军校考试大纲数学考点—直线的方向向量
[原创]军队院校招生文化科目统考数学复习题模拟题全真试题详细解析之直线的方程第七章直线方程doc高中
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1 3或2k 4,［原创］军队院校招生文化科目统考数学复习题模拟题全真试题详细解析之直线的方程第七章直线方程doc高中数学第七章直线和圆的方程一、直线方程复习题i 填空题〔1〕通过点A( 2,2)同时和两个坐标轴围成的三角形的面积是于212 (2,0) , (0, 2k 2)，那么三角形的面积是 一|2| |2k 2| 1,k2 k2 2得 2(k 1) |k|，当 k 0 时，得 2k 3k 20 ,无解；21当 k 0时，得 2k 5k 2 0，即 k 或 k 2 ,得x 2y 20或2x y 20为所求.A . x 2y 2 0或x 2y 2 0 C . 2x y 2 0或x 2y 2 0B . 2x y 2 0或x 2y 2 0 D . x 2y 2 0或2x y 2 0〔1〕D1的直线方程〔2〕 过点P(1,2)引直线，使 A(2,3), B(4, 5)到它的距离相等, 那么这条直线的方程式〕.4x y 6 0B . x 4y 〔2〕2x 3y 70 或 x 4y 6D . 3x 2y0 或 4x y 6 0该直线的斜率明显存在，设 k(x 1)，即 kx 那么 |2k3 k 2||4k、•、k 212 |得 |k 1| |3k7|,即 2k 2 11k 12 0 ,得(2k 3)( k 4) 0 ,即 k得 3x 2y 70 或 4x y 60为所求.是〔 丨. 该直线的斜率明显存在，设y 2 k(x 2)，那么该直线与 x 轴，y 轴分不交13或2k 4,〔3〕当a为任意实数时，直线(a 1)x y 2a 1 0恒过的定点是〔〕.A . [0,10]B . (0,10)〔8〕Ax 2，得 ，即过定点(2,3).0 y 3〔4〕假设k 0,b 0, 那么直线y kxb 必不通过〔A •第I 象限B •第n 象限C •第川象限D •第W 象限〔4〕A 假设k 0,b 0 ,那么直线ykx b 必通过第二、三、四象限，即只是第一象 限•〔5〕 3过两点A(4,y), B(2, 3)的直线的倾斜角是 -，那么y〔 〕•4A • 1B •1C • 5D • 5〔5〕D 直线AB 的斜率k y 3，而该直线的倾斜角是 3 ，那么 k tan? 1 ,4 24 4得口 1,即y 5.4 2〔6〕两点A(3,0), B(0,4)，动点P(x,y)在线段AB 上运动，那么xy 的最大值是〔〕•A • 2B • 3C • 4D . 5〔6〕B表示线段AB 的方程为-1 (x 0,y 0),3 4x y 而 xy 12 (x 上)12径 4)2 12 1 3. 3 42 4〔7〕假设直线ax by c 0过第一、二、三象限，那么〔〕.A . ab 0,bc 0B . ab 〔7〕C 由 ax by c 0 ,得 ya c 得 0, 0，即ab bb〔8〕假设点(4, a)到直线4x 3y0,bc 0C•ab 0,bc 0D • ab a xc 过第 」、二、三象限， 那么a b bb0,bc 0 •由 |16 3a 1|5A • (2,3)B • ( 2,3)C • (1,D • ( 2,0)由(a 1)x y 2a 10 ,得 a(x 2) x y 1由题意知 0,bc 00,C •[学]3 13D • ( ,0]U 【10,1的距离不大于3，那么a 的取值范畴是〔〔5〕 直线x 2y 2k 0与两个坐标轴围成的三角形的面积不大于 1，那么k 的取值比为2，那么直线I 的方程为那么即sin又(0，2］，故 3两侧，即(1 k) (2k)0，整理得k(k 1)总有公共点，那么最大的斜率为1，最小的斜率为0 •范畴是令x 0，那么y k ；令y 0 ,那么x 2k ,〔1〕 3x 4y 6a设 A(a,0), B(0,b)，那么1 ( 2)2，那么a 2 ;且 竺 3，那么b1 ( 2)3x2,因此直线l 的方程为1，即3x 4y 6 0 .〔2〕 点P(1,cos )到直线xs in ycos11的距离等于丄4巧］，〔2〕| sin cos 1|------- 2—cos；sin 2 ,即 | sin.2sin1，而[0,—]，即 0 sin2得sin.2 sin24，即 sinsin1 20，得(sin 才2 0 ,〔3丨假 如直线l 1,l 2的斜率分不为方程4x 0的两个根，那么l 1与l 2的夹设斜率为k 1,k 2k24,k 1 k 2 1 ,由夹角公式tank 1 1匕k z两点A(0,1), B(1,0)，假设直线 k(x 1)与线段AB 总有公共点，那么 k 的取值把直线化为一样式，即 kx yA(0,1), B(1,0)在直线上或在直线的另外能够画图观看，直线 y k(x 1)恒过定点(1,0)，动直线满足与线段 AB〔5〕 1 k 1 且 k 011 1因此上式右端的分母 b 1 0 .3•直线l 通过点P(3,4)，它的倾斜角是直线 Vx y .3 0的倾斜角2倍, 求直线|的方程. 3.解：因为直线3x y . 3 0的斜率为 3，23 0的倾斜角为—，得所求直线的倾斜角为么，33即直线I 的方程为「3x y 4 3「3 0 .4.一条直线过点P(2, 3)，与直线2x y 10和直线x 2y 4 0分不相交于点A 和点B ，且P 为线段AB 的中点，求这条直线的方程.可设 A(a,2a 1), B( 2b4,b)，而P 为线段AB 的中点,a ( 2b 4) 4 得 2a 1 b 6 '寸得直线AB 的方程为x 2y 8.5.过点P(2,1)作直线I 分不交x, y 轴于A, B ，求使 ABC 的面积最小时的直线方程.4.解：点A 和点B 分不在直线2x y 10和直线x 2y 4 0上,5.解：如图，设 |OA a, OB b ,ABO 的面积为S ,那么S 1ab ，同时直线I 的截距式方程是2故面积S 1 k2k因此直线,3x y即所求直线的斜率为3，那么 y 4. 3( x 3)，那么1,即 A( 2, 5)，B(6, 1)，3，得 |3a 15| 15 ,即 0 a 10 .2 •填空题〔1〕直线l 过点P( 2,3)，且与x 轴、y 轴分不交于 代B 两点，假设P 分线段AB 所成的2 1 由直线通过点(2,1)，得211 , a b即I"因为点A 和点B 在x 轴、y 轴的正半轴上,由此得S a b2 b 2 1 1b 1 1 b 1 2 2 2 4b 1 当且仅当b 1 1 —，即 2时，面积S 取最小值4 , 这时a 4，直线的方程是: X y4 i 1，即 X 2y 4 0 - 6.〔 1〕求点P( 3,4)关于直线4x y 10的对称点的坐标; 〔2〕求直线4x y 1 0关于点P( 3,4)对称的直线方程. 6•解: 〔1〕设点R(a,b)为所求，那么-，且4 a 4b 13 即 4a b 18 0，解得: 0 a 5 b 2，即点P 1(5,2)为所求;〔2〕所求直线明显和直线平行，设4x y c 0 (c 1),那么 | 12 4 1| —万—| 12 4 c|，得c 33, 即4x y 330为所求.。
直线的方向向量空间直线的向量参数方程
直线的方向向量、空间直线的向量参数方程1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•＝0．④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）；（2）列：根据＝0，＝0，列出方程组；（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．1、空间直线的点向式方程或标准方程：设直线L过点M0（x0，y0，z0），＝（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则＝（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）．若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是2、空间直线的参数方程：在直线方程中，记其比值为t，则有（※）这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．。
直线的方向向量公式
直线的方向向量公式直线是二维空间中最基本的几何概念之一，它由无数个点组成，形成了一条延伸的路径。
而理解直线的方向向量公式，则是探究直线特性的关键所在。
方向向量是一个向量，它指示了直线上点的移动方向。
具体而言，方向向量是直线上某一点与该直线上的另一点之间的差值。
所以可以说，方向向量告诉我们在直线上如何从一个点移动到另一个点。
以直线AB为例，我们可以用向量v表示直线的方向向量。
该向量的起点为A点，终点为B点。
这意味着我们可以从A点出发，按照向量v的方向移动，最终到达B点。
换句话说，直线上的点可以通过起点加上一个标量倍数乘以方向向量来表示。
举个简单的例子来解释方向向量的意义。
假设我们在一片田地上，站在A点，目标是到达B点。
如果我们知道了方向向量，就可以根据这个信息快速准确地找到前进的方向。
无论是沿着道路、穿过草地还是绕过障碍物，我们只需延着方向向量所示的方向行进，最终就会到达目标点B。
方向向量不仅在空间探索中发挥着重要作用，也在各种应用领域起着关键的指导作用。
例如，在工程领域，建筑师需要确定某条直线的方向，以确保房屋结构的稳定性。
在航空航天领域，飞行员需要根据方向向量来确定正确的飞行路径。
同时，在计算机图形学中，方向向量用于绘制直线、光线追踪以及模拟物体运动等。
理解直线方向向量公式的重要性在于，它能够帮助我们更好地把握直线的性质，并应用到实际问题中。
只有深入理解了方向向量的概念，我们才能更准确地研究直线的特征，解决与直线相关的各种问题。
为此，我们应该基本掌握方向向量的计算方法。
具体来说，我们可以通过直线上的两点坐标来计算方向向量。
假设直线上两点A(x1,y1)和B(x2, y2)，则方向向量v = (x2 - x1, y2 - y1)。
这个向量就是直线的方向向量。
在求得方向向量后，我们还可以利用它来确定直线是否与其他线段相交，或者两条直线是否平行。
同时，利用方向向量的性质，我们可以进行直线的参数化表示，简化各种问题的求解过程。
最新直线的方向向量与法向量的求法
最新直线的方向向量与法向量的求法
答：最新直线的方向向量和法向量都是几何中重要的概念，在计算机图形学、几何计算和现实世界中都有很广泛的应用。
最新直线的方向向量是有向线段的方向，它描述两点间的方向，而面的法向量是面内任意方向的有向线段的方向，它描述的是面的表面方向。
本文将重点介绍最新直线的方向向量和法向量的求法。
首先，我们介绍最新直线的求法。
最新直线的方向向量可以用两个点的空间坐标来求得。
即我们先用点$ C=(x_0, y_0,z_0) $和 $ D=(x_1,y_1,z_1) $来表示有向线段$CD$，有向线段$CD$的方向向量可以写成：
$$
\vec{ v}=\left(\begin{array}{l}
x_1-x_0 \\
y_1-y_0 \\
z_1-z_0
\end{array}\right)
$$
最新直线的求法就是从给出的任意两点$C$和$D$求出它们所代表的方向向量
$\vec{v}$。
直线的方向向量公式
直线的方向向量公式直线的方向向量公式是描述直线方向的一种数学表示方法。
在平面上，一条直线可以通过给定的一个点和一个方向向量来确定。
方向向量是一个有方向的线段，它的起点与给定点重合，终点则确定了直线的方向。
假设直线上的一点为P(x1, y1)，方向向量为v(a, b)，则直线可以表示为：L: {P(x, y) = P(x1, y1) + t*v(a, b)}其中，t为任意实数。
这个公式可以解释为：从点P(x1, y1)出发，沿着方向向量v(a, b)延伸，得到直线上的所有点P(x, y)。
当t取不同的值时，可以得到直线上的不同点。
对于三维空间中的直线，类似地，我们可以通过给定的一个点和一个方向向量来确定。
假设直线上的一点为P(x1, y1, z1)，方向向量为v(a, b, c)，则直线可以表示为：L: {P(x, y, z) = P(x1, y1, z1) + t*v(a, b, c)}同样地，t为任意实数。
通过改变t的取值，我们可以得到直线上的所有点P(x, y, z)。
方向向量的选择对于直线的表示是任意的，只要它不是零向量即可。
在实际应用中，我们可以根据需要选择方便的方向向量，使得方程的形式更加简洁。
除了方向向量公式，直线还可以使用其他形式的方程来表示，如点斜式、两点式等。
这些表示方法在不同的情况下具有不同的优势和适用性。
直线的方向向量公式提供了一种简洁而有效的描述直线方向的方法。
通过给定一个点和一个方向向量，我们可以确定直线上的所有点。
这个公式在数学和物理等领域被广泛应用，为解决实际问题提供了有力的工具。
希望通过本文的介绍，读者对直线的方向向量公式有了更深入的理解。
直线的方向向量、平面的法向量及其应用
直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量： 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用： 利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．（1）若有直线l , 点A 是直线l 上一点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB a =，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =，这样，点A 和向量a 不仅可以确定l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点．（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是a 和b ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得OP =xa yb +，这样，点O 与方向向量a 、b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．2、在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的．三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ，则有l 1// l 2⇔1u //2u ，l 1⊥l 2⇔1u ⊥2u ．2、若两平面α、β的法向量分别是1v 、2v ，则有α//β⇔1v //2v ，α⊥β⇔1v ⊥2v ．若直线l 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有l //α⇔u ⊥v ，l ⊥α⇔u //v四、平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：1、设出平面的法向量为(,,)n x y z =．2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==3、根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4、解方程组，取其中一个解，即得法向量五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．1、线线平行：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1// l 2，只需证明a //b ，即()a kb k R =∈2、线面平行：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则要证明//l α，只需证明⊥a n ，即0⋅=a n .（2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3、面面平行（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．（2）若能求出平面α、β的法向量u 、v ，则要证明α//β，只需证明u // v（二）用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．1、线线垂直：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1⊥ l 2，只需证明a ⊥b ，即0a b ⋅=2、线面垂直：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证l ⊥α，只需证明a // u（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．3、面面垂直：（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．（2）证明两个平面的法向量互相垂直．六、用向量方法求空间的角（一）两条异面直线所成的角1、定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线////,//a a b b ，则/a 与/b 所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．2、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是02πθ<≤3、向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为ϕ，则有cos |cos |a ba b θϕ⋅==⋅4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（二）直线与平面所成的角1、定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．2、范围：直线和平面所成角θ的取值范围是02πθ≤≤3、向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则有sin |cos |cos sin a u a u θϕθϕ⋅===⋅或 （三）二面角1、二面角的取值范围：[0,]π2、二面角的向量求法（1）若AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角（如图（a ）所示）．（2）设1n 、2n 是二面角l αβ--的两个角α、β的法向量，则向量1n 与2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b ）所示）．七、用向量的方法求空间的距离（一）点面距离的求法如图（a ）所示，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，BO BA =cos ∠ABO= cos cos BA BO ABOABO BO ⋅⋅∠∠=。
2017年士兵军校考试数学考试考点：点到直线距离的算法
2017年士兵军校考试数学考试考点：点到直线距离的算法
1、点到直线距离
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
2、点到直线的总公式：
设直线L 的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(Xo，Yo)，则点P到直线L的距离为：。
3、引申公式：
公式①：设直线1的方程为;直线2的方程为
，则2条平行线之间的间距：。
公式②：设直线1的方程为;直线2的方程为
，则2条直线的夹角。
4、知识与技能目标：
(1)理解点到直线距离公式的推导过程，并且会使用公式求出定点到定直线的距离;准维教育军队考试网
(2)了解两条平行直线的距离公式，并能推导。
5、过程与方法目标：
(1)通过对点到直线距离公式的推导，提高学生对数形结合的认识，加深用“计算”来处理“图形”的意识;
(2)把两条平行直线的距离关系转化为点到直线距离。
军考大纲：军校考试大纲最新版(数学)
军考大纲：军校考试大纲最新版(数学)关键词：军考张为臻军校考试军队考试语文大纲军考数学部队考军校考试科目：语文、数学、综合(政治、物理、化学)和英语。
军队考军校考试时间：语文、数学、综合均为150分钟，英语为120分钟。
试卷分数：总分为600分，其中语文满分为150分，数学满分为150分，综合满分为200分(政治80分、物理60分、化学60分)，英语满分为100分。
(一)考核目标与要求重点考核考生对基本知识的了解、对基本定理的理解、对基本方法的应用，要求考生善于从本质上抓住数学知识之间深刻的内在联系，突出考核考生的空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识和创新意识。
(二)考试范围与要求1.集合集合的含义与表示：了解集合的含义、元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。
集合间的基本关系：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;在具体情境中，了解全集与空集的含义。
集合的基本运算：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。
简易逻辑：命题及其关系;理解命题的概念;了解“若，则”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
2.函数函数：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念;了解简单的分段函数，并能简单应用;理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数，了解函数奇偶性的含义;会运用函数图像理解和研究函数的性质。
张为臻博客指数函数：了解指数函数模型的实际背景;理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算;理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型。
军考大纲解读——军校考试大纲[最新版]数学考点173：向量方法在研究几何问题中的应用
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军考大纲解读——军校考试大纲[最新版]数学考点173：向量方法在研究几何问题中的应用关键词：军校考试张为臻军考大纲军校考试培训军考数学一、向量法在解析几何中的应用向量法在解析几何中的应用主要是通过建立直角坐标系，把几何问题坐标化，代数化，利用代数方法研究曲线性质。
用向量法解决解析几何问题的优越性在于将错综复杂的位置关系演化化为纯粹的代数运算。
用向量法解解析几何问题的基本思路是根据题意巧妙构造向量，或把题中有关线段看作向量，角看作两向量夹角，利用向量运算的几何意义和有关公式(如数量积公式、定比分点公式等)进行运算，并注意利用共线向量和垂直向量的充要条件，从而使问题得到解决。
凡涉及两直线平行、垂直、夹角、线段比、三点共线等的解析几何问题，可考虑利用向量法解之。
利用向量法解解析几何问题的步骤是：建立直角坐标系，必要时设参数，求出相关点和向量的坐标;根据已知条件和向量的有关性质列出等式;进行向量运算求得结果。
1、夹角问题若求角的值或判断两角是否相等，或判断两直线夹角是锐角、直角、钝角等。
常用数量积公式去计算其余弦值(进而求出角)或去判断余弦值符号。
2、平行问题平行、共线问题是高考的热点之一，从近年的高考命题来看，可以考小题，也可以考大题。
涉及平行、共线的问题常利用共线向量的充要条件来帮助解题。
3、垂直问题垂直问题也经常在高考题中出现，尤其是在解答题中。
可以利用向量垂直的充要条件，即两向量数量积为0来处理。
4、轨迹问题求轨迹方程的方法有很多，利用向量法求轨迹方程有时可以起到减少运算，条理清晰，事半功倍的效果。
张为臻博客向量法是解决解析几何问题的一把利剑，它可以使问题简单化，避免讨论，它为求解解析几何问题开辟了一条新途径，利用向量法巧解高考数学试题已成为解题的一种技巧，鉴于高考试题中利用向量法来解的解几试题已屡见不鲜，因此掌握这种技巧已十分必要。
二、向量法在立体几何中的应用立体几何主要培养学生的逻辑推理能力与空间想象能力，要求学生能判断点、线、面的位置关系，进行角、距离的计算，很多学生对此感到困难。
直线的方向向量公式
直线的方向向量公式直线是几何学中的基本概念之一，它具有许多重要的性质和特征。
其中一种关键性质就是方向，也被称为方向向量公式。
方向向量公式是用来描述直线方向的一种方法。
方向向量公式表示了直线上所有点的坐标与一个特殊向量的关系。
这个特殊向量被称为方向向量，它可以用来确定直线的方向和倾斜程度。
方向向量通常用一个有序对 (a,b) 来表示。
假设有一条直线 L，通过一个已知的点 P(x0,y0)，并且有一个方向向量 (a,b)。
那么，L 上的每一个点 Q(x,y) 都满足以下关系式：(x - x0) / a = (y - y0) / b以上方程可以通过简单的推导得到。
由于方向向量 (a,b) 描述了直线 L 的倾斜方向，我们可以令 (a,b) 表示直线上的两个点A(x1,y1) 和 B(x2,y2) 的坐标差值。
我们知道，直线上的任意两个点的坐标都满足这样的关系：(x2 - x1) / a = (y2 - y1) / b我们可以将点 A 的坐标代入此方程，得到：(x - x0) / a = (y - y0) / b因此，方向向量公式能够用来描述直线上所有点的关系式。
方向向量具有一些重要的性质和应用。
首先，直线上的任意两个不同的方向向量是平行的，因为它们具有相同的斜率（即 a/b）。
这意味着，如果我们有直线 L1 通过点 P1(x1,y1)，具有方向向量(a,b)，那么任意点 P2(x2,y2) 在直线 L1 上的向量 (a,b) 和直线L2 上的向量 (a',b') 平行。
这一性质可以方便地用来比较和判断直线的关系。
其次，方向向量可以用来确定直线的倾斜程度。
如果方向向量的分量 a=0，那么直线的斜率将不存在，表明直线垂直于 x 轴。
类似地，如果方向向量的分量 b=0，那么直线垂直于 y 轴。
通过分析方向向量的分量，我们可以推断出直线的倾斜方向和形态。
最后，方向向量也可以用来构造直线的参数方程。
解析几何 直线的方向向量
解析几何直线的方向向量
直线是解析几何中的重要概念之一，它是由一系列点组成的集合，而直线的方向向量则是描述直线方向的重要工具。
在解析几何中，我们经常需要研究直线的性质和特征，而方向向量则能够帮助
我们更好地理解直线的方向和倾斜。
首先，让我们来了解一下什么是直线的方向向量。
直线的方向
向量是指直线上的任意两点所确定的向量。
具体来说，如果直线上
有两个不同的点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么向量AB = (x2 x1,
y2 y1)就是直线的方向向量。
需要注意的是，直线的方向向量并不
唯一，因为我们可以选择不同的点来确定方向向量，但它们都会指
向同一个方向。
直线的方向向量有许多重要的性质和应用。
首先，方向向量能
够帮助我们确定直线的倾斜程度。
如果两条直线的方向向量相等或
成比例，那么它们是平行的；如果两条直线的方向向量互为相反数，那么它们是垂直的。
这些性质对于解析几何中直线的位置关系和相
互作用非常重要。
其次，方向向量还可以帮助我们求解直线的参数方程和一般方
程。
通过已知直线上的一点和方向向量，我们可以很容易地得到直线的参数方程或一般方程，从而更好地描述直线的性质和特征。
总之，直线的方向向量在解析几何中具有重要的地位和作用，它能够帮助我们更好地理解直线的方向和倾斜，以及求解直线的参数方程和一般方程。
通过深入研究和理解直线的方向向量，我们可以更好地掌握解析几何的知识，从而更好地应用于实际问题的求解和分析中。
直线的方向向量和平面的法向量改动
直线与平面的平行与垂直
平行关系
当直线与平面平行时，直线的方向向量与平面的法向量平行。
垂直关系
当直线几何中的应用
向量在解析几何中的应用
直线的方向向量
直线的方向向量是垂直于该直线且具有相同方向的向量。通过直线的方向向量， 可以确定直线的方向和倾斜角。
向量点乘
03
两个方向向量的点乘为0，表示两直线垂直或平行。
方向向量的应用
1 2
确定直线位置
通过给定的两个点，可以确定一个直线的方向向 量。
判断直线关系
通过比较两个直线的方向向量，可以判断两直线 是否平行、垂直或相交。
3
计算直线长度
已知直线上两点和方向向量，可以计算出直线的 长度。
02
平面的法向量
平面的法向量
平面的法向量是与平面垂直的向量。通过平面的法向量，可以确定平面的法线方 向和与平面相交的直线。
向量在平面几何中的应用
向量的加法
向量的加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。通过向量的加法，可以计算向量的长度和 方向。
向量的数乘
向量的数乘是指将一个数与一个向量相乘，得到一个新的向量。通过向量的数乘，可以改变向量的长 度和方向。
直线的倾斜角是直线与x轴正方向的夹角。 当改变直线的倾斜角时，直线与x轴的夹角 也会随之改变。例如，将直线的倾斜角增大 ，则直线与x轴的夹角增大；反之，将直线 的倾斜角减小，则直线与x轴的夹角减小。
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定义与性质
定义
平面的法向量是与平面垂直 的向量。
性质
法向量与平面内的任意向量 都垂直，且方向可以是任意 的。
单位法向量
单位法向量是长度为1的法向 量，通常表示为 $mathbf{e}$。
军考数学考试范围
军考数学考试范围
军考数学考试的范围一般包括以下内容：
1. 集合与函数：集合的运算、集合的表示方法、函数的定义和表示等。
2. 数与式：数的四则运算、分数的运算、整式的运算、分式的运算等。
3. 直线与圆：直线的方程、直线的性质、圆的方程、圆的性质等。
4. 数列与极限：数列的概念、等差数列、等比数列、极限的定义和性质等。
5. 平面向量：向量的概念、向量的运算、向量的共线和垂直等性质。
6. 解析几何：点、直线、圆的位置关系、平面解析几何等。
7. 三角函数：三角函数的定义、基本公式、三角恒等式等。
8. 导数与微分：导数的定义、导数的基本性质、函数的导数等。
9. 积分与定积分：不定积分和定积分的定义、基本公式、定积分的性质等。
需要注意的是，不同年份的考试范围可能有所不同，以上仅为一般情况，具体考试范围以当年的考纲为准。
求直线方向向量的公式
求直线方向向量的公式直线方向向量的公式是数学上用来表示直线方向的一种方法。
直线方向向量是指经过直线上的两个不同点的连线的向量，它与直线无关，只与直线上的两个点的选取有关。
在二维空间中，直线方向向量可以用向量的差表示；在三维空间中，直线方向向量可以用两点确定的向量表示。
首先，我们先来看二维空间中直线方向向量的表示方法。
假设有一条直线L，通过直线上的两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)。
直线方向向量记作→AB，它是向量→BA的相反向量。
直线方向向量的计算公式为：→AB=→B-→A其中，→AB表示直线方向向量，→B表示点B的位置向量，→A表示点A的位置向量。
进一步，假设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)分别由向量→A和→B表示，则直线方向向量的计算公式可以表示为：→AB=→B-→A=(x2-x1)→i+(y2-y1)→j其中，→i和→j分别是二维空间中x轴和y轴的单位向量。
所以，直线方向向量可以表示为一个二维向量，其中的分量分别由两点的坐标差求得。
接下来，我们来看三维空间中直线方向向量的表示方法。
与二维空间类似，假设有一条直线L，通过直线上的两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)。
直线方向向量记作→AB，它是向量→BA的相反向量。
直线方向向量的计算公式为：→AB=→B-→A其中，→AB表示直线方向向量，→B表示点B的位置向量，→A表示点A的位置向量。
进一步，假设两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)分别由向量→A和→B 表示，则直线方向向量的计算公式可以表示为：→AB=→B-→A=(x2-x1)→i+(y2-y1)→j+(z2-z1)→k其中，→i，→j和→k分别是三维空间中x轴、y轴和z轴的单位向量。
所以，直线方向向量可以表示为一个三维向量，其中的分量分别由两点的坐标差求得。
总结起来，直线方向向量的公式可以表示为：二维空间：→AB=(x2-x1)→i+(y2-y1)→j三维空间：→AB=(x2-x1)→i+(y2-y1)→j+(z2-z1)→k其中，→AB表示直线方向向量，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)分别是直线上的两个点的坐标，→i，→j和→k是坐标轴的单位向量。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解60---直线的方程
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第60讲直线的方程考向预测核心素养直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识；二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查.直观想象、数学运算一、知识梳理1．直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则AB→就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1．4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系α00<α<π2π2π2<α<πk 0k>0不存在k<0 2.识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0.(2)y轴：x＝0.(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P58习题2.1 T7改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A．1 B.4C.1或3D.1或4答案：A2．(人A选择性必修第一册P60例1改编)经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为________．答案：x－y－5＝03．(人A选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________．解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．( )答案：(1)×(2)×(3)×二、易错纠偏1．(多选)(不理解倾斜角和斜率致误)下列说法正确的是( )A．有的直线斜率不存在B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan αC．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为3π4D．截距可以为负值答案：ABD2．(不理解直线位置关系致误)如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )A．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D.第四象限答案：D3．(搞混倾斜角和斜率关系致误)若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈[π6，π4)∪[2π3，π)，则k的取值范围是________．解析：当α∈[π6，π4)时，k ＝tan α∈[33，1)； 当α∈[2π3，π)时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上可得k ∈[－3，0)∪[33，1)． 答案：[－3，0)∪[33，1)考点一 直线的倾斜角与斜率(思维发散)复习指导：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0，π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(2)已知点A (1，3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( )A ．k ≥12B.k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2 D.－2≤k ≤12【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α. 因为sin α∈[－1，1]， 所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B. (2)直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2，1)， 因为k PA ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交， 所以－2≤k ≤12.【答案】 (1)B (2)D本例(2)直线l 改为y ＝kx ，若l 与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是________________．解析：直线l 过定点P (0，0)， 所以k PA ＝3，k PB ＝12，所以k ≥3或k ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[3，＋∞)(1)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率；②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(2)倾斜角及斜率取值范围的两种求法①数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；②函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．|跟踪训练|1．已知直线方程为x cos 300°＋y sin 300°＝3，则直线的倾斜角为( ) A ．60° B.60°或300° C ．30°D.30°或330°解析：选C.直线的斜率为k ＝－cos 300°sin 300°＝－cos （360°－60°）sin （360°－60°）＝－cos （－60°）sin （－60°）＝cos 60°sin 60°＝33.因为直线倾斜角的范围为[0°，180°)， 所以倾斜角为30°，故选C.2．直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 答案：(]－∞，－3∪[)1，＋∞考点二 直线的方程(自主练透)复习指导：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式、斜截式、截距式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．1．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1，2)，B (3，6)，C (5，2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0 B.2x －y －12＝0 C ．2x ＋y －8＝0D.2x －y ＋8＝0解析：选C.由题知M (2，4)，N (3，2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.2．(多选)(链接常用结论2)下列命题正确的有( ) A ．直线斜率是关于直线倾斜角的增函数 B ．方程x ＝ty ＋m 可以表示垂直于x 轴的直线C ．直线过不同的两点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则方程()x 2－x 1()y －y 1＝()y 2－y 1()x －x 1可以表示平行于x ，y 轴和经过坐标原点的直线D ．直线方程bx ＋ay ＝ab 不能表示平行于x ，y 轴的直线 解析：选BCD.倾斜角0≤α<π，斜率k ＝tan α(α≠π2)，由正切函数的单调性知直线斜率不是关于直线倾斜角的增函数，故A 错误；方程x ＝ty ＋m 中t ＝0时，表示直线x ＝m ，故B 正确；当x 2－x 1＝0时，方程()x 2－x 1()y －y 1＝()y 2－y 1()x －x 1为()y 2－y 1()x －x 1＝0， 当y 2－y 1＝0时，方程()x 2－x 1()y －y 1＝()y 2－y 1()x －x 1为()x 2－x 1()y －y 1＝0， 当x ＝0，y ＝0时，代入方程可得－y 1()x 2－x 1＝－x 1()y 2－y 1成立， 故方程可以表示平行于x ，y 轴和经过坐标原点的直线，故C 正确；当a ＝0，b ≠0时，方程为bx ＝0，当b ＝0，a ≠0时，方程为ay ＝0不能表示平行于x ，y 轴的直线，故D 正确．3．经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为________． 解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝04．经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2)的直线方程为________________．解析：联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，所以直线过点(1，1)，因为直线的方向向量v ＝(－3，2)， 所以直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0. 答案：2x ＋3y －5＝0巧设直线方程的方法(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况； (2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(3)当题目涉及直线在x 轴、y 轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x 轴、y 轴上的截距为0的情况；(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．[注意] (1)当已知直线经过点(a ，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x ＝my ＋a ；(2)当已知直线经过点(0，a )，且斜率存在时，可将直线方程设为y ＝kx ＋a ； (3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y ＝kx .考点三 直线方程的综合应用(思维发散)复习指导：求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数单调性求解最值．(一题多解)已知直线l 过点M (2，1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．【解】 方法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )，S △AOB ＝12(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋（－4k ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二：设直线l ：x a ＋y b ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2，1)，所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab ，故ab ≥8，故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.1．在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝3＋a b ＋2ba≥3＋22， 当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2. 2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解：方法一：由本例方法一知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0，1－2k )(k ＜0)． 所以|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝21＋k 2|k |＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－k ）＋1（－k ）≥4. 当且仅当－k ＝－1k，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二：由本例方法二知A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，2a ＋1b＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．|跟踪训练|已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.所以无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2，1)． (2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2kk ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由直线l 的方程， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )． 依题意得⎩⎨⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， 当k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.[A 基础达标]1．(2022·北京市昌平区期中)已知点A ()2，－3，B ()－3，－2，直线l ：mx ＋y －m －1＝0与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－4或m ≥34B.m ≤－34或m ≥4C ．－4≤m ≤34D.－34≤m ≤4解析：选B.直线l ：mx ＋y －m －1＝0过定点P ()1，1， 由mx ＋y －m －1＝0可得y ＝－m ()x －1＋1， 作出图象如图所示：k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34， 若直线l 与线段AB 相交，则－m ≥34或－m ≤－4，解得m ≤－34或m ≥4，所以实数m 的取值范围是m ≤－34或m ≥4.2．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0 解析：选A.由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a 3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a＝1± 2.3．(2022·江西省抚州检测)已知k ＋b ＝0，k ≠0，则直线y ＝kx ＋b 的位置可能是( )解析：选B.因为直线方程为y ＝kx ＋b ，且k ≠0，k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以y ＝kx －k ＝k (x －1)，令y ＝0，得x ＝1，所以直线与x 轴的交点坐标为(1，0)．只有选项B 中的图象符合要求．4．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2·|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．5．(多选)(2022·昌平一中期中考试改编)直线l 过点P (2，－1)且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0 B.2x ＋y －3＝0 C ．x ＋2y ＝0D.x ＋y －1＝0解析：选AC.当直线l 过原点时，直线l 的方程为y ＝－12x ⇒x ＋2y ＝0符合题意． 当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x a ＋y－a＝1，将P 点坐标代入得2a ＋1a ＝1⇒a ＝3，x 3－y3＝1⇒x －y －3＝0.所以直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x －y －3＝0.6．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是________．解析：已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点(1，3)逆时针旋转15°后，得到的直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，所以直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .答案：y ＝3x7．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O ()0，0，A ()2，0，C ()0，1，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围是________．解析：如图，要想使折叠后O 点落在线段BC 上，可取BC 上任意一点D ， 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合， 因为k OD ≥k OB ＝12，所以k ＝－1k OD≥－2，且k <0.又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0， 所以－2≤k ≤0，所以k 的取值范围是[]－2，0. 答案：[－2，0]8．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝________．解析：因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5. 直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1. 答案：5 19．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围． 解：如图，由题意，知k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又直线PB 的倾斜角是45°，直线PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点， 所以BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC 边的垂直平分线DE 经过BC 的中点(0，2)， 所以所求直线方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.[B 综合应用]11．(多选)下列说法正确的是( )A ．截距相等的直线都可以用方程x a ＋y a＝1表示 B ．方程x ＋my －2＝0(m ∈R )能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程为(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0解析：选BD.对于A ，若直线过原点，横纵截距都为0，则不能用方程x a ＋y a＝1表示，所以A 不正确；对于B ，当m ＝0时，平行于y 轴的直线方程为x ＝2，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 不正确；对于D ，设点P (x ，y )是经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线上的任意一点，则根据P 1P 2→∥P 1P →可得(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0，所以D 正确，故选BD.12．(2022·东北三省三校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．[－1，－12]B.[－1，0] C ．[0，1]D.[12，1] 解析：选A.由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2. 因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，解得－1≤x 0≤－12.13．(2022·江西九江模拟)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为_______________________________________________________．解析：设C (x 0，y 0)， 则M (5＋x 02，y 0－22)，N (7＋x 02，3＋y 02)．因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5. 因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)，所以M (0，－52)，N (1，0)，所以直线MN 的方程为x1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.答案：5x －2y －5＝014．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当a ＝________时，四边形的面积最小，最小值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋154，故当a ＝12时，四边形的面积最小，最小值为154.答案：12154[C 素养提升]15．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为________．解析：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0，4)，B (3，0)，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.设P (x ，y )(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y 4≥2x 3·y 4， 当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以xy 的最大值为3. 答案：3 16.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎨⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，（m －0）·（－3n －1）＝（n －0）·（m －1），解得m＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB＝k AP＝33－1＝3＋32，所以l AB：y＝3＋32(x－1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.。
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军校考试大纲数学考点—直线的方向向量
关键词：军校考试张为臻军考大纲军校考试培训军考数学
空间直线
空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。
直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。
已知定点Pο(xο,yο,zο)及非零向量v={l,m,n},则经过点Pο且与v平行的直线L就被确定下来，因此，点P ο与v是确定直线L的两个要素，v称为L的方向向量。
由于对向量的模长没有要求，所以每条直线的方向向量都有无数个。
平面直线
把直线上的向量以及与之平行的向量叫做直线的方向向量。
所以只要给定直线，便可构造两个方向向量(以原点为起点)。
即已知直线l:ax+by+c=0，则直线l的方向向量为d1=(-b,a)或d2=(b,-a)。
张为臻博客
若直线l的斜率为k,则l的一个方向向量为(1,k)
若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB所在直线的一个方向向量为(x2-x1,y2-y1)
对向量的模长没有要求，每条直线的方向向量都有无数个。