【小初高学习】浙江省2016届高三数学专题复习 回扣四 数列与不等式 理

回扣四 数列与不等式

陷阱盘点1 忽视通项公式能否统一致误

已知数列的前n 项和S n 求a n ，易忽视n ＝1的情形而直接用S n －S n －1表示，事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.

[回扣问题1]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2

＋1，则a n ＝________．

陷阱盘点2 忽视数列性质中的整体代换致误

等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，不能灵活地运用整体代换进行基本运算，如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n

时，无法正确赋值求解．

[回扣问题2]等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 8b 8

＝________． 陷阱盘点3 忽视对公比的讨论致误

运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论

(1)忽视数列的各项及公比都不为0.

(2)注意到公比q ＝1或q ≠1两种情形，进行讨论．

[回扣问题3]设等比数列{a n }的前n 项和S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则公比q ＝________． 陷阱盘点4 忽视二次项系数大小讨论致误

解形如一元二次不等式ax 2

＋bx ＋c ＞0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a ＞0，a ＜0进行讨论．

[回扣问题4]若不等式x 2＋x －1＜m 2x 2－mx 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 陷阱盘点5 基本不等式应用中，忽视使用条件

容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解．如求函数f (x )＝x 2＋2＋1

x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值．

[回扣问题5]已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b

的最小值是________． 陷阱盘点6 线性规划问题中，忽视目标函数几何意义致误

求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解．如

y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点

(1，1)的距离的平方等．

[回扣问题6]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x 3a ＋y 4a ≤1，x ≥0且y ≥0，

若z ＝y ＋1x ＋1的最小值为14，则a ＝________． 陷阱盘点7 数列的通项或求和中，忽视n 的奇偶性分析的活用致误

对于通项公式中含有(－1)n

的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1

＝q (n ≥2)，求{a n }的通项公式，要注意分n 的奇偶性讨论． [回扣问题7](2014·山东高考改编)若a n ＝2n －1，且b n ＝(－1)

n －14n a n a n ＋1，则数列{b n }的前n

项和T n ＝________．

回扣四 数列与不等式

1.⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1，n ≥2

2.43 [由等差数列的性质，a 8b 8＝S 15T 15＝3×15－12×15＋3＝43

.] 3．1或－1 [(1)若q ＝1时，显然S 3＋S 6＝9a 1＝S 9成立．

(2)当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9，得a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝a 1（1－q 9）1－q

.由于1－q 3≠0，得q ＝－1.]

4．(－∞，－1]∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫53，＋∞ [原不等式化为(m 2－1)x 2－(m ＋1)x ＋1＞0对x ∈R 恒成立． (1)当m 2－1＝0且m ＋1＝0，不等式恒成立，∴m ＝－1.

(2)当m 2－1≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2

－1＞0，Δ＝[－（m ＋1）]2－4（m 2－1）＜0， ∴⎩

⎪⎨⎪⎧m ＞1或m ＜－1，m ＞53或m ＜－1，因此m ＞53或m ＜－1. 综合(1)(2)知，m 的取值范围为m ＞53

或m ≤－1.] 5．9 [∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，

∴y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥9，当且仅当b ＝2a ＝23时，等号成立．] 6．1 [作约束条件的可行域如图所示．

则z 表示可行域内的点(x ，y )，点P (－1，－1)连线的斜率．则z min ＝k OA ，

∴0－（－1）3a －（－1）＝13a ＋1＝14

，故a ＝1.] 7.⎩⎪⎨⎪⎧2n 2n ＋1（n 为偶数）

2n ＋22n ＋1（n 为奇数） [b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝

(－1)n －1·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17－…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1＋12n ＋1， ∴T n ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1

.

当n 为奇函数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17－…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 所以T n ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1

， 故T n

＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2n ＋1（n 为偶数），

2n ＋22n ＋1（n 为奇数）.]