浙江省高考数学第二轮复习专题升级训练3 不等式、线性规划文

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高考数学文(二轮复习)课件《不等式与线性规划》

2．解不等式的四种策略 (1) 解一元二次不等式的策略：先化为一般形式 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集． (2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为 0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解． (3)解含指、对数不等式的策略：利用指、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． (4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解．
2．(2014· 全国新课标Ⅱ)设集合 M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋ 2≤0}，则 M∩N＝( A．{1} C．{0,1} ) B．{2} D．{1,2}
答案：D
解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又 M＝{0,1,2}，所以 M∩N＝{1,2}．故选 D.
基础记忆
试做真题
基础要记牢,真题须做熟
基础知识不“背死” ，就不能“用活” ！ 1．牢记四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法．先化为一般形式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法．
a＋b 2 (4)ab≤ 2 (a，b∈R)．
(5)
a2＋b2 a＋b ≥ ≥ ab(a>0，b>0)． 2 2
3．快速判断二元一次不等式表示的平面区域
不等式 B>0 Ax＋By＋ C>0 Ax＋By＋ C<0
区域 B<0
直线 Ax＋By 直线 Ax＋By＋＋C＝0 上方 C＝0 下方
不等式与线性规划

高考数学二轮复习不等式

(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确的是__②__③____.(填序号) ①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋2 y2，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确；由x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤x2＋2 y2，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以③正确； x2＋y2－xy＝1 可变形为x－2y2＋34y2＝1，
考点二
线性规划
核心提炼
1.截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转
化为y＝－abx＋bz
(b≠0)，通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值.
2.距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z
＝|PM|2. 3.斜率型：形如z＝yx－－ba (x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
作出不等式组2x－3y－6≤0， x＋2y＋2≥0
表示的平面区域如图
中阴影部分(包括边界)所示，
函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内
的点与点(－1，－2)的距离的平方. 由图知， z＝ x＋12＋y＋22的最小值为点(－1，－2)到直线 x＋2y
＋2＝0 的距离，
即|－1－4＋2|＝3 5
C.[－1，3]
D.[－3，1]
作出约束条件的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
其中 A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，z＝22yx＋－11＝yx＋－1212，表示定点 M12，－12与可行域内点(x，y)连线的斜率，

高考数学二轮复习专题1.3 不等式及线性规划问题课件

则 z＝x＋2y
的最大值为
A．0
B．1
3 C.2
D．2
( )．
(2)(2014·浙江卷)当实数 x，y 满足xx＋－2y－y－14≤≤00，， x≥1
时，1≤ax
＋y≤4 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
解析 (1)可行域如图所示．目标函数化为 y＝－12x＋12z，当直线 y ＝－12x＋12z，过点 A(0,1)时，z 取得最大值 2.
，则

f(10x)>0 的解集为
( )．
A．{x|x<－1，或 x>－lg 2}
B．{x|－1<x<－lg 2}
C．{x|x>－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
解析 (1)设 f(x)＝x2＋ax＋1，其对称轴为 x＝－a2. 若－a2≥12，即 a≤－1 时，则 f(x)在0，12上是减函数，若满足题意应有 f12≥0，即－52≤a≤－1. 若－a2≤0，即 a≥0 时，则 f(x)在0，12上是增函数，又 f(0)＝1>0 成立，故 a≥0. 若 0<－a2<12，即－1<a<0，则应有 f－a2＝a42－a22＋1＝1－a42≥0 成立，故－1<a<0.综上，有 a≥－52.
• 1．不等式的解法
•
(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式
ax2＋bx＋c>0(或＜0)(a>0)，再求相应一元二次方程ax2＋
bx＋c＝0(a>0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的
位置关系，确定一元二次不等式的解集．
•
(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键

高考数学二轮复习第2部分不等式线性规划

度较小,也经常作为工具
性知识渗透在函数、三
角函数、数列、解析几
选择题
何等题目中;高考对线性
填空题
规划考查的频率非常高,
几乎每年都有题目,重点
是确定二元一次不等式
(组)表示的平面区域,求
目标函数的最值或范围,
已知目标函数的最值求
参数值或范围.
复习策略
抓住考查的主
要题目类型进
行训练,重点
是一元二次不
等式、简单的
分式不等式、
对数不等式和
指数不等式的
解法;求目标
函数的最值或
范围;已知目
标函数的最值
求参数值或范
围.
-3命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
简单不等式的解法
【思考】如何解一元二次不等式、分式不等式?解指数不等式、
对数不等式的基本思想是什么?
例 1(1)若 log 1 (1-x)<log 1 x,则( C )
题,求解时借助二次函数的图象,一般考虑四个方面:开口方向,判别
式的符号,对称轴的位置,区间端点函数值的符号.
-6命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
-1
对点训练 1(1)不等式2+1≤0 的解集为( C )
1
A. -∞,- 2 ∪[1,+∞)
1
C. - ,1
2
2 -8
1
B. - 2 ,1
≤ 2,
例 2 若 x,y 满足 ≥ -1,
则 y-x 的最小值为
4-3 + 1 ≥ 0,
1
最大值为
.
解析作出可行域如图阴影部分所示.
设z=y-x,则y=x+z.

(浙江专版)高考数学第2部分必考补充专题专题限时集训18 不等式与线性规划-人教版高三全册数学

专题限时集训(十八) 不等式与线性规划(对应学生用书第153页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组高考题、模拟题重组练]一、基本不等式1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16B [由a ＋b ＝1a ＋1b，有ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ×2b＝2 2.]2．(2017·某某九校协作体高三期末联考)已知实数x ＞0，y ＞0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋xy的最小值为________．2＋22 [因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y ＝2＋2y x ＋xy≥2＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝x y ，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．]3．(2014·某某高考)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．63[因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63. 所以a max ＝63.]4．(2015·某某高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．－1226－6 [f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12. 当x ≤1时，f (x )min ＝0；当x >1时，f (x )＝x ＋6x－6.令f ′(x )＝1－6x2＝0，解得x ＝6(负值舍去)．当1<x <6时，f ′(x )<0；当x >6时，f ′(x )>0， ∴f (x )的最小值为f (6)＝6＋66－6＝26－6.综上，f (x )的最小值是26－6.] 二、线性规划问题5．(2017·某某高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值X 围是( ) A ．[0,6] B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z＝x ＋2y 的取值X 围是[4，＋∞)．故选D.]6．(2016·某某高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.]7．(2016·某某高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2C.322D. 5B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.]8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]9．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 216 000 [设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]10．(2015·某某高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．3 [满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y－2|＋|6－x －3y |的最小值是3.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) 【导学号：68334155】 A ．a 2＜b 2B.a b＜1 C ．a ＜1－bD.1a ＜1bC [因为a ＜b ＜0，所以a 2＞b 2，a b ＞1，1a ＞1b，a ＋b ＜1. 因此A ，B ，D 不正确，C 正确．]2．已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y的最大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2D ．2 2A [由⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )，由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.]3．(2015·某某高考)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋czB [令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3.A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14；B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.]4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．5D [作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D.]5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m ＞0)的最大值为1，则m 的值是( ) 【导学号：68334156】 A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m ＞0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.]6．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( ) A ．1或14B.12或18 C ．1或12D.12或14D [可行域由三条直线x ＝0，x ＋y ＝0，kx －y ＋1＝0所围成，因为x ＝0与x ＋y ＝0的夹角为π4，所以x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4或x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4.当x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，可知k ＝1，此时等腰三角形的直角边长为22，面积为14；当x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，k ＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为12，所以选D.]7．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值是( ) 【导学号：68334157】 A ．0 B.98 C ．2D.94C [z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4y x≥2x y ·4y x －3＝1，当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时等号成立．此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2. ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2，故选C.]8．设m ＞1，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1，且目标函数z ＝x ＋my 的最大值为2，则m的取值为( ) A ．2 B ．1＋ 2 C ．3D ．2＋ 2B [因为m ＞1，由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1作出可行域如图，直线y ＝mx 与直线x ＋y ＝1交于B ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，目标函数z ＝x ＋my 对应的直线与直线y ＝mx 垂直，且在B ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1处取得最大值，由题意可知1＋m2m ＋1＝2，又因为m ＞1，解得m ＝1＋ 2.] 二、填空题9．(2017·某某省名校新高考联盟高三第三次联考)过P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值X 围是________．[22，5] [由题意得点P (－1,1)关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，则|PA |＋|PB |的取值X 围等价于点P 1(－1，－1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0，y ≥0表示的平面区域内的点的连线的长度的X 围，如图，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域(阴影区域，含边界)，由图易得点P 1(－1，－1)到直线x ＋y －2＝0的距离最小，最小值为|－1－1－2|12＋12＝22；点P 1(－1，－1)与点C (2,3)的距离最大，最大值为2＋12＋3＋12＝5，所以|PA |＋|PB |的取值X 围为[22，5]．]10．(2017·萧山中学高三仿真模拟)已知实数x ，y 满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |且|x |≤4，则|3x －4y |的最大值为________．32 [∵实数x ，y 满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |，且|x |≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≥0，x －2y ＋4≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≤0，x －2y ＋4≤0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≤0，3x ＋4y －8≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≥0，3x ＋4y －8≤0，－4≤x ≤4.∴可行域为如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (－4,5)，B (－4,0)，C (0,2)，D (4,4)，E (4，－1)．设目标函数z ＝3x －4y ，则当目标函数z ＝3x －4y 经过A (－4,5)时取得最小值z min ＝－32；当目标函数z ＝3x －4y 经过E (4，－1)时取得最大值z max ＝16，则|z |＝|3x －4y |的最大值为32.]11．(2014·某某高考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值X 围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值X 围是1≤a ≤32.]12．已知正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，则b c ＋ca ＋b的最小值为________．2－12 [因为正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，所以b c ＋c a ＋b ≥b c ＋c 2b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＋c 2b ＋c －12＝2b ＋c 2c ＋c 2b ＋c －12≥2－12. 当且仅当2b ＋c 2c ＝c 2b ＋c时取等号．]13．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞13，则f (e x )＞0的解集为________．word 11 / 11 {x |x ＜－ln 3} [f (x )＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1＜x ＜13，则由f (e x )＞0得－1＜e x ＜13，解得x ＜－ln 3，即f (e x )＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}．]14．(2017·某某十校高三适应性考试 17)已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c >1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12ab －1·c ＋2c －1的最小值为________． 3 2 [由题意知，∵a 2＋12ab －1＝a 2＋a ＋b 22ab－1＝2a 2＋b 22ab ≥2(当且仅当a ＝2－1，b ＝2－2时，等号成立)，∴原式≥2c ＋2c －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫c －1＋1c －1＋2≥22＋2＝32(当且仅当c ＝2时，等号成立)．]15．(2016·某某调研)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 7＋43 [由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴a ＝4b b －3，由a ＞0，得b ＞3.∴a ＋b ＝b ＋4b b －3＝b ＋4b －3＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a ＋b 的最小值为7＋4 3.]。

2019年浙江高三数学二轮复习专题一常考基础题_第4讲不等式与线性规划

【题组训练】 1.已知 0<a<b,且 a+b=1,下列不等式中,一定成立的是( B )
①log2a>-1;②log2a+log2b>-2;③log2(b-a)<0;④log2（ b + a ）>1. ab
(A)①②
(B)③④
(C)②③
(D)①④
解析:因为 0<a<b,且 a+b=1,当 a= 1 ,b= 2 时,log2a=log2 1 <log2 1 =-1,故①错误;
4
3.线性规划问题
(1)二元一次不等式表示的平面区域
①一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面) 不包括边界直线,把边界直线画成虚线.不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半平面) 包括边界直线,把边界直
b b m (b-m>0). a am a am ②假分数的性质
a > a m ; a < a m (b-m>0). b bm b bm 2.基本不等式
(1)基本不等式 ab ≤ a b 2
①基本不等式成立的条件: a>0,b>0 .
②等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.
4a b 4
4a
b
4
44
当且仅当- b =- a ,即 b=-2a,a=-2 时,t 取得最小值为 3 .因为 5 > 3 ,所以 1 + a 的最小值为 3 .
4a b
4
44

【高考领航】高三数学(文)二轮复习练习：1-1-4不等式及线性规划

限时速解训练四不等式及线性规划(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是()A．a3＞b3 B.1a＜1bC．a b＞1 D．lg(b－a)＜a解析：选 D.∵0＜a＜b＜1，∴0＜b－a＜1－a，∴lg(b－a)＜0＜a，故选 D.2．已知a，b是正数，且a＋b＝1，则1a＋4b()A．有最小值8 B．有最小值9 C．有最大值8 D．有最大值9解析：选 B.因为1a＋4b＝1a＋4b(a＋b)＝5＋ba＋4ab≥５＋2ba·4ab＝9，当且仅当ba＝4ab且a＋b＝1，即a＝13，b＝23时取“＝”，所以1a＋4b的最小值为9，故选 B.3．若变量x，y满足约束条件x＋y≥－1，2x－y≤１，y≤１，则z＝3x－y的最小值为()A．－7 B．－1C．1 D．2解析：选A.画出可行域如图中阴影部分所示，平移直线3x－y＝0，可知直线z＝3x－y在点A(－2,1)处取得最小值，故z min＝3×(－2)－1＝－7，选A.4．不等式组5x＋3y≤15，y≤ｘ＋1，x－5y≤３表示的平面区域的面积为()A．7 B．5 C．3 D．14 解析：选 A.作出可行域如图所示．。

老高考适用2023版高考数学二轮总复习第3篇小题提速练透大题规范增分第2讲不等式线性规划课件

2x＋y－2≤0，
14．(2020·全国Ⅰ卷)若 x，y 满足约束条件x－y－1≥0， y＋1≥0，
则 z＝x
＋7y 的最大值为__1___．
【解析】绘制不等式组表示的平面
区域如图所示，
目标函数 z＝x＋7y 即：y＝－17x＋17z，
其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：2x－x＋y－y－12＝＝00，，可得点 A 的坐标为：A(1,0)，据此可知目标函数的最大值为：zmax＝1＋7×0＝1．故答案为 1．
15．(2022·南开区二模)已知 a＞0，b＞0，则
2a＋b 4a2＋b2－
的最大值 ab
是__2___2__．
【解析】因为 a＞0，b＞0，则
4a2＋b2≥2a＋b，
2
2
即 4a2＋b2≥ 222a＋b，当且仅当 2a＝b 时，等号成立；
又 2ab≤2a2＋b，即 ab≤22a＋2b，当且仅当 2a＝b 时，等号成立，
所以A∩B＝{2，－2}．故选D．
x＋y≥4，
3．(2021·全国乙卷)若 x，y 满足约束条件x－y≤2， y≤3，
则 z＝3x＋y
的最小值为 A．18
B．10
(C )
C．6
D．4
【解析】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由xy＋＝y3＝，4，可得点 A(1,3)，转换目标函数 z＝3x＋y 为 y＝－3x＋z，上下平移直线 y＝－3x＋z，数形结合可得当直线过点 A 时，z 取最小值，此时 zmin＝3×1＋3＝6．故选 C．
为
(C )

高考数学(理)二轮配套训练【专题1】(2)不等式与线性规划(含答案)

第2讲不等式与线性规划考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法①变形⇒f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；②变形⇒f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.(3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )． (4)简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2．五个重要不等式(1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.热点一一元二次不等式的解法例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}(2)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}思维启迪 (1)利用换元思想，设10x ＝t ，先解f (t )>0.(2)利用f (x )是偶函数求b ，再解f (2－x )>0. 答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.(2)由题意可知f (－x )＝f (x )．即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0. f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4. 故选C.思维升华二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法．(1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．[－12，1]C ．(－∞，－12)∪[1，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2,0) C ．(－2,0) D ．[0,2]答案 (1)A (2)C解析 (1)原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)<0或x －1＝0，即－12<x <1或x ＝1，所以不等式的解集为(－12，1]，选A.(2)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时，Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0. 热点二基本不等式的应用例2 (1)(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l .①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时．(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3思维启迪 (1)把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值；(2)关键是寻找xyz 取得最大值时的条件．答案 (1)①1 900 ②100 (2)B解析 (1)①当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝76 00022＋18＝1 900. 当且仅当v ＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时． ②当l ＝5时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002v ·100v ＋18＝76 00020＋18＝2 000. 当且仅当v ＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时．比①中的最大车流量增加100 辆/时．(2)由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，所以当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1.思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．(1)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值为________．(2)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52答案 (1)3 (2)B解析 (1)因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n >0，且m 3＋n4＝1.所以m 3·n 4≤(m 3＋n42)2(当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取等号)．所以m 3·n 4≤14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.(2)2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a≥2·2(x －a )·2x －a ＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.热点三简单的线性规划问题例3 (2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元思维启迪通过设变量将实际问题转化为线性规划问题．答案 C解析设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y, x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21y －x ≤736x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x 、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，所以z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800，故租金最少为36 800元．思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >04x ＋3y ≤4y ≥0，则w ＝y＋1x的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1(2)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0，若z 的最大值为12，则k ＝________.答案 (1)D (2)2解析 (1)画出可行域，如图所示．w ＝y ＋1x 表示可行域内的点(x ，y )与定点P (0，－1)连线的斜率，观察图形可知P A 的斜率最小为－1－00－1＝1，故选D. (2)首先画出可行域如下图所示，可知当x ＝y ＝4时，z 取最大值12，∴12＝4k ＋4，∴k ＝2.1．几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化． 2．基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3．线性规划问题的基本步骤(1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；(2)平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l ，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义； (3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.真题感悟1．(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3答案 D解析因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立．B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立．C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立．D 中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，故选D. 2．(2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 B解析画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， ∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 押题精练1．为了迎接2014年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝3－2x ＋1，已知生产该产品还需投入成本(10＋2P )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20P)万元/万件．则促销费用投入万元时，厂家的利润最大？( )A ．1B ．1.5C ．2D ．3答案 A解析设该产品的利润为y 万元，由题意知，该产品售价为2×(10＋2PP)万元，所以y ＝2×(10＋2P P )×P －10－2P －x ＝16－4x ＋1－x (x >0)，所以y ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)≤17－24x ＋1×(x ＋1)＝13(当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时取等号)，所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，故选A.2．若点P (x ，y )满足线性约束条件⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，点A (3，3)，O 为坐标原点，则OA →·OP→的最大值为________．答案 6解析由题意，知OA →＝(3，3)，设OP →＝(x ，y )，则OA →·OP →＝3x ＋3y . 令z ＝3x ＋3y ，如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线y ＝－3x ＋33z 经过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ 3x －y ＝0，x －3y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即B (1，3)，故z 的最大值为3×1＋3×3＝6.即OA →·OP →的最大值为6.(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2014·四川)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b dB.a c b cD.a d x 12>2x B ．2x>lg x >x 12C ．x 12>2x >lg x D ．2x >x 12>lg x 答案 D解析分别画出函数y ＝2x，y ＝x 12，y ＝lg x 的图象，如下图，由图象可知，在x ∈(0,1)时，有2x>x 12>lg x ，故选D.3．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52 B.72 C.154 D.152答案 A解析由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.4．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba≥7＋23a b ·4ba＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号．故选D.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0x －2y ＋1≤0x －1≥0，则z ＝x ＋2y －1的最大值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 B解析约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0x －2y ＋1≤0x －1≥0所表示的区域如图，由图可知，当目标函数过A (1,4)时取得最大值，故z ＝x ＋2y －1的最大值为1＋2×4－1＝8. 二、填空题6．已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________．答案 (1e，e 2) 解析 ∵|f (1＋ln x )|<1，∴－1<f (1＋ln x )<1，∴f (3)<f (1＋ln x )<f (0)，又∵f (x )在R 上为减函数，∴0<1＋ln x <3，∴－1<ln x <2，∴1e<x <e 2. 7．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，且z ＝2x ＋3y 的最大值是5，则实数a 的值为________．答案 1解析画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，则当直线z ＝2x ＋3y 过点A (a ，a )时，z ＝2x ＋3y 取得最大值5，所以5＝2a ＋3a ，解得a ＝1.8．若点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________．答案 32＋ 2 解析 ∵点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，∴2m ＋n ＝2，∵1m ＋1n ＝(1m ＋1n )2m ＋n 2＝12(2＋2m n ＋n m＋1) ≥12(3＋22m n ·n m )＝32＋2，当且仅当2m n ＝n m，即n ＝2m 时取等号， ∴1m ＋1n 的最小值为32＋ 2. 三、解答题9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a)(x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2，即A ＝(－4,2)．y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1，此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2. 当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ；当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12， ∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)． 10．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？解设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百吨，利润为S 百万元，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y .作出可行域如图阴影部分所示，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，将l 0向上平移时，S ＝3x ＋2y 随之增大，当它经过直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点(134，52)时，S 最大，此时，S max ＝3×134＋2×52＝14.75.因此，生产A 产品325吨，生产B 产品250吨时，利润最大为1 475万元．11．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋k x －8＋5，0<x <6，14，x ≥6.已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3.(1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解 (1)由题意可得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋2，0<x <6，11－x ，x ≥6.因为当x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k 2－8＋2，解得k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18x －8＋2，所以 L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[2(8－x )＋188－x]＋18≤－22(8－x )·188－x ＋18＝6，当且仅当2(8－x )＝188－x，即x ＝5时取得等号．当x ≥6时，L ＝11－x ≤5.所以当x ＝5时L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．。

2024高考高考数学二轮复习第二部分第一讲高考常考客观题微专题3不等式与线性规划学案理

微专题3 不等式与线性规划命题者说考题统计考情点击2024·全国卷Ⅰ·T 13·线性规划求最值 2024·全国卷Ⅱ·T 14·线性规划求最值 2024·北京高考·T 8·线性规划区域问题 2024·浙江高考·T 15·不等式的解法 2024·全国卷Ⅰ·T 14·线性规划求最值1.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第5～9或第13～15题的位置上，难度中等，干脆考查时主要是简洁的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上。

2.若不等式与函数、导数、数列等其他学问交汇综合命题，难度较大。

考向一不等式的性质与解法【例1】 (1)已知a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB ．a ＋1a >b ＋1bC.b a >b ＋1a ＋1D.a ＋b2>ab(2)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32解析 (1)因为a >b >0，所以1a <1b ，依据不等式的性质可得a ＋1b >b ＋1a，故A 正确；对于B ，取a ＝1，b ＝12，则a ＋1a ＝1＋11＝2，b ＋1b ＝12＋2＝52，故a ＋1a >b ＋1b 不成立，故B 错误；依据不等式的性质可得b a <b ＋1a ＋1，故C 错误；取a ＝2，b ＝1，可知D 错误。

2022高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第3讲不等式与线性规划

第3讲不等式与线性规划一、选择题1．(2021·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b ＜a ＜c . 答案：A2．(2021·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]解析：画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.答案：B3．(2021·枣庄模拟)若正数x ，y 满足1y ＋3x＝1，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．24B ．28C ．25D ．26解析：因为正数x ，y 满足1y ＋3x＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝13＋3x y ＋12y x≥13＋3×2x y ×4yx＝25，当且仅当x ＝2y ＝5时取等号．所以3x ＋4y 的最小值是25.答案：C4．(2021·杭州调研)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．32D ．6解析：已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行．所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0解得Q (2，－2)．所以|AB |＝|PQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2. 答案：C5．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎭⎪⎫x ＜－1或x ＞13，则f (e x)＞0的解集为( )(导学号 55410096)A ．{x |x ＜－1或x ＞－ln 3}B ．{x |x ＞－ln 3}C ．{x |－1＜x ＜－ln 3}D ．{x |x ＜－ln 3}解析：由题设，知f (x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13又f (e x )＞0，得－1＜e x＜13所以x ＜ln 13＝－ln 3.故f (e x)＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}．答案：D 二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________．解析：当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥1可得x ≤0，所以不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)7．(2021·北京卷改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为________．解析：画出可行域，设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2，当直线y ＝－12x ＋z2过B (3，3)时，z 取得最大值9.答案：98．(2021·北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：法一因为x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1. 所以2xy ≤x ＋y ＝1，从而0≤xy ≤14.因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy . 所以12≤x 2＋y 2≤1.法二可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 三、解答题9．(2021·肇庆模拟改编)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求实数m 的取值范围．解：先根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0画出可行域(图略)．要使可行域存在，必有m ＜－2m ＋1，要求可行域包含直线y ＝12x －1上的点，只要边界点(－m ，1－2m )在直线y ＝12x －1的上方，且(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方，故得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－2m ＋1，1－2m ＞－12m －1，m ＜－12m －1，解之得m ＜－23.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.10．已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(导学号 55410097) (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．解：(1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 11．(2021·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万) 甲 70 5 60 乙60525不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(导学号 54850098)(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：图1(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125随z 变化的一簇平行直线，z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．图2。

高三数学二轮复习专题能力提升训练3 不等式及线性规划问题理

训练3 不等式及线性规划问题(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·济南市3月模拟)若a ＞b ，则下列不等式恒成立的是( )．A ．a 3＞b 3B ．lg a ＞lg b C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12bD.1a ＜1b2．(2012·德州期末考试)已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜4}，则不等式cx2＋bx ＋a ＜0的解集为( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜14 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜14 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞12或x ＜14 3．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )．A.72 B ．4 C.92D ．54．设a ＞0，则函数f (x )＝4x ＋a x≥42(x ＞0)成立的一个充分不必要条件是( )．A ．a ≥2B ．a ＝1C ．a ＝4D ．a ≤35．(2012·荆门等八市联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为4，则实数b 的值为( )．A ．0B ．2C ．3D ．4二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2012·宁波鄞州区适应性考试)已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n的最小值为________．7．已知a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)(其中m 、n 为正数)，若a ∥b ，则1m ＋2n的最小值是________．8．(2012·福州质检)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？10．(12分)(2012·温州八校联考)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．11．(12分)(2010·湖南)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．(1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2；(2)若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值．参考答案训练3 不等式及线性规划问题1．A [当a ＜0，b ＜0时，lg a ，lg b 无意义，所以B 不正确；当a ＞b 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，所以C 不正确；当a ＞0，b ＜0时，1a ＞1b，所以D 不正确．]2．D [由已知a ＜0，把2和4看作方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝6，ca ＝8，∴b＝－6a ，c ＝8a ，即cx 2＋bx ＋a ＜0⇔8ax 2－6ax ＋a ＜0.∵a ＜0，∴8x 2－6x ＋1＞0，解得：x ＞12或x ＜14.]3．C [∵a ＋b ＝2，∴y ＝1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ＋4a b ＋4≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2 b a ·4a b ＝92.] 4．C [由f (x )＝4x ＋a x≥4a ≥42，得a ≥2，所以选C.]5．C [画出可行域可知y ＝－2x ＋z 过⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，2b 3时z 取得最小值，所以2×b 3＋2b 3＝4，b ＝3.] 6．解析因为点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，所以有m ＋2n ＝1；2m＋4n＝2m＋22n≥22m ·22n＝22m ＋2n＝2 2.答案 2 27．解析向量a ∥b 的充要条件是m ×1＝1×(1－n )，即m ＋n ＝1，故1m ＋2n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝3＋n m ＋2mn≥3＋2 2. 答案 3＋2 28．解析因为二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，如图阴影部分且左、右两端点坐标分别为P (1,9)，Q (3,8)，由函数y ＝a x的图象经过区域M ，如图所示．则由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1≤9，a 3≥8，即2≤a ≤9.所以a 的取值范围是[2,9]．答案 [2,9]9．解设每间虎笼的长、宽分别为x m 、y m.则s ＝xy .(1)由题意知：4x ＋6y ＝36. ∴2x ＋3y ＝18. 又2x ＋3y ≥26xy ， ∴xy ≤2x ＋3y224＝18224＝272，当且仅当2x ＝3y ＝9，即x ＝4.5，y ＝3时，s ＝xy 最大， ∴每间虎笼的长为4.5 m ，宽为3 m 时，每间虎笼面积最大． (2)由题意知xy ＝24， 4x ＋6y ≥224·xy ＝48，当且仅当4x ＝6y 时，取得等号．由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝6y ，xy ＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.∴每间虎笼的长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小． 10．解 (1)f ′(x )＝e x＋4x －3，则f ′(1)＝e ＋1，又f (1)＝e －1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＋1＝(e ＋1)(x －1)，即(e ＋1)x －y －2＝0.(2)由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x ＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x－12x 2－1.∵x ≥12，∴a ≤e x－12x 2－1x .令g (x )＝e x－12x 2－1x，则g ′(x )＝e xx －1－12x 2＋1x 2.令φ(x )＝e x(x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x－1)．∵x ≥12，∴φ′(x )＞0，∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， ∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12e ＞0，因此g ′(x )＞0，故g (x )在12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝＝2e －94，∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2 e －94. 11．(1)证明易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R ，2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1.于是c ≥1，且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.(2)解由(1)知c ≥|b |.当c ＞|b |时，有M ≥f c －f b c 2－b 2＝c 2－b 2＋bc －b 2c 2－b 2＝c ＋2bb ＋c.令t ＝bc ，则－1＜t ＜1，c ＋2b b ＋c ＝2－11＋t. 而函数g (t )＝2－11＋t (－1＜t ＜1)的值域是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32.因此，当c ＞|b |时，M 的取值集合为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.当c ＝|b |时，由(1)知b ＝±2，c ＝2.此时f (c )－f (b )＝－8或0，c 2－b 2＝0，从而f (c )－f (b )≤32(c 2－b 2)恒成立．综上所述，M 的最小值为32.。

2021-2022年高考数学二轮复习专题三不等式与线性规划练习理

2021年高考数学二轮复习专题三不等式与线性规划练习理基础演练夯知识1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋1)＞0}，则A ∩B ＝ ( ) A. (0，1) B ．(1，2)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．已知全集U ＝R ，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，N ＝{x |x 2－x ＜0}，则集合M ，N 的关系用图示法可以表示为( )A BC D图313．设变量x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则目标函数z ＝x －2y 的最大值为( )A.32 B ．1C ．－12D ．－24．若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a －b ＞1a B.1a ＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 25．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，2x ＋y ≤3，x ＋2y ≥3，则z ＝x22＋y 2的最大值等于()A ．2B ．3C ．9D ．10 提升训练强能力6．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，集合B ＝{x |2x ＋1＞1}，则∁B A ＝( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)7．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{y |y ＝2x ＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．[1，2) C ．[1，5] D ．(2，5]8．已知向量a ＝(m ，1－n )，b ＝(1，2)，其中m ＞0，n ＞0.若a ∥b ，则1m ＋1n的最小值是( )A ．2 2B ．3＋22C ．4 2D ．3＋29．已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0表示的平面区域内的动点，则(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值是( )A ．10 B.495C.13 D ．1310．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a 2＋b 2＝3c 2，则cos C 的最小值为( )A.12B.14C.32D.2311．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－4，2)B ．(－4，1)C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)12．已知x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，则xy 的最小值为________．13．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋2y －a ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为6，则a ＝________．14．已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＝4，则a 2＋2b 2的最小值为________．15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则ab 的最大值为________．专题限时集训(三)【基础演练】1．B [解析] 集合B ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1，2)． 2．B [解析] 集合M ＝(－1，1)，集合N ＝(0，1)，显然N ⊆M ，B 正确． 3．B [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，可得在点(1，0)处目标函数取得最大值1.4．A [解析] 对于选项A 中的不等式，a －b －a ＝a （a －b ）＜0，故选项A 中的不等式不成立；根据不等式的性质，其余选项中的不等式均成立．5．C [解析] 显然z 的算术平方根为椭圆x 22z ＋y 2z＝1的短半轴长，故z ≤3，z ≤9.选C.【提升训练】6．B [解析] 集合A ＝(－1，3)，集合B ＝(－1，＋∞)，所以∁B A ＝[3，＋∞)． 7．D [解析] 集合A ＝[1，5]，集合B ＝(2，＋∞)，所以A ∩B ＝(2，5]．8．B [解析] 根据已知可得2m ＝1－n ，即2m ＋n ＝1.故1m ＋1n＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝3＋n m＋2mn ≥3＋2n m ·2m n ＝3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立．9．D [解析] 由已知得平面区域是以O (0，0)，A (2，0)，B (1，2)，C (0，1)为顶点的四边形边界及其内部．目标函数的几何意义是区域内的点到点(－1，－1)的距离的平方，所以可得在区域的顶点B (1，2)处，目标函数取得最大值13.10．D [解析] 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23（a 2＋b 2）2ab ≥23×2ab2ab ＝23，当且仅当a ＝b 时等号成立．11．A [解析] 作出平面区域如图所示，由z ＝ax ＋2y 得y ＝－a 2x ＋z2，表示斜率为－a 2，在y 轴上的截距为z 2的直线，依题意得－1＜－a2＜2，解得－4<a <2.12．9 [解析] 因为x ，y 均为正实数，所以x ＋y ≥2xy ，所以xy ＝x ＋y ＋3可化为xy ≥2xy ＋3，即(xy －3)(xy ＋1)≥0，所以xy ≥3，即xy ≥9，当且仅当x ＝y 时等号成立．13．2 [解析] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域如图中阴影部分所示．直线x ＋2y －a ＝0与x 轴交于点A (a ，0)，目标函数为z ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋z 过可行域内点A (a ，0)时，z 恰好取得最大值6，即z max ＝3a ＋0＝6，得a ＝2，即直线x ＋2y －a ＝0过点(2，0)，故a ＝2.14．8 2 [解析] 因为f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，所以f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，所以f ′(0)＝ab ＝4，所以a 2＋2b 2≥22ab ＝82，当且仅当a ＝2b 时等号成立．15．4[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0交于点A (1，4)．作直线l ：z ＝ax ＋by ，由于a ＞0，所以z 可视为直线l 在x 轴上的截距的a 倍，当直线l 经过可行域内的点A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即z max ＝a ·1＋b ·4＝a ＋4b ＝8，因此ab ＝14·a ·4b ≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4b 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当a ＝4b ，即a ＝4，b ＝1时等号成立．。

浙江省高考数学(文科)考前必考题型过关练：专题二+不

第4练再谈“三个二次”的转化策略题型一函数与方程的转化例1 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．破题切入点将函数的零点问题转化为对应方程根的问题．答案 7解析由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．题型二函数与不等式的转化例2 已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg 2}B ．{x |－1<x <lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}破题切入点由题意，可得f (10x )>0等价于－1<10x <12，由指数函数的单调性即可求解．答案 D解析方法一由题意可知f (x )>0的解集为{x |－1<x <12}，故f (10x )>0等价于－1<10x <12，由指数函数的值域为(0，＋∞)，知一定有10x >－1，而10x <12可化为10x <10 ，即10x <10－lg 2.由指数函数的单调性可知x <－lg 2，故选D. 方法二当x ＝1时，f (10)<0，排除A ，C 选项．当x ＝－1时，f (110)>0，排除B.题型三方程与不等式的转化例3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围．破题切入点将二次函数的特殊点按照题目要求固定到区间内，转化为不等式(组)进行求解．解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如右图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12，故m 的取值范围是(－56，－12)．(2) 抛物线与x 轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如右图所示，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)>0Δ≥00<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2.故m 的取值范围是(－12，1－2]．总结提高 “三个二次”是一个整体，不可分割．有关“三个二次”的问题的解决办法通常是利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理．1．若A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，B ＝{x |x >0}，且A ∩B ＝∅，则实数p 的取值范围是( ) A ．p >－4 B ．－4－4.2．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，－2]D ．[1,2]答案 D解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋2，其对称轴为x ＝1，当x ＝1时，f (x )min ＝2，故m ≥1，又∵f (0)＝3，f (2)＝3，∴m ≤2.综上可知1≤m ≤2.3．方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤52答案 D解析 m ＝x 2－32x ＝⎝⎛⎭⎫x －342－916，x ∈[－1,1]．当x ＝－1时，m 取最大值为52，当x ＝34时，m 取最小值为－916，∴－916≤m ≤52.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．(0,3)答案 A解析设t ＝f (x )，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f (x )＝0或f (x )＝a . 如图，作出函数f (x )的图象，由函数图象，可知f (x )＝0的解有两个，故要使方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的解，则方程f (x )＝a 的解必有三个，此时0<a <1. 所以a 的取值范围是(0,1)．5．(2013·重庆)若a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.6．(2013·浙江)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析由f (0)＝f (4)知，f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为－b2a＝2. ∴4a ＋b ＝0.又0和1在同一个单调区间内，且f (0)>f (1)， ∴y ＝f (x )在(－∞，2)内为减函数．∴a >0.故选A.7．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎦⎤259，4916解析因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0，其中(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a >0，且有4－a >0，故0<a <4，不等式的解集为12＋a <x <12－a ，14<12＋a <12，则一定有{1,2,3}为所求的整数解集．所以3<12－a≤4，解得a 的范围为⎝⎛⎦⎤259，4916. 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 [－3,1]解析因为f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，所以此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3，即－3≤a <－1. ②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1，即－1≤a ≤1. 综上，实数a 的取值范围为[－3,1]．9．已知函数f (x )＝2ax 2＋2x －3.如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析若a ＝0，则f (x )＝2x －3，f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0.下面就a ≠0分两种情况讨论：①当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.②当f (－1)·f (1)>0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a f (1)≤0，－1<－12a<1，f (－1)·f (1)>0，解得a >52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 10．已知定义在R 上的单调递增奇函数f (x )，若当0≤θ≤π2时，f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－12，＋∞)解析方法一 f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)<0⇒f (cos 2θ＋2m sin θ)<f (2m ＋2)⇒cos 2θ＋2m sin θ<2m ＋2⇒2m (1－sin θ)>－1－sin 2θ. 当θ＝π2时，2m ·0>－2，此时m ∈R ；当0≤θ<π2时，m >－1＋sin 2θ2(1－sin θ)，令t ＝1－sin θ，则t ∈(0,1]，此时m >－12×1＋(1－t )2t ＝－12(t ＋2t －2)．设φ(t )＝－12(t ＋2t－2)，而φ(t )在t ∈(0,1]上的值域是(－∞，－12]，故m >－12.方法二同方法一，求得2m (1－sin θ)>－1－sin 2θ，设sin θ＝t ，则t 2－2mt ＋2m ＋1>0对于t ∈[0,1]恒成立．设g (t )＝t 2－2mt ＋2m ＋1，其图象的对称轴方程为t ＝m . ①当m <0时，g (t )在[0,1]上单调递增，从而g (0)＝2m ＋1>0，即m >－12，又m <0，所以－12<m <0.②当0≤m ≤1时，g (t )在[0，m ]上单调递减，在[m,1]上单调递增，从而g (m )＝m 2－2m 2＋2m ＋1>0，即m 2－2m －1<0，所以1－2<m <1＋ 2. 又m ∈[0,1]，所以0≤m ≤1.③当m >1时，g (t )在[0,1]上单调递减，从而g (1)＝1－2m ＋2m ＋1＝2>0恒成立，所以m >1. 综合①②③，可知m >－12.11．已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．解 f (x )＝2a ·12(1－cos 2x )－ 3a sin 2x ＋a ＋b＝－2a ⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＋2a ＋b＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，又∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 因此，由f (x )的值域为[－5,1] 可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝1，－2a ×1＋2a ＋b ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.12．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a ，其中a ∈R ，且a ≠0.若函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值．解依题意，f (x )＝g (x )，即ax 2＋ax ＝x －a ，整理得ax 2＋(a －1)x ＋a ＝0，①∵a ≠0，函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ， ∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a 2＝－3a 2－2a ＋1 ＝(3a －1)(－a －1)>0， ∴－1<a <13且a ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，由①得x 1x 2＝1>0，x 1＋x 2＝－a －1a .设点O 到直线g (x )＝x －a 的距离为d ，则d ＝|－a |2，∴S ＝121＋12|x 1－x 2|·|－a |2＝12－3a 2－2a ＋1 ＝12－3⎝⎛⎭⎫a ＋132＋43. ∵－1<a <13且a ≠0，∴当a ＝－13时，S 取得最大值33.。

浙江省宁波市高考数学二轮复习专题06：不等式与线性规划

浙江省宁波市高考数学二轮复习专题06：不等式与线性规划姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知约束条件，若目标函数恰好在点处取得最大值，则的取值范围为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高三上·集宁期中) 设实数x，y满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·贺州期末) 若x，y满足，则的最小值为A .B .C .D .4. （2分）函数y=f(x)为定义在R上的减函数，函数y=f(x-1)的图像关于点（1,0）对称， x,y满足不等式， M(1,2),N(x,y)，O为坐标原点，则当时，的取值范围为（）A .B . [0,3]C . [3,12]D . [0,12]5. （2分）设x > 0, y > 0,, ， a 与b的大小关系（）A . a >bB . a <bC . a bD . a b6. （2分）已知不等式（x+y）（ + ）≥9对任意正实数x ， y恒成立，则正实数a的最小值为（）A . 2B . 4C . 6D . 87. （2分）(2019·东北三省模拟) 已知实数，满足不等式组，目标函数的最大值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·黑龙江开学考) 若M（x，y）在直线上x+2y+1=0移动，则2x+4y的最小值是（）A .B .C . 2D . 49. （2分） (2016高一下·湖北期中) 不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·枣庄模拟) 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A .B . 1C .D . 311. （2分）(2018·江西模拟) 已知的内角、、的对边分别是、、，且，若，则的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·枣庄模拟) 若正数x，y满足，则3x+4y的最小值是（）A . 24B . 28C . 25D . 26二、填空题 (共7题；共13分)13. （1分） (2017高二下·怀仁期末) 不等式组表示的平面区域为，直线与区域有公共点，则实数的取值范围为________．14. （1分）(2019·凌源模拟) 已知满足约束条件：，则的最大值是________．15. （1分） (2020高三上·黄浦期末) 已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，若f（x）＝x+log2（2x+2），则满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是________.16. （2分） (2016高三上·嘉兴期末) 函数在 ________处取到最小值，且最小值是________．17. （1分） (2017高二下·溧水期末) 已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值为________．18. （2分） (2017高一上·南通开学考) 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．19. （5分） (2019高三上·梅州月考) 若满足约束条件，则的最大值为________.三、解答题 (共3题；共25分)20. （10分）(2017·黑龙江模拟) 已知函数f（x）=|x+1|+|m﹣x|（其中m∈R）．（1）当m=2时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若不等式f（x）≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．21. （10分） (2019高二上·山西月考) 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图象与轴有两个交点，且两交点之间的距离不超过5，求的取值范围．22. （5分）(2020·安阳模拟) 已知，，不等式恒成立.（1）求证:（2）求证: .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共7题；共13分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共3题；共25分)20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

新(浙江专用)高考数学二轮专题突破专题三数列与不等式第4讲不等式与线性规划理-人教版高三全

第4讲不等式与线性规划1．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9D ．c >92．(2015·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6 D.3153．(2015·浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz4．(2015·重庆)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；(2)f xg x≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例 1 (1)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}(2)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}思维升华 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．跟踪演练1 (1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.(2)已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________________．热点二基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．例2 (1)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( ) A.53 B.83 C ．8D ．24(2)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2D.52思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪演练 2 (1)(2015·天津)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．(2)若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是________．热点三简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3 (1)(2015·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1C.32D ．2(2)(2014·安徽)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪训练3 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤－x ＋2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为9，则实数a 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．71．若点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.12 C.14 D.182．已知A (1，－1)，B (x ，y )，且实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≥2，x ≤2，则z ＝OA →·OB→的最小值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－4D ．－63．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x －2 x >2，log 22－x x <2，则不等式f (x )≤4的解集为________．4．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立，则a 的取值范围是________．提醒：完成作业专题三第4讲二轮专题强化练专题三第4讲不等式与线性规划A 组专题通关1．下列选项中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若ab >0，a >b ，则1a <1bC ．若a >b ，c <d ，则a c b ，c >d ，则a －c >b －d2．不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－2,1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．(2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－34．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 35．(2015·浙江杭州二中第一次月考)若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－235，＋∞)B ．[－235，1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，13x，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________________．7．(2015·绵阳市一诊)某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C 与产量q (q ∈N *)的函数关系式为C ＝100－4q ，销售单价p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－116q .要使每件产品的平均利润最大，则产量q ＝________.8．已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab的最小值为________．9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a)(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．10．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．B 组能力提高11．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q12．(2015·课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．13．(2015·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．14．图(1)是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成如图(2)所示的模型，其中桥塔AB ，CD 与桥面AC 垂直，通过测量得知AB ＝50 cm ，AC ＝50 cm ，当P 为AC 中点时，∠BPD ＝45°. (1)求CD 的长；(2)试问点P 在线段AC 的何处时，∠BPD 达到最大？学生用书答案精析第4讲不等式与线性规划高考真题体验 1．C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b －7＝0，4a －b －13＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.所以f (－1)＝c －6，所以0<c －6≤3，解得6<c ≤9，故选C.] 2．B [不等式组所表示的可行域如下图所示，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2，依题当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z 2经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时，z 取得最小值即z min ＝3×1＋2×45＝235，故选B.]3．B [令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3. A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14； B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10； C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11； D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.] 4．3 2解析 ∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2. 热点分类突破例1 (1)D (2)C解析 (1)由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.(2)由题意可知f (－x )＝f (x )．即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)·(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 跟踪演练1 (1)52 (2)(1e，e 2)解析 (1)由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )·(x －4a )<0，因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.(2)∵|f (1＋ln x )|<1， ∴－1<f (1＋ln x )<1， ∴f (3)<f (1＋ln x )<f (0)，又∵f (x )在R 上为减函数， ∴0<1＋ln x <3，∴－1<ln x <2， ∴1e <x <e 2. 例2 (1)C (2)B解析 (1)∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0，即2x ＋3y ＝3.∵x >0，y >0， ∴3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·13(2x ＋3y ) ＝13(6＋6＋9y x ＋4x y )≥13(12＋2×6)＝8. 当且仅当3y ＝2x 时取等号． (2)2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2·2x －a ·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.跟踪演练2 (1)4 (2)4解析 (1)log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·(1＋log 2b )≤⎝⎛⎭⎪⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2ab ＋122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 28＋122＝4，当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a＝4，b ＝2.(2)易知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的半径为2，圆心为(－1,2)，因为直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)过圆心，把圆心坐标代入得：a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥4，当且仅当b a ＝a b，a ＋b ＝1，即a ＝b ＝12时等号成立．例3 (1)D (2)D解析 (1)可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2. (2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.跟踪训练3 C [依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点B (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ；因为目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为9，所以3a ＝9，解得a ＝3，故选C.]高考押题精练1．D [因为点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上，所以a >0，b >0，且a ＋2b ＝1，所以ab ＝12·a ·2b ≤12·(a ＋2b 2)2＝18，当且仅当a ＝2b ＝12，即a ＝12，b ＝14时，“＝”成立．故选D.]2．C [画出不等式组所表示的可行域为如图所示的△ECD 的内部(包括边界)，其中E (2,6)，C (2,0)，D (0,2)．目标函数z ＝OA →·OB →＝x －y .令直线l ：y ＝x －z ，要使直线l 过可行域上的点且在y 轴上的截距－z 取得最大值，只需直线l 过点E (2,6)．此时z 取得最小值，且最小值z min ＝2－6＝－4.故选C.]3．{x |－14≤x <2或x ≥113}解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x ＋3x －2≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，log 22－x ≤4，解得x ≥113或－14≤x <2，故不等式f (x )≤4的解集为{x |－14≤x <2或x ≥113}．4．[－1,2] 解析设y ＝2x －1，因为y ＝2x －1在x ∈[2,6]上单调递减，即y min ＝26－1＝25，故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1,2]．二轮专题强化练答案精析第4讲不等式与线性规划1．B [若a >b ，取c ＝0，则ac 2>bc 2不成立，排除A ；取a ＝2，b ＝－1，c ＝1，d ＝2，则选项C 不成立，排除C ；取a ＝2，b ＝1，c ＝1，d ＝－1，则选项D 不成立，排除D.选B.] 2．C [根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <(a b ＋b a)min ， ∵a b ＋b a ≥2a b ·ba＝2， ∴x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知其解集为(－2,1)．]3．B [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.]4．D [由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b)＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4ba ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号．故选D.]5．A [方法一令f (x )＝x 2＋ax －2，则f (0)＝－2.①若－a2≤0，即a ≥0时，要使关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则应满足f (5)>0，解得a >－235.所以a ≥0；②若－a2>0即a <0时，要使关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，也应满足f (5)>0，解得a >－235.所以－235<a <0.综上可知，实数a 的取值范围是(－235，＋∞)．方法二不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解可转化为a >2x－x 在[1,5]上有解，设f (x )＝2x －x ，x ∈[1,5]，易知f (x )为减函数，f (x )min ＝f (5)＝－235，∴a >f (x )min ＝－235，故a 的取值范围是(－235，＋∞)．]6．(－∞，0]∪[3，＋∞)解析当x >0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由(13)x≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)． 7．40解析每件产品的利润y ＝25－116q －100－4q q ＝29－(q 16＋100q)≤29－2q16·100q＝24，当且仅当q 16＝100q且q >0，即q ＝40时取等号．8.172解析方法一 a 2＋4b 2＋1ab≥a ＋2b22＋2a ＋2b 22＝12＋8＝172. 当且仅当a ＝2b 时等号成立．方法二因为1＝a ＋2b ≥22ab ⇒ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a ·(2b )＋1ab ＝4ab ＋1ab.令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在(0，18]上单调递减，所以f (t )min ＝f (18)＝172.此时a ＝2b ＝12.9．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0 得－4<x <2，即A ＝(－4,2)．y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1，此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)∁R A ＝{x |x ≤－4或x ≥2}． (ax －1a)(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a2.当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a2}，不可能C ⊆∁R A ；当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a2}，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12，∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)． 10．解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元． 11．C [∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.] 12．3解析画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴yx的最大值为3.13．3解析满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3. 14．解 (1)设∠BPA ＝α，∠DPC ＝β， CD ＝h cm ，则tan α＝2，tan β＝h25，由题意得，tan(α＋β)＝2＋h251－2×h25＝－1，解得h ＝75. 故CD 的长为75 cm. (2)设AP ＝x cm(0<x <50)，则tan α＝50x ，tan β＝7550－x ，∴tan ∠BPD ＝－tan(α＋β)＝－50x ＋7550－x 1－50x ×7550－x ＝25x ＋100x 2－50x ＋50×75.∵x 2－50x ＋50×75>0，∴tan ∠BPD >0，即∠BPD 为锐角．令t ＝x ＋100∈[100,150]，则x ＝t －100， ∴tan ∠BPD ＝25tt －1002－50t －100＋50×75＝25tt 2－250t ＋50×375，∴tan ∠BPD ＝25t ＋50×375t－250≤252t ·50×375t－250＝1230－10，当且仅当t ＝50×375t，即t ＝2530∈[100,150]时等号成立， ∴AP ＝(2530－100)cm 时，∠BPD 最大．。

浙江省高考数学第二轮复习 专题升级训练3 不等式、线性规划 文