高中数学《导数及其应用》 新人教A版选修2-2

令 y＝(x＋1)－x＋1 1，则 y′＝1＋x＋1 12>0. ∴y＝(x＋1)－x＋1 1在(－1,1)上单调递增． ∴y<(1＋1)－1＋1 1＝32. ∴a≥32.
【归纳拓展】 利用导数研究函数单调性的一般 步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数 f(x) 的 定 义 域 内 解 ( 或 证 明 ) 不 等 式 f′(x)>0 或 f′(x)<0. ②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0 或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．
热点二 导数与函数的单调性
例2 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值 范围．
【解】 (1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex， ∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令 f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， ∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－ 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(－ 2， 2)．
f(x)(f(x)≥0) 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积
S
＝
∫
b a
f(x)dx.若 F′(x)＝f(x)，则 S＝F(b)－F(a)．
高考热点讲练
热点一 导数的几何意义
例1 设f(x)＝xln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点 (x0，y0)处的切线方程为________．
【解析】 因为 f(x)＝xln x＋1， 所以 f′(x)＝ln x＋x·1x＝ln x＋1. 因为 f′(x0)＝2，所以 ln x0＋1＝2， 解得 x0＝e，y0＝e＋1. 由点斜式得，f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为 y －(e＋1)＝2(x－e)，即 2x－y－e＋1＝0.
3．复合函数求导 复合函y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数 之间的关系为gx′＝f′(u)g′(x)． 4．函数的单调性与导数的关系 在区间(a，bห้องสมุดไป่ตู้内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区 间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x) 在区间(a，b)上单调递减．
第三讲 导数及其应用
主干知识整合
1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x) 在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
2．导数的四则运算法则 (1)[μ(x)±v(x)]′＝μ′(x)±v′(x)； (2)[μ(x)·v(x)]′＝μ′(x)v(x)＋μ(x)v′(x)； (3)[μvxx]′＝μ′xvxv－2xμx·v′x.
5．函数的单调性与极值的关系 一般地，对于函数y＝f(x)，且在点a处有f′(a)＝ 0. (1)若在x＝a附近的左侧导数小于0，右侧导数大 于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极小值． (2)若在x＝a附近的左侧导数大于0，右侧导数小 于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极大值．
6．利用定积分求曲边梯形的面积 由直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及一条曲线 y＝
变式训练 1 曲线 y＝x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x＝1 所围成的三角形的面积为( ) A.112
1 B.6
1 C.3 D.12
解析：选 B.求导得 y′＝3x2，所以 y′＝3x2|x＝1＝3， 所以曲线 y＝x3在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角 形，三个交点的坐标分别是23，0，(1,0)，(1,1)，于 是三角形的面积为12×1－23×1＝16，故选 B.
变式训练2 设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切， 求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
解：(1)由题知 f′(x)＝3x2－3a(a≠0)， 因为曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线 y＝8 相 切， 所以ff′ 2＝2＝8，0， 即38－4－6aa＋＝b＝0，8. 解得 a＝4，b＝24.
(2)因为 f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)． 所以①当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－∞，＋∞) 上单调递增；此时函数 f(x)没有极值点． ②当 a>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝± a. 当 x∈(－∞，－ a)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递 增；
当 x∈(－ a， a)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； 当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增． 综上可知 x＝－ a是 f(x)的极大值点，x＝ a是 f(x) 的极小值点．
【答案】 2x－y－e＋1＝0
【归纳拓展】 求曲线切线方程的步骤是：
(1) 求 出 函 数 y ＝ f(x) 在 点 x ＝ x0 处 的 导 数 ， 即 曲 线 y ＝ f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标P(x0，f(x0))和切线斜率的条件下， 求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 注意：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行 于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方 程为x＝x0； ②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解 ．
(2)∵函数 f(x)在(－1,1)上单调递增， ∴f′(x)≥0 对 x∈(－1,1)恒成立． ∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－ 2)x＋a]ex， ∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0 对 x∈(－1,1)恒成立． ∵ex>0，∴－x2＋(a－2)x＋a≥0 对 x∈(－1,1)恒成 立， 即 a≥xx2＋＋21x＝x＋x＋121－1＝(x＋1)－x＋1 1对 x∈ (－1,1)恒成立．