人教版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程 (1)ppt模板

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4.1.2圆的一般方程课件(人教A必修2)

C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
栏目导引
第四章圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
栏目导引
第四章圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
栏目导引
第四章圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
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第四章圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
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第四章圆与方程
名师微博
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第四章圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.

人教版高中数学必修2第四章《4.1圆的方程：4.1.2 圆的一般方程》教学PPT

例1:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4,2) 的圆的方程,并求出这
个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 y2 Dx Ey F 0
因为O, M1, M2 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即
F 0

D

E

F

2

0
4D 2E F 20 0
1) x2 y2 2x 4 y 1 0 D 2, E 4, F 1 D2 E2 4F 16
圆心: (1, 2) 2) x2 y2 6x 0
半径: r 2
D 6, E F 0 D2 E2 4F 36
圆心: (3,0)
分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定的圆的方程为同一方程
求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐标满足圆的方程.
作业: 1.(作业本)课本P124 A组 1、(2)(4) B组第2题或第3题 2. 完成《课时作业》&《反馈卡》
D 8

E

6
F 0
待定系数法
所以,圆的方程为: x2 y2 8x 6 y 0
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程; 若已知圆经过两点或, E, F的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.
轨迹方程求法
例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 ( x 1)2 y2 4
上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.

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4.1.2 圆的一般方程
复习引入
圆的标准方程是什么？
复习引入
圆的标准方程是什么？
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
讲授新课
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，化为圆的标准方程形式，则圆心、半径分别是？
讲授新课
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，化为圆的标准方程形式，则圆心、半径分别是？
例3.已知线段AB的端点B的坐标是
(4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形. 解：设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 10 端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心为半径的圆 A， B，C三点不共线，点（5，-1）除外，B点除外
例5. 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程.
练习 1. P.123练习第3题.
2. 已知一曲线是与两定点O(0, 0),A(3, 0) 1 的距离的比为的点的轨迹，求这个 2 曲线的方程，并画出曲线
解：设点M(x,y)是曲线C的任意一点，也就是M属于集合 OM 1 P ＝ M ＝ 2 AM 2 2 ( x ＋ y ) 点M所适合的条件可以表示为: 2 2 2 (x － 3 ) ＋ y x ＋ y 1 将① 式两边平方得： 2 2 ＝ 4 ( x －3) ＋y 化简得： x2 ＋y

4.1.2 圆的一般方程PPT课件

例2:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4, 2)的圆的
方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
因为O, M1, M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的
方程,即 F = 0
D = -8
D
+
E
+
F
+
2
=
0
E
=
6
பைடு நூலகம்
4D + 2E + F + 20 = 0 F = 0
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E,a2 + b2 - r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 问：是不是任何一个形如
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
思考
一般式有那些特点？
(1) x2和y2 的系数相同，且不等于零；
(2) 没有 xy 项； (3) D2 + E2 - 4F>0
圆的标准方程与一般方程各有什么优点？
标准方程：明确地指出了圆心和半径；一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
方法一：几何方法

《圆的一般方程》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.1.2课时)

y M(x,y)
O
C
x
新知探究
问题探究1 圆的一般方程 1.圆的标准方程
展开得 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 y2 Dx Ey F 0
新知探究
D2 E 2 4F 2
5
2
2
课堂练习
练习3：已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(3，0)距离的比为
1 2 的点的轨迹，求出曲线的轨迹.
解析：在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，
点M在曲线上的条件是 | MO | 1 | MA | 2
由两点的距离公式，上式用坐标表示为
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
二、自主学习探究新知
二、自主学习探究新知
如果用C表示圆的周长，就有：
C ＝πd 或
C＝2πr
三、巩固提高
1、计算下面各圆的周长。
C=πd =3.14×4 =12.56(cm)
C=2πr =3.14×1.5×2 =9.42(cm)
三、巩固提高
2、选择。
（1）圆周率是一个（ B ）。 A.有限小数 B.无限小数
（2）求车轮滚动一周前进的距离，是求车轮的（ C ）。 A.半径 B.直径 C.周长
（3）圆的周长是直径的（ B ）倍。 A.3.14 B.π C.3
三、巩固提高
3、判断。（1）大圆的周长一定比半圆的周长大。（× ）
（2）半径不相等的两个圆，周长一定不相等。（ √ ）
三、巩固提高
4、一个圆形喷水池的半径是5m，它的周长是多少？ 3.14×5×2＝31.4（米）答：它的周长是31.4 米。

人教A版高中数学必修二课件第四章4.1.2圆的一般方程(共37张PPT).pptx

答案:(x-5)2+y2=16
【拓展提升】求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件,列出方程f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
【变式训练】(2013·合肥高一检测)过原点O作圆x2+y2-8x=0
【解题探究】1.题1中三点与圆心、半径无直接联系,应怎样设出圆的方程? 2.圆的一般方程中含有几个待定系数,在求圆的方程时如何求出待定系数? 探究提示: 1.可设出圆的一般方程求解. 2.含有三个待定系数,需三个独立条件,列出三个方程构成方程组求出待定系数.
【解析】1.选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0分别代入 (－1,5)，(5,5)，(6,－2)得
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=25
2.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.若点P的轨
迹为曲线C,则此曲线的方程为
.
【解题探究】1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置关系上是什么? 2.几何关系|PA|=2|PB|如何用数量关系表示? 探究提示: 1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置关系上便是垂直,因而其斜率之积为-1. 2.几何关系|PA|=2|PB|可通过两点间的距离公式转化为数量关系.
r＝1 D2＋E2－4F＝ 5 | m－2 | . 2
方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m，-m)，半径为r＝|m5－2|.

4.1.2 圆的一般方程(共25张PPT)

【解析】设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
－D＝－E，
则圆心是(－D2 ，－E2)，由题意知，
22 2－D＋E＋F＝0，
10＋3D－E＋F＝0，
解得 D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.
【答案】 x2＋y2－4x－4y－2＝0
栏目导引
第四章圆与方程
栏目导引
第四章圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因为 A、B、C 为三角形的三个顶点，所以 A、B、C 三点不共线．即点 B、C 不能重合且 B、C 不能为圆 A 的一直径的两个端点．因为点 B、C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)．
栏目导引
第四章圆与Байду номын сангаас程
栏目导引
第四章圆与方程
解：(1)∵方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，
∴它不能表示圆．
(2)∵方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项，
∴它不能表示圆．
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆．
F＝－ 4.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4＝0.
法二：直线 AB 的垂直平分线的方程为 y＝2(x－1)，令 y＝
0，得 x＝1，即圆心坐标是(1,0)，半径 r＝ 5，故所求圆的
方程为(x－1)2＋y2＝5.即一般方程为 x2＋y2－2x－4＝0.
栏目导引
第四章圆与方程
题型三有关圆的轨迹问题
(3)当 _D_2_＋__E_2_－__4_F__>_0_时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标

人教版必修二数学4.1.2圆的一般方程优秀课件

(4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)可化为 (x + a )2 + (y- a )2 = a2 ，表
2
22
示以 (- a , a ) 为圆心， 2 a 为半径的圆.
22
2
知识点2 坐标法求动点的轨迹 1.求轨迹方程的一般步骤 (1)建系:建立适当的直角坐标系. (2)设点:用(x,y)表示轨迹(曲线)上任意一点M的坐标. (3)列式:列出关于x,y的方程. (4)化简:把方程化为最简形式. (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
【误区警示】本题易出现误认为在x轴,y轴上的截距必须是正值,从而将x轴上的截距和认为是|D|,y轴上的截距和认为是|E| 的错误.
【补偿训练】若经过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)三点的圆为⊙M，且点D(m,3)在⊙M上，求m的值.
【解析】设过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)的圆的一般方程为
【自主解答】(1)设M(x,y),由已知圆心A(2,-1),则点P(2x-2, 2y+1),将P代入圆的方程得:(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1) -11=0, 即为:x2+y2-4x+2y+1=0. 答案:x2+y2-4x+2y+1=0
(2)设所求轨迹上任一点M(x,y),圆的方程可化为(x-3)2+(y-
【即时练】
1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为 ( )
A.(-2,-3)
B.(2,-3)
C.(2,3)
D.(-2,3)
2.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,求出圆的圆心坐标及半径长,并化为标准方程. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0. (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. (3)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0). (4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).

人教A版高中数学必修2第四章4.1.2圆的一般方程课件(共16张PPT)

没有xy这样的二次项
ห้องสมุดไป่ตู้
练一练
1.下列方程能否表示圆方程？若能写出圆心与半径
(1) 2x2+2y2-12x+4y=0 是圆心（3，-1）半径 10 (2) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是
(3) x2+y2+2by=0
(4).x2 + y2 + 2ax - b2 = 0
巩固应用
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),
y=-E/2，表示一个点（ - D , - E ）.
22
( x + D )2 + ( y + E )2 = D2 + E2 - 4F
2
2
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
1.圆的一般方程:
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
(x - a)2 + (y - b)2 = r2(r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 - a)2 + (1- b)2 = r 2 a = 2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r 2 b = -3 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r 2 r = 5
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）

4.1.2圆的一般方程 (共12张PPT)

例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 2 2 在圆 ( x 1) y 4 上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) . 由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点, x0 2 x 4 y0 3 x0 4 所以 y 即: x 2 2 y0 2 y 3 因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的 2 2 方程,即: ( x0 1) y0 4 (2 x 4 1)2 (2 y 3)2 4 3 2 3 2 点M的轨迹方程 (x ) ( y ) 1 2 2 轨迹方程求法
1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
圆心: (1, 2)
半径: r 2
2) x y 0
2 2
3) x y : (3,0) 半径: r 3
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
练习4:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6 和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并 3 求这个圆的圆心坐标和半径长. ( 2,3) (2,3) 解:设圆的方程为: 2 2 x y Dx Ey F 0 因为A,B,C都在圆上,所以其坐标 ( 3,0) (3,0) 都满足圆的方程,即 4 2 2 9 3 D F 0 圆的方程: x y y 9 0 3 9 3 D F 0 2 2 85 2 即: x ( y ) 13 4 D 3 E F 0 3 9 4 85 2 D 0, E , F 9 圆心: (0, ) 半径: 3 3 3
2
2) x y 2 x y 1 0

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以建立点M的坐标满足
的条件，求出点M的
轨迹方程.
解：设点M的坐标是
( x, y), 点A的坐标是
( x0 , y0 ).
由于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点，所以
x0 4 y0 3 x ,y ， 2 2
于是有
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
(1)
因为点A在圆
（2）没有xy这样的二次项.
例1 下列方程各表示什么图形?
(1) x y 0
2 2
(2) x y 2x 4 y 6 0
2 2
(3) x2 y 2 2ax b2 0
答案：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（1）原点(0,0).
(2) 圆心为（1， - 2），半径为 11 的圆 .
（3）当a2 + b2 ≠0时，表示圆心为（- a，0），半径为 a2 + b2 的圆.
x y Dx Ey F 0 表示以
2
D E ( , ) 为圆心， 2 2
D 2 E 2 4 F 为半径的圆.
（2）当方程
D 2 E 2 4 F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
只有一实数解（3）当
当a2 + b2 = 0时，表示一个点（0，0）.
例2 求过三点
O(0, 0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程，
并求出这个圆的半径长和圆心坐标．
解：设圆的方程为把点
x2 y 2 Dx Ey F 0,
O(0, 0), M1 (1,1), M 的坐标代入得方程组 2 (4, 2)

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D E 1 , ) D2 E 2 4F 2 2半径等于________________, 2上述方程称为圆的一般坐标为________________, (
D E , ) 2 2 ______________________; (
式方程.
• 2.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论:当二元二次方程具条件: • (1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即____________; A=C≠0 • (2)没有xy项,即__________; B=0 • (3)__________________时 ,它才表示圆. D2+E2-4AF>0
• 解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆. • (2)原方程可化为x2+(y+a) 2=a2+1,它表示圆心在(0,-a),半径为的圆,标准方程为x2+(y+a) 2= a2 1) . • (3)原方程可化为:(x+10) 2( +y =-21<0,故方程不表示任何曲线, 故不能表示圆. a 1 • (4)原方程可化为(x+a) 2+y2=a2. • ①当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆; • ②当a≠0时,方程表示以(-a,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程为(x+a) 2+y2=a2.
• ∴端点C的轨迹方程是 • (x-4)2+(y-2)2=10(3x+y-14≠0). • 故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 两点.如下图所示.

人教版高中数学第四章圆的一般方程(共13张PPT)教育课件

凡事都是多棱镜，不同的角度会
凡事都是多棱镜，不同的角度会看到不同的结果。若能把一些事看淡了，就会有个好心境，若把很多事看开了，就会有个好心情。让聚散离合犹如月缺月圆那样寻常，让得失利弊犹如花开花谢那样自然，不计较，也不刻意执着；让生命中各种的喜怒哀乐，就像风儿一样，来了，不管是清风拂面，还是寒风凛冽，都报以自然的微笑，坦然的接受命运的馈赠，把是非曲折，都当作是人生的定
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
自
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
的
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
■电你是否有这样经历，当你在做某一项工作和学习的时候，脑子里经常会蹦出各种不同的需求。比如你想安心下来看2小时的书，大脑会蹦出口渴想喝水，然后喝水的时候自然的打开电视。。。。。。，一个小时过去了，可能书还没看2页。很多时候甚至你自己都没有意思到，你的大脑不停地超控你的注意力，你就这么轻易的被你的大脑所左右。你已经不知不觉地变成了大脑的奴隶。尽管你在用它思考，但是你要明白你不应该隶属于你的大脑，而应该是你拥有你的大脑，并且应该是你可以控制你的大脑才对。一切从你意识到你可以控制你的大脑的时候，会改变你的很多东西。比如控制你的情绪，无论身处何种境地，都要明白自己所

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练习
判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径
(1) x2+2y2-6x+4y-1=0 (2) x2+y2-3xy+5x+2y=0 (3) x2+y2-2x+4y-4=0 (4) x2+y2-12x+6y+50=0
不是不是是
圆心（1，-2）半径3
不是是
圆心（3，-1）半径
(5) 2x2+2y2-12x+4y=0
解设所求圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0 由题意得：
F 0 8+2D - 2 E F 0 , 16&# 4 E0 . F 0
于是所求圆的方程为: x2+y2-4x=0
例2动画例2、如下图，已知线段 AB 的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆如果轨迹动点 M(x,y) 依赖于另一 (x+1)2动点 +y2=4 上运动，求线段 AB的中点M的轨迹方程. A(x ,y ),而A(x ,y )又在某已
0 0 0 0
0
0
0
0
y
因为点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,即 (x0+1)2+y02=4……………………② 把①代入②，得
x
2 x 4 1
2
2 y 3 4,
2
2 2
3 3 整理，得线段AB的中点M的轨迹方程是 x- y 1, 2 2
解得
于是所求圆的方程为
x 2 y 2 8 x 6 y 0.
D 8, E 6, F 0,
D E 1 4, 3, 2 2 2 D 2 E 2 4 F 5,

将这个方程配方，得
( x 4) 2 ( y 3) 2 25.
故所求圆的圆心坐标是
y=-E/2，表示一个点（
D E . , ） 2 2
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何
图形.
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
一般方程的特点： (D2+E2-4F>0)
1.x2与y2系数相同并且不等于0；
2.没有xy这样的二次项 3.D2+E2-4F>0
ay+3a 32=0
2.判断下列方程分别表示什么图形：
（1）x2+y2=0
(2) x2+y2-2x+4y-6=0
(3) x2+y2+2ax-b2=0
作业:课本P124 必做 A组1,2题
选做 B组1题
( 4,3), 半径为
5.
例题小结：
求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的步骤是：
(1)依题意选择标准方程或一般方程
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组 (3)解出a,b,r或D,E,F，代入标准方程或一般方程
变式训练1 求经过三点（0,0），（2，-2），（4,0）的圆的方程
变式训练2
动画演示
如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程是什么？
y
答案: (x-6)2+y2=4
x
o
课堂小结
1. 圆的一般方程的定义及特点
2 2 x y Dx Ey F 0 2 2 D E 4F 0
知曲线上,则可先列出关于x,y, 解设点M的坐标是 (x,y),点A的坐标是 (x0,y B的坐标是(4,3), 0),由于点 x ,y 的方程组 , 利用 x,y 表示出 0 0 且点M是AB的中点,所以 x0,y 把x ,y 代入已知曲线方程便 x 0 4 0 0y 3 x ,y , 得动点 .这种求轨迹 2 M的轨迹方程 2 于是有 x 2 x 4, y 2 y 3 ………① 方程的方法叫“相关点法”。
4.1.2圆的一般方程
复习
圆的标准方程
( x a) ( y b) r
2 2
2
y
r
A
圆心C(a,b),半径r
O
C(a,b)
x
动动手
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2
2
展开，得
x y 2 2 ax 2 by a 2 b 2 r 2 0
由于a, b, r均为常数
令 2a D,2b E , a b r F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线是圆呢？
10
典例精析
例1 求过点心坐标.
O(0,0), M (1,1 ), N (4,2) 的圆的方程，并求出这个圆的半径和圆
y
2
N
解: 设所求圆的方程为
x y Dx Ey F 0
2
M
o x
D 8 E 6 . F 0
其中D,E,F待定.
由题意得
F 0 D E F 2 0 , 4 D 2 E F 20 0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程

配方
展开
标准方程(圆心,半径)
3. 用待定系数法，求圆的一般方程
4. 用相关点法，求点的轨迹方程
达标检测
1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：（1）x2+y2-6x=0 (2) x2+y2+2by=0
（3）x2+y2-2ax-2
动动脑
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 配方可得：
(1) 当D2+E2-4F>0时,表示以（为圆心，以(
1 2
D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
）
D E , 2 2
2 为半径的圆 . D 2 )E 4F
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2