相似多边形讲义
相似多边形的性质
24.4 相似多边形的性质学习目标要求1、掌握相似多边形的性质。
2、会利用相似多边形的性质解决问题。
教材内容点拨知识点1：相似多边形边、角的性质：根据相似多边形的定义，可知当两个多边形相似时，它们的对应角相等，对应边对应成比例，其比叫做相似多边形的相似比。
知识点2：相似多边形的周长、面积的性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
由于从多边形的一个顶点出发，可引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线将多边形分成了（n－2）个三角形，所以相似多边形具有与相似三角形相类似的性质，诸如相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
典型例题点拨例1、已知图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示。
点拨：根据条件：“图中的两个四边形相似”，利用相似多边形的定义求解。
解答：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，且∠A＝∠E、∠B＝∠F，∴。
例2、如图，在 ABCD中，延长AB到E，使，延长CD到F，使交BC于G，交AD于H，则的周长与的周长的比为_________。
点拨：在 ABCD中，AB∥CD，所以△CBE与△CFG相似，要求的周长与的周长的比，即是求这两个三角形的相似比。
解答：1：4。
例3、如图，将的高AD三等分，这样把三角形分成三部分，设三部分的面积为，则。
点拨：利用相似三角形的面积比等于相似比的性质，先求出△ADE、△AFG、△ABC这三个三角形面积之间的关系，进而求出之间的关系。
解答：∵平行线段DEFGBC将三角形的高三等分，∴，∴。
例4、如图，在梯形ABCD中，是AB上一点，，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若，求。
点拨：根据相似多边形的定义，对应边成比例，可得AD、EF、BC之间的关系式，解得EF，从而得解。
解答：∵EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，∴，即，解得EF＝6，∴。
考点考题点拨1、中考导航中考中相似多边形的考察基本是通过选择题和填空题的形式出现，但近来也出现了不少考察相似多边形的综合题，往往与平行四边形和梯形相结合。
《相似多边形》课件
工程测量
工程师使用相似多 边形来确定难以到 达的物体或地形的 尺寸。
解题技巧
绘制图形
首先绘制出相似多边形，标明对应边和角边形的未知 量。
确定比例尺
使用对应边的长度比例计算相似多边形的比 例尺。
检验结果
检查计算结果是否与已知信息和比例尺相 符。
总结
1
相似多边形概念
相似多边形是指形状相同、大小不同的多边形。
2
相似多边形特征
相似多边形的对应角度相等，对应边成比例。
3
相似多边形的用途
相似多边形可用于建筑设计、地图制作、影视特效等。
相似多边形
什么是相似多边形？学习相似多边形概念和基本特征，探索相似多边形的性 质和应用。
基本特征
1 定义
2 比例尺
相似多边形是指形状相同、大小不同的多 边形。它们的对应角度相等，对应边成比 例。
相似多边形的边长比例称为比例尺。
3 相似判定
4 尺形相似
两个多边形相似，必须满足一个条件：对 应角度相等。
比例判定
如果两个多边形的对应边成比 例，则它们相似。
旋转判定
如果一个多边形围绕另一个多 边形的一个定点旋转，可以重 合，则它们相似。
应用场景
建筑物
设计师使用相似多 边形来确定建筑物 的比例和尺寸。
地图
地图使用相似多边 形来表示现实世界 中的物体和地形。
影视特效
影视特效使用相似 多边形来制作逼真 的计算机图形。
两个多边形相似，不一定尺寸相同。但如 果它们的尺寸相同，则称为尺形相似。
性质
✔️ 对应角度相等 ✔️ 对应边成比例 ✔️ 相似图形面积比等于边长比的平方 ✔️ 多边形的比例尺相等，则这些多边形相似
相似多边形基本知识
相似多边形基本知识相似多边形是数学中一个重要的概念，它在几何学和实际应用中都具有广泛的应用。
相似多边形具有相同的形状，但是大小可以不同。
在本文中，我们将介绍相似多边形的定义、性质以及如何确定相似多边形之间的关系。
一、相似多边形的定义相似多边形是具有相同形状但大小不同的多边形。
即使边长和内角都不相等，只要多边形的形状相同，就可以称它们为相似多边形。
相似多边形通过对应边的比值来确定彼此之间的关系。
例如，若多边形A和多边形B的边比为a:b，那么我们可以表示为A∼B，表示多边形A与多边形B相似。
二、相似多边形的特性相似多边形具有以下一些特性：1. 边的比例关系：相似多边形的对应边的比值相等，即A∼B，则对应边AB的比值等于a:b。
2. 角的对应关系：相似多边形的内角相等，即A∼B，则对应角的度数相等。
3. 面积的比例关系：相似多边形的面积比等于边长比的平方，即A∼B，则多边形A的面积与多边形B的面积的比等于(a/b)²。
三、判断相似多边形的条件在实际问题中，我们需要根据已知条件判断两个多边形是否相似。
常见的判断相似多边形的条件包括：1. 边比例相等：两个多边形的对应边的比值相等。
2. 角度相等：两个多边形的对应角度相等。
3. 边角关系：如果两个多边形的对应边比例相等，并且对应角度相等，那么它们是相似的。
四、相似多边形的应用相似多边形在实际应用中有着广泛的用途。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，相似多边形可以用来计算建筑物的比例关系，从而确定合适的尺寸和比例。
2. 地图制作：在地图制作中，相似多边形可以用来表达地图上不同地区的比例关系，帮助人们更好地理解地理信息。
3. 电影特效：在电影特效中，相似多边形可以用来生成虚拟世界的模型，通过调整大小和比例来创造逼真的效果。
4. 工程测量：在工程测量中，相似多边形可以用来测量难以直接测量的物体的尺寸，通过相似性关系来推算出实际尺寸。
相似多边形讲义
平行线分线段成比例及相似多边形讲义【知识点拨】1、相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比． 2、相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．3、平行线分线段成比例定理： （1）如图,设三条平行线123l l l ∥∥,则AB DEBC EF=.此定理称为平行线分线段成比例定理,它的逆定理仍然成立.（2）平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC ==（3） 平行的判定定理：如上图，如果有BCDE AC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
l 3l 2l 1FE D CB AABCDEE DC BA【知识点及配套练习】考点一：相似多边形1、一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为 。
2、两个相似六边形的周长分别是l 1，l 2，面积分别是S 1，S 2，若 l 1：l 2=2︰3，S 2-S 1 =30，则S 1= ______，S 2=_____.3.如图中的两个梯形相似，求出未知边x 、y 、z 的长度和α、β的大小．考点二：平行线分线段成比例定理1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA2、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ， 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
3.如图，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______.QPFED CBA MEDCBA【课堂练习】1、如图1－4－11，有三个矩形，其中是相似形的是（ ） A ．甲和乙 B ．甲和丙C ．乙和丙D ．甲、乙和丙2、如图，求作线段x ，使abcx 2=，下面各种作法中正确的是（ ）3、已知如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，且31=BE AE ，求FCAF的值。
相似多边形 ppt课件
难
题
型
突
破
思路点拨
4.3 相似多边形
重
难
题
型
突
破
解题通法
解决此类问题，一般是根据对应边成比例，列出比例
式求解，注意结果要符合实际.
4.3 相似多边形
易 ■ 判定相似多边形时忽略条件
错
例 下列各组图形中一定是相似多边形的是 （
易
混
A． 两个直角三角形
分
析
B． 两个等边三角形
C． 两个菱形
D． 两个矩形
A． 甲和乙
B． 甲和丙
C． 乙和丙
D． 甲、乙和丙
4.3 相似多边形
［解题思路］
考
点
矩形已经满足各角分别相等，判断各边是否成比例即可
清
单
≠
，∴ 甲与乙不相似；∵ =
，∴ 甲与丙
解 .∵
.
.
.
读
.
≠
［答案］
B
相似；∵
.
.
，∴ 乙与丙不相似.
4.3 相似多边形
考 ■考点二 相似多边形的性质
读
∴BC=12.
［答案］
48 12
4.3 相似多边形
重 ■题型 相似多边形性质与判定的应用
难
例 如图，一个矩形广场的长为 90 m，宽为 60 m，广
题
型 场内有两横、两纵四条小路，如果两条横向小路的宽均为
突
破 1.2 m，那么每条纵向小路的宽为多少时小路内外边缘所围
成的两个矩形相似？
4.3 相似多边形
）
4.3 相似多边形
［解题思路］
《相似多边形》 讲义
《相似多边形》讲义一、相似多边形的定义在数学的奇妙世界里，相似多边形是一个重要的概念。
那什么是相似多边形呢？如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就称这两个多边形相似。
比如说，一个三角形的三个角分别是 60°、80°、40°，边长分别是 3、4、5；另一个三角形的三个角也是 60°、80°、40°，边长分别是6、8、10。
这两个三角形的对应角相等，对应边的比都是1∶2，所以它们就是相似三角形。
需要注意的是，相似多边形的对应边一定是成比例的，而且对应角也一定是相等的。
二、相似多边形的性质相似多边形具有一些非常有趣和重要的性质：1、相似多边形的对应角相等这是相似多边形的基本性质之一。
无论多边形的形状和大小如何变化，只要它们相似，对应角的度数就始终相等。
2、相似多边形的对应边成比例比如说，有两个相似的矩形，一个的长是 6，宽是 4；另一个的长是 9，宽是 6。
那么它们对应边的比就是 6∶9 ＝ 4∶6 ＝ 2∶3，始终保持着固定的比例关系。
3、相似多边形周长的比等于相似比相似比是指相似多边形对应边的比值。
假设两个相似多边形的相似比为 k，那么它们的周长比也为 k。
例如，一个正方形的边长为 4，周长为 16；另一个与之相似的正方形边长为 8，周长为 32，它们的相似比为 1∶2，周长比也是 1∶2。
4、相似多边形面积的比等于相似比的平方还是以正方形为例，如果一个正方形的边长为 a，面积为 a²；另一个相似正方形的边长为 ka，面积就是（ka)²＝ k²a²，面积比就为 1∶k²。
三、相似多边形的判定那如何判断两个多边形是否相似呢？首先，我们要检查它们的对应角是否相等。
如果对应角不相等，那么这两个多边形肯定不相似。
然后，再看它们的对应边是否成比例。
如果对应角相等，对应边也成比例，那么这两个多边形就是相似的。
九年级数学 相似多边形 知识点精讲 教案 课件
九年级数学相似多边形知识点精讲知识点1：相似多边形的概念相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。
知识点2：相似多边形的性质和判定相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
相似多边形的判定：各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似。
考点复习常见考法（1）判断某两个图形是不是相似；（2）判断一组数据是不是成比例线段；（3）已知图上距离和比例尺大小求实际距离；（4）利用比例的性质求值。
误区提醒（1）在判断四条线段是否成比例问题时忽略单位统一；（2）在用图上距离求实际距离时忽略了单位换算问题。
【典型例题】（2010江苏淮安）在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为m．【解析】4.5×200=9000cm=9m初中数学相似多边形的性质知识点（二）相似三角形一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。
二、相似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
三、相似三角形：1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2.性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；②要注意两个图形元素的对应。
3. 判定定理：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似多边形的性质
相似多边形的性质相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
在几何学中，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
本文将探讨相似多边形的性质，并展示一些相关的数学应用和实际问题。
1. 相似多边形的定义相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
两个多边形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
由此定义可知，如果两个多边形相似，它们的边长比例是相等的。
2. 相似多边形的比例关系对于相似多边形，存在着一种特殊的比例关系。
设两个相似多边形的对应边长分别为a和b，对应的面积分别为A和B。
根据相似多边形的性质，可以得出以下结论：- 边长比例：a:b = A:B- 面积比例：A:B = (a^2):(b^2)这些比例关系对于解决与相似多边形有关的数学问题非常重要。
3. 相似多边形的角度关系对于相似多边形，其对应角度是相等的。
这意味着，如果我们知道一个相似多边形的对应角度，就可以确定其他相似多边形的对应角度。
这对于计算多边形的角度和解决三角学问题非常有用。
4. 相似多边形的周长和面积由于相似多边形的边长比例相等，所以它们的周长比例也相等。
假设两个相似多边形的边长比例为m:n，那么它们的周长比例也为m:n。
同样地，由于相似多边形的面积比例为(a^2):(b^2)，所以它们的面积比例也为(a^2):(b^2)。
5. 相似三角形的应用相似多边形的性质在实际问题中有着广泛的应用。
其中最常见的应用是解决相似三角形问题。
通过利用相似三角形的角度和边长关系，我们可以确定无法直接测量的距离和高度。
例如，在地理测量中，我们可以利用相似三角形的性质来测算高山的高度或者海洋的深度。
6. 相似多边形与比例的关系相似多边形的性质与比例密切相关。
相似多边形利用比例关系来描述形状的相似性，从而在数学和实际问题中提供了有用的工具和方法。
比例的概念在解决与相似多边形有关的计算问题中起着关键作用。
综上所述，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
相似多边形的性质课件
三边对应成比例判定定理
总结词
通过两个多边形的三边对应成比例，可以判定两个多 边形相似。
详细描述
三边对应成比例判定定理是相似多边形判定定理的一 种，它基于两个多边形的三边对应成比例，从而判定 两个多边形相似。这个定理在实际应用中非常有用， 因为它只需要比较三个边的长度就可以判断两个多边 形是否相似，相对于其他判定定理更为简便。然而， 需要注意的是，这个定理只适用于三边对应成比例的 情况，对于更多边的多边形，需要使用其他判定定理 进行判断。
总结词
通过比较相似多边形的面积和相似比， 证明面积比等于相似比的平方。
详细描述
首先，计算两个相似多边形的面积。 然后，计算它们的相似比。最后，比 较面积和相似比的关系，如果面积比 等于相似比的平方，则证明了面积比 等于相似比的平方。
THANKS
感谢观看
多边形相似。
02
相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等
总结词
相似多边形的对应角是相等的，这是相似多边形的基本性质之一。
详细描述
根据相似多边形的定义，如果两个多边形相似，则它们的对应角必定相等。这 意味着无论多边形的大小如何变化，只要它们是相似的，它们的对应角就会保 持不变。
相似多边形的对应边成比例
角-角-边判定定理
总结词
通过两个多边形的对应角相等，且对应边成比例，可以判定两个多边形相似。
详细描述
角-角-边且对应边成比例，从而判定 两个多边形相似。在几何学中，这个定理是非常重要的，因为它提供了一种简单而有效的方法来判断两个多边形 是否相似。
相似多边形的性质
相似多边形的面积之 比等于对应边长的平 方之比。
相似多边形的对应角 相等，对应边成比例。
九年级相似多边形知识点
九年级相似多边形知识点相似多边形是初中数学中重要的概念之一，它在几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍九年级学生所需了解的相似多边形知识点，包括定义、性质和解题方法。
一、相似多边形的定义相似多边形是指两个多边形的对应角相等且对应边成比例。
具体而言，如果两个多边形的所有内角相等，并且各对应边的长度的比值相等，那么这两个多边形就是相似多边形。
二、相似多边形的性质1. 相似多边形的对应边成比例。
对于相似多边形中的两条对应边AB和A'B'，它们的长度比值等于两个多边形的相似比例：AB/A'B' = BC/B'C' = CD/D'C' = ...2. 相似多边形的对应角相等。
相似多边形中的对应角度量相等，即∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，...3. 相似多边形的对应边平行。
如果两个多边形相似，那么它们的对应边必定是平行的。
三、相似多边形的解题方法1. 求相似比例将两个相似多边形的对应边长度进行比较，可以求得相似比例。
例如，已知两个三角形ABC和DEF相似，可以通过求两个相似三角形的任意一对对应边的长度比值来确定相似比例。
2. 根据相似比例求其他边长已知两个相似多边形的相似比例后，可以通过已知边长求其他边长。
例如，已知两个相似三角形的相似比例为1:2，且已知其中一个三角形的某一边长为3 cm，可以通过比例关系计算出另一个三角形的对应边长为6 cm。
3. 求相似多边形的面积比相似多边形的面积比等于对应边长度的平方比。
例如，已知两个相似三角形的相似比例为1:2，可以得到它们的面积比为1:4。
4. 判定相似多边形在解题过程中，有时需要判定给定的多边形是否相似。
可以根据相似多边形的性质来判断，比如对应角相等、对应边成比例和对应边平行等。
5. 应用相似多边形解决实际问题相似多边形的概念在实际问题中有着广泛的应用。
相似多边形ppt课件五
多边形的内角和是指其所有内角的度数之和。对于任意一个n边形，其内角和为(n-2)×180°。
外角和的概念
多边形的外角和是指其所有外角的度数之和。对于任意一个n边形，其外角和为360°。
相似多边形内角和与外角和的性质
相似多边形的内角和与外角和都与其对应边的长度无关，只与其边的数量有关。因此，无 论相似多边形的边长如何变化，其内角和与外角和都不会发生变化。
举例：两个三角形如果两个角相等， 并且它们所夹的边成比例，则这两个 三角形相似。
边边角相似判定定理
两个对应边成比例，且夹的对应角相等，则两多边形相似。
举例：两个三角形如果两边成比例，并且它们夹的角相等， 则这两个三角形相似。
边边边相似判定定理
所有对应边的比相等，则两多边形相似。 举例：两个矩形如果所有边的比相等，则这两个矩形相似。
练习题二：求两个多边形的面积比
题目
已知两个多边形，一个是正方形， 边长为a，另一个是矩形，长为a， 宽为b。求两个多边形的面积比。
解答
正方形的面积为 $a^2$，矩形的 面积为 $ab$。因此，两个多边形 的面积比为 $frac{a^2}{ab} = frac{a}{b}$。
练习题三：判断两个多边形是否相似
04
相似多边形的扩展知识
相似多边形的面积比
01
面积比的概念
相似多边形的面积比是它们的对应边的平方之比，即如果两个多边形相
似，那么它们的面积之比等于它们的对应边长之比的平方。
02
面积比的性质
相似多边形的面积比具有传递性，即如果两个多边形与第三个多边形相
似，那么它们的面积比等于它们与第三个多边形的面积比的乘积。
相似多边形的周长比具有传递性，即如果两个多边形与第 三个多边形相似，那么它们的周长比等于它们与第三个多 边形的周长比的乘积。
3.3相似多边形(第1课时)
3.3相似多边形（第1课时）知识点一：相似多边形的有关概念各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。
△ABC 与△A B C '''相似，记作△ABC ∽△A B C '''。
【例1】下列语句中，正确的有 。
①两个菱形一定是相似图形；②两个矩形一定是相似图形；③两个正方形一定是相似图形；④两个等边三角形一定是相似图形。
【例2】四边形ABCD 的四边长分别为2、3、4、5，与其相似的四边形1111A B C D 的最大边长为15，那么四边形1111A B C D 的最小边长为多少？知识点二：相似多边形的性质及判定相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
【例3】已知四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，∠A ＝∠A '＝90°，∠B ＝∠B '＝100°，∠C ＝70°，且20AB =，10A B ''=，10BC =，12C D ''=，16AD =，试求C '∠，D ∠，D '∠，CD ，B C ''，A D ''的值。
，各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形是相似多边形。
【例4】如右图，有一矩形草地ABCD ，长BC 为20 m,宽AB 为10 m ，它的外围有1 m 等宽的小路。
问里外两个矩形相似吗？A B C D '''' （填“一定”或“不一定”3、如右图，矩形ABCD 的边长AB ＝矩形ABCD 与矩形A B C D ''''相似吗？并说明理由。
草地A D B C A 'B 'C 'D '。
相似多边形-完整版PPT课件
研究相似多边形的主要特征．
图中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的，观 察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边
呢？
A1
A
B
C B1
C1
两个相似正六边形，是否也能得到相同的结论?
相似多边形
对比图中的△A1B1C1和△ABC，由于正三角形的每 个角都等于60 ° ，可得
∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1
由△ABC和△A1B1C1是正三角形可得：
AB＝BC＝AC， A1B1＝B1C1＝A1C1
这说明：正三角形都是相似的，它们的对应角 相等，对应边的比相等．
图中的两个相似的正六边形，也有类似的结论．
相似多边形
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比 （即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如 （即baad=bcdc）我们就说这四条是成比例线段，简称 比例线段．
相似的正多边形对应角相等， 对应边的比相等．
这个结论对于一般的相似多边形是否成立呢？
相似多边形
1. 图是两个相似的三角形，它们的对应角有什么们的对应角、对 应边是否有同样的结论？
(1)对应角相等 对应成比例
(2) 具有同样的结论
为验证你的猜想，可 以用刻度尺和量角器 量一量．
相似多边形课件
知识点 1 相似多边形的定义
问题
图中的两个大小不同的四边形
ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠A=
∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D
=∠D1，AA1BB1
BC B1C1
CD
边形ABCD与四边
形A1B1C1D1相似.
定义
如果两个多边形的角分别相等，边成比例， 那么这两个多边形叫做相似多边形．
3 如图，在三个矩形中，相似的是( A ) A．甲和丙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
知识点 2 相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的对应边的比相等， 对应角相等．
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的 度数．
例2 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大 小和EF的长度x.
总结
判断两个多边形是否相似，既要看它们的角是否 分别相等，也要看边是否成比例，两者缺一不可．例 如：两个矩形不一定相似，两个菱形也不一定相似， 两个正方形一定相似．
1 如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
解：相似. 由已知条件可知它们的角分别相等， 边成比例.
2 下列说法中正确的是( D ) A．对应角相等的多边形一定是相似多边形 B．对应边的比相等的多边形是相似多边形 C．边数相同的多边形是相似多边形 D．对应角相等、对应边成比例的两个边数相同 的多边形是相似多边形
判定相似多边形的条件： (1)所有的角分别相等； (2)所有的边成比例．
以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相 似多边形必备的条件，缺一不可．
例1 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD,
GF⊥AB，垂足分别为点E，F.
求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
第23课相似多边形(学生版)九年级数学上册讲义(浙教版)
第23课相似多边形目标导航学习目标1.1.了解相似多边形的概念和性质.2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.知识精讲知识点01 相似多边形的概念1.一般地,对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比也叫做相似比.知识点02 相似多边形的性质1.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.2.相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方.能力拓展考点01 相似多边形的概念【典例1】如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（）A．B．C．D．【即学即练1】下列结论不正确的是（）A．所有的矩形都相似B．所有的正方形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似考点02 相似多边形的性质【典例2】两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积．【即学即练2】如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．分层提分题组A 基础过关练1.一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）A．6 B．8 C．12 D．102.如图，下列两个四边形若相似，则下列结论不正确的是（）A．∠α＝100°B．x ＝C．y ＝D．x＝73. 已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（）A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm4.某块面积为4000m2的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是（）A．4cm B．5cm C．10cm D．40cm5.两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：166.如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（）A．B．C．3﹣D．﹣17.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝∠D＝100°，∠G＝65°，则∠F＝．8已知一个四边形的各边长分别是3cm、4cm、5cm、8cm，另一个与它相似的四边形的最长边的长是12cm，那么另一个四边形的周长是cm．9.已知两个相似的菱形的相似比为2：3，面积之差为5cm2，则这两个菱形的面积分别是．10.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且∠A＝62°，∠B＝75°，∠D′＝140°，AD＝9，A′B′＝11，A′D′＝6，B′C′＝8．（1）请直接写出：∠C＝度；（2）求边AB和BC的长．题组B 能力提升练11.下列说法正确的是（）A．所有菱形都相似B．所有矩形都相似C．所有正方形都相似D．所有平行四边形都相似12. 如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b13.如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（）A．B．C．2 D．14.如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝215将邻边为3和5的矩形按如图的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形（填写“不相似”或“相似”）．16.一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．题组C 培优拔尖练17. ．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）A．B．C．D．18. 如图，梯形ABCD中，E、F分别为AB、DC两腰上的点，且EF∥BC．若AE＝2，AB＝5，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则BC与AD的比值为（）A．B．C．D．19.如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于．20.如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB＝．21.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n∁n C n﹣1的面积为．22.如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011＝．23.矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？（2）若使AD＝+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．。
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平行线分线段成比例及相似多边形讲义【知识点拨】例1、下列命题正确的是（）A、相似多边形是全等多边形B、不全等的多边形不是相似多边形C、全等多边形是相似多边形D、不相似的多边形可能是全等多边形（变式）1、下列说法中正确的是（）A、两个三角形不全等，那么它们也不相似B、两个三角形不相似，那么它们也不全等C、两个相似三角形一定不全等D、两个全等三角形一定不相似例2、观察下面的图形，如图形状相同的有。
知识点一：图形的相似形状相同的图形叫做相似图形。
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；（2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；（3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
2、视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A、平移B、旋转C、对称D、相似知识点二、相似多边形1、相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．2、相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．考点：相似多边形1、一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为。
2、两个相似六边形的周长分别是l1，l2，面积分别是S1，S2，若 l1：l2=2︰3，S 2-S1=30，则S1= ______，S2=_____.3.如图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和α、β的大小．4、△ABC 的三边长分别为2、10、2，△DEF 的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△DEF ，那么△DEF 的第三边长为（ ）A 、22B 、2C 、2D 、225、一个多边形的边长分别是4 cm 、5 cm 、6 cm 、4 cm 、5cm ，和它相似的一个多边形最长边为8 cm ，那么这个多边形的周长是（ ）A 、12 cmB 、18 cmC 、32 cmD 、48 cm6、Rt △ABC 的两条直角边分别为3 cm 、4 cm ，与它相似的Rt △A'B'C'的斜边为20 cm ，那么Rt △A'B'C'的周长为（ ）A 、48 cmB 、28 cmC 、12 cmD 、10 cm7、如果一个矩形对折后和原来的矩形相似，则此矩形的长边与短边之比为（ ）A 、2：1B 、4：11C 、2：1D 、1.5：18、两个相似三角形的对应高的比为1：2，其中小三角形的最长边为10 cm ，那么另一个三角形的最长边为________。
9、如图所示，已知矩形ABCD ，AB=6 cm ，BC=8 cm ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且AE=DF=4 cm ，两动点M 、N 分别从C 、F 两点同时出发沿CB 、FE 均以2 cm/s 的速度分别向B 、E 运动。
猜测当M 、N 运动多长时间时，矩形CFNM 与矩形AEFD 相似？10、如图，△ABC与△DEF 是相似图形，且AB=1.7cm,BC=2.9cm,AC=3.7cm,DE=3.4cm, 050A ∠=,070B ∠= 求 DF,EF,∠C, ∠D, ∠E, ∠F 。
11、已知四边形ABCD ∽四边形1111D C B A ，且11B A AB =23，如果两个四边形的面积差为252cm ,求这两个四边形的面积.12、已知两个相似四边形,其中一个四边形的四边长分别为2,3,4,5,另一个四边形对应的边长分别为,,,,d c b a 求d c b a dc b a -+++++的值.知识点三：判断两个多边形相似 判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
1、下列各组图形：① 两个平行四边形；② 两个圆；③ 两个矩形；④ 有一个内角都是80°的两个等腰三角形；⑤ 两个正五边形；⑥ 有一个内角是100°的两个等腰三角形。
其中一定是相似形的是 （填序号）。
2、下列多边形中，一定相似的是（ ） A 、两个矩形 B 、两个菱形C 、两个正方形D 、两个平行四边形3、下列说法正确的是（ ） A 、两个等腰三角形相似 B 、所有的等腰梯形相似C 、两个等腰直角三角形相似D 、所有的正多边形相似4、下列说法正确的是（ ） A 、两个等腰三角形相似 B 、所有的等腰梯形相似C 、两个等腰直角三角形相似D 、所有的正多边形相似5、下列说法中，错误的是（ ） A 、所有的等边三角形都相似 B 、和同一图形相似的两图形也相似C 、所有的等腰直角三角形都相似D 、所有的矩形都相似知识点四、平行线分线段成比例 1、平行线分线段成比例定理： （1）如图,设三条平行线123l l l ∥∥,则AB DEBC EF.此定理称为平行线分线段成比例定理,它的逆定理仍然成立.l 3l 2l 1FE D CB A（2）平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==（3） 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
考点：平行线分线段成比例定理1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
2、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ， 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
EDCBAQPFED CBA ABCDEEDC BA3.如图，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______.4、如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥BC 交AC 于E 点，若AD ︰DB ＝2︰3，AC ＝15，求DE 的长5、已知：如图，在ABC ∆中，12=AB ，6=AE ，4=EC ，且AD AE DBEC=（1）求AD 的长；（2）求证：ACEC ABDB =。
MEDCBA【课堂练习】1、如图1－4－11，有三个矩形，其中是相似形的是（ ） A ．甲和乙 B ．甲和丙C ．乙和丙D ．甲、乙和丙2、如图，求作线段x ，使abcx 2=，下面各种作法中正确的是（ ）3、已知如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，且31=BE AE ，求FCAF的值。
4、如图，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值。
【知识综合练习】 一、选择题：1、如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列 不能成立的比例式一定是（ ） A ．EC AE DB AD = B ．AE ACAD AB =C ．DB EC AB AC = D ．BCDEDB AD =2、如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE 31=，AD ＝12，那么CF 的长为（ ）A ．4B ．6C ．3D ．123如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．164、如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ） A. 6 B. 5C. 4D. 35、.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是2∶3，那么△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比是 ( )A.4∶9B.9∶4C.2∶3D.3∶26、.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的 ( )A.9倍B.3倍C.81倍D.18倍7、ABCD 中，AE ∶ED =1∶2，S △AEF =6 cm 2，则S △CBF 等于( )A.12 cm 2B.24 cm 2C.54 cm 2D.15 cm 28、如图4—8—2，把一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点连线EF 对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ） A.2∶1B.3∶1C.2∶1D.4∶1二、填空题1、如图，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝3，CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________；2、如图，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝_____ ，EG ＝________；3、如图△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________，4、.△ABC∽△A′B′C′，相似比是3∶4，△ABC的周长是27 cm，则△A′B′C′的周长为________.5、.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm2，那么大多边形的面积为________.6、若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm和8 cm，它们的周长之和为35 cm，则较小的三角形的周长为________1AB，延长CD到F，使DF=DC，EF7、如图，在ABCD中，延长AB到E，使BE=2交BC于G交AD于H，则△BEG与△CFG的面积之比是________.8、如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB∶AC等于________.三、解答题1、如图，已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝15，CD＝30，点E、F分别为AD，BC 上一点，且EF∥AB，若梯形AEFB∽梯形EDCF，试求线段EF的长。
3、如图，△ABC中，AF∶FD＝1∶5，BD＝DC，求：AE∶EC．4、△ABC∽△A′B′C′，12ABA B='',边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64 cm2，求：（1）A′B′边上的中线C′D′的长；（2）△A′B′C′的周长（3）△ABC的面积。