2021届河北省保定市高阳中学高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案

2021届河北省保定市高阳中学高三上学期第一次月考 数学（理）试题
（考试时间：120分钟；分值：150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数i •（1﹣i ）对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2．复数212i i
+-的虚部是（ ） A. i B. ﹣i C. 1 D. ﹣1
3．集合M ＝{x|lgx>0}，N ＝{x|x 2≤4}，则M ∩N ＝( )
A. (1,2)
B. [1,2)
C. (1,2]
D. [1,2]
4．函数256()4lg 3
x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ） A. （2，3） B. （2，4] C. （﹣1，3）∪（3，6] D. （2，3）∪（3，4]
5.命题“若0a <，则一元二次方程20x x a ++=有实根”的原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 不确定
6．若函数f （x ）=ax 2+b|x|+c （a ≠0）有四个单调区间，则实数a ，b ，c 满足（ ）
A. b 2﹣4ac ＞0，a ＞0
B. b 2﹣4ac ＞0
C. 2b a -＞0
D. 2b a
-＜0 7.函数的值域为( )
A. (－∞，12]
B. [12，1]
C. [12，1)
D. [12
，＋∞) 8.若()ln 34f x x =+，则()f x 的表达式为（ ）
A. 3ln x
B. 3ln 4x +
C. 3x e
D. 34x
e +
9．已知y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
①y=f （|x|）；②y=f （﹣x ）；③y=xf （x ）；④y=f （x ）+x ．
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
10．若函数f （x ）的导函数()f x '=x 2﹣4x+3，则使得函数(1)f x -单调递减的一个充分不必要条件是x ∈（ ）
A. [0，1]
B. [2，3]
C. [2，4]
D. [3，5]
11.设a R ∈，函数()x x f x e a e -=+⋅的导函数是'()f x ，且'
()f x 是奇函数。

若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32
，则切点的横坐标为（ ）
A.ln 2 B ．ln 2- C ．ln22 D ．ln22
- 12．已知函数f(x)＝
2
||4+x －1的定义域是[a, b](a, b ∈Z )，值域是[0, 1]，则满足条件的整数对(a, b)共有（ ）
A ．2个
B ．5个
C ．6个
D ．无数个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应的位置上。

13.已知命题p :0x x e ∃∈<R ，
，则p ⌝是____________________． 14．已知函数()f x 的导函数()5cos f x x '=+，(1,1)x ∈-，且(0)0f =，(1)f x -2(1)0f x +-<，则实数x 取值的集合是 ．
15．已知函数()f x 为R 上的奇函数，当x ≥0时，()(1)f x x x =+．若()f a =﹣2，则实数a= ．
16.已知函数21()34ln 2
f x x x x =--+在[],1t t +上不单调，则实数t 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知命题P ：函数log (12)a y x =-在定义域上单调递增；命题Q ：不等式
2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立．若P Q ∨是真命题，P Q ∧是假命题，求实数a 的取值范围．
18．（12分）已知集合A={x|（x ﹣2）[x ﹣（3a+1）]＜0}，集合B=220(1)x a x
x a ⎧⎫-<⎨⎬-+⎩⎭． （Ⅰ）当a=2时，求A ∩B ； （Ⅱ）当13
a >
时，若元素x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求实数a 的取值范围．
19．（12分）设函数()313f x x ax =-++ （Ⅰ）若a =1，解不等式()f x ≤4；
（Ⅱ）若函数()f x 有最小值，求a 的取值范围．
20．（12分）已知曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ
=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程为212
x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．
（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l 的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．
21．（12分）已知函数1()lg 1ax f x x +=-（a ＞0）为奇函数，函数22()g x b x
=+（b ∈R ） （Ⅰ）求函数f （x ）的定义域；
（Ⅱ）当x ∈11,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
时，关于x 的不等式(1)lg(())f x g x -≤有解，求b 的取值范围．
22．（12分）已知函数()2ln 1a f x x x x
=--+，()(2ln )x g x e x x =-． （Ⅰ）若函数()f x 在定义域上是增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）求g （x ）的最大值．
2021届河北省保定市高阳中学高三上学期第一次月考
数学（理）试题参考答案
一、选择题
1—12 ACCDB CCDDB AB
二、填空题
13. 0x
x e ∀∈≥R ， 14.（1，） 15. ﹣1 16. （0，1）
三、解答题
17. 解：∵命题P 函数y=log a （1﹣2x ）在定义域上单调递增；∴0＜a ＜1 ………3分
又∵命题Q 不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对任意实数x 恒成立；∴a=2
或，即﹣2＜a ≤2 ………7分 ∵P Q ∨是真命题，P Q ∧是假命题，∴a 的取值范围是2012a a -<≤≤≤或. ………10分
18. 解：（1）当a=2时，可得集合A={x|（x ﹣2）（x ﹣7）＜0}={x|2＜x ＜7}，
集合 B={x|
}={x|4＜x ＜5}，∴A ∩B={x|4＜x ＜5} ………5分 （2）∵a 2+1﹣2a=（a ﹣1）2≥0，∴a 2+1≥2a ∴B={x|2a ＜x ＜a 2+1}
当a ＞时，3a+1＞2∴A={x|2＜x ＜3a+1}
∵元素x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即B 是A 的真子集 ∴2a ≥2 且 a 2+1≤3a+1
∴1≤a ≤3，经验证当a=1，3时，均符合要求．故实数a 的取值范围为：1≤a ≤3．…12分
19. 解：（Ⅰ）当a=1时，f （x ）=|3x ﹣1|+x+3，
当x
时，f （x ）≤4可化为3x ﹣1+x+3≤4，解得 ； 当x 时，f （x ）≤4可化为﹣3x+1+x+3≤4，解得
． 综上可得，原不等式的解集为{x|
} ………6分 （Ⅱ）f （x ）=|3x ﹣1|+ax+3=1(3)2,31
(3)4,3a x x a x x ⎧++≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩
函数f （x ）有最小值的充要条件为
，即﹣3≤a ≤3．………12分 20. 解：（ I ） 由得ρ2sin 2θ=4ρcos θ，∴y 2=4x ；
由（t为参数），消去参数t，得x+y﹣1=0；
曲线C的直角坐标方程为y2=4x；直线l的普通方程x+y﹣1=0；………6分
（ II）设直线l交曲线C于A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y得，x2﹣6x+1=0，
∴x1+x2=6，x1x2=1；
，
∴直线l被曲线C截得的线段AB的长为8．………12分
21. 解：（1）∵a＞0，∴解得，；
∵f（x）为奇函数；∴定义域关于原点对称，所以a=1；
∴f（x）的定义域为（﹣1，1）；………5分
（2）f（x）=lg，f（1﹣x）=；∴；
∴；∴，………7分
设h（x）=；∴；∵；∴h′（x）＞0；
∴h（x）在[]上单调递增；∴是h（x）在[]上的最小值；
∴b≥﹣13；∴b的取值范围为[﹣13，+∞）．………12分
22. 解：（Ⅰ）由题意得x＞0，f′（x）=1﹣+，
由函数f（x）在定义域上是增函数得， f′（x）≥0，即a≥2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1（x＞0）；因为﹣（x﹣1）2+1≤1（当x=1时，取等号），所以a的取值范围是[1，+∞）．………6分
（Ⅱ）g′（x）=e x（﹣1+2lnx﹣x），由（Ⅰ）得a=2时，f（x）=x﹣2lnx﹣+1，
且f（x）在定义域上是增函数及f（1）=0，所以，当x∈（0，1）时，f（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0．所以，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．
g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
故x=1时，g（x）取得最大值g（1）=﹣e．………12分。