2016年中考数学一轮复习第6课一元二次方程导学案

一元二次方程

【考点梳理】：

1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2

+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2

-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；

Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.

4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2

+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a

c

x x a

b x x )2(a 2a

c 4b b x )

1(212122

,1=

-=+-±-=，

； ※ 5．当ax 2

+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 a

c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2

-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 ⇔ a

b

-= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 ⇔ a

c

=1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根 ⇔ a

c = 0且a b

-≠0 ⇔ c = 0且b ≠0；

（4）有两个零根 ⇔

a

c = 0且a b

-= 0 ⇔ c = 0且b=0；

（5）至少有一个零根 ⇔ a

c

=0 ⇔ c=0； （6）两根异号 ⇔

a

c

＜0 ⇔ a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ a

c ＜0且a b

-＞0⇔ a 、c 异号且a 、b 异号；

（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ a

c ＜0且a b

-＜0⇔ a 、c 异号且a 、b 同号；

（9）有两个正根 ⇔

a

c ＞0，a b

-＞0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；

（10）有两个负根 ⇔

a

c ＞0，a b

-＜0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0解.

ax 2

+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2

+bx+c=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式：

x 2

-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）：

(1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2

.

（2）常利用以下相等关系列方程： 第一年+第二年+第三年=总和. 【思想方法】

1. 常用解题方法——换元法

2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想 【考点一】：一 元二次方程的解 【例题赏析】（2014•湖南张家界，第15题，3分）已知关于x 的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k= ．

考点：一元二次方程的解．

分析：将x=﹣1代入已知方程，列出关于k 的新方程，通过解新方程即可求得k 的值． 解答：根据题意，得

（﹣1）2+2×（﹣1）+k=0， 解得k=1； 故答案是：1． 点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

【考点二】：一元二次方程的解法 【例题赏析】

（1）（2015，广西钦州，7，3分）用配方法解方程21090x x ++=，配方后可得（ A ．2

(5)16x += B ．2

(5)1x += C ．2

(10)91x += D ．2

(10)x +=考点： 解一元二次方程-配方法． 专题： 计算题．

分析： 方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．

解答： 解：方程x 2

+10x+9=0，

整理得：x 2

+10x=﹣9，

配方得：x 2+10x+25=16，即（x+5）2

=16， 故选A

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．（2）（2015•重庆A8，4分）一元二次方程2

20x x -=的根是（ ） A.

120,2x x ==- B. 121,2x x == C.

121,2x x ==- D. 120,2x x ==

考点：解一元二次方程- 因式分解法．

分析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 解答：解：2

20x x -=，

x （x ﹣2 ）=0 ， x=0 ，x ﹣2=0 ， X 1 =0 ，x 2 =2 ， 故选D ． 点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一 次方程，难度适中．

【考点三】：根的判别式及其应用

【例题赏析】（2015•宁德 第7题 4分）一元二次方程2x 2

+3x+1=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ． 有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ． 无法确定 考点： 根的判别式．

分析： 先求出△的值，再判断出其符号即可．

解答： 解：∵△=32

﹣4×2×1=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B ．

点评： 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2

+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．

【考点四】：列一元二次方程解应用题 【例题赏析】 （1）（2015•黑龙江哈尔滨，第8题3分）（2015•哈尔滨）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m ，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩

大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m 2

．设扩大后的正方形绿地边长为x m ，下面所列方程正确的是（ ）

A ． x （x ﹣60）=1600

B ． x （x+60）=1600

C ． 60（x+60）=1600

D ． 60（x ﹣60）=1600 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 几何图形问题．

分析： 设扩大后的正方形绿地边长为xm ，根据“扩大后的绿地面积比原来增加1600m 2

”建立方程即可．

解答： 解：设扩大后的正方形绿地边长为xm ，根据题意得 x 2

﹣60x=1600，即x （x ﹣60）=1600． 故选A ．

点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系． （2）（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第10题3分）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）

A ．x 2=21

B ． x （x ﹣1）=21

C ． x 2

=21 D ． x （x ﹣1）

=21