采样系统的性能分析

=
b 0 ( z − z 1 )( z − z 2 ) ⋯ ( z − z m ) M (z) = a 0 ( z − p 1 )( z − p 2 ) ⋯ ( z − p n ) D (z)
•
若输入信号为单位阶跃， 若输入信号为单位阶跃，则
C ( z ) = φ ( z ) ⋅ R( z ) =
M ( z) z ⋅ D( z ) z − 1
z3 a3
⋯ z n−k ⋯ an − k
⋯ z n −1 ⋯ an −1 ⋯ a1 ⋯ bn −1 ⋯ b0
zn an a0
bk =
ck =
a0 an
b0
an − k ak
; k = 0,1, ⋯, n − 1
; k = 0,1,⋯ , n − 2
a n − 3 ⋯ ak b3 ⋯ bn −k bn −4 ⋯ bk −1 c4 ⋯ cn − 2 c n − 5 ⋯ c0 ⋮ p3 p0
加采样器后： 加采样器后：
系统稳定
(5分 (5分)
10 10 10 z 10 z 10 z 1 − e −1 G (s ) = − , G (z ) = − = −T s s +1 z −1 z − e (z − 1) z − e −1
(
(
)
)
(8分 (8分)
G (z ) 10 z 1 − e −1 6.32 z φ (z ) = = = 2 −1 −1 1 + G ( z ) ( z − 1) z − e + 10 z 1 − e z + 4.952 z + 0.368
D ( z ) = a 0 + a1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n
的
an > 0
1 2 3 4
z0 a0 an b0 bn −1
z1 a1 an −1 b1 bn − 2 c2 cn − 3 ⋮ p1 p2 q1
z2 a2 an − 2 b2 bn −3 c3 cn − 4 ⋮ p2 p1 q2
二、稳态误差
单位负反馈采样系统
在输入信号
作用下，误差的z变换表达式为 r(t) 作用下，误差的 变换表达式为
z →1
E( z) =
e(∞ ) = lim e(k ) = lim( z − 1)E ( z )
k →∞
1 R( z ) 1 + G( z)
1 当输入为阶跃函数时
R ( z ) = z /( z − 1)
3
D(z) = (z2 + az +b)(z2 +bz + a) = 0
式中a,b均为实常数，试在参数 的平面上画出使闭环稳定的参数取值范围 的平面上画出使闭环稳定的参数取值范围。 式中 均为实常数，试在参数a,b的平面上画出使闭环稳定的参数取值范围。 均为实常数
朱利判据
D(z)=z4-1.368z3+0.4z2+0.08z+0.002=0 z0 z1 z2 z3 z4
1 2 0.002 0.002 1 1 -1.368 0.4 0.08 0.002 -1.368 0.4 0.08 0.002 3 -1 1.368 -0.399 -0.082 1.368 -0.399 -0.082 -1 ∨ -1 1.368 4 -0.082 -0.399 -1 1.368 -0.082 -0.399 定的 稳 5 0.993 -1.401 0.511 ∨ 分条 件 2(n-1)行 0.511 -1.401 行 充 0.993 n为偶数时 D(1)>0,D(-1)>0 0.114 为偶数时 稳定的必要条件： 稳定的必要条件： n为奇数时 D(1)>0,D(-1)<0 2.69 为奇数时
∧
0.08 0.08
0.4 0.4
-1.368 -1.368
11
(2) 劳 思(Routh) 稳 定 判 据 分析连续系统时 曾应用 稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数 在分析连续系统时，曾应用Routh稳定判据判断系统的特征根位于 右半平面的个数， 稳定判据判断系统的特征根位于 右半平面的个数， 并依此来判断系统的稳定性。 并依此来判断系统的稳定性。 对于采样系统 也可用 采样系统， 判据分析其稳定性， 对于采样系统，也可用Routh判据分析其稳定性，但由于在 域中稳定区域是单位圆 判据分析其稳定性 但由于在z域中稳定区域是单位圆 判据。 内，而不是左半平面，因此不能直接应用Routh判据。 而不是左半平面，因此不能直接应用 判据 引入线性变换 z =
C(z) 按部分分式展开， 将 z 按部分分式展开，得
n M (1) c ( mT ) = + ∑ c k p km D (1) k =1
n c z M (1) z ⋅ +∑ k C ( z) = D(1) z − 1 k =1 z − p k
( m = 0,1, 2, ⋯)
上式中第一项为稳态分量 第二项为瞬态分量 稳态分量， 瞬态分量， 上式中第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量，显然瞬态分量的变化规律取 决于极点在z平面中的位置。 决于极点在 平面中的位置。 平面中的位置
w +1 w −1
平w 面
平z 面
(3) z平面的根 平面的根
系统稳定的
K
4.33。 。
1 + G( z) = 0
0.632 Kz G( z) = ( z − 1)( z − 0.368)
七、（10）已知系统的闭环Z传递函数为： 10）已知系统的闭环Z传递函数为：
z ( z 2 + 1.6 z + 0.63) W ( z) = 2 ( z − 0.2 z − 1.2)( z 2 + 0.1z − 0.42)
判断该离散系统的稳定性。 判断该离散系统的稳定性。 该离散系统不稳定。 该离散系统不稳定。
式中a,b均为实常数，试在参数a,b的平面上 式中a,b均为实常数，试在参数a,b的平面上 a,b均为实常数 a,b 画出使闭环稳定的参数取值范围。 画出使闭环稳定的参数取值范围。
由朱利判据的必要条件得： 由朱利判据的必要条件得： 必要条件得
e ss
(
(
)
)
v +1 v +1 v +1 + 0. 5 + 0. 5 K =0 − 1. 5 v −1 v −1 v −1
2
0.5 Kv 2 + v + 3 − 0.5 K = 0
∴0 < K < 6
（2） ）
1 Tz 1 ess = lim ( z − 1) = T lim = 0.231 2 z →1 z →1 ( z − 1)G ( z ) 1 + G ( z ) ( z − 1)
7-5 一、稳定性 平面到z 1从s平面到z平面的影射关系 由Z变换的定义 变换的定义 S 平 面
的性
z=e
Ts
若令
s = σ + jω
Z 平 面
则有
z = e σ T e jω T
2 Z z
的稳定
稳定 稳定的
φ ( z) =
的
z
的
的 则 (1) Jury 稳定
D( z ) = 0
C ( z) M ( z) = R( z ) D( z )
T = 0.2s，
D ( z ) = z 2 − 1.76 z + 0.84 = 0 解：采样系统的闭环特征方程为
D (1 ) = 0 . 08 > 0
D ( − 1) = 3 . 6 > 0
| a 0 | = 0 . 84 < a 2 = 1该采样系统稳定源自采样系统的开环脉冲传递函数为
G(z) =
0.24 z − 0.16 ( z − 1) 2
z →1
K v = lim ( z − 1)G ( z )
z →1
e(∞) = lim( z − 1)
1 Tz T ⋅ = 1 + G ( z ) ( z − 1) 2 K v
3 当输入是等加速信号时 定义静态加速度误差系数为 稳态误差为
R( z ) = T 2 z ( z + 1) / 2( z − 1) 3
闭环实极点分布与相应的动态响应形式
Im
ck p
m k
Z平面 平面
-1 0 1
Re
闭环复极点分布与相应的动态响应形式 Im
–1
1
Re
K K Kz Kz Kz 1 − e −0.693 解:（1）G (s ) = − , G (z ) = − = s s +1 z − 1 z − e −T (z − 1) z − e −0.693 G(z ) 0.5Kz Φ(z ) = = 2 1 + G ( z ) z − 1.5 z + 0.5 + 0.5 Kz
六、（18）线性连续系统的方框图 18） 如图所示， 如图所示，若在误差信号处加入采 样器，采样周期T=1s，试定量分析 样器，采样周期 ， 加入采样器后对稳定性的影响。 加入采样器后对稳定性的影响。 （注：e-1 =0.368） ） 解:加采样器前： 加采样器前：
10 φ (s ) = 2 s + s + 10
K a = lim( z − 1) 2 G ( z )
z →1
1 T 2 z ( z + 1) T 2 ⋅ = e(∞) = lim( z − 1) z →1 1 + G ( z ) 2( z − 1) 3 Ka
例 已知采样系统的结构如图所示，其中，G(s) = 已知采样系统的结构如图所示，其中，
2(0.5s +1) ，采样周期 s2 的作用下，系统的稳态误差。 求在输入信号 r(1 =1+ t + 0.5t 2 , (t > 0) 的作用下，系统的稳态误差。 )