2016年高考数学(江苏卷)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ试题
参考公式
圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高。

圆锥的体积公式：V 圆锥
1
3
Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________.
3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
173
x y -=的焦距是________▲________.
4.已知一组数据4.7,4.8,
5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.
5.函数y =2
32x x -- 的定义域是 ▲ .
6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .
7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .
8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .
10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b
+=＞＞0 的右焦点，直线2b
y =
与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=
,则该椭圆的离心率是 ▲ .
(第10题)
11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪
=⎨-≤<⎪⎩
其中.a ∈R 若59()()22
f f -= ，则f （5a ）的值是 ▲ .
12. 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .
13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=
，1
BF CF ⋅=-
，
则
B E
C ⋅
的
值
是
▲ .
14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ . 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54
B C ==， （1）求AB 的长； （2）求π
cos(6
A -)的值.
16.(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；
（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .
17.（本小题满分14分）
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A BC D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A BC D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍. (1) 若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？
(2) 若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？
18. （本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M:221214600
x y x y +--+=及其
上一点A(2，4)
(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=OA,求直线l 的方程； (3) 设点T （t,o ）满足：存在圆M 上的两点P 和Q,使得
,
TA TP TQ +=
,求实数t 的取值范
围。

19. （本小题满分16分） 已知函数
()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.
（1） 设a =2,b =1
2.
① 求方程
()f x =2的根;
② 若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；
（2）若01,1a b <<＞
，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。

20.（本小题满分16分） 记
{}
1,2,100U =…，.对数列
{}()
*n a n N ∈和
U
的子集T ，若
T =∅
,定义
T S =;若
{}
12,,k T t t t =…，，定义
12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.
现设{}()
*n a n N
∈是公比为3的等比数列，且当
{}=2,4T 时，=30T S .
(1) 求数列
{}
n a 的通项公式；
(2) 对任意正整数
()
1100k k ≤≤，若
{}
1,2,k T ⊆…，，求证：
1T k S a +<；
（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C D D S S S +≥ .
数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC =∠ABD .
B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
已知矩阵12,02A ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦ 矩阵B 的逆矩阵111=202B -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求矩阵AB .
C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11232x t y t ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭
圆C 的参数方程为cos ,
2sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，
求线段AB 的长. D.设a ＞0，|x -1|＜3a ，|y -2|＜3
a
，求证：|2x +y -4|＜a .
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px (p ＞0).
（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；
（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .
①求证：线段PQ 的中点坐标为（2-p ，-p ）； ②求p 的取值范围.
23.（本小题满分10分）
（1）求34
67–47C C 的值；
（2）设m ，n N *，n ≥m ，求证：
（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2
+2C m n .。