=--n n a a (n ≥ 2) ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列又n=1时,21112S a a =+, 解得1a =1∴n a n =.(*N n ∈)(Ⅱ)证明:∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ,总有2ln nn n a x b =≤21n . ∴()n n nT n 113212*********22-++⋅+⋅+<+++≤21211131212111<-=--++-+-+=nn n (Ⅲ)解:由已知 221212=⇒==c c a ,54545434343232355,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a易得 12234,...c c c c c <>>> 猜想 n ≥2 时,{}n c 是递减数列.令()()22ln 1ln 1,ln xxx xx x x f x x x f -=-⋅='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ,即则时,∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数. 由()11ln ln 11++==++n n c c a n n nn 知.∴n ≥2 时, {}n c ln 是递减数列.即{}n c 是递减数列. 又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c .2.设f 1(x)=x+12,定义f n+1 (x)= f 1[f n (x)],a n =2)0(1)0(+-n n f f (n ∈N *).(1) 求数列{a n }的通项公式; (2) 若n nna a a a T 23212232++++= ,Q n =144422+++n n nn (n ∈N *),试比较9T 2n 与 Q n 的大小,并说明理由. 解:(1)∵f 1(0)=2,a 1=2212+-=41,f n+1(0)= f 1[f n (0)]=)0(12n f +,∴a n+1=2)0(1)0(11+-++n n f f =2)0(121)0(12++-+n n f f =)0(24)0(1n n f f +-= -212)0(1)0(+-n n f f = -21a n .∴数列{a n }是首项为41,公比为-21的等比数列,∴a n =41(21-)n -1. (2)∵T 2 n = a 1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n -1+2na 2 n , ∴21-T 2 n = (-21a 1)+(-21)2a 2+(-21)3a 3+…+(-21)(2n-1)a 2 n -1+)21(-2na 2 n= a 2+2a 3+…+(2n -1)a 2 n -na 2 n .两式相减,得23T 2 n = a 1+a 2+a 3+…+a 2 n +na 2 n . ∴23T 2n =211)21(1412+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n +n ×41(-21)2n -1=61-61(-21)2n +4n (-21)2n -1.T 2n =91-91(-21)2n +6n (-21)2n -1=91(1-n n 2213+).∴9T 2n =1-n22. 又Q n =1-2)12(13++n n ,当n=1时,22 n = 4,(2n+1)2=9,∴9T 2 n <Q n ; 当n=2时,22 n =16,(2n+1)2=25,∴9T 2 n <Q n ;当n ≥3时,2231022)12()(])11[(2+>++++=+=n C C C C n n n n nn n , ∴9T 2 n >Q n .3. 设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为D n ,记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f(n)(n ∈N*).(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式;(2)设b n =2n f(n),S n 为{b n }的前n 项和,求S n ; (3)记nn n f n f T 2)1()(+=,若对于一切正整数n ,总有T n ≤m 成立,求实数m 的取值 范围.(1)f(1)=3 f(2)=6当x=1时,y=2n ,可取格点2n 个;当x=2时,y=n ,可取格点n 个 ∴f(n)=3n(2)由题意知:b n =3n ·2nS n =3·21+6·22+9·23+…+3(n -1)·2n -1+3n ·2n ∴2S n =3·22+6·23+…+3(n -1)·2n +3n ·2n+1∴-S n =3·21+3·22+3·23+…3·2n -3n ·2n+1 =3(2+22+…+2n )-3n ·2n+1=3·11232122++---n n n =3(2n+1-2)-3n n+1 ∴-S n =(3-3n)2n+1-6 S n =6+(3n -3)2n+1(3)nn n T 22==11(33)(36)223(33)2221,1222,1223,12n n n n n n T n n n T nn n n n n n n n n+++++==++=>+==+≥<当时当时当时 ∴T 1<T 2=T 3>T 4>…>T n 故T n 的最大值是T 2=T 3=227 ∴m ≥227。
2011年高考数学试题分类汇编10——数列
十、数列一、选择题1.(天津理 4)已知a n为等差数列,其公差为 -2,且 a 7是 a 3与 a 9的等比中项, S n为a n 的前 n项和, nN *,则S10的值为A . -110B . -90C . 90D . 110【答案】 D2.(四川理 8 )数列a n 的首项为3 ,bn为等差数列且b nan 1a n (nN *) .若则b 32 ,b1012,则a8A . 0B . 3C .8D . 11【答案】 B【分析】由已知知b n 2n 8, a n 1a n 2n 8,由叠加法(a 2 a 1) (a 3 a 2 )( a 8 a 7 )64202460 a 8 a 1 33.(四川理 11)已知定义在0,上的函数 f (x) 知足 f ( x)3 f ( x2) ,当x0,2时,f ( x)x22x .设 f ( x) 在 2n2,2n 上的最大值为a n(nN *) ,且an的前 n项lim S n和为Sn ,则 n53A . 3B .2C .2D .2【答案】 Df ( x 2)1f ( x)[2 n 2,2 n] 上, 【分析】由题意3,在1 111 ( 1)n3n 1, f (x) 1,n3, f ( x)2a n( n 1 S n32, f (x) , n( ))1lim S n3331234 .(上海理18 )设{ a n }是各项为正数的无量数列,A i 是边长为 a i , a i1的矩形面积( i 1,2,),则 { A n } 为等比数列的充要条件为A .{ a n }是等比数列。
B.a1, a3,, a2 n 1 ,或a2,a4,, a2 n,是等比数列。
C.a1, a3,,a2n 1 ,和a2, a4,, a2 n ,均是等比数列。
D.a1, a3,, a2 n 1 ,和a2, a4,, a2n ,均是等比数列,且公比同样。
【答案】 D5(.全国纲领理4)设Sn为等差数列an的前 n 项和,若a11,公差 d 2 ,Sk 2Sk24 ,则 kA. 8B. 7C.6D. 5【答案】 D6.(江西理 5)已知数列 { an }的前 n 项和Sn知足:SnSmSn m,且a1=1.那么a10=A. 1B. 9C.10 D.55【答案】 A7.(福建理 10)已知函数 f( x)=e+x,关于曲线 y=f( x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断:①△ ABC必定是钝角三角形②△ ABC可能是直角三角形③△ ABC可能是等腰三角形④△ ABC不行能是等腰三角形此中,正确的判断是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】 B二、填空题8.(湖南理 12)设Sn是等差数列{ an} (nN),的前 n 项和,且a11, a47,则S9=.【答案】 259.(重庆理 11)在等差数列{ an}中,a3a737 ,则 a2 a4 a6a8 __________【答案】 74110.(北京理11 )在等比数列 {an} 中, a1=2 ,a4=-4,则公比q=______________;a1a2...a n____________。
2011接高考数学专题复习之数列例题经典解析
的取值范围.
1
8.(2002•上海)已知函数 f(x)=abx 的图象过点 A(4, )和 B(5,1)
4
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)记 an=log2f(n),n 是正整数,Sn 是数列{an}的前 n 项和,解关于 n 的不等式 anSn
≤0; (3)对于(2)中的 an 与 Sn,整数 96 是否为数列{anSn}中的项?若是,则求出相应的项数;若不是,
解析:(1)设等差数列{log 2 (an 1)}的公差为 D.由 a1 3, a3 9得2(log2 2 d ) log2 2 log2 8,
即 d=1.
所以 log2 (an 1) 1 (n 1) n, 即 an 2n 1.
加速度教育
1
(2)因为
an1 an
1 a n1 2n
加速度教育
教师讲义
计在今后的若干年后,该市每年新建住房面积平均比上年增长 8%.另外,每年新建住房中,中底价房的
面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?
cx
2 n
,因此xn1
xn
axn
bxn
cxn2 , n
N
* .(*)
即xn1 xn (a b 1 cxn ), n N *.(**)
(2)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得
xn (a
b
cxn )恒等于0, n
N *, 所以a
b
cx1
2011年高考数学试题分类汇编10——数列
十、数列一、选择题 1.(天津理4)已知{}n a 为等差数列,其公差为-2,且7a 是3a 与9a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,*n N ∈,则10S 的值为A .-110B .-90C .90D .110 【答案】D2.(四川理8)数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈.若则32b =-,1012b =,则8a =A .0B .3C .8D .11【答案】B【解析】由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==3.(四川理11)已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+,当[)0,2x ∈时,2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈,且{}n a 的前n 项和为nS ,则lim n n S →∞=A .3B .52C .2D .32【答案】D【解析】由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上,2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n nn f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-4.(上海理18)设{}n a 是各项为正数的无穷数列,iA 是边长为1,i i a a +的矩形面积(1,2,i =),则{}n A 为等比数列的充要条件为A .{}n a 是等比数列。
B .1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列。
C .1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列。
D .1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列,且公比相同。
【数学】2011年江苏高考热点题型聚焦数列(1)
数列专题解答题1、已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和n S ,且满足:6542=⋅a a ,1851=+a a .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ;(2)若121i <<,211,,a a a i 是某等比数列的连续三项,求i 值;(3)是否存在常数k,使得数列为等差数列,若存在,求出常数k ;若不存在,请说明理由.解(1) }{n a 为等差数列,∵184251=+=+a a a a ,又6542=⋅a a ,∴2a ,4a 是方程065182=+-x x 的两个根又公差0>d ,∴42a a <,∴52=a ,134=a .∴ 115,313,a d a d +=⎧⎨+=⎩ ∴11, 4.a d == ∴34-=n a n . (2)由121i <<,211,,a a a i 是某等比数列的连续三项,2211i a a a =⋅∴, 即2)34(811-=⋅i ,解得3=i .(3)由(1)知,n n n n n S n -=⋅-+⋅=2242)1(1, 假设存在常数k,使数列为等差数列, 【法一】由2231231⋅+⋅=⋅++⋅+k S k S k S , 得26231511⋅+⋅=⋅++⋅+k k k ,解得1=k .n n kn S n 222==+∴,易知数列为等差数列.【法二】假设存在常数k,使数列为等差数列,由等差数列通项公式可知an b =+,得222(1)2n k n an abn b +-=++恒成立,可得2,0,1a b k ===.n n kn S n 222==+∴,易知数列为等差数列.【说明】本题考查等差、等比数列的性质,等差数列的判定,方程思想、特殊与一般思想、待定系数法.2、已知无穷数列{a n }中,a 1,a 2,…,a m 是首项为10,公差为-2的等差数列;a m +1,a m +2,…,a 2m 是首项为12,公比为12的等比数列(其中 m ≥3,m ∈N *),并对任意的n ∈N *,均有a n +2m =a n 成立.(1)当m =12时,求a 2010;(2)若a 52=1128,试求m 的值; (3)判断是否存在m (m ≥3,m ∈N *),使得S 128m +3≥2010成立?若存在,试求出m 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)m =12时,数列的周期为24.∵2010=24×83+18,而a 18是等比数列中的项, ∴a 2010=a 18=a 12+6=611()264=. (2)设a m +k 是第一个周期中等比数列中的第k 项,则a m +k =1()2k . ∵711()1282=,∴等比数列中至少有7项,即m ≥7,则一个周期中至少有14项. ∴a 52最多是第三个周期中的项. 若a 52是第一个周期中的项,则a 52=a m +7=1128. ∴m =52-7=45; 若a 52是第二个周期中的项,则a 52=a 3m +7=1128.∴3m =45,m =15; 若a 52是第三个周期中的项,则a 52=a 5m +7=1128.∴5m =45,m =9; 综上,m =45,或15,或9.(3)2m 是此数列的周期, ∴S 128m +3表示64个周期及等差数列的前3项之和. ∴S 2m 最大时,S 128m +3最大.∵S 2m =2211[1()](1)11112512210(2)111()12224212m m m m m m m m m --+⨯-+=-++-=--+--,当m =6时,S 2m =31-164=633064; 当m ≤5时,S 2m <633064; 当m ≤7时,S 2m <211125(7)24--+=29<633064. ∴当m =6时,S 2m 取得最大值,则S 128m +3取得最大值为64×633064+24=2007. 由此可知,不存在m (m ≥3,m ∈N *),使得S 128m +3≥2010成立.3、设数列{}n a满足110,441n n a a a +==+,令n b =⑴试判断数列{}n b 是否为等差数列? ⑵若11n n c a +=,求{}n c 前n 项的和n S ; ⑶是否存在*,(,,)m n m n N m n ∈≠使得1,,m n a a 三数成等比数列?解:⑴由已知得1111444n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,即141411n n a a ++=++,所以22121n n n b b b +=++,即11n n b b +=+,所以数列{}n b 为等差数列;⑵由⑴得:11n n b b +=+且11b =,n b n ∴=,214n n n a -=⇒=, 244112()(1)1(2)2n c n n n n n ∴===-+-++, 则12111112(1)2()2()3242n n S c c c n n =+++=-+-++-+ 1112(23)2(1)3212(1)(2)n n n n n +=+--=-++++; ⑶设存在,m n 满足条件,则有22221111()44n mn m a a --⋅=⇒⋅=, 即2224(1)(1)n m -=-,所以,21m -必为偶数,设为2t , 则222211()()1n t n t n t n t -=⇒-=⇒-+=,∴有11n t n t +=⎧⎨-=⎩或11n t n t +=-⎧⎨-=-⎩,即1,0n t ==,21201m t m ∴-==⇒=与已知矛盾.∴不存在*,(,,)m n m n N m n ∈≠使得1,,m n a a 三数成等比数列.。
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2011高考数学三轮复习必做的数列综合题1.数列{}n a 的各项均为正数,n S 为其前n 项和,对于任意*N n ∈,总有2,,n n n a S a 成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,且2ln nn n a x b =,求证:对任意实数(]e x ,1∈(e 是常数,e =2.71828⋅⋅⋅)和任意正整数n ,总有n T < 2; (Ⅲ) 正数数列{}n c 中,())(,*11N n c a n n n ∈=++.求数列{}n c 中的最大项.(Ⅰ)解:由已知:对于*N n ∈,总有22n n n S a a =+ ①成立∴21112n n n S a a ---=+ (n ≥ 2)② ①--②得21122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a∵1,-n n a a 均为正数,∴11=--n n a a (n ≥ 2) ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 又n=1时,21112S a a =+, 解得1a =1 ∴n a n =.(*N n ∈)(Ⅱ)证明:∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ,总有2ln nn n a x b =≤21n . ∴()n n n T n 113212*********22-++⋅+⋅+<+++≤21211131212111<-=--++-+-+=nn n (Ⅲ)解:由已知 221212=⇒==c c a ,54545434343232355,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a易得 12234,...c c c c c <>>> 猜想 n ≥2 时,{}n c 是递减数列.令()()22ln 1ln 1,ln xxx xx x x f x x x f -=-⋅='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ,即则时, ∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数. 由()11ln ln 11++==++n n c c a n n nn 知.∴n ≥2 时, {}n c ln 是递减数列.即{}n c 是递减数列. 又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c .2.设f 1(x)=x+12,定义f n+1 (x)= f 1[f n (x)],a n =2)0(1)0(+-n n f f (n ∈N *).(1) 求数列{a n }的通项公式; (2) 若n nna a a a T 23212232++++= ,Q n =144422+++n n nn (n ∈N *),试比较9T 2n 与Q n 的大小,并说明理由. 解:(1)∵f 1(0)=2,a 1=2212+-=41,f n+1(0)= f 1[f n (0)]=)0(12n f +,∴a n+1=2)0(1)0(11+-++n n f f =2)0(121)0(12++-+n n f f =)0(24)0(1n n f f +-= -212)0(1)0(+-n n f f = -21a n .∴数列{a n }是首项为41,公比为-21的等比数列,∴a n =41(21-)n -1. (2)∵T 2 n = a 1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n -1+2na 2 n , ∴21-T 2 n = (-21a 1)+(-21)2a 2+(-21)3a 3+…+(-21)(2n-1)a 2 n -1+)21(-2na 2 n= a 2+2a 3+…+(2n -1)a 2 n -na 2 n .两式相减,得23T 2 n = a 1+a 2+a 3+…+a 2 n +na 2 n . ∴23T 2n =211)21(1412+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n +n ×41(-21)2n -1=61-61(-21)2n +4n (-21)2n -1.T 2n =91-91(-21)2n +6n (-21)2n -1=91(1-n n 2213+).∴9T 2n =1-nn 2213+. 又Q n =1-2)12(13++n n ,当n=1时,22 n = 4,(2n+1)2=9,∴9T 2 n <Q n ; 当n=2时,22 n =16,(2n+1)2=25,∴9T 2 n <Q n ;当n ≥3时,2231022)12()(])11[(2+>++++=+=n C C C C n n n n n n n ,∴9T 2 n >Q n .3. 设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为D n ,记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f(n)(n ∈N*).(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式;(2)设b n =2n f(n),S n 为{b n }的前n 项和,求S n ; (3)记nn n f n f T 2)1()(+=,若对于一切正整数n ,总有T n ≤m 成立,求实数m 的取值 范围.(1)f(1)=3 f(2)=6当x=1时,y=2n ,可取格点2n 个;当x=2时,y=n ,可取格点n 个 ∴f(n)=3n(2)由题意知:b n =3n ·2nS n =3·21+6·22+9·23+…+3(n -1)·2n -1+3n ·2n∴2S n =3·22+6·23+…+3(n -1)·2n +3n ·2n+1∴-S n =3·21+3·22+3·23+…3·2n -3n ·2n+1 =3(2+22+…+2n )-3n ·2n+1=3·11232122++---n n n =3(2n+1-2)-3n n+1 ∴-S n =(3-3n)2n+1-6 S n =6+(3n -3)2n+1(3)nn n n n n f n f T 2)33(32)1()(+=+=11(33)(36)223(33)2221,1222,1223,12n n n n n n T n n n T nn n n n n n n n n+++++==++=>+==+≥< 当时当时当时 ∴T 1<T 2=T 3>T 4>…>T n 故T n 的最大值是T 2=T 3=227 ∴m ≥227。
4.已知0a >,且1a ≠,数列{}n a 的前n 项和为n S ,它满足条件111n n a S a-=-.数列{}n b 中,n n b a =·lg n a . (1)求数列{}n b 的前n 项和n T ;(2)若对一切*n N ∈都有1n n b b +<,求a 的取值范围.解:(1)111n n a S a-=- ,∴(1)1n n a a S a -=- 当1n =时,111(1)1a a a S a a -===-. 当n ≥2时,1n n n a S S -=-=1(1)(1)11n n n a a a a a a a ----=--,∴*()n n a a n N =∈ 此时n n b a =·lg n n a a =·lg n a =n ·lg na a ,∴12n T b b =++……n b =23lg (23a a a a +++……+).nna 设2323n u a a a =+++……+nna , ∴23(1)n a u a a a -=+++ (1)nn a na+-1(1)1n n a a na a +-=--,∴12(1).1(1)n n n na a a u a a +-=---∴lg n T a =·12(1)[].1(1)n n na a a a a +---- ……6分 (2)由11lg (1)lg n n n n b b na a n a a ++<⇔<+可得①当1a >时,由lg 0a >,可得1n a n >+ *1(),1,1n n N a n <∈>+ ∴1n a n >+对一切*n N ∈都成立,∴此时的解为1a >.②当01a <<时,由lg 0a < 可得(1),,1nn n a a n >+<+1n n +≥*1(),01,2n N a ∈<<∴01n a n <<+对一切*n N ∈都成立, ∴此时的解为102a <<.由①,②可知对一切*n N ∈,都有1n n b b +<的a 的取值范围是102a <<或1a >. ……14分 5、已知函数4444(1)(1)()(1)(1)x x f x x x ++-=+--(0x ≠)。
(Ⅰ)若()f x x =且x ∈R ,则称x 为()f x 的实不动点,求()f x 的实不动点; (II )在数列{}n a 中,12a =,1()n n a f a +=(n *∈N ),求数列{}n a 的通项公式。
解:(Ⅰ)由42361()44x x f x x x++=+及()f x x =得424223613210144x x x x x x x x ++=⇒--=⇒=+或213x =-(舍去), 所以1x =或1-,即()f x 的实不动点为1x =或1x =-;(II )由条件得4444114441(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++⎛⎫++-+++=⇒== ⎪+-----⎝⎭,从而有 1111ln4ln 11n n n n a a a a ++++=--,由此及111lnln 301a a +=≠-知:数列1ln 1n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为ln 3,公比为4的等比数列,故有11141441131ln 4ln331131n n n n n n n n n a a a a a ----+++=⇒=⇒=---(n *∈N )。
6、已知函数()()R x x f x ∈+=241,点()111,y x P ,()222,y x P 是函数()x f 图像上的两个点,且线段21P P 的中点P 的横坐标为21. ⑴求证:点P 的纵坐标是定值; ⑵若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1, =∈⎪⎭⎫⎝⎛=,求数列{}n a 的前m 项的和m S ;⑶若N m ∈时,不等式11++<m m m m S a S a 恒成立,求实数a 的取值范围. 解:⑴由题可知:121221=⨯=+x x ,所以, ()()()()()()21444244444424444242444424124121212121212121212121=++++=+++++=++++=+++=+=++x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f y y点P 的纵坐标41221=+=y y y P 是定值,问题得证. ⑵由⑴可知:对任意自然数n m ,,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛m n m f m n f 恒成立.由于⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=m m f m m f m m f m f m f S m 1221 ,故可考虑利用倒写求和的方法.即由于:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=m f m f m m f m m f m m f m m f m m f m m f m f m f S m 12211221所以,()()1361)1(212121122112-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=m f m m m f m f m m f m m f m f m m f m f S m 所以,()13121-=m S m ⑵∵()13121-=m S m , ∴()231211+=+m S m∴11++<m m m m S a S a 等价于02313112<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--m a m a m ① 依题意,①式应对任意N m ∈恒成立.显然0>a ,因为0>ma (N m ∈),所以,需且只需023131<+--m am 对任意N m ∈恒成立.即:1323-+>m m a 对N m ∈恒成立.记()1323-+=m m m g (N m ∈).∵ ()()()()013239132323531<-+-=-+-++=-+m m m m m m m g m g , ∴()m g (N m ∈)的最大值为()251=g ,∴ 25>a .选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)选校网()是为高三同学和家长提供高考选校信息的一个网站。