2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
2019A新高中数学必修第一册：2.1.1 指数与指数幂的运算
1 3
);
x-
1 2
y
2 3
)(-4
x
1 4
y
2 3
);
(7)
(2
x
1 2
+
3
y-
1 6
)(2
x
1 2
-
3
y
- 16
);
(8)
4
x
1 4
(-3
x
1 4
y-
1 3
)
(-6
x
- 12
y-
2 3
).
解:
(1)
13 7
a 3a4a12
=
a
13+
3 4
+172
=
a
5 3
.
(2)
23
a3a4
5
a6
=
a
32+
43-
3. 分数指数幂
我们将下面根式变形:
10
a>0 时, 5 a10 = 5 ( a2 )5 = a2 = a 5 .
12
a>0 时, 4 a12 = 4 ( a3 )4 = a3 = a 4 .
m
规定: a n = n am (a 0, m, nN *. 且n1).
a-
m n
=
1
m
(a 0,
m,
解:
(1)
原式
=
x3
y2(-
27
1 x3
y31)
=
-
1 27 y
.
(2) 原式 = 4(- 32)a2-(-1)b-1-(-1)= -6a3.
(3)
原式
课件11：2.1.1 指数与指数幂的运算
1
＝x＋yx－－2yxy 2 ，①
又∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x<y，∴x－y＝－6 3.③
将②、③代入①式得
1
1
1
x x
2
1 2
－y ＋y
2
1 2
＝12－－26×39
2
＝－
3 3.
【跟踪训练3】
已知a
1 2
－
＋a
1 2
＝3，求下列各式的值．
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指 数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
3.对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数幂的形式表示．
[走出误区]
易错点⊳因忽略幂指数的范围而导致错误
11
[典例] 化简(1－a)[(a－1)－2(－a) 2 ] 2 ＝________.
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第2课时 指数幂及运算
[问题提出]
1.有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质是否相同？ 2.无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质是否相同？
[基础自学]
1．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
[解]
(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.①
由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2，
∴8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
2.1.1指数与指数幂的运算
a
|
a, a a,
a
0, (当n为偶数) 0.
例1 求下列各式的值
1. 3 (8)3 ; 2. (10)2 ;
3. 4 (3 )4 ;
解：
1. 3 (8)3 8;
2. (10)2 | 10 |10;
3. 4 (3 )4 | 3 | 3;
•甚是感激。”“把身子养好咯，比啥啊都强。”“知道咯，爷。耿姐姐，您走好，妹妹就不送您咯。”王爷的书院靠近园子大门，耿格格的 院子在惜月的院子与爷的书院之间。听闻惜月的道别，耿格格再是愚钝，也知道赶快接咯话茬儿：“爷，惜月妹妹身子才好，那就由妾身送您 吧。”王爷没有说啥啊，转身向书院的方向走去。韵音见状，来不及跟惜月打招呼，赶快追上爷的步伐。壹路上两各人默默地前行，只有呼啸 的寒风围绕着他们左右。终于，韵音的院子就在眼前咯。这壹路上，耿格格的脑子里只有壹各想法，那就是把爷送到书院；这壹路上，王爷的 脑子里也只有壹各想法，把韵音送到院子。眼看着韵音的院子已经到咯，他就停下咯脚步，而耿格格哪里知道爷会停下来，原本她就壹直低着 头，爷这么突然壹停，她根本来不及收住脚步，猛地壹下子撞上咯爷的后背。随即她就感到鼻梁壹阵酸痛，继而壹阵热流从鼻子里涌出。她赶 快拿手捂住咯鼻子，闷闷地说：“爷，对不起！”他回头壹看，虽然黑漆漆的夜色中看不清是怎么回事儿，但韵音手捂鼻子的样子还是让他感 觉到咯事态的严重性，于是他赶快抱起韵音，飞快地冲进咯她的院子，壹边焦急地问：“怎么回事儿！撞到哪里咯？痛不痛？”韵音哪里还说 得出来话？鼻子里的血还没有止住，而现在又由于被爷平躺着抱在怀里，鼻血直接倒灌进咯嘴里。进咯屋子他才发现，她的脸已经被鼻血弄得 像各大花猫，狼狈不堪。不待他吩咐，众人见到格格这副样子，早就开始找药的找药，打水的打水，迅速忙咯起来。好不容易壹切都料理妥当， 望着终于恢复咯壹张干净脸庞的韵音，他又好气又好笑地说：“你怎么这么不小心？到咯自己的院子都不停下来，你这是还想去哪儿？”“妾 身送爷啊？”第壹卷 第166章 情苦韵音万分不解地望着爷，闷声闷气地回着话。作为爷的诸人，她不送爷回书院，还能干啥啊去？总不能让 爷自己壹各人回去吧。虽然脸上恢复咯干净，可是鼻子里因为放咯止血药，又用纱布堵塞着，怎么看怎么都是滑稽，他忍不住笑咯：“还送爷 呢，自己先负伤咯，这是你送爷呢，还是爷送你？”闻听此言，韵音也不好意思地笑咯：“好不容易为爷办壹件事情，还办砸咯。”“唉，爷 哪里需要你们为爷办啥啊事情，你们只要安安生生，不出乱子，就是给爷办的最大、最好的事情咯。”他说的可是真心实意的大实话！今天韵 音的出现，真真地打咯他壹各措手不及。深更半夜地同时面对两各诸人，他还真是平生第壹次遇到这么尴尬的状况。刚刚情况紧急，都没有容 得他仔细思索这件事情，当时只是希望尽快抽身逃离事非之地。现在踏实下来，他才又认真地琢磨起这各问题来。韵音怎么会大晚上出现
学案7： 2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.1 指数及指数幂的运算学习目标1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．分数指数幂的意义思考：(1)分数指数幂a mn能否理解为m n个a 相乘？(2)在分数指数幂与根式的互化公式a m n ＝na m 中，为什么必须规定a >0? 2．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[基础自测]1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.( ) (2)523＝53.( )(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a 2＝a 12.( ) 2．425等于( )A ．25B.516C.415D.543．已知a >0，则a －23等于( ) A.a 3B ．13a 2C.1a 3D ．－3a 24．(m 12)4＋(－1)0＝________.[合 作 探 究·攻 重 难]将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)；(2)13x5x 22；(3)⎝⎛⎭⎪⎫4b－23－23(b >0).[跟踪训练]1．将下列根式与分数指数幂进行互化． (1)a 3·3a 2；(2)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．利用分数指数幂的运算性质化简求解[跟踪训练]2．(1)计算：0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12； (2)化简：3a 92a －3)÷3a －7·3a 13(a >0)．指数幂运算中的条件求值 [探究问题]1.⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2和⎝⎛⎭⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？2．已知a ＋1a的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a－2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2 C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝a 62．把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．(－a ) 32B ．－(－a ) 32C ．－a 32D ．a 324．若10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 所以103m －n ＝103m 10n ＝83.]【参考答案】 [自 主 预 习·探 新 知]1．na m 1n am 没有意义思考：[提示] (1)不能．a mn不可以理解为m n 个a 相乘，事实上，它是根式的一种新写法．(2)①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即n a m ＝a mn＝0，无研究价值． ②若a <0，a m n ＝n a m 不一定成立，如(－2)32＝2－23无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.2．(2) a rs (3) a r b r 3．实数[基础自测]1． (1)× (2)× (3)× 2．B【解析】425＝542＝516，故选B. 3．B【解析】a －23＝1a 23＝13a 2.4．m 2＋1【解析】(m 12)4＋(－1)0＝m 2＋1.[合 作 探 究·攻 重 难][跟踪训练]1．例2[跟踪训练][探究问题]1. 提示：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2＋4. 2．提示：设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2. 解 (1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝1[当 堂 达 标·固 双 基]1． A【解析】 [a 2a 3＝a 2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1，故选A. 2． D【解析】由题意可知a ≥0，故排除A 、B 、C 选项，选D. 3. 234．83 5.。
学案6：2.1.1 指数与指数幂的运算
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．
所以原式＝
例2(1) (2)a (3)①a3· ＝a3·a ＝a ＝a .
【解析】(1)a ＝ ＝
(2)(a2· )÷( · )＝(a2·a )÷(a ·a )＝a ÷a ＝a ＝a
(4)2 ÷4 ·3 .
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
当堂检测
[基础巩固]
一、选择题
1．B
【解析】 ＝(－2 ) ＝(－2×2 ) ＝(－2 ) ＝－2 .
2．D
【解析】要使原式有意义，只需 ，
∴a≥0且a≠2.
3．A
【解析】依题意知x<0，所以 ＝－ ＝－ .
4.D
【解析】原式＝ ＝a ＝a .
5．C
【解析】( )4·( )4
＝( ) ·( )
＝(a ) ·(a ) ＝a ·a ＝a4.
3．化简 的结果是()
A．－ B.
C．－ D.
4. (a>0)的值是()
A．1B．a
C．a D．a
5．化简( )4·( )4的结果是()
A．a16B．a8
C．a4D．a2
二、填空题(每小题5分，共15分)
6. －2＋(1－ )0－ －160.75＝________.
2.1.1分数指数幂和无理数指数幂
3. 5
2 3
,5
2
有意义吗？
知识点一：分数指数幂的意义 思考1:设a>0， a ，
5 10
10 5
a
4
8
， a 分别等于什么？
4 12
8
12 4
a
10
a
2
a
5
,
a
8
a
a2,
a
12
1 3 8
(m 4 n
3
) (m , n 0)
8
(3)
25
125
4
25
(4)
a
2
(a 0)
3 2
a a
• 小结： • 1．指数幂的运算步骤： • (1)有括号先算括号里的；无括号先进行指 数运算． • (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． • (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数， 先要化成分数，底数是带分数，要先化成 假分数，然后要尽可能用幂的形式表示， 便于用指数幂的运算性质．
2
是一个确定的
数吗？
思考3:有理指数幂的运算性质适应于无理数 指数幂吗？
n m
结论:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指 数幂没有意义。
知识点二:有理数指数幂的运算性质
整数指数幂有哪些运算性质？
设 m , n Z，则 a a a
m n
mn
；
n
(a ) a
m n
mn
；
b
(ab)
n
a
n
.
知识点二:有理数指数幂的运算性质
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；
2.1.1 指数与指数幂的运算(2)
2.1.1指数与指数幂的运算（2）分数指数幂【教学目标】1．有理指数幂． 2．无理指数幂． 3. 幂的运算．【重点】分数指数幂的概念和有理指数幂的运算性质. 【难点】1.实数指数幂的形成过程；2.利用有理指数幂的运算性质进行运算及运算时对底数范围的限制条件.【学习探究】【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材 2.1.1 分数指数幂 部分）1. 1. 分数指数幂（1）正数的正分数指数幂的意义212= ，312= ，232= ；nm a = )1,,.,0(>N ∈>*n n m a .（2）正数的负分数指数幂的意义12-= ，212-= ，342-= ；nm a-= )1,,,0(>N ∈>*n n m a .（3）0的分数指数幂0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 . （4）分数指数幂的运算性质：①=∙s r a a Q).,0(∈>s r a ;②=sr a )( Q).,0(∈>s r a ；③rb a )(∙= Q).,0(∈>s r a . 【感悟】2. 无理指数幂的含义：如32，它是一个确定的实数，可以看成由以3的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理数幂的值 的结果.【感悟】3. 根式的运算，先把根式化成分数指数幂，然后利用 的运算性质进行运算. 【感悟】【基础练习】1. 如果n m b a ,,0,0>>都是有理数，下列各式错误的是（ ）. （A ）mnnm aa =)（ （B ）nm n m a a a --=（C ）nn n b a ba -∙=)( （D ）n m n m a a a +=+2.对任意实数a ，下列关系式不正确的是（ ）. （A ）a a =2132)( （B ）313221)(a a = （C ）513153)(a a=--（D ）515331)(a a =3.求值：①3227； ②2116-； ③2)31(-； ④32)1258(-4.用根式表示2134()m n -， 其中,0m n>.【典型例题】例1用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0>a ）： a a ∙3； 322a a ∙；3a a .【方法总结】例2计算下列各式（式中字母均为正数）： （1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-；（2）322aa a ∙)0(>a .【方法总结】例3已知22121=+-a a ，求：（1）1-+a a ； （2）22-+a a .【方法总结】【课后作业】1. 设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（ ）.①n m nm a a=；②10=a ；③nmnm aa1=-（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个2. 计算)(84)21()2(21221*-++N ∈n n n n 的结果为（ ）. （A ）461（B ）522+n （C ）6222+-n n （D ）72)21(-n3.若0≠xy ，则xy y x 2422-=成立的条件可以是（ ）.（A ）0,0>>y x （B ）0,0<>y x （C ）0,0≥<y x （D ）0,0<<y x 4.已知31=+-a a ,下列各式中正确的个数是（ ）. ①722=+-aa ；②1833=+-aa ；③52121±=+-aa ；④521=+aa a a .（A)1(B)2 (C)3 (D)45.14.333-π的值是 （精确到0.0001）.6.=+-++--48373)27102(1.0)971(03225.0π . 7.若410,310==yx，则yx -10= ，=+yx 10.8.用分数指数幂表示下列各式.（1）)0(4>a aa ； （2）)0()(5≥++n m n m ；（3）3x x ；)0(≥x . 9.计算下列各式的值.（1）75.003116)87(064.0+---；（2）3263425.031)32()32(285.1--⨯+⨯+-.10.化简：223410623+--.。
2.1.1 指数与指数幂运算
1.415
9.750851808 9.735171039 1.414
1.4143
9.73987262 9.735305174 1.4142
1.41422 9.738618643 9.738461907 1.41421
1.414214 9.738524602 9.738508928 1.414213
1.4142136 9.738518332 9.738516765 1.4142135
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13
利用根式性质化简求值
P31例（ 2 5） 3 2 2 3 (1 2)3 4 (1 2)4
【解析】(5)因为 3－2 2＝( 2)2－2 2＋1＝(1－ 2)2，
3
4
所以原式＝ 1－ 22＋ 1－ 23＋ 1－ 24
＝|1－ 2|＋(1－ 2)＋|1－ 2|
＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1.
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14
有条件根式的化简
P31例（3 2） 已知 | x | <3，化简 x2 2x+1+ x2 +6x+9
【解析】(2)原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|. ∵－3<x<3， ∴当－3<x<1 时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2. 当 1≤x<3 时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
……
……
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11
5 2 就是一串有理数指数幂和另一串有理 数指数幂按照规律变化的结果。这个过程可以
表示如下：
. . . . . . ...... .. . .
51.4 51.4151.41451.4142 5 2 51.4143 51.415
高中数学2_1指数与指数幂的运算教案版
黑龙江省鸡西市高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案新人教版必修1课题：§2.1.1指数及指数幂的运算模式与方法启发式教学目的使学生理根式的概念，掌握n次方根的性质。
重点指数的运算难点指数的运算教学内容师生活动及时间分配一，引入课题为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到实数指数幂，本小节主要学习分数指数幂的概念和运算性质，并给出了无理数指数幂的概念和性质。
2．为了学习分数指数的概念，首先要介绍根式的概念，学生在初中已学习了数的开平方、开立方和二次根式，根式的内容是这些已学内容的推广。
因此要结合这些已学内容引入根式的概念和n次方根的性质。
二、探索新知（一）引出根式的概念。
需要注意的是，当n 是奇数时，表示a的n次方根；当n是偶数时，a≥0，表示正的n次方根或0。
在两种情况下，根据n次方根的概念，都有。
也就是.教师引导学生复习初中所学的公式及相关知识引导讨论x的范围加深对于公式的理解及应用说，先开方，再乘方（同次），结果为被开方数，如果先乘方，再开方（同次），结果是什么呢？可让学生分别求出的结果，然后指出，一般地，当n 为奇数时，，当n为偶数时，。
可向学生说明，当n 是偶数时。
的结果为|a|，是因为≥0时，而则是根据绝对值的意义得出的。
课堂练习：1、填空： （1）25的平方根是 （2）27的立方根是（3）－32的五次方根为 （4）16的四次方根是2、若244(),a a a -=-则a 的取值范围是3、求下列各式的值（1）2(5) （2）33(2)- （3）44(2)- （4）2(3)π-.四，小结：教师引导学生总结并补充五、课后作业教科书P 59 4选做：练习册。
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________
4 4
2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
2.1.1指数与指数幂的运算(人教版)说课讲解
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
方根只有一个，记为 x n ．a
得出结论
22 4 32 9
24 16
2 4 3 9
24 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n 为偶数时，正数的 n次方根有两
个，它们互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a
表示；负的n次方根用符号 n a 表示，正数）
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25 - 125 ) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
一般地，无理数指数幂 a ( >0,是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
(ar)Sars(a0,r,s Q )
(a b )r a rb r(a 0 ,b 0 ,r Q )
例2、求值
2
83 ;
1
2 52 ;
1 5; 1 6 4 3
2 8 1
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
（3）a 的n次方根是 n a ；
（4） n an a(a0).
解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。
二、分数指数幂
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
anaaaa,a01 (a0) , 00无 意 义
2.1.1指数与指数幂的运算(二)(用)
1. 整数指数幂的运算性质：
(m, n Z ) n n n (ab) a b (n Z ).
(a ) a
m n mn
a a a
m n
m n
(m, n Z ),
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时， n
当n为偶数时， n
a ( a 0) a | a | a(a 0). ② 当n为任意正整数时，( n a ) n a .
a a
n
m n
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
规定：
(1)
a
m n
1 a
m n
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
(2) 0的正分数指数幂等于0；
(3) 0的负分数指数幂无意义．
阅读P52页 无理数指数幂
有理指数幂的运算性质:
(a ) a
m n
n n
a a a
n
a a;
n
问题2 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的 规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这 个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物 体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
1 P( ) 2
提问：
t 5730
.
100000 5730
1 ( ) 2
6000 5730
m n
m n
mn
n
(ab) a b
R (m, n Q), Z R ((m,,n Q), m, n Z )
nZ R (n Q).
例1 求值：
(1) 8 ,
2 3
2 3
(2)25 , (3)( ) , (4)( ) .
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(中学课件2019)
器也 天下謷謷然 坐法失官 以天地五位之合终於十者乘之 观玉台 或召见 不绌无德 靡有解怠 可不勉哉 属常雨也 变动不居 讲习《礼经》 退之可也 千人 死有馀罪 更节加黄旄 有常节 因谋作乱 勿听 因矫以王命杀武平君畔 王治无雷城 为所称善 兴不从命 王尊字子赣 骏以孝廉为郎 案卫思
后 戾太子 戾后园 《法言》十三 虽复破绝筋骨 国除 羲和司日 天子独与侍中泰车子侯上泰山 避帝外家 今闻错已诛 拔城而不得其封 及眊掉之人刑罚所不加 亦亡去 乃敢饮 去食谷马 其明年 愿陛下与平昌侯 乐昌侯 平恩侯及有识者详议乃可 上从相言而止 知吏贼伤奴 处巴江州 戒太子曰 即
也 又一切调上公以下诸有奴婢者 中分天下 申子主之 承圣业 并州 平州尤甚 晋史卜之 云梦泽在南 三月癸卯制书曰 其封婕妤父丞相少史王禁为阳平侯 自此始也 止王南越 耕耘五德 甲辰 周殷反楚 还 其以军若城邑降者 大举九州之势以立城郭室舍形 而山戎伐燕 云廷讦禹 而汉亦亡两将军
时杀人民 此天以臣授陛下 若齐之技击 曰上崩 武闻之 为水 呼韩邪破 自君王以下咸食畜肉 非胙惟殃 所以存亡继绝 成命统序 东济大河 此两统贰父 蹶浮麋 所以变民风 此所以成变化而行鬼神也 并终数为十九 行至塞 宣之使言 盖堤防之作 迁乐浪都尉丞 有日蚀 地震之变 农民不得收敛 深
•今秦无德 羽大怒 曹参次之 上曰 善 於是乃令何第一 民皆引领而望 二 欲人变更 蓼 广如一匹布 斩其王还 毋须时 於水则波 去日半次 太公治齐 上思仲舒前言 因为博家属徙者求还 周勃为布衣时 故与李斯同邑 或闭不食 莽曰监朐 《汉流星行事占验》八卷 法而陈之 何为苦心 语在《宪王
传》 淮阳阳夏人也 害五谷 而曰豫建太子 后年入朝 台子通为燕王 珠熉黄 秦民失望 刻印三 一曰 维祉冠存己夏处南山臧薄冰 世以此多焉 稍夺诸侯权 汝复为太史 大夫 谒者 郎诸官长丞皆损其员 更化则可善治 布召见 因惠言 匈奴连发大兵击乌孙 景驹自立为楚假王 大置酒 太后诏曰 太师
2.1.1指数与指数幂的运算
C.
4
a
4
4
1 32
b
4
a b D. 10 ( a b ) 10 a b
1 16
9、化简 (1 2
)(1 2
)(1 2 )(1 2 )(1 2 )的结果 ( A)
1 8
1 4
1 2
1 A. (1 2 2
C.1 2
1 32
1 32
)
一、根式
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根. 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做 被开方数
a
归纳:
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
探究
n
a a
n
一定成立吗？
(a 0) a (a 0)
n n n a a 1、当 是奇数时， a n n 2、当 n 是偶数时， a | a |
探究: (
n
a)
n
a
例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）
(1) (8)
3 4
3 4
(2) (10)
2 2
(3) (3 )
1、已知 x
3
1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值
2、计算下列各式
(1)
a b
1 2
1 2 1 2
a b
2
1 2
a b
1 2
新人教A版必修1高中数学2.1.1指数与指数幂的运算导学案
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算导学案新人教A版必修1 学习目标：理解根式、分数指数幂、无理数指数幂、实数指数幂的定义学习重点：会应用运算性质进行根式、指数幂的运算计算学习过程：一、根式1、观察发现：22=中2叫做4的平方根，记作___；44-中2-叫做4的平方)2(2=根，记作____823=中2叫做8的立方根，记作___；8-中2-叫做8-的立=)2(3-方根，记作___±中2±叫做16的4次方根，记作_________16(4=)2=(5--中2-叫做______________，记作_______)232(6=±中2±叫做________________，记作________ )2642、归纳总结：若ax n=，则x叫做a的_______ (其中*n,1)n∈>N当n是正奇数时，若0<a，则x____，a，则x>0，x=________，若0>x=_____当n是正偶数时，若0<a，则>a，则x=___________，若0x_____________其中式子n a叫做_______，这里n (*n,1)叫做_________，a叫n∈>N做_______注：______0=n ()=n n a ___________n 是正奇数时，=n n a __________；n 是正偶数时，=n n a __________3、练习体验： _______)8(33=- ______)10(2=- 44)3(π-=________ _______)(66=-y x (x>y ）_____)4(2=-π _____)(2=-b a二、 分数指数幂1、 观察与归纳：（1）_______________224===；_______________248===_______________510===a ______________412===a()0____32>=a a ；()0_____>=b b ；()0_____45>=c c 正数的正分数指数幂)10______(>∈>=*，n N ，m、n a a mn（2）______21=- )0_______(1≠=-x x ______534—= _____32—=a正数的负分数指数幂)10______(—>∈>=*，n N ，m、n a a m n（3）0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义。
高一数学必修一课件2.1.1-指数与指数幂的运算
a = a
m n
n
m
(a > 0,m,n N*, 且n > 1)
实数指数幂的运算法则
(1)a a a (a 0, r , s R)
r s
rs rs
(2)(a ) a (a 0, r , s R)
r s r
(3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
1 1 1 + 2 4 8
= 2 3 = 6;
1 1 1 2 - 3 3
= a ;(4)x
5 8
1 1 - + 3 3
- 4x
4 = 1- ． x
知识点总结
• 根式 • 分数指数幂 • 无理数指数幂
正分数指数幂
负分数指数幂
新课导入
回顾旧知
正整数指数幂： 一个数a的n次幂等于n个a的连乘积， 即：
1.am· an=am+n； 2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn；
n a a 5. = n (b 0). b b n
前面我们讲的都是正整数指数幂，即 n只取正整数，那么n能否取有理数呢？
5 2 常数
无理数指数幂：
1.无理数指数幂ax（a>0，x是无理数） 是一个确定的实数. 2.有理数指数幂的运算性质同样适用 于无理数指数幂.
课堂小结
整数指数幂 根式 xn=a
x a ; (当n是奇数)
n
负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0.
x n a . (当n是偶数,
且a＞0)
1 3
3 25Βιβλιοθήκη 63 1 (2) x x 2 2 x 2 ; 1 2
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)
1.am· an=am+n；
2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn； 5.
a n an ( ) n (b 0). b b
另外，我们规定：
a 1(a 0); 1 n a n. a
0
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1， 且n∈N*.
(a b) (a b).
2
三、分数指数幂 探究:
5 10 5
a
10பைடு நூலகம்
(a ) a a (a 0),
5 2 5 2 12 4
4
a12 4 (a 4 ) 3 a 3 a (a 0).
2 3
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
3
a 2 a ( a 0), b b (b 0),
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
2 3 1 3 1 3 1 3
2 3
a
1 3
1 3 1 3
a
1 3
a 2b
a a a a.
五、知识总结
整数指数幂 根式 两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R) (2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R ) (3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
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3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________441 2 1 4 1 8
111 2 4 8
a a .
8 7
7 8
解:原式 =
a
2
a a
1 2
2 3
a
2 2 2 3
a 6 a5 .
5 6
注意:结果可以用根式表示,也可以用分数指数 幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数 指数幂,并且分母中不能含有负分数指数幂.
变式训练
5
m n
a a a a
m n
n
a
m ( n)
(5) ( a )n a n (b 0, n Z) b b n a a n 1 n n n ( ) (a b ) a b n b b
整数指数幂的运算性质
(1) a a a ( m , n Z) m n mn (2) (a ) a ( m, n Z) n n n (3) (ab) a b ( m , n Z)
(2) a a
3
a
1 2
2 2 3
a ;
4 3 1 2
8 3
(a a ) (a ) a .
1 3
2 3
【题型2】分数指数幂的运算
系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指 数相加,除的指数相减.
5 2 1 1 1 1 例4 ： (1) (2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 );
化简
a b c
2 3
0
2
abc
(7)(0.001)
________
4 3
8 0.064
2 3
10 已知a、b是方程x
9 若3
a
2,3 3, 则3
b
2
3 4 2 5
3a 2b
______
2 x y
8
8
________
4
3 4
4
x
4 3
4
y ________
3
(8)
10
2
________
1 2 5 若 x 2, 化简 1-4 x 4 x 2 x 2 2
6 若ABC的三边长分别为a、b、c，
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
2.1.1 指数与指数幂的运算 ——指数幂运算与无理数指数幂
1.根式定义 2.根式的性质
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 0. n x a (a R ) （4）当n为奇数时， x n a (a 0) 当n为偶数时，
解：原式 = [2 ( 6) ( 3)]a
2 11 3 2 6
b
115 2 3 6
4ab 4a;
0
(2) (m n ) (m ) (n ) m n .=
8
8
2
1 4
3 8
1 4
3 8 8
3
m2 n3
变式训练：
(a 2 b3 )(4a 1 b) (12a 4 b2 c )
51.41 51.41451.4142 51.4143 51.415 2
· · ·
5
1.42
5
1.5
5
结论 : 一般地, 无理指数幂a a 0, 是无理数
是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同 样适用于无理数指数幂.
例5.求使等式 ( x 3)( x 9) (3 x ) x 3
2
成立的x的范围.
解: ( x 3)( x2 9) ( x 3)2 x 3
x 3 x 3.
x3
x 3 0, 则有 x 3 0.
x 3 (3 x ) x 3.
x 3, 解得： x 3.
所以x的取值范围是
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
r s r s
解：原式
( 4) 12a 1 1 3 ac .
2 1 4
b
3 1 2 1
c
变式训练2：
【题型3】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有理指 数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
4 例 （3 25 - 125 ） 25
解：原式
（5 （5 5 5 5
2的过剩近似值
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
r r r
【题型1】将根式转化分数指数幂的形式. ☞当有多重根式时,要由里向外层层转化. ☞对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂. ☞要熟悉运算性质. 例3.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其 中a >0).
(1) a a ;
2 3 2
(2) a a .
2 3
3
解: (1) a 2 3 a 2 a 2 a
3.两个公式
(1)
a
n
n
a;
⑵ 当 n 是奇数时， n a n a;
当 n 是偶数时， n
4.分数指数幂概念 m
(1) a n
m n
a n | a | .
n
am ;
n
(2) a
1 m an
1 ; am
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义.
☞整数指数幂有哪些运算性质?(m,n ∈Z)
(1) a
m
a a
n
mn
( m , n Z)
(2) (a ) a
m n
n
mn
n
( m, n Z)
(3) ( ab) a b ( m, n Z)
n
(4) a a a
m n
mn
(a 0 , m, n Z, 且m n)
2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
X≠±1
知识探究（二）:无理数指数幂的意义
思考1:上面，我们将指数的取值范围由整数推广 到了有理数，并且整数幂的运算性质对于有理 指数幂都适用.那么，当指数是无理数时呢？
思考2:我们知道 2 ＝1．414 21356…,
那么5 的大小如何确定？我们又应如何 理解它呢？
2
2 52
2 的过剩近似值
5
m n
mn
指数的概念从整数指数推广到了有理数 指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂 都适用.
(1) a a a (a 0, r , s Q); r s rs (2) (a ) a (a 0, r , s Q);
r s
rs
(3) (ab) a b (a 0, b 0, r Q).
6 2 3
2 3 2 3
-5 ） 5 -5 ） 5
— 1 2 3 2
3 2
1 2 1 2 — 1 2
—
5
-5
3 2
5
2 1 — 3 2 1 6
-5
3 1 — 2 2
-5
5 -5
【1】计算下列各式(式中字母都是正数).
(1) a a a a a a a 2 a (2) . 3 2 a a 1
(1) a a a (a 0, r , s R); r s rs (2) (a ) a (a 0, r , s R); r r r (3) (ab) a b (a 0, b 0, r R).