数学归纳法导学案2
高中数学《数学归纳法》导学案
第二章 推理与证明2.3数学归纳法一、学习目标1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题.【重点、难点】重点是数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题，难点是数学归纳法的第二步.二、学习过程【导入新课】多米诺骨牌实验:要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（ 1）第一张牌被推倒 （奠基作用）（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。
数学归纳法步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。
根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确例1、用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++=+ ()n N +∈例2：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=【变式拓展】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)． (1)试求：a 2，a 3，a 4的值；(2)由此猜想数列{a n }的通项公式a n ；(3)用数学归纳法加以证明．三、总结反思①两个步骤，缺一不可，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据；②两个步骤中关键是第二步，即当n ＝k ＋1时命题为什么成立．在证n ＝k ＋1命题时成立时，必须利用归纳假设当n ＝k 时成立这一条件，再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当n ＝k ＋1时成立．切忌直接代入，否则当n ＝k ＋1时成立也是假设了，命题并没有得到证明.四、随堂检测1.用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－q q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边式子是( ) A ．1 B ．1＋q C ．1＋q ＋q 2 D ．1＋q ＋q 2＋q 32．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是( )A ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)B ．(2k －1)＋(2k ＋1)C ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)D ．(2k ＋2)＋(2k ＋4)3.已知数列{}n a 的前n 项和2 (2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a =( ) A.22(1)n + B. 2(1)n n + C. 221n - D. 221n -4.用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++。
苏教版数学高二- 选修2-2导学案 2.3《数学归纳法》(2)
2.3 数学归纳法 导学案（2）教学目标1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力；2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；3．抽象思维和概括能力进一步得到提高。
教学重点、难点重点 借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。
难点1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
教学过程一、复习回顾一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立;（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时 命题也成立 。
--------------数学归纳法二、例题剖析例题1、用数学归纳法证明：3n 5()n n N ++∈能被6整除证明：（1）当n=1时，3n 5n +=6能被6整除，命题成立；（2）假设当n=k (1)k ≥时命题成立，即3n 5()n n N ++∈能被6整除 那么，当n=k+1时，3323(1)5(1)33155(k 5)3(1)6k k k k k k k k k +++=+++++=++++由归纳假设3n 5()n n N ++∈能被6整除，而(1)k k +是偶数，故3(1)k k +能够被6整除，从而3(1)5(1)k k +++能够被6整除，因此，当1n k =+时命题成立。
由（1）（2）知，命题对一切正整数成立，即任意的+∈N n 均成立，即3n 5()n n N ++∈能被6整除。
特别提示：数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件。
数学归纳法(选修2-2)导学案
数学归纳法应用举例学习目标：了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题。
一、 温故知新：1、 数学归纳法适用范围是什么？用数学归纳法证题步骤是什么？应用数学归纳法应该注意那些问题？2、 用数学归纳法证明22111(,1)1n n a a a a n N a a++*-++++=∈≠-L ，在验证n=1时，左边旳项是________________________。
3、 用数学归纳法证明(1)(2)(3)()2123(21),n n n n n n n n N *++++=⋅⋅⋅⋅⋅-∈L L 时，从“1n k n k =→=+”，两边应乘的代数式是A.22k +B.(21)(22)k k ++C.221k k ++ D.(21)(22)1k k k +++ 4、用数学归纳法证明111111111,234212122n N n n n n n*-+-++-=+++∈-++L L 则“1n k n k =→=+”时，左边需要添加的项是 A.121k + B.112+224k k -+ C.122k -+ D.112122k k -++二、典例引领例1、 用数学归纳法证明：211111(1)(1)(1)(1)(2)49162n n n n +----=≥L例2、 用数学归纳法证明：凸n 边形内角和()(2)f n n π=-，(3)n ≥。
例3、 用数学归纳法证明：对n N *∀∈，731n n +-能被9整除。
例4、 当2n ≥且n N *∈时，求证：11111312324n n n n n ++++>++++L 。
三、 拓展训练：已知数列{}n a 中，211,,()n n a S n a n N *==∈，（1）求2,3,4,a a a 并猜想出n a 的表达式； （2）证明你所得的结论。
四、作业布置：。
《2.3.1数学归纳法》导学案
高二年级数学导学案§2.3 数学归纳法学习目标1. 了解数学归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力；2. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；3. 使学生的抽象思维和概括能力进一步得到提高。
学习过程一、课前准备复习：在数列{}n a 中，*111,,()1n n na a a n N a +==∈+，计算a 2，a 3，a 4的值，猜测{}n a 的通项公式.二、新课导学学习探究探究任务：数学归纳法思考1：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?思考2：你认为证明数列的通项公式是1n a n=这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？ 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？试一试：你能证明数列的通项公式1n a n=这个猜想吗?总结数学归纳法两大步：（1）归纳奠基： 时，命题成立（2）归纳递推：假设___________ 时命题成立，证明当___________时命题也成立．根据(1)(2)可以断定命题对 正整数n 都成立．典型例题例1．用数学归纳法证明：2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈练习：用数学归纳法证明: *223333n ,4)1(n 321N n n ∈+=+++例2. 是否存在常数a 、b,使得等式:222212n an +n ++…+=1335(2n -1)(2n +1)bn +2对一切正整数n 都成立,并证明你的结论.练习．已知数列{a n}中a1＝－23，其前n项和S n满足a n＝S n＋1S n＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想S n的表达式，并用数学归纳法加以证明．例3已知n∈N＋，n>2，求证：1＋12＋13＋…＋1n>n＋1.(链接教材P18例3)练习:比较 2n 与 n2(n∈N*)的大小三、总结提升1. 数学归纳法的步骤：2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.四．当堂检测1. 用数学归纳法证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，需要验证的第一个值为 。
人教版选修2-2 2.3 数学归纳法导学案
2.3 《数学归纳法》导学案制作王维审核高二数学组 2016-04-06【学习目标】1、了解数学归纳法的原理；2、能运用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【学习重点】运用数学归纳法证明有关的数学命题【学习难点】数学归纳法的原理以及运用数学归纳法证明有关的数学命题【预习导航】下图为多米诺骨牌：如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？【问题探究】探究活动一：什么是数学归纳法?例 1 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n×(2n＋2)＝n4(n＋1).探究活动二：数学归纳法的应用范围及注意事项例2 已知正项数列{b n}的前n项和B n ＝14(b n＋1)2.(1) 求出b1，b2，b3，b4的值；(2) 猜想{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明．探究活动三：如何运用数学归纳法证明有关的数学问题？【课堂巩固练习】1、用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中0n的取值应为( )A．1 B．2 C．3 D．42、用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝2)1(kk，则当n＝k＋1时，表达式应为__________.3、证明：12＋122＋123＋…＋12n－1＋12n＝1－12n(其中n∈N*)．【总结概括】本节课的收获：【分层作业】必做题：教材第96页习题2.3第1,2题选做题：同步练习册课后作业提升习题。
4.2数学归纳法2导学案
例 2.用数学归纳法证明： （1+α ）n≥1+nα (其中α >-1，n 是正整数)
【导学点拨】 1.数学归纳法的两个步骤中第一步 n 的初始值是否一定为 1?
阳光“学-导-练”导学案
年级 高二
学科 数学
姓名
提示：不一定,如证明 n 边形的内角和为(n-2)·180°中,第一个值 3. 2.数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系? 提示：第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据 ,这 两个步骤缺一不可 3.应用数学归纳法要特别注意哪些问题？ 提示：一、要注意数学归纳法的起点，数学归纳法的第一步是递推的基 础，有了此基础，在第二步中的假设才能成立，才不是真正意义上的纯 粹假设；二、要注意如何添项：在证明 n=k+1 命题成立要用到 n=k 命题 成立时，要分析命题的结构特点，分析“n=k+1”时命题是什么，并找出 与“n=k”时命题形式的差别，弄清右端应增加的项. 【达标训练】 a 1. 对于数列an ,已知a1 1，an1 n n 1, 2, ... 猜想其通项公式 1 an 并给出证明
【引学独学】 1.利用数学归纳法证明 1+a+a2+„+an+1= ______ （a≠1，a∈N+）时，在 验证 n=1 成立时，左边应该是（ ） 2 （A）1 （B）1+a（C）1+a+a （D）1+a+a2+a3 2.用数学归纳法证明 n(n+1)(2n+1)能被 6 整除时,由归纳假设推证 n=ห้องสมุดไป่ตู้+1 时命题成立,需将 n=k+1 时的原式表示成（ ） （A）k(k+1)(2k+1)+6(k+1) （B）6k(k+1)(2k+1) 2 （C）k(k+1)(2k+1)+6(k+1) （D）以上都不对 【对学群学】 1 例 1. 已知数列{an}满足 an+1= ,a1=0，试猜想{an}通项公式并用数学 (2-an) 归纳法证明.
数学归纳法导学案
2.3数学归纳法(导学案)主备人：韩爱芳 高二数学组【本课时知识目标】(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）(2)了解数学归纳法的原理及使用范围(3)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论 (4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题【教学重点】 理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。
【教学难点】 递推步骤中归纳假设的利用。
【教学过程】一、创设问题情境情境一：问题1:袋中有5个小球，如何证明它们都是红色的？问题2.某人站在13-1班门口，看到连续有20个男生进入1班，于是深有感触的说：“这个班的学生都是男生”。
你认为正确吗？问题3.对于数列{}n a ,已知111,1n n na a a a +==+, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式。
这个猜想是否正确，如何证明？情境二: 多米诺骨牌游戏 问题4.要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？二、探索新知思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决问题3吗？三、知识应用 例1.用数学归纳法证明: *)(N n ∈6)12)(1(3212222++=++++n n n n例2．用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++=+ *)(N n ∈四﹑课堂练习 ①用数学归纳法证明：()N n a aa a a a n n ∈≠-+=++++++,1111212 在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ）A ．1 B.a +1 C ．21a a ++ D.321a a a +++ ②用数学归纳法证明命题时，假设111()122k S k N k k k+=+++∈++ 那么 ______________________1+=+K K S S (不需要化简)③判断下面的证明过程是否正确，如果不正确错在哪？证明：2222(1)(21)123()6n n n n n N +++++++=∈ 证明：（1）当1n =时，左边=1，右边=(11)(21)16++=等式成立 （2）假设当n k =时等式成立即2222(1)(21)1236k k k k ++++++= 当1n k =+时代入2222(1)(21)1236n n n n ++++++=得 [][]22222123(1)(1)(2)(23)6(1)(1)12(1)16k k k k k k k k +++++++++=+++++= 所以当1n k =+时等式成立由（1）和（2）可知等式对一切正整数均成立。
(5)数学归纳法学案
课题：数学归纳法 【学习目标】 1、知识与技能了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2、过程与方法 理清证明思路 3、情感态度与价值观深刻理解数学归纳法，培养学生数学学习兴趣。
【重点难点】数学归纳法证明与自然数有关的命题步骤; 【课前预习】1. 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n = 0n 时命题成立；（2）（归纳递推）假设____________时命题成立，证明______________时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法。
注：（1），（2）两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。
2.运用数学归纳法时易犯的错误（1）对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。
（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。
（3）关键步骤含糊不清，“假设n ＝k 时结论成立，利用此假设证明n ＝k ＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。
【预习自测】1. 用数学归纳法证明：11112321n n +++⋅⋅⋅+<-（*N n ∈，且1>n ）时，第一步即证下列哪个不等式成立（ ） A. 12<B. 1122+< C. 111223++< D. 1123+< 2.用数学归纳法证明：)1(12131211>∈<-+⋅⋅⋅+++n N n n n 且，第二步证明从“K 到K+1”，左端增加的项数是 （ ） A. 12-k B. k 2 C. k 2-1 D. k2+13.用数学归纳法证明1222()n n n n N +≥++∈时，第一步证明n =____.4. 用数学归纳法证明：2＋4＋6＋…＋2n ＝2n n +【合作探究】探究点1：利用数学归纳法证明等式例1、用数学归纳法证明：*N n ∈时，1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++变式练习：用数学归纳法证明：22222246(2)(1)(21)3n n n n +++⋅⋅⋅+=++探究点2：由“K 到K+1”左端增加的项数例2、用数学归纳法证明22221135(21)(41)3n n n +++⋅⋅⋅+-=-过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为 （ ） A.2)2(k B.2)32(+k C. 2)12(+k D. 2)22(+k变式练习：1.用数学归纳法证明不等式111113(2)123224n n n n n ++⋅⋅⋅+=≥+++的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边 （ ） A.增加了一项)1(21+k B.增加了一项)1(21121+++k k C.增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” D.增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ” 2.用数学归纳法证明(1)(2)()2135(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-*()n N ∈时，从“n k =到1+=k n ”，左边需增乘的代数式是（ ） A. 12+kB. 112++k k C. )12(2+k D. 132++k k【课后作业】1.用数学归纳法证明“)(12222112+-∈-=+⋅⋅⋅+++N n n n ”的过程中，第二步k n =时成立，则当1+=k n 时应证明 ( ) A. 12222211122-=++⋅⋅⋅++++--k k kB. 11221222221+++-=+++⋅⋅⋅+++k k k kC. 122221112-=+⋅⋅⋅++++-k k D. k k k k 2122222112+-=+++⋅⋅⋅+++-2.空间中有n 个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设k 个这样的平面把空间分成)(k f 个区域，则1+k 个平面把空间分成的区域数+=+)()1(k f k f （ ）A. 1+kB. kC. 1-kD. k 23.用数学归纳法证明某命题时,左式为111111234212n n ⋅⋅+⋅-+-+--,n k =到1n k =+时应将左边加上( )111111....212124222122A B C D k k k k k k ---+-++++4．若11111()1234212f k k k=-+-+⋅⋅⋅+--则)1(+k f = )(k f + _______．。
2019-2020学年高二数学《数学归纳法》学案二.doc
2019-2020学年高二数学《数学归纳法》学案二教学目标：了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 教学重点：解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题教学难点：了解反证法的思考过程和特点. 教学过程：一、课前检测：1.数学归纳法公理:2.数学归纳法证明的步骤:3.用数学归纳法证明：()(27)39()n f n n n N +=++∈能被36整除。
完善下列过程： 证明：（1）当1n =时，(1)f = ，能被36整除，（2）假设 时，能被36整除，即()(27)39k f k k =++当1n k =+时，1(1)[2(1)7]39k f k k ++=+++ = 11()3631183136k k f k ---∴-能被整除，而是偶数，（）能被整除，∴ 能被36整除，由（1）（2）知对()n N +∈，()f n 能被36整除。
二、例题讲解例1.设*1,()5231n n n N f n -∈=+⨯+(1) 当1,2,3,4n =时,计算()f n 的值;(2) 你对()f n 的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想.例 2.在平面上画n 条直线,且任何两条直线都相交,其中任何三条直线不共点,问:这n 条直线将平面分成多少个部分?例3.设0a >且*1,a n N ≠∈,试比较24235211()nn a a a f n a a a a -+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+与1n n +的大小例 4.已知函数()sin ,f x x x =-数列{}n a 满足:111,(),1,2,3,...n n a a a f a n +<<==证明:3111(1)01;(2)6n n n n a a a a ++<<<<三.课堂小结:作业班级 姓名 学号 等第1.利用数学归纳法证明不等式1111(2,)2321n n n n N ++++⋅⋅⋅+<≥∈-的过程中,由n k =变到1n k =+时,左边增加了2.求135(1)(21)_______________n n -+-+⋅⋅⋅+--=3.凸n 边形的对角线的条数()_____________f n =4.用数学归纳法证明,212111211214131211n n n n n ++++=--+-+-第一步应验证的左式是5.若kk k f 211214131211)(--++-+-= ，则+=+)()1(k f k f6.用数学归纳法证明:3个连续自然数的立方和能被9整除7.3*5()n n n N +∈能被哪些自然数整除?并给出证明.8.设*n N ∈,求证:22()389n f n n +=--是64的倍数9.已知数列{}n a 满足11,a =且*11429()n n n n a a a a n N ++-+=∈(1)求234,,;a a a (2)由(1)猜想{}n a 的通项公式n a ;(3)用数学归纳法证明(2)的结果10.试比较1n n +与*(1)()n n n N +∈的大小,分别取1,2,3,4,5n =加以试验,根据试验结果猜测一个一般性结论,并用数学归纳法证明.。
《2.3.1数学归纳法》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.3数学归纳法理》导学案学法指导：认真自学，激情讨论，愉快收获.●为必背知识教学目标：1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．教学重点与难点重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题.难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系.教学过程：一：回顾预习案1.阅读课本92页-93页2.完成下列填空a n1=这个猜想用多米诺骨牌原理解决数学问题.思考：你认为证明数列的通过公式是n与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？行：(1)(归纳奠基) ；(2)(归纳递推) .只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做 . 注意：(1)这两步步骤缺一不可.(2)用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n =k +1时命题成立”.(3)数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析.4、例题讲解 例1 课本P 94例2 课本P 94当堂检测： 1．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为( )Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<L ≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+L ≥ 2．用数学归纳法证明)14(31)12(53122222-=-++++n n n Λ过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为 ( )A .2)2(kB .2)32(+kC . 2)12(+kD . 2)22(+k 3．用数学归纳法证明不等式)2(241321312111≥>++++++n n n n n Λ的过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边 ( )A .增加了一项)1(21+k B .增加了一项)1(21121+++k kC .增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” D .增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ”4．若f (k )=++-+-Λ4131211 ,21121kk --则)1(+k f = )(k f + _______． 二 ，讨论展示案 合作探究，展示点评 展示一，课本96页A 组1(1)展示二，课本96页A 组1(2)展示三，课本96页A 组1(3)展示四，课本96页A 组2。
数学归纳法导学案第二课时
数学归纳法导学案
（二）
（ 2 ）前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列
，已知
，
( n=1,2,3…)，通过对 n=1,2,3,4 前 4 项的归纳，猜想出其通项公式
，但却没有进一步的检验和证明．
【学习过程】 10. 用数学归纳法证明:当 n 为正整数时, 1 3 5 (2n 1) n2 问题：上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明 吗？ 知识点： 1.归纳法： 2.不完全归纳法: 3.完全归纳法: 4.数学归纳法:对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： 先证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立；然后假设当 n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 这种证明方法就叫做数学归 纳法 5.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 11 ．下列不等式：1 ，1 1 ，1 ，1 2 ， ，你能得到一个怎样的一 (1) 2 3 2 3 7 2 2 3 15 2 (2) 般不等式？并加以证明． (3)
备课时间 课 题 【学习目标】
授课时间
年级（科目） 2.3 数学归纳法（二）
高二数学
1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤; 1 1 1 2n 1 Ｃ． 1 2 2 2 (n ≥ 2) 2. 初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式，并能掌握数学归纳法证明问题的格式 2 3 n n 3.数学归纳法中递推思想的理解. 1 1 1 2n Ｄ． 1 2 2 2 (n ≥ 2) 【学习重点难点】 2 3 n 2n 1 重点：用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能掌握数学归纳法证明问题的格式 1 1 1 1 n 难点：数学归纳法中递推思想的理解 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 2 n 1 【知识链接】 1 9. 用数学归纳法证明 1 n 2 (n 1) 3 (n 2) n 1 n(n 1)(n 2) （1 ）大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？ 6 这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒 下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后， 不论有多少块骨牌都能全部倒下．
数学归纳法探究学案 (2)
《数学归纳法》探究学案授课人高一数学组：甘宗平教学目标：1、知识目标：（1）了解数学推理的常用方法——归纳法；（2）了解数学归纳法的原理及使用范围；（3）掌握数学归纳法证明命题的两个步骤一个结论，会用数学归纳法证明简单的恒等式。
2、能力目标：由数学归纳法证明简单恒等式的过程，初步理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
教学重点：1、理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤；2、能用数学归纳法证明一些简单的恒等式。
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。
教学过程：一、导入探究1：请看下面两个例题，它们的结论是否正确？1、如果等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，我们根据等差数列的定义，可以得到a2= a1+da3= a2+d= a1+2da4= a3+d= a1+3da 5= a4+d= a1+4d ……由此，猜想an = a1+（）d2、数列{a n}满足an =(n2-5n+5)2,容易验证a1=_____, a2=_____, a3=_____, a4=_____。
猜想：对n ∈N+,都有an=_____.很显然，第一个结论是正确的，第二个结论是错误的，它们都是采用不完全归纳法，得出结论容易，但结论不一定可靠。
那么，怎样判断用归纳方法得到的某些与正整数有关的数学命题的真假呢？接下来我们就一起学习这种方法——数学归纳法。
二、讲授新课。
1、多米诺骨牌实验探究2：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？（1）______________________________（奠基作用）（2）____________________________________________________________（递推作用）2、数学归纳法的定义我们对某些与正整数n有关的数学命题，常常用下面的方法来证明：先验证当n取第一个值n0时命题成立，然后在当n=k(k∈N+,k≥n)时命题成立的假设下，证明当n=k+1时命题也成立。
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阜宁县明达中学高二数学导学案
课题：数学归纳法()二 课型：习题
执笔:孙荣贵
班级________姓名________学号________
学习目标：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤；
通过数学归纳法的学习，用数学归纳法证明规律的途径；
学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用． 学习重点:用数学归纳法证明规律的途径，学会数学归纳法的应用．
学习难点:用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题，学会数学归纳法的应用． 一自主学习
1. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n=n 0时，
命题成立，再假设当n=k(k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根
据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.
2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
二 典型例题
例1．设*n N ∈，1()5231n n f n -=+⨯+．
（1）当1,2,3,4n =时，计算()f n 的值；
（2）你对()f n 的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．
变式：求证3个连续自然数的立方和能被9整除
例2．在平面上画n 条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点．问：这条直线将平面分成多少个部分？
例3．已知*1111(1,)23n S n n N n =+
++⋅⋅⋅+>∈，求证：212
n n S >+*(2,)n n N ≥∈．
反思：
（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；
（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即1n k =+时为什么成立？1n k =+时成立是利用假设n k =时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1n k =+出时成立，而不是直接代入，否则1n k =+时也成假设了，命题并没有得到证明；
（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
(4) 数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中
三当堂检测
1. 求-1+3-5+()()121--+n n
的和
2.设n *∈N ,求证：()98322--=+n n f n 是64的倍数。
3.设n *∈N ,n>1，求证：1+n 1
31
21
+++ >n。