矩形的性质和判定

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矩形的性质和判定

定义：一个有一个直角的平行四边形被称为矩形。

性质：

1.矩形的四个角都是直角。

2.矩形的对角线相互平分且相等。

3.矩形是中心对称图形和轴对称图形，有两条对称轴。

4.矩形的面积为长乘宽。

判定：

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.有三个角是直角的四边形是矩形。

3.对角线相等的平行四边形是矩形。

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

矩形与平行四边形的区别与联系：

相同点：

1.两组对边分别平行。

2.两组对边分别相等。

3.两组对角分别相等。

4.对角线相互平分。

区别：

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.对角线相互平分且相等。

例题精讲：

考点1：矩形的性质

例1：在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。

例2：在矩形ABCD中，BE=DF，求证：

△ABE≌△CDF。

例3：在矩形ABCD中，AB=2，且AOB=60°，求对角线AC的长。

考点2：矩形的判定

例4：在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形。

例5：在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE

是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。

例6：在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别

是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN

交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形。

变式5】在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AF是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AF于点E。可

以证明四边形ADCE是矩形。

变式6】在图11中，已知E是四边形ABCD中BC边的

矩形的性质和判定

矩形的性质和判定【知识梳理】

一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。

二、性质：

①矩形的四个角都是直角

②矩形的对角线相互平分且相等

③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴

④矩形的面积S=长×宽

三、判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形；

④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

四、矩形与平行四边形的区别与联系：

①相同点

1、两组对边分别平行

2、两组对边分别相等

3、两组对角分别相等

4、对角线相互平分

②区别

1、有一个角是直角的平行四边形矩形

2、对角线相互平分且相等

【例题精讲】

考点1 矩形的性质

【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。

【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。求证：ABE ∆≌CDF ∆。

【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43

【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行

【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长

是。

【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。

D C

矩形的性质和判定

基础知识点

1、矩形的性质和判定：

定义

矩形

有一个内角是直角的平行四边形。

性质

边

对边平行，对边相等。

角四个角相等，都是直角。对角线

互相平分，相等。

判

定

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。

2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。

例题剖析

例1、已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．

【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．

【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．

例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，

AB=2，BC=1。求AG 的长。

【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。

C B

例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．

【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。

例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．

矩形的性质与判定

矩形的性质和判定

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

性质：①矩形的四个角都是直角；

②矩形的对角线相等. 注意：矩形具有平行四边形的一切性质. 判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形.

4、长方形和正方形都是矩形。

5、平行四边形的定义在矩形上适用

矩形的性质与判定知识点

矩形是我们日常生活中最常见的几何形状之一，因为它有很多

明显的性质和特点，所以在数学、物理等领域中也被广泛应用。

本文旨在介绍矩形的性质与判定知识点，以帮助读者更好地理解

和应用矩形。

一、矩形的基本定义和性质

在几何学中，矩形是一个四边形，其中对角线相等，且所有内

角均为直角。它的两条对边平行且长度相等，两条相邻边的内角

均为90度。

由此可以得到矩形的以下基本性质：

1. 对角线相等

设矩形的两条对角线为AC和BD，则AC=BD，即对角线相等。

2. 边角关系

设矩形的边长为a和b，则它的周长为C=2a+2b，面积为S=ab。

3. 内角和

由于矩形的内角均为90度，因此它的任意两个内角的和均为180度。

4. 三角函数关系

设矩形的一条边长为a，另一条边长为b，则其对角线长为

D=sqrt(a^2+b^2)。根据三角函数关系，可得矩形各角的正切值和

余切值：tanA=a/b，tanB=b/a，cotA=b/a，cotB=a/b。

二、矩形的性质扩展

除了以上基本性质外，矩形还有一些特殊的性质，它们在具体

的数学问题中往往会有实际的应用。下面介绍一些常见的扩展性质。

1. 中线定理

设矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，线段AB与线段CD交于点E，线段AD与线段BC交于点F。则OE、OF为矩形的中线，且OE=OF=1/2AC。

证明：由于AC=BD，因此OC=OD。又由于AB∥CD，因此∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠OCB。因此三角形OAB和OCD，三角形OBA和OCB均为全等三角形，故OA=OC，OB=OD。又因为OE是线段AB上的中线，OF是线段AD上的中线，因此

矩形的判定和性质

矩形的性质和判定

一、基础知识

（一）矩形的定义

有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。（二）矩形的性质：

1.矩形具有平行四边形的一切性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是900

； 4.矩形是轴对称图形；

边角对角线对称性

矩形对边平行且相等

四个角都是直角

互相平分且相等

轴对称，中心对称

（三）矩形的判定：

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形；

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（四）直角三角形的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（如图：OB=OC=OA=2

AC ）

二、例题讲解

练习 1：矩形ABCD 中, ,对角线AC 与BD 相交于点O,BC 的长为6,△OBC 的周长是15,求矩形的对角线的长度.

练习2：如图，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，E 为垂足，∠DCE ∶∠ECB ＝3∶1，求∠ACD.

例2：如图，矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线长是13cm ，那么矩形的周长是多少?

练习1：矩形ABCD 中, ,对角线AC 与BD 相交于点O,已知矩形ABCD 的面积是12cm 2

，AB=4cm ，求矩形的对角线长。

例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．

练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．

初中数学矩形的性质与判定

矩形是平面几何中最基本的图形之一，它是一个由四条直线构成的平行四边形，两个对角

线相等，对角线分别叫做矩形的两个直角边。由以上定义可知，矩形是一种特殊的平行四

边形，所以，矩形的性质有如下一些：

一、矩形的四边相等

矩形的四条边是相等的，不管你横向测量，还是纵向测量，都得到相同的长度。

二、矩形的两个对角线相等

即矩形对角线是相等的，并且垂直于矩形的四边。

三、矩形有四个顶点

矩形有四个定点，分布在矩形的每个角，两个对角上。

判定矩形：

我们可以根据以上性质来判定一个图形是否是矩形：

1、检查四边，如果四边相等，则可以推断它可能是矩形；

2、测量对角线的长度，如果两条对角线长度相等，且垂直于矩形的四边，则可以确认它

是矩形；

3、查看顶点，如果有四个顶点，则它就是矩形。

综上所述，矩形是一种平行四边形，有四边相等，两个对角线相等，且垂直于矩形的四边，有四个顶点的特殊图形。我们可以根据矩形的性质和判定规则，很容易判断出一个平行四

边形是否是矩形。

矩形的性质和判定

〖知识梳理〗

知识点1：矩形的概念与性质

1.概念：有一个角是的平行四边形叫做矩形。

2.矩形的性质

（1）矩形是特殊的平行四边形，所以具有平行四边形的一切性质

（2）矩形性质定理1：矩形的四个角都是。

（3）矩形性质定理2：矩形的对角线。

(如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=

AC=

BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．)

3.矩形的性质也可以从边、角、线及对称性来分析（如右图分析）

边：

角：

线：

对称性：

【例1】已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．

【例2】已知：如图，矩形ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．学习目标

1、掌握矩形的概念与性质，应用矩形的性质计算和证明。

2、理解矩形的判定定理，能够有理有据地推理证明及精准的书写表达．

知识点2：矩形的判定

1、（定义）矩形判定定理1：有一个角是直角的平行四边形式矩形。

2、矩形判定定理2：有三个角是的四边形是矩形。

3、矩形判定定理3：对角线的平行四边形是矩形。

【例3】已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．

【例4】如图，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD.

求证：四边形ABCD是矩形

【例5】如图，在ABCD中，DE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为E，F. 求证

（1）△ADE≌△CBF

（2）四边形BFDE为矩形

矩形的性质与判定

矩形是平面几何中的一种基本图形，具有许多重要的性质和判定方法。本文将

介绍矩形的性质以及如何判定一个四边形是否是矩形。

矩形的性质

1.四边相等：矩形的四条边相互平行且相等长。

2.四个角均为直角：矩形的四个角均为90度，即直角。

3.对角线相等且互相平分：矩形的两条对角线相等且互相平分。

4.对角线垂直且相交于中点：矩形的两条对角线互相垂直，且相交于

各自的中点。

判定一个四边形是否为矩形

1.判定四条边是否相等：如果一个四边形的四条边相等并且相互平行，

则该四边形为矩形。

2.判定四个角是否为直角：可以使用角度计算方法，通过测量四个角

的度数是否均为90度来确定一个四边形是否为矩形。

3.判定对角线是否相等且互相平分：通过测量对角线的长度是否相等

来判断一个四边形是否为矩形。

4.判定对角线是否垂直且相交于中点：可以通过测量对角线的交点是

否为对角线中点以及两条对角线的斜率乘积是否为-1来判断一个四边形是否

为矩形。

综上所述，矩形的性质包括四边相等、四个直角、对角线相等且互相平分、对

角线垂直且相交于中点四个方面，通过判定四边形的边长、角度、对角线等特征可以确定一个四边形是否为矩形。

结语

矩形是几何学中重要的基本图形之一，具有许多独特的性质和判定方法。通过

深入理解矩形的性质和判定方法，可以更好地理解和运用这一基本几何形状。愿本文对您理解矩形有所帮助。

以上是关于矩形的性质与判定的介绍，希望对您有所启发。

矩形的性质和判定

矩形6）

知识梳理：

1、矩形的性质：四个角都是直角；对角线相等；

2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

3.矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形；

有三个角是直角的四边形是矩形；

4.有一组临边相等的平行四边形角菱形

5.菱形的性质：四条边都相等；两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

6.菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。

知识回顾：

1、矩形的定义（通常叫长方形）

有一个角是的叫做矩形.

2、矩形的性质：矩形具有平行四边形所具有的一切性质，矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质.

⑴边：对边，邻边；

⑵角：；

⑶对角线：；

（4）对称性：①是轴对称图形，有条对称轴，分别是是所在的直线；

②又是中心对称图形，对称中心是，过对角线交点的任一条直线等分该平行

四边形的面积.

3、直角三角形斜边上中线的性质

从矩形的性质可以说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的.

4、矩形的判定方法

方法⑴定义法：的平行四边形四边形是矩形；

方法⑵有三个角是的四边形是矩形；

方法⑶对角线的平行四边形四边形是矩形

【当堂检测】

一、选择题

1．矩形具有而平行四边形不具有的的性质是（）

A．对角相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对边平行且相等

2．矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20°B．40°C．60°D．80°

3．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）

A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三个角是否都为直角

矩形的判定和性质

矩形的性质和判定

一、基础知识

（一）矩形的定义

有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。（二）矩形的性质：

1.矩形具有平行四边形的一切性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是900

； 4.矩形是轴对称图形；

边角对角线对称性矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

互相平分且相等

轴对称，中心对称

（三）矩形的判定：

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形；

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（四）直角三角形的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（如图：OB=OC=OA=2

AC ）

二、例题讲解

考点一：矩形的基本性质

例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．

练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.

练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.

例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?

练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。

矩形的性质与判定

1、矩形的概念：

有一角是直角的平行四边形是矩形

2、矩形的性质：

矩形不但具备一般平行四边形的所有性质，还具备一般平行四边形没有的特殊性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等。

（3）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

3.直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

已知：如图，AC 和BD 是矩形ABCD 的对角线；求证：AC=BD 。

利用矩形的性质求有关线段的长度

如图，矩形ABCD 中，点E 在BC 上，且AE 平分∠BAC .若BE ＝4，AC ＝15，则△AEC 的面积为( )

A ．15

B ．30

C ．45

D ．60

如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是()

A．2 B．4 C．2 3 D．43

如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.

如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

．

利用矩形的性质求有关角度的大小

如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO 的度数．

利用矩形的性质求图形的面积

如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()

A.1

矩形的所有性质和判定

定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也就是长方形.

性质

1．矩形的四个角都是直角

2．矩形的对角线相等

3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等

4．矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）.

5．对边平行且相等

6．对角线互相平分

7．平行四边形的性质都具有.

判定

1．有一个角是直角的平行四边形是矩形

2．对角线相等的平行四边形是矩形

3．有三个角是直角的四边形是矩形

4．四个内角都相等的四边形为矩形

5．关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形6．对于平行四边形,若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等,则此平行四边形为矩形

7．对角线互相平分且相等的四边形是矩形

8．对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形

矩形面积

S=ah(注:a为边长,h为该边上的高)

S=ab(注:a为长,b为宽)

矩形的性质和判定

※知识回顾

一、矩形的性质

1、矩形的定义：有一个内角是的平行四边形是矩形.

注意：（1）矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质；（2）根据定义能判定一个四边形是否是矩形：先证明它是平行四边形，再证明它有一个内角是直角.

2、矩形的性质：

（1）对称性：矩形是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点，矩形还是轴对称图形，它的对称轴是 .

（2）边：矩形的对边 .

（3）角：矩形的四个内角都是 .

（4）对角线：矩形的对角线 .

3、矩形的面积与周长

（1）矩形的面积 = 长×宽.

（2）矩形的周长 =（长+宽）×2.

二、矩形的判定

1、定义判定法：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2、判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.

3、判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.

4、推论：对角线相等且互相平分的四边形是矩形.

※典例剖析

【例1】：如图，□ABCD的四个内角的平分线别交于点E、F、G、H. 求证：四边形EFGH是矩形.

【例2】求证：顺次连结矩形四条边的中点，所得的四边形的四条边相等. 【例3】如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，B C

D A

PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，求EF 的最小值.

※培优训练

1、（2011•绵阳）下列关于矩形的说法，正确的是（）

A ．对角线相等的四边形是矩形

B ．对角线互相平分的四边形是矩形

C ．矩形的对角线互相垂直且平分

D ．矩形的对角线相等且互相平分 2．（2011•临沂）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，B

矩形的性质及判定

E D C B A A B

C D F E

D C B

A 矩形性质和判定

一、知识要点

1.定义：

有一个角是直角的叫做矩形（通常也叫长方形）。

2.性质：

矩形的特有性质：

（1）矩形的四个角都是；（2）矩形的对角线。

规律总结：

矩形的性质：（从边、角、对角线三个方面总结出矩形的性质）

（1）对边平行且相等；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线相等且互相平分。

矩形是轴对称图形，它有对称轴。

3.判定：

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）有三个角都是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等的平行四边形是矩形。

(也可以表述成“对角线互相平分且的四边形是矩形”)。

4、直角三角形的性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．

二、例题讲解

1.矩形的性质

例1.如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，图中有_______个直

角三角形，•有个等腰三角形．

例2.矩形的两条邻边分别是5、2，则它的一条对角线的长是______．

例3.如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若∠AOD=60°，OB=•4，

•则DC=________．

例4.矩形ABCD 的周长为56，对角线AC ，BD 交于点O ，△ABO 与△BCO 的周

长差为4，•则AB 的长是（）

A ．12

B ．22

C ．16

D ．26

例5.如图，有一矩形纸片ABCD ，106AB AD ==，，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，

在将AED ∆以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则CEF ∆的面积为

矩形的性质和判定知识归纳

矩形的性质与判定知识点归纳：

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.矩形的性质：

（1）边：矩形的对边平行且相等；

（2）角：矩形的四个角都是直角；

（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等；

（4）对称性：矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有两条对称轴（5）面积：矩形的面积等于长乘以宽，通常用S=ab表示

3.矩形的判定：

（1）用定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）对角线相等的平行四边形是矩形。