二重积分的计算法80892.ppt
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高等数学第十章第二节二重积分的计算法课件.ppt
• 若积分区域为
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
则
f (x, y) d
d
dy
x2 ( y) f (x, y) d x
D
c
x1( y)
y x x2 ( y) d
D
c
x x1( y) x
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y y 2(x)
则
D
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
a d x 1(x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
例1. 计算 I D x2 yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
则
f (x, y) d
d
dy
x2 ( y) f (x, y) d x
D
c
x1( y)
y x x2 ( y) d
D
c
x x1( y) x
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y y 2(x)
则
D
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
a d x 1(x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
例1. 计算 I D x2 yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
最新-第二节二重积分的计算方法-PPT文档资料
D
曲面 zf( x ,y ) 为曲顶柱体的体积．
用平面x=x0截立体， z 截得A(x0). 应用计算 “平行截面面积为 已知的立体求体积” y 的方法, y ( x ) 2
bx0 )
a
x
y ( x ) 1 得 f ( x , y ) dxdy dx ( x , y ) dy . f
1 2 2
x e dxdy ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), 例 5 求 ， 其 中 D 是 以
D
2 2 y
( 0 , 1 ) 为 顶 点 的 三 角 形 .
e dy 解 无 法 用 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
2 y
x e
D
1 0
第二节
二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。
2 a 2 a
2
dy x ,y ) dx . dy ( x , y ) dx y f( 2 2f a 0 a a y
2 a
2a
D ( x y ) dxdy 例 4 求 ， 其 中 是 由 抛 物 线
2
y x x y 和 所 围 平 面 闭 区 域 .
根据二重积分的几何意义：二重积分是以 为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求 平行截面面积为已知的立体的体积的方法。
zf (x ,y )
o
a
dx x x
曲面 zf( x ,y ) 为曲顶柱体的体积．
用平面x=x0截立体， z 截得A(x0). 应用计算 “平行截面面积为 已知的立体求体积” y 的方法, y ( x ) 2
bx0 )
a
x
y ( x ) 1 得 f ( x , y ) dxdy dx ( x , y ) dy . f
1 2 2
x e dxdy ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), 例 5 求 ， 其 中 D 是 以
D
2 2 y
( 0 , 1 ) 为 顶 点 的 三 角 形 .
e dy 解 无 法 用 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
2 y
x e
D
1 0
第二节
二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。
2 a 2 a
2
dy x ,y ) dx . dy ( x , y ) dx y f( 2 2f a 0 a a y
2 a
2a
D ( x y ) dxdy 例 4 求 ， 其 中 是 由 抛 物 线
2
y x x y 和 所 围 平 面 闭 区 域 .
根据二重积分的几何意义：二重积分是以 为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求 平行截面面积为已知的立体的体积的方法。
zf (x ,y )
o
a
dx x x
《计算二重积分》课件
2 应用举例的涵盖面广泛
总结应用举例的广泛领域，展示二重积分在不同领域的实际价值。
3 推荐进一步学习的内容
提供有关二重积分的进一步学习资源，帮助学习者在此领域深入探索。
应用举例
计算图形面积
通过具体的例子，演示如何利用二重积分计算图形的面积，加深对二重积分应用的理解。
计算质心
探讨如何利用二重积分计算物体的质心，为实际应用提供有价值的解决方案。
计算物体的质量
展示如何通过二重积分计算物体的质量，为工程和科学领域提供实用的应用示例。
小结
1 二重积分的常用计算方法回顾
简要回顾所学习的二重积分计算方法，强化知识点，巩固理解。
《计算二重积分》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将详细介绍如何计算二重积分。通过讲解前置知识、 计算方法和应用举例，帮助大家更好地理解和应用二重积分的概念。
前置知识
矩形和二重积分的定义
详细解释二重积分的定义和矩形的概念，为后续的计算方法打下基础。
二重积分的性质
介绍二重积分的性质，包括线性性、保号性和介值性，帮助我们更好地理解和应用二重积分。
计算方法
1
交错累次积分法
通过交错累次积分的步骤和计算示例，
极坐标变换法
2
讲解如何利用累次积分法计算二重积分。
介绍极坐标极坐标变换简化二重积分
的计算。
3
用对称性简化计算
探讨利用对称性简化二重积分计算的方
法，包括奇偶性对称、轴对称和中心对
变量代换法
4
称。
介绍变量代换法的步骤和计算示例，展 示如何通过变量代换来求解二重积分。
总结应用举例的广泛领域，展示二重积分在不同领域的实际价值。
3 推荐进一步学习的内容
提供有关二重积分的进一步学习资源，帮助学习者在此领域深入探索。
应用举例
计算图形面积
通过具体的例子，演示如何利用二重积分计算图形的面积，加深对二重积分应用的理解。
计算质心
探讨如何利用二重积分计算物体的质心，为实际应用提供有价值的解决方案。
计算物体的质量
展示如何通过二重积分计算物体的质量，为工程和科学领域提供实用的应用示例。
小结
1 二重积分的常用计算方法回顾
简要回顾所学习的二重积分计算方法，强化知识点，巩固理解。
《计算二重积分》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将详细介绍如何计算二重积分。通过讲解前置知识、 计算方法和应用举例，帮助大家更好地理解和应用二重积分的概念。
前置知识
矩形和二重积分的定义
详细解释二重积分的定义和矩形的概念，为后续的计算方法打下基础。
二重积分的性质
介绍二重积分的性质，包括线性性、保号性和介值性，帮助我们更好地理解和应用二重积分。
计算方法
1
交错累次积分法
通过交错累次积分的步骤和计算示例，
极坐标变换法
2
讲解如何利用累次积分法计算二重积分。
介绍极坐标极坐标变换简化二重积分
的计算。
3
用对称性简化计算
探讨利用对称性简化二重积分计算的方
法，包括奇偶性对称、轴对称和中心对
变量代换法
4
称。
介绍变量代换法的步骤和计算示例，展 示如何通过变量代换来求解二重积分。
二重积分的计算法08PPT课件
1
D
4x
y x2
xyd xyd xyd
D
D1
D2
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1
x
4
x
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
计算比较麻烦
例3 求 I y 1 x2 y2 d ,
D
D : y x, x 1, y 1所围.
y
解 D既可看作X型也可Y型
]12
9 8
1 x2x
解法2 把D看成Y型域，则
D : y x 2,1 y 2,
2
2
xyd 1 dyy xydx
D
2
[y
1
2
x2 2
y
]2y
3
dy
(2 y )dy
1
[y2
y4 8
2
]12
9 8
y
2 y
yx
1
o 1 2x
例2 计算 xyd ，其中D是由抛物线
D
y2 =x 及直线 y 2x, x 1, x 2
所围成的区域.
若改为先对x后对y积分,
2
2x
2
y
1 dxx f ( x, y)dy 1 dy1 f ( x, y)dx
4
2
dy 2
y f ( x, y)d x .
2
y
4
yx 22xy
D1 : 1 x y, 1 y 2 2
D2
a xb
若D（X型）：1 x y 2 x ,a x b
则
f ( x, y)dxdy
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
4x
y x2
xyd xyd xyd
D
D1
D2
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1
x
4
x
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
计算比较麻烦
例3 求 I y 1 x2 y2 d ,
D
D : y x, x 1, y 1所围.
y
解 D既可看作X型也可Y型
]12
9 8
1 x2x
解法2 把D看成Y型域，则
D : y x 2,1 y 2,
2
2
xyd 1 dyy xydx
D
2
[y
1
2
x2 2
y
]2y
3
dy
(2 y )dy
1
[y2
y4 8
2
]12
9 8
y
2 y
yx
1
o 1 2x
例2 计算 xyd ，其中D是由抛物线
D
y2 =x 及直线 y 2x, x 1, x 2
所围成的区域.
若改为先对x后对y积分,
2
2x
2
y
1 dxx f ( x, y)dy 1 dy1 f ( x, y)dx
4
2
dy 2
y f ( x, y)d x .
2
y
4
yx 22xy
D1 : 1 x y, 1 y 2 2
D2
a xb
若D（X型）：1 x y 2 x ,a x b
则
f ( x, y)dxdy
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
《二重积分的计算》课件
《二重积分的计算》PPT 课件
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。
《二重积分的计算》PPT课件
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
0
x
0 1 xe x2 dx 1 (1 e1 )
0
2
注：当积分区域D是一矩形且: a x b , c y d
f ( x, y) g( x) h( y) 时，则二重积分
b
d
f ( x, y)dxdy (a g( x)dx) (c h( y)dy)
rk
rk
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(2)“常代变”
（ k , k）
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k rk cosk , k rk sink
k
rk
rk
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
(3)“近似和”
n
f ( x, y)dx
0
1 y
1
1 y2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
y 4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
1
二重积分的计算8052332页PPT
D
(x2)2＋ (y1)21x2 所围图形． y
解：所围区域 D为 型Y 区域,
3
2
y x3
x2
D(x2)2＋ (y1)21
o
x
D : 0y1, y2x2 2yy2
所以
1
2 2yy2
f (x, y)d
D
0
dy
3
y2
f (x, y)dx
©
例4 交换下列积分顺序
2 x2
22 8x2
Idx2f(x,y)dy dx f(x,y)dy
1
x 0
12y2
x x2
dx
1 1(x3x5)dx
20
1 x4 x6
24 6
1
0
1 24
©
D
y
x2
o
1x
解法2:若将 D 看成是 Y型区域 D ,可表示为得 0y1,yx y
D
xyd
1
dy
0
y
y
xydx
1
y 0
12x2
yydy
1 1y(yy2)dy 1 y3 y4 1 1
D :0xR ,0yR2x2
曲顶为：z R2x2
az
o
a
x
a
y
所以 V8
R2
x2d
xd
R
y8 d
R2x2
x
R2x2dy
00
D
8R(R 2x2)2dx 8(R 31R 3)1R 6 3
0
33
©
二重积分的计算法
2019 年研究生考题, 7分
计算二重积分 emax2{,y2}dxdy,其中
D
二重积分计算法PPT
6
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
j j 对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为 A ( x 0 ) 1 2 ( ( x x 0 0 ) ) f ( x 0 , y ) d . y
曲顶柱体体积为
ac
c
b
D
若 f(x ,y ) g (x )h (y )
g ( x ) h ( y ) d x d y = b d x d g ( x ) h ( y ) d y = [a g ( x ) d x ] [d h ( y ) d y ]acb来自cD11
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
x0
直线 xx0(ax0b)与D的边界至多有两个交点
3
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1(y)x1(y),
cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 yy0(cx0d)与D的边界至多有两个交点 4
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
5
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
即 f ( x , y ) d f ( c , s o ) d d i . s n
DD
❖在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D j1(q)j2(q), aqb, 则
D f( cq, o sq s ) i d n d q a bd q j j 1 2 ( q ( q ) )f( cq, o sq s ) i d n .
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
j j 对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为 A ( x 0 ) 1 2 ( ( x x 0 0 ) ) f ( x 0 , y ) d . y
曲顶柱体体积为
ac
c
b
D
若 f(x ,y ) g (x )h (y )
g ( x ) h ( y ) d x d y = b d x d g ( x ) h ( y ) d y = [a g ( x ) d x ] [d h ( y ) d y ]acb来自cD11
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
x0
直线 xx0(ax0b)与D的边界至多有两个交点
3
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1(y)x1(y),
cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 yy0(cx0d)与D的边界至多有两个交点 4
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
5
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
即 f ( x , y ) d f ( c , s o ) d d i . s n
DD
❖在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D j1(q)j2(q), aqb, 则
D f( cq, o sq s ) i d n d q a bd q j j 1 2 ( q ( q ) )f( cq, o sq s ) i d n .
高等数学二重积分的计算64页PPT
高等数学二重积分的计算
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
《二重积分计算法》课件
《二重积分计算法》PPT 课件
本课件旨在介绍和探讨《二重积分计算法》这一重要课题。我们将从引入和 定义开始，逐步探讨二重积分的计算方法，并探索其在几何学和物理学中的 应用。
导入和目录
• 介绍课题 • 目标和结构
一、二重积分的引入和定义
单纯形的概念
通过引入单纯形的概念，我们可以更好地理解二 重积分的定义和性质。
二重积分的定义和性质
探讨二重积分的定义以及它的基本性质，为后续 的计算方法打下基础。
二、二重积分的计算方法
直角坐标系下的计算
介绍在直角坐标系下计算二重积分的方法和技巧， 并举例说明。
极坐标系下的计算
讨论在极坐标系下计算二重积分的方法和技巧，并 通过实例加深理解。
三、应用实例
1
二重积分在几何学中的应用
探索二重积分在几何学中的实际应用，如计算平面区域的面积和质心。
2
二重积分在物理学中的应用
讨论二重积分在物理学中的应用，如计算质量分布和质心位置。
四、总结和展望
学习二重积分的意义
总结学习二重积分的意义，以及掌握这一知识的 重要性。
下一步的学习方向
展望下一步学习方向，鼓励学生继续深入探索与 求数学知识。
本课件旨在介绍和探讨《二重积分计算法》这一重要课题。我们将从引入和 定义开始，逐步探讨二重积分的计算方法，并探索其在几何学和物理学中的 应用。
导入和目录
• 介绍课题 • 目标和结构
一、二重积分的引入和定义
单纯形的概念
通过引入单纯形的概念，我们可以更好地理解二 重积分的定义和性质。
二重积分的定义和性质
探讨二重积分的定义以及它的基本性质，为后续 的计算方法打下基础。
二、二重积分的计算方法
直角坐标系下的计算
介绍在直角坐标系下计算二重积分的方法和技巧， 并举例说明。
极坐标系下的计算
讨论在极坐标系下计算二重积分的方法和技巧，并 通过实例加深理解。
三、应用实例
1
二重积分在几何学中的应用
探索二重积分在几何学中的实际应用，如计算平面区域的面积和质心。
2
二重积分在物理学中的应用
讨论二重积分在物理学中的应用，如计算质量分布和质心位置。
四、总结和展望
学习二重积分的意义
总结学习二重积分的意义，以及掌握这一知识的 重要性。
下一步的学习方向
展望下一步学习方向，鼓励学生继续深入探索与 求数学知识。
二重积分的计算 PPT资料共24页
D
:
1
x
y
xD 1 Nhomakorabeax 2
x2d
y2
D
12dx1 xxx y2 2dy
2
1
x2 y
x
1
dx
2
(x3 x)dx 1
9. 4
x
小结
［X－型］
y2(x)
D
y1(x)
y2(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
Df(x, ya bA )(x d )dx x a b d [ 1 ( 2 (x y xf))( .) y d x]d yx
练习与巩固
1、求 (x2y)dx ， 其 d 中 D y是 由 抛 物 线 yx2和
D
xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
2、计算 Dx y2 2d.其D 中 由 yx,y1 x,x2
围成．
例 1求 (x2y)dx， d 其 中 y D 是 由 抛 物 线
D
yx2和 xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
00
10
积 分 次 序 .
y
解：R1
:
0 0
y x
1 2
y
1 y 3 R2 : 0 x 3 y
3
x3y
积分区域如图
1 x 2y
R
:
0 1 2
x
x
y
2
3
x
o
2
3x
原式 0 dx 1x 2
f (x, y)dy
.
2x
(2)在（a,b）内任取一点x,通过此点作x轴的垂线和
第二节二重积分的计算
第二节 二重积分的计算法
第九章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
机动
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结束
一、利用直角坐标计算二重积分
若D为 X – 型区域
y
y 2 ( x)
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
则
b
D f ( x, y) dx d y a d x ( x)
D
d x2 ( y )
1
c
D f ( x, y) d c d y x ( y )
f ( x, y ) d x
机动 目录
x x1 ( y ) x
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极坐标系情形: 若积分区域为
则
D
f ( x, y ) d
D r 2 ( )
f (r cos , r sin ) rd r d
D3
机动
o
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x
结束
例１. 计算
解:
2 cos( x y ) 2 d y 0 0 2[sin y cos y ] d y
0
cos y sin y
2
0
2
机动
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结束
例２. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
2
y x2
4 x
y2 2 1 2 x y d y 2 y 1 2
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
第九章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
机动
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一、利用直角坐标计算二重积分
若D为 X – 型区域
y
y 2 ( x)
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
则
b
D f ( x, y) dx d y a d x ( x)
D
d x2 ( y )
1
c
D f ( x, y) d c d y x ( y )
f ( x, y ) d x
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x x1 ( y ) x
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极坐标系情形: 若积分区域为
则
D
f ( x, y ) d
D r 2 ( )
f (r cos , r sin ) rd r d
D3
机动
o
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x
结束
例１. 计算
解:
2 cos( x y ) 2 d y 0 0 2[sin y cos y ] d y
0
cos y sin y
2
0
2
机动
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例２. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
2
y x2
4 x
y2 2 1 2 x y d y 2 y 1 2
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
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x
1,1
5、若区域为组 合域，如图则：
.
D
D1
D2
D3
6、如果积分区域既是X－型，
又是[Y－型], 则有
0
D3
D1
D2
f(x,y)d
D
b[2(x)
a 1(x)
fd]dyx
d
[
c
2(y) 1(y)
fdx]dy
1 2y
3 3 y
例 4改 变 积 分 0d0 yf(x ,y)d x 1d0 yf(x ,y)d的 x
第二节 二重积分的计算法
(Calculation of double integral)
一 问题的提出 二 利用直角坐标计算二重积分
三 利用极坐标计算二重积分 四 小结与思考判断题
一 问题的提出
按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限
n
Df(x ,y)dl i0 im 1f(i, i)i.
然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的.
y
x
x y2
x y2
yy xx22
(x2 y)dxdy01[x2x(x2y)d]ydx
D
1 [x 2( xx 2)1(xx 4)d ] x
0
2
x y2
33 . 140
［Y－型］
0 y 1
y
2
x
y
y x2
(x2 y)dxd y 0 1[y2y(x2y)dx ]dy
D
33 . 140
注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于
正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。
例 1求 (x 2y)dx ， d 其 中 y D 是 由 抛 物 线
D
yx 2和 xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
解：
两 曲 线 的 交 点
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
［X－型］
0 x 1
x
2
bdx2(
x
)
f(x.y)dy
a
1(x )
• 注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
3、Y-型域下二重积分的计算：
同理： ［Y－型域下］
亦为平行截面面 知积 的为 立已 体体积.
用y常数截立体，其 为截 曲面 边也 梯形，
面积为：
(y)
B(y) 2 f(x,y)dx 1(y)
于是 f(x ,y)d ： d[2(y)f(x ,y)d]d x.y
放大
2、X-型域下二重积分
的计算: 由几何意义，若ƒ(x,y)≥0，
则
f ( x, y)dxdy V
D
(曲顶柱体的体积）
z
y
y2(x)
b xa
zf(x,y)
A( x)
x
y1(x)
此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形 面积为：
Z
A(x)12((xx )) f(x,y)dy
zf(x,y)
解：先去掉绝对值符号，如图
yx2d
D3
D
D1
(x2 y)d(yx2)d
D2
D1D2
D3
1 dx x 2 (x 2 y )d y 1 d1 x (y x 2 )d y 11 .
1 0
1 x 2
15
7 小结
［X－型］
y2(x)
D
y1(x)
y2(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
Df(x, ya bA )(x d )dx x a b d [ 1 ( 2 (x y xf))( .) y d x]d yx
例2 计算 Dx y2 2d.其D 中 由 yx,y1 x,x2
围成．
解：X-型
D:1yx,1x2. x
左 边 交 点 坐 标 为 （1，1）
D
x2
d y2
D
2
x x 2
1dx1 x
dy y2
2 x 2 x
1
y
dx 1
2(x3 x)dx 1
9. 4
x
例3 计 算 xyd,其 中 D是 由 抛y物 2 x线 及
解： y 2ax 2a
y 2axx2
a
xaa2y2
a 2a
原式
=a
a
0 dyy2
a2y2
f(x, y)dx
2a
a 2a
dy 0
aa2y2
f(x,y)dx
2a 2a
a dyy2 f(x,y)dx.
2a
例6 计 y 算 x 2 d .其 D : 1 中 x 1 ,0 y 1 . D
那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍:
二、利用直角坐标计算二重积分
二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍：
1、积分域 D:
（1）、X-型域
如果积分区域为： axb, 1 (x )y2 (x ).
y2(x)
D
y1(x)
y2(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
积 分 次 序 .
解：积分区域如图
y 3
x3y
0y 1 ,0x 2 y 1
1 y 3 ,0 x 3 y
0x2,1xy3x 2
o
2
3x
原式 0 dx 1x 2
f (x, y)dy
.
x 2y 2x
例 5改 变 积 分 0 2adx2 2a a x x x2f(x,y)dy (a0)
的 次 序 .
D
c 1(y)
注意:
1）积分次序: Y-型域 ,先x后Y; 2）积分限确定法:
“域中一线插”, 须用平行于X轴的射线 穿插区域 。
也可 : 记 dd 为 y 2(y)f(x,y)dx
c D
1(y)
4、利用直系计算二重积分的步骤
（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标； （2）根据积分域类型, 确定积分次序； （3）确定积分限，化为二次定积分； （4）计算两次定积分，即可得出结果.
缩小图象
［Y－型］
d
x1(y) c
d
D
yx2所 围 成 的 闭 区 域 。
解： （如图）将D作Y型 (先x后y) y
2
xyd
2
y2
dy xydx
1
y2
D
2 x2 y2
1
2
y y2
dy
-1
1 2 [ y( y 2)2 y5 ]dy 2 1
1 2[y 444 3y32y2y 66]2 158 5
4,2
x y2
x y2
所以：
1( x)
y
2(x)
f(x,y)dxdy
b
A(x)dx
b
[
2(xf) (.xy)dy]上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;
2）积分次序: X-型域 先Y后X;
3）积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。
为方便，上式也常记为：
［X－型］ X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直 线与区域边界的交点不多于两个； b、1(x)2(x).
放大图象
（2）、Y-型域： cyd, 1(y)x2(y).
d
x1(y) c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
［Y－型］
Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界的交点不多于两个。b、 1(y)2(y).
1,1
5、若区域为组 合域，如图则：
.
D
D1
D2
D3
6、如果积分区域既是X－型，
又是[Y－型], 则有
0
D3
D1
D2
f(x,y)d
D
b[2(x)
a 1(x)
fd]dyx
d
[
c
2(y) 1(y)
fdx]dy
1 2y
3 3 y
例 4改 变 积 分 0d0 yf(x ,y)d x 1d0 yf(x ,y)d的 x
第二节 二重积分的计算法
(Calculation of double integral)
一 问题的提出 二 利用直角坐标计算二重积分
三 利用极坐标计算二重积分 四 小结与思考判断题
一 问题的提出
按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限
n
Df(x ,y)dl i0 im 1f(i, i)i.
然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的.
y
x
x y2
x y2
yy xx22
(x2 y)dxdy01[x2x(x2y)d]ydx
D
1 [x 2( xx 2)1(xx 4)d ] x
0
2
x y2
33 . 140
［Y－型］
0 y 1
y
2
x
y
y x2
(x2 y)dxd y 0 1[y2y(x2y)dx ]dy
D
33 . 140
注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于
正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。
例 1求 (x 2y)dx ， d 其 中 y D 是 由 抛 物 线
D
yx 2和 xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
解：
两 曲 线 的 交 点
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
［X－型］
0 x 1
x
2
bdx2(
x
)
f(x.y)dy
a
1(x )
• 注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
3、Y-型域下二重积分的计算：
同理： ［Y－型域下］
亦为平行截面面 知积 的为 立已 体体积.
用y常数截立体，其 为截 曲面 边也 梯形，
面积为：
(y)
B(y) 2 f(x,y)dx 1(y)
于是 f(x ,y)d ： d[2(y)f(x ,y)d]d x.y
放大
2、X-型域下二重积分
的计算: 由几何意义，若ƒ(x,y)≥0，
则
f ( x, y)dxdy V
D
(曲顶柱体的体积）
z
y
y2(x)
b xa
zf(x,y)
A( x)
x
y1(x)
此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形 面积为：
Z
A(x)12((xx )) f(x,y)dy
zf(x,y)
解：先去掉绝对值符号，如图
yx2d
D3
D
D1
(x2 y)d(yx2)d
D2
D1D2
D3
1 dx x 2 (x 2 y )d y 1 d1 x (y x 2 )d y 11 .
1 0
1 x 2
15
7 小结
［X－型］
y2(x)
D
y1(x)
y2(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
Df(x, ya bA )(x d )dx x a b d [ 1 ( 2 (x y xf))( .) y d x]d yx
例2 计算 Dx y2 2d.其D 中 由 yx,y1 x,x2
围成．
解：X-型
D:1yx,1x2. x
左 边 交 点 坐 标 为 （1，1）
D
x2
d y2
D
2
x x 2
1dx1 x
dy y2
2 x 2 x
1
y
dx 1
2(x3 x)dx 1
9. 4
x
例3 计 算 xyd,其 中 D是 由 抛y物 2 x线 及
解： y 2ax 2a
y 2axx2
a
xaa2y2
a 2a
原式
=a
a
0 dyy2
a2y2
f(x, y)dx
2a
a 2a
dy 0
aa2y2
f(x,y)dx
2a 2a
a dyy2 f(x,y)dx.
2a
例6 计 y 算 x 2 d .其 D : 1 中 x 1 ,0 y 1 . D
那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍:
二、利用直角坐标计算二重积分
二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍：
1、积分域 D:
（1）、X-型域
如果积分区域为： axb, 1 (x )y2 (x ).
y2(x)
D
y1(x)
y2(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
积 分 次 序 .
解：积分区域如图
y 3
x3y
0y 1 ,0x 2 y 1
1 y 3 ,0 x 3 y
0x2,1xy3x 2
o
2
3x
原式 0 dx 1x 2
f (x, y)dy
.
x 2y 2x
例 5改 变 积 分 0 2adx2 2a a x x x2f(x,y)dy (a0)
的 次 序 .
D
c 1(y)
注意:
1）积分次序: Y-型域 ,先x后Y; 2）积分限确定法:
“域中一线插”, 须用平行于X轴的射线 穿插区域 。
也可 : 记 dd 为 y 2(y)f(x,y)dx
c D
1(y)
4、利用直系计算二重积分的步骤
（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标； （2）根据积分域类型, 确定积分次序； （3）确定积分限，化为二次定积分； （4）计算两次定积分，即可得出结果.
缩小图象
［Y－型］
d
x1(y) c
d
D
yx2所 围 成 的 闭 区 域 。
解： （如图）将D作Y型 (先x后y) y
2
xyd
2
y2
dy xydx
1
y2
D
2 x2 y2
1
2
y y2
dy
-1
1 2 [ y( y 2)2 y5 ]dy 2 1
1 2[y 444 3y32y2y 66]2 158 5
4,2
x y2
x y2
所以：
1( x)
y
2(x)
f(x,y)dxdy
b
A(x)dx
b
[
2(xf) (.xy)dy]上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;
2）积分次序: X-型域 先Y后X;
3）积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。
为方便，上式也常记为：
［X－型］ X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直 线与区域边界的交点不多于两个； b、1(x)2(x).
放大图象
（2）、Y-型域： cyd, 1(y)x2(y).
d
x1(y) c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
［Y－型］
Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界的交点不多于两个。b、 1(y)2(y).