矩形的性质和判定

矩形教学设计

教学目标

知识与技能

1.能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．

2.能运用矩形的性质进行简单的证明与计算

过程与方法

体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法.

情感、态度与价值观

学生通过观察发现生活中的矩形，在探索和运用矩形的过程中感受到数学的乐趣

重点难点

重点：矩形的性质；矩形的判定。

难点：矩形的性质和判定的综合运用。

教学方法

观察、总结、讨论分析。

教学过程

一、回顾旧知，温故新知

1.平行四边形有哪些特征?

2.有几种方法可以判别四边形为平行四边形？

3.四边形具有稳定性吗?

二、创设情境，导入新课

出示多媒体

1.引入

我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形

2.知识讲解

观察

A

B C D A

B C

D 一个角变成直角

分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程. （2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形.

矩形与平形四边形之间的关系

（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）

（4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质. ①边：对边分别平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直 ②角：四个角都是直角（性质1） ③对角线：相等且互相平分 三、例题讲解

已知:如图,四边形ABCD 是矩形. 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证. 证明: ∵ 四边形ABCD 是矩形,

∴∠A=90°,四边形ABCD 是平行四边形.

∴∠C=∠A=90°, ∠B=180°-∠A=90°, ∠D=180°-∠A=90°. ∴四边形ABCD 是矩形.

【定理】矩形的四个角都是直角. 跟踪练习

已知:如图,AC,BD 是矩形ABCD 的两条对角线. 求证: AC=BD.

分析:根据矩形的性质,可转化为

全等三角形(SAS)来证明.

证明:∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°. ∵BC=CB,

∴△ABC ≌△DCB(SAS).

∴AC=DB.

【定理】矩形的两条对角线相等. 练一练：

A B C

D

O

B

A

如图在矩形ABCD 中①AB ∥_____， AB=_____；AD ∥____，AD=_____.

②∠BAD=∠______=∠_____=∠______=90° ③AC=_____= 2AO =2______=2_____=2______. 问：在Rt △ABC 中，斜边AC 上的中线是_____，它与斜边的关系是_____=____AC. 问：是不是所有的三角形都有这样的性质?

【推论】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 例题：已知:如图,在□ABCD 中,对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD 是矩形.

分析:要证明□ABCD 是矩形,只要证明 有一个角是直角即可.

证明: ∵四边形ABCD 是平行四边形. ∴AB=CD,AB ∥CD.∵AC=DB,BC=CB, ∴ △ABC ≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB. ∵∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=90°. ∴平行四边形ABCD 是矩形.

【定理】对角线相等的平行四边形是矩形. 练一练

1.已知:如图,在四边形ABCD 中, ∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD 是矩形.

分析:利用同旁内角互补,两直线平行来

证明四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,

∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD ∥BC,AB ∥CD.

∴四边形ABCD 是平行四边形. ∴四边形ABCD 是矩形.

【定理】有三个角是直角的四边形是矩形. 2.填空

⑴有三个角是直角的四边形是_______

⑵有一个角是直角的_____________是矩形. ⑶对角线_______的平行四边形是矩形

⑷对角线互相平分且相等的四边形是_______

⑸有一个角是直角，且对角线_______________的四边形是矩形. 随堂练习

A

B

C

D

O

B

D C

A D B

C

A

1．（2010·巴中中考）如图所示，已知□ABCD ，下列条件：①AC=BD ，②AB=AD ，③∠1=∠2，④AB ⊥BC 中，能说明□ABCD 是矩形的有 （填写序号）.

解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义. 答案：① ④

2．（2010·益阳中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝

8，AD 是底边上的高，E 为

AC 中点，则DE ＝ ．

解析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，DE 等于

AC 的一半，所以DE=4.

答案：4 3．（2010·聊城中考）如图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD

为边作等边△ADE ．

（1）求∠CAE 的度数；

（2）取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ， 试证明四边形AFCE 是矩形．

解析：（1）在等边△ABC 中，

∵点D 是BC 边的中点，

∴∠DAC ＝30º，又∵△ADE 是等边三角形， ∴∠DAE ＝60º，

∴∠CAE ＝30º （2）在等边△ABC 中，∵F 是AB 边的中点，D 是BC 边的中点，∴CF ＝AD ，∠CFA ＝90º，又∵AD ＝AE ，∴AE ＝CF ，由（1）知∠CAE ＝30º，∴∠EAF ＝60º+30º＝90º，∴∠CFA ＝∠EAF ，∴CF ∥AE ，∵AE ＝CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形，又∵∠CFA ＝90º，∴四边形AFCE 是矩形． 4．已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N •分别为BC 、AD 的中点．

求证：四边形BMDN 是矩形．

２１ＤＣ

ＢA