人教版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程 (1)ppt模板
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4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)

C. (-1,2)
D. (-1, -2)
解析: 选A.2).
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第四章 圆与方程
2. 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x-3)2+(y+4)2=25.
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第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2+__E__2-___4_F_=__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(-D2 , -E2 );
(2)当___D__2+__E__2-___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
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第四章 圆与方程
(3)当__D__2+__E__2-__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_-__D2_,_-__E2__)___, 半径长等于
x-x23+2y+2 y2=12.6 分
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第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2+y2+2x-3=0. 将方程配方, 得(x+1)2+y2=4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(-1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x+1)2+y2=4.12 分
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第四章 圆与方程
名师微博
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第四章 圆与方程
(3)方程 x2+y2-2x-4y+10=0 化为 (x-1)2+(y-2)2=-5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2+2y2-5x=0 化为x-542+y2 =452, ∴它表示以45,0为圆心, 54为半径的圆.
人教版高中数学必修2第四章《4.1圆的方程:4.1.2 圆的一般方程》教学PPT

例1:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4,2) 的圆的方程,并求出这
个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 y2 Dx Ey F 0
因为O, M1, M2 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即
F 0
D
E
F
2
0
4D 2E F 20 0
1) x2 y2 2x 4 y 1 0 D 2, E 4, F 1 D2 E2 4F 16
圆心: (1, 2) 2) x2 y2 6x 0
半径: r 2
D 6, E F 0 D2 E2 4F 36
圆心: (3,0)
分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定的圆的方程为同 一方程
求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐标满足圆的方程.
作业: 1.(作业本)课本P124 A组 1、(2)(4) B组 第2题或第3题 2. 完成《课时作业》&《反馈卡》
D 8
E
6
F 0
待定系数法
所以,圆的方程为: x2 y2 8x 6 y 0
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程; 若已知圆经过两点或, E, F的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.
轨迹方程求法
例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 ( x 1)2 y2 4
上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
人教版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程ppt模板

4.1.2 圆的 一般方程
复习引入
圆的标准方程是什么?
复习引入
圆的标准方程是什么?
(x-a)2+(y-b)2=r2.
讲授新课
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方,化为 圆的标准方程形式,则圆心、半径 分别是?
讲授新课
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方,化为 圆的标准方程形式,则圆心、半径 分别是?
例3.已知线段AB的端点B的坐标是
(4, 3),端点A在圆(x+1)2 +y2=4
上运动,求线段AB的中点M的轨迹 方程.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2),底边一个端点B的坐标是 (3, 5),求另一端点C的轨迹方程,
并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2),底边一个端点B的坐标是 (3, 5),求另一端点C的轨迹方程,
并说明它是什么图形. 解:设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 10 端点C的轨迹方程以(4,2)为圆心 为半径的圆 A, B,C三点不共线,点(5,-1)除外,B点除外
例5. 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑 动,求线段AB的中点的轨迹方程.
练习 1. P.123练习第3题.
2. 已知一曲线是与两定点O(0, 0),A(3, 0) 1 的距离的比为 的点的轨迹,求这个 2 曲线的方程,并画出曲线
解:设点M(x,y)是曲线C的任意一点,也就是M属于集合 OM 1 P = M = 2 AM 2 2 ( x + y ) 点M所适合的条件可以表示为: 2 2 2 (x - 3 ) + y x + y 1 将① 式两边平方得: 2 2 = 4 ( x -3) +y 化简得: x2 +y
复习引入
圆的标准方程是什么?
复习引入
圆的标准方程是什么?
(x-a)2+(y-b)2=r2.
讲授新课
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方,化为 圆的标准方程形式,则圆心、半径 分别是?
讲授新课
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方,化为 圆的标准方程形式,则圆心、半径 分别是?
例3.已知线段AB的端点B的坐标是
(4, 3),端点A在圆(x+1)2 +y2=4
上运动,求线段AB的中点M的轨迹 方程.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2),底边一个端点B的坐标是 (3, 5),求另一端点C的轨迹方程,
并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2),底边一个端点B的坐标是 (3, 5),求另一端点C的轨迹方程,
并说明它是什么图形. 解:设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 10 端点C的轨迹方程以(4,2)为圆心 为半径的圆 A, B,C三点不共线,点(5,-1)除外,B点除外
例5. 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑 动,求线段AB的中点的轨迹方程.
练习 1. P.123练习第3题.
2. 已知一曲线是与两定点O(0, 0),A(3, 0) 1 的距离的比为 的点的轨迹,求这个 2 曲线的方程,并画出曲线
解:设点M(x,y)是曲线C的任意一点,也就是M属于集合 OM 1 P = M = 2 AM 2 2 ( x + y ) 点M所适合的条件可以表示为: 2 2 2 (x - 3 ) + y x + y 1 将① 式两边平方得: 2 2 = 4 ( x -3) +y 化简得: x2 +y
4.1.2 圆的一般方程PPT课件

例2:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4, 2)的圆的
方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
因为O, M1, M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的
方程,即 F = 0
D = -8
D
+
E
+
F
+
2
=
0
E
=
6
பைடு நூலகம்
4D + 2E + F + 20 = 0 F = 0
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E,a2 + b2 - r 2 = F
结论:任何一个圆方程可以写成下面形式:
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0
结论:任何一个圆方程可以写成下面形式:
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 问:是不是任何一个形如
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 -4F>0
思考
一般式有那些特点 ?
(1) x2和y2 的系数相同,且不等于零;
(2) 没有 xy 项; (3) D2 + E2 - 4F>0
圆的标准方程与一般方程各有什么优点?
标准方程:明确地指出了圆心和半径; 一般方程:突出了代数方程的形式结构,更适合方程理论的应用
例1:求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
方法一: 几何方法
《圆的一般方程》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.1.2课时)

y M(x,y)
O
C
x
新知探究
问题探究1 圆的一般方程 1.圆的标准方程
展开得 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程 结论:任何一个圆方程可以写成下面形式:
x2 y2 Dx Ey F 0
新知探究
D2 E 2 4F 2
5
2
2
课堂练习
练习3: 已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为
1 2 的点的轨迹,求出曲线的轨迹.
解析:在给定的坐标系中,设M(x,y)是曲线上的任意一点,
点M在曲线上的条件是 | MO | 1 | MA | 2
由两点的距离公式,上式用坐标表示为
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
二、自主学习 探究新知
二、自主学习 探究新知
如果用C表示圆的周长,就有:
C =πd 或
C=2πr
三、巩固提高
1、计算下面各圆的周长。
C=πd =3.14×4 =12.56(cm)
C=2πr =3.14×1.5×2 =9.42(cm)
三、巩固提高
2、选择。
(1)圆周率是一个( B )。 A.有限小数 B.无限小数
(2)求车轮滚动一周前进的距离,是求车轮的 ( C )。 A.半径 B.直径 C.周长
(3)圆的周长是直径的( B )倍。 A.3.14 B.π C.3
三、巩固提高
3、判断。 (1)大圆的周长一定比半圆的周长大。(× )
(2)半径不相等的两个圆,周长一定不相等。 ( √ )
三、巩固提高
4、一个圆形喷水池的半径是5m,它的周长是多少? 3.14×5×2=31.4(米) 答:它的周长是31.4 米。
人教A版高中数学必修二课件第四章4.1.2圆的一般方程(共37张PPT).pptx

答案:(x-5)2+y2=16
【拓展提升】求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件,列出方程f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
【变式训练】(2013·合肥高一检测)过原点O作圆x2+y2-8x=0
【解题探究】1.题1中三点与圆心、半径无直接联系,应怎样 设出圆的方程? 2.圆的一般方程中含有几个待定系数,在求圆的方程时如何求 出待定系数? 探究提示: 1.可设出圆的一般方程求解. 2.含有三个待定系数,需三个独立条件,列出三个方程构成方 程组求出待定系数.
【解析】1.选C.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0分别代入 (-1,5),(5,5),(6,-2)得
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=25
2.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.若点P的轨
迹为曲线C,则此曲线的方程为
.
【解题探究】1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置 关系上是什么? 2.几何关系|PA|=2|PB|如何用数量关系表示? 探究提示: 1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置关系上便是垂 直,因而其斜率之积为-1. 2.几何关系|PA|=2|PB|可通过两点间的距离公式转化为数量 关系.
r=1 D2+E2-4F= 5 | m-2 | . 2
方法二:原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2, 因此,当m=2时,它表示一个点, 当m≠2时,原方程表示圆的方程. 此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=|m5-2|.
【拓展提升】求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件,列出方程f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
【变式训练】(2013·合肥高一检测)过原点O作圆x2+y2-8x=0
【解题探究】1.题1中三点与圆心、半径无直接联系,应怎样 设出圆的方程? 2.圆的一般方程中含有几个待定系数,在求圆的方程时如何求 出待定系数? 探究提示: 1.可设出圆的一般方程求解. 2.含有三个待定系数,需三个独立条件,列出三个方程构成方 程组求出待定系数.
【解析】1.选C.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0分别代入 (-1,5),(5,5),(6,-2)得
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=25
2.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.若点P的轨
迹为曲线C,则此曲线的方程为
.
【解题探究】1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置 关系上是什么? 2.几何关系|PA|=2|PB|如何用数量关系表示? 探究提示: 1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置关系上便是垂 直,因而其斜率之积为-1. 2.几何关系|PA|=2|PB|可通过两点间的距离公式转化为数量 关系.
r=1 D2+E2-4F= 5 | m-2 | . 2
方法二:原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2, 因此,当m=2时,它表示一个点, 当m≠2时,原方程表示圆的方程. 此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=|m5-2|.
4.1.2 圆的一般方程(共25张PPT)

【解析】 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
-D=-E,
则圆心是(-D2 ,-E2),由题意知,
22 2-D+E+F=0,
10+3D-E+F=0,
解得 D=E=-4,F=-2,即所求圆的一般方程是 x2+y2-4x-4y-2=0.
【答案】 x2+y2-4x-4y-2=0
栏目 导引
第四章 圆与方程
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第四章 圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心,以 10为半径的圆,如图所示,又因 为 A、B、C 为三角形的三个顶点,所以 A、B、C 三点不共 线.即点 B、C 不能重合且 B、C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点.因为点 B、C 不能重合,所以点 C 不能为(3,5).
栏目 导引
第四章 圆与Байду номын сангаас程
栏目 导引
第四章 圆与方程
解:(1)∵方程 2x2+y2-7y+5=0 中 x2 与 y2 的系数不相同,
∴它不能表示圆.
(2)∵方程 x2-xy+y2+6x+7y=0 中含有 xy 这样的项,
∴它不能表示圆.
(3)方程 x2+y2-2x-4y+10=0 化为(x-1)2+(y-2)2=-5,
∴它不能表示圆.
F=- 4.
故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4=0.
法二:直线 AB 的垂直平分线的方程为 y=2(x-1),令 y=
0,得 x=1,即圆心坐标是(1,0),半径 r= 5,故所求圆的
方程为(x-1)2+y2=5.即一般方程为 x2+y2-2x-4=0.
栏目 导引
第四章 圆与方程
题型三 有关圆的轨迹问题
(3)当 _D_2_+__E_2_-__4_F__>_0_时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐 标
人教版必修二数学4.1.2圆的一般方程优秀课件

(4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)可化为 (x + a )2 + (y- a )2 = a2 ,表
2
22
示以 (- a , a ) 为圆心, 2 a 为半径的圆.
22
2
知识点2 坐标法求动点的轨迹 1.求轨迹方程的一般步骤 (1)建系:建立适当的直角坐标系. (2)设点:用(x,y)表示轨迹(曲线)上任意一点M的坐标. (3)列式:列出关于x,y的方程. (4)化简:把方程化为最简形式. (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
【误区警示】本题易出现误认为在x轴,y轴上的截距必须是正 值,从而将x轴上的截距和认为是|D|,y轴上的截距和认为是|E| 的错误.
【补偿训练】若经过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)三点的圆为⊙M, 且点D(m,3)在⊙M上,求m的值.
【解析】设过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)的圆的一般方程为
【自主解答】(1)设M(x,y),由已知圆心A(2,-1),则点P(2x-2, 2y+1),将P代入圆的方程得:(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1) -11=0, 即为:x2+y2-4x+2y+1=0. 答案:x2+y2-4x+2y+1=0
(2)设所求轨迹上任一点M(x,y),圆的方程可化为(x-3)2+(y-
【即时练】
1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为 ( )
A.(-2,-3)
B.(2,-3)
C.(2,3)
D.(-2,3)
2.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,求出圆的 圆心坐标及半径长,并化为标准方程. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0. (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. (3)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0). (4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).
人教A版高中数学必修2第四章4.1.2圆的一般方程课件(共16张PPT)

没有xy这样的二次项
ห้องสมุดไป่ตู้
练一练
1.下列方程能否表示圆方程?若能写出圆心与半径
(1) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心(3,-1)半径 10 (2) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是
(3) x2+y2+2by=0
(4).x2 + y2 + 2ax - b2 = 0
巩固应用
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),
y=-E/2,表示一个点( - D , - E ).
22
( x + D )2 + ( y + E )2 = D2 + E2 - 4F
2
2
4
(3) 当D2+E2-4F<0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)可表示圆的方程
1.圆的一般方程:
例:求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法一:待定系数法
解:设所求圆的方程为:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2(r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 - a)2 + (1- b)2 = r 2 a = 2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r 2 b = -3 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r 2 r = 5
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
4.1.2圆的一般方程 (共12张PPT)

例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 2 2 在圆 ( x 1) y 4 上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) . 由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点, x0 2 x 4 y0 3 x0 4 所以 y 即: x 2 2 y0 2 y 3 因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的 2 2 方程,即: ( x0 1) y0 4 (2 x 4 1)2 (2 y 3)2 4 3 2 3 2 点M的轨迹方程 (x ) ( y ) 1 2 2 轨迹方程求法
1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
圆心: (1, 2)
半径: r 2
2) x y 0
2 2
3) x y : (3,0) 半径: r 3
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
练习4:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6 和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并 3 求这个圆的圆心坐标和半径长. ( 2,3) (2,3) 解:设圆的方程为: 2 2 x y Dx Ey F 0 因为A,B,C都在圆上,所以其坐标 ( 3,0) (3,0) 都满足圆的方程,即 4 2 2 9 3 D F 0 圆的方程: x y y 9 0 3 9 3 D F 0 2 2 85 2 即: x ( y ) 13 4 D 3 E F 0 3 9 4 85 2 D 0, E , F 9 圆心: (0, ) 半径: 3 3 3
2
2) x y 2 x y 1 0
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以建立点M的坐标满足
的条件,求出点M的
轨迹方程.
解: 设点M的坐标是
( x, y), 点A的坐标是
( x0 , y0 ).
由于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点,所以
x0 4 y0 3 x ,y , 2 2
于是有
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
(1)
因为点A在圆
(2)没有xy这样的二次项.
例1 下列方程各表示什么图形?
(1) x y 0
2 2
(2) x y 2x 4 y 6 0
2 2
(3) x2 y 2 2ax b2 0
答案:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(1)原点(0,0).
(2) 圆心为(1, - 2),半径为 11 的圆 .
(3)当a2 + b2 ≠0时, 表示圆心为(- a,0),半径为 a2 + b2 的圆.
x y Dx Ey F 0 表示以
2
D E ( , ) 为圆心, 2 2
D 2 E 2 4 F 为半径的圆.
(2)当 方程
D 2 E 2 4 F 0 时,
D 2 E 2 D2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
只有一实数解 (3)当
当a2 + b2 = 0时,表示一个点(0,0).
例2 求过三点
O(0, 0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程,
并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
解: 设圆的方程为 把点
x2 y 2 Dx Ey F 0,
O(0, 0), M1 (1,1), M 的坐标代入得方程组 2 (4, 2)
的条件,求出点M的
轨迹方程.
解: 设点M的坐标是
( x, y), 点A的坐标是
( x0 , y0 ).
由于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点,所以
x0 4 y0 3 x ,y , 2 2
于是有
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
(1)
因为点A在圆
(2)没有xy这样的二次项.
例1 下列方程各表示什么图形?
(1) x y 0
2 2
(2) x y 2x 4 y 6 0
2 2
(3) x2 y 2 2ax b2 0
答案:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(1)原点(0,0).
(2) 圆心为(1, - 2),半径为 11 的圆 .
(3)当a2 + b2 ≠0时, 表示圆心为(- a,0),半径为 a2 + b2 的圆.
x y Dx Ey F 0 表示以
2
D E ( , ) 为圆心, 2 2
D 2 E 2 4 F 为半径的圆.
(2)当 方程
D 2 E 2 4 F 0 时,
D 2 E 2 D2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
只有一实数解 (3)当
当a2 + b2 = 0时,表示一个点(0,0).
例2 求过三点
O(0, 0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程,
并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
解: 设圆的方程为 把点
x2 y 2 Dx Ey F 0,
O(0, 0), M1 (1,1), M 的坐标代入得方程组 2 (4, 2)
人教版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程_新ppt模板

D E 1 , ) D2 E 2 4F 2 2半径等于________________, 2上述方程称为圆的一般 坐标为________________, (
D E , ) 2 2 ______________________; (
式方程.
• 2.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论:当二元二次方程具条件: • (1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即____________; A=C≠0 • (2)没有xy项,即__________; B=0 • (3)__________________时 ,它才表示圆. D2+E2-4AF>0
• 解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆. • (2)原方程可化为x2+(y+a) 2=a2+1,它表示圆心在(0,-a),半径为 的圆,标准方程为x2+(y+a) 2= a2 1) . • (3)原方程可化为:(x+10) 2( +y =-21<0,故方程不表示任何曲线, 故不能表示圆. a 1 • (4)原方程可化为(x+a) 2+y2=a2. • ①当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆; • ②当a≠0时,方程表示以(-a,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程 为(x+a) 2+y2=a2.
• ∴端点C的轨迹方程是 • (x-4)2+(y-2)2=10(3x+y-14≠0). • 故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 两点.如下图所示.
D E , ) 2 2 ______________________; (
式方程.
• 2.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论:当二元二次方程具条件: • (1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即____________; A=C≠0 • (2)没有xy项,即__________; B=0 • (3)__________________时 ,它才表示圆. D2+E2-4AF>0
• 解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆. • (2)原方程可化为x2+(y+a) 2=a2+1,它表示圆心在(0,-a),半径为 的圆,标准方程为x2+(y+a) 2= a2 1) . • (3)原方程可化为:(x+10) 2( +y =-21<0,故方程不表示任何曲线, 故不能表示圆. a 1 • (4)原方程可化为(x+a) 2+y2=a2. • ①当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆; • ②当a≠0时,方程表示以(-a,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程 为(x+a) 2+y2=a2.
• ∴端点C的轨迹方程是 • (x-4)2+(y-2)2=10(3x+y-14≠0). • 故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 两点.如下图所示.
人教版高中数学第四章 圆的一般方程(共13张PPT)教育课件

凡事 都 是多 棱 镜, 不 同的 角 度会
凡 事都 是 多棱 镜 ,不 同 的角 度 会看 到 不同 的 结果 。 若能 把 一些 事 看淡 了 ,就 会 有个 好 心境 , 若把 很 多事 看 开了 ,就 会 有个 好 心情 。 让聚 散 离合 犹 如月 缺 月圆 那 样寻 常 ,让 得 失利 弊 犹如 花 开花 谢 那样 自 然, 不 计较 , 也不 刻意 执 着; 让 生命 中 各种 的 喜怒 哀 乐, 就 像风 儿 一样 , 来了 , 不管 是 清风 拂 面, 还 是寒 风 凛冽 , 都报 以 自然 的微 笑 ,坦 然 的接 受 命运 的 馈赠 , 把是 非 曲折 , 都当 作 是人 生 的定
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油!
自
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
的
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电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
■电你是否有这样经历,当 你在做某一项工作 和学习的时候,脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书,大脑会 蹦出口渴想喝水, 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。,一个小 时过去 了,可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到,你的 大脑不停地超控你 的注意力,你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考, 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑,而应该是你拥 有你的大脑,并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候,会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪,无论 身处何种境地,都 要明白自己所
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练习
判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径
(1) x2+2y2-6x+4y-1=0 (2) x2+y2-3xy+5x+2y=0 (3) x2+y2-2x+4y-4=0 (4) x2+y2-12x+6y+50=0
不是 不是 是
圆心(1,-2)半径3
不是 是
圆心(3,-1)半径
(5) 2x2+2y2-12x+4y=0
解 设所求圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0 由题意得:
F 0 8+2D - 2 E F 0 , 16 4 E0 . F 0
于是所求圆的方程为: x2+y2-4x=0
例2动画 例2、如下图,已知线段 AB 的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 如果轨迹动点 M(x,y) 依赖于另一 (x+1)2动点 +y2=4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. A(x ,y ),而A(x ,y )又在某已
0 0 0 0
0
0
0
0
y
因为点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足 方程(x+1)2+y2=4,即 (x0+1)2+y02=4……………………② 把①代入②,得
x
2 x 4 1
2
2 y 3 4,
2
2 2
3 3 整理,得线段AB的中点M的轨迹方程是 x- y 1, 2 2
解得
于是所求圆的方程为
x 2 y 2 8 x 6 y 0.
D 8, E 6, F 0,
D E 1 4, 3, 2 2 2 D 2 E 2 4 F 5,
将这个方程配方,得
( x 4) 2 ( y 3) 2 25.
故所求圆的圆心坐标是
y=-E/2,表示一个点(
D E . , ) 2 2
(3) 当D2+E2-4F<0时,方程无实数解,所以不表示任何
图形.
圆的一般方程:
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0
一般方程的特点: (D2+E2-4F>0)
1.x2与y2系数相同并且不等于0;
2.没有xy这样的二次项 3.D2+E2-4F>0
ay+3a 32=0
2.判断下列方程分别表示什么图形:
(1)x2+y2=0
(2) x2+y2-2x+4y-6=0
(3) x2+y2+2ax-b2=0
作业:课本P124 必做 A组1,2题
选做 B组1题
( 4,3), 半径为
5.
例题小结:
求圆的方程常用“待定系数法”,用“待定系数法”求圆的方程的步骤是:
(1)依题意选择标准方程或一般方程
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组 (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程
变式训练1 求经过三点(0,0),(2,-2),(4,0)的圆的方程
变式训练2
动画演示
如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0),当点P在 圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹方程是什么?
y
答案: (x-6)2+y2=4
x
o
课堂小结
1. 圆的一般方程的定义及特点
2 2 x y Dx Ey F 0 2 2 D E 4F 0
知曲线上,则可先列出关于x,y, 解 设点M的坐标是 (x,y),点A的坐标是 (x0,y B的坐标是(4,3), 0),由于点 x ,y 的方程组 , 利用 x,y 表示出 0 0 且点M是AB的中点,所以 x0,y 把x ,y 代入已知曲线方程便 x 0 4 0 0y 3 x ,y , 得动点 .这种求轨迹 2 M的轨迹方程 2 于是有 x 2 x 4, y 2 y 3 ………① 方程的方法叫“相关点法”。
4.1.2圆的一般方程
复习
圆的标准方程
( x a) ( y b) r
2 2
2
y
r
A
圆心C(a,b),半径r
O
C(a,b)
x
动动手
把圆的 标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2
2
展开,得
x y 2 2 ax 2 by a 2 b 2 r 2 0
由于a, b, r均为常数
令 2a D,2b E , a b r F
2 2 2
结论:任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0
结论
结论:任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0
问:是不是任何一个形如
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 方程表示
的曲线是圆呢?
10
典例精析
例1 求过点 心坐标.
O(0,0), M (1,1 ), N (4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径和圆
y
2
N
解: 设所求圆的方程为
x y Dx Ey F 0
2
M
o x
D 8 E 6 . F 0
其中D,E,F待定.
由题意得
F 0 D E F 2 0 , 4 D 2 E F 20 0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 一般方程
配方
展开
标准方程(圆心,半径)
3. 用待定系数法,求圆的一般方程
4. 用相关点法,求点的轨迹方程
达标检测
1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长: (1)x2+y2-6x=0 (2) x2+y2+2by=0
(3)x2+y2-2ax-2
动动脑
把方程:x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 配方可得:
(1) 当D2+E2-4F>0时,表示以( 为圆心,以(
1 2
D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
)
D E , 2 2
2 为半径的圆 . D 2 )E 4F
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2