高中数学《导数及其应用》 新人教A版选修2-2
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》本章综述
第一章导数及其应用本章综述本章内容共分为四大节.第一大节是导数.第二大节是导数的运算,主要介绍了基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则.第三大节是导数的应用,主要是利用导数判断函数的单调性,求函数的极值和最值问题,利用函数解实际问题和物理问题.第四大节是定积分和微积分的基本定理,主要介绍利用定积分求曲线围成的平面图形的面积.导数是微积分的核心概念之一,它是研究函数的单调性,函数的极值与最大,最小值,曲线的凹凸性,函数图形的描绘,曲线的曲率,方程的近似解等问题的最一般,最有效的工具;定积分是微积分的另一个核心概念,它在几何学上的应用有:计算平面图形的面积,体积以及平面曲线的弧长等;在物理学上它可计算变力沿直线所做的功,水压力,引力等一些重要的物理量.实际上,微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各种科学领域中都有广泛而重要的作用,它是大学数学课程中极其重要又非常基础的一部分内容.导数来源于实践,又应用于实践.如现实生活中的瞬时速度,膨胀率,增长率问题等等,都充分反映了导数的思想.利用导数还可以解决现实生活中的最优化问题,由于其应用广泛,所以其地位在中学数学中极其重要.因此,导数及其应用已成为近几年高考的热点.导数概念的核心是变化率,学习导数应从物理和几何两方面去理解导数的意义;必须熟记常数与基本初等函数的导数;正确地运用和、差、积、商及复合函数的求导法则,就可以求出一切初等函数的导数;学会利用导数解决速度、加速度、函数的单调性、极值、最值等问题的解法,并会利用其解决实际问题.学习导数时要借助于实例,沿着从平均速度、瞬时速度到函数瞬时变化率的线索,认识和理解导数的概念;通过例题,体会利用导数的定义求导数的方法;借助于图形去认识和理解导数的几何意义,以及用导数的几何意义去解决问题;结合图形去认识和理解导数在研究函数性质中的应用;借助图形了解定积分的思想方法等.学习本章时要注意导数与导函数的区别,以及圆的切线、圆锥曲线与函数切线的区别.同时,还应明确平均变化率与瞬时变化率的区别与联系.。
【人教A版数学选修2-2】导数及其应用1-7-2
功．
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第一章 1.7 1.7.2 第14页
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第一章 1.7 1.7.2 第15页
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类型一
变速直线运动的路程
【例 1】 A、B 两站相距 7.2 km，一辆电车从 A 站开往 B 站，电车开出 t s 后到达途中 C 点，这一段的速度为 1.2t m/s，到 C 点的速度为 24 m/s，从 C 点到 B 点前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车，速度为(24－1.2t) m/s，经 t s 后，在 B 点恰好停 车，试求：
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第一章 1.7 1.7.2 第25页
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【解】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4， 即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动． 故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程 s1＝∫30(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|30＝18. (2)s2＝∫50(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|50＝530. ∴点 P 在 x 轴正方向上距原点530处．
则
DB＝
20(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)|200＝240(m)．
0
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第一章 1.7 1.7.2 第17页
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求变速直线运动的路程、位移应关注三点 1分清运动过程中的变化情况； 2如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示； 3明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路 程不能正负抵消.
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人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
称它为函数y f ( x )在x x0处的导数. ' ' 记作f ( x ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
2 1
0.62>0.16
所以气球半径增加得越来越慢
P3 思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀
率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢
• 问题2 高台跳水 • 运动员相对于水面的高度h(单位：米)
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
为方便表示，我们用：
h(2 t ) h(2) lim 13.1, t t 0 表示t 2时刻的瞬时速度.
在t0时刻的瞬时速度呢？
当t t 0时，t趋近于0时，平均速度 v就趋近 于t 0时刻的瞬时速度 .表示为：
函数
微积分（牛顿，莱布尼兹）
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
•
导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等 问题最一般、最有效的工具。
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示？
r (V0 V ) r (V0 ) r lim lim V 0 V V 0 V
【人教A版数学选修2-2】导数及其应用1-3-2
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当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e) e (e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
1 e
因此，x＝e 是函数的极大值点，极大值为 f(e)＝1e，没有极
小值．
函数的草图如图所示：
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第一章 1.3 1.3.2 第21页
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求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其 重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否是异号 的，若异号，则是极值；否则，不是极值.另外，在求函数的极 值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极 值.
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第一章 1.3 1.3.2 第25页
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类型二
已知函数的极值求参数的值
【例 2】 已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 处取得极 值，且 f(1)＝－1.
(1)试求常数 a，b，c 的值； (2)试判断 x＝±1 是函数的极大值点还是极小值点，并说明 理由．
0，右
侧 f′(x) <
0.
(3)结论： 点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点， f(b) 叫
做函数 y＝f(x)的极大值．
3．极值的定义 (1) 极大值 与 极小值 统称为极值．
(2)极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况 ，刻
画的是函数的 局部性质．
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第一章 1.3 1.3.2
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第一章 1.3 1.3.2 第19页
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∴当 x＝0 时，y 有极小值且 y 极小值＝0. 函数的草图如图所示：
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章导数及其应用1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念双基达标(限时20分钟)1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于()．A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2解析ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝2(1＋Δx)2－2Δx＝4＋2Δx.答案 C2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3解析v＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.答案 B3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )．A ．－4.8 m /sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m /sD ．4.8 m/s解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．答案 A4．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12.答案 －125．已知函数y ＝2x ，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝13.答案 136．利用导数的定义，求函数y ＝1x 2＋2在点x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(x ＋Δx )2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2，∴Δy Δx ＝－2x －Δx(x ＋Δx )2·x 2，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2.综合提高 (限时25分钟)7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为()． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44解析Δy＝(2＋0.1)2－22＝0.41. 答案 B8．设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于()．A．f′(1) B．3f′(1)C.13f′(1) D．f′(3)解析根据导数的定义：limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1)，lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx＝13f′(1)．答案 C9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．解析v初＝s′|t＝0＝limΔt→0s(0＋Δt)－s(0)Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.答案 310．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．解析v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t0＋Δt)－v t0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.答案相等11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解运动方程为s＝12at2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴ lim Δt →0Δs Δt ＝at 0.由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.12．(创新拓展)已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2.即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。
高中数学选修2-2第一章导数及其应用章末复习讲义-版本：人教A版高中数学选修2-2
第一章导数及其应用知识系统整合规律方法收藏1.导数的概念，要注意结合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，这时导数不存在，此时的切线方程为x＝x0.2.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.3.对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．复合函数的导数(高考要求f(ax ＋b)的形式的)，在学习的过程中不要无限制地拔高.4.利用导数判断函数的单调性应注意的几点(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点.(3)命题“如果f′(x)>0，则函数为增函数”的逆命题不成立，当f(x)在(a，b)内为增函数时，f′(x)≥0，如f(x)＝x3.由于f′(x)≥0时，f′(x)可能恒为0，f(x)也就恒为常数，所以由f′(x)≥0不能得到f(x)是单调增函数．因此，课本上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件.5.利用导数研究函数的极值应注意的几点(1)可导函数f(x)在点x0取得极值的充分必要条件是f′(x)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要非充分条件.(2)极值点也可以是不可导的，如函数f(x)＝|x|在极小值点x0＝0处不可导.(3)求一个可导函数的极值时，常常把使f′(x0)＝0的点x0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.6.极值与最值的区别(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值.7.导数的实际应用利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数式y＝f(x)，然后利用导数求出函数f(x)的最值，求函数f(x)的最值时，若f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判定是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较.8.求定积分求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数．为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.9.定积分的应用中的两个主要问题一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题．其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.学科思想培优一、导数几何意义的应用例1 设曲线C ：y ＝x 3－3x 和直线x ＝a (a >0)的交点为P ，过P 点的曲线C 的切线与x 轴交于点Q(－a ,0)，求a 的值.[解] 依题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，x ＝a ，解得P(a ，a 3－3a ).y′＝3x 2－3，所以过P 点斜率为3a 2－3的曲线C 的切线方程为 y －(a 3－3a )＝(3a 2－3)(x －a ).令y ＝0得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 33a 2－3，0，则有2a 33a 2－3＝－a ，解得a ＝±155.由已知a >0，所以a 的值为155. 拓展提升要求a 的值，需利用导数的几何意义写出过P 点的曲线C 的切线方程，求出该切线与x 轴的交点，通过列方程求解．本题主要考查导数的几何意义，要注意条件a >0.二、求函数的单调区间例2 设a ∈R ，讨论定义在(－∞，0)的函数f (x )＝13ax 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12x 2＋(a ＋1)x 的单调性.[解] f ′(x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋a ＋1＝(x ＋1)(ax ＋a ＋1)，x <0.(1)若a ＝0，则f ′(x )＝x ＋1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)若a ≠0时，则f ′(x )＝a (x ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a .①若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a，－1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.②若－1≤a <0，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.③若a <－1，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a，0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.拓展提升导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，对函数性质的研究涉及到方方面面，涉及方法思想较多，数形结合思想、分类讨论思想、逆向思维等等.三、求函数的极值与最值例3 设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. [解] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1，若f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝a ＋527，极小值是f (1)＝a －1. (2)因为函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )趋于＋∞，取足够小的负数时，有f (x )趋于－∞，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点，从(1)中可知f (x )的单调性，可画出草图.当f (x )的极大值a ＋527<0，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527时，它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上.当f (x )的极小值a －1>0，即a ∈(1，＋∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13上.故当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与 x 轴仅有一个交点.拓展提升一般地，对于“双峰”函数(只有一个极大值和一个极小值的函数)，当函数f (x )的极大值小于零或函数f (x )的极小值大于零时，图象与x 轴仅有一个交点.四、恒成立问题例4 已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1，2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围.[解] ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－23.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数. 所以当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝5＋2227；当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72.又f (－1)＝112，f (2)＝7.因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 要使f (x )<m 恒成立，须f (x )m ax <m ，即m >7. 所以所求实数m 的取值范围是(7，＋∞). 拓展提升本题中要使m >f (x )恒成立，只要m 大于f (x )的最大值即可，从而求出f (x )的最大值，问题就可得到解决，若将本题中“f (x )<m 恒成立”改为“f (x )>m 恒成立”，则只需求出f (x )的最小值即可.五、利用导数证明不等式例5 已知a ，b 为实数，且b >a >e ，求证：a b>b a.[证明] 因为b >a >e ，所以要证a b>b a，只需证b ln a >a ln b . 设f (x )＝x ln a －a ln x (x >a )，则f ′(x )＝ln a －a x. 因为x >a >e ，所以ln a >1，且a x<1. 所以f ′(x )>0，且f ′(a )>0.所以函数f (x )＝x ·ln a －a ln x 在[a ，＋∞)上是单调递增函数. 所以f (b )>f (a )＝a ln a －a ln a ＝0，即b ln a －a ln b >0， 所以b ln a >a ln b ，故a b>b a. 拓展提升“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.六、利用导数解决实际问题例6 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A ，B 两座烟囱相距20 km ，其中B 烟囱喷出的烟尘量是A 烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．(比例系数为k )．若C 是AB 连线上的点，设AC ＝x km ，C 点的烟尘浓度记为y .(1)写出y 关于x 的函数表达式；(2)是否存在这样的点C ，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC 的距离；若不存在，说明理由.[解] (1)不妨设A 烟囱喷出的烟尘量为1，则B 烟囱喷出的烟尘量为8，由AC ＝x (0<x <20)，可得BC ＝20－x .依题意，点C 处的烟尘浓度y 的函数表达式为：y ＝k x 2＋k ·820－x2(0<x <20).(2)对(1)中的函数表达式求导得 y ′＝－2k x3＋16k 20－x3＝2k 9x 3－60x 2＋1200x －8000x 320－x 3.令y ′＝0，得(3x －20)·(3x 2＋400)＝0； 又0<x <20，∴x ＝203.∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，y ′<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，20时，y ′>0，∴当x ＝203时，y 取最小值.故存在点C ，当AC ＝203 km 时，该点的烟尘浓度最低.拓展提升在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是：(1)设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围(即函数定义域)；(2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数；(3)求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点；(4)通过单调性确定出函数的最值点以及最值.七、定积分的应用例7 已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切于A 点，直线l 2：x ＝a (a ≠－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程；(2)若△BAD 的面积为S 1，求|BD |及S 1的值；(3)设由抛物线C ，与直线l 1，l 2所围成图形的面积为S 2，求证S 1∶S 2的值为与a 无关的常数.[解] 如下图所示.(1)由y ＝2x 2，得y ′＝4x . 当x ＝－1时，y ′＝－4， ∴直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，x ＝a ，得B 点坐标为(a,2a 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，4x ＋y ＋2＝0得D 点坐标为(a ，－4a －2)，∴点A 到直线BD 的距离为|a ＋1|， |BD |＝2a 2＋4a ＋2＝2(a ＋1)2， ∴S 1＝12|BD |·|a ＋1|＝|a ＋1|3.拓展提升(1)由导数的几何意义求出切线l1的斜率，再由点斜式写出直线l1的方程．(2)求出点A 到直线l2的距离以及B，D两点的坐标，从而由三角形的面积公式可求出S1.(3)由定积分的定义求出S2，注意讨论a的取值，再证明S1∶S2是常数.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
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导数的概念本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。
2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验;5．通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法;2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：复习准备理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．体会模型感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．应用概念理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．小结作业通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计5分钟1．复习准备设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系,感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．（2)提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？(3）高台跳水的例子中，在时间段]4965,0[里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态。
【人教A版数学选修2-2】导数及其应用1-7-1
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求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图 形的面积．
解：由题意，作出图形如图，由
y2＝8xy>0 x＋y－6＝0
，得x＝2.所
以y2＝8x与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)，所以所求面积
为：
请 做：课时作业 12
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【解】 法1：画出草图，如图所示．
解方程组y＝ x x＋y＝2
y＝ x ，y＝－13x
及xy＋＝y－＝132x
，
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
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自阴影部分的概率为 3 .
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1．用S表示如图中阴影部分的面积，则S的值是( D )
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法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为 x＝y2，x＝2－y，x＝－3y. 因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
人教A版高中数学选修2-2讲义第一章导数及其应用
1．1.3导数的几何意义1．割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝□01f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的□02切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝□03limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的□04斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是□05 f′(x0)．相应地，切线方程为□06y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．函数的导数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的□07导函数(简称□08导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝□09lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量．(2)导函数：如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.(3)导函数也简称导数．(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)函数f(x)＝0没有导函数．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．(2)若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．(3)函数f(x)＝x2＋1的导数f′(x)＝________.答案(1)45°(2)x＋y－3＝0(3)2x探究1求切线方程例1求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．[解]易证得点P(1,2)在曲线上，由y＝x3＋2x－1得Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3.ΔyΔx＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2无限趋近于3x2＋2，即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.故点P处的切线斜率为k＝5.所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.[条件探究]将本例中的在点P(1,2)改为过点Q(0,1)，结果会怎样？[解]∵点Q不在曲线上，∴设切点坐标为(x0，y0)．由本例知k＝f′(x0)＝3x20＋2，切线方程为y－y0＝(3x20＋2)(x－x0)．又∵切线过点Q(0,1)，∴1－y0＝(3x20＋2)(0－x0)．又∵y0＝x30＋2x0－1得x30＝－1，即x0＝－1，∴切线方程为5x－y＋1＝0.拓展提升利用导数的几何意义求切线方程的分类(1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程．(2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程．【跟踪训练1】已知曲线C：f(x)＝x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与f(x)＝x3相切的直线．解(1)∵f′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0(Δx)3＋3x2·Δx＋3x·(Δx)2Δx＝limΔx→0[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2，∴f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点为P(x0，x30)，由(1)知切线斜率为k＝f′(x0)＝3x20，故切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)．又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1－x30＝3x20(1－x0)，即2x30－3x20＋1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴k ＝3或k ＝34. 故所求的切线方程为y －1＝3(x －1)或y －1＝34(x －1)， 即3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0. 探究2 利用导数求切点坐标例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2上哪一点的切线． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0. [解] 因为f (x )＝x 2， 所以f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．[结论探究] 在本例中，过曲线上哪一点的切线倾斜角为135°. [解] 由例题解析过程知f ′(x )＝2x ， 因为倾斜角为135°，所以其斜率为－1. 即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．拓展提升利用导数求切点坐标的解题步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)由于点(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，将x 0代入求y 0得切点坐标．【跟踪训练2】 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°； (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. 解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1， 即f ′(x 0)＝4x 0＝1得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)． 探究3 导数几何意义的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．[解] 因为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，所以Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 所以f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝3x 20＋2ax 0－9，所以f ′(x 0)＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23.因为斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行， 所以该切线斜率为－12.所以－9－a 23＝－12， 解得a ＝±3，又a <0，所以a ＝－3.(1)导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目．此处常与函数、不等式等知识点结合．(2)本题需要根据已知条件求出原函数在x0处的导数f′(x0)并求出其最小值，建立等量关系求出a的值，再根据a<0这一条件对结果进行取舍．【跟踪训练3】已知点M(0，－1)，F(0,1)，过点M的直线l与曲线y＝13x3－4x＋4在x＝2处的切线平行．(1)求直线l的方程；(2)求以点F为焦点，直线l为准线的抛物线C的方程．解(1)因为y′＝limΔx→0ΔyΔx＝13(x＋Δx)3－4(x＋Δx)＋4－13x3＋4x－4Δx＝x2－4，所以y′|x＝2＝0，所以直线l的斜率为0，其直线方程为y＝－1.(2)因为抛物线以点F(0,1)为焦点，以直线y＝－1为准线，所以设抛物线方程为x2＝2py，则p2＝1，p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：第一步：求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).注意：若在点(x0，f(x0))处切线l的倾斜角为π2，此时切线平行于y轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x＝x0.2.函数的导数，是对某一区间内任意一点x而言的，就是函数f(x)的导数f′(x)．函数y＝f(x)在x0处的导数，就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.1．已知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，那么() A．f′(x0)＝0 B．f′(x0)<0C．f′(x0)>0 D．f′(x0)不确定解析 因为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x －y ＋1＝0的斜率为2，所以f ′(x 0)>0.2．某堆雪在融化过程中，其体积V (单位：m 3)与融化时间t (单位：h)近似满足函数关系：V (t )＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－110t 3(H 为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v －(m 3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于v －(m 3/h)的时刻是图中的( )A ．t 1B ．t 2C ．t 3D ．t 4 答案 C解析 如图所示，平均融化速度实际上是点A 与点B 连线的斜率k ； 瞬时融化速度的几何意义就是曲线V (t )在某时刻的切线斜率，通过对比，t 3时刻曲线的切线斜率与k 相等，故瞬时融化速度等于v －(m 3/h)的时刻是t 3.3．曲线y ＝x 2在x ＝0处的切线方程为________． 答案 y ＝0解析 f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋Δx 2Δx＝2x ，所以f ′(0)＝0，故切线方程为y ＝0.4．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________．答案 3解析∵f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0a(1＋Δx)＋3－(a＋3)Δx＝a，∴f′(1)＝a＝3.5．已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．解y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02(x＋Δx)2－7－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.因为2×32－7＝11≠9，所以点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x0,2x20－7)，则切线的斜率k＝4x0.又因为点P(3,9)，A(x0,2x20－7)都是切线上的点，所以k＝2x20－7－9x0－3＝4x0，解得x0＝2或x0＝4.当x0＝2时，k＝8，切点为(2,1)，切线方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0；当x0＝4时，k＝16，切点为(4,25)，切线方程为y－25＝16(x－4)，即16x－y－39＝0.故所求的切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.。
【人教A版数学选修2-2】导数及其应用1-5-1、2
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第页
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2．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线 y＝f(x) 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
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③ 求和 ，④ 取极限 ．
，② 近似代替 ，
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[答一答] 1．“曲边梯形”与“直边梯形”有什么联系与区别？
提示：曲边梯形与直边梯形都有四条边，直边梯形的四条 边都是线段，而曲边梯形有一条边是曲线段，其余三条边都是 线段．
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3．分割步骤中，小区间的多少对最终结果有何影响？ 提示：对区间[a，b]划分的越细，估计值就越接近精确 值，即小矩形面积的和越趋近曲边梯形的面积．
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搞错区间端点导致出错
【例3】 求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t>0)，y＝0
所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，
则第i－1个区间为( D )
A.i－n 1，ni C.ti－n 1，tni
B.ni ，i＋n 1 D.ti－n 2，ti－n 1
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高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
人教A版高中数学选修2-2讲义第一章导数及其应用(10)
n＋i －1 n＋i n ， n (i ＝1,2， …，n)，每个小区间的长度为
Δx＝
n＋i n
－n＋ni －1＝1n.
(2)近似代替、求和 n＋i－ 1
取 ξi＝ n (i ＝ 1,2， …，n)，
则
n n＋ i－1 Sn＝ ∑i＝1f( n )
·Δx
n 3 n＋i －1
1
＝ ∑i＝1
n ＋2 ·n
解
将区间 [0,1] 等分成 n 个小区间，则第
i 个小区间为
i－1 i n ，n
，等
i
个小区
间的面积为
ΔSi＝f
i n
·1n＝
i n
2＋ 2
i n
＋1
·1n，
n
Sn＝ ∑i ＝ 1
i n
2＋ 2
i n
＋1
1 ·n
＝
n13(12＋
22＋
32＋
…
＋
n2)＋
2 n2(1＋
2＋3＋
…
＋
n)＋
1
＝
1n n3·
1．5.3 定积分的概念
1．定积分的概念
□ 一般地，设函数 f(x) 在区间 [ a， b] 上 01 连续，用分点 a＝x0<x1<x2<…<xi －
1<xi <…<xn＝b 将区间 [ a，b] 等分成 n 个小区间，在每个小区间 [xi－1，xi] 上任取一点
□ ξi(i＝ 1,2，…， n)，作和式
积分．
求 f(x)在区间 [0,5]上的定
1.求阴影部分面积可分两类： (1)规则图形：按照面积的相关公式直接计算； (2)不规则图形：转化为规则图形或曲边梯形，再求面积的和或差，曲边梯形 面积利用定积分来计算；改变积分变量，使问题简化 . 2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函 数，也可以利用几何意义求定积分 . 3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算 .
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》本章概览2
第一章导数及其应用
本章概览
内容提要
本章主要学习导数的概念、导数的几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题、定积分的概念、微积分基本定理以及定积分的简单应用等知识.
导数与微积分是中学选修内容中的重要知识，它与高等数学有较为密切的联系，也是进一步学习的必备基础知识.
导数的学习，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，它的应用相当广泛，涉及代数、几何、物理以及生活实际等多个领域，运用它可以解决一些实际问题导数的概念、求导公式与法则是本章学习的重点，将实际问题转化成求解最大（小）值的数学模型，应用导数知识去解决它是本章学习之难点这也是提高分析问题、解决问题能力及学好数学的关键
学法指导
导数与定积分有着丰富的背景和广泛的应用
应多结合实例，通过实例去理解导数与定积分的有关概念以及导数与积分的内在联系深入理解和正确运用导数的概念、求导公式与法则是本章学习的基础，能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点。
高中数学第一章导数及其应用本章整合课件新人教A版选修2_2
f'(x)=2x-4
−
6 ������
=
2������ 2 -4������ -6,
������
令f'(x)>0,得x>3;令f'(x)<0,得0<x<3,
所以f(x)的增区间是(3,+∞),减区间是(0,3).
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六
综合应用
(2)由题意知
f'(x)=2x-4
=
-������
������ 2-2������+������������ (������ 2+������)2
,
由题意知 f'(-c)=0,即得 c2k-2c-ck=0.
∵c>0,易知
k≠0,∴c=1
+
2 ������
.
(*)
由f'(x)=0,得-kx2-2x+ck=0.
由根与系数的关系知,函数f(x)的另一个极值点为x=1.
y0-y1=f'(x1)(x0-x1).① 又y1=f(x1),② 由①②求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六
综合应用
应用
已知曲线
y=
1 3
������
3
+
4 3
,
求斜率为4
的曲线的切线方程.
提示:切点的坐标→切线的斜率→点斜式求切线方程
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六
综合应用
应用 1 已知函数 f(x)=ln x− (������-1)2.
2
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
高中数学导数及其应用(二)新人教A版选修2-2
1
A.
B. 1
C .0
2
2、函数 f ( x ) ( x 3 )e x 的单调递增区间是
1 D.
2
()
A. ( ,2 ) B.(0,3) C.(1,4) D.
(2, )
3、函数 y f ( x ) 在一点的导数值为 0 是函数 y f ( x ) 在这点取极值的 ( )
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 必要非充分条件
2.D
x
x
f ( x) ( x 3) e ( x 3) e
(x
2)
x
e
,
令
f
( x)
0 , 解得 x
2
3.C 对于 f ( x )
3
x , f (x)
2
3 x , f (0)
0, 不能推出 f ( x ) 在 x 0 取极值 , 反之成立
(1) 设直线 l 与抛物线 C 交于两点 A ( x1, y 1 ), B ( x 2 , y2 ) , 且
x1 x2 , 直线 l 的斜率为 k , 试用 k 表示 x2 x1 ; (2) 求 S 的最小值 .
1.B f '( x )
a 1 , f '(1)
0
x
参考答案 a 1 0 ,∴ a 1.
2
已知 f ( x)
x log 3
ax b , x (0,
x
) , 是否存在实数 a、 b , 使 f ( x ) 同时满足下列
两个条件 :(1) f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数 , 在 1, 存在 , 求出 a、 b , 若不存在 , 说明理由 .
上是增函数 ;(2) f ( x ) 的最小值是 1 , 若
高二年级下学期新课标A版高中数学选修2-2第一章导数及其应用(1)
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
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3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2.其中s的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度为________．
解析：
v＝lim Δt→0
1－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32 Δt
＝lim (Δt＋5) Δt→0
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(4)在公式ΔΔxy＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定 值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特 别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
[思路点拨] 先求自变量的增量和函数值的增量，然后代 入公式计算．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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平均变化率为
函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的
fxx0＋0＋ΔΔxx－－fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2 ＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx.
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【归纳拓展】 求曲线切线方程的步骤是：
(1) 求 出 函 数 y ＝ f(x) 在 点 x ＝ x0 处 的 导 数 ， 即 曲 线 y ＝ f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标P(x0，f(x0))和切线斜率的条件下， 求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 注意：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行 于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方 程为x＝x0； ②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解 ．
热点二 导数与函数的单调性
例2 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值 范围．
【解】 (1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex， ∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令 f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， ∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－ 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(－ 2， 2)．
令 y＝(x＋1)－x＋1 1，则 y′＝1＋x＋1 12>0. ∴y＝(x＋1)－x＋1 1在(－1,1)上单调递增． ∴y<(1＋1)－1＋1 1＝32. ∴a≥32.
【归纳拓展】 利用导数研究函数单调性的一般 步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数 f(x) 的 定 义 域 内 解 ( 或 证 明 ) 不 等 式 f′(x)>0 或 f′(x)<0. ②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0 或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．
变式训练2 设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切， 求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
解：(1)由题知 f′(x)＝3x2－3a(a≠0)， 因为曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线 y＝8 相 切， 所以ff′ 2＝2＝8，0， 即38－4－6aa＋＝b＝0，8. 解得 a＝4，b＝24.
5．函数的单调性与极值的关系 一般地，对于函数y＝f(x)，且在点a处有f′(a)＝ 0. (1)若在x＝a附近的左侧导数小于0，右侧导数大 于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极小值． (2)若在x＝a附近的左侧导数大于0，右侧导数小 于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极大值．
6．利用定积分求曲边梯形的面积 由直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及一条曲线 y＝
(2)∵函数 f(x)在(－1,1)上单调递增， ∴f′(x)≥0 对 x∈(－1,1)恒成立． ∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－ 2)x＋a]ex， ∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0 对 x∈(－1,1)恒成立． ∵ex>0，∴－x2＋(a－2)x＋a≥0 对 x∈(－1,1)恒成 立， 即 a≥xx2＋＋21x＝x＋x＋121－1＝(x＋1)－x＋1 1对 x∈ (－1,1)恒成立．
f(x)(f(x)≥0) 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积
S
＝
∫
b a
f(x)dx.若 F′(x)＝f(x)，则 S＝F(b)－F(a)．
高考热点讲练
热点一 导数的几ห้องสมุดไป่ตู้意义
例1 设f(x)＝xln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点 (x0，y0)处的切线方程为________．
【解析】 因为 f(x)＝xln x＋1， 所以 f′(x)＝ln x＋x·1x＝ln x＋1. 因为 f′(x0)＝2，所以 ln x0＋1＝2， 解得 x0＝e，y0＝e＋1. 由点斜式得，f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为 y －(e＋1)＝2(x－e)，即 2x－y－e＋1＝0.
(2)因为 f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)． 所以①当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－∞，＋∞) 上单调递增；此时函数 f(x)没有极值点． ②当 a>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝± a. 当 x∈(－∞，－ a)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递 增；
当 x∈(－ a， a)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； 当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增． 综上可知 x＝－ a是 f(x)的极大值点，x＝ a是 f(x) 的极小值点．
变式训练 1 曲线 y＝x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x＝1 所围成的三角形的面积为( ) A.112
1 B.6
1 C.3 D.12
解析：选 B.求导得 y′＝3x2，所以 y′＝3x2|x＝1＝3， 所以曲线 y＝x3在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角 形，三个交点的坐标分别是23，0，(1,0)，(1,1)，于 是三角形的面积为12×1－23×1＝16，故选 B.
第三讲 导数及其应用
主干知识整合
1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x) 在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
2．导数的四则运算法则 (1)[μ(x)±v(x)]′＝μ′(x)±v′(x)； (2)[μ(x)·v(x)]′＝μ′(x)v(x)＋μ(x)v′(x)； (3)[μvxx]′＝μ′xvxv－2xμx·v′x.
3．复合函数求导 复合函y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数 之间的关系为gx′＝f′(u)g′(x)． 4．函数的单调性与导数的关系 在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区 间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x) 在区间(a，b)上单调递减．