数学实验报告

抛物线法：用分点 a = x0 , x1 , x 2 , L , x n = b ，将积分区间 n 等分（这里要求 n 为偶数） ，各分点对应的函数值为 y 0 , y1 , y 2 , L , y n ，即 yi = f ( xi ) = f (a + i b−a ) n 。
2 平面上三点可以确定一条抛物线 y = px + qx + r ， 而相邻的两个小区间上经过曲
end s trapz 函数： >> x=1:1/120:2; >> trapz(x,1./x) quad 函数： >> quad('1./x',1,2)
实验结果与实验总结： 梯形法： s= 0.69315152080005 抛物线法： s= 0.69314718056936 trapz 函数： ans = 0.69315152080005 quad 函数： ans = 0.69314719986297 抛物线法比梯形法求定积分更为精确
Si =
n b−a ( y i −1 + 4 y i + y i +1 ), i = 1,2, L , n − 1 。 3n 于是， 将这 2 个曲边梯形的面积加起
来，得到定积分的近似值为（设 n = 2k ） ：
Sn = b−a [ y 0 + y n + 4( y1 + y 3 + L + y n −1 ) + 2( y 2 + y 4 + L + y n − 2 )] 3n
数学实验报告 学校:
学院 专业
2010 年 12 月 9 日

姓名
学号
实验名称
定积分的近似求解
问题背景描述： 定积分计算的基本公式是牛顿——莱布尼兹公式， 但当被积函数的原函数不 知道时，就需要利用近似计算，特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解 析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法 计算定积分
i =1 i
n
i
的极限。
梯形法：将区间 [a, b] 用 a = x0 , x1 , L , x n = b 等分为 n 个小区间，小区间的长
b−a b−a yi = f ( xi ) = f (a + i ) (i = 0,1, L , n) ，则每个小梯形的面积为 n 度为 n 。设
y i + y i +1 b − a ⋅ 2 n ，从而得到梯形法的公式为：
实验目的： 通过分别用梯形法与抛物线法，计算 ∫
2
1
dx ，取 n=120，并尝试直接使用函 x
数 trapz()，quad()进行计算求解，比较结果的差异这道题，研究定积分的两种近 似计算算法：梯形法与抛物线法，同时学会使用函数 trapz()，quad()
实验原理与实验模型：
定积分就是黎曼和式
∑ f (ξ )∆x
∫
b
a
1 1 1 b−a f ( x)dx ≈ [ ( y 0 + y1 ) + ( y1 + y 2 ) + L + ( y n−1 + y n )] 2 2 2 n b−a 1 [ ( y 0 + y n ) + y1 + y 2 + L + y n −1 ] = n 2
= b − a f (a ) + f (b) n b−a + ∑ f (a + i [ )] n 2 n i =1
线上的三个点，则由这三点做抛物线（因此抛物线法必须将区间等分为偶数个小 区间） ，把这些抛物线构成的曲边梯形的面积相加，就得到了所求定积分的近似
[ x0 , x 2 ]
值。 计算在区间
上以抛物线为曲边的曲边梯形面积。 先计算区间 [− h, h] 上，
2 以过 (−h, y 0 ), (0, y1 ), (h, y 2 ) 三点的抛物线 y = px + qx + r 为曲边的曲边梯形面积
k k −1 b−a = [ f (a ) + f (b) + 4∑ f ( x 2i −1 ) + 2∑ f ( x 2i )] 6k i =1 i =1
实验所用软件及版本：
Metlab 7.1
实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等） ： 梯形法： format long n=120;a=1;b=2;s=0; syms x fx fx=1./x; for i=1:n xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n; fxj=subs(fx,'x',xj); fxi=subs(fx,'x',xi); s=s+(fxj+fxi)*(b-a)/(2*n); end s 抛物线法： format long n=120;a=1;b=2;s=0; syms x fx fx=1./x; for i=1:n xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n; xk=(xi+xj)/2; fxj=subs(fx,'x',xj); fxi=subs(fx,'x',xi); fxk=subs(fx,'x',xk); s=s+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);
思考与深入： 我们应掌握梯形法与抛物线法求定积分的原理， 学会运用梯形法与抛物线法 求定积分，并熟记 trapz（）函数、quad（）函数
教师评语
S：
S = ∫ ( px 2 + qx + r )dx = 2 ∫ ( px 2 + r )dx =
−h
h
h
0
2 3 ph + 2rh 3 ，
2 2 2 由 y 0 = ph − qh + r , y1 = r , y 2 = ph + qh + r 得： ph = y 0 + y 2 − 2 y1
故
S=
1 1 1 2 ph 3 + 6rh = h(2 ph 2 + 6r ) = h( y 0 + 4 y1 + y 2 ) 3 3 3 。 b−a n ， 则上面所求的 S 等于区间 [ x0 , x 2 ] 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面
(
)
取
h=
积。同理可以得到区间 [ xi −1 , xi +1 ] 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积：