平面向量基本定理教案

2.2.1平面向量基本定理
教学目的：
1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；
2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示． 教学重点：平面向量基本定理．
教学难点：理解平面向量基本定理．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．
二、新课：
1．回顾：
(1) 实数与向量的积： 实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作λa r ，它的长度和方向规定如下： (1) |λa r | = |λ||a r |． (2) λ > 0时，λa r 的方向与a r 的方向相同；当λ < 0时，λa r 的方向与a r 的方向相反；特别地，当λ = 0或a r =0r 时，λa r =0r ．
(2) 共线向量的一个充要条件： 定理：向量b r 与非零向量a r 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b r = λa r ． 例1 已知向量1e u r 、2e u r ，求作向量- 2.51e u r + 32e u r ．
推广：已知1e u r 、2e u r 是同一平面内的两个不共线的向量，
则对于给定的两个实数λ1、λ2，都可以在这个平面内作出唯一的一个向量a r 满足 1212.a e e λλ=+
2．平面向量基本定理： 如果1e u r 、2e u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
a r ，有且只有一对实数λ1、λ2，使 a r = λ11e u r + λ22e u r ． 例2 ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB uu u r =a r ，AD uuu r =
b r ，用a r 、b r 表示MA uuu r 、MB uuu r 、MC uuu r 和MD uuu r ？ 解：（略 ）
例3 如图，ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，且AE uu u r =m u r ，AF uu u r =n r ，求AB uu u r ，AD uuu r ．
解：（略）
例4 如图，OA uu r 、OB uu u r 不共线，AP uu u r = t AB uu u r (t ∈ R)，用OA uu r 、OB uu u r 表示OP uu u r ．
解： （略）
三、小结： 1．当平面内取定一组基底1e u r 、2e u r 后，任一向量a r 都被1e u r 、2e u r 唯一确定，其含义是存在唯一数对(λ1，λ2)，使a r = λ11e u r + λ22e u r ． 2．三点A 、B 、C 共线⇔AB uu u r = k AC uuu r ⇔PB uu r = λ1PA uu r + λ2PC uu u r (其中λ1，λ2 ∈ R 且λ1 + λ2 = 1)．
四、课后作业： 1．命题p ：向量b r 与a r 共线；命题q ：有且只有一个实数λ，使b r = λa r ；则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．不充分不必要条件
2．如图，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN = 2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ：PM 的值．。