2.2.1双曲线的标准方程
双曲线的定义及标准方程
2.2.1 双曲线的定义与标准方程高课题：§2.2.1 双曲线的定义与标准方程课型：新授课课时：第一课时教法：三导式教学法一、教学目标1．知识与技能：了解双曲线的标准方程的推导过程；掌握双曲线的定义与标准方程；掌握运用待定系数法求双曲线的方程.2．过程与方法：经历导出双曲线标准方程的过程，复习待定系数法。
3．情感、态度与价值观：认识双曲线的图象，体会数学的对称美，增强学生学习数学的兴趣。
二、教材分析重点：双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程．难点：1．定义中的“常数2a与2c的关系”的理解；2．双曲线标准方程的推导与化简三、学法指导：双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教材的处理方法也相仿，同学们可用对比椭圆与双曲线的异同点来学习。
四、教学过程一、导学：（一）、展示学习目标：1．掌握双曲线的定义及其标准方程；了解双曲线的标准方程的推导过程2．掌握运用待定系数法及定义法求双曲线的方程；（二）自学思考1、什么是椭圆？如果把椭圆定义中的“和”改写为“差”，那么点的轨迹会怎样？2 、双曲线定义中，当2a =2c；2a＞2c＞0时，动点P的轨迹分别是什么？3、例1 中（如何建立适当的坐标系，求双曲线的方程? ）主要有那些步骤？4、与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标准方程又是怎样呢？5、如何判断椭圆、双曲线的焦点在哪一条轴上？二、导疑：问题1：什么是椭圆？如果把椭圆定义中的“和”改写为“差”，那么点的轨迹会怎样？（用几何画板进行演示实验1、2）（由椭圆的定义引出双曲线的定义，由多媒替演示两个实验，在上述演示的基础上，引导学生概括出双曲线的定义，学生试叙述，教师用多媒体展示双曲线的定义．）1．双曲线的定义：||PF 1|-|PF 2||=2a （0＜2a ＜|F 1F 2|=2c)平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数2a(0＜2a ＜|F 1F 2|=2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，这两个焦点间的距离叫做焦距，记作2c(c ＞0)．问题2:设动点为P ，由定义知||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|=2c ，，请大家讨论以下几个问题：(1)当2a=2c 时，动点P 的轨迹是分别以点F 1、F 2为端点，方向指向F 1F 2外侧的两条射线？(2)当2a ＞2c ＞0时，动点P 的轨迹是不存在？问题3:例1如图 建立适当的坐标系，如何求双曲线的方程?请同学们对照椭圆的定义及其标准方程推导过程导出双曲线的标准方程．主要有那些步骤？主要步骤（1）建系设点（2）列式a MF MF 221±=-（3）列方程a y c x y c x 2)()(2222±=+--++（4）化简),0,0(,12222222b a c b a by a x +=>>=+ 利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质．这一简化的方程称为双曲线的标准方程,结合图形再一次理解方程中0＜2a ＜2c 的条件是不可缺少的．b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有实际的几何意义．具有c 2=a 2+b 2与椭圆中a 2=b 2+c 2的不同之处．由此得出双曲线的标准方程。
2.2.1 双曲线及其标准方程
2.2.1 双曲线及其标准方程徐成金 2011/5/7一、教学目标：1、知识与技能目标：理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法。
2、过程与方法目标：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标：通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，是学生认识到比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法。
二、教学重点与难点重点：双曲线的定义，求双曲线标准方程教学难点：推导双曲线的标准方程，领悟解析法思想三、教学过程1、课题引入想一想：A、B两地相距800m，在A、B两地同时听到炮弹的爆炸声，那么炮弹爆炸点应在什么位置？（我们在一个平面上考虑问题）解：A、B两地同时听到炮弹的爆炸声，说明爆炸点与A、B两处的距离相等，因此炮弹爆炸点应在线段AB的垂直平分线上。
想一想：A 、B 两地相距800m ，在A 、B 两地同时听到炮弹的爆炸声的时间之和为4s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程？（我们在一个平面上考虑问题，声速为s m /340）分析:经过前面椭圆的学习，我们知道炮弹爆炸点的轨迹是椭圆，我们根据已知条件可以求出椭圆的方程。
解：首先建立平面直角坐标系xoy ，以A 、B 两定点连线为x 轴，两定点的垂直平分线为y 轴，则，)0,400(),0,400(B A -，设),(y x p ，由已知：116000046240030240016000046240040080028006801360221360340422222=+⇒=-=-=⇒=⇒=⇒==⇒=⇒==⨯=+y x c a b c c AB a a a PB PA 为炮弹爆炸点的轨迹方程想一想：那么，如果A 、B 两地相距800m ，在A 、B 两地同时听到炮弹的爆炸声的时间之差为2s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程？（我们在一个平面上考虑问题，声速为s m /340）分析：我这里把“时间之和”改为“时间之差”，那么炮弹爆炸点的轨迹方程是什么呢？下面我们来学习《2.2.1 双曲线及其标准方程》 2、讲授新课椭圆的定义是什么？平面内与两个定点21F 、F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
2.2.1 双曲线的标准方程
焦点：定点F1、F2 焦距： |F1F2|=2c
注意： ①. | |MF1|-|MF2| | = 2a
2a < |F1F2 |
双曲线
2a= |F1F2 |
两条射线
2a> |F1F2 |
无轨迹
②. M在右支上
|MF1|-|MF2| =2a
M在左支上
|MF1|-|MF2|= - 2a
方程的推导
求曲线方程的步骤：
(2) 已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5),双曲线上一点P 到F1、F2的距离的差等于6，求双曲线的方程.
例3 求经 过两点(3,4
2),(9 ,5)的双 4
曲线的标准方程.
小结:待定系数法
1
设
x a
2 2
y2 b2
1
或
y2 a2
x2 b2
1
2设 x2 y2 1，可避免讨论
秒，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
分析：
假设爆炸点为P，爆炸点距A地比B
P
地远；
PA PB 2340
A
B
爆炸点P的轨迹是靠近B处的双曲线的一支。
作业：《小黄》
yM
M
MF1 MF2 2a
O
F2
F1
F2
x
F1
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0
焦点 F c,0 在x轴上
c2 a2 b2
y2 a2
x2 b2
1a
0, b
0
焦点 F 0,c 在y轴上
双曲线的标准方程公式
双曲线的标准方程公式
双曲线标准公式：x^2/a^2+y^2/b^2=1。
一般的，双曲线（希腊语“ὑπερβολή”，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。
直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。
微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。
为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。
这就要我们考虑可微曲线。
但是可微曲线也是不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。
正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。
《2.2.1 双曲线的定义与标准方程》课件-优质公开课-湘教选修1-1精品
双曲线
双曲线的定义与标准方程
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程．
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自学导引 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面上到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为定值 (小于 |F1F2| 且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的 点的轨迹为 以 F1、F2 为端点的两条射线 ． 平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的 点的轨迹 不存在 ．
焦点 F1(0，－c) ，F2 (0，c) ． ．
2 2 2 (3)双曲线中 a、b、c 的关系是 c ＝a ＋b
2．双曲线的标准方程
(4)已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设 为 Ax2＋By2＝1(A· B < 0)． (5)双曲线的标准方程中，若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴 上，若 y2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上．
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(2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点 F1、 F2 叫做双曲线的 焦点 点之间的距离叫做双曲线的 焦距 ． ， 两焦
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x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 a2－b2＝1(a>0，b>0) ， 焦点 F1 (－c，0) ，F2 (c，0) ． y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 a2－b2＝1(a>0，b>0) ，
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【数学】2.2.1 双曲线及其标准方程 课件2(人教A版选修1-1)
2
2
16
9
1、双曲线的定义
小 结
2、双曲线的标准方程及应用 3、求解双曲线的方程
第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程
一 、 复 习 与 回 顾
1、椭圆的定义
F 平面内与两个定点 F1， 2 的距离之和等 | 于常数（大于| F1 F2 ）的点轨迹叫做椭 圆
2、椭圆的标准方程
x y 2 1 2 a b
2
2
或
y x 2 1 2 a b
2
2
二 平面内与两个定点F1，F2的距离的差 、 的绝对值 等于常数 2a （小于︱F1F2︱）的 双 点的轨迹叫做双曲线. 曲 M 线 ① 两个定点F1、F2—— 的 双曲线的焦点; o F F 定 1 2 义 ② |F1F2|=2c ——焦距.
例、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距 五 离的差的绝对值等于8，求双曲线的 、 标准方程. 解:根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为 典
型 例 题
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
∵ 2a = 8, c=5 ∴ a = 4, c = 5
y
P
1
o
F2
x
三 、 双 y 3.列式． 曲 线 o F |PF1 - PF2|= 2a 的 标 准 即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a 方 程 4.代点化简.
1
P
F2
x
三 、 双 曲 线 的 标 准 方 程
移项两边平方后整理得：
双曲线及其标准方程
二、如何求双曲线的标准方程？
以F1,F2所在的直线为x轴， 1. 建系. 线段F1F2的中点为原点建立直角 坐标系.
y
M
设M（x , y）, 双曲线的 2.设点． 焦距为2c（c>0）,常数=2a(a>0）, 则F1(-c,0), F2(c,0).
F
1
O
F
2
x
| |MF1| 3.列式．
4.化简.
- |MF2| |= 2a
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0，但a、 b 大小关系不确定
a.b.c a>b>0， 的关系
a2=b2+c2
c2=a2+b2
例题：
2.已知双曲线两个焦点分别为 F1 (5,0), F2 (5,0)
双曲线上一点 P到 F1 , F2 距离差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程。 解：因为双曲线的焦点在 x 轴上，设标准方
M
b x a y a b ,
2 2 2 2 2 2
F1
O
F2
x
x2 y2 2 1 (a 0, b 0). 2 a b
双曲线的标准方程. 说明: 1.焦点在 x 轴, 焦点F1 (-c, 0) , F2(c, 0) ; 2. a、b无大小关系; 3. c2=a2+b2 , c 最大.
② |F1F2| ——焦距.
注：把|F1F2|记为2c（c>0)； 常数记为2a(a>0).
M
问题
1. 为什么要强调差的绝对值？ 2. 为什么这个常数要小于|F1F2|？
F
1
F
原创1：2.2.1 双曲线及其标准方程
[题后感悟] (1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨 迹是双曲线，且可求出a，b时，就可直接写出其标准方程， 而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．
(2) 由 于 动 点 M 到 两 定 点 C2 ， C1 的 距 离 的 差 的 绝 对 值 为 常 数．因此，其轨迹是双曲线．
由于双曲线过点 A(4，－ 3)，B－3， 25，
4a22－－b232＝1，
∴
－a32 2－
52
2 b2
＝1.
解得ab22＝＝41，. ∴所求双曲线标准方程是x42－y2＝1.
②当焦点在 y 轴上时，设双曲线标准方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
a32－1b62 ＝1， 则
45a2－b92＝1
[题后感悟] 双曲线标准方程的求解步骤：
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在 x 轴上． (2)a＝2 5，经过点 A(2，－5)，焦点在 y 轴上． (3)焦点分别为 F1(－10,0)、F2(10,0)，且经过点(3 5，－4)． (4)焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3，－4 2)和94，5. 解析： (1)由题设知，a＝3，c＝4， 由 c2＝a2＋b2 得 b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x92－y72＝1.
4．如图所示，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方 程．
解析： 如图所示，以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分 线为 y 轴，建立直角坐标系，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．
2019年数学新同步湘教版必修2第2章 2.2.1 双曲线的定义与标准方程
2.2双__曲__线2．2.1 双曲线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．双曲线的定义平面上到两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值为大于0的定值(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程[小问题·大思维]1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F 1F 2|？若定值等于|F 1F 2|或等于0或大于|F 1F 2|，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于|F 1F 2|，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)．(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． (3)如果定义中定值改为大于|F 1F 2|，此时动点轨迹不存在．2．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是．是双曲线的一支．3．若方程x 2m －y 2n ＝1表示双曲线，m ，n 应满足什么条件？提示：若方程x 2m －y 2n＝1表示双曲线，则m ·n >0.在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线．[自主解答] 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R， sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x ＞2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件： (1)差的绝对值是定值，(2)常数大于0小于两定点间的距离． 同时具备这两个条件才是双曲线．1．已知F 1，F 2分别是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．解：因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上； (2)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上． [自主解答] (1)∵焦点在x 轴上，c ＝6， ∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1.∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.(2)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵双曲线过P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5， ∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116，n ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程y 2a 2－x 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)． 解：(1)当焦点在x 轴上时， 设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b 2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．63B ．12C ．12 3D ．24[自主解答] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．若本例中的|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2改为PF ―→1·PF ―→2＝0，求△PF 1F 2的面积．解：由题意PF ―→1·PF ―→2＝0，则PF 1⊥PF 2， ∴△PF 1F 2为直角三角形． ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2， 又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2)＝4(1＋12)＝52， ∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52， ∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.3．双曲线x 29－y216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，求点P的坐标．解：由双曲线的方程知：a ＝3，b ＝4，c ＝5，不妨设点P 在第一象限，坐标为(x ，y )，F 1为左焦点，那么：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝6， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100. ② 由①得：(|PF 1|－|PF 2|)2＝36. 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝36. ∴|PF 1||PF 2|＝32. 在直角三角形PF 1F 2中， |PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·y ＝32，所以y ＝165，代入双曲线的方程得：x ＝3415，即点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫3415，165，再根据双曲线的对称性得点P 的坐标还可以是⎝⎛⎭⎫－3415，165，⎝⎛⎭⎫3415，－165，⎝⎛⎭⎫－3415，－165.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解] 法一：∵椭圆的焦点在y 轴上，由题意可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线方程为y 24－x 25＝1.法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝ |(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2| ＝4，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线方程为y 24－x 25＝1.法三：由题意设双曲线方程为 x 227－λ＋y 236－λ＝1(27＜λ＜36)， 将A (±15，4)代入得1527－λ＋1636－λ＝1.解得λ＝32或λ＝0(舍去)． ∴所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.1．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．答案：B2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0 D.()3，0解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 答案：C3．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1(x ≤－4) B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 解析：由题意，得c ＝5，a ＝3，∴b ＝4， ∴P 点的轨迹方程是x 29－y 216＝1(x ≥3)．答案：D4．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：由题意知，(1＋k )(1－k )>0，即－1<k <1. 答案：(－1,1)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________． 解析：由8kx 2－ky 2＝8，得x 21k －y 28k＝1.又∵焦点在y 轴上，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1k . ∵c ＝3，由c 2＝a 2＋b 2得9＝－8k －1k ，∴k ＝－1. 答案：－16．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝5，c ＝7；(2)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝⎛⎭⎫5，94. 解：(1)由题设知a ＝5，c ＝7，则b 2＝c 2－a 2＝24. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程是x 225－y 224＝1 或y 225－x 224＝1.(2)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)． 由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2||＝⎪⎪⎪⎪(5＋5)2＋⎝⎛⎭⎫94－02－ (5－5)2＋⎝⎛⎭⎫94－02＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9， 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.一、选择题1．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16， ∴c ＝4,2c ＝8. 答案：C2．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.答案：A3．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B.32C. 3D ．2解析：因为动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2为定值，又2<22，所以P 点的轨迹为双曲线的一支．因为2a ＝2，所以a ＝1.又因为c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝1.所以P 点轨迹为x 2－y 2＝1的一支．当y ＝12时，x 2＝1＋y 2＝54，则P 点到原点的距离为|PO |＝x 2＋y 2＝54＋14＝62. 答案：A4．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 1的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|PF 1|＝16，因此△PF 1F 2的面积等于12×16×102－⎝⎛⎭⎫1622＝48.答案：C 二、填空题5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：166．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－3,0)和F 2(3,0)，且P ⎝⎛⎭⎫52，1在双曲线右支上，则该双曲线的方程是______________．解析：法一：利用双曲线定义． 2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝ 1214＋1－ 14＋1 ＝552－52＝25， ∴a ＝5，b 2＝c 2－a 2＝4. 故所求方程为x 25－y 24＝1.法二：待定系数法．设双曲线方程为x 2a 2－y 29－a 2＝1，则有254a 2－19－a 2＝1，∴4a 4－65a 2＋225＝0. ∴a 2＝5或a 2＝454>9(舍去)． ∴双曲线方程为x 25－y 24＝1.答案：x 25－y 24＝17．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：48．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：设右焦点为F 1，依题意， |PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋4＋|PA | ＝|PF 1|＋|PA |＋4 ≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9. 答案：9三、解答题9．若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围． 解：∵方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－m ＜0，m 2－2m －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞5，m ＞3或m ＜－1. ∴m ＞5.即m 的取值范围是(5，＋∞)．10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆的方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝ 5.故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5.解得a 2＝3，b 2＝2. 故双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝2 3.又|MF 1|＋|MF 2|＝63，解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又|F 1F 2|＝2c ＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，由余弦定理可得cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|＝(23)2＋(25)2－(43)22×23×25＝－215<0. 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2是钝角三角形．。
1-1双曲线的定义及其标准方程
2.2.1 双曲线及其标准方程【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. 【重点】掌握双曲线的标准方程.【难点】会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. 【学习过程】一.双曲线的定义及标准方程：阅读教材P 45，完成下列问题. 1.双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这 叫做 ， 叫做双曲线的焦距.当2﹥2时，轨迹是 ，当2=2时，轨迹是 ， 当2﹤2时，轨迹 。
练习:判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )(2)点A (1,0)，B (－1,0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线.( ) (3)到两定点F 1(－3,0)、F 2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是两条射线.( )2 双曲线的标准方程：阅读教材P 46～P 47例1以上部分，完成下列问题.双曲线的标准方程练习:a c a c a c(1)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(2)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a >b .( ) (3)双曲线x 2－y 23＝1的焦点在y 轴上.( )二．例题讲解与引申、扩展 1.双曲线定义的应用 例1 (1)双曲线x 216－y 29＝1上一点A 到点(5,0)的距离为15，则点A 到点(－5,0)的距离为( )A.7B.23C.7或23D.5或25(2)如图221，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，过点F 1作直线交双曲线的左支于点A ，B ，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为________.变式训练：已知圆M 1：(x ＋4)2＋y 2＝25，圆M 2：x 2＋(y －3)2＝1，一动圆P 与这两个圆都外切，试求动圆圆心P 的轨迹.2.求双曲线的标准方程例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上； (3)a ＝4，c ＝5.变式训练：1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上； (2)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4；(3)求经过点(3,0)，(－6，－3)的双曲线的标准方程.2.求与双曲线共焦点，且过点的双曲线的方程。
双曲线的准线方程及准线定义
双曲线的准线方程及准线定义【摘要】双曲线是一种重要的几何图形，其准线方程及准线定义是研究双曲线性质的关键内容。
双曲线具有两个分支，呈现出独特的形状特点。
其基本方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中准线方程是与双曲线切线垂直且通过双曲线中心的直线方程。
准线定义则是指在双曲线上与准线相交的点到双曲线焦点的距离之比始终为定值。
准线与渐近线的区别在于准线与双曲线的交点可以是无数个，而渐近线与双曲线只有两个交点。
准线在双曲线中具有重要性，通过准线方程可以更好地分析双曲线的性质。
准线方程的应用举例有助于理解其在实际问题中的作用，而准线定义则为解决相关问题提供了途径。
准线方程及准线定义对于研究双曲线的性质和应用具有重要意义。
【关键词】双曲线，准线方程，准线定义，特点，基本方程，准线与渐近线的区别，重要性，应用举例，实际意义1. 引言1.1 双曲线的准线方程及准线定义双曲线是解析几何中的一个重要概念，具有许多独特的性质和特点。
在双曲线的研究中，准线方程及准线定义是其中的重要内容之一。
双曲线的准线是指与双曲线的渐近线相切的直线。
在双曲线上的任意一点，都存在一条唯一的准线。
准线方程可以被表示为双曲线上一点的斜率和坐标来确定。
对于双曲线的标准方程\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，其准线方程可以写为y=x\cdot\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}}。
准线的定义是双曲线上的一条曲线，使得该曲线与双曲线的每一条切线在相交点处的夹角为直角。
准线是双曲线的重要性质之一，它可以在求解双曲线的一些问题中提供很大的便利。
准线与渐近线的区别在于，渐近线是无限远处与曲线相切的直线，而准线是与曲线上的某一点相切的直线。
在下文中，我们将详细探讨双曲线的特点、基本方程以及准线的应用等内容，以深入理解双曲线的性质和准线的重要性。
2. 正文2.1 双曲线的特点双曲线是平面解析几何中的一种重要曲线，具有许多独特的特点。
2.2.1 双曲线及其标准方程
)
x2 y2 4.(双曲线标准方程形式)若方程 =1 表示双曲线,则实数 m 的取 m 1 m 3
值范围是(
C )
(A)m≠1 且 m≠-3 (C)m<-3 或 m>1
(B)m>1 (D)-3<m<1
数学
5.(双曲线标准方程的求法)双曲线两焦点坐标是 F1(0,-5),F2(0,5)且 2a=8, 则双曲线的标准方程为
解:(1)由题设知双曲线的焦点在 x 轴上,且 c=10.
x2 y 2 所以可设它的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0). a b x2 y2 从而将双曲线的标准方程化为 - 2 =1,将点(3 5 ,-4)代入并 2 100 b b
化简整理,得 b -39b -1600=0,解得 b =64 或 b =-25(舍去).
PF1 PF2 F1F2 2 PF1 PF2
2 2 2
=
( PF1 PF2 ) 2 2 PF1 PF2 F1F2 2 PF1 PF2
2
,
所以|PF1|·|PF2|=4(c2-a2)=4b2, 所以 SF1 PF2 =
3 1 |PF1|·|PF2|·sin 60°=2b2· = 3 b2, 2 2
数学
题型三 双曲线定义的应用
y2 【例 3】 设 P 为双曲线 x - =1 上的一点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点,若 12
2
|PF1|∶|PF2|=3∶2,求△PF1F2 的面积.
解:由已知得 2a=2,又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2, 因为|PF1|∶|PF2|=3∶2,所以|PF1|=6,|PF2|=4.
x2 y 2 所以所求双曲线标准方程为 =1. 12 8
(完整版)双曲线及其标准方程详解
2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2想一想：如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c = 3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a RR AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
【高中数学】圆锥曲线之双曲线
1. 双曲线标准方程的求解步骤.2. 双曲线的几何问题.3. 双曲线的第二定义及其应用.4. 双曲线的总结.2.2.1 双曲线的定义及其标准方程定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹，叫作双曲线.双曲线焦点：两个定点F 1、F 2焦距：两焦点之间的距离 |F 1F 2|1212|MF MF F F |＜MF 1 F 2动点M 的轨迹：以F 1、F 2 为端点的两条射线.动点M 的轨迹：不存在.MF 1 F 2当时：1212|MF MF |F F -=当时：1212MF MF F F -＞用定义判断下列动点M的轨迹是否为双曲线.(1) 到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之差为3的点的轨迹.(2) 到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之差为4的点的轨迹.(3) 到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之差为3的点的轨迹.是不是不是xyO222c =a +b22221x y a b-=MF 1 F 2焦距2c22221y x a b-=y xOMF 1F 2 222c =a +b焦点在哪个轴上，哪个系数为正.22221x ya b-=22221y xa b-=双曲线标准方程的两种形式焦点在 x 轴上：焦点在 y 轴上：221916x y -=在 x 轴上 (－5,0)和(5,0）在 x 轴上 (0,－13)和(0,13）22222144y x m m m()-=- ＜在 y 轴上 (0,－2)和(0,2)例1 判定下列双曲线的焦点在 哪个轴上，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标.22114425x y-=求双曲线标准方程的步骤：双曲线方程可以设成 Ax 2+By 2=1（AB ＜0）的形式，方程可变形为：22111x y A B+= 若A ＞0，表示焦点在 x 轴上的双曲线；若B ＞0，表示焦点在 y 轴上的双曲线.例2 写出适合下列条件的双曲线标准方程.(1) a = 4 , b = 1, 焦点在 x 轴上.(2) a = 4 , c = 5, 焦点在 y 轴上.22116x y -=221169y x -=223b c a =-=经过点Q(－3,0) ，求它的标准方程.第一步：确定双曲线方程的类型焦点在x 轴上，因此设双曲线的方程为：22 221x y a b-=第二步：求参数a 、b由题意可知 c =5，因此有 52 = a 2 + b 2因为椭圆经过点Q ，因此有2222301a b--=() a = 3b = 4经过点 Q (－3,0) ，求它的标准方程.第三步：写出双曲线方程a = 3b = 422221 34x y-=经过点Q(－3,0) ，求它的标准方程.练习1 已知双曲线 的焦点在 y 轴上，且焦距为8，则m 等于 .22111x y+m m =-+8解：由题意得，c = 422211416a b m m ()()+=++-==8m =双曲线的方程可化为22111y xm m -=+-练习2 过点 ，且与椭圆有相同的焦点的双曲线的标准方程为21,()214y +=A. D. C. B. 2214x y -=22133x y -=2212yx -=2212x y -=B两边平方，化简解得解法一：由题意得，焦点为由双曲线的定义可知，22222231231a |()()|=++--+22a =因此有2221b c a =-=2212x y -=练习2 过点 ，且与椭圆有相同的焦点的双曲线的标准方程为21,()214y +=3030(,)(,)-、解法二：设所求双曲线的方程为由题意可得，22a =因此有21b =22221x ya b-=223a b +=2222211a b-=练习2 过点 ，且与椭圆有相同的焦点的双曲线的标准方程为21,()214y +=2212x y -=焦点在哪个轴上，哪个系数为正. 22221x ya b-=22221y xa b-=2.2.2 双曲线的几何性质双曲线的标准方程22 221x y a b-=22221y xa b-= 222c=a+bxy O MF1 F2yxOMF1F2双曲线的图像范围|x |a,y R≥∈xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb |y |a,x R≥∈双曲线的渐近线b y xa=±a y xb=±xy O F 1 F 2y xO F 1F 2 aa b bxy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb F 1(-c,0) F 2(c,0)F 1(0,-c) F 2(0,c)xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb A 1(-a ,0) A 2(a ,0)A 1(0,-a ) A 2(0,a )双曲线的对称性xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点双曲线的轴xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 实轴：线段|A 1A 2| = 2a 虚轴：线段|B 1B 2| = 2b当a =b ，等轴双曲线双曲线的焦距xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 焦距：线段|F 1F 2| = 2cxy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 离心率：221c be a a==+221c b e a a==+1e ＞a c0＜＜xy O F 1 F 2ab椭圆的离心率 e 反映了双曲线的开口程度.当e 越趋于1时，双曲线开口越小；当e 越趋于+∞时，双曲线开口越大.xy O F 1 F 2ab 221c b e a a==+例1 已知双曲线E 经过点A (4 , 3)，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上，离心率e =3/2，求双曲线E 的方程.解：设椭圆的方程为22221x ya b-=由题意得2222431a b-=2232c a b e a a +===2244511a b ==22514411x y-=练习1 设中心在原点双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程 .11 2e=221 2x y+=解：椭圆的焦点在x 轴上，且焦点为(－1,0)、(1,0)椭圆的离心率为22e=双曲线焦点为(－1,0)、(1,0)，离心率为双曲线的参数：22 122c a b===、、22221x y-=双曲线的方程：练习2 求椭圆 9y 2 － 16x 2 = 144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把已知方程化成标准方程2222143y x -=这里22435a b c a b===+=,,答案参见(理科课本P58例3 / 文科课本P51例3)双曲线的几何问题1. 双曲线定义的集合语言：P = { M | ||MF 1|－|MF 2|| =2a ，2a ＜|F 1F 2| }， |F 1F 2| =2c ，其中c ＞a ，且a 、c 为常数.xyOF 1 F 2例2 已知F 是双曲线 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的一点，则|PF |+|PA |的最小值为 .221412x y-=9xy OF F 2P A|PF |+|PA | = |PF 2|+2a +|PA |= 2a +( |PF 2|+|PA | )思路：找到一个替代点，使两定点在曲线的两侧最小值 = 4+5 = 9练习 设双曲线的两个焦点为F 1、F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|:|PF 2|=3:4，则△PF 1F 2的面积等于 .2218y x -=85xyOF 1 F 2P|PF 1|:|PF 2|=3:4|PF 2 |－|PF 1|=2a =2|PF 1|=6|PF 2|=8△PF 1F 2是一个等腰三角形221864852S =⨯⨯-=双曲线的几何问题2. 双曲线的渐近线xy O F 1 F 2ab 求渐近线的方法：令等式右边等于022221x y a b-=22220x y a b -=令b y xa=±得2. 双曲线的渐近线求渐近线的方法：令等式右边等于022220y x a b -=令a y xb=±得y xO F 1F 2 a b 22221y x a b-=2. 双曲线的渐近线若已知渐近线，求双曲线的方程.一定注意分焦点在x 轴、y 轴上两种情况分析.y xO F 1F 2 a b 22221y x a b-=例3 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点(2,－3)，则双曲线的标准方程为12y x =±A.D. C. B.221832x y -=224177x y-=224177x y-=221832y x -=通过渐近线，排除了A 、C ；通过点(2,－3)排除了D.练习 (2015安徽, 文) 下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）2y x =± A. D. C. B. 2214yx -=2212y x -=2212x y -=2214x y -=练习 (2015安徽, 理) 下列双曲线中，焦点在 y 轴上，且渐近线方程为的是（ ）2y x =±A. D. C. B. 2214yx -=2214y x -=2214x y -=2214x y -=练习 (2014天津, 理) 下列双曲线 的一条渐近线方程平行于直线 l ：，且双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程是（ ）210y x =+A.D.C.B.221520x y-=2233125100x y-=2233110025x y-=221205x y -=22221x ya b-=渐近线：y =±2x(－5,0)练习 (2013全国I) 下列双曲线 (a ＞0，b ＞0)的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. D. C.B. 14y x=±22221x ya b-=522y x=±12y x=±4y x =±by xa=±渐近线双曲线的几何问题3. 双曲线的离心率求离心率或其范围的方法：(1)求a 、b 、c ，直接求出 e .(2)列出a 、b 、c 的方程，借助b 2=c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.y xO F 1F 2 a b 22221y x a b-=过点(4,－2)，则双曲线的离心率为 A. 6B. 5C.62D.5222221x ya b-=22220x ya b -=令b y xa =±得渐近线方程焦点在 x 轴上，因此方程设为12b a =225514222c a +b b =+==a a a =过点(4,－2)，则双曲线的离心率为A. 6B. 5C.62D.5222221x ya b-=22220x ya b-=令b y xa =±得渐近线方程焦点在 x 轴上，因此方程设为12b a =52c a =。
2.2.1双曲线及其标准方程
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课后延伸
基础作业：课本P54.A组.2（在作业本上完 成） 预习双曲线的性质 2| | = 2a，若0<2a<2c， 思考：| |MF1| - |MF 点M的轨迹是双曲线。 双曲线是优美的，她的美在于她的对称性； （1）若2a=2c,则点M的轨迹是什么？ 双曲线也是悲伤的，她的悲源于什么？ （2）若2a>2c, 则点M的轨迹是什么？ 请预习下一节的内容——双曲线的性质。 （3）若2a=0, 则点M的轨迹是什么？ 预习双曲线的性质
表示的双曲线焦点在y轴上，
2
2
y F2 o F1 x
焦点为F1(0,-c),F2(0,c)
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例1 已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2（5， 0），双曲线上一点P到F1， F2距离差的绝对值等于6， 求双曲线的方程。
解： 双曲线的焦点在x轴上，
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双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝 对值等于常数2a（小于︱F1F2︱）的点的轨 迹叫做双曲线.
① 定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
F1
0<2a<2c
F2
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x2 y 2 焦点在x轴上: 2 2 1(a b 0) a b y 2 x2 焦点在y轴上: 2 2 1(a b 0) a b
3. 引出问题 平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点 的轨迹是什么呢？
2.2.1双曲线的定义与标准方程
1、椭圆的定义
平面上，到两个定点 F1 ， F2的距离 之和等于定值（大于| F1F2 |）的点 轨迹叫做椭圆
2、椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
x y 2 1 2 a b
(a b 0)
2
2
x y 2 1 2 b a
(a b 0)
1. 建系 2.设点 3.列式 4.代点 5.化简
（-c , 0）
F1
y
P （x , y）
o
（ c , 0）
F2
x
x2 y2 2 1 (a、b 0) 2 a b
y P
F1
y
F1
o
F2
x
F2
o
P
焦点在x轴上
x2 y2 2 1(a、b 0) 2 a b
焦点在y轴上
y2 x2 2 1(a、b 0) 2 a b
2
2
已知F1、F2是平面上两定点， ┃F1F2┃=2c（c为定值）
若动点P到F1、F2的距离之差 的绝对值等于2c,则P的轨迹 两条射线 是
若动点P到F1、F2的距离之差 的绝对值大于2c,则P的轨迹 是 不存在
已知A(-2,0),B(2,0)是平面上两个定点, 若动点P到A、B的距离之差的绝对值 为m 2 6 4 ，则P的轨迹是（ D A） B C A.双曲线
B.两条射线 C.不存在
D.无法确定
1. 建系 2.设点 3.列式 4.代点 5.化简
（-c , 0）
F1
y
P （x , y）
o
（ c , 0）
F2
x
( x c) y ( x c) y 2a
2.2.1双曲线的标准方程
§2. 2.1双曲线的标准方程
二、双曲线的标准方程
定义
MF 1 MF 2 2a ( 0 2a 2c )
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关系
x y 2 1 2 a b
F ( c ,0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F (0, c )
为
3或15
；
x2 y2 2. 已知双曲线 1 上一点P到双曲线的一个 36 64 焦点的距离为9，求 PF1 F2 的周长；
§9.12.1双曲线的标准方程 双曲线的定义与标准方程
1.焦距F1F2=2C（C >0）,其中 F1 ( c ,0) 、F2 (c,0)
2.当M为椭圆上任意一点，有 || MF1 | | MF2 || 2a
1.写出适合下列条件的双 曲线的标准方程： （1 ）a 3, b 4, 焦点在 y轴上； （2）a 2 5 , 经过点A (2,5) x2 y2 2. 求证：椭圆 1与双曲线x 2 15 y 2 15的 21 5 焦点相同。
x2 y2 练习1:如果方程 2 m m 1 1 表示双曲线，
上面 两条合起来叫做双曲线
§2. 2.1双曲线的标准方程
1.双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线. （1）两个定点F1、F2 ——双曲线的焦点 （2）|F1F2|=2c ——焦距
M
（3） MF 1 MF 2 2a ( 0 2a 2c )
【数学】2.2.1《双曲线及其标准方程》课件(新人教B版选修1-1)
双曲线
. .
双曲线及其标准方程
, 思考 我们知道与两个定点距离的和
( )的 为非零常数 大于两定点间的距离
.那么 点的轨迹是椭圆 ,与两定点距离的 迹是什么 ? 差为非零常数的点的轨
操作打开的几何画板 , 观察"与两个定 点距离的差为非零常数 的点的轨迹 " 是怎样的图形 .
, 如图 . − , 取一条拉链 , 拉开它的一部分在拉开 ,分 的两边上各选择一点 F , 别固定在点 , F 上 把笔 尖放在点 处 随着拉链 M , , 笔尖 逐渐拉开或者闭拢 曲线 所经过的点就画出一条 .这条曲线是 合 满足下面条件的点的集 : P = { M || M | − | M |= 常数} F F .
).
因 a= , c= 为 所 b = 以 −
,所 a = , c = , 以 = .
x y 因 ,双 线 标 为 − = . 此 曲 的 准
例 已知A, B两地相距 m, 在A地听到炮 B 弹爆炸声比 地晚 s, 且声速为 m/ s,求炮 . 弹爆炸点的轨迹方程 ,判断轨迹的形状 .由声速 分析 首先根据题意 A A 及 , B两处听到爆炸声的时间 ,可知 , B两处 差 , 与爆炸点的距离的差为 .这样 爆炸点在以 定值 A, B为焦点的双曲线上 .因为爆炸点离 处比离 A B 处远, 所以爆炸点应在靠近 处的双曲线的 B . 一支上
图 . −
图 . −
F1
M
F2
M F 如果使点 到点 的距离 M F 减去到 的距离所得的差 , 等于同一个常数就得到 F F ( 另一条曲线图 . − 中左 ). 边的曲线 这条曲线是满 图 . − : 足下面条件的点的集合 P = { M || M | − | M |= 常数}. F F 这两条曲线合起来叫做 双曲线 , 每一条叫 做双曲线的一支 . , 你能给出双曲线 思考 类比椭圆的定义
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c a
教师 讲解
平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差 强调: 的绝对值为常数 （小于 F1F2 且不等于 0） (1)绝对值 的动点的轨迹叫双曲线。 即
MF1 MF 2 2a
(2)常数小于
F1 F2
Байду номын сангаас
这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点 间的距离叫做焦距，即 F1F2 2c 二、双曲线的标准方程 师 生 共 同 完 成
答案：
1. 2.
x2 y2 1 ; 16 9 y2 x2 1 20 16
课本 39 页 1.（２） （４）２． （２） （４）
1.椭圆的定义： 2.椭圆的方程：
（1）
x2 y2 y2 x2 1 1 （ 2 ） a2 b2 a2 b2
其中 a2 b2 c2
3.椭圆形状：与两定点间距离、绳 长有关。同样的绳长下，两定点距离越 大，椭圆较扁（ 线段） ，两定点越小， 椭圆较圆。 一、双曲线的定义： 新课
离心率 e
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
(4)化简
(c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) ，
由定义 2a 2c
c2 a2 0
令 c2 a2 b2 ，代入上式，得：
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 ，
点的轨迹方程 解：按定义所求动点的轨迹是双曲线 ∵ 2a 6,2c 10 ∴ b2
5 2 32 16
∴ a 3, c 5
所求方程为
x2 y2 1 9 16
练习：１.求 a =4，b =3，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程 ２.求 a =2 5 ，经过点（2，-5） ，焦点 在 y 轴上的双曲线的标准方程 小结 １.双曲线标准方程的两种形式 2.ａ，ｂ，ｃ之间的关系 板书 ２.２.２双曲线的标准方程 一、定义 二、推导 作业 课后记 三、方程 四、例题
F1 A 1
O
1、 推导： (1)建系： 取过焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段 F1 F2 的垂直平分线 为 y 轴 ，如下图：
y P A2 F2 x
类比椭圆方 程的推导过 程，掌握求 动点的轨迹 方法
(2)设点设 P（ x, y ）为双曲线上的 任意一点，双曲线的焦距是 2 c （ c 0 ）则 F1 (c,0), F2 (c,0) ， 又设 M 与 F1 (c,0), F2 (c,0) 距离之差的绝对 值等于 2 a （常数） ， 2a 2c (3)列式
x2 y 2 1， a 2 b2
若坐标系的 选取不同， 可得到双曲
教 师 讲 解 当焦点在
y
此即为双曲线的标准方程， 表示双曲线 的焦点在 x 轴上，焦点是 F1 (c,0), F2 (c,0) ， 其中 c
2
线的不同的 方程
a b
2
2
y F2 A2
O
轴上， 则只须 将 x, y 互换， 即
y2 x2 1， a2 b2
x A1 F1
如上图，此焦点 F1 (0,c), F2 (0, c) 思考：如何根据方程判断焦点位置？ 根据项的正负来判断焦点所在的 对比椭圆中 位置，即 x 2 项的系数是正的，那么焦点 焦点的判断 在 x 轴上； y 2 项的系数是正的，那么焦 方法 点在 y 轴上 三、应用： 例：已知两点 F1 (5,0)，F2 (5,0) ，求与 它们的距离之差的绝对值等于 6 的动
课题 时间 教学 目标
2.2.1 双曲线的标准方程
1.理解双曲线的定义， 熟记并掌握双曲线的标准方程， 能初步应用。 2.理解双曲线与椭圆的联系与区别，提高学生求动点 轨迹方程的能力。 3.培养学生类比以及发散思维的能力。
重点 难点 教法 教具 教学过程 复习引入
双曲线的定义、标准方程及其简单应用 双曲线标准方程的推导 合作探究，启发引导，讲练结合 常规用具 教 学 内 容 学生回顾 再次强调椭 圆中 a 最大