2021届河北省保定市高阳中学高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案

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河北省保定市高阳中学高三数学上学期第一次月考试卷 理(含解析)

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2015-2016学年河北省保定市高阳中学高三(上)第一次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,复数i•(1﹣i)对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.复数的虚部是( )A.iB.﹣iC.1D.﹣13.集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=( )A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]4.函数f(x)=的定义域为( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(﹣1,3)∪(3,6]5.命题“若a<0,则一元二次方程x2+x+a=0有实根”的原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )A.0B.2C.4D.不确定6.若函数f(x)=ax2+b|x|+c(a≠0)有四个单调区间,则实数a,b,c满足( ) A.b2﹣4ac>0,a>0B.b2﹣4ac>0C.﹣>0D.﹣<07.函数值域为( )A.(﹣∞,1)B.(,1)C.[,1)D.[,+∞)8.若f(lnx)=3x+4,则f(x)的表达式为( )A.3lnxB.3lnx+4C.3e xD.3e x+49.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )①y=f(|x|);②y=f(﹣x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④D.②④10.若函数f(x)的导函数f′(x)=x2﹣4x+3,则使得函数f(x﹣1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈( )A.[0,1]B.[3,5]C.[2,3]D.[2,4]11.设a∈R,函数f(x)=e x+a•e﹣x的导函数是f′(x),且f′(x)是奇函数.若曲线y=f (x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为( )A.ln2B.﹣ln2C.D.12.已知函数的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],那么满足条件的整数数对(a,b)共有( )A.2个B.3个C.5个D.无数个二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题纸相应的位置上.13.已知命题p:∃x∈R,e x<0,则¬p是__________.14.已知函数f(x)的导函数f′(x)=5+cosx,x∈(﹣1,1),且f(0)=0,若f(1﹣x)+f(1﹣x2)<0,则实数x取值的集合是__________.15.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1).若f(a)=﹣2,则实数a=__________.16.已知函数f(x)=﹣x2﹣3x+4lnx在[t,t+1]上不单调,则实数t的取值范围是__________.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知命题P:函数y=log a(1﹣2x)在定义域上单调递增,命题Q:不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0对任意实数x恒成立,若P∨Q是真命题,P∧Q是假命题,求实数a的取值范围.18.已知集合A={x|(x﹣2)[x﹣(3a+1)]<0},集合B=.(1)当a=2时,求A∩B;(2)当a时,若元素x∈A是x∈B的必要条件,求实数a的取值范围.19.设函数f(x)=|3x﹣1|+ax+3(Ⅰ)若a=1,解不等式f(x)≤4;(Ⅱ)若函数f(x)有最小值,求a的取值范围.20.已知曲线C的极坐标方程为ρ=,以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,把直线l的参数方程化为普通方程;(Ⅱ)求直线l被曲线C截得的线段AB的长.21.已知函数f(x)=lg(a>0)为奇函数,函数g(x)=+b(b∈R)(1)求函数f(x)的定义域;(2)当x∈[,]时,关于x的不等式f(1﹣x)≤lgg(x)有解,求b的取值范围.22.已知函数f(x)=x﹣2lnx﹣+1,g(x)=e x(2lnx﹣x).(1)若函数f(x)在定义域上是增函数,求a的取值范围;(2)求g(x)的最大值.2015-2016学年河北省保定市高阳中学高三(上)第一次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,复数i•(1﹣i)对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点:复数的基本概念.专题:计算题.分析:由于i•(1﹣i)=1+i,故复数i•(1﹣i)对应的点的坐标为(1,1),从而得到答案.解答:解:∵i•(1﹣i)=1+i,∴复数i•(1﹣i)对应的点的坐标为(1,1),显然位于第一象限,故选A.点评:本题考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘法,复数与复平面内对应点之间的关系,求得复数i•(1﹣i)对应的点的坐标为(1,1),是解题的关键.2.复数的虚部是( )A.iB.﹣iC.1D.﹣1考点:复数的基本概念.专题:数系的扩充和复数.分析:根据复数的基本运算化简复数即可.解答:解:=,则复数的虚部是1,故选:C点评:本题主要考查复数的有关概念,利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键.3.集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=( )A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]考点:对数函数的单调性与特殊点;交集及其运算.专题:计算题.分析:先求出集合M、N,再利用两个集合的交集的定义求出M∩N.解答:解:∵M={x|lgx>0}={x|x>1},N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2},∴M∩N={x|1<x≤2},故选C.点评:本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.4.函数f(x)=的定义域为( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(﹣1,3)∪(3,6]考点:函数的定义域及其求法.专题:函数的性质及应用.分析:根据函数成立的条件进行求解即可.解答:解:要使函数有意义,则,即,,解得2<x≤4且x≠3,即函数的定义域为(2,3)∪(3,4],故选:C点评:本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.5.命题“若a<0,则一元二次方程x2+x+a=0有实根”的原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )A.0B.2C.4D.不确定考点:四种命题.专题:简易逻辑.分析:根据原命题,分别写出逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定,再分别判断其真假,从而可得结论.解答:解:原命题为:“若a<0,则方程x2+x+a=0有实根”,因为方程的判别式为△=1﹣4a,∴a<0时,△>0,∴方程x2+x+a=0有实根,故命题为真;逆否命题为:“若方程x2+x+a=0没有实根,则a≥0”,根据原命题与逆否命题,真假一致,可知命题为真;逆命题为:“若方程x2+x+a=0有实根,则a<0”,因为方程有实根,所以判别式△=1﹣4a≥0,∴a≤,显然a<0不一定成立,故命题为假;否命题为:“若a≥0,则方程x2+x+a=0没有实根”,根据否命题与逆命题,真假一致,可知命题为假;命题的否定为:“若a<0,则方程x2+x+a=0没有实根”,∵方程的判别式为△=1﹣4a,∴a <0时,△>0,∴方程x2+x+a=0有实根,故命题为假;故正确的命题有2个故选:B.点评:本题以命题为载体,考查命题的几种形式,考查命题的真假判断,解题的关键是正确写出命题的各种形式.注意区分否命题与命题的否定.6.若函数f(x)=ax2+b|x|+c(a≠0)有四个单调区间,则实数a,b,c满足( )A.b2﹣4ac>0,a>0B.b2﹣4ac>0C.﹣>0D.﹣<0考点:函数的单调性及单调区间.专题:函数的性质及应用.分析:要使f(x)在R上有四个单调区间,显然在x>0时,f(x)有两个单调区间,x<0时有两个单调区间,从而可得出a,b,c需满足.解答:解:x>0时,f(x)=ax2+bx+c;此时,f(x)应该有两个单调区间;∴对称轴x=;∴x<0时,f(x)=ax2﹣bx+c,对称轴x=;∴此时f(x)有两个单调区间;∴当时,f(x)有四个单调区间.故选C.点评:考查二次函数的单调性及单调区间,含绝对值函数的处理方法:去绝对值号,二次函数的对称轴.7.函数值域为( )A.(﹣∞,1)B.(,1)C.[,1)D.[,+∞)考点:指数函数的定义、解析式、定义域和值域.专题:计算题.分析:根据所给的复合函数的外层函数是一个指数函数,只要写出指数的范围就可以,根据二次函数的性质写出指数的范围,根据指数函数的图象得到要求的值域.解答:解:∵x2≥0,∴x2+1≥1,∴,∴故选C.点评:本题考查指数函数的定义域,解析式和值域,本题解题的关键是会灵活运用指数函数的图象和正确做出函数的指数的范围.8.若f(lnx)=3x+4,则f(x)的表达式为( )A.3lnxB.3lnx+4C.3e xD.3e x+4考点:函数解析式的求解及常用方法.专题:计算题.分析:设t=lnx,则x=e t,即可得到f(t)=3e t+4,进而得到函数的解析式.解答:解:设t=lnx,则x=e t,所以f(t)=3e t+4,所以f(x)=3e x+4.故选D.点评:本题主要考查函数解析式的求解及常用方法,解决此类问题的关键是熟练掌握求解析式的方法如:待定系数法、换原法、函数的奇偶性法、构造方程组法等方法.9.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )①y=f(|x|);②y=f(﹣x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④D.②④考点:函数奇偶性的判断.专题:计算题.分析:由奇函数的定义:f(﹣x)=﹣f(x)逐个验证即可解答:解:由奇函数的定义:f(﹣x)=﹣f(x)验证①f(|﹣x|)=f(|x|),故为偶函数②f[﹣(﹣x)]=f(x)=﹣f(﹣x),为奇函数③﹣xf(﹣x)=﹣x•[﹣f(x)]=xf(x),为偶函数④f(﹣x)+(﹣x)=﹣[f(x)+x],为奇函数可知②④正确故选D点评:题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性,是基础题.10.若函数f(x)的导函数f′(x)=x2﹣4x+3,则使得函数f(x﹣1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈( )A.[0,1]B.[3,5]C.[2,3]D.[2,4]考点:利用导数研究函数的单调性.专题:综合题.分析:由f′(x)=x2﹣4x+3≤0可解得x∈[1,3]为f(x)的减区间,从而有f(x﹣1)的单调递减区间为[2,4],再由集合法判断逻辑条件.解答:解:由f′(x)=x2﹣4x+3≤0得1≤x≤3,∴[1,3]为f(x)的减区间,∴f(x﹣1)的单调递减区间为[2,4],∵[2,3]⊆[2,4],∴C选项是充分不必要条件故选C.点评:本题主要考查导数法研究函数的单调性,基本思路是:当函数是增函数时,导数大于等于零恒成立,当函数是减函数时,导数小于等于零恒成立,还考查了充分、必要性的判断.11.设a∈R,函数f(x)=e x+a•e﹣x的导函数是f′(x),且f′(x)是奇函数.若曲线y=f (x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为( )A.ln2B.﹣ln2C.D.考点:简单复合函数的导数.专题:压轴题.分析:已知切线的斜率,要求切点的横坐标必须先求出切线的方程,我们可从奇函数入手求出切线的方程.解答:解:对f(x)=e x+a•e﹣x求导得f′(x)=e x﹣ae﹣x又f′(x)是奇函数,故f′(0)=1﹣a=0解得a=1,故有f′(x)=e x﹣e﹣x,设切点为(x0,y0),则,得或(舍去),得x0=ln2.点评:熟悉奇函数的性质是求解此题的关键,奇函数定义域若包含x=0,则一定过原点.12.已知函数的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],那么满足条件的整数数对(a,b)共有( )A.2个B.3个C.5个D.无数个考点:映射;函数的定义域及其求法;函数的值域.专题:压轴题;探究型;分类讨论;分类法.分析:由题设,值域是[0,1],可得1≤≤2,由此解出0≤|x|≤2,由于x=0时y=1,x=±2时,y=0,故在定义域中一定有0,而±2必有其一,当一定有2时,取b=2时,a可取﹣2,﹣1,0,当a=﹣2时,b可取0,1,从而计数得出个数解答:解:由题意函数的值域是[0,1],∴1≤≤2∴0≤|x|≤2∴﹣2≤x≤2∴[a,b]⊂[﹣2,2]由于x=0时y=1,x=±2时,y=0,故在定义域中一定有0,而±2必有其一,又a,b∈Z取b=2时,a可取﹣2,﹣1,0,取a=﹣2时,b可取0,1故满足条件的整数数对(a,b)共有5对故应选C.点评:本题考查映射的对应关系,知值域推测定义域的可能情况,主要考查映射中对应是一对一或者是多对一的对应,根据此不确定情况来推测定义域的可能种数.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题纸相应的位置上.13.已知命题p:∃x∈R,e x<0,则¬p是∀x∈R,e x≥0.考点:命题的否定.专题:简易逻辑.分析:根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.解答:解:∵命题p:∃x∈R,e x<0是特称命题,∴¬p:∀x∈R,e x≥0,故答案为:∀x∈R,e x≥0点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.14.已知函数f(x)的导函数f′(x)=5+cosx,x∈(﹣1,1),且f(0)=0,若f(1﹣x)+f(1﹣x2)<0,则实数x取值的集合是(1,).考点:利用导数研究函数的单调性.专题:导数的综合应用.分析:由导函数可求原函数f(x),判断函数f(x)单调性和奇偶性,利用奇偶性将不等式f (x﹣2)+f(x2﹣2x)>0转化成f(x﹣2)>f(2x﹣x2),利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求,注意自变量本身范围.解答:解:∵f′(x)=5+cosx,知f(x)=5x+sinx+c,而f(0)=0,∴c=0.即f(x)=5x+sinx,易知此函数是奇函数,且在整个区间单调递增,因为f′(x)=5+cosx在x∈(0,1)恒大于0,根据奇函数的性质可得出,在其对应区间上亦是单调递增的.由 f(1﹣x)+f(1﹣x2)<0 可得 f(1﹣x)<f(x2﹣1),∴,解得0<x<.故实数x的集合是:(0,)故答案为:(0,).点评:本题主要考查了函数的单调性与导数的关系,以及函数的单调性和奇偶性,同时考查了计算能力,属于中档题.15.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1).若f(a)=﹣2,则实数a=﹣1.考点:函数奇偶性的性质.专题:计算题.分析:由题设知,当x≥0时,f(x)不可能为负,故应求出x<0时的解析式,代入f(a)=﹣2,求a的值.解答:解:令x<0,则﹣x>0,所以f(﹣x)=﹣x(1﹣x),又f(x)为奇函数,所以当x<0时有f(x)=x(1﹣x),令f(a)=a(1﹣a)=﹣2,得a2﹣a﹣2=0,解得a=﹣1或a=2(舍去).故应埴﹣1点评:本题考点是函数奇偶性的运用,用奇偶性这一性质求对称区间上的解析式,这是函数奇偶性的一个重要应用.16.已知函数f(x)=﹣x2﹣3x+4lnx在[t,t+1]上不单调,则实数t的取值范围是(0,1).考点:函数的单调性与导数的关系.专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用.分析:先由函数求f′(x)=﹣x﹣3+,再由“函数f(x)=﹣x2﹣3x+4lnx在[t,t+1]上不单调”转化为“f′(x)=﹣x﹣3+=0在区间(t,t+1)上有解”从而有=0在(t,t+1)上有解,进而转化为:x2+3x﹣4=0在(t,t+1)上有解,进而求出答案.解答:解:∵函数f(x)=﹣x2﹣3x+4lnx,∴f′(x)=﹣x﹣3+,∵函数f(x)=﹣x2﹣3x+4lnx在(t,t+1)上不单调,∴f′(x)=﹣x﹣3+=0在(t,t+1)上有解∴=0在(t,t+1)上有解∴g(x)=x2+3x﹣4=0在(t,t+1)上有解,由x2+3x﹣4=0得:x=1,或x=﹣4(舍),∴1∈(t,t+1),即t∈(0,1),故实数t的取值范围是(0,1),故答案为:(0,1).点评:本题主要考查导数法研究函数的单调性,基本思路:当函数是增函数时,导数大于等于零恒成立,当函数是减函数时,导数小于等于零恒成立,然后转化为求相应函数的最值问题.注意判别式的应用.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知命题P:函数y=log a(1﹣2x)在定义域上单调递增,命题Q:不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0对任意实数x恒成立,若P∨Q是真命题,P∧Q是假命题,求实数a的取值范围.考点:复合命题的真假;复合函数的单调性;一元二次不等式的解法.专题:规律型.分析:分别求出P,Q成立的等价条件,利用P∨Q是真命题,P∧Q是假命题,确定实数a的取值范围解答:解:若函数y=log a(1﹣2x)在定义域上单调递增,根据复合函数的单调性可知0<a <1,即P:0<a<1.若不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0对任意实数x恒成立,当a=2时,不等式等价为﹣4<0,成立.当a≠0时,要使不等式恒成立,则,解得﹣2<a<2,综上:﹣2<a≤2,即Q:﹣2<a≤2,若P∨Q是真命题,P∧Q是假命题,则P,Q一真一假,若P假Q真,则,解得﹣2<a≤0或1≤a≤2.若P真Q假,则,此时无解.综上:实数a的取值范围是﹣2<a≤0或1≤a≤2.点评:本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系,先求出命题P,Q成立的等价条件是解决本题的关键.18.已知集合A={x|(x﹣2)[x﹣(3a+1)]<0},集合B=.(1)当a=2时,求A∩B;(2)当a时,若元素x∈A是x∈B的必要条件,求实数a的取值范围.考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;交、并、补集的混合运算.专题:计算题.分析:(1)把a=2代入分别可解不等式化简A,B,可求交集;(2)当a时,可解得B={x|2a<x<a2+1},A={x|2<x<3a+1},元素x∈A是x∈B的必要条件,即B是A的真子集,由2a≥2 且 a2+1≤3a+1,可解得答案.解答:解:(1)当a=2时,可得集合A={x|(x﹣2)(x﹣7)<0}={x|2<x<7},集合 B={x|}={x|4<x<5},∴A∩B={x|4<x<5}(2)∵a2+1﹣2a=(a﹣1)2≥0,∴a2+1≥2a∴B={x|2a<x<a2+1}当a>时,3a+1>2∴A={x|2<x<3a+1}∵元素x∈A是x∈B的必要条件,即B是A的真子集∴2a≥2 且 a2+1≤3a+1∴1≤a≤3,经验证当a=1,3时,均符合要求.故实数a的取值范围为:1≤a≤3.点评:本题为充要条件的问题,涉及不等式的解集和集合的运算,属基础题.19.设函数f(x)=|3x﹣1|+ax+3(Ⅰ)若a=1,解不等式f(x)≤4;(Ⅱ)若函数f(x)有最小值,求a的取值范围.考点:绝对值不等式的解法.专题:不等式.分析:(Ⅰ)需要去掉绝对值,得到不等式解得即可,(Ⅱ)把含所有绝对值的函数,化为分段函数,再根据函数f(x)有最小值的充要条件,即可求得.解答:解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=|3x﹣1|+x+3,当x时,f(x)≤4可化为3x﹣1+x+3≤4,解得;当x时,f(x)≤4可化为﹣3x+1+x+3≤4,解得.综上可得,原不等式的解集为{x|},(Ⅱ)f(x)=|3x﹣1|+ax+3=函数f(x)有最小值的充要条件为,即﹣3≤a≤3.点评:本题主要考查含有绝对值不等式的解法,关键是去绝对值,需要分类讨论,属于基础题.20.已知曲线C的极坐标方程为ρ=,以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,把直线l的参数方程化为普通方程;(Ⅱ)求直线l被曲线C截得的线段AB的长.考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(I)利用即可把即ρ2sin2θ=4ρcosθ,化为直角坐标方程;消去参数t,即可得出直线的普通方程;(II)把直线方程与抛物线的方程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式即可得出.解答:解:( I)由得ρ2sin2θ=4ρcosθ,∴y2=4x;由(t为参数),消去参数t,得x+y﹣1=0;曲线C的直角坐标方程为y2=4x;直线l的普通方程x+y﹣1=0;( II)设直线l交曲线C于A(x1,y1),B(x2,y2),联立,消去y得,x2﹣6x+1=0,∴x1+x2=6,x1x2=1;,∴直线l被曲线C截得的线段AB的长为8.点评:本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线方程与抛物线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.21.已知函数f(x)=lg(a>0)为奇函数,函数g(x)=+b(b∈R)(1)求函数f(x)的定义域;(2)当x∈[,]时,关于x的不等式f(1﹣x)≤lgg(x)有解,求b的取值范围.考点:函数奇偶性的性质.专题:函数的性质及应用;导数的综合应用.分析:(1)先求f(x)的定义域,根据奇函数的定义域关于原点对称即可求得a的值,并得到f(x)的定义域;(2)求出f(1﹣x)=,所以由f(1﹣x)≤lgg(x)及对数函数的单调性即可得到,所以b,根据原不等式有解,所以求最小值即可.设h(x)=,通过求导判断h(x)在[]上的单调性,根据单调性即可求出h(x)的最小值.解答:解:(1)∵a>0,∴解得,;∵f(x)为奇函数;∴定义域关于原点对称,所以a=1;∴f(x)的定义域为(﹣1,1);(2)f(x)=lg,f(1﹣x)=;∴;∴;∴,设h(x)=;∴;∵;∴h′(x)>0;∴h(x)在[]上单调递增;∴是h(x)在[]上的最小值;∴b≥﹣13;∴b的取值范围为[﹣13,+∞).点评:考查奇函数的定义域的特点,对数函数的单调性,以及根据函数导数符号判断函数单调性的方法,根据函数单调性求函数在闭区间上的最值,注意正确求导.22.已知函数f(x)=x﹣2lnx﹣+1,g(x)=e x(2lnx﹣x).(1)若函数f(x)在定义域上是增函数,求a的取值范围;(2)求g(x)的最大值.考点:函数的最值及其几何意义;函数的定义域及其求法.专题:计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用.分析:(Ⅰ)由题意先求函数的定义域,再求导f′(x)=1﹣+,从而可得a≥2x﹣x2恒成立(x>0);从而解得.(Ⅱ)求导g′(x)=e x(﹣1+2lnx﹣x),结合(Ⅰ)知,当a=2时,f(x)=x﹣2lnx﹣+1,从而可得g(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,从而求最值.解答:解:(Ⅰ)由题意得x>0,f′(x)=1﹣+,由函数f(x)在定义域上是增函数得,f′(x)≥0,即a≥2x﹣x2=﹣(x﹣1)2+1(x>0);因为﹣(x﹣1)2+1≤1(当x=1时,取等号),所以a的取值范围是[1,+∞).(Ⅱ)g′(x)=e x(﹣1+2lnx﹣x),由(Ⅰ)得a=2时,f(x)=x﹣2lnx﹣+1,且f(x)在定义域上是增函数及f(1)=0,所以,当x∈(0,1)时,f(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f(x)>0.所以,当x∈(0,1)时,g′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0.g(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,故x=1时,g(x)取得最大值g(1)=﹣e.点评:本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与最值问题,属于中档题.。

2021年高三上学期第一次月考数学理试题含答案

2021年高三上学期第一次月考数学理试题含答案

2021年高三上学期第一次月考数学理试题含答案xx.10说明:1.试题分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上,书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案写在试卷上无效.3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第I卷(共50分)一、选择题(本大题包括10小题,每小题5分,共50分.每小题只有一个选项符合题意)1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3 D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=32.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个为A.3 B.6 C.8 D.103.已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是A.p∧q B.p∧q C.p∧q D.p∧q4.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)5.若函数f(x)=则f(log23)等于A.3 B.4 C.11 D.246. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f()≤2f(1),则a的取值范围是A.[1,2] B.(0,] C. [,2] D.(0,2]7. 直线y=kx+b与曲线y=ax2+2+ln x相切于点P(1,4),则b的值为A.3 B.1 C.-1 D.-38. 若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内9.函数y=的大致图象是10. 定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),有>0.则有A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25) B.f(log25)<f(20.3)<f(0.32)C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3) D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3)第II卷(共100分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题纸的相应位置)11. 函数的定义域为_________________.12. 若集合,,则.13.定义在R上的函数是增函数,则满足不等式的的取值范围是.14.过点(1,0)作曲线y=e x的切线,则切线方程为.15. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=e x+a,若f(x)在R上是单调函数,则实数a的最小值是________.三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(本小题满分12分)已知集合,,.(1)求,;(2)若,求a的取值范围.17.(本小题满分12分)已知命题p:函数的值域为R,命题q:函数是减函数.若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数a的取值范围.18.(本小题满分12分)某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P(亿元)和Q(亿元),它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式P=142t,Q=18t,今该公司将5亿元投资这两个项目,其中对甲项目投资x(亿元),投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元).求:(1)y关于x的函数表达式;(2)总利润的最大值.19. (本小题满分12分)已知函数.(1)当a=4时,求的最小值;(2)若对任意,恒成立,求实数a的取值范围.20.(本小题满分13分)设f(x)=ax+x ln x,g(x)=x3-x2-3.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程;(2)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;21.(本小题满分14分)时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量(单位:千套)与销售价格(单位:元/套)满足的关系式,其中,为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套. (1)求的值;(2)假设网校的员工工资,办公设施等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)xx届高三第一次月考数学(理科)试题参考答案一、选择题ADBDD CCACA二、填空题11.,12.,13. ,14.,15.-1三、解答题16.(本小题满分12分)解:(1),因为,所以.(2)由(1)知,①当C=时,满足,此时,得;②当C≠时,要,则解得.由①②得,.17.(本小题满分12分)解:由函数的值域为R得,恒成立,所以所以,由函数是减函数得,,所以因为p或q为真命题,p且q为假命题,所以p,q必为一真一假,当p真q假时,,所以;当p假q真时,,所以;综上,的取值范围是或.18.(本小题满分12分)解:(1)根据题意,得y=142x+18(5-x),x∈[0,5].(2)令t=2x,t∈[0,10],则x=t2 2 .y=-116t2+14t+58=-116(t-2)2+78.因为2∈[0,10],所以当2x=2时,即x=2时,y最大值=0.875.答:总利润的最大值是0.875亿元.19.(本小题满分12分)解:(1)当时,,当时,,递减,当时,,递增,所以时,取得极小值,即为最小值,所以;(2)在上恒成立,即在上恒成立,令,因为在单调递增,所以,所以,即的范围是.20.(本小题满分13分)解:(1)当a=2时,f(x)=2x+x ln x,f′(x)=-2x2+lnx+1,f(1)=2,f′(1)=-1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-x+3.(2)存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等价于:[g (x 1)-g (x 2)]max ≥M ,考察g (x )=x 3-x 2-3, g ′(x )=3x 2-2x =3x ⎝⎛⎭⎪⎫x -23.变化情况如下表:由上表可知:g (x )min =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=-27,g (x )max =g (2)=1,[g (x 1)-g (x 2)]max =g (x )max -g (x )min =11227,所以满足条件的最大整数M =4. 21. (本小题满分14分)解: (1)因为时,, 代入关系式,得, 解得.(2)由(1)可知,套题每日的销售量, 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()2461046245624027826,2f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<. 令,得,且在上,,函数单调递增;在上,,函数单调递减,所以是函数在内的极大值点,也是最大值点,所以当时,函数取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.26749 687D 桽40675 9EE3 黣31298 7A42 穂23792 5CF0 峰{38527 967F 陿28619 6FCB 濋37103 90EF 郯35401 8A49 詉:33446 82A6 芦W。

2021年高三上学期第一次月考测试数学(理)试题 含答案

2021年高三上学期第一次月考测试数学(理)试题 含答案

2021年高三上学期第一次月考测试数学(理)试题 含答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=,则( D )A . B. C. D.2、 不等式1x≤1的解集是( ) A. (1,+∞) B .[1,+∞)C .(-∞,0)∪[1,+∞)D .(-∞,0)∪(1,+∞)3、已知集合,则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为( C )A. B.错误!未找到引用源。

C. D.4、设a 、b ∈R ,则“a >1且0<b <1”是“a -b >0且a b >1”成立的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分且必要条件D .既不充分也不必要条件[解析] 设“a >1且0<b <1”,则“a -b >0且a b>1”成立;反之,不一定成立,如a =4,b =2,满足“a -b >0且a b>1”,但b >1,故选A. 5.下列结论错误的是( )A .命题“若p ,则q ”与命题“若,则”互为逆否命题B .命题p :∀x ∈[0,1],e x ≥1,命题q :∃x ∈R ,x 2+x +1<0,则p ∨q 为真C .“若am 2<bm 2,则a <b ”的逆命题为真命题D .若p ∨q 为假命题,则p 、q 均为假命题答案:C6、已知x >0,y >0,lg2x +lg8y =lg2,则1x +1y 的最小值是( )A .2 3B .4 3C .2+ 3D .4+23[解析] 由已知lg2x +lg8y =lg2得lg2x +3y =lg2,所以x +3y =1,所以1x +1y =⎝⎛⎭⎫1x +1y (x +3y )=4+3y x +x y≥4+23,故选D.7、爬山是一种简单有趣的野外运动,有益于身心健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的关系为( )A .t 1>t 2B .t 1<t 2C .t 1=t 2D .不能确定A [解析] 设从山下到山上的路程为x ,甲上下山所用的时间t 1=x v 1+x v 2,乙上下山所用的时间t 2=2x v 1+v 22=4x v 1+v 2,则 t 1-t 2=x (v 1+v 2)v 1v 2-4x v 1+v 2=x [(v 1+v 2)2-4v 1v 2]v 1v 2(v 1+v 2)=x (v 1-v 2)2v 1v 2(v 1+v 2)>0,故选A.8、定义两种运算:,则函数的解析式为( A )A.B.C.D.二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。

河北省保定市2021届高三一模考试数学试题 含答案

河北省保定市2021届高三一模考试数学试题 含答案

化简得 sin A + 3 cos A = 3 ..................4 分
联立 sin 2 A + cos2 A = 1
解得 cos A = 1 cos A = 1(舍去) ..................5 分 2,
A = ..................6 分 所以 3

{an
所以

2}
是以
a1

2
=

7 4
为首项,以 3 2 为公比的等比数列
所以数列{an − 2} 是等比数列..................4 分
解:(2)由(1)得
an

2
=

7 4
(
3 )n−1 2
,..................5 分
所以 bn 2n 3 14 3n 1 ..................6 分
2,
2
2
因为| AS |= 1,所以 a2 + c2 = 1 ①, 2
.................3 分
设平面 ASM 的法向量为 m = (x, y, z) ,

m
AS
=
ax +
2 2
y
+ cz
=
0
,所以 m
=
(−c, 0, a)
m AM = 2 y = 0
取设平面 ABM 的法向量为 n = (0,0,1) , 因为二面角 B − AM − S 的大小为 ,
2021 年高三一模数学试题答案
一、选择题:DBCA CBCD 二、选择题: ABD BC
AB ACD

2021年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案

2021年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案

2021年高三上学期第一次月考数学(理)试题含答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.集合的真子集的个数为()A.0 B.1 C.2 D.72.命题:,,则.是假命题,:.是假命题,:.是真命题,:,.是真命题,:3.设为定义在上的奇函数,当时,(为常数),则()(A)(B)(C)1 (D)34.已知,则的值为()A.B.C.D.5.不等式成立的一个必要但不充分条件是()A.B.C.D.6. 定义在上的函数满足(),,则等于() A.2 B.3C.6 D.97.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.B.C.D.8.已知函数,表示不超过实数的最大整数,记函数的值域为,若元素,则的个数为()A.1个B.2个C.3个D.无穷多个第二部分非选择题(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分。

9.设扇形的圆心角为,弧长为,且已知,那么扇形的半径为 。

10.已知函数,且此函数的图象如图所示,则点的坐标是 。

11. 设全集U =R ,,B ={x | sin x },则 。

12. 将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到的图像,则的值是___ _______。

13. 设定义在上的函数满足,若,则 。

14. 已知函数x x x x f ωπωπωcos )6sin()6sin()(+-++=(其中为大于0的常数),若函数上是增函数,则的取值范围是 。

三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

15. (本小题满分12分)已知命题:使成立 ;命题:函数的定义域为,若“”为真,“”为假,求的取值范围。

16. (本小题满分12分)在中,,,. (1)求的值; (2)求的值.17. (本小题满分14分)如图所示,、分别是⊙、⊙的直径,与两圆所在的平面均垂直,,是⊙的直径,,. (1)求二面角的大小;(2)求直线与所成角的余弦值;y x O 1-1第19题图18.(本小题满分14分)已知函数。

2021-2022年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案

2021-2022年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)共两卷。

其中第Ⅰ卷共60分,第Ⅱ卷共90分,两卷合计150分。

答题时间为120分钟。

2021-2022年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合M={0,1,2,-1},N={0, 1,2,3},则M ∩N=A.{1,2}B.{0,1,2}C.{0,1}D. {0,1,-1} 2.已知幂函数f (x )的图象经过点(9,3),则f (2)-f (1)≈ A .3B .C .D .13.在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则c 等于 A . B . C . D .4 . 若,则等于 ( ) A .0 B. C . D .5.将函数的图象先向左平移个单位长度,然后将所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应函数解析式为A .B .C .D .6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x , x <0,(a -3)x +4a , x ≥0.满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则a 的取值范围是 ( )A .(0,3)B .(1,3)C .(0,14] D .(-∞,3)7.已知{a n }是由正数组成的等比数列,S n 表示数列{a n }的前n 项的和,若a 1=3,a 2a 4=144,则S 5的值为A .B .69C .93D .189 8.若函数的图象如图1,则函数的图象为图19.函数,当时,则此函数的单调递增区间是 ( ) A . B . C . D .10.已知函数f (x )=Asin(ωx +)(A>0, ω>0)的图象与直线y=b (0<b<A )的三个相邻交点的横坐标分别是2、4、8,则函数f(x)的单调递增区间是 ( ). A .[6k π, 6k π+3],k ∈Z B .[6k ―3, 6k],k ∈Z C .[6k, 6k +3],k ∈Z D .无法确定11.已知函数2()2,(13)f x ax ax b a =++<<,且,则下列说法正确的是( )。

2021届河北省高三上学期第一次月考数学试卷及答案

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2021届河北省高三上学期第一次月考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、项选择题:本大题共12小题,每小题5分,共600分.1.已知集合M={x|-4<x<2},N={x|-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}2.已知复数z=(i是虚数单位),则z的实部为( )A.-B.C.-D.3.设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,则λ=( )A.3B.2C.-2D.-34.在△ABC中,若AB=, BC=3, ∠C=120°,则AC=( )A.4B.3C.2D.15.已知双曲线-=1 (a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=16.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,那么不同的选法有( )A.50种B.60种C.70种D.90种7.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为=x+.已知xi =225,yi=1600,=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( )A.160B.163C.166D.1708.要得到函数y=sin2x+cos2x(x∈R)的图象,可将y=2sin2x的图象向左平移( )A.个单位.B. 个单位.C.个单位D.个单位9.已知数列{an }的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,则=( )A. B. C. D.10.给出下列四个函数:①y=x·sinx;②y=x·cosx;③y=x·|cosx|;④y=x·2x.这四个函数的部分图象如下,但顺序被打乱了,则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①11.设函数f(x)=若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是( )A. (6,7)B. (16,32)C.(17,35)D. (18,34)12.已知a为常数,函数有两个极值点x1,x2(x1<x2),则( )A.f(x1)>0,f(x2)>- B.f(x1)<0,f(x2)<-C. f(x1)<0,f(x2)>- D. f(x1)>0,f(x2)<-二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.二项式的展开式中x5的系数是.(用数字填写答案)。

2021届高三数学上学期第一次月考试题理_1

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2021届高三数学上学期第一次月考试题理一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意.)1.集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},若A∩B ={9},则a=( )A.-3 B.3或-3 C.3 D.3或-3或52.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足,则f(x)与g(x)满足( )A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0C.f(x)-g(x)为常数函数 D.f(x)+g(x)为常数函数3.如图,阴影部分的面积是( )A.2 B.-2 C. D.4.已知圆O:与y轴正半轴的交点为,点沿圆O顺时针运动弧长达到点N,以X轴的正半轴为始边,ON为终边的角记为,则()A.B.C. D.5.已知命题p:∃x∈R,,命题q:∀x∈(0,π),sinx +>2,则下列判断正确的是( )A.p∨q是假命题 B.p∧q是真命题C.p∧(q)是真命题 D.p∨(q)是假命题6.现有四个函数①y=x·sinx,②y=x·cosx,③y=x·|cosx|,④y=x·2x的部分图像如下,但顺序被打乱,则按照图像从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是( )A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ D.③④②①7.曲线y=-在点M(,0)处的切线的斜率为( )A.- B. C.- D.8.已知函数f(x)满足f(x+1)+f(-x+1)=2,下列四个选项一定正确的是( )A.f(x-1)+1是偶函数 B.f(x-1)-1是奇函数C.f(x+1)-1是奇函数 D.f(x+1)+1是偶函数9.函数f (x)=3sinx-logx的零点的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.510.已知tanα,tanβ是方程+3x+4=0的两根.若α,β∈(-,),则α+β=( )A. B.或-π C.-或π D.-π11.[x]表示不超过x的最大整数,已知函数f(x)=|x|-[x],有下列结论:①f(x)的定义域为R;②f(x)的值域为[0,1];③f(x)是偶函数;④f(x)不是周期函数;⑤f(x)的单调增区间为(k,k+1)(k∈N).其中正确的个数是( )A.3 B.2 C.1 D.012.若函数在区间(1,2]上不单调,则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.函数f(x)=ln(-2x-3)的单调递减区间为______________14.若α,β均为锐角且cos α=,cos(α+β)=-,则=__________=______________16.若函数f(x)=+b+cx+d在区间[-1,2]上是减函数,则2b+c的最大值为_______________三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出证明过程或演算步骤.)17.(本题满分10分)已知p:,q:(m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.18.(本题满分12分)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0x1时有最大值2,求a的值.19.(本题满分12分)设a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a.(1)求f(x)的极值;(2)是否存在实数a,使得方程f(x)=0恰好有两个实数根?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.20.(本题满分12分)已知函数的周期为,其图象上的一个最高点为.(1)求函数的解析式(2)当时,求函数的最值及相应的值21.(本题满分12分)已知函数f(x)=aex-ln x-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)证明:当a时,f(x)0.22.(本题满分12分)已知函数f(x)=xln x,g(x) =.(1)求f(x)的最小值;(2)对任意x∈(0,+∞),f(x)g(x)都有恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立.2021届高三数学上学期第一次月考试题理一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意.)1.集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},若A∩B={9},则a=( )A.-3 B.3或-3 C.3 D.3或-3或52.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足,则f(x)与g(x)满足( )A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0C.f(x)-g(x)为常数函数 D.f(x)+g(x)为常数函数3.如图,阴影部分的面积是( )A.2 B.-2 C. D.4.已知圆O:与y轴正半轴的交点为,点沿圆O顺时针运动弧长达到点N,以X轴的正半轴为始边,ON为终边的角记为,则()A.B.C. D.5.已知命题p:∃x∈R,,命题q:∀x∈(0,π),sinx+>2,则下列判断正确的是( )A.p∨q是假命题 B.p∧q是真命题C.p∧(q)是真命题 D.p∨(q)是假命题6.现有四个函数①y=x·sinx,②y=x·cosx,③y=x·|cosx|,④y=x·2x的部分图像如下,但顺序被打乱,则按照图像从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是( )A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ D.③④②①7.曲线y=-在点M(,0)处的切线的斜率为( )A.- B. C.- D.8.已知函数f(x)满足f(x+1)+f(-x+1)=2,下列四个选项一定正确的是( )A.f(x-1)+1是偶函数 B.f(x-1)-1是奇函数C.f(x+1)-1是奇函数 D.f(x+1)+1是偶函数9.函数f (x)=3sinx-logx的零点的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.510.已知tanα,tanβ是方程+3x+4=0的两根.若α,β∈(-,),则α+β=( )A. B.或-π C.-或π D.-π11.[x]表示不超过x的最大整数,已知函数f(x)=|x|-[x],有下列结论:①f(x)的定义域为R;②f(x)的值域为[0,1];③f(x)是偶函数;④f(x)不是周期函数;⑤f(x)的单调增区间为(k,k+1)(k∈N).其中正确的个数是( )A.3 B.2 C.1 D.012.若函数在区间(1,2]上不单调,则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.函数f(x)=ln(-2x-3)的单调递减区间为______________14.若α,β均为锐角且cos α=,cos(α+β)=-,则=__________=______________16.若函数f(x)=+b+cx+d在区间[-1,2]上是减函数,则2b+c的最大值为_______________三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出证明过程或演算步骤.)17.(本题满分10分)已知p:,q:(m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.18.(本题满分12分)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0x1时有最大值2,求a的值.19.(本题满分12分)设a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a.(1)求f(x)的极值;(2)是否存在实数a,使得方程f(x)=0恰好有两个实数根?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.20.(本题满分12分)已知函数的周期为,其图象上的一个最高点为.(1)求函数的解析式(2)当时,求函数的最值及相应的值21.(本题满分12分)已知函数f(x)=aex-ln x-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)证明:当a时,f(x)0.22.(本题满分12分)已知函数f(x)=xln x,g(x) =.(1)求f(x)的最小值;(2)对任意x∈(0,+∞),f(x)g(x)都有恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立.。

2021年高三上学期第一次月考数学理试卷含解析

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2021年高三上学期第一次月考数学理试卷含解析一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合A={x∈Z||x﹣1|<3},B={x|x2+2x﹣3≥0},则A∩CRB=()A.(﹣2,1)B.(1,4)C.{2,3} D.{﹣1,0}2.函数y=的定义域为()A.(﹣∞,2) B.(2,+∞)C.(2,3)∪(3,+∞)D.(2,4)∪(4,+∞)3.函数f(x)=log3x+x﹣3的零点一定在区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.函数y=xcosx+sinx的图象大致为()A. B.C.D.5.下列各式中错误的是()A.0.83>0.73B.log0..50.4>log0..50.6C.0.75﹣0.1<0.750.1D.lg1.6>lg1.46.下列说法正确的是()A.若a∈R,则“<1”是“a>1”的必要不充分条件B.“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C.若命题p:“∀x∈R,sinx+cosx≤”,则¬p是真命题D.命题“x0∈R,使得x02+2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3>0”7.函数向左平移个单位后是奇函数,则函数f(x)在上的最小值为()A. B. C. D.8.若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)9.设函数f(x)=,若f(f())=4,则b=()A.1 B. C. D.10.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(4﹣x)=f(x),且当x∈(﹣1,3]时,f(x)=则g(x)=f(x)﹣1g|x|的零点个数是()A.9 B.10 C.18 D.20二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.已知sin(π﹣α)=log8,且α∈(﹣,0),则tan(2π﹣α)的值为.12.已知函数是R上的增函数,则实数a的取值范围是.13.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.14.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.15.设f(x)是定义在R上的偶函数,且对于∀x∈R恒有f(x+1)=f(x﹣1),已知当X ∈[0,1]时,f(x)=()1﹣x,则(1)f(x)的周期是2;(2)f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;(3)f(x)的最大值是1,最小值是0;(4)当x∈(3,4)时,f(x)=()x﹣3其中正确的命题的序号是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.16.(12分)设集合A={x||x﹣a|<2},B={x|<1},若A∩B=A,求实数a的取值范围.17.(12分)已知P:2x2﹣9x+a<0,q:且¬p是¬q的充分条件,求实数a的取值范围.18.(12分)已知函数f(x)=sin2x﹣sin2(x﹣),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[﹣,]上的最大值和最小值.19.(12分)已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数.(Ⅰ)求a的值与函数f(x)的定义域;(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x﹣1)>m恒成立.求实数m的取值范围.20.(13分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,=,且a+c=2.(1)求角B;(2)求边长b的最小值.21.(14分)已知函数g(x)=ax2﹣2ax+b+1(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=.(1)求a、b的值;(2)若不等式f(2x)﹣k•2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求实数k的取值范围.xx学年山东省淄博市淄川一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题只有一个选项符合题意)1.(xx•太原三模)已知集合A={x∈Z||x﹣1|<3},B={x|x2+2x﹣3≥0},则A∩C R B=()A.(﹣2,1)B.(1,4)C.{2,3}D.{﹣1,0}【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B,根据全集R求出B的补集,找出A 与B补集的交集即可.【解答】解:由A中不等式解得:﹣2<x<4,即B={﹣1,0,1,2,3},由B中不等式变形得:(x+3)(x﹣1)≥0,解得:x≤﹣3,或x≥1,即B=(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞),∴C R B=(﹣3,1),则A∩(C R B)={﹣1,0}.故选:D.【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.2.函数y=的定义域为()A.(﹣∞,2)B.(2,+∞)C.(2,3)∪(3,+∞)D.(2,4)∪(4,+∞)【考点】函数的定义域及其求法.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据“让解析式有意义”的原则,对数的真数大于0,分母不等于0,建立不等式,解之即可.【解答】解:要使原函数有意义,则,解得:2<x<3,或x>3所以原函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).故选C.【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法,求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则,属于基础题.3.(xx秋•保山校级期末)函数f(x)=log3x+x﹣3的零点一定在区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【考点】函数零点的判定定理.【专题】计算题.【分析】确定函数的定义域为(0,+∞)与单调性,再利用零点存在定理,即可得到结论.【解答】解:函数的定义域为(0,+∞)求导函数,可得>0,所以函数在(0,+∞)上单调增∵f(2)=log32+2﹣3<0,f(3)=log33+3﹣3>0∴函数f(x)=log3x+x﹣3的零点一定在区间(2,3)故选C.【点评】本题考查函数的单调性,考查零点存在定理,属于基础题.4.(xx•亳州校级模拟)函数y=xcosx+sinx的图象大致为()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称,由此排除B,然后利用区特值排除A和C,则答案可求.【解答】解:由于函数y=xcosx+sinx为奇函数,故它的图象关于原点对称,所以排除选项B,由当x=时,y=1>0,当x=π时,y=π×cosπ+sinπ=﹣π<0.由此可排除选项A和选项C.故正确的选项为D.故选:D.【点评】本题主要考查了函数的图象,考查了函数的性质,考查了函数的值,属于基础题.5.下列各式中错误的是()A.0.83>0.73B.log0..50.4>log0..50.6C.0.75﹣0.1<0.750.1D.lg1.6>lg1.4【考点】指数函数的单调性与特殊点;对数值大小的比较;对数函数的图象与性质.【专题】计算题;函数的性质及应用.【分析】通过构造函数,利用函数的单调性直接判断选项即可.【解答】解:对于A,构造幂函数y=x3,函数是增函数,所以A正确;对于B,对数函数y=log0.5x,函数是减函数,所以B正确;对于C,指数函数y=0.75x是减函数,所以C错误;对于D,对数函数y=lgx,函数是增函数,所以D正确;故选C.【点评】本题考查指数函数与对数函数的单调性的应用,基本知识的考查.6.下列说法正确的是()A.若a∈R,则“<1”是“a>1”的必要不充分条件B.“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C.若命题p:“∀x∈R,sinx+cosx≤”,则¬p是真命题D.命题“x0∈R,使得x02+2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3>0”【考点】命题的真假判断与应用.【专题】简易逻辑.【分析】利用充要条件的定义,可判断A,B,判断原命题的真假,进而根据命题的否定与原命题真假性相反,可判断C,根据存在性(特称)命题的否定方法,可判断D.【解答】解:若“<1”成立,则“a>1”或“a<0”,故“<1”是“a>1”的不充分条件,若“a>1”成立,则“<1”成立,故“<1”是“a>1”的必要条件,综上所述,“<1”是“a>1”的必要不充分条件,故A正确;若“p∧q为真命题”,则“p,q均为真命题”,则“p∨q为真命题”成立,若“p∨q为真命题”则“p,q存在至少一个真命题”,则“p∧q为真命题”不一定成立,综上所述,“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件,故B错误;命题p:“∀x∈R,sinx+cosx=sin(x+)≤”为真命题,则¬p是假命题,故C错误;命题“x0∈R,使得x02+2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3≥0”,故D错误;故选:A.【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了充要条件,命题的否定等知识点,是简单逻辑的简单综合应用,难度中档.7.(xx•浙江校级一模)函数向左平移个单位后是奇函数,则函数f(x)在上的最小值为()A. B. C. D.【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】计算题;三角函数的图像与性质.【分析】根据图象变换规律,把函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位得到函数y=sin (2(x++φ))的图象,要使所得到的图象对应的函数为奇函数,求得φ的值,然后函数f (x)在上的最小值.【解答】解:把函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位得到函数y=sin(2x++φ)的图象,因为函数y=sin(2x++φ)为奇函数,故+φ=kπ,因为,故φ的最小值是﹣.所以函数为y=sin(2x﹣).x∈,所以2x﹣∈[﹣,],x=0时,函数取得最小值为.故选A.【点评】本题考查了三角函数的图象变换以及三角函数的奇偶性,三角函数的值域的应用,属于中档题.8.(xx•山东)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的性质.【专题】计算题;不等式的解法及应用.【分析】由f(x)为奇函数,根据奇函数的定义可求a,代入即可求解不等式.【解答】解:∵f(x)=是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x)即整理可得,∴1﹣a•2x=a﹣2x∴a=1,∴f(x)=∵f(x))=>3∴﹣3=>0,整理可得,,∴1<2x<2解可得,0<x<1故选:C【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解,属于基础试题.9.(xx•山东)设函数f(x)=,若f(f())=4,则b=()A.1 B. C. D.【考点】函数的值;分段函数的应用.【专题】开放型;函数的性质及应用.【分析】直接利用分段函数以及函数的零点,求解即可.【解答】解:函数f(x)=,若f(f())=4,可得f()=4,若,即b≤,可得,解得b=.若,即b>,可得,解得b=<(舍去).故选:D.【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,函数值的求法,考查分段函数的应用.10.(xx秋•杭州期末)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(4﹣x)=f(x),且当x∈(﹣1,3]时,f(x)=则g(x)=f(x)﹣1g|x|的零点个数是()A.9 B.10 C.18 D.20【考点】函数零点的判定定理.【专题】函数的性质及应用.【分析】先根据函数的周期性画出函数y=f(x)的图象,以及y=|1gx|的图象,结合图象当x>10时,y=lg10>1此时与函数y=f(x)无交点,即可判定函数函数g(x)=f(x)﹣1g|x|的零点个数【解答】解:解:R上的偶函数f(x)满足f(4﹣x)=f(x),∴函数f(x)为周期为4的周期函数,根据周期性画出函数y=f(x)的图象,y=log6x的图象根据y=lg|x|在(1,+∞)上单调递增函数,当x=10时lg10=1,∴当x>10时y=lgx此时与函数y=f(x)无交点,结合图象可知有9个交点,则函数g(x)=f(x)﹣lg|x|的零点个数为18,故选:C【点评】本题考查函数的零点,求解本题,关键是研究出函数f(x)性质,作出其图象,将函数g(x)=f(x)﹣1g|x|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点,此一转化使得本题的求解变得较容易.二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.(xx秋•钦州月考)已知sin(π﹣α)=log8,且α∈(﹣,0),则tan(2π﹣α)的值为.【考点】两角和与差的正切函数.【专题】三角函数的求值.【分析】由条件求得sinα的值,再根据α∈(﹣,0),求得cosα的值,从而求得tanα= 的值,可得tan(2π﹣α)=﹣tanα的值.【解答】解:∵sin(π﹣α)=log8,∴sinα=﹣log84=﹣.又α∈(﹣,0),∴cosα=,∴tanα==﹣,tan(2π﹣α)=﹣tanα=,故答案为:.【点评】本题主要考查诱导公式的应用、同角三角函数的基本关系,属于中档题.12.(xx春•延庆县期末)已知函数是R上的增函数,则实数a的取值范围是4≤a<8.【考点】分段函数的应用.【专题】计算题.【分析】利用函数单调性的定义,结合指数函数,一次函数的单调性,即可得到实数a的取值范围.【解答】解:由题意,,解得4≤a<8故答案为:4≤a<8【点评】本题考查函数的单调性,解题的关键是掌握函数单调性的定义,属于中档题.13.(xx•重庆)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.【考点】余弦定理的应用.【专题】解三角形.【分析】利用已知条件求出A,C,然后利用正弦定理求出AC即可.【解答】解:由题意以及正弦定理可知:,即,∠ADB=45°,A=180°﹣120°﹣45°,可得A=30°,则C=30°,三角形ABC是等腰三角形,AC=2=.故答案为:.【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力.14.(xx•泸州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是(﹣∞,﹣5] .【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系,解不等式即可.【解答】解:∵当x≥0时,f(x)=x2,∴此时函数f(x)单调递增,∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴函数f(x)在R上单调递增,若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立,∵x∈[a,a+2],∴(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤﹣5,即实数a的取值范围是(﹣∞,﹣5];故答案为:(﹣∞,﹣5];【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,以及不等式恒成立问题,综合考查函数的性质.15.(xx春•临沂校级期中)设f(x)是定义在R上的偶函数,且对于∀x∈R恒有f(x+1)=f(x﹣1),已知当X∈[0,1]时,f(x)=()1﹣x,则(1)f(x)的周期是2;(2)f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;(3)f(x)的最大值是1,最小值是0;(4)当x∈(3,4)时,f(x)=()x﹣3其中正确的命题的序号是(1)(2)(4).【考点】命题的真假判断与应用.【专题】综合题;函数的性质及应用.【分析】(1)依题意,f(x+2)=f[(x+1)﹣1]=f(x),可判断(1);(2)利用x∈[0,1]时,f(x)=()1﹣x=2x﹣1,可判断f(x)在区间[0,1]上为增函数,利用其周期性与偶函数的性质可判断(2);(3)利用函数的周期性、奇偶性及单调性可判断(3);(4)当x∈(3,4)时,x﹣4∈(﹣1,0),4﹣x∈(0,1),从而可得f(4﹣x)=()1﹣(4﹣x)=,又f(x)是周期为2的偶函数,可判断(4).【解答】解:(1)∵对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x﹣1),∴f(x+2)=f[(x+1)﹣1]=f(x),即2是f(x)的周期,(1)正确;(2)∵x∈[0,1]时,f(x)=()1﹣x=2x﹣1为增函数,又f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(x)在区间[﹣1,0]上单调递减,又其周期T=2,∴f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增,(2)正确;(3)由(2)x∈[0,1]时,f(x)=()1﹣x=2x﹣1为增函数,f(x)在区间[﹣1,0]上单调递减,且其周期为2可知,f(x)max=f(1)=21﹣1=20=1,f(x)min=f(0)=20﹣1=,故(3)错误;(4)当x∈(3,4)时,x﹣4∈(﹣1,0),4﹣x∈(0,1),∴f(4﹣x)=()1﹣(4﹣x)=,又f(x)是周期为2的偶函数,∴f(4﹣x)=f(x)=,(4)正确.综上所述,正确的命题的序号是(1)(2)(4),故答案为:(1)(2)(4).【点评】本题考查命题的真假判断与应用,综合考查抽象函数的周期性、奇偶性、单调性即最值的综合应用,属于难题.三、解答题(本大题共6小题,共70分.16.(12分)(2011•南山区校级模拟)设集合A={x||x﹣a|<2},B={x|<1},若A∩B=A,求实数a的取值范围.【考点】集合关系中的参数取值问题.【专题】计算题.【分析】解绝对值不等式可求出集合A,解分式不等式可以求出集合B,由A∩B=A可得A⊆B,结合集合包含关系定义,可构造关于a的不等式组,解得实数a的取值范围.【解答】解:若|x﹣a|<2,则﹣2<x﹣a<2,即a﹣2<x<a+2故A={x||x﹣a|<2}={x|a﹣2<x<a+2}.…(3分)若,则,即,即﹣2<x<3.…(7分)因为A∩B=A,即A⊆B,所以.解得0≤a≤1,…(11分)故实数a的取值范围为[0,1]…(12分)【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题,其中解绝对值不等式和分式不等式求出集合A,B是解答本题的关键.17.(12分)(xx•颍上县校级三模)已知P:2x2﹣9x+a<0,q:且¬p是¬q的充分条件,求实数a的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定.【专题】计算题.【分析】由q:,知q:2<x<3,由¬p是¬q的充分条件,知q⇒p,故设f(x)=2x2﹣9x+a,则,由此能求出实数a的取值范围.【解答】解:∵q:,∴q:2<x<3,∵¬p是¬q的充分条件,∴q⇒p,∵P:2x2﹣9x+a<0,设f(x)=2x2﹣9x+a,∴,解得a≤9.【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.18.(12分)(xx秋•河西区期末)已知函数f(x)=sin2x﹣sin2(x﹣),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[﹣,]上的最大值和最小值.【考点】复合三角函数的单调性;三角函数的周期性及其求法.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】(1)利用二倍角的余弦降幂化积,则函数的最小正周期可求;(2)由x的范围求得相位的范围,进一步求得函数的最值.【解答】解:(1)∵f(x)=sin2x﹣sin2(x﹣)=====.∴f(x)的最小正周期T=;(2)∵x∈[﹣,],∴2x∈[],则2x﹣∈[],∴[].故f(x)在区间[﹣,]上的最大值和最小值分别为.【点评】本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,考查三角函数值域的求法,运用辅助角公式化简是解答该题的关键,是基础题.19.(12分)(xx秋•廊坊期末)已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数.(Ⅰ)求a的值与函数f(x)的定义域;(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x﹣1)>m恒成立.求实数m的取值范围.【考点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法.【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)直接由奇函数的定义列式求解a的值,然后由对数式的真数大于0求解x的取值集合得答案;(Ⅱ)化简f(x)+log(x﹣1)为log2(1+x),由x的范围求其值域得答案.【解答】解:(Ⅰ)∵知函数f(x)=log2是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),∴,即,∴a=1.令,解得:x<﹣1或x>1.∴函数的定义域为:{x|x<﹣1或x>1};(Ⅱ)f(x)+log2(x﹣1)=log2(1+x),当x>1时,x+1>2,∴log2(1+x)>log22=1,∵x∈(1,+∞),f(x)+log2(x﹣1)>m恒成立,∴m≤1,m的取值范围是(﹣∞,1].【点评】本题考查了函数奇偶性的性质,考查了利用函数的单调性求解不等式,体现了数学转化思想方法,是中档题.20.(13分)(xx•山西模拟)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,=,且a+c=2.(1)求角B;(2)求边长b的最小值.【考点】余弦定理的应用;正弦定理.【专题】计算题;规律型;转化思想;解三角形.【分析】(1)利用正弦定理化简表达式,求角B;个两角和与差的三角函数化简求解即可.(2)利用余弦定理求边长b的最小值.推出b的表达式,利用基本不等式求解即可.【解答】解:(1)在△ABC中,由已知,即cosCsinB=(2sinA﹣sinC)cosB,sin(B+C)=2sinAcosB,sinA=2sinAcosB,…4分△ABC 中,sinA≠0,故.…6分.(2)a+c=2,由(1),因此b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac …9分由已知b2=(a+c)2﹣3ac=4﹣3ac …10分…11分故b 的最小值为1.…12分【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,两角和与差的三角函数,考查转化思想以及计算能力.21.(14分)(xx•东港区校级模拟)已知函数g(x)=ax2﹣2ax+b+1(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=.(1)求a、b的值;(2)若不等式f(2x)﹣k•2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求实数k的取值范围.【考点】二次函数在闭区间上的最值;函数的零点与方程根的关系.【专题】函数的性质及应用.【分析】(1)由函数g(x)=a(x﹣1)2+1+b﹣a,a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故,由此解得a、b的值.(2)不等式可化为2x+﹣2≥k•2x,故有k≤t2﹣2t+1,t∈[,2],求出h(t)=t2﹣2t+1的最大值,从而求得k的取值范围.【解答】解:(1)函数g(x)=ax2﹣2ax+b+1=a(x﹣1)2+1+b﹣a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故,解得.….(6分)(2)由已知可得f(x)=x+﹣2,所以,不等式f(2x)﹣k•2x≥0可化为2x+﹣2≥k•2x,可化为1+﹣2•≥k,令t=,则k≤t2﹣2t+1.因x∈[﹣1,1],故t∈[,2].故k≤t2﹣2t+1在t∈[,2]上能成立.记h(t)=t2﹣2t+1,因为t∈[,2],故h(t)max =h(2)=1,所以k的取值范围是(﹣∞,1].…(14分)【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,函数的零点与方程根的关系,函数的恒成立问题,属于中档题.26650 681A 栚r\E 36919 9037 逷{23078 5A26 娦$A921292 532C 匬<s。

2021-2022年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案

2021-2022年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案

2021年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则=A. B. C. D.2.下列命题中的假命题是 A . B. C . D. 3.,则等于A .-1B .0C . 1D .2 4.下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的是 A . B. C. D. 5.若,则A. 15B. 14C. 13D. 12 6.若,则下列结论正确的是 A . B . C . D .7. 已知是圆心在坐标原点的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且 点的纵坐标为,点的横坐标为,则A . B. C. D. 8.现有四个函数:①;②;③;④的图象(部分)如下:A .①④②③B .①④③②9.设函数]65,0[,142cos 3sin 3)(23πθθθ∈-++=x x x x f ,则导数的取值范围是 A . B . C . D .10.函数的图像与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数的图像,只需将x的图像A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度11. 已知函数满足,当时,,若在区间上方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是A. B. C . D .12. 已知,,则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 .14.已知,,则=15.已知点在曲线上,为曲线在点处切线的倾斜角,则的取值范围是.16.给出下列四个命题:①半径为2,圆心角的弧度数为的扇形面积为②若为锐角,,则③是函数为偶函数的一个充分不必要条件④函数的一条对称轴是其中正确的命题是 .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如下表:0 5 -5 0(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数的解析式;(2)若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为,求的图像离原点最近的对称中心。

2021年高三上学期第一次月考数学理试卷 含答案

2021年高三上学期第一次月考数学理试卷 含答案

2021年高三上学期第一次月考数学理试卷含答案班级___________ 姓名____________ 成绩______________一、选择题:(本大题共8小题;每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q=,则P+Q中元素的个数是()A.9 B.8 C.7 D.63.已知则向量的夹角为()A.B.C.D.4.函数(其中>0,<的图象如图所示,为了得到的图象,只需将的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度5.在等差数列{a n}中,其前n项和是S n,若S15>0,S16<0,则在S1a1,S2a2,…,S15a15中最大的是()A. S1a1 B.S8a8 C.S9a9 D.S15a156.已知,函数在上单调递减.则的取值范围是()A. B. C. D.7.已知O为△ABC内一点,且则△AOB.△AOC.△BOC的面积之比等于()A.9:4:1 B.1:4:9 C.3:2:1 D.1:2:38.已知函数f(x)=,把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为()A.B.C.D.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填写在题中的横线上.)9. 已知向量,,,若与共线,则________.10. 设首项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为80,它的前2n 项和为6 560,且前n 项中数值最大的项为54,则此数列的第2n 项a 2n =______________.11. 对大于l 的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23,,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1917151343,,仿此,若m 3的“分裂数”中有一个是59,则m 的值为______________.12.已知中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若的面积为S,且等于_____________.13.设a 为实常数,y =f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=9x ++7.若f (x )≥a +1对一切x ≥0成立,则a 的取值范围为______.14. 已知条件p :4x -1≤-1,条件q :x 2-x <a 2-a ,且q 的一个充分不必要条件是p ,则a 的取值范围是________.三、解答题:(本大题共5个小题,70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.已知向量,cos ),(sin ,cos ),4444x x x x ==m n 函数. (Ⅰ)求函数的最小正周期及单调递减区间;(Ⅱ)在锐角中,的对边分别是,且满足求的取值范围.16. 数列{a n }的前n 项和为,等差数列的各项为正实数,其前n 项和为成等比数列.(I)求数列{a n }、的通项公式;(2)若,当n≥2时,求数列的前n 项和A n .17. 在锐角△ABC 中,。

2021-2022年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案(I)

2021-2022年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案(I)

2021年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案(I)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知集合,且,则集合的可能是( )A .B .C .D .2、命题“所以能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A .所有不能被2整除的整数都是偶数B .所以能被2整除的整数都不是偶数C .存在一个不能被2整除的整数是偶数D .存在一个能被2整除的整数不是偶数3、函数的定义域是( )A .B .C .D .4、下列各对函数中,表示一函数的是( )A .()()2lg ,2lg f x x g x x ==B .C .()()f u f v ==.5、设是定义在R 上的奇函数,当时,,则( )A .B .C .1D .36、若点在函数的图象上,则的值为( )A .0B .C .1D .7、定义运算,则函数的图象是( )8、设,则下列不等式恒成立的是( )A .B .C .D .9、若为正整数,,则的最小值等于( )A .1B .2C .3D .410、已知,,a b a b a b m n a b a b-+≠==-+,则之间的大小关系是( ) A . B . C . D .11、函数在上的最大值与最小值分别是( )A .B .C .D .12、若函数是定义在R 上的偶函数,在上是减函数,且,则使得的的取值范围是( )A .B .C .D .第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上。

.13、若,则的范围是14、函数的图象恒过定点A ,若点A 在直线上,则的最小值为15、当时,不等式恒成立,则m 的取值范围是16、已知集合11{1,1},{|24,}2x M N x x Z +=-=<<∈,则 三、解答题:17题10分,18至22题每题12分17、解不等式18、命题P :函数在定义域上单调递增;命题Q :不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数恒成立。

河北省2021届高三数学第一学期第一次月考试题【含答案】

河北省2021届高三数学第一学期第一次月考试题【含答案】

河北省2021届高三数学第一学期第一次月考试题一、项选择题:本大题共12小题,每小题5分,共600分.1.已知集合M={x|-4<x<2},N={x|-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}2.已知复数z=(i是虚数单位),则z的实部为( )A.-B.C.-D.3.设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,则λ=()A.3B.2C.-2D.-34.在△ABC中,若AB=, BC=3, ∠C=120°,则AC=( )A.4B.3C.2D.15.已知双曲线-=1 (a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=16.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,那么不同的选法有( )A.50种B.60种C.70种D.90种7.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为=x+.已知x i=225,y i=1600,=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( )A.160B.163C.166D.1708.要得到函数y=sin2x+cos2x(x∈R)的图象,可将y=2sin2x的图象向左平移( )A.个单位.B. 个单位.C.个单位D.个单位9.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1,则=( )A. B. C. D.10.给出下列四个函数:①y=x·sinx;②y=x·cosx;③y=x·|cosx|;④y=x·2x.这四个函数的部分图象如下,但顺序被打乱了,则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①11.设函数f(x)=若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是( )A. (6,7)B. (16,32)C.(17,35)D. (18,34)12.已知a为常数,函数有两个极值点x1,x2(x1<x2),则( )A.f(x1)>0,f(x2)>-B.f(x1)<0,f(x2)<-C. f(x1)<0,f(x2)>-D. f(x1)>0,f(x2)<-二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.二项式的展开式中x5的系数是.(用数字填写答案)14.函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f(f(15))的值为.15.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.16.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n;(2)令b n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.18.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知cos2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若a=,b+c=9,求△ABC的面积.19.某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛,学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练.每队四名运动员,并统计了以往多次比赛成绩,按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗,每场对抗赛都互不影响,当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次.按以往多次比赛统计的结果,甲、乙两队同名次进行对抗时,甲队队员获胜的概率分别为,,,.(1)进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果?(2)计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分,失败一方所在的队得0分.设进行一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X,求X的分布列及数学期望.20.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AD=DC=AP=2,AB=1,BC=.(1)证明:AB⊥平面PAD;(2)若E为棱PC上一点,满足BE⊥AC,求二面角E-AB-P的余弦值.21.已知离心率为的椭圆+y2=1(a>1)与直线l交于P,Q两点,记直线OP的斜率为k1,直线OQ 的斜率为k2.(1)求椭圆的方程;(2)若k1·k2=-,则三角形POQ的面积是不是定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.21.已知函数f(x)=-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2.参考答案一、选择题1-5.CBADB BAA 11-12.DC二、填空题13.35 14. 15. y=-2x-1 16. 6三、解答题17、解析(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以解得所以a n=3+2(n-1)=2n+1,S n=3n+×2=n2+2n.(2)由(1)知a n=2n+1,所以b n===·=·,所以T n=·=·=.18、解析(1)在△ABC中,cos(B+C)=cos(π-A)=-cosA,则由cos2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cosA-2=0,即(2cosA-1)(cosA+2)=0,解得cosA=或cosA=-2(舍去).∵0<A<π,∴A=.(2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos,∵a=,b+c=9,∴21=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,即21=81-3bc,解得bc=20.∴S△ABC=b csinA=×20×=5. 19、解析(1)因为甲、乙两队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生, 所以进行一个轮次对抗赛后一共有24=16种对抗结果.(2)X的可能取值分别为4,3,2,1,0, P(X=4)=×××==;P(X=3)=×××+×××+×××+×××==;P(X=2)=×××+×××+×××+×××+×××+×××==;P(X=1)=×××+×××+×××+×××==;P(X=0)=×××==.所以X的分布列为X 4 3 2 1 0PE(X)=4×+3×+2×+1×+0×=2.20. 解析(1)证明:∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.取CD中点F,连接BF,∵AB∥DF且AB=DF=1,∴四边形ABFD是平行四边形,则BF=AD=2,∵BF2+CF2=22+12=5=BC2,∴BF⊥CF,∴四边形ABFD是矩形,∴AB⊥AD,∵PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD.(2)由(1)及已知得AB,AD,AP两两垂直,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),∴=(-2,-2,2),=(2,2,0).由E点在棱PC上,设=λ=(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),则E(2-2λ,2-2λ,2λ).故=+=(1-2λ,2-2λ,2λ),由BE⊥AC,得·=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=,即=,设平面ABE的法向量为n=(a,b,c),由得令c=1,则n=(0,-3,1).取平面ABP的法向量i=(0,1,0),设二面角E-AB-P的平面角为α,则cosα===-.由图知二面角E-AB-P为锐二面角,故二面角E-AB-P的余弦值为.21、解析(1)由题意可知解得a=3,c=2,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),若直线PQ的斜率不存在,则易算得S△POQ=.当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,与椭圆方程联立得(9k2+1)x2+18kmx+9m2-9=0,则x1+x2=-,x1x2=.因为|PQ|==,点O到直线PQ的距离d=,所以S△POQ=|PQ|·d=3,(※)由k1k2===-化简得9k2=2m2-1,代入(※)式得S△P OQ=.综上,得三角形POQ的面积是定值.22. 解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--1+=-.(i)若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时,f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减. (ii)若a>2,令f'(x)=0,得x=或x=.当x∈∪时,f'(x)<0;当x∈时,f'(x)>0.所以f(x)在,单调递减,在单调递增.(2)证明:由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1,由于=--1+a=-2+a=-2+a,所以<a-2等价于-x2+2lnx2<0.设函数g(x)=-x+2lnx,由(1)知,g(x)在(0,+∞)单调递减,又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)<0, 所以-x2+2lnx2<0,即<a-2.。

河北省保定市重点高中高三上学期理数第一次月考试卷及答案

河北省保定市重点高中高三上学期理数第一次月考试卷及答案

,且两曲线交于两点,所以
能把圆
一分为二,如图,
故正确;
②函数
关于点
对称,经过圆的圆心,且两曲线交于两点,如图:
所以函数 ③函数
是圆 为奇函数,如图:
的一个太极函数,故正确;
所以函数 ④函数
是圆
的一个太极函数,故正确;
为奇函数,且单调递增,如图,
所以函数 故答案为:①②③④.
是圆
的一个太极函数,故正确.
C.既是偶函数,又是增函数
D.既是偶函数,又是减函数
8.函数
的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
9.已知函数
,则
A.
的图象关于点
对称
B.
的图象关于直线
对称
C. 在
上单调递减
D. 在
上单调递减,在
上单调递增
10.已知
,当

A.
B.
C.
D.
,则实数 a 的取值范围为( )
11.已知实数
,若关于 的方程
有三个不同的实数,则 的
6.【答案】 D
【解析】【解答】因为



所以
.
故答案为:D.
【分析】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出
7.【答案】 A
的大小关系.
【解析】【解答】∵函数定义域为 R,且
又∵当

故答案为:A.
为增函数,所以 f(x)在 R 上为增函数
,所以函数为奇函数,
【分析】 利用奇函数与函数单调性的定义,可判断函数既是奇函数,又是增函数。
(2)利用分段函数的表达式分别进行求解即可.
20.【答案】 (1)由
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2021届河北省保定市高阳中学高三上学期第一次月考 数学(理)试题
(考试时间:120分钟;分值:150分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内,复数i •(1﹣i )对应的点位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.复数212i i
+-的虚部是( ) A. i B. ﹣i C. 1 D. ﹣1
3.集合M ={x|lgx>0},N ={x|x 2≤4},则M ∩N =( )
A. (1,2)
B. [1,2)
C. (1,2]
D. [1,2]
4.函数256()4lg 3
x x f x x x -+=-+-的定义域为( ) A. (2,3) B. (2,4] C. (﹣1,3)∪(3,6] D. (2,3)∪(3,4]
5.命题“若0a <,则一元二次方程20x x a ++=有实根”的原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A. 0
B. 2
C. 4
D. 不确定
6.若函数f (x )=ax 2+b|x|+c (a ≠0)有四个单调区间,则实数a ,b ,c 满足( )
A. b 2﹣4ac >0,a >0
B. b 2﹣4ac >0
C. 2b a ->0
D. 2b a
-<0 7.函数的值域为( )
A. (-∞,12]
B. [12,1]
C. [12,1)
D. [12
,+∞) 8.若()ln 34f x x =+,则()f x 的表达式为( )
A. 3ln x
B. 3ln 4x +
C. 3x e
D. 34x
e +
9.已知y=f (x )是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )
①y=f (|x|);②y=f (﹣x );③y=xf (x );④y=f (x )+x .
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
10.若函数f (x )的导函数()f x '=x 2﹣4x+3,则使得函数(1)f x -单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )
A. [0,1]
B. [2,3]
C. [2,4]
D. [3,5]
11.设a R ∈,函数()x x f x e a e -=+⋅的导函数是'()f x ,且'
()f x 是奇函数。

若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32
,则切点的横坐标为( )
A.ln 2 B .ln 2- C .ln22 D .ln22
- 12.已知函数f(x)=
2
||4+x -1的定义域是[a, b](a, b ∈Z ),值域是[0, 1],则满足条件的整数对(a, b)共有( )
A .2个
B .5个
C .6个
D .无数个 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题纸相应的位置上。

13.已知命题p :0x x e ∃∈<R ,
,则p ⌝是____________________. 14.已知函数()f x 的导函数()5cos f x x '=+,(1,1)x ∈-,且(0)0f =,(1)f x -2(1)0f x +-<,则实数x 取值的集合是 .
15.已知函数()f x 为R 上的奇函数,当x ≥0时,()(1)f x x x =+.若()f a =﹣2,则实数a= .
16.已知函数21()34ln 2
f x x x x =--+在[],1t t +上不单调,则实数t 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知命题P :函数log (12)a y x =-在定义域上单调递增;命题Q :不等式
2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立.若P Q ∨是真命题,P Q ∧是假命题,求实数a 的取值范围.
18.(12分)已知集合A={x|(x ﹣2)[x ﹣(3a+1)]<0},集合B=220(1)x a x
x a ⎧⎫-<⎨⎬-+⎩⎭. (Ⅰ)当a=2时,求A ∩B ; (Ⅱ)当13
a >
时,若元素x ∈A 是x ∈B 的必要条件,求实数a 的取值范围.
19.(12分)设函数()313f x x ax =-++ (Ⅰ)若a =1,解不等式()f x ≤4;
(Ⅱ)若函数()f x 有最小值,求a 的取值范围.
20.(12分)已知曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ
=,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,直线l
的参数方程为212
x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).
(Ⅰ)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,把直线l 的参数方程化为普通方程;
(Ⅱ)求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.
21.(12分)已知函数1()lg 1ax f x x +=-(a >0)为奇函数,函数22()g x b x
=+(b ∈R ) (Ⅰ)求函数f (x )的定义域;
(Ⅱ)当x ∈11,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
时,关于x 的不等式(1)lg(())f x g x -≤有解,求b 的取值范围.
22.(12分)已知函数()2ln 1a f x x x x
=--+,()(2ln )x g x e x x =-. (Ⅰ)若函数()f x 在定义域上是增函数,求a 的取值范围;(Ⅱ)求g (x )的最大值.
2021届河北省保定市高阳中学高三上学期第一次月考
数学(理)试题参考答案
一、选择题
1—12 ACCDB CCDDB AB
二、填空题
13. 0x
x e ∀∈≥R , 14.(1,) 15. ﹣1 16. (0,1)
三、解答题
17. 解:∵命题P 函数y=log a (1﹣2x )在定义域上单调递增;∴0<a <1 ………3分
又∵命题Q 不等式(a ﹣2)x 2+2(a ﹣2)x ﹣4<0对任意实数x 恒成立;∴a=2
或,即﹣2<a ≤2 ………7分 ∵P Q ∨是真命题,P Q ∧是假命题,∴a 的取值范围是2012a a -<≤≤≤或. ………10分
18. 解:(1)当a=2时,可得集合A={x|(x ﹣2)(x ﹣7)<0}={x|2<x <7},
集合 B={x|
}={x|4<x <5},∴A ∩B={x|4<x <5} ………5分 (2)∵a 2+1﹣2a=(a ﹣1)2≥0,∴a 2+1≥2a ∴B={x|2a <x <a 2+1}
当a >时,3a+1>2∴A={x|2<x <3a+1}
∵元素x ∈A 是x ∈B 的必要条件,即B 是A 的真子集 ∴2a ≥2 且 a 2+1≤3a+1
∴1≤a ≤3,经验证当a=1,3时,均符合要求.故实数a 的取值范围为:1≤a ≤3.…12分
19. 解:(Ⅰ)当a=1时,f (x )=|3x ﹣1|+x+3,
当x
时,f (x )≤4可化为3x ﹣1+x+3≤4,解得 ; 当x 时,f (x )≤4可化为﹣3x+1+x+3≤4,解得
. 综上可得,原不等式的解集为{x|
} ………6分 (Ⅱ)f (x )=|3x ﹣1|+ax+3=1(3)2,31
(3)4,3a x x a x x ⎧++≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩
函数f (x )有最小值的充要条件为
,即﹣3≤a ≤3.………12分 20. 解:( I ) 由得ρ2sin 2θ=4ρcos θ,∴y 2=4x ;
由(t为参数),消去参数t,得x+y﹣1=0;
曲线C的直角坐标方程为y2=4x;直线l的普通方程x+y﹣1=0;………6分
( II)设直线l交曲线C于A(x1,y1),B(x2,y2),
联立,消去y得,x2﹣6x+1=0,
∴x1+x2=6,x1x2=1;

∴直线l被曲线C截得的线段AB的长为8.………12分
21. 解:(1)∵a>0,∴解得,;
∵f(x)为奇函数;∴定义域关于原点对称,所以a=1;
∴f(x)的定义域为(﹣1,1);………5分
(2)f(x)=lg,f(1﹣x)=;∴;
∴;∴,………7分
设h(x)=;∴;∵;∴h′(x)>0;
∴h(x)在[]上单调递增;∴是h(x)在[]上的最小值;
∴b≥﹣13;∴b的取值范围为[﹣13,+∞).………12分
22. 解:(Ⅰ)由题意得x>0,f′(x)=1﹣+,
由函数f(x)在定义域上是增函数得, f′(x)≥0,即a≥2x﹣x2=﹣(x﹣1)2+1(x>0);因为﹣(x﹣1)2+1≤1(当x=1时,取等号),所以a的取值范围是[1,+∞).………6分
(Ⅱ)g′(x)=e x(﹣1+2lnx﹣x),由(Ⅰ)得a=2时,f(x)=x﹣2lnx﹣+1,
且f(x)在定义域上是增函数及f(1)=0,所以,当x∈(0,1)时,f(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,f(x)>0.所以,当x∈(0,1)时,g′(x)>0,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0.
g(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,
故x=1时,g(x)取得最大值g(1)=﹣e.………12分。

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