中考数学压轴题破解策略专题16《对角互补模型》
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专题 16《对角互补模型》
破解策略
1．全等型之“90°”
如图，∠ AOB＝∠ DCE＝90°， OC平分∠ AOB，则
A
C
D
O E B （1）CD＝CE；
（2）OD＋OE＝2OC；
（3）S OCD S OCE 1
OC2．2
证明方法一：如图，过点 C分别作 CM⊥ OA， CN⊥OB，垂足分别为由角平分线的性质可得＝，∠＝90°．
CM CN MCN
所以∠ MCD＝∠ NCE，
从而△ MCD≌△ NCE（ ASA），
故CD＝ CE．
易证四边形MONC为正方形．
所以 OD＋ OE＝ OD＋ ON＋ NE＝2ON＝ 2 O C．
所以 S OCD S OCE S正方形MONC ON 21
OC2．2
方法二：如图，过 C作 CF⊥OC，交 OB于点
F．
易证∠＝∠＝45°，＝，∠＝∠．
DOC EFC CO CFDCO ECF 所以△ DCO≌△ ECF（ ASA）A 所以＝，＝，
CD CE OD FE D 可得 OD＋ OE＝ OF＝2OC ．
所以 S OCD S
OCE
S
OCF
1
OC2．O
2
【拓展】如图，当∠ DCE的一边与 AO的延长线交于点D时，则：M，N．
A
M C
D
E
O
N B
C
B
E F
1
A
C
B O
E
D
（ 1） CD ＝ CE ；
（ 2） OE － OD ＝ 2 OC ；
（3）
S OCE S OCD
1
OC 2
．
2
如图，证明同上．
A
A
M C
C
O
B
B
N
E
O
FE
D
D
2．全等型之“ 120”
如图，∠ AOB ＝2∠ DCE ＝120°， OC 平分∠ AOB ，则：
C
A
D
E
O
B
（ 1） CD ＝ CE ；
（ 2） OD ＋ OE ＝ OC ；
（3） S OCD
S
OCE
3
OC 2
．
4
证明 方法一： 如图，过点
C 分别作 ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 ， ．
CM OA CN OB M N
所以
S OCD S OCE
2S ONC
3 OC 2
4
易证△ MCD ≌△ NCE （ ASA ），
所以 CD ＝ CE ， OD ＋ OE ＝ 2ON ＝ O C ．
2
C
C
A A
M
D
E
D
O
N
B
O E F
B
方法二： 如图，以 CO 为一边作∠ FCO ＝60°，交 OB 于点 F ，则△ OCF 为等边三角形．
易证△ DCO ≌△ ECF （ASA ）．
所以 CD ＝ CE ， OD ＋ OE ＝ OF ＝ OC ， ∴S △ OCD ＋ S △ OCE ＝ S △ OCF ＝
3
OC
2
4
【拓展】如图，当∠ DCE 的一边与 BO 的延长线交于点 E 时，则：
（1） CD ＝ CE ；（ 2）OD － OE ＝OC ；（ 3） S △ OCD － S △ OCE ＝
3 OC 2
4
如图，证明同上．
A
A
A
D
C D
C D
C
M
E
B
E
ON B
E
F B
O
O
3、全等型之“任意角”
如图，∠ AOB ＝ 2
，∠ DCE ＝ 180°－ 2 ，OC 平分∠ AOB ，
则：
2
· sin cos
（1）
＝ ；（2） ＋
＝2
· cos
；（ 3） △ ODC ＋ △ OEC ＝
OC CD CE
OD OE
OC
S
S
A D
C
O
E
B
证明：方法一：如图，过点
C 分别作 CM ⊥ OA ， CN ⊥ OB ，垂足分别
为
M ， N
M A
D C
B
O N E
易证△ MCD ≌△ NCE （ASA ）
∴CD ＝ CE ，OD ＋ OE ＝2ON ＝ 2OC · cos ∴S △ ODC ＋ S △ OEC ＝ 2S △ ONC ＝ OC 2
· sin cos 方法二：如图，以
CO 为一边作∠ FCO ＝180°－ 2 ，交 OB 于点 F ．