2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
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2.1.1指数幂及其运算性质
3.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的 实数
运算性质对于无理数指数幂同样适用.
.有理数指数幂的
自我检测
1. 1 化为分数指数幂为( B )
5 a2
2
(A) a 5
(B)
a
2 5
5
(C) a 2
(D)
a
5 2
3
2.化简 [3 (5)2 ]4 的结果为(
B
)
(A)5
(B) 5
3
(3)由于 a 2
-
a
3 2
1
=( a 2
)3-(
a
1 2
3
3
)3,所以有 a2 a 2
=
1
(a 2
1
a 2 )(a
a1
1
a2
1
a 2)
1
1
1
1
a2 a 2
a2 a 2
=a+a-1+1=7+1=8.
方法技巧 条件求值问题的基本步骤是先找条件和所求之间的关系,然后进 行化简,最后代值运算,求值过程中要注意平方差公式、立方差公式以及一元 二次方程中根与系数关系的灵活应用.
(C)- 5 (D)-5
1
m
3.在定义正分数指数幂时,规定底数 a>0,是因为公式 n a = a n 及( n a )m= a n 中(
2.1.1指数与指数幂的运算PPT(人教版)
会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰
减为原来的一半. 根据此规律，人们获得了生
物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
t
P
1 5730
(*)
2
考古学家根据（*）式可以知道，生物死亡t 年后，体内的碳14含量P的值。
一、根式
42 ?
乘方运算
?2 16 开方运算
4和- 4叫做16的平方根
m
a n n am (a 0, m, n N *)
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1
m
(a
0, m, n N * )
an
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数 指数幂无意义
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因 此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂 的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(
2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25- 125) 4 25
高中数学：第二章 2.1.1 指数与指数幂的运算 (1)
指数函数
2．1.1指数与指数幂的运算
预习课本P48～53，思考并完成以下问题
(1)n次方根是怎样定义的？
(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？
(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？
(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？
(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？
[新知初探]
1．n次方根
定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*
个数
n是奇数
a＞0 x＞0
x仅有一个值，记为
n
a
a＜0x＜0
n是偶数
a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±n a
a＜0x不存在
*.
2．根式
(1)定义：式子
n
a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：(n＞1，且n∈N*)
①(
n
a)n＝a.②
n
a n＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧a，n为奇数，
|a|，n为偶数.
[点睛]
(n a)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而n a n中a∈R.
3．分数指数幂的意义
分数指幂
正分数
指数幂规定：a
m
n
＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数
指数幂
规定：a
-
m
n
＝
1
a
m
n
＝
1
n a m
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的分数
指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义[点睛]分数指数幂a
m
n不可以理解为m
n
个a相乘．
4．有理数指数幂的运算性质
(1)a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)．
(2)(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．
5．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
2.1.1指数幂及其运算
α
3:计算下列各式的值,其中 a 为正实数. (1) a (2) (2
3
·a
3
= .
;
2 2 2
)
=
根式与指数幂的互化
【例 1】 用分数指数幂的形式表示下列各式.
(1) (3) (
a a
4 2 3
(a>0);(2)
2 3 (b>0);
3
a a
(a>0);
b )
(4)
y x
2
x y
3 3
(2)鉴于有理数指数幂与根式之间的等价 关系,可以如何进行根式运算? (对于根式运算,简单的问题可根据根式 的意义直接计算.一般可将根式化为分数 指数幂,利用分数指数幂的运算性质进行 计算)
2:下列等式一定成立的 是( D )
1 3
1 3
(A) ( ab ) = ab (C)( a ) = a
3
1:用根式表示下列各式(式中 a 均 为正数): (1) a = (3)
1 5
,(2) = .
a
7 8
=
,
a
2 3
解析:(1) (3)
a
=
1 5
=
5
a ;(2) a
1
3
7 8
=
8
a
7
;
a
3:计算下列各式的值,其中 a 为正实数. (1) a (2) (2
3
·a
3
= .
;
2 2 2
)
=
根式与指数幂的互化
【例 1】 用分数指数幂的形式表示下列各式.
(1) (3) (
a a
4 2 3
(a>0);(2)
2 3 (b>0);
3
a a
(a>0);
b )
(4)
y x
2
x y
3 3
(2)鉴于有理数指数幂与根式之间的等价 关系,可以如何进行根式运算? (对于根式运算,简单的问题可根据根式 的意义直接计算.一般可将根式化为分数 指数幂,利用分数指数幂的运算性质进行 计算)
2:下列等式一定成立的 是( D )
1 3
1 3
(A) ( ab ) = ab (C)( a ) = a
3
1:用根式表示下列各式(式中 a 均 为正数): (1) a = (3)
1 5
,(2) = .
a
7 8
=
,
a
2 3
解析:(1) (3)
a
=
1 5
=
5
a ;(2) a
1
3
7 8
=
8
a
7
;
a
2.1.1指数与指数幂的运算教案
2.1.1指数与指数幂的运算教案
篇一：2.1.1指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算
申请资格种类：高级中学教师资格学科：数学测试人姓名：课题名称：第二章第一节指数函数第一课时指数与指数幂的运算一、教学内容分析
指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛。它是在上一章节学习了函数的概念和基本性质后第一个较为系统研究的基本初等函数。
教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性，为此先将平方根和立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍了分数指数幂及其运算性质，最后结合一个实例，通过有理数指数幂逼近无理数指数幂的方法介绍了无理数指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到实数。本节是下一节学习指数函数的基础。二、教学对象分析
授课对象为高一学生。首先，这个年龄段的学生学习兴趣浓厚、思维活跃和求知欲强。其次，学生在初中学习阶段已经接触到平方根与立方根、整数指数幂及其运算性质等知识点，为本节学习奠定了知识的基础。最后，本节的学习过程中对学生观察力、逻辑能力、抽象能力有一定要求，这对该阶段的学生可能会造出一定的困难。三、教学目标
四、教学重点和难点
本节的教学重点是理解有理数指数幂的意义、掌握幂的运算。
本节的教学难点是理解根式的概念、掌握根式与分数指数幂之间的转化、理解无理数指数幂的意义。五、教学方法
根据本节课的特点，采用问题探究、引导发现和归纳概括相结合的教学方法。
六、教学过程设计（一）导入新课
1、引导学生回忆函数的概念，说明学习函数的必要性，引出实例。
课件11：2.1.1 指数与指数幂的运算
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指 数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
3.对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数幂的形式表示．
[走出误区]
易错点⊳因忽略幂指数的范围而导致错误
11
[典例] 化简(1－a)[(a－1)－2(－a) 2 ] 2 ＝________.
1
＝x＋yx－－2yxy 2 ，①
又∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x<y，∴x－y＝－6 3.③
将②、③代入①式得
1
1
1
x x
2
1 2
－y ＋y
2
1 2
＝12－－26×39
2
＝－
3 3.
【跟踪训练3】
已知a
1 2
－
＋a
1 2
＝3，求下列各式的值．
3
－3
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)
a
2 1
－a 2
－1
.
a 2 －a 2
[解]
(1)将a
1 2
－
＋a
1 2
＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.
(2)对(1)中的式子平方，得a2＋a－2＋2＝49，
3.对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数幂的形式表示．
[走出误区]
易错点⊳因忽略幂指数的范围而导致错误
11
[典例] 化简(1－a)[(a－1)－2(－a) 2 ] 2 ＝________.
1
＝x＋yx－－2yxy 2 ，①
又∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x<y，∴x－y＝－6 3.③
将②、③代入①式得
1
1
1
x x
2
1 2
－y ＋y
2
1 2
＝12－－26×39
2
＝－
3 3.
【跟踪训练3】
已知a
1 2
－
＋a
1 2
＝3，求下列各式的值．
3
－3
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)
a
2 1
－a 2
－1
.
a 2 －a 2
[解]
(1)将a
1 2
－
＋a
1 2
＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.
(2)对(1)中的式子平方，得a2＋a－2＋2＝49，
2.1.1指数与指数幂的运算
解：a3
a
1
a3 a2
3 1
a 2
7
a2;
a2 3
a2
a2
2
a3
2 2
a 3
8
a3;
11
41
2
a3 a (a a3 )2 (a 3 )2 a 3.
四、无理指数幂
探究:
在前面的学习中，我们已经把指数由正整数推广到 了有理数，那么，能不能继续推广到实数范围呢？
意义.
2
3 a2 a 3 (a 0),
1
b b 2 (b 0),
5
4 c5 c 4 (c 0).
我们规定正数的正指数分数幂
的意义是:
m
a n n am (a 0, m, n N *,且n 1).
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对 于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
(1)aras ars (a 0, r, s Q) (2)(ar )s ars (a 0, r, s Q) (3)(ab)r arbr (a 0,b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a3 a, a2 3 a2 , a3 a .
n个 正整数指数幂的运算法则有五条：
1.am·an=am+n；
2.1.1分数指数幂和无理数指数幂
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
5 5
2 2
的不足近似值 269 669 171 305 461 508 516 517 517 694 973 039 174 907 928 765 705 736
作业:
P54练习：2，3.
知识点三:无理数指数幂的意义
思考1:我们知道
2
2
＝1．414 21356…,
那么 5 的大小如何确定？
2
的过剩近似值
5
2
的过剩近似值
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
n m
结论:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指 数幂没有意义。
知识点二:有理数指数幂的运算性质
整数指数幂有哪些运算性质？
设 m , n Z，则 a a a
m n
mn
；
n
(a ) a
m n
mn
；
b
(ab)
n
a
n
2.1.1 指数与指数幂的运算(2)最终
6
；
（３）
a2 a
1 a2
3 2 1 2
．
a
讨论方法 → 教师示范 → 学生试练 （答案： （１） ７； （２） ４７； （３） ８． ） 小结：平方法；乘法公式； 根式的基本性质
np
a mp n a m （a≥0）等；
注意， a≥0 十分重要，无此条件则公式不成立. 例如， 6 (8) 2 3 8 .
5 5 10 2 5 2 10 5 np
→
3
a ?；
12
3
a (a ) a
2
3
2 3
3
2 3
→ ②
a
m n
a ?.
分
1 a
m n
数
1
n
指
数
幂
：
规
定
a n n am (a 0, m, n N* , n 1)
m
；
a
m
(a 0, m, n N * , n 1)
63231512??2化简43325?的结果为3将322?化为分数指数幂的形式为4下列等式一定成立的是daaaa??2331b02121???aac923aa?d613121aaa??5下列命题中正确命题的个数为b1aann?
2.1.1 指数与指数幂的运算(2) 教学目标：使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互 化，掌握有理数指数幂的运算. 教学重点：有理数指数幂的运算. 教学难点：有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义. 课时安排：1 课时 授课类型：新课 教学方法：尝试指导法 教具准备：多媒体 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：什么叫根式？ →根式运算性质： ( n a ) n =？、 n a n =？、 a mp =？ 2. 计算下列各式的值： ( 2 b ) 2 ； ( 3 5)3 ； 2 34 ， 5 a10 ， 3 79 二、讲授新课： 1. 分数指数幂概念及运算性质: ① 引例：a>0 时， a (a ) a a
2.1.1 指数与指数幂的运算
数幂，它们的值分别为
的(
1
)
6000 5730
,
(
1
10000
) 5730
,
(
1
)
30000 5730
2
2
2
１ ２， １ ４， ８ １， ..那么这些数 意义究竟是什么呢?它
和我们初中所学的指数有什么区别?
这里的指数是分数的形式.
指数可以取分数吗?除了分数还可以取 其它的数吗?
二、讲授新课
• 1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
那些规定？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
的平方根.
22=4 (-2)2=4
2,-2叫4的平方根.
②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a
的立方根.
23=8
2叫8的立方根.
(-2)3=-8
-2叫-8的立方根.
24=16
(-2)4=16
2,-2叫16的4次方根;
25=32
2叫32的5次方根;
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物体死亡了5730, 5730×2, 5730×3,… 年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1,
( 1 )2 ,
2百度文库
2
(
1 2
)3
,
.
(2) 当 生 物 体 死 亡 了 6000 年 ,10000 年 ,100000 年 后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
高一数学分数指数幂和无理数指数幂(201911)
2.1.1 指数与指数幂的运算
第二课时 分数指数幂和无理数指数幂
问题提出
1.什么叫a的n次方根？
2.设 n N, n 1，则 an , a0 (a 0), an (a 0)
的含义分别如何？
3.整数指数幂有哪些运算性质？
设 m, n Z ，则 am an amn ；
(am )n amn ；(ab)n an bn .
2
4. 53 ,5 2 有意义吗？
知识探究（一）：分数指数幂的意义
思考1:设a>0，5 a10 ， a8 ，4 a12 分别等于什么？
思考2:观察上述结论，你能总结出什么规律？
思考3:按照上述规律,根式 4 53 ，3 75 , 5 a7
分别可写成什么形式？
； 深圳半永久学校 https://www.gdwenxiu.com/ 深圳半永久学校
22
思考3：23 33 =？一般地 ar as (a 0, r, s Q) 等于什么？
思考4:一般地 ar as (a 0, r, s Q) 等于什么？
知识探究（三）:无理数指数幂的意义
思考1:我们知道 2 ＝1．414 21356…,
那么5
2
5 22
的大小如何确定？
2 的过剩近似值
n
当 a 0 时，am (m, n N *, n 1) 何时无意义？
第二课时 分数指数幂和无理数指数幂
问题提出
1.什么叫a的n次方根？
2.设 n N, n 1，则 an , a0 (a 0), an (a 0)
的含义分别如何？
3.整数指数幂有哪些运算性质？
设 m, n Z ，则 am an amn ；
(am )n amn ；(ab)n an bn .
2
4. 53 ,5 2 有意义吗？
知识探究（一）：分数指数幂的意义
思考1:设a>0，5 a10 ， a8 ，4 a12 分别等于什么？
思考2:观察上述结论，你能总结出什么规律？
思考3:按照上述规律,根式 4 53 ，3 75 , 5 a7
分别可写成什么形式？
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22
思考3：23 33 =？一般地 ar as (a 0, r, s Q) 等于什么？
思考4:一般地 ar as (a 0, r, s Q) 等于什么？
知识探究（三）:无理数指数幂的意义
思考1:我们知道 2 ＝1．414 21356…,
那么5
2
5 22
的大小如何确定？
2 的过剩近似值
n
当 a 0 时，am (m, n N *, n 1) 何时无意义？
2.1.1指数与指数幂的运算
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的 广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的 记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆 3组就可以了，记忆效率也会大大提高。
一般地，无理数指数幂 a（ a 0, 是
无理数）是一个_确__定_的__实_数___.
2、有理数指数幂运算性质也适用于无理 数指数幂.
目标升华
1.如果x n a ,那么x叫做a的n次方根.
2.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
3.根式的概念以及根式的公式
a (n a)n a
当n为奇数时
场景记忆法小妙招
超级记忆法--身 体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的 广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的 记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆 3组就可以了，记忆效率也会大大提高。
一般地，无理数指数幂 a（ a 0, 是
无理数）是一个_确__定_的__实_数___.
2、有理数指数幂运算性质也适用于无理 数指数幂.
目标升华
1.如果x n a ,那么x叫做a的n次方根.
2.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
3.根式的概念以及根式的公式
a (n a)n a
当n为奇数时
场景记忆法小妙招
超级记忆法--身 体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
3.两个公式
(1)
a
n
n
a;
⑵ 当 n 是奇数时， n a n a;
当 n 是偶数时， n
4.分数指数幂概念 m
(1) a n
m n
a n | a | .
n
am ;
n
(2) a
1 m an
1 ; am
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义.
化简
a b c
2 3
0
2
abc
(7)(0.001)
________
4 3
8 0.064
2 3
10 已知a、b是方程x
9 若3
a
2,3 3, 则3
b
2
3 4 2 5
3a 2b
______
m n
a a a a
m n
n
a
m ( n)
(5) ( a )n a n (b 0, n Z) b b n a a n 1 n n n ( ) (a b ) a b n b b
整数指数幂的运算性质
(1) a a a ( m , n Z) m n mn (2) (a ) a ( m, n Z) n n n (3) (ab) a b ( m , n Z)
2.1.1指数与指数幂的运算课件上课课堂
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
记作 n 0 = 0.
(4) (n a ) n a
5 32 ____2___ 4 81 ___3____
210 ___课堂_节3_课2___ 3 312 ___8_1___ 4
探究
n an a 一定成立吗？
1、当 n 是奇数时，n an a
)(1
1
24
)(1
1
22
)的结果
( A)
A.
1
(1
2
1 32
) 1
B.(1
2
1 32
)
1
2
1
C.1 2 32
D.1
1
(1
2
1 32
)
2
课堂节课
22
❖作业：课本P59，习题2.1 ❖A组1、2、3、4； ❖B组2。
课堂节课
23
思考：请说明无理数指数幂 2 3 的含义。
课堂节课
17
课堂练习：课本P54练习1、2、3。
小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化
3、有理指数幂的含义及其运算性质
课堂节课
18
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
2、计算下列各式
1
1
1
记作 n 0 = 0.
(4) (n a ) n a
5 32 ____2___ 4 81 ___3____
210 ___课堂_节3_课2___ 3 312 ___8_1___ 4
探究
n an a 一定成立吗？
1、当 n 是奇数时，n an a
)(1
1
24
)(1
1
22
)的结果
( A)
A.
1
(1
2
1 32
) 1
B.(1
2
1 32
)
1
2
1
C.1 2 32
D.1
1
(1
2
1 32
)
2
课堂节课
22
❖作业：课本P59，习题2.1 ❖A组1、2、3、4； ❖B组2。
课堂节课
23
思考：请说明无理数指数幂 2 3 的含义。
课堂节课
17
课堂练习：课本P54练习1、2、3。
小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化
3、有理指数幂的含义及其运算性质
课堂节课
18
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
2、计算下列各式
1
1
1
2.1.1指数与指数幂的运算-优秀
⑵ （ 3）4 [( 3)2 ]2 92 9;
(3) （ 2 3）2 | 2 3 | 3 2;
(4) 5 2 6 （ 2 3）2 3 2.
例2.填空:
(1)在 6 (2)2n , 5 a4 , 3 a4 , 4 (3)2n1
这四个式子中,没有意义的是__4 _(__3_)2_n_1.
n为偶数，
n
an
a
a,a a,a
0 0
例1.求下列各式的值
（1） 3 (8)3 ;
(2) (10)2 ;
(3) 4 (3 )4 ;
(4) (a b)2 (a b).
解： 1 3 83 = -8; 2 102 | 10 | =10; 3 4 3 4 | 3 | 3; 4 a b2 | a b | a b a b.
3 a 3 a
例3、计算下列各式（式中字母都是正数）
1
2a
2
3b
1 2
6a
11
2b3
3a
1
6b
5 6
2
m
1 4
n
3 8
8
例4、计算下列各式
(1)( 3 25- 125) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
例5、化简求值（底数>0）
(1)
a3
(2m2
n
3 5
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算(第2课时)指数幂及其运算
No
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12/9/2021
第二十一页，共二十一页。
1 1
错解(1-a)[(a-1)-2(-)2 ]2
-2×
=(1-a)(a-1)
1
2
1 1
×
2 2
(−)
1
=(1-a)(a-1)-1(-)4
1
4
= −(−) .
1
2
1
2
错因分析:错解中忽略了题中(-) 有意义的条件,若(-) 有意义,
−2
1
2
则-a≥0,故 a≤0,这样[( − 1) ] = (1 − )−1 .
题型一
题型二
题型三
题型四
3
2
3
4
【变式训练 4】 化简[ (-5) ] 的结果为(
A.5
B. 5
解析:原式=(
3
C. − 5
3
52 )4
2 3
3 4
D. −5
2 3
×
3 4
= (5 ) = 5
1
2
= 5 = 5.
答案(dá àn):B
第二十页，共二十一页。
)
内容(nèiróng)总结
第2课时 指数幂及其运算。2.掌握(zhǎngwò)指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或
第2课时
(kèshí)
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2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
r s r s
2的过剩近似值
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
☞整数指数幂有哪些运算性质?(m,n ∈Z)
(1) a
m
wk.baidu.com
a a
n
mn
( m , n Z)
(2) (a ) a
m n
n
mn
n
( m, n Z)
(3) ( ab) a b ( m, n Z)
n
(4) a a a
m n
mn
(a 0 , m, n Z, 且m n)
2
成立的x的范围.
解: ( x 3)( x2 9) ( x 3)2 x 3
x 3 x 3.
x3
x 3 0, 则有 x 3 0.
x 3 (3 x ) x 3.
x 3, 解得： x 3.
所以x的取值范围是
2.1.1 指数与指数幂的运算 ——指数幂运算与无理数指数幂
1.根式定义 2.根式的性质
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 0. n x a (a R ) （4）当n为奇数时， x n a (a 0) 当n为偶数时，
X≠±1
知识探究（二）:无理数指数幂的意义
思考1:上面，我们将指数的取值范围由整数推广 到了有理数，并且整数幂的运算性质对于有理 指数幂都适用.那么，当指数是无理数时呢？
思考2:我们知道 2 ＝1．414 21356…,
那么5 的大小如何确定？我们又应如何 理解它呢？
2
2 52
2 的过剩近似值
5
3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________
4 4
3.两个公式
(1)
a
n
n
a;
⑵ 当 n 是奇数时， n a n a;
当 n 是偶数时， n
4.分数指数幂概念 m
(1) a n
m n
a n | a | .
n
am ;
n
(2) a
1 m an
1 ; am
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义.
6 2 3
2 3 2 3
-5 ） 5 -5 ） 5
— 1 2 3 2
3 2
1 2 1 2 — 1 2
—
5
-5
3 2
5
2 1 — 3 2 1 6
-5
3 1 — 2 2
-5
5 -5
【1】计算下列各式(式中字母都是正数).
(1) a a a a a a a 2 a (2) . 3 2 a a 1
2 x y
8
8
________
4
3 4
4
x
4 3
4
y ________
3
(8)
10
2
________
1 2 5 若 x 2, 化简 1-4 x 4 x 2 x 2 2
6 若ABC的三边长分别为a、b、c，
解：原式 = [2 ( 6) ( 3)]a
2 11 3 2 6
b
115 2 3 6
4ab 4a;
0
(2) (m n ) (m ) (n ) m n .=
8
8
2
1 4
3 8
1 4
3 8 8
3
m2 n3
变式训练：
(a 2 b3 )(4a 1 b) (12a 4 b2 c )
5
2的不足近似值
2的不足近似值
9.518 9.672 9.735 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738
269 669 171 305 461 508 516 517 517
2 52
694 973 039 174 907 928 765 705 736
1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
(1) a a a (a 0, r , s R); r s rs (2) (a ) a (a 0, r , s R); r r r (3) (ab) a b (a 0, b 0, r R).
3.无理数指数幂
51.41 51.41451.4142 51.4143 51.415 2
· · ·
5
1.42
5
1.5
5
结论 : 一般地, 无理指数幂a a 0, 是无理数
是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同 样适用于无理数指数幂.
例5.求使等式 ( x 3)( x 9) (3 x ) x 3
(2) a a
3
a
1 2
2 2 3
a ;
4 3 1 2
8 3
(a a ) (a ) a .
1 3
2 3
【题型2】分数指数幂的运算
系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指 数相加,除的指数相减.
5 2 1 1 1 1 例4 ： (1) (2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 );
化简
a b c
2 3
0
2
abc
(7)(0.001)
________
4 3
8 0.064
2 3
10 已知a、b是方程x
9 若3
a
2,3 3, 则3
b
2
3 4 2 5
3a 2b
______
解：原式
( 4) 12a 1 1 3 ac .
2 1 4
b
3 1 2 1
c
变式训练2：
【题型3】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有理指 数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
4 例 （3 25 - 125 ） 25
解：原式
（5 （5 5 5 5
m n
mn
指数的概念从整数指数推广到了有理数 指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂 都适用.
(1) a a a (a 0, r , s Q); r s rs (2) (a ) a (a 0, r , s Q);
r s
rs
(3) (ab) a b (a 0, b 0, r Q).
m n
a a a a
m n
n
a
m ( n)
(5) ( a )n a n (b 0, n Z) b b n a a n 1 n n n ( ) (a b ) a b n b b
整数指数幂的运算性质
(1) a a a ( m , n Z) m n mn (2) (a ) a ( m, n Z) n n n (3) (ab) a b ( m , n Z)
r r r
【题型1】将根式转化分数指数幂的形式. ☞当有多重根式时,要由里向外层层转化. ☞对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂. ☞要熟悉运算性质. 例3.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其 中a >0).
(1) a a ;
2 3 2
(2) a a .
2 3
3
解: (1) a 2 3 a 2 a 2 a
1 2 1 4 1 8
111 2 4 8
a a .
8 7
7 8
解:原式 =
a
2
a a
1 2
2 3
a
2 2 2 3
a 6 a5 .
5 6
注意:结果可以用根式表示,也可以用分数指数 幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数 指数幂,并且分母中不能含有负分数指数幂.
变式训练
5