概率论与数理统计测验三答案
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第三章测验题答案(2010-05-11)
班级______ 姓名______ 学号______ 做题时间____分钟
******************************************************************************************** 一. 填空(共17分)
1. （5分）设随机变量()X P λ 且{2}{4}P X P X ===，则λ
= 解：因为()X P λ ，属离散型随机变量，故{},0,1,2 0
k
P X k e
k k λ
λ
λ-==
=>.
由题设条件{2}{4}P X P X ===可知2
4
2!
4!
e
e
λ
λ
λ
λ
--=
，所以2
12.λ=
又因为0,λ>所以λ
= 2. （12分，每空2分）根据定义完成下列各式：
()()()(,(11)(,))1;(12)(,)1;(21);(22)(31)(,);
(32)(,;
()(.
))X x x y X X x Y X x dx x dx x f f x y dxdy f F f f x y dx x y dx f dx f x y dy F dy F x y y x +∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞
+∞+∞-∞
-∞
-∞
-=-=-=--===-⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰
二. 选择(共20分，每题5分)
1. 设随机变量X 的绝对值不大于1，且{1}1,8
P X =-=
1{1}4
P X ==
，则
{11}P X -<<=[ A ]
(A) 0.625 (B) 0.5 (C) 0.425 (D)0.375
解：因为随机变量X 的绝对值不大于1，所以必定有X 的所有取值只可能在-1到1之间，即{||1}1P X ≤=，所以
{11}{||1}{1}{1}P X P X P X P X -<<=≤-=--=1151.8
4
8
=-
-
=
2.
设X 与Y 相互独立且同分布，1{1}{1}2
P X P Y =-==-=，1{1}{1}2
P X P Y ====
，在下列各式中成立的是 [ A ]
(A) 1{}2
P X Y ==
(B) {}1P X Y ==
(C)1{0}4
P X Y +== (D) 1{1}4
P X Y ==
解：因为111,2
2
+
=所以X 和Y 的取值只能是1或-1，因此利用X 与Y 的边缘分布律和两者独立性的条件可知(X , Y )的联合分布律，如下
因此{}({1}{1})P X Y P X Y X Y ====-⋃==
{1}{1}P X Y P X Y ===-+== 11
1
4
42
=+
=，故选项(A)正确，(B)错误；
(){0}{1,1}{1,1}P X Y P X Y X Y +===-=⋃==-
{1,1}{1,1P X Y P X Y ==-=+==- 11
1
4
42
=
+
=，故选项(C)错误； (){1}{1}{1}P XY P X Y X Y ====⋃==-
{1}{1
}P X Y P X Y ===+==- 1
1
1
442
=
+
=，故选项(D)错误.
3. 已知3
{0,0}7
P X Y ≥≥=，且4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max(,)0}P X Y ≥=[ C ].
(A)
37
(B)
47
(C)
57
(D)
1649
解：本题关键是分析max 函数的含义，从而利用概率的加法公式来解. 具体过程如下：
{max(,)0}{00}P X Y P X Y ≥=≥≥或者
(){0}{0}P X Y =≥⋃≥ (){0}{0}{0}{0}
P X P Y P
X Y =≥+≥-≥⋂≥ ({0}{0})X Y ≥≥因为事件和事件不互斥，所以只能利用加法公式
{0}{0}{0,0}P X P Y P X Y =≥+≥-≥≥ 44357
7
7
7
=
+
-
=
4. 设随机变量2
(,)X N μσ ，则随着σ的增大，{}P X μσ-<[ ].
(A)增大 (B)减小 (C)保持不变 (D)增减不定
解：||
{||}{
1}{11}(1)(1)2(1)1X X P X P P μμ
μσσσ
---<=<=-<
<=Φ-Φ-=Φ-，与σ
无关，所以选
(C).(0,)σσ>因为两边同时除以以后不等号不变号
三. 解答题（请写明求解过程，共63分）
1. （18分，每小题6分）已知随机变量X 的分布函数为
0,0()sin ,0,21,2
x F x A x x x ππ⎧
⎪<⎪
⎪
=≤≤⎨⎪
⎪>⎪⎩
求(1) A ; (2){||}6
P X π
<
; (3)()f x .
解：(1)利用分布函数的右连续性可知，在2
x π
=点，右连续性表现为
2
l i m (x ))2
(
x F
F π
π
→
+
=，根据(x)F 定义可知，当1x >时，()1F x =，所以
左边=2
lim (x )x F π
→
+=2
lim 11x π
→
+
=，右边(
si 2
2
)n
F A A π
π
===，故A =1.
所以得到