线代4-1、2、3

系数矩阵的秩与增广矩
阵的秩不相等,所以方
程组无解。
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例2 求解非齐次方程组
x1 - x2 - x3 + x4 = 0 . x1 - x2 + x3 - 3 x4 = 1 x - x - 2x + 3x = -1 2 1 2 3 4
解
对增广矩阵 Ã 进行初等变换
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定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它 同解的线性方程组。
定义1 线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方 程组的系数矩阵,把系数及常数所组成的矩阵叫做增 广矩阵。
设线性方程组Ax＝b ，即
a11 x1 + a12 x 2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a 22 x2 + + a2 n xn = b2 am 1 x1 + a m 2 x 2 + + a mn x n = bm
... c1n ... ... ... ... ... ...
d1 c2 n d 2 ... ... crn d r 0 d r +1 ... ... 0 dm
与之相应的线性方程组为
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x1 + c1,r +1 x r +1 + + c1n x n = d 1 x 2 + c2,r +1 x r +1 + + c2 n x n = d 2 x r + cr ,r +1 x r +1 + + crn x n = d r 0 = d r +1 其解与原方程组Ax＝b相同。 0 = d m (1)若dr+1, dr+2 ,…, dm中有一个不为0, 方程组无解, 那 么原方程组也无解 ；( R(A) ≠R(Ã ) )
a mn
a1n a 2n
a1n b1 a 2 n b2 a mn
bm
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对一个方程组应用消元法求解,即对方程组实行了 初等变换,相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的 初等行变换。而化简线性方程组相当于用矩阵的初 等行变换化简它的增广矩阵。 如引例，实际上只是对方程组的系数和常数进行 运算，未知量并未参与运算，因此，若记
( B1)
2
.④
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②-③ ③-2 ① ④-3①
x1 +
x2 - 2x3 + x4 = 4 2x2 - 2x 3 + 2x4 = 0 - 5 x2 + 5x 3 - 3x4 = -6 3 x2 - 3 x3 + 4x4 = -3
x2 - 2x3 + x 2 - x3 + x4 x4 2x4 x4 = 4 = 0 = -6 = -3
5 3 3 1 1
3 1 0 1 - 2
相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组:
x1 + (5 / 3) x2 + 3x3 = 3 x2 + x3 = 1 x3 = -2
回代得 x3=-2, x2=3, x1=4
利用消元法求解方程组在实际手工求解的时候 比较方便。
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例1 研究线性方程组 x1 - x2 + 3 x3 - x4 = 1
2 x1 - x 2 - x 3 + 4 x4 = 2 3 x1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x4 = 3 x1 - 4 x 3 + 5 x 4 = -1
解 写出增广矩阵
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系数矩阵是
a11 a12 ... a 21 a 22 ... A= ............ a m1 a m 2 ...
增广矩阵是 a11 a12 ... ~ a 21 a 22 ... A= ............ a m1 a m 2 ...
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由定理2,我们可以把线性方程组的增广矩阵进行初等 行变换化为:
1 0 ... 0 c1,r +1 0 1 ... 0 c 2 , r +1 ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 cr ,r +1 0 .... .... ... .... .... ... .... ... .... 0 .... .... ... ....
,① ,② ,③ .④ ,① ,② ,③ .④
( B2)
x1 +
②×0.5
③+5 ② ④-3 ②
( B3)
x1 +
③ ④ ④-2 ③
x2 - 2x3 + x 2 - x3 +
x4 = 4 , ① x4 = 0 , ② x4 = -3 , ③ 0 = 0 .④
( B4)
3
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(B4)是4个未知量3个有效方程的方程组，应有一个自 由未知量,由于方程组（B4）呈阶梯行，可把每个台阶 的第一个未知量（即x1 、x2、 x4 ）选为非自由未知量， 剩下的x3选为自由未知量。这样，就只需用“回代”的 方法便能解得：
(2)若dr+1, dr+2 ,…, dm全为 0, 则方程组有解, 那 么原方程组也有解. ( R(A) =R(Ã ) )
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定理３
线性方程组无解的充分必要条件是系数矩阵A
的秩与增广矩阵 Ã 的秩不相等。 线性方程组有解的判别定理：线性方程组有解的充分必 要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r。 (1)当 r 等于方程组所含未知量个数 n 时, 方程组有唯一的解; (2)当 r < n 时, 方程组有无穷多解。
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第二节
线性方程组有解判别定理
定理2 设A是一个m行n列矩阵 a12 ... a1n a11 a a 22 ... a 2 n 21 A= ............ am 2 ... a mn a m1 通过矩阵的初等 行变换能把A化 为以下形式
~ 由于R A = R A = 2, 故方程组有解，且有
x1 = x2 + x4 + 1 2 x = x + 0x x1 = x2 + x4 + 1 2 2 2 4 x 3 = 2 x4 + 1 2 x 3 = 0 x 2 + 2 x4 + 1 2 x4 = 0 x 2 + x4
x 1 = x3 + 4 x 2 = x3 + 3 x4 = -3
其中x3可以任意取值。或令x3= c (常数)，方程组的解可记作
x1 x2 = x = x3
c+ 4 c+ 3 c
1
4
（2）
x4
-3
1 3 即 x =c + 1 0 0 -3
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4
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在上述消元的过程中，用到三种变换，即交换方 程次序；以不等于0的数乘某个方程；一个方程加上 另一个方程的 k 倍，将这三种变换称为线性方程组 的初等变换。 由于这三种变换都是可逆的，因此，变换前的方 程组与变换后的方程组是同解的，这三种变换是方 程组的同解变换，所以最后求得的解（2）是方程组 （1）的全部解。
第四章
线性方程组
第一节 消元法 第二节 线性方程组有解判别定理
第三节 线性方程组解的结构
1
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第一节
消元法
首先来分析用消元法解线性方程组的例子，其步骤 就是逐步消除变元的系数，将原方程组化为等价的三 角形方程组，再回代得出方程组的解。 引例 解线性方程组
2x 1 - x2 - x3 + x4 x 1 + 5 x2 - 2x3 + x4 4x 1 - 6 x2 + 2x3 - 2x4 3x1 + 6 x2 - 9 x3 + 7x4
0 1 -1 -1 1 0 1 - 1 - 1 1 ~ A = 1 - 1 1 - 3 1 0 0 2 -4 1 1 - 1 - 2 3 - 1 2 0 0 - 1 2 - 1 2
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1 - 1 0 - 1 1 2 0 0 1 - 2 1 2 . 0 0 0 0 0
其中x2、x4可取任意常数。
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小结
非齐次线性方程组 Ax = b RA = RÃ = n (n为方程未知量的个数) Ax = b有唯一解; RA = RÃ < n Ax = b有无穷多解.
~ R( A) R( A)
齐次线性方程组
Ax = b无解
Ax = 0
x1 = d1 - c1,r +1 xr +1 - c1n xn 在方程组有无穷 多解的情况下,方 x2 = d 2 - c2,r +1 xr +1 - c2 n xn 程组有n-r个自由 未知量,其解为 xr = d r - cr ,r +1 xr +1 - crn xn
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其中xr+1, xr+2 , …, xn是自由未知量, 若给一组数l1, l2 ,…,ln-r 就得到方程组的一组解
x1 = d 1 - c1,r +1 l1 - c1n l n- r x 2 = d 2 - c 2 , r + 1 l1 - c 2 n lHale Waihona Puke Baidun - r x r = d r - cr ,r +1 l1 - crnl n - r x r + 1 = l1 x = l r+2 2 xn = l n- r
2 Ã =（ A
1 4 3
b ）=
-1 -1 1 2 1 -2 1 4 -6 2 -2 4
6 -9 7 9
那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩 阵Ã（方程组（1）的增广矩阵）的初等行变换。
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1 1 例1 解线性方程组 x1 + x 2 + x 3 = 1, 2 3 5 x1 + x 2 + 3 x 3 = 3, 3 4 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 = 2.
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 C1,r +1 C1n C 2,r +1 C 2 n r 0, r m, C r ,r +1 C rn r n 0 0 11
x 1 + 5 x2 - 2x3 + x4 2x 1 - x2 - x3 + x4 2x 1 - 3 x2 + x3 - x 4 3x1 + 6 x2 - 9 x3 + 7x4 = 2 = 4 = 4 =9 = 4 = 2 =2 =9
,①
,② ,③ .④ ,① ,② ,③
(1)
解 (1)
① ②
③×0.5

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所以方程组的解为
x1 1 1 1 2 x2 1 0 0 x = x 2 0 + x 4 2 + 1 2 . 3 0 1 0 x 4
R A = n Ax = 0只有零解; R A < n Ax = 0有非零解.
解 增广矩阵是
1 2 ~ A = 1 2
1 1 1 r(1,2) 3 r(2+1(-1/2)) 5 3 3 r(3+1(-2)) 3 r(2(-2)) 4 5 2 3
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5 3 3 1 1 3 r(3+2(2)) 0 1 0 1 1 0 - 2 - 1 - 4 0
1 - 1 3 - 1 1 2 ~ 2 - 1 - 1 4 A= 3 - 2 2 3 3 1 0 - 4 5 - 1
对Ã 进行初等行 变换可化为
1 - 1 3 - 1 1 0 1 - 7 6 0 0 0 0 0 0 0 0 - 2 0 0