07高数B(2)A卷参考解答与评分标准

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2007数二真题答案详细解析

2007数二真题答案详细解析年数学二的真题是高考数学题目中一道相对较难的题目。

本文将对这道题目进行详细解析，分析其解题思路和解题方法，帮助读者更好地理解和掌握数学常识。

本题属于数学二试卷中的选择题，题目如下：已知数列{a_n}的通项公式为：a_n=n(n-1)^2，(n=1,2,3,...)。

则有命题：S_n=a_1+a_2+...+a_n=(n^2-1)^2。

要判断该命题的真假，我们需要先对数列{a_n}进行分析。

观察数列的通项公式a_n=n(n-1)^2，我们可以发现n(n-1)^2是一个关于n 的三次多项式。

三次多项式的一般形式可以表示为：P(n) = an^3 + bn^2 + cn + d其中a、b、c、d是常数。

在这个问题中，我们需要验证命题S_n=(n^2-1)^2是否成立，也就是判断数列的前n项和等于(n^2-1)^2。

为了方便计算，我们将等式两边展开：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = (1(1-1)^2) + (2(2-1)^2) + ... + (n(n-1)^2)= (1*0^2) + (2*1^2) + ... + (n(n-1)^2)= 0 + 2 + 8 + ... + n(n-1)^2现在我们需要找到这个数列的通项公式，这样才能求出前n项的和。

观察数列0, 2, 8, ... ，我们可以发现这个数列的通项与原数列{n(n-1)^2}相差一个常数。

因此，我们推测该数列的通项公式为：b_n = n(n-1)^2 + k其中k是常数。

为了求解该数列的通项公式，我们可以先求解数列0, 2, 8, ... 的通项公式，再进行适当的变换。

观察数列0, 2, 8, ... ，我们可以发现这个数列中的每一项均等于相应的n(n-1)^2的2倍。

因此，该数列的通项公式为：b_n = 2n(n-1)^2现在我们已经得到了数列{b_n}的通项公式，我们可以将其代入前面的求和公式中，得到：S_n = b_1 + b_2 + ... + b_n = 2(1(1-1)^2) + 2(2(2-1)^2) + ... + 2(n(n-1)^2)= 2(1*0^2) + 2(2*1^2) + ... + 2(n(n-1)^2)= 2(0 + 2 + 8 + ... + n(n-1)^2)= 2(0^3 + 1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3)现在我们需要求解数列0^3 + 1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3的和。

资料：07级上(AB)期末试卷参考答案及评分标准

07-08-2高数（A B）期末试卷A参考答案及评分标准08.1.15模板资料资源共享模板资料资源共享一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．()2112lim e e xxx x→-=；2．设1sinxy x=，则1sin 21111d sin cos ln d xy xx x x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭； 3．已知(3)2f '=，则0(3)(3)lim1sin 2h f h f h→--=-；4．对数螺线e θρ=在2πθ=对应的点处的切线方程是2e x y π+=；5．设5()22y y x x ππ=<<是由方程2200e d cos d 0y x t t t t -=⎰⎰确定的隐函数，则()y x 的单调增加区间是3522ππ⎝⎭，单调减少区间是3,22ππ⎝⎭； 6．曲线2e x y x -=的拐点坐标是()21,e-，渐进线方程是0y =；7．22223lim 31239n nn n n n n n π→∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭； 8．)231cos2cos sin d 42x x x x ππ-+=⎰9．二阶常系数线性非齐次微分方程2sin y y x ''+=的特解形式为*cos sin y Ax x Bx x =+.二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分） 10. 2202d x x x x -⎰解222202d (11)1(1)d x x x x x x x -=-+--⎰⎰222220(1)1(1)d 2(1)1(1)d 1(1)d x x x x x x x x =---+---+--⎰⎰⎰12021d 02t t t π=-++⎰ （1,sin ,d cos d x t t t θθθ-===）模板资料资源共享222200152sin cos d (1cos 4)d 2428πππππθθθθθ=+=-+=⎰⎰11．(arctan 1d x x ⎰解 ((1arctan 1d arctan 1222xx x x x x x x=+-++⎰，令2,d 2d x t x t t ==，2121d ln(22)22222x t x t x x x C t t x x ==++++++⎰，原式(()arctan 1ln 22x x x x x C =-++12。

2007年专升本高等数学(二)A参考答案及评分标准

《高等数学（二）》试卷（A ）参考答案及评分标准1.求曲12+=x xe y 在点)1,0(的切线方程和法线方程2. 解：x x xe e x y 22)(+='，（1分）2)0(='y （1分）切线方程：12+=x y （2分）法线方程：121+-=x y （2分） 3. 12+=x e y x, 求)(x y '. 解：)1ln(2121ln 2+-=x x y （3分） )121(12122+-+='x xx e y x （3分）4. 求微分方程x e y y y 252=+'+''的通解. 解：1）052=+'+''y y y特征方程为 0522=++r r ，解为 i r 21±-= （2分）通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x+=- （2分）2）设特解为 xAe y =*，代入求得 41=A （1分）故原方程通解为 x xe x C x C e y 41)2sin 2cos (21++=- （1分）5. 设函数()y y x =由方程2022=-⎰-y t dt e xy 确定，求微分dy .解：2220y y xyy y e -''+-= （4分） dx xyey dy y 222-=- （2分）6. 求极限)cot 11(lim 20x x x x -→.解： )cot 11(lim 20x xx x -→xx xx x x s i n c o s s i n l i m 20-=→ （2分）30cos sin limx xx x x -=→ （2分）313sin lim 20==→x x x x （2分） 7. 确定级数∑∞=13!sin n n nn 的收敛性.解： !!sin 33n n n n n ≤，（1分）由比值判别法判断，级数∑∞=13!n n n 收敛（3分）由比较判别法判断原级数绝对收敛（2分） 8.计算定积分20x ⎰.解：设t x sin 2=，2cos dx tdt = （1分）2sin 2222204sin 2cos x tx t tdt π==⋅⎰⎰（1分）2204s i n 2t d t π=⎰（2分）202(1cos4)t dt ππ=-=⎰ （2分）9. 确定幂级数111n nn x na∞-=∑收敛半径及收敛域，其中a 为正常数. 解： a a a nn n 1l i m1==+∞→λ （2分）收敛半径为 a R = （1分）当a x =时，级数发散（1分）当a x -=时，级数收敛（1分）故收敛域为 ),[a a - （1分）10. 求⎰++-dx x x x x )1(322. 解：1123)1(3222++-=++-x x x x x x x （3分） C x x x dx x x x x +-+-=++-⎰arctan )1ln(ln 3)1(3222 （3分）11. 求解微分方程x e x y y sin cos -=+'. 解： 1) 0cos =+'x y yx d xydycos -= （1分） C x y ~s i n ln +-= （1分） x Ce y sin -= （1分） 2) x e x u y sin )(-= （1分） x x xe x u e x u y sin sin cos )()(---'='x x e e x u x y y s i ns i n )(c o s --='=+', 解得，()u x x C =+ （1分）故 x e C x y sin )(-+= （1分）四、综合题：（本题共4个小题，总分30分）1. (本题7分) 将函数x y arctan =展开为麦克劳林级数.解：∑∞=-=+='022)1(11n nn x x y （3分） ∑∞=++-==01212)1(a r c t a n n n n xn x y （3分） ]1,1[-∈x （1分） 2. (本题7分)计算n →∞+++解：2214121222222+≤++++++≤+n n nn n n nn n （3分）由limlim1n n →→== （3分）可得1n →∞+++= （1分）3. (本题8分)设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=0,0,cos )()(x a e x xxx x f xϕ，其中()x ϕ具有二阶导数，且1)0(=ϕ，0)0(='ϕ，1)0(=''ϕ，(1) 确定a 的值，使)(x f 在0=x 处连续； (2) 求)(x f '.解：（1）0lim ()1x f x a -→=+ （1分）()11cos lim ()lim x x x xf x xϕ++→→-+-=0()(0)1cos lim (0)00x x x x x ϕϕϕ+→--⎡⎤'=+=+=⎢⎥⎣⎦，（1分）于是，当1-=a 时，)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f （1分）（2）当0x >时，2(()sin )(()cos )'()x x x x x f x xϕϕ'+--=，（1 分）当0x <时， '()x f x e = （1分）当 0x =时，已知()x ϕ具有二阶导数，且1)0(=ϕ，0)0(='ϕ，1)0(=''ϕ，由2()cos (0)()cos (0)lim lim x x x xf x xx f xxϕϕ+++→→---'==0()sin ()(0)sin (0)1lim lim 22222x x x xx x xx x ϕϕϕϕ++→→'''''+-⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦=1 （1分）11lim )0(0=-='-→-xe f x x （1分）因为(0)(0)1f f -+''==，所以'(0)1f =.由此得2(()sin )(()cos ),0()1,0,0x x x x x x x x f x x e x ϕϕ'+--⎧>⎪⎪'==⎨⎪<⎪⎩（1分）4.(本题8分)设)(x f 在),1[+∞具有连续导数，且满足方程⎰=+-x dt t f t x f x 1221)()1()(，求)(x f .解： 0)()1()()(222=+-'+x f x x f x x xf （1分）记 )(x f y =，易见 1)1(=y （1分） y x x y x )12(22+-='dx xx x y dy 2212+-= （2分） C xx x y ~1ln 2ln +--= （1分） xx xx x e xC Cey 121ln 2---== （1分）由1)1(=y 可知，1=C （1分）综合可得 xx e xy 121-= （1分）。

高数A(二)A卷参考答案

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学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）
考试班级
05级A类
考试标准用时
120
试卷代号
A
参考答案及评分标准：
一、填空题：（每小题4分，共24分）
1、 2、 3、 4、 5、 6、3
二、选择题：（每小题4分，共16分）
1、D 2、C 3、B 4、C
三、计算重积分：（每小题7分，共14分）
1、 3分
7分
2、 3分
7分
四、计算曲线积分（每小题7分，共14分）
1、 4分
7分
2、，
2分
= 4分
7分
五、（本题共有两小题，第1题5分，第2题7分，共12分）
1、 3分
发散5分
2、 2分
命题人
的收敛区域为 3分
5分
7分
六、求解微分方程（每小题7分，共14分）
1、先求对应的齐次方程：，变量分离可得：
两边积分可得：是对应的齐次方程的通解3分
再利用常数变易法，设为原方程的解，代入原方程可得：
为原方程的通解6分
又即为原方程满足初始条件的解7分
2、特征方程为得所对应的齐次方程的通解为 2分
命题
时间
2006年6月16日
教研室
审核人
审核
时间
年月日
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学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评分标准

2007年全国大学生数学建模竞赛B题评分标准一、总体评价1.摘要的评价摘要应说明：解决了什么问题、建立了什么模型、采用了什么方法、得到了什么结论。

2.论文的评判论文的评判着重看文章结构、所建立的数学模型是否完整，所做的假设、结论是否合理。

二等奖及以上论文要求建模具有实用性、解决问题的创造性和建模的完整性，优秀论文评判以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表达的清晰度为主要标准。

二、评分参考标准2007全国大学生数学建模竞赛B题的评分参考标准如下（以百分制打分）：1.分值分布1)摘要 15分2)问题的分析 5分3)基本假设 5分4)模型的建立 25分(1)不考虑地铁线路时的公交线路选择的建模10分(2)考虑地铁线路时的公交线路选择的建模10分(3)已知站点间步行时间条件下的公交线路选择的建模5分5)模型的求解（计算方法） 25分(1)不考虑地铁线路时的公交线路选择的建模10分(2)考虑地铁线路时的公交线路选择的建模10分(3)已知站点间步行时间条件下的公交线路选择的建模5分6)结果与结论分析5分7)优缺点分析5分8)其它（参考文献、引用的规范性）及论文总体评价 15分2.评分要点1)摘要 15分(1)主要考察摘要基本要素（目的、方法、结果和结论）和关键词是否齐全，用词是否准确、规范。

(2)目的、方法、结果、结论、关键词每个要素各占2分，摘要总体评价5分。

2)问题的分析 5分3)基本假设 5分4)模型的建立 25分(1)不考虑地铁线路时的公交线路选择的建模 10分(2)考虑地铁线路时的公交线路选择的建模 10分(3)已知站点间步行时间条件下的公交线路选择的建模 5分5)模型的求解（计算方法） 25分(1)不考虑地铁线路时的公交线路选择的建模 10分(2)考虑地铁线路时的公交线路选择的建模 10分(3)已知站点间步行时间条件下的公交线路选择的建模 5分6)结果与结论分析5分7)优缺点分析5分15分8)其它及论文总体评价。

高数AB半期考试参考答案及评分细则

参考答案及评分细则西南科技大学2007—2008学年第2学期《高等数学A[2]、B[2] 》半期考试试卷说明：本试卷共三大题，其中第一、二大题为学习高等数学A[2]和B[2]的同学的必作题，第三大题为学习高等数学A[2]的同学的选作题。

一、填空题与选择题（每小题4分，共40分）1、 6 。

2、（0，-2，4）。

3、022=+'-''y y y 。

4、)(cos c x x y +=。

5、充分。

6、4π。

7、C 。

8、A 。

9、D 。

10、B 。

二、解答下列各题（共60分）1、（8分）解：原式=)11)((22222200lim +++→→y x y x y x y x ————— 4分=0。

————— 4分2、（8分）证明：)()(u F xy u F y x z '-+=∂∂ ————— 3分 )(u F x yz '+=∂∂ ————— 3分则有 xy z y z y x z x+=∂∂+∂∂ ————— 2分3、（8分）解：令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=0)22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x y x x 得驻点 ,1,21⎪⎭⎫ ⎝⎛- —————2分而 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++=x yy x xy x xx e y x f y e y x f y y x e y x f 22222),()22(2),()2422(2),( 则在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处，,04,2,0,0222>=-==>=e B AC e c B e A————— 4分则有极小值 .2)1,(21e f =- ————— 2分 4、（8分）解： 2214f x f x yz '+'=∂∂ ————— 4分 2z x y∂∂∂2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'= ————— 4分 5、（10分）证明：函数z =(0,0)处有 ,0)0,0()0,0(==y x f f则 y x y f x f z y x ∆∆=∆+∆-∆])0,0()0,0([ ————— 4分而 22y x yx ∆+∆∆∆ 当 ),(y x ∆∆ 沿y=x 趋于（0，0）时极限不为0，————— 4分则函数在（0，0）不可微分。

2007年高考数学全国II文科详细解析

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷文科数学（必修+选修Ⅰ）注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题1．cos330=（）A ．12B ．12-C ．2D ．2-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()UA B =（）A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（）A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2) C ．lnD ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（） A ．(32)-， B ．(2)+∞，C ．(3)(2)-∞-+∞，， D ．(2)(3)-∞-+∞，，6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（） A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A ．6B ．4C ．2D ．28．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（） A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．13B ．3C ．12D ．212．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（）AB ．CD ．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．AEBCFSD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x -=相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；（2）若z=a+2b,求z 的取值范围。

高数(二)A评分标准

常州大学高等数学（二）A 卷参考解答及评分标准一．填空题()4416''⨯=1．312111-=-=-z y x2. ⎰⎰2112),(x dy y x f dx 3.e 24. 2014π二．单选题()4416''⨯=1. A,2. C,3. D4. B三．解答题()8468'=⨯', 1. x z∂∂=21f f y '+'，zy ∂∂=21f f x '-'………(4分)=dz （21f f y '+'）+dx （21f f x '-'）dy ……..(5分)y x z∂∂∂2=222112111)(f f x f f x y f ''-''+''-''+'=2212111))(f f y x f xy f ''-''-+''+'…..(8分)2. 令t x =-1，得⎰∞+-21x x dx =⎰∞++1212t dt………..(3分)=+∞1arctan 2t （6分）=2π…..(8分)3、取法向量：310201-=k j i n ρρρρ （3分）=k j i ρρρ++-32 （5分）因为点P （1，5，2）∏∈ （6分）故所求平面方程为：0)2()5(3)1(2=-+-+--z y x ，即01532=+--z y x（8分）4. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='03303322x y z y x z y x ，得驻点(0,0),(1,1)………(2分) 因y z z x z yy xy xx 6,3,6=''-=''=''………(3分)在(0,0)处，290AC B -=-<，所以(0,0)0f =非极值……...(5分)在(1,1)处，2270AC B -=>，且06>=A ……...(7分)故函数在点(1,1)处取得极小值(1,1)1f =………(8分)5.投影区域4:22≤+y x D （2分）体积⎰⎰--=D dxdy y x V )4(22 （5分） =⎰⎰-πρρρθ20220)4(d d （7分） =π8 （8分）6．解：所求面积为⎰--+=422)214(dy y y A ………(4分) ＝4232)6142(--+y y y ………..(6分)=18 ………..(8分)四、（10分）解：设所求曲线方程为()y y x =，则过点(,)P x y 的切线方程为：()Y y y X x '-=-………(2分)令0X =，得切线在OY 轴上的截距为：Y y xy '=-………(3分)由题意得：y xy '-= (4)) 0x y y x >'−−−→=Q (5)) du u x u dx+=分）dx x =- (7)) n(n ln l u l x C=-+即y C =………(8分)(1)0,1y C =∴=Q ………(9分) 故所求曲线方程为：21(1)(0)2y x x =->………(10分)五、（10分）因为⎰⎰⎰--+=a a a a x x f dx x f x x f d )()(d )(00 （2分）对积分⎰-0d d )(a x x x f 作变换,t x -=……….(2分) 得⎰⎰⎰=-=-000)()(d )(a a a dx x f dt t f x x f ………(4分) 故[]⎰⎰⎰⎰--+=-+=a a a a a x x f x f dx x f dx x f x x f d )()()()(d )(000………(6分)⎰--+44d 1cos ππx e x x ＝⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-40d 1cos 1cos πx e x e x x x ……..(7分) =⎰=4022cos πxdx …………(8分)。

2007年全国考研数学二真题解析.doc

2007年考研数学二真题解析一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当0x +→（B ）A. 1-B.lnC. 1D.1-（2）函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在区间[],ππ-上的第一类间断点是x =(A)A. 0B. 1C. 2π-D. 2π （3）如图。

连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =-- (4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = B. 若0()()lim x f x f x x→+-存在, (0)0f =C. 若0()lim x f x x →存在, 则(0)0f '=D. 0()()lim x f x f x x→--存在, (0)0f =（5）曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为（D ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3(6)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且"()0f x >, 令n u = ()1,2.......,,f n n = 则下列结论正确的是 (D)A.若12u u >，则{}n u 必收敛B. 若12u u >，则{}n u 必发散C. 若12u u <，则{}n u 必收敛D. 若12u u <，则{}n u 必发散（7）二元函数(,)f x y 在点（0，0）处可微的一个充分条件是（B ） A.()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=⎡⎤⎣⎦B. ()()0,00,0lim0x f x f x→-=，且()()00,0,0lim 0y f y f y →-= C.()(,0,0,00,0lim0x y f x f →-=D. ()0lim ',0'(0,0)0,x x x f x f →-=⎡⎤⎣⎦且()0lim ',0'(0,0)0,y y y f x f →⎡⎤-=⎣⎦ （8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ）.A10arcsin (,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 10arcsin (,)y dy f x y dy ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++ （C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（10）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ，（B ）(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(11)30arctan sin limx x x x →-=16(12)曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=1） (13)设函数123y x =+，则()0ny ＝23n -⋅(14)二阶常系数非齐次线性微分方程2''4'32x y y y e -+=的通解y ＝_32122x x x C e C e e +- (15)设(,)f u v 是二元可微函数，(,)y x z f x y=,则1222(,)(,)z z y y x x y x xy f f x y x x y y x y∂∂''-=-+∂∂ (16)设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为_1______三、解答题：17－24小题，共86分。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅱ.文)含答案

页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。

——培根2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)文科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题 1．cos330=（）A ．12 B ．12- CD．2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B =ð（）A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}， 3．函数sin y x =的一个单调增区间是（）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C．lnD ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞，， D ．(2)(3)-∞-+∞，， 6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）ABC．2D8．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（） A ．e 2x+ B ．e 2x- C ．2e x - D ．2e x +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种 11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．13BC ．12D12．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（）AB．CD．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ． 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．18．（本小题满分12分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

《高等数学》A卷参考答案及评分标准

四、应用题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）
的收敛域为（ 1,1 ..........................4 分） 21、解：设水箱长、宽、高分别为 x, y , z ..............................1 分因为 xyz =8 ,从而高 z 于是水箱表面的面积为
因此，所给曲线积分与积分路径无关..............................4 分为方便计算取有向线段 OA 与 AB 为积分路径。在 OA 上， y 0 ， x 自 0 到
；在 AB 上， x = ， y 自 0 到 1 ； 2 2
(2 xy
L
3
y 2 cos x) d x (1 2 y sin x 3 x 2 y 2 ) d y
=
OA AB
(2 xy 3 y 2 cos x) dx (1 2 y sin x 3 x 2 y 2 ) dy
1

2 0
2 (2 x 0 0 cos x)dx (1 2 y 3 y 2) dy 0 4
............6 分
( y y2
中国矿业大学银川学院
期末考试试卷评分标准及参考答案《高等数学》（A 卷）
（本卷适用专业：2015 级所有工科专业）题号分值一 30 分二 20 分三 34 分四 16 分总分 100 分
而点 ( ， 2， 1) 所对应的参数为 t 1 所以曲线在 t 1 处切线的切向量为 ( , 1,2) ..........................4 分
2 3 1 y ) | 0 ............................................7 分 4

2007年高考.全国Ⅱ卷.理科数学试题及解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷理科数学(必修+选修II)注意事项:1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共4页,总分150分考试时间120分钟. 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。

3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。

5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。

6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C knP k (1－P)n －k一．选择题 1. sin2100 =(A)23 (B) 23-(C)21(D) 21-2.函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是 (A)⎪⎭⎫⎝⎛-4,4ππ (B) ⎪⎭⎫⎝⎛43,4ππ(C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ2,233.设复数z 满足i z2i1=+，则z = (A) -2+i(B) -2-i(C) 2-i(D) 2+i4.以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln25.在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，=CB CA 31λ+,则λ= (A)32 (B)31 (C)31-(D) 32-球的表面积公式S=42R π 其中R 表示球的半径，球的体积公式 V=334Rπ，其中R 表示球的半径6.不等式:04x 1x 2>--的解集为 (A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞)(C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞)(D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)7.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于(A)46(B)410 (C)22 (D) 238．已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为 (A)3 (B) 2 (C) 1 (D) 219．把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )=(A) e x -3+2 (B) e x +3-2 (C) e x -2+3 (D) e x +2-310.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种11．设F 1，F 2分别是双曲线1by a x 2222=-的左、右焦点。

2007年专升本高等数学(二)A参考答案及评分标准

(B) 当 p < 1 时，条件收敛 (D) 当 p > 1 时，绝对收敛
(A）当 p < 1 时，发散 (C) 当 p > 1 时，条件收敛
5. 若 y = x sin x ， y = sin x 分别为非齐次线性方程 y + py + qy = f ( x ) 的解，则
y = ( x + 1) sin x 为下列方程中（ B ）的解：
9. 求
x2 - x + 3 dx . x( x 2 + 1)
（3 分）
x 2 - x + 3 3 2x + 1 解： = x( x 2 + 1) x x 2 + 1 x2 - x + 3 dx = 3 ln x - ln( x 2 + 1) - arctan x + C 2 x( x + 1)
10. 求解微分方程 y + y cos x = e 解： 1) y + y cos x = 0
(1) 确定 a 的值，使 f ( x ) 在 x = 0 处连续； (2) 求 f ( x ) . 解：（1） lim- f ( x ) = 1 + a
x 0
（1 分）
x
lim+ f ( x ) = lim+
0 x 0
j ( x ) - 1 + 1 - cos x x
= lim+
x 0
j ( x ) - j (0) 1 - cos x + = j (0) + 0 = 0 ， x x
(A） y + py + qy = 0 (C) y + py + qy = f ( x ) （B） y + py + qy = 2 f ( x ) (D) y + py + qy = xf ( x )

高数BA卷参考解答与评分标准

三．计算题（每小题10分，共5小题50分）
2. 解：设：，则：（1分）
，，，（4分）
从而，，，（4分）
所以，得：（1分）
3.解：设：，则：（2分）
（8分）
4.解：已知积分区域
在极坐标系下，区域（2分）
（3分）
（5分）
5.解：由：两边对求导数得：
，（2分）
上式两边再对求导数应的特征方程为：，特征根为：，（2分）
通解为：，（为任意常数）
即：，（为任意常数）（2分）
代入初始条件后得：（2分）
四、某地区计划投资162百万元对A、B两类厂进行技术改造，完成一个A厂改造需6百
万元，完成一个B厂改造需4百万元，若改造个A厂和个B厂，可使该地区年
总利润增加值为：，问如何使用资金进行改造能使
年总利润增加值最大。（10分）
解：本题为条件极值问题，设：
（3分）
令：，
（3分）
解得：，（3分）
依题意，存在最大值，又驻点惟一，故：为最大值点，
即完成18个A厂和13个B厂的改造能使年总利润增加值最大。（1分）

S240大学高数2007-2008高等数学B第二学期试卷A答案

北京林业大学20 07 --20 08 学年第二学期考试试卷(A)一、填空：（每小题3分，共30分）1.(,)limx y →= 22. 设e yxz =，则=dz 21()y xe ydx xdy x-+.3 设曲线的参数方程是24,arctan ,x t y t z t ===，则曲线在点(1,,1)4π处的切线方程是1141242y x z π---==. 4. 若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为(1,2,2),(1,2,2)---.5. 设22442),(y xy x y x y x f ---+=，已知点(1,1)P 是函数的驻点，在横线处填上),(y x f 在点P 处取得的是极大值，还是极小值，还是不取极值_______极小值6. 若D 是以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(1)Dx y dxdy --=⎰⎰16. 7．设一阶非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个线性无关的解12,y y ，若12y y αβ+也是该方程的解，则应有αβ+= 1 .8．微分方程x y sin ='''的通解是2123cos y x C x C x C =+++.9．30x e ydx dy +=的通解为3ln xe y C =-+. 10. 若级数1(1)nn u∞=-∑收敛，则lim n n u →∞= 1 .二、选择题：（每小题2分，共10分） 1. 下列级数中收敛的是（ C ）A. ∑∞=+1884n nnn B. ∑∞=-1884n n n n C.∑∞=+1824n n n n D.∑∞=⋅1842n nnn 2. 方程0222=-+z y x 表示的二次曲面是( C ).A. 球面B. 旋转抛物面C. 圆锥面D. 圆柱面 3. 二次积分22(,)x dx f x y dy ⎰⎰写成另一种次序的积分是( A ).A.420(,)dy f x y dx ⎰B. 40(,)dy f x y dx ⎰ C.242(,)xdy f x y dx ⎰⎰D. 402(,)dy f x y dx ⎰4. 已知二元函数(,)z f x y =在点),(y x 处可微分，则在点),(y x 处不一定成立的是( D ). A. 该函数在点),(y x 处连续 B. 该函数在点),(y x 处的极限存在 C.该函数在点),(y x 处的两个偏导数yzx z ∂∂∂∂,存在 D. 该函数在点),(y x 处的偏导数连续 5. 设平面区域{(,)|,},D x y a x a x y a =-≤≤≤≤1{(,)|0,}D x y x a x y a =≤≤≤≤，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ A ）A. 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ B. 12D xydxdy ⎰⎰ C. 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ D. 0三、（6分）若 222e x y z z ++=确定(,)z z x y =，求zx∂∂ 和 z y ∂∂.解因22222e x y z z z x z x x ++∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂⎝⎭，22222e x y z z z y z y y ++⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭（3分）故2222222e 12e x y z x y zz x x z ++++∂=∂-，2222222e 12e x y zx y z z y y z ++++∂=∂- （6分）四、（6分）设)]([y x u ψφ+=,其中ψφ,二阶可导,证明222u u u ux x y y x∂∂∂∂⋅=⋅∂∂∂∂∂. 证明：因为,() u u y x yφφψ∂∂'''==∂∂ （3分）222(), u u y x y y x x φφφψφ''∂∂∂∂'''''====∂∂∂∂∂（5分）故 222()u u u u y x x y y x φφψ∂∂∂∂''''⋅==⋅∂∂∂∂∂ （6分）五、（6分）求d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由直线x y x y ===,2,1所围区域.解： ⎩⎨⎧≤≤≤≤211:x xy D ，（ 3分）故()2222231111111119d d d d d d d 228x x x Dxy xy y x x x y y x y x x x x σ⎡⎤===⋅=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6分）六、（6分）问1(1)1cos n n a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑是否收敛？若收敛，是否绝对收敛？解：收敛，且绝对收敛（3分）事实上，因222(1)(1cos )1cos 2sin 22na a a a n n n n--=-=≤，（5分）而2212n a n∞=∑收敛，故由比较判别法知，1(1)1cos n n a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑收敛.从而1(1)1cos n n a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑收敛，而且绝对收敛. （6分）七、（7分）求幂级数nn x nn ∑∞=+121的收敛域与和函数. 解：因为：)1,1(- 1, 1||lim 1收敛域为时级数发散，∴±==+∞→x a a nn n （5分） 211001111111x x n n n n n n n n n n n x nx x x nx dx x dx n n ∞∞∞∞∞--====='+⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑⎰⎰＝＝ 201ln(1),(11)11(1)x x x x dx x x x x x '⎛⎫=+=---<< ⎪---⎝⎭⎰ （7分）八、（6分）将1()65f x x=-展开为)1(-x 的幂级数. 解：11()6515(1)f x x x ==---（2分） 0046[5(1)]5(1)()55 nn n n n x x x ∞∞===-=-≤≤∑∑ （6分）九、（6分）设Ω是由曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的闭区域，求三重积分22()I x y z dv Ω=++⎰⎰⎰. 解：曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面方程为222x y z +=，故Ω在xoy 面上的投影为22:8xy D x y +≤，（2分）所以22422102256()()3rI r z rdrd dz d r z rdz πθθπΩ=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰ （6分）十、（6分）设2343xy y y x e-'''++=（1）求出该方程所对应的齐次方程的通解（2）写出该非齐次方程的特解*y （仅设出*y ，不必求出*y ）解：（1）特征方程为2430r r ++= 特征根为121,3r r =-=-故求出所对应的齐次方程的通解为312xx y C eC e --=+ （4分）（2）2343xy y y x e -'''++=的特解为*23()xy x ax bx c e-=++ （6分）十一、（7分）设函数()f x 在[0,)+∞上连续，且满足方程2222() t x y t f t ef dxdy π+≤=+⎰⎰试求()f t .解： 2200()() ttf t e d f d ππθρρρ=+⎰⎰ 即 2()2() ttf t e f d ππρρρ=+⎰ 两边同时对t 求导得 2()22() t f t te tf t πππ'=+ （3分）即2()2()2 t f t tf t te πππ'-=故 22222()[2]()tdttdt t t f t e C te e dt e C t ππππππ-⎰⎰=+=+⎰ （7分）十二、（4分）利用求条件极值的方法，证明对任何正数,,a b c 成立不等式：3527()5a b c abc ++≤ 证明：设a b c D ++=，3(,,)()L a b c abc a b c D λ=+++- （2分）由 3320030a b c L bc L ac L abc a b c Dλλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩ 解得 3,55D Da b c ===此点即为极大值点，故35527()27()55D a b c abc ++≤= （4分）。