(第15讲) 灵活运用三角函数的图象和性质解题

题目高中数学复习专题讲座灵活运用三角函数的图像和性质解题

高考要求

三角函数的图像和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图像和性质结合起来本节主要帮助考生掌握图像和性质并会灵活运用

重难点归纳

1考查三角函数的图像和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图像的基础上要对三角函数的性质灵活运用

2三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强

3三角函数与实际问题的综合应用

此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用

典型题例示范讲解

例1设z1=m+(2－m2)i, z2=cosθ+(λ+sinθ)i, 其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围

命题意图本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题

的能力和等价转化思想的运用

知识依托 主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值

问题来解决

错解分析 考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题

技巧与方法 对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的

问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题

解法一 ∵z 1=2z 2，

∴m +(2－m 2)i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴⎩⎨

⎧+=-=θ

λθsin 222cos 22

m

m

∴λ=1－2cos 2

θ－sin θ=2sin 2

θ－sin θ－1=2(sin θ－4

1)2

9

当sin θ=

4

1时λ取最小值－

8

9，当sin θ=－1时，λ取最大值2

解法二 ∵z 1=2z 2 ∴⎩⎨

⎧+=-=θ

λθsin 222cos 22

m

m

∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

--=

=222sin 2cos 2

λθθm m , ∴

4

)

22(4

2

22

λ--+

m m =1

∴m 4

－(3－4λ)m 2

+4λ2－8λ=0, 设t =m 2

,则0≤t ≤4, 令f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2－8λ,

则⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎨⎧≥≥≤-≤≥∆0)4(0)0(424300f f λ或f (0)·f (4)≤0 ∴⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

≤≥≤≤≤

≤--≥0

2204

34

58

9λλλλλ或或

∴－

8

9≤λ≤0或0≤λ≤2

∴λ的取值范围是［－

8

9，2］

例2如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持

速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？

命题意图 本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力

知识依托 主要依据三角函数知识来解决实际问题

错解分析 考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活

技巧与方法 首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题

解 由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程

02

0cos cos 1sin 4sin 2

S L v t h L v gt αθαθ==⎧⎪

⎨-=-=-⎪⎩ ① ② 由①②整理得 v 0cos θ=

.2

1sin sin ,cos 0gt t

L v t

L +

-=

α

θα

∴v 02

+gL sin α=

4

1g 2t 2

+

2

2

t

L ≥2

2

2

24

12

t

L t g ⋅

=gL

运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh =

2

1mv 02,

∴v 02

=2gh ,∴L ≤

)

sin 1(2)sin 1(2

αα-=

-g gh g v =200(m)

即L max =200(m),又4

1g 2t 2

=

2

2

2

2

2

L t

h S =

+

∴θααcos 22cos cos ,20⋅=

===

g

L gh

t v L S g

L t

得cos θ=cos α,∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30°

例3如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b

(1)求这段时间的最大温差

(2)写出这段曲线的函数解析式

命题意图 本题以应用题的形式考查备考中

的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与