2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习课时作业：第2部分专题1第2讲函数图象与性质 Word版含答案

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2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习课时作业：第1部分第2讲分类讨论、转化与化归思想含答案

课时作业1．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋错误!＝1的离心率是( ）A。

错误! B.错误!C。

错误!或错误! D.错误!或错误!D [解析] 因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4.当m＝4时,圆锥曲线错误!＋x2＝1是椭圆,其离心率e＝错误!＝错误!;当m＝－4时，圆锥曲线x2－错误!＝1是双曲线，其离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.综上知,选项D正确．2．已知集合A＝{x｜1≤x〈5}，C＝{x｜－a<x≤a＋3｝．若C∩A ＝C，则a的取值范围为（）A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!C ［解析] 因为C∩A＝C，所以C⊆A.①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－错误!;②当C≠∅时，要使C⊆A，则错误!解得－错误!〈a≤－1。

由①②得a≤－1。

3．已知三棱柱的底面为正三角形,且侧棱垂直于底面，其侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为( )A。

错误!B．4错误!C.错误!D．4错误!或错误!D [解析] 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×错误!×错误!×4＝4错误!；当长、宽分别为4和6时，体积V＝错误!×错误!×错误!×6＝错误!。

4．(2016·高考全国卷乙)已知方程错误!－错误!＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．(－1，3) B．（－1，错误!）C．（0,3) D．(0，错误!)A [解析] 由题意得（m2＋n）（3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1,所以－1＜n＜3.5．（2016·昆明两区七校调研）某校从8名教师中选派4名同时去4个偏远地区支教（每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有( ）A．900种B．600种C．300种D．150种B [解析］依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有C 错误!·A 错误!＝240种;第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有A 错误!＝360种．因此,满足题意的选派方案共有240＋360＝600种，选B 。

2017全国高考冲刺押题卷理科数学(2)答案完整版

π ， 2
x2 y 2 1 5 4
PO
，
F1 , F2
为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则 PF1 PF2 的取值范围（ A． 0, 5
5
）
B． 0, 2 5
5
3 5 C． 0, 5
A．
）
1 3
B．
1 2
C．1
D． 2
5.某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为 a，则该三棱锥的表面积为（ A． a
2
） D． 2 3a
2
B． 3a
2
C． 3 a 2 6
6.某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了 8 个，其中有 2 个是次品，现从 8 个跳舞机器人中随机抽取 2 个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（ A． 3
C．0 D． 2
）
8 ．已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S2 ＝ 4 ， S4 ＝ 16 ，数列 bn 满足
bn an an 1 ，则数列 bn 的前 9 和 T9 为（
A．80 B．20
） C．180 D．166
9.2015 年 12 月 16 日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办．为了保护与会者的安全，将 5 个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（ A． 96 种 B ．100 种） C ．124 种 D．150 种
28
） B． 1 28 C． 3
7
D． 13
28
7.如图所示，在梯形 ABCD 中，

2017高考数学文新课标版考前冲刺复习讲义：第2部分专

透视全国高考揭秘命题规律(四)——立体几何(全国卷第19题)作图问题与相关度量[学生用书P44]如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【解】 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝⎛⎭⎫79也正确.1.作图问题作图问题有下列三种情况．(1)平行问题：首先考虑线段的中点，构造三角形中位线或平行四边形与平行公理．再结合线面平行或面面平行的判定定理说明或证明(根据题意是否给出)．(2)围成的平面图形(截面)根据要求的截面图形(例如矩形、正方形、三角形等)，首先观察原几何体的几何特征(例如平行与垂直或长度等特殊关系)，画出合情的截面的图形(封闭)．再结合相关的几何条件说明或证明画的图形的合情性(根据题意是否给予说明)． 2．相关度量根据作图的结果，利用相关的计算思想和方法求出某些几何量．一般以求几何体的体积为主．翻叠性问题[学生用书P44](2016·高考全国卷甲)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′ABCFE 的体积．【解】 (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD. 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .由此得EF ⊥HD ，EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .由(1)知，AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′. 又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92.五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D ′ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322.解决平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程理清翻折前后位置关系中没有变化的量是哪些，发生变化的量是哪些，这些不变的量和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征，求解问题时要综合考虑翻折前后的图形．空间位置关系与体积[学生用书P45]满分展示(满分12分)(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．,[解题程序] 第一步：计算AM 的值．第二步：取PB 的中点T ，并证明NT12BC . 第三步：证明AMNT 为平行四边形，MN ∥AT . 第四步：证明MN ∥平面P AB.第五步：求点N 到平面ABCD 的距离．[联想破译] 联想因素：线面垂直、线线平行、中点、体积．联想线路：(1)取BP 的中点T ，先结合条件证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN ∥AT ，再结合线面平行的判定定理可证．(2)由条件可知四面体N -BCM 的高(即点N 到底面的距离)为棱P A 的一半，由此可顺利求得结果．[标准答案]第(1)问得分点说明：求出AM 的长度，得1分；推出TN ∥BC ，且TN ＝12BC 得2分；证明MN ∥AT 得2分；证明MN ∥平面P AB 得1分(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.(1分)取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2. (3分)又AD ∥BC ，故TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . (5分)因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .( 6分)（2）因为P A ⊥平面ABCD ， N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .（8分）取BC 的中点E ，连接AE ，由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ， AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得(M 到BC 的距离为5，（10分）故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.（11分）所以四面体N -BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM × P A 2＝453.（12分）第（2）问得分点说明：求出点N 到平面ABCD 的距离得2分；求出M 到BC 的距离得2分；求出S △BCM 得1分；求出体积得1分\a\vs4\al (（12分）第六步：求M 到BC 的距离．第七步：求△BCM 的面积．第八步：求四面体N -BCM 的体积． [满分心得] (1)写全得分步骤对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问中，MN ∥AT ，第(2)问中N 到平面ABCD 的距离为12P A .(2)写明得分关键对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出判断直线MN ∥平面P AB 过程中的两个条件，写不全不能得全分；第(2)问中求点N 到平面ABCD 的距离和M 到BC 的距离时，一定要写出推理过程，否则要扣分．。

2017届高考数学(理)冲刺卷(新课标Ⅱ卷) 01(解析版) (12)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足()11z i i i -=-+，则z 的实部为（）A.12 1 C. 1D. 12【答案】A2. 设α为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．2512B ．2425C ．2425-D ．1225-【答案】B 【解析】试题分析：因为α为锐角，且4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3sin()65πα+==，所以3424sin 2sin 22sin cos 236665525ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B. 3. 下列命题中正确的是（）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥【答案】D【解析】若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少一个为真命题，因此p q ∧不一定为真命题，所以选项A 错误；“0a >，0b >”时“2b a a b +≥=”，充分性成立，而2()2200b a b a a b a b a b ab-+≥⇒+-≥⇒≥ 0ab ⇒>，即“0a >，0b >”不一定成立，即必要性不成立，所以选项B 错误；命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，所以选项C 错误；命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥，所以选项D 正确.故选D.4.2015年11月19日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是豆沙馅”，则(|)P B A =（）A ．34 B ．14 C ．110 D ．310【答案】A5. 已知l 是双曲线22:124x y C -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅=，则P 到x 轴的距离为（）A ．．2 D 【答案】C【解析】因为222246c a b =+=+=，所以c =()1F ，)2F ，不妨设l 的方程为y =，设()00x P ，则()100F ,x P =，)200F ,x P =，因为12F F 0P ⋅P =，所以()20020x x x +=，解得0x =P 到x 02=，故选C.6. 如图1，已知正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1D A ，1C B ，11C D上．当三棱锥Q -BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q -BMN 的正视图面积等于（）A ．212aB ．214aC 2D 2【答案】B【解析】由俯视图知点M 为1D A 的中点、N 与C 重合、Q 与1D 重合，所以三棱锥Q -BMN 的正视图为1CD ∆P ，其中点P 为1DD 的中点，所以三棱锥Q -BMN 的正视图面积为211224a a a ⨯⨯=，故选B.7. 若6nx⎛⎝的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C8. 将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标压缩为原来的12倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A ．,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标压缩为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 的图象，当222262k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），即36k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ）时，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 单调递增，所以函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），当0=k 时，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 在区间,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故选A.9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（）A ．1007B ．2015C ．2016D ．3024【答案】D10. O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以C B 为底边的等腰三角形C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以C B 为斜边的直角三角形【答案】B【解析】设C B 的中点为D ，则C 2D OB+O =O，∵()()C C 20OB -O ⋅OB +O -OA = ，∴()C 2D 20B⋅O -OA =，即C 2D 0B⋅A = ，∴C D B ⊥A，故C ∆AB 是以C B 为底边的等腰三角形，故选 B ．11. 点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，C A ，D A 两两垂直，且1AB =，C 2A =，3AD =，则该球的表面积为（）A ．7πB ．14πC ．72πD ．3【答案】B【解析】三棱锥CD A -B 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，所以长方体的对角线长是=2414ππ⨯=⎝⎭．故选B ．12. 设点P 在曲线2x y e =上，点Q 在曲线2ln ln -=x y 上，则Q P 的最小值为（）A ．1ln 2-B )1ln 2-C ．()21ln 2+D )1ln 2+ 【答案】D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13. (121x dx -=⎰.【答案】232π+【解析】试题分析：12311112|33x dx x --==⎰，而根据定积分的定义可知1-⎰表示圆心在原点的单位圆上半部分半圆的面积，∴11222112(32x dx x dx π---=+=+⎰⎰⎰. 14. 点(,)M x y是不等式组03x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y m -+≥总成立，则m 的取值范围是 . 【答案】[)3,+∞【解析】若20x y m -+≥总成立2m y x ⇔≥-总成立即可，设2z y x =-，即求出z 的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图四边形C OAB 内部（含边界），由2z y x =-得2y x z =+，平移直线2y x z =+，当其过点()C 0,3时，直线的截距最大，此时z 最大，此时3203z =-⨯=，∴3m ≥，故m 的取值范围是[)3,+∞．15. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P Q 、两点，若=PQ a ，AP PQ ⊥，则椭圆C 的离心率为 .16. 已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2=AB ，4=BC ，5=CD ，3=DA ，则平面四边形ABCD 面积的最大值为______.【答案】【解析】设x AC =，在ABC ∆中，由余弦定理有：B B x cos 1620cos 42242222-=⨯⨯-+=，同理，在ADC ∆中，由余弦定理有：D D x cos 3034cos 53253222-=⨯⨯-+=，即7cos 8cos 15=-B D ①，四边形ABCD 面积为)sin 15sin 8(21sin 5321sin 4221D B D B S +=⨯⨯+⨯⨯=，即8sin 15sin B D +2S =②，①②平方相加得264225240(sin sin cos cos )494240cos()B D B D S B D ++-=+-+24240S =-，当π=+D B 时，S 取最大值302.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足1n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(23)26n n T n +=-+．18.（本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =-；（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）【答案】（1）ˆ8.69 1.23y x =-；（2）2.72吨．【解析】解：(1)()11234535x =++++=，()17.0 6.5 5.5 3.8 2.255y =++++=…………………2分 5117.02 6.53 5.54 3.85 2.262.7i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑错误！未找到引用源。

2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习讲义：第2部分高考新元素含答案

一创新型问题新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”随着新课程改革的深入和推进,高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题．创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用．高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)．此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求思维水平高，思维容量大，但运算量较小,求解此类问题，要求学生有临场阅读,提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力．“新定义”问题新定义问题是指在特定情景下,用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题——新定义问题的解题技法．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．(1)(2016·高考全国卷丙）定义“规范01数列”{a n｝如下：｛a n}共有2m项，其中m项为0,m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2,…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4,则不同的“规范01数列”共有(）A．18个B．16个C．14个D．12个(2）已知函数y＝f（x）（x∈R）,对函数y＝g(x）(x∈I）,定义g（x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)（x∈I），y＝h（x)满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x)），(x，g（x)）关于点(x,f（x））对称．若h（x)是g(x）＝错误!关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h（x)>g（x)恒成立,则实数b的取值范围是________．【解析】（1）法一：不妨设a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列"有00001111，00010111，00011011，00011101,00100111，00101011，00101101,00110011,00110101,01000111，01001011，01001101，01010011,01010101,共14个．法二：设a1，a2，a3,…,a k中0的个数为t,则1的个数为k－t,由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0,则错误!。

高考复习 2017年高考数学(理科)冲刺(二)教师版

2017年高考数学（理科）冲刺（二）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（ B ）A．{﹣1，0} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}2．设复数z满足=i，则z的虚部为（ C ）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．13．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ C ）A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4=a2+a3+9a1，a5=32，则a1=（ C ）A．﹣ B． C．2 D．﹣25．设函数f（x）=，若f（a）＞1，则a的取值范围是（ D ）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ D ）A． B．32 C． D．7．已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上，则点C与坐标原点的距离为（ A ）A．B．5 C．13 D．258．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y，k分别为1，2，3，则输出的N=（ B ）A． B． C． D．9．已知M是球O的直径CD上的一点，CM=MD，CD⊥平面α，M为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（ C ）A．3π B．9π C． D．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（ C ）A． B． C． D．11．设，是夹角为60°的两个单位向量，若=+λ与=2﹣3垂直，则λ= ．12．若，则目标函数z=x+2y的取值范围是[2，6] ．13．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为5，则a= ﹣．14．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．解：（1）△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，∴cosA===，∴A=．（2）再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bcsinA=×2×2×=，故△ABC的面积的最大值为：．15．随机观测生产某种们零件的某工厂20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 2 0.10（30，35] 4 0.20（35，40] 5 0.25（40，45] m f m（45，50] n f n（1）确定样本频率分布表中m，n，f m和f n的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取3人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．解：（1）∵20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36．∴（40，50]区间内的频数m=6，（45，50]区间内的频数n=3，∴f m==0.3，f n==0.15．（2）由频率分布直方图，画出频率分布列如下图：（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35]的频率为0.2，设所取的3人中，日加工零件数落在区间（30，35]的人数为ξ，则ξ～B（3，0.2），P（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣0.2）3=0.488．∴至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为0.488．16．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N．（1）在图中作出截面MADN，判断其形状并说明理由；（2）求直线CD与平面MADN所成角的正弦值．解：（1）∵M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N，∴N是SC中点，即取SC中点N，连结MN，DN，AM，则作出截面MADN．理由如下：∵M是SB中点，N是SC中点，∴MN∥BC，且MN=BC，∵底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，∴AD∥BC，且AD=，∴MN AD，∴M、A、D、N四点共线，∴截面MADN是平行四边形．（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，C（2，2，0），D（1，0，0），B（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），A（0，0，0），=（﹣1，﹣2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），设平面MADN的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，﹣1），设直线CD与平面MADN所成角为θ，则sinθ===．∴直线CD与平面MADN所成角的正弦值为．17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线x+y﹣=0交C于A、B两点，线段AB的中点为（，）．（1）求C的方程；（2）在C上是否存在点P，使S△PAB=S？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知直线方程求得c值，再由“点差法”结合已知得到a2=2b2，结合隐含条件求得a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）求出过F1与直线x+y﹣=0平行的直线方程，与椭圆方程联立求得使S△PAB=S的点P的坐标，在验证直线x+y﹣=0的右上侧椭圆上不存在满足条件的P得答案．【解答】解：（1）由直线x+y﹣=0过F2，取y=0，得x=，即c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式作差可得：，化为，则，联立，解得a2=6，b2=3．∴椭圆C的方程为：；（2）如图，由（1）可得，F1（），过F1且与直线x+y﹣=0平行的直线方程为y=﹣1×（x+），即y=﹣x﹣，联立，解得或．∴椭圆上的两点P（0，﹣）、（）满足S△PAB=S；再设与直线x+y﹣=0平行的直线方程为x+y=m，联立，可得3x2﹣4mx+2m2﹣6=0，由△=16m2﹣12（2m2﹣6）=72﹣8m2=0，解得m=±3，当m=3时，直线x+y=3与直线x+y﹣=0的距离为，而直线x+y+与直线x+y﹣=0的距离为，，∴直线x+y﹣=0的右上侧，椭圆上不存在点P，满足S△PAB=S．综上，椭圆上的两点P（0，﹣）、（）满足S△PAB=S．18．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=﹣2时故函数在（1，+∞）上是增函数．（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负，故函数f（x）在[1，e]上是增函数．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时f'（x）=0，当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．所以此时有最值．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正，所以[f（x）]min=f（e）=a+e2．（3）由题意可化简得（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=﹣1．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]19．已知曲线C：ρ=2cosθ，直线l：（t是参数）．（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：ρ=2cosθ，化为普通方程，然后转化为参数方程，消去参数可得直线l的普通方程．（2）（2）曲线C上任意一点P（1+cosθ，sinθ）到l的距离为d．则|PA|=，其中φ为锐角，且tan α=．利用正弦函数的单调性即可得出最值．【解答】解：曲线C：ρ=2cosθ，可得ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x，即：（x﹣1）2+y2=1，曲线C的参数方程，，θ为参数．直线l：（t是参数）．消去参数t，可得：3x+4y﹣12=0．（2）曲线C上任意一点P（1+cosθ，sinθ）到l的距离为d=|3cosθ+4sinθ﹣9|．则|PA|==|sin（θ+φ）﹣|，其中φ为锐角，且tan φ=．当sin（θ+φ）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+φ）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．。

2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习：高考真题汇编(数学理)含答案

专题1集合与常用逻辑用语1．（2016·高考全国卷乙)设集合A＝｛x｜x2－4x＋3＜0}，B＝{x｜2x－3＞0}，则A∩B＝( )A.错误! B。

错误!C。

错误!D。

错误!2．(2016·高考全国卷甲）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x ＋1)(x－2)＜0，x∈Z},则A∪B＝( )A．｛1｝B．{1,2｝C．{0，1,2，3} D．{－1,0,1,2，3}3．（2016·高考全国卷丙)设集合S＝｛x|（x－2）（x－3）≥0｝，T＝｛x|x＞0｝，则S∩T＝( )A．[2，3］B．(－∞，2]∪［3，＋∞)C．[3，＋∞）D．(0,2]∪[3，＋∞)4．(2016·高考山东卷）设集合A＝{y｜y＝2x，x∈R}，B＝｛x|x2－1＜0}，则A∪B＝（)A．（－1，1) B．(0，1)C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）5．（2016·高考浙江卷）命题“∀x∈R,∃n∈N＊，使得n≥x2”的否定形式是（)A．∀x∈R，∃n∈N＊，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N＊，使得n<x2D．∃x∈R,∀n∈N*，使得n<x26．（2016·高考北京卷）设a,b是向量．则“｜a｜＝｜b｜”是“|a＋b｜＝|a－b｜"的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件专题2函数1．(2016·高考全国卷乙)若a＞b＞1,0＜c＜1,则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．a log b c＜b log a c D．log a c＜log b c2．（2016·高考全国卷甲）已知函数f(x）(x∈R）满足f(－x）＝2－f(x)，若函数y＝错误!与y＝f（x)图像的交点为（x1，y1)，（x2，y2),…，(x m，y m)，则错误!(x i＋y i)＝（)A．0 B．mC．2m D．4m3．(2016·高考全国卷丙)已知a＝2错误!,b＝4错误!，c＝25错误!，则( )A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b4．(2016·高考四川卷）某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )（参考数据：lg 1。

2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习课时作业：第2部分专题7第2讲不等式选讲含答案

课时作业1．（2016·长春七校联考）已知函数f（x)＝｜x＋3|＋｜x－1｜,其最小值为t.（1)求t的值；(2）若正实数a，b满足a＋b＝t，求证:错误!＋错误!≥错误!.[解] （1)法一：因为f（x）＝错误!根据函数f（x）的图象分析可得f（x)的最小值为4，故t＝4。

法二：因为|x＋3｜＋｜x－1｜＝｜x＋3|＋｜1－x｜≥|x＋3＋1－x|＝4,可知f（x)min＝4,即t＝4。

法三：｜x＋3｜＋｜x－1｜表示数轴上的动点x到－3和1的距离之和,故|x＋3｜＋|x－1｜≥4，当且仅当－3≤x≤1时,取得最小值4，即t＝4。

(2）证明:由(1)得a＋b＝4，故错误!＋错误!＝1，错误!＋错误!＝错误!错误!＝错误!＋1＋错误!＋错误!≥错误!＋2错误!＝错误!＋1＝错误!，当且仅当b＝2a，即a＝错误!,b＝错误!时取等号．故错误!＋错误!≥错误!.2．（2016·高考全国卷甲）已知函数f（x）＝错误!＋错误!,M为不等式f（x）＜2的解集．(1）求M；(2)证明：当a,b∈M时,|a＋b｜＜|1＋ab｜。

［解］（1)f(x)＝错误!当x≤－错误!时，由f（x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1,所以－1＜x≤－错误!；当－错误!＜x＜错误!时,f（x）＜2恒成立；当x≥错误!时,由f(x）＜2得2x＜2，解得x＜1，所以错误!≤x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x｜－1＜x＜1}．(2）证明：由（1)知，当a,b∈M时,－1＜a＜1，－1＜b＜1,从而（a＋b）2－（1＋ab）2＝a2＋b2－a2b2－1＝（a2－1）（1－b2）＜0。

因此｜a＋b|＜｜1＋ab|.3．（2016·东北四市教研联合体)已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x－1｜－|x－2｜≥t成立．（1）求满足条件的实数t的集合T；(2)若m＞1，n＞1,且对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立,试求m＋n的最小值．[解］（1)|｜x－1｜－|x－2|｜≤｜x－1－（x－2）｜＝1，所以｜x－1｜－｜x－2｜≤1,所以t的取值范围为（－∞，1］，T＝{t|t≤1}．所以log 3m ·log 3n ≥1，又m ＞1，n ＞1，所以log 3m ＞0，log 3n ＞0.又1≤log 3m ·log 3n ≤错误!错误!＝错误!（当且仅当log 3m ＝log 3n 时,取等号，此时m ＝n ),所以［log 3（mn ）]2≥4，所以log 3(mn ）≥2，mn ≥9，所以m ＋n ≥2错误!≥6，即m ＋n 的最小值为6（此时m ＝n ＝3)．4．（2016·哈尔滨四校联考)已知函数f （x ）＝|x ＋1｜,g （x )＝2｜x |＋a .(1）当a ＝－1时，解不等式f （x ）≤g (x )；(2）若存在x 0∈R ,使得f （x 0)≥错误!g （x 0)，求实数a 的取值范围．［解] （1）当a ＝－1时,不等式f （x ）≤g （x ），即｜x ＋1|≤2｜x |－1,从而⎩⎨⎧x ≤－1，，－x －1≤－2x －1，即x ≤－1，或错误!即－1＜x ≤－错误!，或错误!即x ≥2。

2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习：第2部分专题1第2讲函数图象与性质含答案

课时作业 [基础达标]1．已知f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3A [解析] 因为f (x )＝x ＋1x －1，所以f (a )＝a ＋1a －1＝2，所以a ＋1a＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4，故选A.2．(2016·石家庄教学质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |B [解析] A 中函数y ＝1x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．(2016·湖北七市(州)协作体联考)T 为常数，定义f T (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥T T ，f （x ）<T，若f (x )＝x －ln x ，则f 3[f 2(e)]的值为( )A ．e －1B ．eC ．3D ．e ＋1C [解析] 由题意得，f (e)＝e －1<2，所以f 2(e)＝2，又f (2)＝2－ln 2<3，所以f 3[f 2(e)]＝3，故选C.4．函数f (x )＝(x －1)ln|x |的图象可能为( )A [解析] 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，可排除B.当x ∈(0，1)时，x －1＜0，ln x ＜0，所以(x －1)ln x ＞0，可排除D ；当x ∈(1，＋∞)时，x －1＞0，ln x＞0，所以(x －1)ln x ＞0，可排除C.选A.5．设函数f (x )＝log 2(3x －1)，则使得2f (x )>f (x ＋2)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞A [解析] 因为f (x )＝log 2(3x －1)，2f (x )>f (x ＋2)，所以2log 2(3x －1)>log 2(3x ＋5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧（3x －1）2>3x ＋53x －1>03x ＋5>0，解得x >43，故选A.6．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0lg （－x ），x <0，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( )A ．2 016 B.14 C ．4D.12 016C [解析] 由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 984)＝f (2 016－10 000)＝lg 10 000＝4，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝4，故选C. 7．定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f (x )，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，则( )A ．f (－2)<f (1)<f (3)B ．f (3)<f (－2)<f (1)C ．f (3)<f (1)<f (－2)D ．f (1)<f (－2)<f (3)B [解析] 因为∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，所以f (x )在[0，＋∞)上为减函数，因为f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，故f (3)<f (－2)<f (1)，故选B.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0ax ＋1，x ≤0，若f (4)＝3，则f (x )>0的解集为( )A ．{x |x >－1}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |x >－1且x ≠0}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x ≤0或x >12D [解析] 因为x >0时，f (x )＝log 2x ＋a ，所以f (4)＝2＋a ＝3，所以a ＝1.所以不等式f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 2x ＋1>0，即x >12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x ＋1>0，即－1<x ≤0，所以f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或－1<x ≤0.9．已知函数f (x )＝e|ln x |－|x －1x|，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )A [解析] 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x （0<x ≤1），eln x－⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝1x（x >1），作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．10．(2016·重庆第一次适应性测试)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0B.13C.23D ．1C [解析] 依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点是点(－y 0，－x 0))，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C.11．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋4)．当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )；当0≤x <2时，f (x )＝2x －1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)的值为( )A ．630B ．1 260C ．2 520D ．3 780B [解析] 因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数f (x )的周期为4. 当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )；当0≤x <2时，f (x )＝2x －1.所以f (1)＝20＝1，f (2)＝f (－2)＝log 22＝1，f (3)＝f (－1)＝log 21＝0，f (4)＝f (0)＝2－1＝12.所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋1＋0＋12＝52，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝504×52＝1 260，故选B.12．已知f (x )＝2x－1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值C [解析] 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|<g （x ），故h (x )有最小值－1，无最大值．13．(2016·西安第一次质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．[解析] 由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.[答案] 10914．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．[解析] 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]．故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．[答案] [－4，6]15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．[解析] 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1.所以－1≤a <12.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 16．函数y ＝f (x )是定义在[a ，b ]上的增函数，其中a ，b ∈R ，且0<b <－a ，已知y ＝f (x )无零点，设函数F (x )＝f 2(x )＋f 2(－x )，则对于F (x )有如下四个说法：①定义域是[－b ，b ]；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增．其中正确的是________．[解析] 由题意可知，f 2(x )的定义域为[a ，b ]，f 2(－x )的定义域为[－b ，－a ]，所以F (x )的定义域为[－b ，b ]，①正确；又F (－x )＝F (x )，②正确；因为y ＝f (x )是定义在[a ，b ]上的增函数且无零点，所以f 2(x )>0，f 2(－x )>0，所以F (x )>0，③错误；因②正确，所以F (x )在定义域内不可能单调递增，④错误． [答案] ①②[能力提升]1．(2016·东北四市联考(二))已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若|f （ln x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x |2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)C [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，所以|f （ln x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x |2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以－1<ln x <1，解得1e<x <e.2.将边长为2的等边△PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，关于函数y ＝f (x )有下列说法：①f (x )的值域为[0，2]； ②f (x )是周期函数；③f (－1.9)<f (π)<f (2 019)．其中正确的说法个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C [解析] 根据题意画出顶点P (x ，y )的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．从图形中可以看出，①f (x )的值域为[0，2]，正确； ②f (x )是周期函数，周期为6，②正确； ③由于f (－1.9)＝f (4.1)，f (2 019)＝f (3)；而f (3)<f (π)<f (4.1)，所以f (－1.9)>f (π)>f (2 019)；故③不正确．3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．[解析] 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，所以h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. [答案] 14．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．[解析] 因为x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)，所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2，0)∪(0，2)． [答案] (－2，0)∪(0，2)。

2017年全国高考理科数学冲刺试题及精彩解析答案

B ，则集合()U A B 中的元素}{1x x 〉 }0 =4,cot β=13,则711 (C) 713（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种（B ）180种（C ）300种（D ）345种（8）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（A ）150° （B ）120° （C ）60° （D ）30°（9）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（）(A)4(B) 4(C) 4(D) 34 (10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π （11）设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+ ( )（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值（C ）有最大值3，无最小值（D ）既无最小值，也无最大值（12）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。

若3FA FB =,则AF =（）(A) (B) 2(C) (D) 3第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.（13）10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于_____________.（14）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。

2017高考数学理新课标版考前冲刺复习课时作业：第2部

课时作业1．(2016·广州市五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2xA [解析] y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A.2．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( ) A ．－12B ．1 C.12D ．－32A [解析] 由题意知当x ＝12时，y 0＝－32或y 0＝32，即sin α＝－32或sin α＝32，又因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝1－2×34＝－12. 3．(2016·福建省毕业班质量检测)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225D ．－2425D [解析] 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin α·cos α＝－2425，选项D 正确．4．(2016·沈阳市教学质量监测(一))某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－56x ＋3π5 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x －2π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x ＋3π5D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫56x ＋3π5C [解析] 不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，由图知A ＝1，T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，π3是函数的图象递减时经过的零点，于是65×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ可以是3π5，选C.5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2]A [解析] 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.6．(2016·山西考前质量检测)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫||φ＜π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.12 B.22C.32D ．1C [解析] 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π3＋k π，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，所以2x 1＋π3，2x 2＋π3∈(0，π)，所以2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. 7．已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则sin α－cos α＝________．[解析] sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝－75.[答案] －758．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．[解析] 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.[答案] π69．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎝⎛⎦⎤－π3，π6，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈(－3，1]，所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3. [答案] [3，＋∞)10．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2满足f (x )＝－f (x ＋π)，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为________． [解析] 由f (x )＝－f (x ＋π)可得f (x ＋2π)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2π，所以ω＝2π2π＝1.由f (0)＝12得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，因为g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，且0≤x ≤π2，所以π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，因此g (x )max ＝ 3. [答案] 311．已知a ＝(sin 2x ，2cos 2x －1)，b ＝(sin θ，cos θ)(0<θ<π)，函数f (x )＝a ·b 的图象经过点⎝⎛⎭⎫π6，1.(1)求θ及f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，求f (x )的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝a ·b ＝sin 2x sin θ＋cos 2x cos θ＝cos(2x －θ)，所以f (x )的最小正周期为T ＝π. 因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π6，1，所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝1. 因为0<θ<π，所以θ＝π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为－π6≤x ≤π4，所以－2π3≤2x －π3≤π6.故当2x －π3＝0，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x －π3＝－2π3，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－12.12．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程． [解] (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1. 所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .13．(2016·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．[解] (1)f (x )＝2sin x ＋6cos x＝22⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z .于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12.(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z .由于y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.14．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)求y ＝f (x )的解析式；(3)若关于x 的方程f (x )＝a 有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能的值及相应的a 的取值范围．[解] (1)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)任取x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4，则π2－x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2，因为函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ，则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，即f (x )＝⎩⎨⎧－cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2.(3)当a ＝－1时，f (x )＝a 的两根为0，π2，则M a ＝π2；当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，f (x )＝a 的四根满足x 1<x 2<π4<x 3<x 4，由对称性得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M a ＝π；当a ＝－22时，f (x )＝a 的三根满足x 1<x 2＝π4<x 3，由对称性得x 3＋x 1＝π2，则M a ＝3π4；当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1时，f (x )＝a 的两根为x 1，x 2，由对称性得M a ＝π2.综上，当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，M a ＝π；当a ＝－22时，M a ＝3π4；当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1∪{－1}时，M a ＝π2.。

2017高考数学理新课标版考前冲刺复习讲义：第2部分专

第1讲坐标系与参数方程极坐标方程及其应用共研典例类题通法1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M (a ，π2)，半径为a ：ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．极坐标与直角坐标的互化方法(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.(1)求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．(2)解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．[题组通关]1．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.2．(2016·唐山模拟)在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ＜2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．[解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．3．(1)(2015·高考广东卷改编)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．(2)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程．[解] (1)由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1.由点A的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2中，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，即ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．参数方程及其应用共研典例类题通法几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α.其中α是参数．当圆心为(0，0)时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α.其中α是参数．(2)椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ.其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ.其中φ是参数． (3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α其中t 为参数．(2016·长沙模拟)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．【解】 (1)曲线C 的普通方程：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝3＋12t y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．[题组通关]1．(2016·呼和浩特模拟)过点P (－1，0)作倾斜角为α的直线，与曲线x 23＋y 22＝1相交于M ，N 两点．(1)写出直线MN 的参数方程； (2)求|PM |·|PN |的最小值．[解] (1)因为直线MN 过点P (－1，0)，且倾斜角为α，所以直线MN 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．(2)将直线MN 的参数方程代入曲线x 23＋y 22＝1中得，2(－1＋t cos α)2＋3(t sin α)2＝6，整理得， (3－cos 2α)t 2－4cos α·t －4＝0，Δ＝16 cos 2α－4×(－4)×(3－cos 2α)＝48＞0.设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝43－cos 2α，所以当cos α＝0时，|PM |·|PN |取得最小值43.2．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1，0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)， P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎫x －142＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14的圆．3．(2016·洛阳统考)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点M 是曲线C 1上任意一点，点N 是曲线C 2上任意一点，求|MN |的取值范围． [解] (1)由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入上面方程，得x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.(2)|MC 2|min －1≤|MN |≤|MC 2|max ＋1.|MC 2|2＝(4cos φ－1)2＋9sin 2φ＝7cos 2φ－8cos φ＋10，当cos φ＝－1时，|MC 2|2max ＝25，|MC 2|max ＝5；当cos φ＝47时，|MC 2|2min ＝547，|MC 2|min ＝3427. 所以3427－1≤|MN |≤5＋1，即|MN |的取值范围是⎣⎡⎦⎤3427－1，6.极坐标方程与参数方程的综合应用共研典例类题通法对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化为直角坐标方程求解，这样思路会更加清晰．(2016·河南六市联考)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．【解】 (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x －y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62，因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件． [题组通关]1．(2016·郑州市第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值． [解] (1)曲线C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，即ρ2＝2ρcos θ，所以曲线C 的极坐标方程为：ρ＝2cos θ.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋32t y ＝12t(t 为参数)．(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ，由题意得|m 2－2m |＝1，解得m ＝1或m ＝1＋2或m ＝1－ 2.2．(2016·福建省毕业班质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π4)＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin(θ－π4)＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2，所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π4y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝22t y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108>0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝275>0，所以t 1<0，t 2<0，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.3．(2016·郑州质检)在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α＋sin α，y ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)．(1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程； (2)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围．[解] (1)由x ＝3cos α＋sin α得x 2＝(3cos α＋sin α)2 ＝2cos 2α＋23sin αcos α＋1，所以曲线M 可化为y ＝x 2－1，x ∈[－2，2]，由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t 得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝t ，所以曲线N 可化为x ＋y ＝t .(2)若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点(2，3)时满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝t ，y ＝x 2－1，得x 2＋x －1－t ＝0，由Δ＝1＋4(1＋t )＝0，解得t ＝－54.综上可求得t 的取值范围是－54≤t ≤5.课时作业1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos αy ＝1＋sin 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22a cos(θ－3π4)(a >0)．(1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)； (2)若直线l 与C 2相切，求a 的值．[解] (1)曲线C 1的普通方程为y ＝x 2，x ∈[－2，2]，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝4(舍去)，故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为(2，π4)．(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，即(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)．由直线l 与C 2相切，得|－a ＋a －2|2＝2a ，故a ＝1.2．(2016·山西高三考前质量检测)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)C 1：ρsin(θ＋π6)＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ.(2)因为M (3，0)，N (0，1)，所以P ⎝⎛⎭⎫32，12，所以OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝⎛⎭⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝⎛⎭⎫2，π6. 所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.3．(2016·贵阳市监测考试)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A 、B 、C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B 、C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．[解] (1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ－π4，则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＋4cos ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ＝2|OA |. (2)当φ＝π12时，B 、C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π3、⎝⎛⎭⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)、C (3，－3)，所以经过点B 、C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m ，0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3.4．将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程；(2)求|AC |－|BD |.[解] (1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t y ＝12t (t 为参数)． (2)将⎩⎨⎧x ＝1＋32t y ＝12t 代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2，又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 5．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－3t 2，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围． [解] (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ. 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.将⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t ，又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]．6．(2016·兰州诊断考试)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫2，π4，半径r ＝ 3. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎡⎭⎫0，π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，直线l 交圆C 于A ，B 两点，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)设圆上任意一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得：(3)2＝ρ2＋(2)2－2ρ×2×cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，整理得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0.(2)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2－2x －2y －1＝0.将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程中得：(2＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2－2(2＋t cos α)－2(2＋t sin α)－1＝0，整理得t 2＋(2cos α＋2sin α)t －1＝0，设t 1，t 2为该方程的两根，所以t 1＋t 2＝－2cos α－2sin α，t 1·t 2＝－1，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝8＋4sin 2α，因为α∈⎣⎡⎭⎫0，π4，所以2α∈⎣⎡⎭⎫0，π2，所以|AB |∈[22，23)．。

2017高考数学理新课标版考前冲刺复习：小题强化练二

小题强化练(二) 综合提能练(2)1．设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2＜0}，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x ＞－1}C ．{x |x ＜－1}D ．{x |x ≤－2}2．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．23．若点P (1，1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝04．命题p ：∃x ∈N ，x 3＜x 2；命题q ：∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2，0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.πa 36B ．πa 33C.2πa 33D ．πa 3第5题图第6题图6．执行如图所示的程序框图，则输出的A 是( ) A.2912 B ．7029C.2970D ．169707．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．31B ．36C ．42D ．488.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中||φ＜π2，ω＞0的图象如图所示，为了得到y ＝sin ωx 的图象，只需把y ＝f (x )的图象上所有点( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度9.设k 是一个正整数，⎝⎛⎫1＋x k k的展开式中第四项的系数为116，记函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的阴影部分为S ，任取x ∈[0，4]，y ∈[0，16]，则点(x ，y )恰好落在阴影区域内的概率为( )A.1796 B ．532C.16D ．74810．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x11.如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )12．已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N (设点M 、N 均在第一象限)，当直线MF 1与直线ON 平行时，双曲线的离心率取值为e 0，则e 0所在的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，3)13．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x 图象的切线，则实数a ________．14．已知点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________．15.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x ＞1，若方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．参考答案与解析1．A因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2＜0}＝{x |－2＜x ＜－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N＝[－2，＋∞)，故选A.2．Bz 2－2zz －1＝（1＋i ）2－2（1＋i ）i ＝－2i ＝2i ，故选B.3．[导学号：30812276] D圆心C (3，0)，kCP ＝－12，所以k MN ＝2，所以弦MN 所在的直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 4．A因为x 3＜x 2，所以x 2(x －1)＜0，所以x ＜0或0＜x ＜1，在这个范围内没有自然数，命题p 为假命题．因为f (x )的图象过点(2，0)，所以log a 1＝0，对∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)的值均成立，命题q 为真命题．5．A由三视图可知该几何体为一个圆锥的14，其中圆锥的底面圆的半径为a ，高为2a ，所以该几何体的体积V ＝13×πa 2×2a ×14＝πa 36.故选A.6．Bi ＝0，A ＝2；A ＝2＋12＝52，i ＝1；A ＝2＋25＝125，i ＝2；A ＝2＋512＝2912，i ＝3；A ＝2＋1229＝7029，i ＝4，输出A ，故输出的A ＝7029.7．[导学号：30812277] A由等比数列的性质，得a3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n ＞0，q ＞1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.8．A由图象知：T4＝7π12－π3，所以T ＝π.又π＝2πω，所以ω＝2.由f ⎝⎛⎭⎫π3＝0得：2×π3＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－2π3(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫x ＋π6，故选A.9．C由题意得C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4.阴影部分的面积S 1＝⎠⎛04(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎪⎪2x 2－⎭⎫13x 340＝323，(x ，y )所围成的区域面积为S 2＝4×16＝64，所以所求概率P ＝S 1S 2＝16，故选C .10．C由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线方程为x ＝my ＋p2，得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋p 2·⎝⎛⎭⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .故选C.11．[导学号：30812278] B 取AP 的中点M ，则P A ＝2AM ＝2OA ·sin ∠AOM ＝2sin x2，PB ＝2OM ＝2OA ·cos ∠AOM ＝2cos x2，所以y ＝f (x )＝P A ＋PB ＝2sin x 2＋2cos x 2＝22sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，x ∈[0，π]，根据解析式可知，只有B 选项符合要求，故选B.12．A由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b2＝1.得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋c 2c ，b 2c ，同理得M (a ，b )，又F 1(－c ，0)，则kMF 1＝b a ＋c ，k ON ＝b 2a b 2＋c 2，因为MF 1∥ON ，所以b a ＋c ＝b 2a b 2＋c 2，所以a b 2＋c 2＝(a ＋c )b ，化简得2a 2c －c 3＝2ac 2－2a 3，即2e －e 3＝2e 2－2，设f (e )＝e 3＋2e 2－2e －2，易知f (1)＝1＋2－2－2＜0，f (2)＝22＋4－22－2＞0，所以1＜e 0＜ 2.故选A.13.设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，所以e x 0＝a ，又－1a·e x 0＝－x 0＋1，所以x 0＝2，所以a ＝e 2.e 214.由题意得a ＞0，b ＞0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，由基本不等式得6≥2ab ＋4ab ，即(ab )2＋2ab －3≤0，解得ab ≤1，则0＜ab ≤1，所以ab 的最大值为1.115.由题意得|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，所以sin ∠AOB ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝513，故3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝513.51316．[导学号：30812279]在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象，如图，而函数y ＝mx －12恒过定点⎝⎛⎭⎫0，－12，设过点⎝⎛⎭⎫0，－12与函数y ＝ln x 的图象相切的直线为l 1，切点坐标为(x 0，ln x 0)．因为y ＝ln x 的导函数y ′＝1x，所以图中y ＝ln x 的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，则1x 0＝ln x 0＋12x 0－0，解得x 0＝e ，所以k ＝1e .又图中l 2的斜率为12，故当方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根时，实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，ee .⎝⎛⎭⎫12，e e。

2017高考数学文新课标版考前冲刺复习课时作业：第2部

课时作业[学生用书P111(独立成册)]1．(2016·郑州第二次质量检测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)和(－1，3)D ．(1，－3)C [解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.2．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)上均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)上均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上有零点，在区间(1，e)上无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点D [解析] 因为f ′(x )＝13－1x ，所以当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，而0＜1e ＜1＜e ＜3，又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1＞0，f (1)＝13＞0，f (e)＝e3－1＜0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点．3．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，因为⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，所以2a ≥83，即a ≥43. [答案] ⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 4．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．[解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .所以f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－（x －1）（ax ＋1）x. ①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点；②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a ，因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a >1，解得－1<a <0.综合①②得a 的取值范围是a >－1. [答案] (－1，＋∞)5．(2016·贵州适应性考试)设函数f (x )＝ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，a ∈R. (1)当a ＝0时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝3x ＋m 相切，求实数m 的值； (2)若函数f (x )在[1，3]上存在单调递增区间，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x 2，其定义域为(0，＋∞)． f (x )的导函数f ′(x )＝1x ＋2x ，令f ′(x )＝3，解得x ＝1或x ＝12，代入f (x )的解析式，可得切点的坐标为(1，1)或⎝⎛⎭⎫12，14－ln 2. 将切点坐标代入直线y ＝3x ＋m ，可得m ＝－2或m ＝－54－ln 2.(2)f (x )的导函数f ′(x )＝1x ＋2x －2a ＝2x 2－2ax ＋1x ，其分母在[1，3]上恒为正．设g (x )＝2x 2－2ax ＋1.假设函数f (x )在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g (x )≤0.于是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝3－2a ≤0，g （3）＝19－6a ≤0，解得a ≥196.故要使函数f (x )在[1，3]上存在单调递增区间，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，196. 6．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围． [解] (1)由已知得f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2＝a ＋2x x .当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x .所以当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，即f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，即f (x )单调递增．所以f (x )只有极小值，且在x ＝2时， f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2.所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2. (2)因为f ′(x )＝a ＋2xx，所以当a ＞0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a ＜0时，由f ′(x )＞0得，x ＞－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞上单调递增；由f ′(x )＜0得，x ＜－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a2上单调递减．所以当a ＜0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a2. 根据题意得f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a2≥－a ，即a [ln(－a )－ln 2]≥0. 因为a ＜0，所以ln(－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2，所以实数a 的取值范围是[－2，0)．7．(2016·长春质量检测(二))已知函数f (x )＝a ＋ln xx 的图象在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求实数a 的值及f (x )的极值； (2)若对任意x 1，x 2∈[e 2，＋∞)，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞k x 1·x2，求实数k 的取值范围．[解] (1)由题意得f ′(x )＝1－a －ln xx 2，f ′(1)＝0，解得a ＝1.令f ′(x )＝－ln xx 2＝0，解得x ＝1，即f (x )有极大值为f (1)＝1. (2)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞k x 1·x2，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）1x 1－1x 2＞k ，令g ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x )，则g (x )＝x －x ln x ，其中x ∈(0，e －2]，g ′(x )＝－ln x ，又x ∈(0，e －2]，则g ′(x )＝－ln x≥2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）1x 1－1x 2＞2，因此实数k 的取值范围是(－∞，2]． 8．(选做题)已知函数f (x )＝ln x －x . (1)判断函数f (x )的单调性；(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋12x －m 有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 1＋x 2＞1.[解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．令f ′(x )＝1x －1＝1－x x ＞0，得0＜x ＜1，令f ′(x )＝1x －1＝1－x x ＜0，得x ＞1，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，函数f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明：根据题意，g (x )＝ln x ＋12x －m (x ＞0)，因为x 1，x 2是函数g (x )＝ln x ＋12x －m 的两个零点，所以ln x 1＋12x 1－m ＝0，ln x 2＋12x 2－m ＝0.两式相减，可得ln x 1x 2＝12x 2－12x 1，即ln x 1x 2＝x 1－x 22x 2x 1，故x 1x 2＝x 1－x 22ln x 1x 2.那么x 1＝x 1x 2－12ln x 1x 2，x 2＝1－x 2x 12ln x 1x 2.令t ＝x 1x 2，其中0＜t ＜1，则x 1＋x 2＝t －12ln t ＋1－1t 2ln t ＝t －1t 2ln t.构造函数h (t )＝t －1t －2ln t ，则h ′(t )＝（t －1）2t 2.对于0＜t ＜1，h ′(t )＞0恒成立，故h (t )＜h (1)，即t －1t －2ln t ＜0.可知t －1t2ln t ＞1，故x 1＋x 2＞1.。

2017高考数学文新课标版考前冲刺复习课时作业：第2部

课时作业[学生用书P133(独立成册)]1．(2016·长沙四校联考)高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为()A．13 B.17C．19 D.21C[解析] 因为47－33＝14，所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5＋14＝19.2．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用K2独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是() A．有95%的把握认为“X和Y有关系”B.有95%的把握认为“X和Y没有关系”C．有99%的把握认为“X和Y有关系”D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”A[解析] 依题意，K2＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握认为“X和Y 有关系”，选A.3．(2016·开封模拟)下列说法错误的是()A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D.在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好B[解析] 根据相关关系的概念知A正确；当r>0时，r越大，相关性越强，当r<0时，r越大，相关性越弱，故B不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好．二是R2越大，拟合效果越好，所以R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，C、D正确，故选 B.4．(2016·江西百校联盟模拟)已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是()A．44，45，56B.44，43，57 C ．44，43，56 D.45，43，57B [解析] 由茎叶图可知全部数据为10，11，20，21，22，24，31，33，35，35，37，38，43，43，43，45，46，47，48，49，50，51，52，52，55，56，58，62，66，67，中位数为43＋452＝44，众数为43，极差为67－10＝57.选B.5．某中学高中部有300名学生．为了研究学生的周平均学习时间，从中抽取60名学生，先统计了他们某学期的周平均学习时间(单位：小时)，再将学生的周平均学习时间分成5组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]，并加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．则高中部学生的周平均学习时间为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)( )A ．63.5小时 B.62.5小时 C ．63小时D.60小时A [解析] 在高中部抽取的60名学生中，周平均学习时间分别落在[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]的人数依次为6，15，24，12，3.所以高中部学生的周平均学习时间为(6×45＋15×55＋24×65＋12×75＋3×85)÷60＝63.5(小时)．故选A. 6．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y ^＝0.8x －155.则实数m 的值为(A ．8 B.8.2 C ．8.4D.8.5A [解析] 依题意得x ＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200， y ＝15×(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5，回归直线必经过样本点的中心，于是有17＋m5＝0.8×200－155，由此解得m ＝8.故选A.7．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．[解析] 设抽取的男生人数为x ，男生有500人，根据分层抽样的特点，知45900＝x500，所以x ＝25.[答案] 258.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数相同，则图中的m ＋n ＝________.[解析] 根据茎叶图，得乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，即m ＝3；甲的平均数x 甲＝13×(27＋39＋33)＝33，乙的平均数是x 乙＝14×(20＋n ＋32＋34＋38)＝33，所以n ＝8，所以m ＋n ＝11.[答案] 119．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2，4.0)的人数是________．[解析] 频率分布直方图反映样本的频率分布，每个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率，故新生婴儿的体重在[3.2，4.0)的人数为100×(0.4×0.625＋0.4×0.375)＝40.[答案] 4010．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，得到结果如下：x ＝72， y ＝71，∑i ＝16 x 2i ＝79， ∑i ＝16x i y i ＝1 481.则销量每增加1千箱，单位成本约下降________元(结果保留5位有效数字)．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：[解析] 由题意知b ^＝1 481－6×72×7179－6×⎝⎛⎭⎫722≈－1.818 2，a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，所以y ^＝－1.818 2x ＋77.36，所以销量每增加1千箱，则单位成本约下降1.818 2元．[答案] 1.818 211．为了对考试成绩进行分析，某中学从分数在70分(满分100分)以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理分数对应如下表：(1)与物理“优”有关？(2)从物理或数学分数在80分以上的同学中任意挑选2名，求这2名同学的数学与物理分数恰好都在80分以上的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.【解】 (1)根据题中条件，对两变量进行分类，则数学“优”的有4人，“一般”的有4人；物理“优”的有6人，“一般”的有2人．列联表如下：则K 2＝16×（2×4－4×6）8×8×10×6≈1.067<2.706，显然，没有90%的把握认为数学“优”与物理“优”有关．(2)由已知数表可以看出，物理或数学分数在80分以上的同学共6人，其中4人的物理与数学分数都在80分以上，设这4人分别为A 1，A 2，A 3，A 4，另外2人为B 1，B 2，则从中任选2人的所有基本事件为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1B 1，A 1B 2， A 2A 3，A 2A 4，A 2B 1，A 2B 2， A 3A 4，A 3B 1，A 3B 2， A 4B 1，A 4B 2， B 1B 2，共15个，记“这2名同学的数学与物理分数恰好都在80分以上”为事件M ，则M 所包含的基本事件为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4， A 2A 3，A 2A 4， A 3A 4，共6个．故P (M )＝615＝25，于是，这2名同学的数学与物理分数恰好都在80分以上的概率为25.12．(2016·武汉调研)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下：(1)如果y (2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间．附：[解]（1）设所求的回归直线方程为y ^＝b ^＋a ^列表所以x ＝30，y ＝75，∑i ＝15x 2i ＝5 500，∑i ＝15x i y i ＝11 920，5xy ＝11 250.因为a ^＝y －b ^x ＝75－0.67×30＝54.9，所以回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9.(2)由(1)所求回归直线方程可知，在x ＝70时， y ^＝0.67×70＋54.9＝101.8(分钟)．所以预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间为101.8分钟．13．(2016·大连模拟)2016年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1 000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：甲电商：甲、乙电商消费金额的中位数的大小；(2)运用分层抽样分别从甲、乙1 000名消费者中各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从消费金额不小于4千元的人中任选2人，求这2人恰好是来自不同电商消费者的概率．[解] (1)频率分布直方图如图所示，甲的中位数在区间[2，3)内，乙的中位数在区间[1，2)内，所以甲的中位数大．(2)运用分层抽样从甲的1 000名消费者中抽出20人，其中消费金额不小于4千元的人数为2，记作a，b；运用分层抽样从乙的1 000名消费者中抽出20人，其中消费金额不小于4千元的人数为4，记作1，2，3，4.在这6人中任意抽取2人，所得基本事件空间为：Ω＝{ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34}，共计15个元素．把“2人恰好是来自不同电商消费者”的事件记作A，则A＝{a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4}，共计8个元素，所以P(A)＝815.。

2017高考数学理新课标版考前冲刺复习讲义：第2部分专

第3讲空间向量与立体几何利用空间向量证明平行与垂直共研典例类题通法设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，υ＝(a 3，b 3，c 3)，则有：(1)线面平行l ∥α⇔a ⊥μ⇔a·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.如图，在直三棱柱ADE -BCF 中，平面ABFE 和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M 为AB 的中点，O 为DF 的中点．运用向量方法证明：(1)OM ∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD .【证明】由题意，AB ，AD ，AE 两两垂直，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，F (1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫12，0，0，O ⎝⎛⎭⎫12，12，12.(1)OM →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－12，BA →＝(－1，0，0)，所以OM →·BA →＝0，所以OM →⊥BA →. 因为棱柱ADE -BCF 是直三棱柱，所以AB ⊥平面BCF ，所以BA →是平面BCF 的一个法向量，且OM ⊄平面BCF ，所以OM ∥平面BCF .(2)设平面MDF 与平面EFCD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．因为DF →＝(1，－1，1)，DM →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，0，DC →＝(1，0，0)，由n 1·DF →＝n 1·DM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝12x 1，z 1＝－12x 1，令x 1＝1，则n 1＝⎝⎛⎭⎫1，12，－12. 同理可得n 2＝(0，1，1)．因为n 1·n 2＝0，所以平面MDF ⊥平面EFCD .利用空间向量证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系． (4)根据运算结果解释相关问题． [跟踪训练]如图所示，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .[证明] (1)如图建立空间直角坐标系A -xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0，0，0)，E (0，4，2)，F (2，2，0)，B (4，0，0)，B 1(4，0，4)．取AB 中点为N ，连接CN ，则N (2，0，0)，C (0，4，0)，D (2，0，2)，所以DE →＝(－2，4，0)，NC →＝(－2，4，0)，所以DE →＝NC →，所以DE ∥NC ，又因为NC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC . 故DE ∥平面ABC .(2)B 1F →＝(－2，2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2，2，0)．B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.所以B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ，又因为AF ∩FE ＝F ，所以B 1F ⊥平面AEF .利用空间向量求空间角高频考点多维探明设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，υ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)．(1)线线夹角设l ，m 的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2，则 cos θ＝|a·b ||a||b|＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22. (2)线面夹角设直线l 与平面α的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2，则sin θ＝|a·μ||a||μ|＝|cos 〈a ，μ〉|.(3)面面夹角设平面α、β的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2，则|cos θ|＝|μ·υ||μ||υ|＝|cos 〈μ，υ〉|.利用空间向量求线线角、线面角(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．【解】 (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN .由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C ()5，2，0，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．于是|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525，则直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.利用空间向量求二面角(2016·高考全国卷乙)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．【解】 (1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC .又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC . (2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1，4，0)，B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3)．由已知，AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC .又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°.从而可得C (－2，0，3)．连接AC ，则EC →＝(1，0，3)，EB →＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4，0，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3，0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.(1)运用空间向量求空间角的一般步骤①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(2)求空间角的注意点①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|. ②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角． [题组通关]1.(2016·南昌第一次模拟测试)如图，四棱锥S ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝1，DC ＝SD ＝2，E 为棱SB 上的一点，且SE ＝2EB .(2)求二面角A -DE -C 的大小．[解] 分别以DA ，DC ，DS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，连接DB ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2)，DB →＝(1，1，0)，DS →＝(0，0，2)．(1)证明：因为SE ＝2EB ，所以DE →＝23DB →＋13DS →＝23×(1，1，0)＋13×(0，0，2)＝⎝⎛⎭⎫23，23，23. 又BC →＝(－1，1，0)，BS →＝(－1，－1，2)，所以DE →·BC →＝0，DE →·BS →＝0，所以DE →⊥BC →，DE →⊥BS →.又BC ∩BS ＝B ，所以DE ⊥平面SBC . (2)由(1)知，DE ⊥平面SBC ，因为EC ⊂平面SBC ，所以DE ⊥EC .由SE ＝2EB ，知E ⎝⎛⎭⎫23，23，23，DE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，23，EC →＝⎝⎛⎭⎫－23，43，－23，取DE 中点F ，连接AF ，则F ⎝⎛⎭⎫13，13，13，F A →＝⎝⎛⎭⎫23，－13，－13，故F A →·DE →＝0，由此得F A ⊥DE ，所以向量F A →与EC →的夹角等于二面角A -DE -C 的平面角．又cos 〈F A →，EC →〉＝F A →·EC →|F A →||EC →|＝－12，所以二面角A -DE -C 的大小为120°.2.(2016·合肥第二次质检)如图，六面体ABCDHEFG 中，四边形ABCD 为菱形，AE ，BF ，CG ，DH 都垂直于平面ABCD .若DA ＝DH ＝DB ＝4，AE ＝CG ＝3.(1)求证：EG ⊥DF ；(2)求BE 与平面EFGH 所成角的正弦值．[解] (1)证明：连接AC ，由AE 綊CG 可知四边形AEGC 为平行四边形，所以EG ∥AC ，而AC ⊥BD ，AC ⊥BF ，所以EG ⊥BD ，EG ⊥BF ，因为BD ∩BF ＝B ，所以EG ⊥平面BDHF ，又DF ⊂平面BDHF ，所以EG ⊥DF . (2)设AC ∩BD ＝O ，EG ∩HF ＝P ，由已知可得：平面ADHE ∥平面BCGF ，所以EH ∥FG ，同理可得：EF ∥HG ，所以四边形EFGH 为平行四边形，所以P 为EG 的中点，O 为AC 的中点，所以OP 綊AE ，从而OP ⊥平面ABCD ，又OA ⊥OB ，所以OA ，OB ，OP 两两垂直，由平面几何知识，得BF ＝2. 如图，建立空间直角坐标系O xyz ，则B (0，2，0)，E (23，0，3)，F (0，2，2)，P (0，0，3)，所以BE →＝(23，－2，3)，PE →＝(23，0，0)，PF →＝(0，2，－1)．设平面EFGH 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧PE →·n ＝0PF →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝02y －z ＝0，令y ＝1，则z ＝2.所以n ＝(0，1，2)．设BE 与平面EFGH 所成角为θ，则sin θ＝|BE →·n ||BE →|·|n |＝4525.利用空间向量解决探索性问题共研典例类题通法(2016·兰州诊断考试)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC ＝4，点M 为PC 的中点，点E 为BC 边上的动点，且BEEC＝λ.(1)求证：平面ADM ⊥平面PBC ；(2)是否存在实数λ，使得二面角P -DE -B 的余弦值为22？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．【解】 (1)证明：取PB 的中点N ，连接MN 、AN ，因为M 是PC 的中点，所以MN ∥BC ，MN ＝12BC ＝2，又BC ∥AD ，所以MN ∥AD ，MN ＝AD ，所以四边形ADMN 为平行四边形，因为AP ⊥AD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥AN ，所以AN ⊥MN ，因为AP ＝AB ，所以AN ⊥PB ，所以AN ⊥平面PBC ，因为AN ⊂平面ADM ，所以平面ADM ⊥平面PBC .(2)法一：存在实数λ＝1，使得二面角P －DE －B 的余弦值为22. 因为λ＝1，所以点E 为BC 边的中点，所以DE ∥AB ，所以DE ⊥平面P AD ，所以∠PDA 为二面角P －DE －B 的一个平面角．在等腰Rt △PDA 中，∠PDA ＝π4，所以二面角P －DE －B 的余弦值为22. 法二：存在符合条件的λ.以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 设E (2，t ，0)，P (0，0，2)，D (0，2，0)，B (2，0，0)，从而PD →＝(0，2，－2)，DE →＝(2，t －2，0)，设平面PDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PD →＝0n 1·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝02x ＋（t －2）y ＝0，令y ＝z ＝2，解得x ＝2－t ，所以n 1＝(2－t ，2，2)，又平面DEB 即为平面xAy ，故其一个法向量为n 2＝(0，0，1)，则|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2（2－t ）2＋4＋4＝22，解得t ＝2，可知λ＝1.利用空间向量巧解探索性问题(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．[跟踪训练](2016·昆明两区七校调研)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝1，E 为BC 中点．(1)求证：C 1D ⊥D 1E ；(2)在棱AA 1上是否存在一点M ，使得BM ∥平面AD 1E ？若存在，求AM AA 1的值，若不存在，说明理由； (3)若二面角B 1－AE －D 1的大小为90°，求AD 的长．[解] (1)证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，1，0)，B 1(a ，1，1)，C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫a2，1，0，所以C 1D →＝(0，－1，－1)，D 1E →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，－1，所以C 1D →·D 1E →＝0，所以C 1D ⊥D 1E . (2)设AMAA 1＝h ，则M (a ，0，h )，所以BM →＝(0，－1，h )，AE →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，0，AD 1→＝(－a ，0，1)，设平面AD 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n ＝－a 2x ＋y ＝0AD 1→·n ＝－ax ＋z ＝0，所以平面AD 1E 的一个法向量为n ＝(2，a ，2a )，因为BM ∥平面AD 1E ，所以BM →⊥n ，即BM →·n ＝2ah －a ＝0，所以h ＝12.即在AA 1上存在点M ，使得BM ∥平面AD 1E ，此时AM AA 1＝12.(3)连接AB 1，B 1E ，设平面B 1AE 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，0，AB 1→＝(0，1，1)，则⎩⎪⎨⎪⎧AE →·m ＝－a 2x ′＋y ′＝0AB 1→·m ＝y ′＋z ′＝0，所以平面B 1AE 的一个法向量为m ＝(2，a ，－a )．因为二面角B 1－AE －D 1的大小为90°，所以m ⊥n ，所以m·n ＝4＋a 2－2a 2＝0，因为a >0，所以a ＝2，即AD ＝2.课时作业1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CD 和C 1C 的中点，则直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A.13 B.25 C.35D.37B [解析] 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)．若棱长为2，则A (2，0，0)、E (0，1，0)、D 1(0，0，2)、F (0，2，1)．所以EA →＝(2，－1，0)，D 1F →＝(0，2，－1)， cos 〈EA →，D 1F →〉＝EA →·D 1F →|EA →||D 1F →|＝－25·5＝－25.则直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为25.2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22B [解析] 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0，1，0)，所以A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．因为平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.3．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．[解析] 依题意，设BP →＝λBD 1→，其中λ∈[0，1]，DC →·AP →＝AB →·(AB →＋BP →)＝AB →·(AB →＋λBD 1→)＝AB →2＋λAB →·BD 1→＝1＋3λ·⎝⎛⎭⎫－33＝1－λ∈[0，1]，因此DC →·AP →的取值范围是[0，1]．[答案] [0，1]4.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD 折起到△A ′BD 的位置，使点A ′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为________．[解析] 过O 作OE ∥CD 交BD 于点E ，由题意知，A ′O ⊥OC ，A ′O ⊥OE ，OE ⊥OC ，故以O 为原点，OC →，OE →，OA ′→分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则A ′(0，0，3)，B (－1，0，0)，C (3，0，0)，D (3，2，0)，所以A ′B →＝(－1，0，－3)，CD →＝(0，2，0)，A ′B →·CD→＝0，所以A ′B →⊥CD →，故异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为90°.[答案] 90°5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，其棱长为2，E 为棱DD 1的中点，F 为对角线DB 的中点．(1)求证：平面CFB 1⊥平面EFB 1；(2)求异面直线EF 与B 1C 所成角的余弦值；(3)求直线FC 1与平面B 1CA 所成角的正弦值．[解] (1)证明：因为F 为DB 的中点，则CF ⊥BD ，又CF ⊥D 1D ，BD ∩D 1D ＝D ，所以CF ⊥平面BB 1D 1D ，因为CF ⊂平面CFB 1，所以平面CFB 1⊥平面EFB 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，E (0，0，1)，F (1，1，0)，B 1(2，2，2)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)．所以EF →＝(1，1，－1)，B 1C →＝(－2，0，－2)．所以异面直线EF 与B 1C 所成角的余弦值为|cos 〈B 1C →，EF →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－23×（－2）2＋（－2）2＝0.(3)由(1)知CF ⊥EF ，由(2)知EF ⊥B 1C ，又B 1C ∩CF ＝C ，B 1C ，CF ⊂平面B 1CA ，所以EF ⊥平面B 1CA .所以EF →是平面B 1CA 的法向量．因为FC 1→＝(－1，1，2)，所以cos 〈FC 1→，EF →〉＝EF →·FC 1→|EF →||FC 1→|＝－23，所以直线FC 1与平面B 1CA 所成角的正弦值为23. 6.(2016·兰州市实战考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，P A ＝PB ，O 为AB 的中点，OD ⊥PC .(1)求证：OC ⊥PD ；(2)若PD 与平面P AB 所成的角为30°，求二面角D －PC －B 的余弦值．[解] (1)证明：连接OP ，因为P A ＝PB ，O 为AB 的中点，所以OP ⊥AB .因为侧面P AB ⊥底面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥OD ，OP ⊥OC .因为OD ⊥PC ，所以OD ⊥平面OPC ，所以OD ⊥OC ，又OP ⊥OC ，所以OC ⊥平面OPD ，所以OC ⊥PD .(2)法一：在矩形ABCD 中，由(1)得OD ⊥OC ，所以AB ＝2AD ，不妨设AD ＝1，则AB ＝2.因为侧面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以DA ⊥平面P AB ，CB ⊥平面P AB ，△DP A ≌△CPB ，所以∠DP A 为直线PD 与平面P AB 所成的角，所以∠DP A ＝30°，∠CPB ＝30°，P A ＝PB ＝3，所以DP ＝CP ＝2，所以△PDC 为等边三角形．设PC 的中点为M ，连接DM ，则DM ⊥PC .在Rt △CBP 中，过M 作NM ⊥PC ，交PB 于点N ，连接ND ，则∠DMN 为二面角D －PC －B 的一个平面角．由于∠CPB ＝30°，PM ＝1，故在Rt △PMN 中，MN ＝33， PN ＝233. 因为cos ∠APB ＝3＋3－42×3×3＝13，所以AN 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋3－2×233×3×13＝3，所以ND 2＝3＋1＝4，所以cos ∠DMN ＝⎝⎛⎭⎫332＋3－42×33×3＝－13，即二面角D －PC －B 的余弦值为－13. 法二：取CD 的中点E ，以O 为原点，OE ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .在矩形ABCD 中，由(1)得OD ⊥OC ，所以AB ＝2AD ，不妨设AD ＝1，则AB ＝2.因为侧面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以DA ⊥平面P AB ，CB ⊥平面P AB ，△DP A ≌△CPB ，所以∠DP A 为直线PD 与平面P AB 所成的角，所以∠DP A ＝30°，∠CPB ＝30°，P A ＝PB ＝3，所以B (0，1，0)，C (1，1，0)，D (1，－1，0)，P (0，0，2)，从而PC →＝(1，1，－2)，CD →＝(0，－2，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧PC →·n 1＝0CD →·n 1＝0得，⎩⎨⎧x 1＋y 1－2z 1＝0－2y 1＝0，可取n 1＝(2，0，1)．同理，可取平面PCB 的一个法向量为n 2＝(0，－2，－1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－13，所以二面角D －PC －B 的余弦值为－13.7.(2016·西安第一次质量检测)在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，△ACD 与△ACB 是边长为2的等边三角形，BE ＝2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求二面角E －BC －A 的余弦值．[解] (1)证明：由题意知，△ABC ，△ACD 都是边长为2的等边三角形，取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，则BO ⊥AC ，DO ⊥AC .又平面ACD ⊥平面ABC ，所以DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么EF ∥DO ，根据题意，点F 落在BO 上，因为BE 和平面ABC 所成的角为60°，所以∠EBF ＝60°，因为BE ＝2，所以EF ＝DO ＝3，所以四边形DEFO 是平行四边形，所以DE ∥OF .因为DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则B (0，3，0)，C (－1，0，0)，E (0，3－1，3)，所以BC →＝(－1，－3，0)，BE →＝(0，－1，3)，平面ABC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面BCE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0n 2·BE →＝0，所以⎩⎨⎧－x －3y ＝0－y ＋3z ＝0，取z ＝1，所以n 2＝(－3，3，1)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1313，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E －BC －A 的余弦值为1313. 8．(2016·福建省毕业班质量检测)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝1，BB 1＝2，∠ABB 1＝60°.(1)证明：AB ⊥B 1C ；(2)若B 1C ＝2，求AC 1与平面BCB 1所成角的正弦值．[解] (1)证明：连接AB 1，在△ABB 1中，AB ＝1， BB 1＝2，∠ABB 1＝60°，由余弦定理得，AB 21＝AB 2＋BB 21－2AB ·BB 1·cos ∠ABB 1＝3，所以AB 1＝3，所以BB 21＝AB 2＋AB 21，所以AB 1⊥AB .又△ABC 为等腰直角三角形，且AB ＝AC ，所以AC ⊥AB ，因为AC ∩AB 1＝A ，所以AB ⊥平面AB 1C .又B 1C ⊂平面AB 1C ，所以AB ⊥B 1C .(2)因为AB 1＝3，AB ＝AC ＝1，B 1C ＝2，所以B 1C 2＝AB 21＋AC 2，所以AB 1⊥AC .如图，以A 为原点，以AB →，AC →，AB 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B 1(0，0，3)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，所以BB 1→＝(－1，0，3)，BC →＝(－1，1，0)．设平面BCB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧BB 1→·n ＝0BC →·n ＝0，得 ⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0－x ＋y ＝0，令z ＝1，得x ＝y ＝3，所以平面BCB 1的一个法向量为n ＝(3，3，1)．因为AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC →＋BB 1→＝(0，1，0)＋(－1，0，3)＝(－1，1，3)，所以cos 〈AC 1→，n 〉＝AC 1→·n |AC 1→||n |＝35×7＝10535，所以AC 1与平面BCB 1所成角的正弦值为10535.。

2017高考数学理新课标版考前冲刺复习讲义：第1部分第1

第1讲函数与方程、数形结合思想一函数与方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决,方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系(2016·高考山东卷) 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．【解析】如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，所以2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，所以2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2，并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．【答案】 2[名师点评] 本题利用了方程思想，关于椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中a ，b ，c 的关系式，求值试题就是建立关于a ，b ，c 的等式，求取值范围问题就是建立关于a ，b ，c 的不等式．[变式训练]1．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98.(2016·高考全国卷丙)设函数f (x )＝ln x －x ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1＜x －1ln x ＜x ；(3)设c ＞1，证明当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x ＞c x .【解】 (1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． (2)证明：由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x ＜x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＜x －1，ln 1x ＜1x －1，即1＜x －1ln x＜x .(3)证明：由题设c ＞1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ，则g ′(x )＝c －1－c x ln c ，令g ′(x )＝0，解得x 0＝ln c －1ln cln c.当x ＜x 0时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ＞x 0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．由(2)知1＜c －1ln c ＜c ，故0＜x 0＜1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0＜x ＜1时，g (x )＞0.所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x ＞c x .[名师点评] 本题第(3)问证明的关键是构造函数g (x )＝1＋(c －1)x －c x ，利用导数判定g (x )的单调性，从而证明不等式成立．[变式训练]2．已知正四棱锥S -ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A ．1 B.3 C ．2 D ．3C [解析] 设正四棱锥S -ABCD 的底面边长为a (a ＞0)，则高h ＝SA 2－⎝⎛⎭⎫2a 22＝12－a 22，所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6.设y ＝12a 4－12a 6(a ＞0)，则y ′＝48a 3－3a 5.令y ′＞0，得0＜a ＜4；令y ′＜0，得a ＞4.故函数y 在(0，4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减．可知当a ＝4时，y 取得最大值，即体积V 取得最大值，此时h ＝ 12－a 22＝2，故选C.二数形结合思想借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想,借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合(2016·高考山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，当x ＞m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m－m 2，其顶点为(m ，4m －m 2)；当x ≤m 时，函数f (x )的图象与直线x ＝m 的交点为Q (m ，m )．①当⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，4m －m 2≥m ，即0＜m ≤3时，函数f (x )的图象如图1所示，易得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当⎩⎪⎨⎪⎧4m －m 2＜m ，m ＞0，即m ＞3时，函数f (x )的图象如图2所示，则存在实数b 满足4m －m 2＜b ≤m ，使得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，符合题意，综上，m 的取值范围为(3，＋∞)．【答案】 (3，＋∞)[名师点评] 利用数形结合探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合．[变式训练]3．(2016·山西第二次四校联考)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1，1]时，f (x )＝－|x |＋1.则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3，5]内解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8A [解析] 画出y 1＝f (x )，y 2＝12log 2|x |的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.(2016·高考四川卷)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋2334【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝⎛⎭⎫x 0－322＋⎝⎛⎭⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14，它表示以⎝⎛⎭⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝⎛⎭⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max＝494. 【答案】B[名师点评] (1)本题利用数形结合思想，把|BM →|2的值转化为点B 到圆⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14的距离的平方． (2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．[变式训练]4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D.22C [解析] 因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC →＝c ，OA →＝a ，OB →＝b ，CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，即AC →⊥BC →.又OA →⊥OB →，所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2.课时作业1．(2016·重庆第一次适应性测试)已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( )A.2 B ．2 C. 5D ．5C [解析] 依题意，(a ＋1)＋(1－a )i ＝3＋b i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝31－a ＝b ，解得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ，|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋（－1）2＝5，选C.2．等比数列{a n }中，a 3＝9，前3项和为S 3＝3⎠⎛03x 2d x ，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12C [解析] 因为⎠⎛03x 2dx ＝⎪⎪13x 330＝9，所以S 3＝3×9＝27，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝9S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝27，解得q ＝1或q ＝－12. 3．(2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4，所以选B.4．(2016·河北“五校联盟”质量检测)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4y ≥x x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2B [解析] 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.5．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1、x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－34，0 C.⎝⎛⎭⎫0，34 D.⎣⎡⎭⎫0，34 B [解析] 构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，因为关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1、x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1<0，4k ＋3>0，所以－34<k ≤0.6．(2016·沈阳市教学质量监测(一))已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )＜2f (x )，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)D [解析] 根据题意，设函数g (x )＝f （x ）x 2(x ≠0)，当x ＞0时，g ′(x )＝f ′（x ）·x －2·f （x ）x 3＜0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数．又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1，0)∪(0，1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1，0)∪(0，1)上的函数值大于零．7．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．[解析] 因为f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.[答案] 18．(2016·高考北京卷)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．[解析] 设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知：①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)．②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14.所以(43－y )min ＝43－14＝29. [答案] ①16 ②299．(2016·湖北七市(州)协作体联考)函数f (x )＝3－x ＋x 2－4的零点个数是________．[解析] 令f (x )＝0，则x 2－4＝－⎝⎛⎭⎫13x ，分别作出函数g (x )＝x 2－4，h (x )＝－⎝⎛⎭⎫13x的图象，由图可知，显然h (x )与g (x )的图象有2个交点，故函数f (x )的零点个数为2.[答案] 210．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3，则nS n 的最小值为________．[解析] 由已知得，a 5＝S 5－S 4＝2，a 6＝S 6－S 5＝3，因为数列{a n }为等差数列，所以公差d ＝a 6－a 5＝1.又S 5＝5（a 1＋a 5）2＝0，所以a 1＝－2，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2＝n 2－5n2，即nS n ＝n 3－5n 22，令f (x )＝x 3－5x 22(x >0)，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )>0，得x >103，令f ′(x )<0，得0<x <103.又n 为正整数，所以当n ＝3时，nS n ＝n 3－5n 22取得最小值，即nS n 的最小值为－9.[答案] －911．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围．[解] 由c ＝2得a 2＋1＝4，所以a 2＝3.所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)， OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y ) ＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3)．令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增． g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3.所以OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．12．(2016·云南第一次统一检测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＋a 3＝26，S 6＝728.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n .[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由728≠2×26得，S 6≠2S 3，所以q ≠1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝26S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝728，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝3.所以a n ＝2×3n －1.(2)证明：由(1)可得S n ＝2×（1－3n ）1－3＝3n－1.所以S n ＋1＝3n ＋1－1，S n ＋2＝3n ＋2－1.所以S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n.13．已知直线l 与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A 、B 两点，且OA ⊥OB . (1)求证：直线l 与x 轴交点的横坐标为2p ； (2)若OD ⊥AB ，交AB 于点D (2，1)，求p 的值．[解] (1)证明：如图所示，设直线l 的方程为x ＝ty ＋m (显然l 斜率不为0)，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px x ＝ty ＋m⇒y 2－2pty －2pm ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2pt ，①y 1y 2＝－2pm ，②又因为A 、B 在直线l 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ty 1＋m ，x 2＝ty 2＋m .又因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以(ty 1＋m )(ty 2＋m )＋y 1y 2＝0，所以(1＋t 2)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋m 2＝0，③ 将①②代入③得(1＋t 2)(－2pm )＋2pmt 2＋m 2＝0，所以m ＝2p ，所以直线l 与x 轴交点的横坐标为2p . (2)由题意得，k OD ＝12，所以k AB ＝－2，所以l AB ：y ＝－2x ＋5，由(1)可知直线l AB 与x 轴交点的横坐标2p ＝52，所以p ＝54.14．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1(x ∈R )． (1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0，3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1，2]上的最小值． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x |x －1|＋1＝x ，所以x ＝－1或x ＝1.(2)由题知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，－x 2＋ax ＋1，x <a ，(其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴是x＝a 2≤12<1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，2]上递增， f (x )min ＝f (1)＝2－a ；②当1<a ≤2时，当x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1； ③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴是x ＝a2∈⎝⎛⎭⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3. 因为(2a －3)－a ＝a －3<0，所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.综上可知，当0<a ≤1时，f (x )min ＝2－a ；当1<a ≤2时，f (x )min ＝1；当2<a <3时，f (x )min ＝2a －3.。

2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习讲义：第2部分专题1第2讲函数图象与性质含答案

第2讲函数图象与性质函数及其表示自主练透夯实双基1．函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．［题组通关]1．函数f（x)＝错误!＋lg（3x＋1)的定义域是( )A。

错误! B.错误!C。

错误! D.错误!A ［解析］由题意可知错误!即错误!所以－错误!＜x＜1。

2．(2016·高考江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f（x）＝错误!其中a∈R.若f错误!＝f错误!，则f(5a）的值是________．［解析］由题意可得f错误!＝f错误!＝－错误!＋a，f错误!＝f错误!＝错误!＝110，则－错误!＋a＝错误!，a＝错误!，故f(5a）＝f(3)＝f（－1）＝－1＋错误!＝－错误!.［答案] －错误!3．(2016·高考浙江卷）设函数f(x)＝x3＋3x2＋1.已知a≠0,且f（x)－f（a)＝（x－b）（x－a)2,x∈R，则实数a＝__________，b＝__________．[解析] 因为f(x）－f(a）＝x3＋3x2－a3－3a2，(x－b）·(x－a）2＝（x－b)(x2－2ax＋a2)＝x3－（2a＋b）x2＋（a2＋2ab）x－a2b,所以错误!，解得a＝－2,b＝1.[答案] －2 1(1）求函数定义域的三种类型①已知函数的解析式:定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．②抽象函数：根据f(g（x）)中g（x)的范围与f(x)中x的范围相同求解．③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．(2）求函数值时应注意的两个问题①形如f（g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．②对于分段函数的求值(解不等式）问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，此类问题多利用分类讨论思想．函数的图象及应用数学思想活学活用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性,作图时要准确画出图象的特点．（1）已知函数y＝log a（x＋c)（a,c为常数，其中a>0，a≠1）的图象如图，则下列结论成立的是( ）A．a>1，c〉1 B．a〉1,0<c<1C．0<a〈1，c>1 D．0〈a〈1，0<c〈1（2)已知偶函数f（x)在［0，＋∞)单调递减，f(2）＝0。

2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习：高考真题汇编(数学答案)含答案

参考答案与解析专题1集合与常用逻辑用语1．解析：选D。

由题意得，A＝{x｜1＜x＜3},B＝错误!，则A∩B ＝错误!。

选D。

2．解析：选C.由已知可得B＝{x｜（x＋1)（x－2）＜0，x∈Z｝＝｛x｜－1＜x＜2，x∈Z}＝｛0，1｝,所以A∪B＝{0，1,2，3｝,故选C.3．解析：选D。

集合S＝（－∞，2］∪[3,＋∞)，结合数轴,可得S∩T＝(0，2］∪［3，＋∞)．4．解析:选C.法一：(通性通法)集合A表示函数y＝2x的值域，故A＝(0,＋∞）．由x2－1＜0,得－1＜x＜1,故B＝（－1，1）．所以A∪B ＝(－1，＋∞)．故选C.法二：(光速解法)由函数y＝2x的值域可知，选项A，B不正确；由02－1＜0可知，0∈B，故0∈A∪B，故排除选项D，选C.5．解析:选D。

根据含有量词的命题的否定的概念可知．6．解析:选D.取a＝－b≠0,则|a｜＝｜b|≠0，｜a＋b|＝｜0｜＝0,｜a－b|＝｜2a|≠0,所以|a＋b|≠|a－b｜，故由｜a｜＝｜b｜推不出|a＋b|＝|a－b｜.由|a＋b｜＝｜a－b|, 得｜a＋b｜2＝｜a－b｜2,整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出｜a｜＝｜b｜, 故由|a＋b|＝｜a－b|推不出｜a｜＝|b|.故“|a｜＝｜b|"是“|a＋b|＝|a －b｜"的既不充分也不必要条件．故选D.专题2函数1．解析：选C。

对于选项A，考虑幂函数y＝x c，因为c＞0，所以y＝x c为增函数，又a＞b＞1，所以a c＞b c，A错．对于选项B，ab c＜ba c⇔错误!错误!＜错误!，又y＝错误!错误!是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.2．解析：选B.因为f（x）＋f（－x)＝2，y＝错误!＝1＋错误!，所以函数y＝f(x)与y＝错误!的图像都关于点（0,1）对称,所以错误!x i=0，错误! y i＝错误!×2＝m，故选B。