北京市海淀区第一次数学模拟考试答案.doc

参考答案

一、选择题

１.Ｃ ２.Ｄ ３.Ａ ４.(理)A (文)B 5.C 6.B 7.C 8.C 9.B 10.C 11.D 12.D 二、填空题

13.12；14.{ｘ｜－２＜ｘ＜１}；１５.（０，２）； １６.

242、122、12

3

中选一即可 三、解答题 17.解：（Ⅰ）设z =x +yi (x ,y ∈Ｒ)

依题意，z ２＝(x +yi )２＝ｘ２－ｙ２

＋２ｘｙｉ

∴⎪⎩⎪⎨⎧==+2

2222xy y x 3分 故（ｘ－ｙ）２

＝０

∴ｘ＝ｙ代入②，得２ｘ２

＝２

∴ｘ＝±１，∴⎩

⎨

⎧==⎩⎨⎧==-1-1

11y x y x 或 i z i z --=+=∴11或 5分 ａｒｇｚ＝.45arg 4π

π=z 或

∴ｚ＝)4

5sin 45(cos 2)4sin 4(cos 2π

πππi z i +=+或 7分

(Ⅱ)当z =1+i 时，z ２

＝２ｉ，ｚ－ｚ２

＝１－ｉ

∴Ａ（１，１）、Ｂ（０，２）、Ｃ（１，－１） ∴｜ＡＣ｜＝２ Ｓ△ＡＢＣ＝

2

1

×１×２＝１ 10分 当z =-1-i 时，ｚ２

＝２i ，ｚ－ｚ２

＝－１－３ｉ Ａ（－１，－１）、Ｂ（０，２）、Ｃ（－１，－３） 则Ｓ△ＡＢＣ＝１

综上△ABC 的面积为1 12分 18.解：(Ⅰ)∵△ABC 是正三角形，AF 是BC 边的中线

∴ＡＦ⊥ＢＣ

又D 、E 分别是AB 、AC 的中点.

∴DE BC 2

1 ∴ＡＦ⊥ＤＥ，ＡＦ∩ＤＥ＝Ｇ 2分 ∴Ａ′Ｇ⊥ＤＥ，ＧＦ⊥ＤＥ

∴ＤＥ⊥平面Ａ′ＦＧ 4

① ②

＝

∥

分

又ＤＥ⊂平面BCED

∴平面Ａ′ＧＦ⊥平面BCED 6分 (Ⅱ)∵Ａ′Ｇ⊥ＤＥ，ＧＦ⊥ＤＥ

∴∠Ａ′ＧＦ是二面角Ａ′—ＤＥ—Ｂ的平面角 7分 ∵平面Ａ′ＧＦ∩平面BCED =AF 作Ａ′Ｈ⊥ＡＧ于H

∴Ａ′Ｈ⊥平面BCED 9分 假设Ａ′Ｅ⊥ＢＤ，连EH 并延长交AD 于Q

∴ＥＱ⊥ＡＤ 10分 ∵ＡＧ⊥ＤＥ

∴H 是正三角形ADE 的垂心，也是中心. ∵ＡＤ＝ＤＥ＝ＡＥ＝

2

a ∴Ａ′Ｇ＝ＡＧ＝

a 4

3

，a AG HG 12331=

= 在Ｒｔ△Ａ′ＨG 中， 3

1

cos ='='∠G A HG GH A ∵∠Ａ′ＧＦ＝π－∠Ａ′ＧＨ ∴ｃｏｓ∠Ａ′ＧＨ＝－

3

1

∴∠Ａ′ＧＦ＝ａｒｃｃｏｓ（－

31

）时 11分 即当∠Ａ′ＧＦ＝ａｒｃｃｏｓ（－3

1

）时，Ａ′Ｅ⊥ＢＤ． 12分

19.解：(Ⅰ)∵当ｎ≥２时，３Ｓｎ－４，ａｎ，２－

2

31

-n S 成等差数列 ∴２ａｎ＝３Ｓｎ－４＋２－

2

3

Ｓｎ－１

∴ａｎ＝３Ｓｎ－４（ｎ≥２） 2分 ∴ａ２＝３（ａ１＋ａ２）－４，∵ａ１＝１，∴ａ２＝2

1

类似地ａ３＝３（ａ１＋ａ2＋ａ３）－４ ∴ａ3＝－4

1 ａ４＝３（ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４）－４ ∴ａ４＝

8

1

4分 （Ⅱ）∵当n ≥2时，ａｎ＝３Ｓｎ－４，即３Ｓｎ＝ａｎ＋４

∴⎩⎨⎧+=+=++434311

n n n n a S a S

②－①，得３ａｎ＋１＝ａｎ＋１－ａｎ

①

②

∴

2

1

1-=+n n a a 为常数 6分 ∴ａ２，ａ３，ａ４，…，ａｎ，…成等比数列.

其中ａ２＝

21，ｑ＝－2

1

7分 故ｎ≥２，ａｎ＝ａ２·ｑｎ－２

=2)2

1(21--n

1)2

1

(---=n

∴ａｎ＝⎪⎩

⎪

⎨⎧---1)21(1n

(Ⅲ)∵Ｓｎ＝ａ１＋ａ2＋…＋ａｎ

＝１＋（ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ） ∴)(lim 1lim 32n n n n a a a S ++++=∞

→∞

→Λ

3

4

311)

2

1(1211=+

=--+

= 12分 20.解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数y =f (t )的周期

T =12 1分 振幅A =3 2分 b =10 3分 ∴ｙ=3ｓｉｎ

106

+t π 4分

(Ⅱ)由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5(米)

∴３ｓｉｎ

6t

π＋１０≥１１．５ 6分 ∴ｓｉｎ6t π≥2

1

解得，2k π＋6π≤t 6

π

≤２ｋπ+65π (k ∈Z) 8 分

12k +1≤ｔ≤１２ｋ＋５ （ｋ∈Ｚ）

在同一天内，取k =0或1

∴１≤ｔ≤５或１３≤ｔ≤１７ 10分 ∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时 12分 21.解：（Ⅰ）∵y =f (x )是以5为周期的周期函数

∴f (4)=f (4－5)=f (－1) 1分 又y =f (x ),(－1≤ｘ≤１)是奇函数 ∴f (1)=－f (－1)=－f (4)

∴f (1)+f (4)=0 3分

(n =1) (n ≥2) 9分