数学归纳法导学案2

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高中数学《数学归纳法》导学案

高中数学《数学归纳法》导学案

第二章 推理与证明2.3数学归纳法一、学习目标1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题.【重点、难点】重点是数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题,难点是数学归纳法的第二步.二、学习过程【导入新课】多米诺骨牌实验:要使所有的多米诺骨牌一一倒下?需要几个步骤才能做到?( 1)第一张牌被推倒 (奠基作用)(2)任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 (递推作用)于是可以获得结论:多米诺骨牌会全部倒下。

数学归纳法步骤:(1)证明当n 取第一个值0n (例如10=n 或2等)时结论正确;(2)假设当k n =(*N k ∈,且0n k ≥)时结论正确,证明当1+=k n 时结论也正确。

根据(1)和(2),可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确例1、用数学归纳法证明:2462(1)n n n +++=+ ()n N +∈例2:用数学归纳法证明:2222(1)(21)1236n n n n ++++++=【变式拓展】在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=2a n 2+a n(n ∈N *). (1)试求:a 2,a 3,a 4的值;(2)由此猜想数列{a n }的通项公式a n ;(3)用数学归纳法加以证明.三、总结反思①两个步骤,缺一不可,其中第一步是递推的基础,第二步是递推的依据;②两个步骤中关键是第二步,即当n =k +1时命题为什么成立.在证n =k +1命题时成立时,必须利用归纳假设当n =k 时成立这一条件,再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当n =k +1时成立.切忌直接代入,否则当n =k +1时成立也是假设了,命题并没有得到证明.四、随堂检测1.用数学归纳法证明1+q +q 2+…+q n +1=q n +2-q q -1(n ∈N *,q ≠1),在验证n =1等式成立时,等式左边式子是( ) A .1 B .1+q C .1+q +q 2 D .1+q +q 2+q 32.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n +1)=(n +1)(2n +1)时,从“n =k ”到“n =k +1”,左边需增添的代数式是( )A .(2k +1)+(2k +2)B .(2k -1)+(2k +1)C .(2k +2)+(2k +3)D .(2k +2)+(2k +4)3.已知数列{}n a 的前n 项和2 (2)n n S n a n =≥,而11a =,通过计算234,,a a a ,猜想n a =( ) A.22(1)n + B. 2(1)n n + C. 221n - D. 221n -4.用数学归纳法证明:1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++。

苏教版数学高二- 选修2-2导学案 2.3《数学归纳法》(2)

苏教版数学高二- 选修2-2导学案 2.3《数学归纳法》(2)

2.3 数学归纳法 导学案(2)教学目标1.了解归纳法的意义,培养学生观察、归纳、发现的能力;2.了解数学归纳法的原理,能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤;3.抽象思维和概括能力进一步得到提高。

教学重点、难点重点 借助具体实例了解数学归纳的基本思想,掌握它的基本步骤,运用它证明一些与正整数n (n 取无限多个值)有关的数学命题。

难点1、学生不易理解数学归纳的思想实质,具体表现在不了解第二个步骤的作用,不易根据归纳假设作出证明;2、运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

教学过程一、复习回顾一般地,证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行:(1) (归纳奠基)证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立;(2)(归纳递推)假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立,证明当1n k =+时 命题也成立 。

--------------数学归纳法二、例题剖析例题1、用数学归纳法证明:3n 5()n n N ++∈能被6整除证明:(1)当n=1时,3n 5n +=6能被6整除,命题成立;(2)假设当n=k (1)k ≥时命题成立,即3n 5()n n N ++∈能被6整除 那么,当n=k+1时,3323(1)5(1)33155(k 5)3(1)6k k k k k k k k k +++=+++++=++++由归纳假设3n 5()n n N ++∈能被6整除,而(1)k k +是偶数,故3(1)k k +能够被6整除,从而3(1)5(1)k k +++能够被6整除,因此,当1n k =+时命题成立。

由(1)(2)知,命题对一切正整数成立,即任意的+∈N n 均成立,即3n 5()n n N ++∈能被6整除。

特别提示:数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件。

数学归纳法(选修2-2)导学案

数学归纳法(选修2-2)导学案

数学归纳法应用举例学习目标:了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的命题。

一、 温故知新:1、 数学归纳法适用范围是什么?用数学归纳法证题步骤是什么?应用数学归纳法应该注意那些问题?2、 用数学归纳法证明22111(,1)1n n a a a a n N a a++*-++++=∈≠-L ,在验证n=1时,左边旳项是________________________。

3、 用数学归纳法证明(1)(2)(3)()2123(21),n n n n n n n n N *++++=⋅⋅⋅⋅⋅-∈L L 时,从“1n k n k =→=+”,两边应乘的代数式是A.22k +B.(21)(22)k k ++C.221k k ++ D.(21)(22)1k k k +++ 4、用数学归纳法证明111111111,234212122n N n n n n n*-+-++-=+++∈-++L L 则“1n k n k =→=+”时,左边需要添加的项是 A.121k + B.112+224k k -+ C.122k -+ D.112122k k -++二、典例引领例1、 用数学归纳法证明:211111(1)(1)(1)(1)(2)49162n n n n +----=≥L例2、 用数学归纳法证明:凸n 边形内角和()(2)f n n π=-,(3)n ≥。

例3、 用数学归纳法证明:对n N *∀∈,731n n +-能被9整除。

例4、 当2n ≥且n N *∈时,求证:11111312324n n n n n ++++>++++L 。

三、 拓展训练:已知数列{}n a 中,211,,()n n a S n a n N *==∈,(1)求2,3,4,a a a 并猜想出n a 的表达式; (2)证明你所得的结论。

四、作业布置:。

《2.3.1数学归纳法》导学案

《2.3.1数学归纳法》导学案

高二年级数学导学案§2.3 数学归纳法学习目标1. 了解数学归纳法的意义,培养学生观察、归纳、发现的能力;2. 了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤;3. 使学生的抽象思维和概括能力进一步得到提高。

学习过程一、课前准备复习:在数列{}n a 中,*111,,()1n n na a a n N a +==∈+,计算a 2,a 3,a 4的值,猜测{}n a 的通项公式.二、新课导学学习探究探究任务:数学归纳法思考1:在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?思考2:你认为证明数列的通项公式是1n a n=这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗? 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?试一试:你能证明数列的通项公式1n a n=这个猜想吗?总结数学归纳法两大步:(1)归纳奠基: 时,命题成立(2)归纳递推:假设___________ 时命题成立,证明当___________时命题也成立.根据(1)(2)可以断定命题对 正整数n 都成立.典型例题例1.用数学归纳法证明:2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈练习:用数学归纳法证明: *223333n ,4)1(n 321N n n ∈+=+++例2. 是否存在常数a 、b,使得等式:222212n an +n ++…+=1335(2n -1)(2n +1)bn +2对一切正整数n 都成立,并证明你的结论.练习.已知数列{a n}中a1=-23,其前n项和S n满足a n=S n+1S n+2(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,猜想S n的表达式,并用数学归纳法加以证明.例3已知n∈N+,n>2,求证:1+12+13+…+1n>n+1.(链接教材P18例3)练习:比较 2n 与 n2(n∈N*)的大小三、总结提升1. 数学归纳法的步骤:2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.四.当堂检测1. 用数学归纳法证明n 边形的内角和为(n -2)·180°时,需要验证的第一个值为 。

人教版选修2-2 2.3 数学归纳法导学案

人教版选修2-2  2.3  数学归纳法导学案

2.3 《数学归纳法》导学案制作王维审核高二数学组 2016-04-06【学习目标】1、了解数学归纳法的原理;2、能运用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【学习重点】运用数学归纳法证明有关的数学命题【学习难点】数学归纳法的原理以及运用数学归纳法证明有关的数学命题【预习导航】下图为多米诺骨牌:如何保证骨牌一一倒下?需要几个步骤才能做到?【问题探究】探究活动一:什么是数学归纳法?例 1 用数学归纳法证明:12×4+14×6+16×8+…+12n×(2n+2)=n4(n+1).探究活动二:数学归纳法的应用范围及注意事项例2 已知正项数列{b n}的前n项和B n =14(b n+1)2.(1) 求出b1,b2,b3,b4的值;(2) 猜想{b n}的通项公式,并用数学归纳法证明.探究活动三:如何运用数学归纳法证明有关的数学问题?【课堂巩固练习】1、用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时,归纳奠基中0n的取值应为( )A.1 B.2 C.3 D.42、用数学归纳法证明关于n的恒等式时,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=2)1(kk,则当n=k+1时,表达式应为__________.3、证明:12+122+123+…+12n-1+12n=1-12n(其中n∈N*).【总结概括】本节课的收获:【分层作业】必做题:教材第96页习题2.3第1,2题选做题:同步练习册课后作业提升习题。

4.2数学归纳法2导学案

4.2数学归纳法2导学案

例 2.用数学归纳法证明: (1+α )n≥1+nα (其中α >-1,n 是正整数)
【导学点拨】 1.数学归纳法的两个步骤中第一步 n 的初始值是否一定为 1?
阳光“学-导-练”导学案
年级 高二
学科 数学
姓名
提示:不一定,如证明 n 边形的内角和为(n-2)·180°中,第一个值 3. 2.数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系? 提示:第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据 ,这 两个步骤缺一不可 3.应用数学归纳法要特别注意哪些问题? 提示:一、要注意数学归纳法的起点,数学归纳法的第一步是递推的基 础,有了此基础,在第二步中的假设才能成立,才不是真正意义上的纯 粹假设;二、要注意如何添项:在证明 n=k+1 命题成立要用到 n=k 命题 成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1”时命题是什么,并找出 与“n=k”时命题形式的差别,弄清右端应增加的项. 【达标训练】 a 1. 对于数列an ,已知a1 1,an1 n n 1, 2, ... 猜想其通项公式 1 an 并给出证明
【引学独学】 1.利用数学归纳法证明 1+a+a2+„+an+1= ______ (a≠1,a∈N+)时,在 验证 n=1 成立时,左边应该是( ) 2 (A)1 (B)1+a(C)1+a+a (D)1+a+a2+a3 2.用数学归纳法证明 n(n+1)(2n+1)能被 6 整除时,由归纳假设推证 n=ห้องสมุดไป่ตู้+1 时命题成立,需将 n=k+1 时的原式表示成( ) (A)k(k+1)(2k+1)+6(k+1) (B)6k(k+1)(2k+1) 2 (C)k(k+1)(2k+1)+6(k+1) (D)以上都不对 【对学群学】 1 例 1. 已知数列{an}满足 an+1= ,a1=0,试猜想{an}通项公式并用数学 (2-an) 归纳法证明.

数学归纳法导学案

数学归纳法导学案

2.3数学归纳法(导学案)主备人:韩爱芳 高二数学组【本课时知识目标】(1)了解数学推理的常用方法(归纳法)(2)了解数学归纳法的原理及使用范围(3)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论 (4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题【教学重点】 理解数学归纳法的实质意义,掌握数学归纳法的证题步骤。

【教学难点】 递推步骤中归纳假设的利用。

【教学过程】一、创设问题情境情境一:问题1:袋中有5个小球,如何证明它们都是红色的?问题2.某人站在13-1班门口,看到连续有20个男生进入1班,于是深有感触的说:“这个班的学生都是男生”。

你认为正确吗?问题3.对于数列{}n a ,已知111,1n n na a a a +==+, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳,猜想其通项公式。

这个猜想是否正确,如何证明?情境二: 多米诺骨牌游戏 问题4.要使所有的多米诺骨牌一一倒下?需要几个步骤才能做到?二、探索新知思考:你能类比多米诺骨牌游戏解决问题3吗?三、知识应用 例1.用数学归纳法证明: *)(N n ∈6)12)(1(3212222++=++++n n n n例2.用数学归纳法证明:2462(1)n n n +++=+ *)(N n ∈四﹑课堂练习 ①用数学归纳法证明:()N n a aa a a a n n ∈≠-+=++++++,1111212 在验证n=1成立时,左边计算所得的结果是( )A .1 B.a +1 C .21a a ++ D.321a a a +++ ②用数学归纳法证明命题时,假设111()122k S k N k k k+=+++∈++ 那么 ______________________1+=+K K S S (不需要化简)③判断下面的证明过程是否正确,如果不正确错在哪?证明:2222(1)(21)123()6n n n n n N +++++++=∈ 证明:(1)当1n =时,左边=1,右边=(11)(21)16++=等式成立 (2)假设当n k =时等式成立即2222(1)(21)1236k k k k ++++++= 当1n k =+时代入2222(1)(21)1236n n n n ++++++=得 [][]22222123(1)(1)(2)(23)6(1)(1)12(1)16k k k k k k k k +++++++++=+++++= 所以当1n k =+时等式成立由(1)和(2)可知等式对一切正整数均成立。

(5)数学归纳法学案

(5)数学归纳法学案

课题:数学归纳法 【学习目标】 1、知识与技能了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

2、过程与方法 理清证明思路 3、情感态度与价值观深刻理解数学归纳法,培养学生数学学习兴趣。

【重点难点】数学归纳法证明与自然数有关的命题步骤; 【课前预习】1. 一般地,证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n = 0n 时命题成立;(2)(归纳递推)假设____________时命题成立,证明______________时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。

上述证明方法叫做数学归纳法。

注:(1),(2)两步各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。

2.运用数学归纳法时易犯的错误(1)对项数估算的错误,特别是寻找n =k 与n =k +1的关系时,项数发生什么变化被弄错。

(2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了。

(3)关键步骤含糊不清,“假设n =k 时结论成立,利用此假设证明n =k +1时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性。

【预习自测】1. 用数学归纳法证明:11112321n n +++⋅⋅⋅+<-(*N n ∈,且1>n )时,第一步即证下列哪个不等式成立( ) A. 12<B. 1122+< C. 111223++< D. 1123+< 2.用数学归纳法证明:)1(12131211>∈<-+⋅⋅⋅+++n N n n n 且,第二步证明从“K 到K+1”,左端增加的项数是 ( ) A. 12-k B. k 2 C. k 2-1 D. k2+13.用数学归纳法证明1222()n n n n N +≥++∈时,第一步证明n =____.4. 用数学归纳法证明:2+4+6+…+2n =2n n +【合作探究】探究点1:利用数学归纳法证明等式例1、用数学归纳法证明:*N n ∈时,1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++变式练习:用数学归纳法证明:22222246(2)(1)(21)3n n n n +++⋅⋅⋅+=++探究点2:由“K 到K+1”左端增加的项数例2、用数学归纳法证明22221135(21)(41)3n n n +++⋅⋅⋅+-=-过程中,由n=k 递推到n=k+1时,不等式左边增加的项为 ( ) A.2)2(k B.2)32(+k C. 2)12(+k D. 2)22(+k变式练习:1.用数学归纳法证明不等式111113(2)123224n n n n n ++⋅⋅⋅+=≥+++的过程中,由n=k 递推到n=k+1时,不等式左边 ( ) A.增加了一项)1(21+k B.增加了一项)1(21121+++k k C.增加了“)1(21121+++k k ”,又减少了“11+k ” D.增加了“)1(21+k ”,又减少了“11+k ” 2.用数学归纳法证明(1)(2)()2135(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-*()n N ∈时,从“n k =到1+=k n ”,左边需增乘的代数式是( ) A. 12+kB. 112++k k C. )12(2+k D. 132++k k【课后作业】1.用数学归纳法证明“)(12222112+-∈-=+⋅⋅⋅+++N n n n ”的过程中,第二步k n =时成立,则当1+=k n 时应证明 ( ) A. 12222211122-=++⋅⋅⋅++++--k k kB. 11221222221+++-=+++⋅⋅⋅+++k k k kC. 122221112-=+⋅⋅⋅++++-k k D. k k k k 2122222112+-=+++⋅⋅⋅+++-2.空间中有n 个平面,它们中任何两个不平行,任何三个不共线,设k 个这样的平面把空间分成)(k f 个区域,则1+k 个平面把空间分成的区域数+=+)()1(k f k f ( )A. 1+kB. kC. 1-kD. k 23.用数学归纳法证明某命题时,左式为111111234212n n ⋅⋅+⋅-+-+--,n k =到1n k =+时应将左边加上( )111111....212124222122A B C D k k k k k k ---+-++++4.若11111()1234212f k k k=-+-+⋅⋅⋅+--则)1(+k f = )(k f + _______.。

2019-2020学年高二数学《数学归纳法》学案二.doc

2019-2020学年高二数学《数学归纳法》学案二.doc

2019-2020学年高二数学《数学归纳法》学案二教学目标:了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 教学重点:解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题教学难点:了解反证法的思考过程和特点. 教学过程:一、课前检测:1.数学归纳法公理:2.数学归纳法证明的步骤:3.用数学归纳法证明:()(27)39()n f n n n N +=++∈能被36整除。

完善下列过程: 证明:(1)当1n =时,(1)f = ,能被36整除,(2)假设 时,能被36整除,即()(27)39k f k k =++当1n k =+时,1(1)[2(1)7]39k f k k ++=+++ = 11()3631183136k k f k ---∴-能被整除,而是偶数,()能被整除,∴ 能被36整除,由(1)(2)知对()n N +∈,()f n 能被36整除。

二、例题讲解例1.设*1,()5231n n n N f n -∈=+⨯+(1) 当1,2,3,4n =时,计算()f n 的值;(2) 你对()f n 的值有何猜想?用数学归纳法证明你的猜想.例 2.在平面上画n 条直线,且任何两条直线都相交,其中任何三条直线不共点,问:这n 条直线将平面分成多少个部分?例3.设0a >且*1,a n N ≠∈,试比较24235211()nn a a a f n a a a a -+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+与1n n +的大小例 4.已知函数()sin ,f x x x =-数列{}n a 满足:111,(),1,2,3,...n n a a a f a n +<<==证明:3111(1)01;(2)6n n n n a a a a ++<<<<三.课堂小结:作业班级 姓名 学号 等第1.利用数学归纳法证明不等式1111(2,)2321n n n n N ++++⋅⋅⋅+<≥∈-的过程中,由n k =变到1n k =+时,左边增加了2.求135(1)(21)_______________n n -+-+⋅⋅⋅+--=3.凸n 边形的对角线的条数()_____________f n =4.用数学归纳法证明,212111211214131211n n n n n ++++=--+-+-第一步应验证的左式是5.若kk k f 211214131211)(--++-+-= ,则+=+)()1(k f k f6.用数学归纳法证明:3个连续自然数的立方和能被9整除7.3*5()n n n N +∈能被哪些自然数整除?并给出证明.8.设*n N ∈,求证:22()389n f n n +=--是64的倍数9.已知数列{}n a 满足11,a =且*11429()n n n n a a a a n N ++-+=∈(1)求234,,;a a a (2)由(1)猜想{}n a 的通项公式n a ;(3)用数学归纳法证明(2)的结果10.试比较1n n +与*(1)()n n n N +∈的大小,分别取1,2,3,4,5n =加以试验,根据试验结果猜测一个一般性结论,并用数学归纳法证明.。

《2.3.1数学归纳法》导学案(新部编)2

《2.3.1数学归纳法》导学案(新部编)2

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科:_____________任教年级:_____________任教老师:_____________xx市实验学校《2.3数学归纳法理》导学案学法指导:认真自学,激情讨论,愉快收获.●为必背知识教学目标:1.了解归纳法的意义,培养学生观察、归纳、发现的能力.2.了解数学归纳法的原理,能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤.教学重点与难点重点:借助具体实例了解数学归纳的基本思想,掌握它的基本步骤,运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题.难点:1、学生不易理解数学归纳的思想实质,具体表现在不了解第二个步骤的作用,不易根据归纳假设作出证明;2、运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系.教学过程:一:回顾预习案1.阅读课本92页-93页2.完成下列填空a n1=这个猜想用多米诺骨牌原理解决数学问题.思考:你认为证明数列的通过公式是n与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?行:(1)(归纳奠基) ;(2)(归纳递推) .只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做 . 注意:(1)这两步步骤缺一不可.(2)用数学归纳法证明命题时,难点和关键都在第二步,而在这一步主要在于合理运用归纳假设,结合已知条件和其他数学知识,证明“当n =k +1时命题成立”.(3)数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析.4、例题讲解 例1 课本P 94例2 课本P 94当堂检测: 1.观察式子:213122+<,221151233++<,222111712344+++<,L ,则可归纳出式子为( )A.22211111(2)2321n n n ++++<-L ≥ B.22211111(2)2321n n n ++++<+L ≥ C.222111211(2)23n n n n -++++<L ≥ D.22211121(2)2321n n n n ++++<+L ≥ 2.用数学归纳法证明)14(31)12(53122222-=-++++n n n Λ过程中,由n =k 递推到n =k +1时,不等式左边增加的项为 ( )A .2)2(kB .2)32(+kC . 2)12(+kD . 2)22(+k 3.用数学归纳法证明不等式)2(241321312111≥>++++++n n n n n Λ的过程中,由n =k 递推到n =k +1时,不等式左边 ( )A .增加了一项)1(21+k B .增加了一项)1(21121+++k kC .增加了“)1(21121+++k k ”,又减少了“11+k ” D .增加了“)1(21+k ”,又减少了“11+k ”4.若f (k )=++-+-Λ4131211 ,21121kk --则)1(+k f = )(k f + _______. 二 ,讨论展示案 合作探究,展示点评 展示一,课本96页A 组1(1)展示二,课本96页A 组1(2)展示三,课本96页A 组1(3)展示四,课本96页A 组2。

数学归纳法导学案第二课时

数学归纳法导学案第二课时

数学归纳法导学案
(二)
( 2 )前面学习归纳推理时,我们有一个问题没有彻底解决.即对于数列
,已知

( n=1,2,3…),通过对 n=1,2,3,4 前 4 项的归纳,猜想出其通项公式
,但却没有进一步的检验和证明.
【学习过程】 10. 用数学归纳法证明:当 n 为正整数时, 1 3 5 (2n 1) n2 问题:上面两个条件分别起怎样的作用?它们之间有怎样的关系?我们能否去掉其中的一个?你能举反例说明 吗? 知识点: 1.归纳法: 2.不完全归纳法: 3.完全归纳法: 4.数学归纳法:对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性: 先证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立;然后假设当 n=k(kN*,k≥n0)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立 这种证明方法就叫做数学归 纳法 5.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤: 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 11 .下列不等式:1 ,1 1 ,1 ,1 2 , ,你能得到一个怎样的一 (1) 2 3 2 3 7 2 2 3 15 2 (2) 般不等式?并加以证明. (3)
备课时间 课 题 【学习目标】
授课时间
年级(科目) 2.3 数学归纳法(二)
高二数学
1.了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤; 1 1 1 2n 1 C. 1 2 2 2 (n ≥ 2) 2. 初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式,并能掌握数学归纳法证明问题的格式 2 3 n n 3.数学归纳法中递推思想的理解. 1 1 1 2n D. 1 2 2 2 (n ≥ 2) 【学习重点难点】 2 3 n 2n 1 重点:用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能掌握数学归纳法证明问题的格式 1 1 1 1 n 难点:数学归纳法中递推思想的理解 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 2 n 1 【知识链接】 1 9. 用数学归纳法证明 1 n 2 (n 1) 3 (n 2) n 1 n(n 1)(n 2) (1 )大家玩过多米诺骨牌游戏吗?这个游戏有怎样的规划? 6 这是一个码放骨牌游戏,码放时保证任意两相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块骨牌倒 下.只要推倒第一块骨牌,就必然导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下,就必然导致第三块骨牌倒下…最后, 不论有多少块骨牌都能全部倒下.

数学归纳法探究学案 (2)

数学归纳法探究学案 (2)

《数学归纳法》探究学案授课人高一数学组:甘宗平教学目标:1、知识目标:(1)了解数学推理的常用方法——归纳法;(2)了解数学归纳法的原理及使用范围;(3)掌握数学归纳法证明命题的两个步骤一个结论,会用数学归纳法证明简单的恒等式。

2、能力目标:由数学归纳法证明简单恒等式的过程,初步理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。

教学重点:1、理解数学归纳法的实质意义,掌握数学归纳法的证题步骤;2、能用数学归纳法证明一些简单的恒等式。

教学难点:数学归纳法中递推思想的理解。

教学过程:一、导入探究1:请看下面两个例题,它们的结论是否正确?1、如果等差数列{a n}的首项是a1,公差是d,我们根据等差数列的定义,可以得到a2= a1+da3= a2+d= a1+2da4= a3+d= a1+3da 5= a4+d= a1+4d ……由此,猜想an = a1+()d2、数列{a n}满足an =(n2-5n+5)2,容易验证a1=_____, a2=_____, a3=_____, a4=_____。

猜想:对n ∈N+,都有an=_____.很显然,第一个结论是正确的,第二个结论是错误的,它们都是采用不完全归纳法,得出结论容易,但结论不一定可靠。

那么,怎样判断用归纳方法得到的某些与正整数有关的数学命题的真假呢?接下来我们就一起学习这种方法——数学归纳法。

二、讲授新课。

1、多米诺骨牌实验探究2:这个游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?(1)______________________________(奠基作用)(2)____________________________________________________________(递推作用)2、数学归纳法的定义我们对某些与正整数n有关的数学命题,常常用下面的方法来证明:先验证当n取第一个值n0时命题成立,然后在当n=k(k∈N+,k≥n)时命题成立的假设下,证明当n=k+1时命题也成立。

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阜宁县明达中学高二数学导学案
课题:数学归纳法()二 课型:习题
执笔:孙荣贵
班级________姓名________学号________
学习目标:理解数学归纳法的概念,掌握数学归纳法的证明步骤;
通过数学归纳法的学习,用数学归纳法证明规律的途径;
学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用. 学习重点:用数学归纳法证明规律的途径,学会数学归纳法的应用.
学习难点:用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题,学会数学归纳法的应用. 一自主学习
1. 数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0,如果当n=n 0时,
命题成立,再假设当n=k(k ≥n 0,k ∈N *)时,命题成立.(这时命题是否成立不是确定的),根
据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1,n 0+2,…,命题都成立.
2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:
二 典型例题
例1.设*n N ∈,1()5231n n f n -=+⨯+.
(1)当1,2,3,4n =时,计算()f n 的值;
(2)你对()f n 的值有何感想?用数学归纳法证明你的猜想.
变式:求证3个连续自然数的立方和能被9整除
例2.在平面上画n 条直线,且任何两条直线都相交,其中任何三条直线不共点.问:这条直线将平面分成多少个部分?
例3.已知*1111(1,)23n S n n N n =+
++⋅⋅⋅+>∈,求证:212
n n S >+*(2,)n n N ≥∈.
反思:
(1)这两个步骤是缺一不可的.数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础,步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证;
(2)在数学归纳法证明有关问题的关键,在第二步,即1n k =+时为什么成立?1n k =+时成立是利用假设n k =时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1n k =+出时成立,而不是直接代入,否则1n k =+时也成假设了,命题并没有得到证明;
(3)用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析.
(4) 数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中
三当堂检测
1. 求-1+3-5+()()121--+n n
的和
2.设n *∈N ,求证:()98322--=+n n f n 是64的倍数。

3.设n *∈N ,n>1,求证:1+n 1
31
21
+++ >n。

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