学练考_学年高中数学4.2.3直线与圆的方程的应用练习新人教A版必修2【含答案】

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学练考高中数学4.2.3直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2

(3)利用数学方法将得到的数学问题(数学模型)予以解答，求得结果．
(4)转化为具体问题，做出解答．
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► 知识点二利用直线与圆的方程解决平面几何问题平面解析几何的基本思想方法是利用平面直角坐标系，把
点用____坐__标_____表示，直线、圆等用__方__程_______表示，并用__代__数______方法研究几何问题，这就是人们常说的“坐标法”，这种方法与平面几何中的综合法以及将来要学习的向量法都可以建立联系，另外还可以推广到空间去解决立体几何问题．
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4.2.3 │ 新课导入
新课导入
【导入】情境导入
一艘轮船在沿直线返回港口的途中(tú zhōnɡ)，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域(假设台风中心不移动)．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解决这个问题的本质是什么？你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？
4．2.3 直线(zhíxiàn)与圆的方程的应用
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4.2.3 │ 三维目标(mùbiāo)
三维目标
【知识与技能】 (1)理解掌握直线(zhíxiàn)与圆的方程在实际生活中的应用． (2)会用“数形结合”的数学思想解决问题．【过程与方法】用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．【情感、态度与价值观】让学生通过观察图形，理解并掌握直线(zhíxiàn)与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．

学练考_学年高中数学4.2.1直线与圆的位置关系练习新人教A版必修2【含答案】

4．2.1 直线与圆的位置关系一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．直线3x ＋4y －25＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．相离或相切2．过圆x 2＋y 2＝4上的一点(1，3)的圆的切线方程是( ) A ．x ＋3y －4＝0 B.3x －y ＝0 C ．x ＋3y ＝0 D ．x －3y －4＝03．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x －y －1＝0上截得的弦长为2 2，那么这个圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝164．圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 25．若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1，2)，则ab 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．36．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切的直线的方程为( )A ．y ＝－3x 或y ＝13xB ．y ＝3x 或y ＝－13xC ．y ＝－3x 或y ＝－13xD ．y ＝3x 或y ＝13x7．过点(1，2)的直线l 将圆(x －3)2＋y 2＝9分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x ＋y －4＝0D ．x －2y ＋3＝0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．9．直线3x＋y－2 3＝0被圆x2＋y2＝4所截得的弦长是________．10．设直线ax＋2y＋6＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交于P，Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ，则a的值为________．11．一条光线从点P(2，3)射出，经x轴反射，与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的方程是____________________________．12．(12分)已知圆C的方程为(x－m)2＋(y＋m－4)2＝2.(1)求圆心C的轨迹方程；(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程．(O为坐标原点)13．(13分)已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，P点坐标为(2，3)，求过P点的圆的切线方程以及切线长．14．(5分)过点A(11，2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的有________条．15．(15分)已知圆C过点M(0，－2)，N(3，1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．(1)求圆C的方程．(2)问是否存在满足以下两个条件的直线l：①直线l斜率为1；②直线l被圆C所截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线l，请求出其方程；若不存在，请说明理由．4．2 直线、圆的位置关系 4．2.1 直线与圆的位置关系1．C [解析] ∵圆心到直线的距离d ＝|25|32＋42＝5>3，∴直线与圆相离． 2．A [解析] 过圆心与点(1，3)的直线的斜率为3，所以过点(1，3)的圆的切线方程的斜率为－33，所以切线方程为y －3＝－33()x －1，即x ＋3y －4＝0.3．A [解析] 圆心到直线的距离d ＝|2＋1－1|2＝ 2.R 2＝d 2＋(2)2＝4，∴R ＝2.∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.4．B [解析] 由题意可知，圆的圆心坐标为(1，3)，半径为10，且点E (0，1)位于该圆内，故过点E (0，1)的最短弦长|BD |＝2 10－（12＋22）＝2 5(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝2 10，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |·|BD |＝12×2 10×2 5＝10 2.5．C [解析] 圆x 2＋y 2＋4x －1＝0化为标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝5，圆心坐标为(－2，0)．因为直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1＋2＝b a，－a ＋2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝2，所以ab 的值为2. 6．A [解析] 易知直线的斜率存在，故不妨设直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.∵圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝52，∴圆心为(2，－1)，半径为102.依题意有|2k ＋1|k 2＋1＝102，解得k ＝－3或k ＝13，∴所求直线的方程为y ＝－3x 或y ＝13x .7．A [解析] 易知直线l 的斜率存在，故不妨设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，所以圆心(3，0)到直线l 的距离d ＝|3k ＋2－k |1＋k 2＝2 1＋2k ＋1k，则当k ＝1时，d max ＝2 2，此时对应的劣弧所对的圆心角最小，即直线l 的方程为x －y ＋1＝0.8.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 [解析] 依题意有|2k －1|k 2＋1<1，解得0<k <43，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.9．2 [解析] 圆心到直线的距离d ＝||－2 3（3）2＋12＝3，所以直线3x ＋y －23＝0被圆x 2＋y 2＝4所截得的弦长l ＝2 22－()32＝2.10．－2 [解析] ∵圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0经过原点O ，且OP ⊥OQ ，∴PQ 是圆的直径，∴圆心(1，－2)在直线ax ＋2y ＋6＝0上，∴a －4＋6＝0，解得a ＝－2.11．4x ＋3y ＋1＝0或3x ＋4y ＋6＝0 [解析] 依题意得，点P 关于x 轴的对称点P ′(2，－3)在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx－y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切得|5k ＋5|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，∴反射光线所在直线的方程为y ＋3＝－43(x －2)或y ＋3＝－34(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0或3x ＋4y ＋6＝0.12．解：(1)设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m ，消去m 得y ＝4－x ，∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直， ∴直线OC 的方程为x －y ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，解得x ＝y ＝2，即|OC |最小时，圆心的坐标为(2，2)，∴m ＝2，故圆C 的一般方程为x 2＋y 2－4x －4＋6＝0.13．解：如图所示，A ，B C 为(1，1)，|CA |＝|CB |＝1，切线长|PA |＝|PB |＝|PC |2－|CA |2＝（3－1）2＋（2－1）2－12＝2.①若切线的斜率存在，则可设切线的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋3＝0，所以圆心到切线的距离d ＝|k －1－2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝34，故切线的方程为3x －4y ＋6＝0.②若切线的斜率不存在，切线方程为x ＝2，此时直线也与圆相切．综上所述，过P 点的圆的切线方程为3x －4y ＋6＝0和x ＝2.14．32 [解析] 由题意可知过点A (11，2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26，所以弦长为整数的有2＋2×(26－10－1)＝32(条)．15．解：(1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－D2－E ＋1＝0，4－2E ＋F ＝0，10＋3D ＋E ＋F ＝0，解得D ＝－6，E ＝4，F ＝4，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0.(2)假设存在这样的直线l ，其方程为y ＝x ＋b . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0，y ＝x ＋b ，消去y 得2x 2＋2(b －1)x ＋b 2＋4b ＋4＝0，(*)∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1－b ，x 1·x 2＝b 2＋4b ＋42，∴y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2.∵AB 为直径，∴∠AOB ＝90°，∴|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，即b 2＋4b ＋4＋b (1－b )＋b 2＝0，解得b ＝－1或b ＝－4. 容易验证b ＝－1或b ＝－4时方程(*)有实根．故存在这样的直线l ，其方程是y ＝x －1或y ＝x －4.。

高中数学(人教A版)必修2随堂优化训练：4.2.3 直线与圆的方程的应用(含答案)

4.2.3 直线与圆的方程的应用1．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示的圆( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x －y ＝0对称D ．关于直线x ＋y ＝0对称2．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 为( )A ．0或2B ．2 C. 2 D ．无解3．过原点的直线与圆(x ＋2)2＋y 2＝1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为( )A ．y ＝3xB ．y ＝－3xC ．y ＝33x D ．y ＝－33x 4．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相离，则点P (a ，b )与圆的位置关系是( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．都有可能5．圆x 2＋y 2－4x －4y －1＝0上的动点P 到直线x ＋y ＝0的最小距离为( )A ．1B ．0C ．2 2D ．2 2－36．过点P (2,1)作圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2ay ＋2a ＋1＝0的切线只有一条，则a 的取值是( )A ．a ＝－3B ．a ＝3C ．a ＝2D ．a ＝－27．与圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条8．设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点P (3，1)，则直线AB 的方程为____________． 9．若实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值为( ) A.12 B.33 C.32 D. 310．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)．(1)若点P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；(2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值；(3)若实数m ，n 满足m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0，求k ＝n －3m ＋2的最大值和最小值．4．2.3 直线与圆的方程的应用1．D 解析：该圆的圆心(－a ，a )，在直线x ＋y ＝0上，故关于直线x ＋y ＝0对称．2．B 解析：圆心(0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2＝m ，m ＝2. 3．C4．C 解析：由于直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相离，则1a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<1， ∴P 在圆内．5．C 6.A7．A 解析：过原点的直线也满足条件．8．x ＋y －4＝09．D 解析：方法一：∵实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，∵记P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝3上的点，y x是直线OP 的斜率，记为k .∴直线OP ：y ＝kx ，代入圆的方程，消去y ，得(1＋k 2)x 2－4x ＋1＝0.直线OP 与圆有公共点的充要条件是Δ＝(－4)2－4(1＋k 2)≥0， ∴－3≤k ≤ 3.方法二：同方法一，直线OP 与圆有公共点的条件是|k ·2－0|k 2＋1≤3，∴－3≤k ≤ 3. 10．解：(1)∵点P (a ，a ＋1)在圆上，∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0.解得a ＝4，∴P (4,5)．∴|PQ |＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210，k PQ ＝3－5－2－4＝13. (2)∵圆心坐标C 为(2,7)，半径为2 2，∴|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2.∴|MQ |max ＝4 2＋2 2＝6 2，|MQ |min ＝4 2－2 2＝2 2.(3)设点(－2,3)的直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，方程m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0，即(m －2)2＋(n －7)2＝8表示圆．易知直线l 与圆方程相切时，k 有最值，∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝2 2.∴k ＝2±3. ∴k ＝n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。

高中数学 (知识导学+例题解析+达标训练)4.2.3 直线与圆的方程的应用新人教A版必修2

4·2·3 直线与圆的方程的应用一、知识导学：1、理解直线与圆、圆与圆的位置关系的几何性质；2、利用平面直角坐标系解决直线与圆、圆与圆的位置关系的有关问题；3、会用“数形结合”的数学思想解决问题，理解用坐标法解决几何问题的步骤。

二、基础知识回顾：1、判断两条直线1l 、2l 的位置关系：通过解方程组确定交点坐标。

已知两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，（1）1l 与2l 相交______________________⇔⇔；（2）1l 与2l 平行______________________⇔⇔；（3）1l 与2l 重合______________________⇔⇔。

2距离及应用条件公式及说明两点间的距离已知两点111(,)P x y ，222(,)P x y 1、公式：____________________；2、原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 的距离d =_______________。

点到直线的距离已知点00(,)P x y ，直线:0l Ax By C ++=1、公式：____________________；2、当A=0或B=0时，公式仍成立；3、原点(0,0)O 到直线l 的距离d =____。

两条平行线间的距离1l ：10Ax By C ++=，2l ：20Ax By C ++=，1、转化为点到直线的距离求解；2、公式：___________________。

3、圆的标准方程：_________________________________。

它表示以___________为圆心，以___________为半径的圆。

4、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=。

配方得__________________________________________。

（1）当2240D E F +->时，表示以________为圆心，以________为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，表示一个点______________；（3）当2240D E F +-<时，它不表示任何图形。

高中数学人教新课标A版必修二4.2.3直线与圆的方程的应用同步训练1(I)卷

高中数学人教新课标 A 版必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用同步训练 1（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分）若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x-3y=0 和 x 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.B. C.D.2. （2 分）已知圆的方程为 ABCD 的面积为（）.设该圆过点的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形A . 10B . 20C . 30D . 40 3. （2 分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0 的圆心坐标和半径分别为（） A . （﹣2，3），13B . （﹣2，3），C . （2，﹣3）， D . （2，﹣3），13第1页共8页4. （2 分） (2016 高二上·唐山期中) 过原点的直线与圆 x2+y2+4x+3=0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A . y=B . y=﹣C.D. 5. （2 分）如果直线 l：y=kx﹣5 与圆 x2+y2﹣2x+my﹣4=0 交于 M、N 两点，且 M、N 关于直线 2x+y=0 对称，则直线 l 被圆截得的弦长为（） A.2 B.3 C.4D.26. （2 分） (2018·六安模拟) 若是圆的最大值（）A.4 B.6C.上任一点，则点到直线距离D.7. （2 分）若直线 l：ax+by+1=0 始终平分圆 M：x2+y2+4x+2y+1=0 的周长，则（a﹣2）2+（b﹣2）2 的最小值为（）第2页共8页A. B.5 C.2 D . 108. （2 分） (2019 高三上·郑州期中) 已知双曲线的左右焦点为双曲线右支上的一点，的内切圆圆心为，且圆与轴相切于点，过垂足为，若双曲线的离心率为，则（）为它的中心，为作直线的垂线，A.B.C. D . 与关系不确定9. （2 分） (2018 高二上·黑龙江月考) 圆：是圆，上的点，P 是直线上的点，则和：的最小值是，M，N 分别A.B.C.D.二、填空题 (共 4 题；共 4 分)11. （1 分） (2018·枣庄模拟) 已知圆和圆第3页共8页，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为________．12. （1 分） (2016 高三上·嘉兴期末) 设，，直线既与线段又与直线有公共点，则实数的取值范围是________．，圆13. （1 分） (2018 高二上·睢宁月考) 在平面直角坐标系 xOy 中，若圆得点 M 关于 x 轴的对称点 N 在直线上，则实数 k 的最小值为________．．若圆上存在点 M，使14. （1 分） (2019 高二上·成都期中) 抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，任意一点，则的取值范围为________．的内切圆与切于点，点为内切圆上三、解答题 (共 4 题；共 30 分)15. （10 分） (2018 高二上·万州期中) 已知曲线（1）若曲线 C1 是一个圆，且点 P(1,1)在圆 C1 外，求实数 m 的取值范围；（2）当 m=2 时，曲线关于直线 x+1=0 对称的曲线为 ,设 P 为平面上的点，满足：存在过 P 点的无穷多对互相垂直的直线,它们分别与曲线 C1 和曲线相交，且直线被曲线 C1 截得的弦长与直线 l2 被曲线 C2 截得的弦长总相等.求所有满足条件的点 P 的坐标；16. （5 分）已知圆 C：x2+y2+Dx+Ey+3=0 的圆心 C 在直线 x+y﹣1=0 上，且点 C 在第二象限，半径为．（1）求圆 C 的方程；（2）斜率为 2 的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，若|AB|=2，求直线 l 方程． 17. （10 分） (2017 高一下·衡水期末) 已知圆 C 的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中 m＜5．（1）若圆 C 与直线 l：x+2y﹣4=0 相交于 M，N 两点，且|MN|=，求 m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线 l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线 l 的距离为 c 的范围，若不存在，说明理由．，若存在，求出第4页共8页18. （5 分）已知圆 C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆 C 关于直线 x+y﹣1=0 对称，圆心在第二象限，半径为．（1）求圆 C 的方程；（2）已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切，且与 x 轴、y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程．第5页共8页一、单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、二、填空题 (共 4 题；共 4 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、三、解答题 (共 4 题；共 30 分)参考答案第6页共8页15-1、15-2、16-1、第7页共8页17-1、 17-2、18-1、第8页共8页。

高中数学必修2单元配套练习试题4.2.3直线与圆的方程的应用及参考答案解析

4.2.3直线与圆的方程的应用姓名:___________班级:______________________1.圆5:22=+y x P ,则经过点()21，-M 的切线方程为( ) A.052=--y x B.052=++y xC.052=-+y xD.052=+-y x2.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为( )A.C.3.半径为6的圆与x 轴相切,且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切,则此圆的方程为( )A.(x －4)2＋(y －6)2＝6B.(x±4)2＋(y －6)2＝6C.(x －4)2＋(y －6)2＝36D.(x±4)2＋(y －6)2＝364.直线280x y --=与圆22(2)(3)4x y -++=交于,E F 两点,则EOF ∆(O 是原点)的面积为( )B.D.556 5.若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为( )A.1-或3B.1或3C.2-或6D.0或46.已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外,则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是 ( )A.相切B.相交C.相离D.不确定7.已知圆922=+y x 的弦过点)2,1(P ,当弦长最短时,该弦所在直线方程为 ( )A.052=-+y xB.02=-yC.02=-y xD.01=-x8.从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的A.12B.35C.2 D.09.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点,则弦MN 所在直线的方程为___________.10.已知圆22:9C x y +=,直线1:10l x y --=与2:2100l x y +-=的交点为P 点,过点P 向圆C 作两条切线,a b ,分别与圆相切于,A B 两点,则ABP S =△ .11.已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P 、Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,实数a 的值为 .12.已知圆C 的圆心在直线1y x =+上,,且圆C 经过点(5,4)P(1)求圆C 的标准方程;(2)求过点()1,0A 且与圆C 相切的切线方程.13.已知圆C :2230x y Dx Ey ++++=,圆C 关于直线10x y +-=对称,圆心在第二象限,.(1)求圆C 的方程;(2)已知不过原点的直线l 与圆C 相切,且在x 轴、y 轴上的截距相等,求直线l 的方程.14.已知圆25)2()1(:22=-+-y x C ,直线:(21)(1)7l m x m y m +++- 40()m -=∈R .(1)求证:对任意的m ∈R ,直线l 与圆C 恒有两个交点;(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度,及此时直线l 的方程.参考答案1.D【解析】点()12M -，在圆上,所以OM 与切线垂直,因为2OM k =-,所以切线斜率为12,因即250x y -+=. 考点:直线方程,直线和圆相切的位置关系.2.B【解析】圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1.最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直,故最短弦的长为=所以四边形ABCD 的面积为12×AC×BD＝12×10× 考点:圆的方程的应用.3.D【解析】设所求圆的圆心坐标为(a,b),则b ＝6,5,可以解得a ＝±4,故所求圆的方程为(x±4)2＋(y －6)2＝36.考点:圆的方程的应用.4.A【解析】圆心()2,3-在直线280x y --=上,则24EF r ==,点O 到直线的距离为d ==则12EOF S EF d =⨯⨯=.故选A. 考点:直线与圆的位置关系,点到直线的距离. 5.D 【解析】易得211|2|22=+-=a d ,解得0a =或4,故选D.考点:点到直线的距离公式,圆的弦长公式.6.B【解析】点(),M a b 在圆22:1O x y +=外,221∴+>a b ,∴圆心O 到直线1ax by +=距离1=<d ,∴直线1ax by +=与圆O 相交.故选B.考点:点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系.7.A【解析】因为弦长最短,所以该直线与直线OP 垂直,又因为2OP k =,所以直线的斜率为12-,由点斜式可求得直线方程为250x y +-=,故选A.考点:直线与圆的位置关系.8.B【解析】将222210x x y y -+-+=变形为()()22111x y -+-=,则圆心为()1,1A ,半径为1.PA ==设两切线夹角为θ,数形结合可得sin2θ=,所以223cos 12sin 1225θθ=-=-⨯=. 考点:直线与圆相切.9.210x y --=【解析】因为(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点,所以圆心坐标为()3,0,31201MN k -=-=-,所以MN 所在直线方程为()121y x -=-,化简得210x y --=. 考点:两直线垂直斜率的关系,点斜式求直线方程.10.19225【解析】由圆22:9C x y +=,得圆心()0,0O ,半径3r =.直线1l 和2l 的交点坐标为()4,3P ,切线长4PA PB ==,PA OA ⊥,3OA OB r ===.设AB 与OP 的交点为M ,则AB OP ⊥,POB PBM ∽,得161255PM BM ==，,所以2425AB BM ==,1162419225525ABP S =⨯⨯=△. 考点:直线和圆的综合应用,三角形的面积.【解析】圆()()()22:10C x a y a a -+-=>的圆心为(),a a ,半径为1,圆心到直线3y x =的距离为5d =,半弦长为5=,所以CPQ ∆的面积555S =⋅==,当254a =时,取得最大值12,所以CPQ ∆的面积的最大值为12,此时2a =.考点:直线与圆的方程的应用,直线与圆的位置关系.12.(1)()()22452x y -+-= (2)23(1)7y x =-或1y x =- 【解析】(1)设圆C 的圆心为(,)a b ,则圆C 的方程为22()()2x a y b -+-=.()()221,4,5,542b a a b a b =+⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-+-=⎩⎪⎩∴圆C 的方程为()()22452x y -+-=. (2)易知过点()1,0A 且与圆C 相切的切线的斜率存在,设切线方程为(1)y k x =-, 即0kx y k --=,∴=解得237k =或 1k =.故切线方程为23(1)7y x =-或1y x =-. 考点:圆的方程,直线与圆相切的位置关系.13.(1)222430x y x y ++-+= (2)03=-+y x 或01=++y x【解析】(1)由2230x y Dx Ey ++++=知圆心C 的坐标为(,)22D E --, 圆C 关于直线10x y +-=对称,∴点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线10x y +-=上, 则2D E +=-,又221224D E +-=,圆心C 在第二象限,∴D ＝2,E ＝－4, ∴所求圆C 的方程为222430x y x y ++-+=. (2)切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,∴可设l 的方程为a y x =+,圆C 的方程可化为()()22122x y ++-=,圆心)2,1(-C 到切线的距离等于半径2, 即2221=-+-a ,,1-=∴a 或3=a ,所求切线方程03=-+y x 或01=++y x .考点:圆的标准方程,直线与圆的位置关系.14.(1)证明见解析 (2)最短弦长为直线l 的方程为250x y --=【解析】(1)证明:直线l 的方程可化为(27)40m x y x y +-++-=, 由270,40,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得3,1,x y =⎧⎨=⎩则l 恒过点(3,1)P ,||PC =∴点P 在圆C 内, ∴直线l 与圆C 恒有两个交点.(2)l 恒过圆C 内一点(3,1)P ,∴当l 过P 与PC 垂直时,弦最短,||5PC r ==,∴最短弦长||AB ==,直线PC ,2l k ∴=, ∴l 的方程为12(3)y x -=-,即250x y --=.考点:直线与圆的位置关系,求直线方程.。

高中数学 4.2.3 直线与圆的方程的应用练习新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题

4.2.3 直线与圆的方程的应用一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半径为3.6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷篷顶距地面的高度不得超过( )A．1.4 m B．3.5 mC．3.6 m D．2.0 m2．若方程1－x2＝kx＋2有唯一解，则实数k的取值X围是( )A．k＝± 3B．k∈(－2，2)C．k<－2或k>2D．k<－2或k>2或k＝± 3（x，y）|x2＋y2≤4分为两部分，使得这两部3．过点P(1，1)的直线，将圆形区域{}分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝04．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A．36 B. 18C. 62D. 5 25．已知圆C：x2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(2，a)，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值X围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－433)∪(433，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)6．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点．若|MN |≥2 3，则k 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 7．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为2 2，则直线l 的倾斜角的取值X 围是( )A ．[15°，45°]B ．[15°，75°]C ．[30°，60°]D ．[0°，90°]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．据气象台预报：在A 城正东方300 km 的海面B 处有一台风中心，正以40 km/h 的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km 以内的地区将受其影响，从现在起经过约________ h ，台风将影响A 城，持续时间约为________ h ．(结果精确到0.1 h)9．已知直线l ：y ＝x ＋m 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则m 的取值X 围是________． 10. 一束光线从点A (－1，1)出发经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1的最短路程是________．11．过点P (3，4)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 的长为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动．(1)求y －1x －2的最大值与最小值； (2)求2x ＋y 的最大值与最小值．13．(13分)为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图L421所示)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．图L42114．(5分)如图L422，某圆拱桥的水面跨度是20 m ，拱高为4 m ．现有一船宽9 m ，在水面以上部分高3 m ，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m ，为此，必须加重船载，降低船身．当船身至少降低________ m 时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m)图L42215．(15分)如图L423，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测X围是半径为25 km 的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：外籍轮船能否将海监船监测到？若能监测到，求出监测时间；若不能，说明理由．图L4234．2.3 直线与圆的方程的应用1．B2．D [解析] y＝1－x2表示圆x2＋y2＝1的上半部分(包括与x轴的两个交点A，B), y＝kx＋2表示过定点(0，2)的直线. 由图可以看出，在两条切线处和过线段AB上的点(不包括A，B两点)的直线满足方程只有一个解，观察选项，易知应选D.3．A [解析] 要使直线将圆形区域分成的两部分的面积之差最大，通过观察图形(图略)，显然只需该直线与直线OP垂直即可．又P(1，1)，所以所求直线的斜率为－1.又该直线过点P(1，1)，所以该直线的方程为x＋y－2＝0.4．C [解析] 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，圆心为(2，2)，半径为3 2.圆心(2，2)到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝5 2>3 2，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r ＝6 2.5．C [解析] 过A ，B 两点的直线方程为y ＝a 4x ＋a2，即ax －4y ＋2a ＝0，若直线AB 与圆心相切，则圆心到直线AB 的距离d ＝|2a |a 2＋16＝1，解得a ＝±4 33.结合题意，易知选项C 正确． 6．A [解析] 由题意知圆心到直线的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1≤1，解得－34≤k ≤0.7．B [解析] 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18，∴圆心为M (2，2)，半径r ＝18＝3 2.∵圆上至少有三个不同的点到直线l 的距离为2 2，∴圆心M 到直线l 的距离d 应小于等于2，即d ＝|2a ＋2b |a 2＋b2≤2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4×a b ＋1≤0，解得－2－3≤ab ≤－2＋3，∴2－3≤－a b≤2＋3，即直线l 的斜率k ∈[2－3，2＋3]，即k ＝tan α∈[2－3，2＋3]，利用排除法知直线l 的倾斜角α的取值X 围是[15°，75°]．8．2.0 6.6 [解析] 以B 为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立直角坐标系，则台风中心的移动的轨迹方程是y ＝－x ，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x －a )2＋(y ＋a )2＝2502.依题意有(－300－a )2＋a 2≤2502，解得－150－25 14≤a ≤－150＋25 14， ∴t 1＝2|a 1|40＝2|－150＋25 14|40≈2.0， Δt ＝2|a 2－a 1|40＝2×50 1440≈6.6. 故从现在起经过约2.0 h ，台风将影响A 城，持续时间约为6.6 h.9．[1，2) [解析] 由曲线C ：y ＝1－x 2，得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，∴曲线C 为在x 轴上方的半圆，如图所示．直线l 是斜率为1的平行直线系，当m ＝1时直线记为l 1；当l 与半圆相切时，直线记为l 2，这时圆心到直线的距离d ＝r ＝1，所以截距m ＝ 2.当l 在l 1与l 2之间时(或与l 1重合时)，直线l 与曲线C 有两个不同的交点．故m ∈[1，2)．10．4 [解析] 作圆关于x 轴的对称圆M ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，圆心为M (2，－3)，则||AM ＝32＋（－4）2＝5，故所求的最短路程是5－1＝4.11.4 65 [解析] 如图所示，|OP |＝32＋42＝5，|OB |＝1，则|PB |＝52－12＝2 6，从而|BC |＝|OB |·|PB ||OP |＝2 65，|AB |＝2|BC |＝4 65. 12．解：(1)设y －1x －2＝k ，即kx －y －2k ＋1＝0，则k 表示点P (x ，y )与点(2，1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，∴y －1x －2的最大值为33，最小值为－33.(2)设2x ＋y ＝m ，则m 表示直线2x ＋y ＝m 在y 轴上的截距．当该直线与圆相切时，m 取得最大值与最小值．由|1－m |5＝1，解得m ＝1±5， ∴2x ＋y 的最大值为1＋5，最小值为1－ 5.13．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 所在的直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8，0)，C (0，8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 为与直线|BC |平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点时，|DE |为最短距离，此时DE 长为|0＋0－8|2－1＝(4 2－1) km.14．1.22 [解析] 设圆拱所在圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.∵圆经过点B (10，0)，C (0，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧100＋b 2＝r 2，（4－b ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10.5，r ＝14.5， ∴圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)．令x ＝4.5，得y ≈3.28.故当水位暴涨1.5 m 后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才能安全通过桥洞．15.解：如图，以O 为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，则A (40，0)，B (0，30)，圆O 的方程为x 2＋y 2＝252，直线AB 的方程为x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝12032＋42＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t ，则t ＝2×252－24228＝0.5(h)．答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5h.。

【人教A版】必修2《4.2.3直线与圆的方程的应用》课后导练含解析

课后导练基础达标1以点（-3，4）为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是（）A.(x-3)2+(y+4)2=16B.(x+3)2+(y-4)2=16C.(x-3)2+(y+4)2=9D.(x+3)2+(y-4)2=9解析：设圆半径为r,由于圆心到切线之距等于圆半径，所以r=4.∴圆方程为（x+3）2+(y-4)2=16.答案：B2k 为任意实数，直线（k+1）x-ky-1=0被圆（x-1）2+(y-1)2=4截得的弦长为（）A.8B.4C.2D.与k 有关的值解析：圆心（1，1）到直线的距离为d=22)1(|1)1(|k k k k ++--+=0,∴直线过圆心，弦长为直径4.答案：B3过原点的直线与圆（x+2）+y 2=1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为( )A.y=3xB.y=3-xC.y=33x D.y=33-x 解析：如图连结圆心A 和切点B ，则AB ⊥OB,∵|OA|=2,|AB|=1,∴∠AOB=30°,∴直线斜率k=33. 答案：C4已知两直线l 1：mx+y-2=0和l 2:（m+2）x-3y+4=0与两坐标轴所围成的四边形有外接圆，则实数m 的值是（）A.1或-3B.-1或3C.2或21-D.21或-2 解析：由于圆内接四边形对角互补，所以l 1⊥l 2，则(-m)·32m +=-1,即m 2+2m-3=0.得m=1或m=-3.答案：A5过点(5，12)且与圆x 2+y 2=169相切的直线的方程是___________-.解析：∵52+122=169,∴点在圆上. ∵该点与圆心连线斜率为512， ∴切线斜率为k=512-， ∴切线方程为y-12=512-(x-5). 答案：5x+12y-169=06以原点为圆心，在直线3x+4y+15=0上截得的弦长为8的圆的方程是___________-. 解析：圆心到直线3x+4y+15=0之距离为d=515=3, ∴圆半径r=2243+=5.∴圆方程为x 2+y 2=25.答案：x 2+y 2=257与直线x+y=4平行且与圆x 2+y 2=8相切的直线方程是____________.解析：设所求直线方程为x+y+d=0,则由222||=d ，得d=4或d=-4（舍）， ∴所求直线方程为x+y+4=0.答案：x+y+4=08若圆x 2+(y-1)2=1上任意点(x,y)都使不等式x+y+m≥0恒成立，则实数m 的取值范围为_________.解析：x+y+m≥0恒成立⇔m≥-(x+y)的最大值，令-x-y=d,即x+y+d=0,由于直线x+y+d=0与圆x 2+(y-1)2=1有公共点， ∴2|10|d ++≤1， ∴-1-2≤d≤2-1.∴d 的最大值为2-1,∴m≥2-1.答案：m≥2-1综合运用9若直线ax+by-3=0与圆x 2+y 2+4x-1=0切于点P （-1，2），则ab 的积为__________. 解析：将圆方程配方得(x+2)2+y 2=5.由条件知点P 在直线上，∴-a+2b-3=0.①又圆心（-2，0）与点P （-1，2）的连线与直线垂直， ∴)()2(102ba -•----=-1，即b=2a.② 由①②联立解得⎩⎨⎧==.2,1b a∴ab=2.答案：210已知四边形ABCD 是平行四边形.求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).证明：设AC 与BD 交点为O,以O 为原点,以与AB 平行的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,b),B(c,b),则C(-a,-b),D(-c,-b),∴|AC|2+|BD|2=(a+a)2+(b+b)2+(c+c)2+(b+b)2=4a 2+4c 2+8b 2=4(a 2+c 2+2b 2).又|AB|2=(a-c)2=a 2+c 2-2ac,|AD|2=(a+c)2+(b+b)2=a 2+c 2+2ac+4b 2,∴|AB|2+|AD|2=2(a 2+c 2+2b 2).故|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).11过点P(6,8)作两条互相垂直的直线PA,PB,分别交x 轴正半轴于A,y 轴正半轴于B.(1)求线段AB 中点轨迹方程.(2)若S △AOB =S △APB ,求PA 与PB 所在直线方程.解析：（1）设线段AB 中点为M （x,y ）（x>0,y>0）,由中点坐标公式得A （2x,0）,B(0,2y), ∵PA ⊥PB,∴k PA ·k PB =-1,即x 268-628y -•=-1. 得3x+4y-25=0.当PA 斜率不存在时，A （6，0），B （0，8）.则AB 中点M （3，4）也在直线3x+4y-25=0上，∴AB 中点轨迹方程为3x+4y-25=0(x>0,y>0).(2)设A （a,0）,B(0,b)(a>0,b>0),则直线AB 方程为b y a x +=1，即bx+ay-ab=0.由S △AOB =S △APB 知点O ，P 到直线AB 距离相等，即2222|86|b a ab a b b a ab +-+=+. ∴ab=4a+3b.①又由PA ⊥PB 得，6868b a -•-=-1得 3a+4b=50.②由①②得a=6,b=8或a=325,b=425, ∴所求直线PA ，PB 方程分别为x=6,y=8或24x-7y-200=0,7x-24y-150=0.。

高中数学第四章4.2.3 直线与圆的方程的应用检测新人教A版必修2

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题4.2.3 直线与圆的方程的应用[A 级基础巩固]一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55 B. 5 C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，所以x －2y ＋4＝0，所以点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2，0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55.故选A.答案：A2．圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条D ．1条解析：因为C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，所以|C 1C 2|＝（2＋2）2＋（5－2）2＝5，又r 1＋r 2＝5，所以|C 1C 2|＝r 1＋r 2，所以两圆外切，故公切线的条数为3. 答案：B3．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ． x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：x 2＋y 2－2x －5＝0化为标准方程是(x －1)2＋y 2＝6，其圆心是(1，0)．两圆的方程相减得公共弦AB 所在直线方程为4x －4y ＋1＝0.又线段AB 的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，则其斜率为－1，故所求直线方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.答案：A4．已知方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是( ) A ．9 B ．14 C ．14－6 5D ．14＋6 5解析：方程化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，所以圆心为(－2，1)，r ＝3，而x 2＋y 2＝(（x －0）2＋（y －0）2)2.所以x 2＋y 2的最大值为(（－2－0）2＋（1－0）2＋3)2＝14＋6 5. 答案：D5．(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)可化为：x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，d ＝a2，所以有a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距＝2，半径和＝3，半径差＝1，所以二者相交．答案：B 二、填空题6．已知圆C 1：(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．解析：C 1(1，2)，r 1＝2，C 2(－2，－2)，r 2＝3， |C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝5，因此两圆外切．答案：外切7．两圆相交于两点A (1，3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k AB＝3－（－1）1－m＝－1，m ＋12－3－12＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，c ＝－2. 所以m ＋c ＝5－2＝3. 答案：38．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是____________________________________．解析：设所求圆方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，将(3，1)代入得λ＝－25.故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.答案：x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0三、解答题9．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0相交于A 、B 两点． (1)求公共弦AB 所在的直线方程；(2)求圆心在直线AB 上，且经过A ，B 两点的圆的方程； (3)求经过A ，B 两点且面积最小的圆的方程．解：(1)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的公共弦所在直线方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y －8－(x 2＋y 2－2x ＋10y －24)＝0，即x －2y ＋4＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以A ，B 两点的坐标分别为 (－4，0)，(0，2)，中点坐标为(－2，1)，则|AB |＝（－4）2＋（－2）2＝25，故所求圆的圆心为(－2，1)，半径为5，所以圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，即x 2＋y 2＋4x －2y ＝0.(3)经过A ，B 两点且面积最小的圆即为以AB 为直径的圆，与(2)的圆是相同的．则所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y ＝0.10．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系．如图，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，且点B (8，0)，C (0，8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．此时DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝42－1(km)． B 级能力提升1．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为( )A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h解析：如图，以A 地为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则以B (40，0)为圆心，30为半径的圆内MN 之间(含端点)为危险区，取MN 的中点E ，连接BE ，BN ，BM ，则BE ⊥MN ，BN ＝BM ，△ABE 为等腰直角三角形，因为AB ＝40，所以BE ＝20 2 km ，在Rt △BEN 中，NE ＝BN 2－BE 2＝10，则|MN |＝20，所以时间为1 h ．故选B.答案：B2．已知圆x 2＋y 2＝1和(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则a ＝________．解析：因为C 1(0，0)，r 1＝1；C 2(－4，a )，r 2＝5，所以若|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝6，则a ＝±25；若|C 1C 2|＝r 2－r 1＝4，则a ＝0. 答案：±25或03．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱桥最高点距水面为9 m ，圆拱桥内水面宽为18 m ，船只在水面以上部分高为6.5 m ，船顶部宽为4 m ，故通行无阻．近日水位暴涨了2.7 m，船只已经不能通过桥洞了，船员通过加重船载，降低船身，试问：船身至少降低多少，才能通过桥洞？(精确到0.01 m)解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(9，－9)，B(2，y1)．设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.因为A(9，－9)，O(0，0)在圆上，所以圆的方程为x2＋(y＋9)2＝81.所以点B纵坐标y1＝77－9，涨水前B离水面距离为77 m，涨水后B离水面距离为77－2.7<6.5，船要通过，船身至少降低6.5＋2.7－77≈0.43(m)．即船身至少降低0.43 m，才能通过桥洞．。

高一数学人教A版必修2课后训练：4.2.3直线与圆的方程的应用 Word版含解析

4.2.3 直线与圆的方程的应用练习1．直线4x －3y －2＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y －11＝0的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都不对2．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4外切，则m 的值为( )A ．2B ．－5C ．2或－5D ．不确定3．圆x 2＋y 2＋2x ＝0和圆x 2＋y 2－4y ＝0的公共弦所在的直线方程为( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y ＝0C ．2x －y ＝0D ．2x ＋y ＝04．已知圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x －y －3＝05．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则|PM |的最小值为( )A B ．2 C ． D ．46．平行于直线m ：2x －y ＋1＝0且与圆C ：x 2＋y 2＝5相切的直线l 的方程是__________．7．若l 是经过点P (－1，0)和圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋3＝0的圆心的直线，则l 在x 轴上的截距是__________．8．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为__________．9．如图所示，已知直线l 的解析式是y ＝43x －4，并且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．一个半径为1.5的圆C ，圆心C 从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动，当圆C 与直线l 相切时，求该圆运动的时间．10．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？参考答案1. 答案：A2. 答案：C3. 答案：B4. 答案：D5. 答案：D6. 答案：2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝07. 答案：－18. 答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝29. 解：设运动时间为t 秒，则t 秒后圆心的坐标为(0,1.5－0.5t )．∵圆C 与直线l ：y ＝43x －4，即4x －3y －12＝0相切，＝1.5，解得t ＝6或16.即该圆运动的时间为6秒或16秒．10. 解：圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，所以圆心(－3,0)，半径r 1＝1；圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1，所以圆心(3,0)，半径r 2＝1.设动圆圆心为(x ，y )，半径为r ，由题意得＝r ＋1r －1，＝2，化简并整理，得8x 2－y 2＝8(x ＞0)．所以，动圆圆心的轨迹方程是8x 2－y 2＝8(x ＞0)．解：如图所示，以台风中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立平面直角坐标系．这样受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程是x 2＋y 2＝900，轮船航线所在的直线l 的方程为4x ＋7y －280＝0，则问题转化为直线l 与圆O 是否相交．圆心O 到直线l 的距离是d=30，则直线l 与圆O 是相离的，所以轮船不改变航线，不会受到台风影响．。

高一数学(人教A版)必修2练习-4-2-3 直线与圆的方程的应用

一、选择题1．一辆卡车宽1.6m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4mB ．3.5mC ．3.6mD ．2.0m[答案] B[解析] 圆半径OA ＝3.6，卡车宽1.6，∴AB ＝0.8，∴弦心距OB ＝ 3.62－0.82≈3.5.2．与圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] x 2＋y 2－4x ＋3＝0化为标准形式为(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，∵(2,0)关于直线x －y －1＝0对称的点为(1,1)， ∴x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0的圆心为(1,1)．∵x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0，即为(x －a 2)2＋(y －1)2＝a 24，圆心为(a2，1)，∴a2＝1，即a ＝2.3．直线2x －y ＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9交于A 、B 两点，则△ABC (C 为圆心)的面积等于( )A ．2 5B ．2 3C ．4 3D ．4 5[答案] A[解析] ∵圆心到直线的距离d ＝|4＋1|5＝5，∴|AB |＝29－d 2＝4，∴S △ABC ＝12×4×5＝2 5..4．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4[答案] C[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．5．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )的位置是( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都不对 [答案] B[解析] 由|0＋0－1|a 2＋b 2<1，∴a 2＋b 2>1.6．(2008年山东高考题)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×10×46＝20 6.7．方程1－x 2＝kx ＋2有唯一解，则实数k 的范围是( ) A ．k ＝±3 B ．k ∈(－2,2) C ．k <－2或k >2D ．k <－2或k >2或k ＝±3 [答案] D[解析] 由题意知，直线y ＝kx ＋2与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0只有一个交点．结合图形易得k <－2或k >2或k ＝±3.8．(拔高题)台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 的正东40 km 外，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h[答案] B[解析] 建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20千米，故处于危险区内的时间为2020＝1(h)．二、填空题9．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则x －y 的最大值和最小值分别是________和________．yx 的最大值和最小值分别是________和________． x 2＋y 2的最大值和最小值分别是______和______． [答案] 2＋6，2－6；1，－1；7＋43，7－4 3[解析] (1)设x －y ＝b 则y ＝x －b 与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0有公共点，即|2－b |12＋12≤3，∴2－6≤b ≤2＋ 6 故x －y 最大值为2＋6，最小值为2－ 6 (2)设yx ＝k ，则y ＝kx 与x 2＋y 2－4x ＋1＝0 有公共点，即|2k |1＋k2≤ 3 ∴3≤k ≤3，故yx 最大值为3，最小值为－ 3 (3)圆心(2,0)到原点距离为2，半径r ＝ 3 故(2－3)2≤x 2＋y 2≤(2＋3)2由此x 2＋y 2最大值为7＋43，最小值为7－4 3.10．如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m ，水面宽12 m ，当水面下降1 m 后，水面宽为________m.[答案]251[解析]如下图所示，以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10.∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，求得x0＝51.所以，水面下降1 m后，水面宽为2x0＝251.11．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于E，F 两点，圆心为点C，则△CEF的面积等于________．[答案]2 5[解析] ∵圆心C (2，－3)到直线的距离为d ＝|2＋6－3|1＋(－2)2＝5，又R ＝3，∴|EF |＝2R 2－d 2＝4.∴S △CEF ＝12|EF |·d ＝2 5.12．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则|PM |的最小值________．[答案] 4[解析] 曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16是圆心为C (5,0)，半径为4的圆，连接CP ，CM ，则在△MPC 中，CM ⊥PM ，则|PM |＝|CP |2－|CM |2＝|CP |2－16，当|PM |取最小值时，|CP |取最小值，又点P 在直线l 1上，则|CP |的最小值是点C 到直线l 1的距离，即|CP |的最小值为d ＝|5＋3|1＋1＝42，则|PM |的最小值为(42)2－16＝4. 三、解答题13．如图所示，已知直线l 的解析式是y ＝43x －4，并且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．一个半径为1.5的圆C ，圆心C 从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动，当圆C 与直线l 相切时，求该圆运动的时间．[解析] 设运动的时间为t s ，则t s 后圆心的坐标为(0,1.5－0.5t )． ∵圆C 与直线l ：y ＝43x －4，即4x －3y －12＝0相切，∴|4×0－3×(1.5－0.5t )－12|32＋42＝1.5.解得t ＝6或16.即该圆运动的时间为6 s 或16 s.14．设有一个半径为3 km 的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东，而乙向北前进，甲出村后不久，改变前进方向．沿着相切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇，设甲、乙两人的速度都一定，其比为3:1，此二人在何处相遇？[解析] 如图，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴建立直角坐标系．设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇．设D ，C 两点的坐标分别为(a,0)，(0，b )，其中a ＞3，b ＞3，则CD 方程为x a ＋yb ＝1.设乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧aba 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v＝bv .解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝154.∴乙向北走3.75 km 时两人相遇．15．某圆拱桥的示意图如下图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[分析] 建系→求点的坐标→求圆的方程→求A 2P 2的长 [解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A ，B ，P 的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A ，B ，P 在此圆上，故有⎩⎪⎨⎪⎧182－18D ＋F ＝0，182＋18D ＋F ＝0，62＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝48，F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0. 将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得 y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24.[点评] 在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建立坐标系，利用坐标法解决．建立适当的直角坐标系应遵循三点：①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．16．如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．[证明]如上图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．。

高一数学人教A版必修2课后训练：4.2.3 直线与圆的方程的应用 Word版含解析

课后训练1．圆220x y +-=关于( )A ．直线y =B ．点(0)中心对称C ．点(－2)中心对称D ．直线y ＝x 轴对称2．一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射到圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短距离为( )A B 1 C ．5 D ．43y +-截圆x 2＋y 2＝4得到的劣弧所对的圆心角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0．设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．B ．C ．D ．5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．33⎛- ⎝⎭B ．,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∪0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,3⎛-∞- ⎝⎭∪,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为__________．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是__________．8．若圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为________．9．如图，Rt △ABC 的斜边长为定值2m ，以斜边的中点O 为圆心作半径为n 的圆，BC 的延长线交圆于P ，Q 两点，求证：|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2为定值．10．已知隧道的截面是半径为4.0 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m 、高为2.5 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？参考答案1答案：A2答案：D3答案：C4答案：B5答案：B6答案：(x＋1)2＋y2＝27答案：(－13,13)8答案：(2，＋∞)9答案：略10答案：解：以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为x2＋y2＝16(y＞0).将x＝2.7代入x2＋y2＝16(y＞0)得，y==，即在离中心线2.7m处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道.将x＝a代入x2＋y2＝16(y＞0)得y=。