黑龙江省大庆实验中学2015届高三上学期期初考试数学(理)(附答案)
黑龙江省大庆中学高三上学期期末考试数学(理)试题
大庆中学2015—2016学年上学期期末高三数学（理科）试题考试时间：120分钟 分数：150分一、 选择题（共12个小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．已知{}}222,1,2xM y y x N x y ⎧⎪===+=⎨⎪⎩则M N ⋂=( )A ．{(1,1),(1,1)}-B ．{1} C． D ． [0,1]2．i 为虚数单位，则201411i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭( ) A. i B. 1- C. i - D.13．等差数列{}n a 中，已知121-=a ，013=S ，使得0>n a 的最小正整数n 为( ) A ．10B ．9C ．8D ．74．已知2)tan(-=-απ,则=+αα2cos 2cos 1( ) A ．3-B ．52 C ．3 D ．25-5．若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-0402201y x y x y x ,则y x 2+的最大值为( )A ．132B ．6C ．11D ．106．已知直线n m ,和平面α，则n m //的必要非充分条件是( ) A ．n m ,与α成等角 B ．αα⊥⊥n m , C ．αα⊂n m ,// D ．αα//,//n m7.下列四个判断：①若两班级的人数分别是,m n ，数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②命题p ：01,2>-∈∀x R x ，则命题p 的否定是01,2≤-∈∃x R x ;③p ：),(2R b a ab b a ∈≥+q ：不等式x x >的解集是(－∞，0), 则‘p ∧q ’为假命题; ④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=.其中正确判断的个数有： ( )A ．3个B ．0个C ．2 个D ．1个 8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )C ．D ．﹣ 1A ．2B ．1C ．21D ．1-9．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A ．312+B ．328+C ．344+D ．1610．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上,2,1,32===AC AB SA ,OBAC 60=∠, ⊥SA 面ABC,则球O 的表面积为( ) A ．4π B ．12π C ．16πD ．64π11．过原点的直线l 与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右两支分别相交于A ，B两点，)0,3(-F 是此双曲线的左焦点，若4||||=+FB FA ，0=∙则此双曲线的方程是（ ）A ．1222=-y x B ．13422=-y x C ．1422=-y x D ．14822=-y x 12．设函数222)2(ln )()(a x a x x f -+-=,其中0>x ,存在0x 使得54)(0≤x f 成立, 则实数a 的值是( )A ．51B ． 52C ．21 D ．1二、 填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量)3,(),1,0(),1,3(k c b a =-==→→→,→→-b a 2与→c 共线，则k =__________．14. 已知⎰=62xdx a ,则axx )1-（的二项展开式中常数项为 . 15. 已知数列{}n a 中, 11=a ,231+=+n n a a ,则=n a ．16. 已知过定点)0,2(的直线l 与曲线22x y -=交于B A ,两点, O 为坐标原点,则AOB ∆面积最大时,直线的倾斜角是 .三、解答题（本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知ABC ∆是圆O (O 是坐标原点)的内接三角形,其中)23,21(),0,1(--B A , 角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,(1)若点)22,22(-C ,求COB ∠cos ; (2)若点C 在优弧AB 上运动,求b a +的最大值.18．如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,平面⊥BC A 1侧面11ABB A ,且21==AB AA .(1)求证: BC AB ⊥;(2)若直线AC 与平面BC A 1所成的角为6π,求锐二面角B C A A --1的大小.19．前不久，省社科院发布了2015年度“全省城市居民幸福排行榜”，我市成为本年度最“幸福城”．随后，我校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）： （Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，过顶点)1,0(A 的直线L 与椭圆C相交于两点B A , （1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 在椭圆上且满足OB OA OM 2321+=，求直线L 的斜率k 的值.21． 已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点， 且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的 长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0 的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.（1）将曲线1C 上的所有点的横坐标、、2倍后得到曲线2C .试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲 已知函数()|1||f x x x a =-+- （1）若a=1，解不等式()2f x ≥；（2）若1,,()|1|2a x R f x x >∀∈+-≥，求实数a 的取值范围。
黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
大庆实验中学2015—2016学年度上学期高三期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集,集合，，则集合A．B．C．D．2、复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为A．B．C．D．3、函数的反函数为A．B．C．D．4、在等差数列中，若，则的值为A．20 B．40 C．60 D．805、函数的值域是A．B．C．D．6、是定义域为的偶函数，为的导函数，当时，恒有，设，则满足的实数的取值范围是A．B．C．D．7、已知定义在上的函数是奇函数，且，则值为A．3 B．2 C．1 D．08、已知，，夹角为，向量满足，则的最大值为A．B．C．4 D．9、若，，则A．B．C．D．10、已知，的图像与的图像关于轴对称，将图像上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为A．B．C．D．11、给出下列4个命题：①在△中，“”是“”的充要条件；②是，，成等比数列的充要条件；③若，则；④若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则；其中真命题的个数为A．1 B．2 C.3 D．412、已知为偶函数，且，在区间上，，则函数零点的个数为A．4 B．5 C.6 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、已知等比数列中，，若，则= .14、如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝6，＝3，·＝4，则·的值是________．15、已知函数则= ．16、已知，，若对任意实数，都有，则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）已知等差数列中，且，。
（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求前项和的最大值。
18、（本小题满分12分）三角形中，三内角，，成等差数列，，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求，.19、（本小题满分12分）已知，其中.（Ⅰ）求函数的最值；（Ⅱ）若在区间上为增函数，求的取值范围。
2015届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测理科数学
2015届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测理科数学2014．9命题组成员： 注意事项:1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 写在本试卷上无效.3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）集合{4,5,3}M m =-，{9,3}N =-，若M N ⋂≠∅，则实数m 的值为（A ）3或3- （B ）3 （C ）3或1- （D ）1- （2）若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（是虚数单位，b 是实数），则b =（A ）2 （B ）2- （C ）12 （D ）12- （3）设等比数列{}n a 中,前n 项和为n S ,已知7863==S S ，,则=++987a a a（A ）81 （B ）81- （C ）857 （D ）855（4||x（A ） （B ） （C ） （D ）（5）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生都排在一起的概率是（A ）130 （B ）115 （C ）110（D ）15（6）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（A ）{}1,2,3,4,5 （B ） {}1,2,3,4,5,6（C ） {}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（7）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（A（B （C （D（8）已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有（A ） （B ）2 （C ）3 （D ）4（9）已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递增区间是（A ）[6,63],k k k Z ππ+∈ （B ）[63,6],k k k Z -∈（C ）[6,63],k k k Z +∈ （D ）无法确定俯视图（10）命题2:,10p x R ax ax ∀∈++≥，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（A ）(0,4] （B ）[0,4]（C ）(,0][4,)-∞⋃+∞ （D ）(,0)(4,)-∞⋃+∞（11）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则AOB ∆的面积为（A ）5 （B ）52 （C ）32（D ）178（12）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x + ≤⎧=⎨ >⎩ ，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦ 的零点个数的4个判断： ① 当0k >时，有3个零点；② 当0k <时，有2个零点； ③ 当0k >时，有4个零点； ④ 当0k <时，有1个零点；则正确的判断是（A ） ①④ （B ）②③ （C ）①② （D ）③④第II 卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）由曲线2,x y x y ==所围成图形的面积是____________.（14）已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =+=，则b =____________.（15）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_____________.（16）设,x y 满足约束条件32000,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()20,0z ax by a b =+>>的最大值为1，则22114a b +的最小值为____________.三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边. 已知a =，π3A =. （Ⅰ）若b =，求角C 的大小； （Ⅱ）若2c =，求边b 的长.（18）（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，首项112a =，前n 项和为n S ，且335544,,S a S a S a +++成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为平行四边形，且BC ⊥ 平面PAB ，PA AB ⊥，M 为PB 的中点，2PA AD ==．（Ⅰ）求证：PD ∥平面AMC ；（Ⅱ）若1AB =，求二面角B AC M --的余弦值．（20）（本小题满分12分）某市为了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格. 把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 .（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）用此次测试结果估计全市毕业生的情况. 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格．．．的人数，求X 的分布列及数学期望； （III ）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.（21）（本小题满分12分）已知21()ln(1)2f x ax x x =-+-+,其中0a >. (Ⅰ)求()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)若()f x 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围.（22）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0),,P A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（III ）在 (Ⅱ)的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅ 的取值范围.数学答案（理科）13．1314． 15． (12]， 16． 8 三．解答题（本题共6大题，共70分） 17（本小题满分10分）解：（I ）由正弦定理sin sin a bA B == ，解得sin B =……2分 由于B 为三角形内角，b a < ，则4B π=， ……4分所以53412C ππππ=--=， ………5分 （II ）依题意，222cos 2b c a A bc +-= ，即2141224b b+-=，整理得2280b b --= 7分又0b > ，所以4b =. ………10分另解：由于sin sin a c A C =,2sin C=，解得1sin 2C = , ………7分 由于a c > ，所以6C π=， ………8分由3A π=，所以2B π=.由勾股定理222b c a =+ ，解得4b =. ………10分 18．（本小题满分12分）解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由题意知10a >，且112n n a q -=⋅， 又因为33a S +、55a S +、44a S +成等差数列，所以)()()(2443355a S a S a S +++=+， ………2分 即)2()2()2(2432132154321a a a a a a a a a a a a ++++++=++++， 化简得354a a =，从而142=q ，解得21±=q ， 又0q >，故21=q ， …………4分 12n n a =. …………6分 （II ）由（I ）知，2n n nna =，则231123122222n n n n nT --=+++++ ， ①234111*********n n n n nT +-=+++++ ， ② …………8分①-②得：23111111112222222n n n n nT -+=+++++-1111(1)222112212n n n n n ++-+=-=--， 所以222n n n T +=-. …………12分19．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)证明：连接BD ，设BD 与AC 相交于点O ，连接OM ， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以点O 为BD 的中点， 又因为M 为PB 的中点，所以OM 为PBD ∆的中位线，所以OM ∥PD ， ………3分 又因为OM ⊂平面AMC ，PD ⊄平面AMC ，所以PD ∥平面AMC .…………6分(Ⅱ)因为BC ⊥平面PAB ，AD ∥BC ，所以AD ⊥平面PAB ， 又因为PA AB ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直，故可以建立空间直角坐标系A xyz -(如图所示)， ………8分 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,2,0D ，()1,2,0C ，()0,0,2P ，1,0,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()1,0,0AB =，()1,2,0AC =，1,0,12AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为PA ⊥平面ABCD ,故平面ABC 的一个法向量为()0,0,2AP =，设平面AMC 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11112002x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =，则112,1x y =-=，可取()2,1,1n =-， …………10分 从而cos ,2AP n AP n AP n⋅<>===⋅⨯， 故所求二面角B AC M -- …………12分 20．（本小题满分12分）解：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为7500.14=(人). ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) .……………4分 (II)X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为1475025=,∴X ～7(2,)25B . 218324(0)()25625P X ===，12718252(1)()()2525625P X C ===， 2749(2)()25625P X ===.所求分布列为………6分714()22525E X =⨯=…………8分 (III)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x 、y 米，则基本事件满足的区域为8109.510.5x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤， 事件A “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x y >，如图所示.∴由几何概型1111222()1216P A ⨯⨯==⨯. 则甲比乙投掷远的概率是116. ………12分 21．（本小题满分12分） 解: (Ⅰ)函数21()ln(1)2f x ax x x =-+-+()0a >的定义域为()1,-+∞， ()211'()111ax a x f x ax x x --=-+-=-++11a ax x a x -⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+ 令()0f x '= 得12110,1a x x a a-===-， ①当01a <<时,12x x < ,()f x 与()f x '的变化情况如下表所以()f x 的单调递减区间是(1,0)-,(1,)a-+∞； …………2分②当1a =时, 120x x ==，2'()01x f x x =-≤+，故()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞ ； ………4分 ③当1a >时,210x -<< ，()f x 与()f x '的变化情况如下表所以()f x 的单调递增减区间是(1,1)a--,(0,)+∞ . 综上,当01a <<时,()f x 的单调递增减区间是(1,0)-,1(1,)a-+∞ ；当1a >时,()f x 的单调递增减区间是1(1,1)a--,(0,)+∞ ；当1a =时，()f x 的单调递增减区间是(1,)-+∞. …6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知① 当01a <<时,()f x 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-但1(1)(0)0f f a->=,所以01a <<不合题意； …9分 ② 当1a ≥时,()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)f x f ≤，可得()f x 在[0,)+∞上的最大值为(0)0f =,符合题意. ()f x ∴在[0,)+∞上的最大值为0时,a 的取值范围是{}1a a ≥. …12分22.（本小题满分12分）解：（I ）由题意知,21==a c e 2222222214,.43c a b e a b a a -====所以即 而以原点为圆心，椭圆短半轴为半径的圆的方程为222x y b +=，故由题意可知224, 3.b a b ====所以 故椭圆C 的方程为.13422=+y x ……3分 （II ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为).4(-=x k y 由.0126432)34(.134),4(222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 得 ……① …… 4分 设点1122(,),(,)B x y E x y ，则11(,)A x y -，直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =得，221221().y x x x x y y -=-+ 将)4(),4(2211-=-=x k y x k y 代入整理得， 得.8)(42212121-++-=x x x x x x x ② ……………………5分 由①得341264,343222212221+-=+=+k k x x k k x x ， 代入②整得，得.1=x所以直线AE 与x 轴相交于定点Q （1，0） ……7分（III ）①当过点Q 的直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =， 解得33(1,),(1,)22M N -，此时54OM ON ⋅=-； …8分 ② 当过点Q 的直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-,且(,),(,)M M N N M x y N x y 在椭圆C 上， 由22(1)143y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 2222(43)84120m x m x m +-+-=， 计算得，0∆>，所以22228412,,4343M N M N m m x x x x m m -+=⋅=++229,43M N m y y m ⋅=-+ 则M N M N OM ON x x y y ⋅=+222512533.4344(43)m m m +=-=--++ ……………………10分 因为20m ≥，所以21133044(43)m -≤-<+， 253354,44(43)4m -≤--<-+ 544OM ON -≤⋅<-. 所以OM ON ⋅的取值范围是5[4,]4--. ……12分。
大庆实验中学高三上半学年数学(理)期末考试
大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）期末考试第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2,12B y y x x ==--≤≤，则A B 等于（ ） A ．R B ．{}0 C ．{},0x x R x ∈≠ D ．∅ 2. 化简224(1)ii ++的结果是（ ） A.2i + B.2i -+ C.2i - D.2i --3. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ） A ．32 B.323C.48D. 1634. 在ABC △中，AB c = ，AC b =．若点D 满足2BD DC = ，则AD = （ ） A.2133b c - B.5233c b - C.2133b c +D.1233b c+5. 若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率（ ）A.2B.3C.22D.23 6.函数f (x )＝sin()x ω(ω>0)在区间[0,]4π上单调递增，在区间[,]43ππ上单调递减，则ω为( )A.1B.2 C ．32D ．237.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在2[2,3]a a --上的偶函数，那么a ＋b 的值是 ( ) A ．3B. －1C. －1或3D ．18. 已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) A. {}23x x << B. {}23x x x ≤≥或C. 1132xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D.1132x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或9. 已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）A.1[,)2+∞ B. 1[,)3+∞ C.1(,)3+∞ D. 1(,)2+∞10. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，则三棱锥C ABD -的外接球表面积为（ ） A. 16π B. 12π C. 8π D. 4π11. 已知数列{}n c 的前n 项和为n T ，若数列{}n c 满足各项均为正项，并且以(,)n n c T (n ∈N *)为坐标的点都在曲线2,022a aay x x b a =++（为非常数）上运动，则称数列{}n c 为“抛物数列”.已知数列{}n b 为“抛物数列”，则（ ）A. {}n b 一定为等比数列B. {}n b 一定为等差数列C.{}n b 只从第二项起为等比数列D. {}n b 只从第二项起为等差数列12. 已知函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上处处可导，若[()()]tan ()0f x f x x f x '--<，则（ ）．A.33(ln )sin(ln )22f 一定小于550.6(ln )sin(ln )22fB. 33(ln )sin(ln )22f 一定大于550.6(ln )sin(ln )22fC. 33(ln )sin(ln )22f 可能大于550.6(ln )sin(ln )22fD. 33(ln )sin(ln )22f 可能等于550.6(ln )sin(ln )22f。
黑龙江省大庆实验中学2015届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2014-2015学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|2x＞8}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{x|3＜x＜4} B．{x|x＞4} C．{x|3＜x≤4} D．{x|3≤x≤4}2．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．33．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题4．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3=（）A．（﹣7，﹣16）B．（﹣7，﹣34）C．（﹣7，﹣4） D．（﹣7，14）5．已知{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a1a7+2a3a7+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．60 D．1006．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．17．奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=﹣f（x）成立，且f（1）=8，则f（2012）+f（2013）+f（2014）的值为（）A．2 B．4 C．6 D．88．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜29．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位10．已知命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣3，﹣1]D．[﹣2，+∞）11．已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，且当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，设a=（log4）f（log4），b=f（），c=（lg）f（lg），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b12．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sinπx的对称中心，可得=（）A．4025 B．﹣4025 C．8050 D．﹣8050二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为．14．dx+=．15．已知，，则=．16．设，，满足||=||=1，•=﹣，且﹣与﹣的夹角为60°，则||的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．18．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{a n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．+2n（n≥2，n∈N*）20．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{的前n项之和S n．21．设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|2x＞8}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{x|3＜x＜4} B．{x|x＞4} C．{x|3＜x≤4} D．{x|3≤x≤4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】分别求出关于集合A，B的不等式，求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，B={x|2x＞8}={x|x＞3}，∴集合（∁U A）={x|﹣1≤x≤4}∴（∁U A）∩B={x|3＜x≤4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题．2．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题．【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．4．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3=（）A．（﹣7，﹣16）B．（﹣7，﹣34）C．（﹣7，﹣4） D．（﹣7，14）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，∴，解得m=2，∴=（5，﹣10）﹣（12，6）=（﹣7，﹣16）．故选A．【点评】熟练掌握向量垂直与数量积的关系是解题的关键．5．已知{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a1a7+2a3a7+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．60 D．100【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】题目给出了等比数列，运用等比中项的概念，把要求的和式转化为a4+a6，则答案可求．【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，由等比中项的概念有，，a3a7=a4a6，所以a1a7+2a3a7+a3a9=．故选D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比中项的概念，考查了数学转化思想，该题是基础题．6．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1【考点】简单线性规划．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x﹣4y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=y=1时，z达到最大值﹣1．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．设z=F（x，y）=3x﹣4y，将直线l：z=3x﹣4y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，=F（1，1）=﹣1，∴z最大值故选：C【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=﹣f（x）成立，且f（1）=8，则f（2012）+f（2013）+f（2014）的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x+2）=﹣f（x）得f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，然后根据函数的周期性和奇偶性进行求值转化即可．【解答】解：∵奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，且f（0）=0，f（2）=﹣f（0）=0．则f（2012）=f（0）=0，f（2013）=f（1）=8，f（2014）=f（2）=0，∴f（2012）+f（2013）+f（2014）=8，故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，根据条件得到函数是周期性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．8．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2【考点】基本不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：≥2=8若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选D【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合．【分析】由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，设出平移量a后，根据平移法则，我们可以构造一个关于平移量a的方程，解方程即可得到结论．【解答】解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A【点评】本题考查的知识点是由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象确定其中解析式，函数f （x）=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中根据已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，是解答本题的关键．10．已知命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣3，﹣1]D．[﹣2，+∞）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；规律型；分类讨论；简易逻辑．【分析】求解命题P，通过讨论a的取值，从而解出不等式（x+a）（x﹣1）＞0，判断所得解能否使p是q的充分不必要条件，或限制a后能使p是q的充分不必要条件，综合以上求得的a的范围求并集即可．【解答】解：命题p：可得，，即：x＜1或x＞2，命题q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，即（x+a）（x﹣1）＞0，若﹣a=1，即a=﹣1，不等式（x+a ）（x ﹣1）＞0的解是x ≠1，符合p 是q 的充分不必要条件；若﹣a ＞1，即a ＜﹣1，不等式（x+a ）（x ﹣1）＞0的解是x ＞﹣a ，或x ＜1，由x ＜1或x ＞2，得到﹣a ＜2，符合p 是q 的充分不必要条件；若﹣a ＜1，即a ＞﹣1，不等式（x+a ）（x ﹣1）＞0的解是x ＞1，或x ＜﹣a ，∵p 是q 的充分不必要条件，q ：x ＜1或x ＞2，不满足P 是q 的充分条件； 综上得a 的取值范围是（﹣2，﹣1]． 故选：A ．【点评】考查充分不必要条件的概念，解一元二次不等式．分类讨论思想的应用．11．已知函数y=f （x ）是定义在实数集R 上的奇函数，f ′（x ）是f （x ）的导函数，且当x＞0，f （x ）+xf ′（x ）＞0，设a=（log 4）f （log4），b=f （），c=（lg ）f （lg ），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b【考点】导数的运算；函数单调性的性质；不等关系与不等式． 【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由已知想到构造函数F （x ）=xf （x ），求导后判断出其单调性，然后比较的绝对值的大小，最后借助于F （x ）是偶函数和其单调性得到答案．【解答】解：令F （x ）=xf （x ），∵函数y=f （x ）是定义在实数集R 上的奇函数，∴F （x ）为定义在实数集上的偶函数． 由F ′（x ）=f （x ）+xf ′（x ）， ∵当x ＞0，f （x ）+xf ′（x ）＞0， ∴F （x ）在（0，+∞）上为增函数．∵，，∴．则．即a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了导数的运算法则，训练了函数构造法，解答的关键是掌握偶函数的性质f（x）=f（|x|），是中档题．12．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sinπx的对称中心，可得=（）A．4025 B．﹣4025 C．8050 D．﹣8050【考点】函数的值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】函数（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，﹣2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣4，再利用倒序相加，即可得到结论．【解答】解：由题意要求的值，易知+=+= (2)所以函数（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，﹣2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣4∴=（﹣4×4025）=8050，故选D．【点评】本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=2，是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程．【解答】解：由于y=e2x，可得y′=2e2x，令x=0，可得y′=2，∴曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=2x，即y=2x+1故答案为：y=2x+1．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14．dx+=2π+1．【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数积分的公式以及积分的几何意义，即可得到函数的积分值．【解答】解：∵dx=lnx|=lne﹣ln1=1，的几何意义表示为y=对应上半圆的面积，即=，即dx+=2π+1；故答案为：2π+1【点评】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式以及积分的几何意义．15．已知，，则=．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】α+=（α+β）﹣（β﹣），进而通过正弦函数的两角和公式得出答案．【解答】解：已知，，，，∴，，∴===故答案为：﹣【点评】本题主要考查正弦函数两角和公式的运用．注意熟练掌握公式．16．设，，满足||=||=1，•=﹣，且﹣与﹣的夹角为60°，则||的最大值是2．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意易得向量与的夹角为120°，设=，=，=，易证A、O、B、C四点共圆，由正弦定理和圆的知识可得结论．【解答】解：∵||=||=1，•=﹣，∴向量与的夹角为120°，设=，=，=，则=，=，则∠ACB=60°，∴∠AOB+∠ACB=180°，∴A、O、B、C四点共圆，∵=，∴||==，由正弦定理可得外接圆直径2R==2，当OC为直径时，||取最大值2故答案为：2【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及正弦定理和圆的知识，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）通过x在[0，]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，∴sin（2x﹣），∴f（x）∈[﹣，1]，所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．18．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）a n=2n+1，可得b n=﹣=﹣=﹣，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，S n==n2+2n．（2）∵a n=2n+1，∴b n=﹣=﹣=﹣=﹣，因此T n=b1+b2+…+b n=﹣+…+=﹣=﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，可得sinC=cosC，结合C是三角形的内角，得出C=60°；（Ⅱ）利用三角函数间的关系将条件转化为：sinBcosA=3sinAcosA．再分两种情况cosA=0与cosA≠0讨论，利用正余弦定理，结合解方程组与三角形的面积公式，即可求得△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而3sin2A=6sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．【点评】本题着重考查了三角恒等变换、利用正弦定理和余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．20．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n+2n（n≥2，n∈N*）﹣1（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{的前n项之和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差关系的确定．【专题】计算题．+2n的两边同除以2n，利用等差数列的定义得到证明，利用对【分析】（I）在等式a n=2a n﹣1称数列的通项公式求出，进一步求出数列{a n}的通项公式．（II）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．+2n∴=【解答】解：（I）∵a n=2a n﹣1即∴数列是等差数列，公差为=1，首项为∴∴a n=（2n﹣1）•2n﹣1（II）S n=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1∴2S n=1•21+3•22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n两式相减得﹣S n=1+2•21+2•22+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）2n=（3﹣2n）•2n﹣3∴S n=（2n﹣3）•2n+3【点评】求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂相消法、分组法．21．设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导得到，由，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x0∈（3，4），进而得到n的值；（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x0∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，进而得到结论．【解答】解：（Ⅰ），∵x=2是函数f（x）的极值点，∴．∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=﹣1．…∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，令=，x∈（0，+∞），得x ＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2，所以f（x）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．…故函数f（x）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞），因为f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）=0，所以x0∈（3，4），故n=3．…（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则在x∈（1，e）上，有解，令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于，令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，…①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h （x）＞h（1）=0，不符合题意．②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．综上所述，当a＞1时，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．…【点评】本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．。
黑龙江省大庆实验中学2015届高三上学期期初考试物理试卷 Word版含答案
大庆实验中学2014-2015学年度上学期期初考试高三物理试题一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共计36分。
每题只有一个选项符合题意）1．足球运动员在射门时经常让球在前进时旋转，从而绕过前方的障碍物，这就是所谓的“香蕉球”，其轨迹在水平面上的投影如图，下列说法正确的是（ ）A ．研究球旋转前进时可以将球看成质点B ．球在空中做抛体运动C ．球在空中受到重力和空气对它的力D ．在月球上也可踢出“香蕉球”2．一质量为m 的物块恰好静止在倾角为θ的斜面上。
现对物块施加一个竖直向下的恒力F ，如图所示。
则物块 （ ）A ．仍处于静止状态B ．沿斜面加速下滑C ．受到的摩擦力不变D ．受到的合外力增大3．一辆汽车以10m/s 的速度沿平直公路匀速运动，司机发现前方有障碍物立即减速，以0.2m/s2的加速度做匀减速运动，减速后一分钟内汽车的位移是（）A．240m B 。
250m C 。
260m D 。
90m4．小明在跳高比赛中成功地跳过了横杆，若忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ ） A ．小明在下降过程中处于失重状态B ．小明起跳以后在上升过程处于超重状态C ．小明落地时地面对他的支持力等于他的重力D ．起跳过程地面对小明的作用力就是他对地面的作用力5．某人在平静的湖面上竖直上抛一小铁球，小铁球上升到最高点后自由下落，穿过湖水并陷入湖底的淤泥中一段深度。
不计空气阻力，取向上为正方向，在下面的图象中，最能反映小铁球运动过程的v-t 图象是（ ）6F 法中正确的是（ ）Ａ．物体对水平面的压力就是物体的重力Ｂ．拉力F 和水平面对物体的摩擦力是一对作用力和反作用力 Ｃ．物体受到四对平衡力的作用 Ｄ．物体受到的合外力为零7.长度为L=0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m=3.0Kg 的小球，如图所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是v=2.0m/s ，g取10m/s 2，则细杆此时受到( ) A ．6.0N 拉力 B ．6.0N 压力 C ．24N 拉力 D ．24N 压力8. 我国“嫦娥一号”探月卫星经过无数人的协作和努力，终于在2007年10月24日晚6点05分发射升空。
黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期期初考试试题 文(无答案)
大庆实验中学2014—2015学年度上学期期初考试高三数学(文科)试题参考公式： （1（2）2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中d c b a n +++=为样本容量．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的)1．复数11ii i-++等于（ ） A ．i - B ．1 C ．1- D ．02．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数3．函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（ ）A. ()20，B. (]20， C ．()∞+，2 D ．[)∞+，2 4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点5．已知流程图如右下图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，第n 个图形是由正2+n 边形“扩展”而来（1=n 、2、3、……），则在第n 个图形中共有（ ）个顶点.A ．)2)(1(++n nB ．)3)(2(++n nC ．2n D ．n 7．直线12+=x y 的参数方程是（ ）A.2221x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）B.⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C.⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数）D.)(1sin 2sin 为参数θθθ⎩⎨⎧+==y x8．在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是( )A. 1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()01， D ．()π，1 9．条件x x p =|:|，条件x x q -≥2:，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件10．若函数1()2ax f x x +=+在(2,)x ∈-+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0，∞- B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21， D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，11．奇函数)(x f 的定义域为R .若)2(+x f 为偶函数，且1)1(=f ，则=+)9()8(f f （ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．112．已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x ，)(')(x xf x f +0<成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，c b a f c ,,),81(log )81(log 22则⋅=的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期期初试卷 理(含解
黑龙江省大庆实验中学2015届高三上学期期初数学试卷（理科）一、选择题（每题5分共60分）1．（5分）已知A={x∈Z|﹣2＜x＜4}，B={x|≥1}，则A∩（∁R B）的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）A．B．C．D．3．（5分）由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（）A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．以上都不是4．（5分）已知幂函数f（x）=xα的部分对应值如下表：x 1f（x） 1则不等式f（|x|）≤2的解集是（）A．B．{x|0≤x≤4}C．D．{x|﹣4≤x≤4}5．（5分）已知函数f（x）=acosx+bx2﹣x，若f′（x0）=0则f′（﹣x0）=（）A．0 B．2a C．2b D．﹣26．（5分）由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种7．（5分）2014-2015学年高二年级计划从3名男生和4名女生中选3人参加某项会议，则选出的3人中既有男生又有女生的选法种数为（）A．24 B．30 C．60 D．908．（5分）某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．10 B．9 C．8 D．79．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣4510．（5分）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（，）B．（，11）C．（，12）D．（6，l2）11．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）12．（5分）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分共20分）13．（5分）为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男13 10女7 20已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到k=≈4.844．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为．14．（5分）已知0＜θ＜，由不等式tanθ+≥2，tanθ+=++≥3，tanθ+=+++≥4，…，启发我们得到推广结论：tanθ+≥n+1，则a=．15．（5分）若不等式bx+c+9lnx≤x2对任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，则实数c 的取值范围是．16．（5分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是．三、解答题（共70分）17．（12分）已知函数．（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；（2）解关于x的不等式f（x）＞a+3；（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．18．（12分）已知的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992，求（2x﹣）2n的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．19．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E （X）及方差D（X）．20．（12分）已知函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax（a∈R）（1）若f（x）在x=2处取得极值，求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间（0，1）内有极大值和极小值，求实数a的取值范围．21．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．22．（12分）已知关于x的函数（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．黑龙江省大庆实验中学2015届高三上学期期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分共60分）1．（5分）已知A={x∈Z|﹣2＜x＜4}，B={x|≥1}，则A∩（∁R B）的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：首先化简集合B求出其补集，然后与集合A进行交集运算．解答：解：B={x|≥1}={x|}={x|1＜x≤3}，∁R B={x|x≤1或，x＞3}，∴A∩（∁R B）═{x∈Z|﹣2＜x＜4}∩{x|x＜1或，x＞3}={﹣1，0，1}，∴A∩（∁R B）的元素个数为3个；故选：C．点评：本题考查了集合的交集、补集的运算，特别注意元素的属性．2．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数的代数形式的除法运算化简，求出实部和虚部，作积后得答案．解答：解：=，∴复数的实部为，虚部为，则复数的实部与虚部之积为．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（）A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．以上都不是考点：演绎推理的基本方法．专题：规律型；推理和证明．分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，可得结论．解答：解：根据平面与空间之间的类比推理方法，可知由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．故选B．点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．4．（5分）已知幂函数f（x）=xα的部分对应值如下表：x 1f（x） 1则不等式f（|x|）≤2的解集是（）A．B．{x|0≤x≤4}C．D．{x|﹣4≤x≤4}考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：先确定幂函数的解析式，再解不等式，可得结论．解答：解：设幂函数为f（x）=xα，则（）α=，∴α=，∴f（x）=x不等式f（|x|）≤2等价于|x|≤2，∴|x|≤4∴﹣4≤x≤4∴不等式f（|x|）≤2的解集是{x|﹣4≤x≤4}．故选D．点评：本题考查幂函数解析式的求法，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）=acosx+bx2﹣x，若f′（x0）=0则f′（﹣x0）=（）A．0 B．2a C．2b D．﹣2考点：导数的运算．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，令辅助函数g（x）=﹣asinx+2bx，得到，由f′（x0）=0求得，结合函数g（x）为奇函数可求得f′（﹣x0）的值．解答：解：由f（x）=acosx+bx2﹣x，得：，令g（x）=﹣asinx+2bx，∵g（﹣x）=﹣asin（﹣x）﹣2bx=asinx﹣2bx=﹣（﹣asinx+2bx）=﹣g（x），∴g（x）为奇函数．∵f′（x0）==0，∴．则f′（﹣x0）=．故选：D．点评：本题考查导数的运算，考查了函数奇偶性的性质，解答此题的关键是构造函数g（x）=﹣asinx+2bx，属中档题．6．（5分）由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：三人排成一排，有种排法，三人排好后有四个位置可以插入空座位，恰有两个空座位相邻，三个空座位在种插入方法，由此能求出恰有两个空座位相邻的不同坐法的种数．解答：解：三人排成一排，有种排法，三人排好后有四个位置可以插入空座位，∵恰有两个空座位相邻，∴三个空座位在种插入方法，∴恰有两个空座位相邻的不同坐法有=72种．故选：C．点评：本题考查恰有两个空座位相邻的不同坐法的种数的求法，是中档题，解题时要注意插空法的合理运用．7．（5分）2014-2015学年高二年级计划从3名男生和4名女生中选3人参加某项会议，则选出的3人中既有男生又有女生的选法种数为（）A．24 B．30 C．60 D．90考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况，分别求出这两种情况下的选法的数量，相加即得所求．解答：解：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况．若3人中有2男1女，则不同的选法共有 C42C31=18种，若3人中有1男2女，则不同的选法共有C41C32=12种，根据分类计数原理，所有的不同的选法共有 18+12=30种，故选：B．点评：本题主要考查组合及两个基本原理，组合数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．8．（5分）某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．10 B．9 C．8 D．7考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．得到考试的成绩ξ关于ξ=110对称，根据P（100≤ξ≤110）=0.35，得到P（ξ≥120）=0.15，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．解答：解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，∵P（100≤ξ≤110）=0.35，∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.35×2）=0.15，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×60=9．故选：B．点评：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．9．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣45考点：二项式定理．专题：计算题．分析：将1+x写成2﹣（1﹣x）；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1﹣x的指数为8，求出a8．解答：解：∵（1+x）10=[2﹣（1﹣x）]10∴其展开式的通项为T r+1=（﹣1）r210﹣r C10r（1﹣x）r令r=8得a8=4C108=180故选B点评：本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．10．（5分）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（，）B．（，11）C．（，12）D．（6，l2）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）=的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，结合图象求出a+b+c的范围即可．解答：解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，a∈（，1）b∈（1，3），c∈（3，9），由图象可知，当a变大时，b变小，c也变大，a+b+c=1+1+9=11当a变小时，b变大，c也变小，=故a+b+c的取值范围为（，11）故选：B．点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题．11．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．解答：解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x＜﹣2016，故选：C．点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．12．（5分）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（）A．B．C．D．考点：数列的应用；归纳推理．专题：计算题；压轴题；新定义；规律型．分析：根据每个数是它下一个行左右相邻两数的和，先求出第8、9、10三行的第2个数，再求出9、10两行的第3个数，求出第10行第4个数．解答：解：设第n行第m个数为a（n，m），据题意知，a（7，1）=，a（8，1）=，a（9，1）=，a（10，1）=，∴a（10，2）=a（9，1）﹣a（10，1）=，a（8，2）=a（7，1）﹣a（8，1）=，a（9，2）=a（8，1）﹣a（9，1）=，a（10，3）=a（9，2）﹣a（10，2）=，a（9，3）=a（8，2）﹣a（9，2）=，a（10，4）=a（9，3）﹣a（10，3）=．故选B．点评：本题考查通过观察分析归纳各数的关系，据关系求出各值，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．二、填空题（每题5分共20分）13．（5分）为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男13 10女7 20已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到k=≈4.844．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%．考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，根据4.844＞3.841，即可得到认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%．解答：解：∵根据表中数据，得到K2的观测值≈4.844．4.844＞3.841，∴认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%．故答案为：5%．点评：本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．14．（5分）已知0＜θ＜，由不等式tanθ+≥2，tanθ+=++≥3，tanθ+=+++≥4，…，启发我们得到推广结论：tanθ+≥n+1，则a=n n．考点：归纳推理；类比推理．专题：探究型．分析：由结论可知当n=1时，a=1，n=2时，a=22，当n=3时，a=33，然后利用归纳推理即可得到结论．解答：解：由已知不等式得到的推广结论tanθ+≥n+1，得当n=1时，a=1；n=2时，a=22；当n=3时，a=33；…由归纳推理可知，a=n n．故答案为：n n．点评：本题主要考查归纳推理的应用，要求利用已知几个不等式之间的关系得出规律．从而确定a的取值．15．（5分）若不等式bx+c+9lnx≤x2对任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，则实数c 的取值范围是（﹣∞，﹣9ln3]．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：将不等式恒成立，进行参数分离，利用导数求出函数的最值即可．解答：解：若不等式bx+c+9lnx≤x2对任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，则c≤x2﹣bx﹣9lnx恒成立即可，设f（x）=x2﹣bx﹣9lnx，则f′（x）=2x﹣b﹣=，设g（x）=2x2﹣bx﹣9，如图∵g（0）=﹣9＜0，判别式△=b2+72＞0，对称轴x=，所以由g（x）=0得x=＜0（舍去）或x=，即当x=时f（x）取得极小值，∵b∈（0，3），所以当b=3时，极小值点最小为x=，此时f（3）=32﹣3×3﹣9ln3=﹣9ln3，故c≤﹣9ln3，故答案为：（﹣∞，﹣9ln3]．点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法，结合导数是解决本题的根据，综合性较强，难度较大．16．（5分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是①③④．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a＞1；④已知函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D正确．解答：解：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③④．点评：利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．三、解答题（共70分）17．（12分）已知函数．（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；（2）解关于x的不等式f（x）＞a+3；（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=4时，利用基本不等式即可求函数f（x）的最小值；（2）根据一元二次不等式的解法即可解关于x的不等式f（x）＞a+3；（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，利用参数分离，然后求函数的最值，即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）∵a=4，∴，当x=2时，取得等号，∴当x=2时，f（x）min=6．（2）由题意得，∴x2+2x+a＞（a+3）x，∴x2﹣（a+1）x+a＞0，∴（x﹣1）（x﹣a）＞0，当a≤1，不等式的解为x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），当a＞1，不等式的解为x＞a，即不等式的解集为（a，+∞）．（3），等价于a＞﹣x2﹣2x，当x∈[1，+∞）时恒成立，令g（x）=﹣x2﹣2x，则当x∈[1，+∞）时，g（x）的最大值为g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴a＞﹣3．点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决此类问题的基本方法．18．（12分）已知的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992，求（2x﹣）2n的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）根据的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992，对x进行赋值，令x=1，即可得到关于n的方程：22n﹣2n=992，求出n，根据二项式系数的性质即可求出二项式系数最大的项（2）利用两边夹定理，设出第r+1项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式，即可求解解答：解：由题意知：22n﹣2n=992，解得n=5．（1）的展开式中第6项的二项式系数最大，即（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，因为=（﹣1）r C10﹣r x10﹣2r10r2则，得即解得所以r=3，故系数的绝对值最大的项是第4项即点评：本题通过赋值法求出n，根据二项式系数的性质，同时利用两边夹定理进行求解，属于基础题．19．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E （X）及方差D（X）．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件A1，A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；（Ⅱ）写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）．解答：解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P（A2）=0.003×50=0.15，P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X～B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．点评：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法．20．（12分）已知函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax（a∈R）（1）若f（x）在x=2处取得极值，求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间（0，1）内有极大值和极小值，求实数a的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）利用导数在极值点处的值为0，求出a；令导函数大于0求出x的范围为单调递增区间．（2）利用二次方程实根的分布，结合二次函数的图象，从判别式、对称轴与区间的位置关系、区间端点值的正负，列出不等式求出a的范围．解答：解：f′（x）=x2+（a﹣1）x+a（1）∵f（x）在x=2处取得极值∴f′（2）=0∴4+2（a﹣1）+a=0∴∴=令f′（x）＞0则∴∴函数f（x）的单调递增区间为（2）∵f（x）在（0，1）内有极大值和极小值∴f′（x）=0在（0，1）内有两不等根对称轴∴即∴点评：本题考查导数在极值点处的值为0；解决二次方程的实根分布应该从判别式、对称轴与区间的位置关系、区间端点值的正负加以限制．21．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）把ρsin2θ=4cosθ化为直角坐标方程为y2=4x，可得曲线C的形状．（Ⅱ）根据直线l过点（1，0）和点（0，1），可得直线l的斜率为﹣1，倾斜角α=，把直线l的参数方程代入y2=4x化简，利用韦达定理求得AB=|t1﹣t2|的值．解答：解：（Ⅰ）由ρsin2θ=4cosθ可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x，从而曲线C的形状是顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线．（Ⅱ）∵直线l过点（1，0）和点（0，1），∴直线l的斜率为﹣1，从而其倾斜角α=，∴直线l的参数方程为（t为参数），代入y2=4x，化简可得，设点A、B对应的参数分别为t1、t2，则 t1+t2=﹣6，t1•t2=2，∴．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，韦达定理的应用，参数的几何意义，属于基础题．22．（12分）已知关于x的函数（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=﹣1时，求函数f（x）的导数，利用导数判定f（x）的单调性与极值并求出；（Ⅱ）求F（x）的导数，利用导数判定F（x）的单调性与极值，从而确定使F（x）没有零点时a的取值．解答：解：（Ⅰ），x∈R．当a=﹣1时，f（x），f'（x）的情况如下表：x （﹣∞，2） 2 （2，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以，当a=﹣1时，函数f（x）的极小值为﹣e﹣2．（Ⅱ）．①当a＜0时，F（x），F'（x）的情况如下表：x （﹣∞，2） 2 （2，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗因为F（1）=1＞0，若使函数F（x）没有零点，需且仅需，解得a＞﹣e2，所以此时﹣e2＜a＜0；②当a＞0时，F（x），F'（x）的情况如下表：x （﹣∞，2） 2 （2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣f（x）↗极大值↘因为F（2）＞F（1）＞0，且，所以此时函数F（x）总存在零点．综上所述，所求实数a的取值范围是{a|﹣e2＜a＜0}．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值情况，以及根据函数的单调性和极值讨论函数的零点问题，是易错题．。
黑龙江省大庆高三上学期期初考试数学(理)试题Word版含答案
大庆实验中学高三上学期期初考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知{}{}{}6,2,4,1,3,4,6U x N x P Q =∈<==，则()U C P Q ⋂=（ ） A. {}3,4B. {}3,6C. {}1,3D. {}1,42．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i 1i z -=+，则z 的共轭复数是（ ）A. 1B. 1-C. iD.i -3．命题“3,30x R x x ∀∈->”的否定为（ ）A. 330x R x x ∀∈-≤，B. 330x R x x ∀∈-<，C. 330x R x x ∃∈-≤，D. 330x R x x ∃∈->，4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为A.53钱 B.32钱 C.43钱 D.54钱 5.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A. 323B.643C. 16D. 32(5题图) (7题图) 6．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种7.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ． 6k ≤8.已知函数()cos (0)6f x x ωπωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移3π个单位而得 B. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移6π个单位而得D. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位而得9.已知三棱锥A BCD -的四个顶点,,,A B C D 都在球O 的表面上， ,BC CD AC ⊥⊥平面BCD ，且2AC BC CD ===，则球O 的表面积为 （ ）A. 4πB. 8πC. 16πD.10．若直线mx+ny+2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆()()22311x y +++=的弦长为2，则13m n+ 的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 12D. 1611.设双曲线22221x y a b-=（0b a <<）的半焦距为c ，()(),0,0,a b 为直线l 上两点，已知原点到直线l ，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．或2 C ．2或D ．212.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '， x R ∀∈，有()()2f x f x x-+=，在()0,+∞上()f x x '<，若()()22220f m f m m m -+--+-≥，则实数m 的取值范围为（ ）A. []1,1-B. [)1,+∞C. [)2,+∞ D.][(),22,-∞-⋃+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()2,3a =， ()1,2b =-，若a b μ+与2a b -平行，则μ等于__________．14.若()5234501234521x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为___________．15. 变量x ， y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值__________．16.已知抛物线2:4C y x =焦点为F ，直线MN 过焦点F 且与抛物线C 交于M N 、两点，P 为抛物线C 准线l 上一点且PF MN ⊥，连接PM 交y 轴于Q 点，过Q 作QD MF ⊥于点D ，若2MD FN =，则MF =__________． 三、解答题（本大题共70分 ）（一）必考题共60分17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22 n S n n n N =+∈，，数列{}n b 满足24log 3n n a b n N =+∈，. （1）求 n n a b ，； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .18．（12分）近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望.参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.下面的临界值仅供参考：19. （12分） 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ， 2PA AD ==，BD =(1)求证： BD ⊥平面PAC ；(2)求二面角P CD B --余弦值的大小；20. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点)，且经过点⎛-⎝⎭，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 在x 轴的上方）（1）求椭圆C 的方程；（2）若2AM MB =，且直线l 与圆224:7O x y +=相切于点N ，求MN 的长.21. （12分）已知函数()()()2242xf x x e a x =-++（a R ∈,e 是自然对数的底数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程； （2）当0x ≥时，不等式()44f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。
黑龙江省大庆实验中学高三上学期12月月考数学试卷(理科) Word版含解析
2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1}D．{0}2．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B．a、b、c三个实数中最多有两个小于零C．a、b、c三个实数中至少有两个小于零D．a、b、c三个实数中至少有一个不大于零3．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项4．若两个正数a，b满足2a+b＜4，则的取值范围是（）A．{z|﹣1≤z≤1}B．{z|﹣1≥z或z≥1} C．{z|﹣1＜z＜1}D．{z|﹣1＞z或z＞1}5．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]6．a，b，c∈R+，设S=，则下列判断中正确的是（）A．0＜S＜1 B．1＜S＜2 C．2＜S＜3 D．3＜S＜47．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．8．如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则=（）A．B．C．D．9．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．410．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面ACDEC．三棱锥′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直11．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b12．函数f（x）=+的性质：①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为[，+∞）；④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）A．①③B．③④C．②③D．②④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知与的夹角为60°，且，求．14．在等式++=1的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是．15．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′分别交于M，N两点，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个结论：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②直线AC∥平面MENF始终成立；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常数；以上结论正确的是．16．关于x的不等式（ax﹣1）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．18．已知命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解．若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，BD⊥CF，且FA⊥AD，EF∥AD，EF=AF=a．（Ⅰ）求证：平面ADEF垂直于平面ABCD；（Ⅱ）若P、Q分别为棱BF和DE的中点，求证：PQ∥平面ABCD；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．21．函数f（x）=x2+mln（x+1）．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=﹣1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜成立．22．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1}D．{0}【考点】交集及其运算．【分析】利用特殊角的三角函数值确定出A中的元素，求出B中方程的解得到x的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={cos0°，sin270°}={1，﹣1}，B={x|x2+x=0}={x|x（x+1）=0}={﹣1，0}，∴A∩B={﹣1}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B．a、b、c三个实数中最多有两个小于零C．a、b、c三个实数中至少有两个小于零D．a、b、c三个实数中至少有一个不大于零【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，由此得出结论．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，故应假设的内容是：a、b、c三个实数中至少有两个小于零．故选：C．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．3．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n ＞2）”时的过程中，由n=k 到n=k +1时，不等式的左边（ ）A ．增加了一项B ．增加了两项C ．增加了两项，又减少了一项D ．增加了一项，又减少了一项【考点】数学归纳法．【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“++…+＞（n ＞2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n 项，当由n=k 到n=k +1时，项数也由k 变到k +1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．【解答】解：，=故选C【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设P （n ）是关于自然数n 的命题，若1）（奠基） P （n ）在n=1时成立；2）（归纳） 在P （k ）（k 为任意自然数）成立的假设下可以推出P （k +1）成立，则P （n ）对一切自然数n 都成立．4．若两个正数a ，b 满足2a +b ＜4，则的取值范围是（ ）A ．{z |﹣1≤z ≤1}B ．{z |﹣1≥z 或z ≥1}C ．{z |﹣1＜z ＜1}D ．{z |﹣1＞z 或z ＞1}【考点】基本不等式．【分析】如图所示，画出可行域即为2z=表示可行域内的点P （a ，b ）与Q（1，﹣2）所在直线的斜率的2倍．分别求出直线OQ ，BQ 的斜率即可．【解答】解：由，即为2z=表示可行域内的点P（a，b）与Q（1，﹣2）所在直线的斜率的2倍，∵k OQ=﹣2，k QB==2，∴z＜﹣1或z＞1，故选：D．【点评】本题考查了线性规划的可行域、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的能力，属于中档题．5．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx==，由题意知，则T=π，∴ω=，∴，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x．其图象如图：由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，，∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．6．a，b，c∈R+，设S=，则下列判断中正确的是（）A．0＜S＜1 B．1＜S＜2 C．2＜S＜3 D．3＜S＜4【考点】反证法与放缩法．【分析】要判断所给的式子的范围，观察式子的特点，分母是一个利用四个字母中的三个做分母的题目，采用放缩法把三个字母的和变化为这四个字母的和，在把所得的结果相加，得到结论，同时以两个为一组，进行放缩，得到式子小于2，得到结果．【解答】解：＞=即S＞1，，，，得，即，得S＜2，所以1＜S＜2．故选B．【点评】本题考查放缩法求解一个式子的取值范围，是一个典型的放缩法，两端都可以变化，可大可小，这种问题经常出现在高考卷中的大型综合题目中．7．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．【考点】等差数列的性质．【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则=（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【分析】根据图象的规律可得出通项公式a n，根据数列{}的特点可用列项法求出=，将n=2014代入可得答案．【解答】解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3，即a n=3n﹣3，令S n==++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴=，故选：B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和求和问题．属基础题．9．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．4【考点】棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．【分析】本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．【解答】解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选C．【点评】本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．10．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面ACDEC．三棱锥′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确．【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查了空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查了空间想象能力．11．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+xf′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．【点评】本题考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．12．函数f（x）=+的性质：①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为[，+∞）；④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）A．①③B．③④C．②③D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①因为函数不是奇函数，所以错误．②利用函数对称性的定义进行判断．③利用两点之间线段最短证明．④利用函数的值域进行判断．【解答】解：①因为f（﹣x）=+≠﹣f（x），所以函数不是奇函数，所以图象关于原点不对称，所以错误．②因为f（3﹣x）=+=+，所以f（x）的图象关于x=对称，所以②正确．③由题意值f（x）≥f（），而f（）=+=，所以f（x）≥，即函数f（x）的值域为[，+∞），正确．④设f（x）=t，则方程f[f（x）]=1+，等价为f（t）=1+，即t=0，或t=3．因为函数f（x）≥，所以当t=0或t=3时，不成立，所以方程无解，所以④错误．故正确的说法为：②③故选：C【点评】本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的分析能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知与的夹角为60°，且，求0或2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把两边平方，代入已知化为关于||d 的一元二次方程求解．【解答】解：由与的夹角为60°，且，得，即，∴，得，解得||=0或||=2．故答案为：0或2．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础题．14．在等式++=1的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是 64 ．【考点】基本不等式．【分析】设依次填入的三个数分别为x 、y 、z ，根据柯西不等式，即可得到（x +y +z ）（++）≥（1+3+4）2=64，问题得以解决．【解答】解：设依次填入的三个数分别为x 、y 、z ，则根据柯西不等式，得 （x +y +z ）（++）≥（1+3+4）2=64．∴x=8，y=24，z=32时，所求最小值为64．故答案为：64．【点评】本题考察了柯西不等式，掌握柯西不等式是关键，属于基础题．15．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′分别交于M ，N 两点，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个结论：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′； ②直线AC ∥平面MENF 始终成立；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常数；以上结论正确的是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．【分析】利用直线与平面垂直的判定定理判断①的正误；直线与平行判断②的正误；分析说明函数的单调性判断③的正误；求出几何体的体积即可判断④的正误．【解答】解：对于①：显然，EF⊥BD，又EF⊥DD′，∴EF⊥平面BDD′B′，∴平面MENF⊥平面BDD′B′；∴①正确；对于②：由已知条件，E、F是所在棱的中点，则EF∥ac，且EF⊂平面MENF，AC⊄平面MENF，∴直线AC∥平面MENF始终成立，故②正确；对于③：M在A时，N在D′，MENF的周长最大，MN在所在棱的中点时，MENF的周长最小，M在B′，N在B时，MENF的周长最大，四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]不是单调函数．故③不正确；对于④：连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常函数，所以④正确．综上，正确的有①②④．故答案为：①②④．【点评】本题重点考查了空间中平行和垂直关系的判断和性质等知识，命题真假的判定，属于中档题16．关于x的不等式（ax﹣1）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是a≤﹣或a=e．【考点】函数恒成立问题．【分析】分类讨论，将不等式转化，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：a＜0，则lnx+ax≤0，令y=lnx+ax，则y′=+a，∴0＜x＜﹣时，y′＞0，x＞﹣时，y′＜0∴x=﹣时，函数取得最大值ln（﹣）﹣1，∵lnx+ax≤0，∴ln（﹣）﹣1≤0，∴a≤﹣；a=0时，则lnx≤0，在（0，+∞）上不恒成立，不合题意；a＞0时，或，a=e，综上，a≤﹣或a=e．【点评】本题考查求实数a的取值范围，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．【考点】余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵sin2C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）①又a2+b2=6abcosC=3c2cosC②由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（2）=sin（ωx﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴∴ω=2∴f（x）=sin（2x﹣）∴f（A）=sin（2A﹣）∵＜A＜，∴0＜2A﹣＜∴0＜sin（2A﹣）≤1∴0＜f（A）≤．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解．若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．△＞0，可得f（﹣2）f（2）≤0，解得a范围．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解，可得a≤．由命题“p且q”是假命题，可得p与q都是假命题．即可得出．【解答】解：命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．△=a2+8＞0，∴f（﹣2）f（2）=（2﹣2a）（2+2a）≤0，解得a≥1，或a≤﹣1．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解，∴a≤=﹣3．∵命题“p且q”是假命题，∴p与q都是假命题．∴，解得﹣1＜a＜1．∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．【点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出b n．（Ⅲ）=n（3n+1）=n3n+n，所以T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②②﹣①得：，=2（3n+1+1），b n+1故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（Ⅲ）=n（3n+1）=n3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…∴数列{c n }的前n 项和…【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．20．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，BD ⊥CF ，且FA ⊥AD ，EF ∥AD ，EF=AF=a ．（Ⅰ）求证：平面ADEF 垂直于平面ABCD ；（Ⅱ）若P 、Q 分别为棱BF 和DE 的中点，求证：PQ ∥平面ABCD ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC ，推导出BD ⊥AC ，从而FA ⊥平面ADEF ，由此能证明平面ADEF 垂直于平面ABCD ．（Ⅱ）作PS ⊥AB ，QT ⊥AD ，EM ⊥AD ，S ，T ，M 是垂足，推导出四边形PSTQ 是平行四边形，从而PQ ∥ST ，由此能证明PQ ∥平面ABCD ．（Ⅲ）多面体ABCDEF 的体积V 多面体ABCDEF =V F ﹣ABCD +V C ﹣DEF ，由此能求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，AF ⊥AD ，平面ABCD ∩平面ADEF=AD ，∴FA ⊥平面ADEF ，∴平面ADEF 垂直于平面ABCD ． （Ⅱ）作PS ⊥AB ，QT ⊥AD ，EM ⊥AD ，S ，T ，M 是垂足，在△ABF 中，PS ：AF=BP ：BF=1：2，PS=AF ，在直角梯形ADEF 中，QT=EM=AF ，∴PSQT ，∴四边形PSTQ 是平行四边形，∴PQ ∥ST ， ∵ST ⊂平面ABCD ，∴PQ ∥平面ABCD ． 解：（Ⅲ）多面体ABCDEF 的体积： V 多面体ABCDEF =V F ﹣ABCD +V C ﹣DEF==．【点评】本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．函数f （x ）=x 2+mln （x +1）．（1）若函数f （x ）是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若m=﹣1，试比较当x ∈（0，+∞）时，f （x ）与x 3的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式e 0+e ﹣1×4+e ﹣2×9+…+e ＜成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【分析】（1）分f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立两种情况；（2）令m=﹣1，通过求导，得g（x）=f（x）﹣x3在（0，+∞）上单调递减，从而得证；（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），变形为（x ∈（0，+∞）），相加计算即可．【解答】解：（1）根据题意，由=，可知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．下面分两种情况讨论：①当f′（x）=≥0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≥在（﹣1，+∞）上恒成立，故m≥；②当f′（x）=≤0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≤在（﹣1，+∞）上恒成立．∵在（﹣1，+∞）上没有最小值，∴不存在实数m使f′（x）＜0在（﹣1，+∞）上恒成立．综上所述，实数m的取值范围是[）；（2）当m=﹣1时，即函数f（x）=x2﹣ln（x+1）．令g（x）=f（x）﹣x3=﹣x3+x2﹣ln（x+1），则=，显然，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有g（x）＜g（0）=0，即f（x）﹣x3＜0恒成立，故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），所以，即（x∈（0，+∞）），当x取自然数时，有（n∈N*），所以e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）=1×n+1+2+3+4+…+n==．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．22．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1求出函数的导数，利用切线与已知直线垂直，列出方程，即可求解a的值．（2）求出g'（x），列出求解函数的极值点的方程，利用韦达定理，化简g（x1）﹣g（x2），构造新函数，通过新函数的导数求解函数的最值．【解答】解：（1）直线x+2y=0的斜率为﹣；故在x=1处的切线的斜率为2；f′（x）=1+，故f′（1）=1+a=2；解得，a=1．（2）=x+lnx+x2﹣bx，x＞0∴g′（x）=1++x﹣b=令g′（x）=0，得x2﹣（b﹣1）x+1=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∴g（x1）﹣g（x2）=（x1+lnx1+x12﹣bx1）﹣（x2+lnx2+x22﹣bx2）=ln+（x12﹣x22）﹣（b﹣1）（x1﹣x2）=ln+（﹣），∵0＜x1＜x2，设t=，（0＜t＜1）设h（x）=lnt﹣（t﹣），则h′（x）=﹣（1+）=﹣＜0∴（x1+x2）2==t++2≥∵0＜t＜1，∴9t2﹣82t+9≥0解0＜≤t，∴h（t）≥h（）=ln﹣（﹣9）=﹣ln9∴g（x1）﹣g（x2）的最小值﹣ln9【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法韦达定理以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．。
大庆实验中学高三上学期期末考试数学试卷(理)
大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）期末考试第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2,12B y y x x ==--≤≤，则AB 等于（ ）A ．RB ．{}0C ．{},0x x R x ∈≠ D ．∅ 2. 化简224(1)ii ++的结果是（ ） A.2i + B.2i -+ C.2i - D.2i -- 3. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）A ．32 B.323 C.48 D. 1634. 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A. 2133b c - B.5233c b - C. 2133b c +D.1233b c +5. 若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=2，则双曲线的离心率（ ）2 3 C.2 D.23 6.函数f (x )＝sin()x ω(ω>0)在区间[0,]4π上单调递增，在区间[,]43ππ上单调递减，则ω为( ) A.1 B.2 C ．32D ．237.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在2[2,3]a a --上的偶函数，那么a ＋b 的值是 ( ) A ．3B. －1C. －1或3D ．18. 已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) A. {}23x x << B. {}23x x x ≤≥或 C. 1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D.1132x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或9. 已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是（ ）A.1[,)2+∞ B. 1[,)3+∞ C.1(,)3+∞ D. 1(,)2+∞10. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，则三棱锥C ABD -的外接球表面积为（ ） A. 16π B. 12π C. 8π D. 4π11. 已知数列{}n c 的前n 项和为n T ，若数列{}n c 满足各项均为正项，并且以(,)n n c T (n ∈N *)为坐标的点都在曲线2,022a aay x x b a =++（为非常数）上运动，则称数列{}n c 为“抛物数列”.已知数列{}n b 为“抛物数列”，则（ ）A. {}n b 一定为等比数列B. {}n b 一定为等差数列C.{}n b 只从第二项起为等比数列D. {}n b 只从第二项起为等差数列 12. 已知函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上处处可导，若[()()]tan ()0f x f x x f x '--<，则（ ） A.33(ln )sin(ln )22f 一定小于550.6(ln )sin(ln )22fB. 33(ln )sin(ln )22f 一定大于550.6(ln )sin(ln )22fC. 33(ln )sin(ln )22f 可能大于550.6(ln )sin(ln )22fD. 33(ln )sin(ln )22f 可能等于550.6(ln )sin(ln )22f第II 卷(非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.） 13. 圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为 .14. 已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2),则tan （α＋β）= .15. 已知函数2()20f x x ax =++ (a ∈R )，若对于任意0x >，f (x )≥4恒成立，则a 的取值范围是________. 16.在平面直角坐标系中，设,,M N T 是圆C :22(1)4x y -+=上不同三点，若存在正实数,a b ，使得CT aCM bCN =+，则3221a ab ab b a++++的取值范围为 . 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.) 17.（本小题满分10分） 在ABC ∆中，tan 2tan A AB ACB AC-=.(1)求tan A ；(2)若1BC =，求AC AB ⋅的最大值，并求此时角B 的大小.18. （本小题满分12分）已知直线:(3)(1)40l t x t y +-+-=（t 为参数）和圆22:68160C x y x y +--+=； （1）t R ∈时，证明直线l 与圆C 总相交；（2）直线l 被圆C 截得弦长最短，求此弦长并求此时t 的值.19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，1AA AC ⊥，M 、N 分别为棱1AA 、1CC 的中点.（1）求证：直线MN ⊥平面1B BD ；（2）已知1AA AB =，1AA AB ⊥，取线段11C D 的中点Q ，求二面角Q MD N --的余弦值.20．（本小题满分12分）设数列{a n }满足12n a a a +++＋2n ＝11(1)2n a ++，n ∈N *，且a 1＝1．(1)求证数列{}2n n a +是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和n S .21．（本小题满分12分）已知椭圆C 与椭圆E ：22175x y +=共焦点，并且经过点A ，(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在椭圆C 上任取两点P Q 、，设PQ 所在直线与x 轴交于点(,0)M m ，点1P 为点P 关于轴x 的对称点，1QP 所在直线与x 轴交于点(,0)N n ，探求mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()xxf x e be -=+，（b R ∈），函数()2sing x a x =，（a R ∈）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若1b =-，()(),(0,)f x g x x π>∈，求a 取值范围.参考答案一、选择题BCBCA BABDC BA二、填空题 13. 22(1)1x y ++= 14.1 15. [-8，＋∞) 16. (2,)+∞三、解答题17. 由正弦定理知sin cos 2sin sin ,sin cos sin A B C BB A B-=即sin cos sin cos 2sin ,sin cos sin B A A B CB A B +=sin()2sin 1,cos ,sin cos sin 2A B C A B A B +∴=∴=0,,tanA 3A A ππ<<∴== （2)在ABC ∆中，2222cos ,BC AC AB AC AB A =+-⋅且1,BC =221,AC AB AC AB ∴=+-⋅222,12,AC AB AC AB AC AB AC AB +≥⋅∴≥⋅-⋅即1AC AB ⋅≤，当且仅当1AC AB ==时，AC AB ⋅取得最大值1， 此时3B π=18. 解：（1）直线总过定点(2,2)，该点在圆内，所以直线l 与圆C 总相交. （2）73t =-，最短弦长为4. 19. （1）证明：关键步骤：1,MN BD MN BB ⊥⊥,则1MN BB D ⊥.（2）由已知可得四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，易求得面MDN 的一个法向量为11(,,1)22n =-，(0,1,2)Q ，则面QMD 的一个法向量为1(,2,1)2m =-，则314cos ,14n m <>=Q MD N --的余弦值为. 20. (1) 解 由条件可得25a =.∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n ，则1123(2)n nn n a a +++=+，又2a ＋4＝9，知11232n n nn a a +++=+（2n ≥），经计算当1n =时，221232a a +=+也成立，所以{}2n na+是首项为3，公比为3的等比数列，(2)法一：由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1直接可得11113222n n n S ++=⋅-+ 法二：直接求和公式.21. 解：（1）22142x y +=（2）当PQ 斜率不存在时，不合题意.故设PQ 为y kx b =+，(0,0k b ≠≠),则(,0)bM k-，设点11(,)P x y ，则111(,)P x y -，设22Q(,)x y ，则1PQ 方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则121211221121212112121212()()()2()()2()2y x x x y x y x kx b x kx b kx x b x x n x y y y y k x x b k x x b-++++++=+===++++++ 由22142x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)4240k x kbx b +++-=，则 2121222424,1212kb b x x x x k k -+=-=++.则22121222122()4844()2424kx x b x x kb k kb kk x x b k b b k b b++--==-++-++， 故4(,0)kN b-，所以 4.mn =所以mn 是定值，定值为4. 22. 解：（1）2()()x xxxe bf x e bee --'=-=①当0b ≤时，()0f x '≥，所以()f x 的增区间为(,)-∞+∞； ②当0b >时，减区间为1(,lnb),2-∞增区间为1(lnb,)2+∞. （2）由题意得2sin 0,(0,)xxe ea x x π--->∈恒成立，构造函数()2sin x x h x e e a x -=--，(0,)x π∈显然0a ≤时，2sin 0,(0,)x x e e a x x π--->∈恒成立，下面考虑0a >时的情况.(0)0h =，()2cos x x h x e e a x -'=+-，(0)22h a '=-当01a <≤时，()0h x '≥，所以()2sin xxh x e ea x -=--在(0,)π为增函数，所以()(0)0h x h >=，即01a <≤满足题意；当1a >时，(0)220h a '=-<，又()02h π'>，所以一定存在0(0,)2x π∈，0()0h x '=，且0()0,(0,)h x x x '<∈，所以()h x 在0(0,)x 单调递减，所以()(0)0h x h <=，0(0,)x x ∈，不满足题意.综上，a 取值范围为(,1]-∞.。
黑龙江省大庆市实验中学高三数学上学期开学试卷文(含解析)
2015-2016学年黑龙江省大庆市实验中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A．（1，2）B．{2} C．{﹣1，2} D．{1，2}2．（5分）（2015广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．（5分）（2015湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣14．（5分）（2015大庆三模）执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M处的条件为（）A．k＜64？B．k≥64？C．k＜32？D．k≥32？5．（5分）（2016洛阳二模）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．6．（5分）（2016宁波模拟）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β7．（5分）（2015福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+2B．11+2C．14+2D．158．（5分）（2015大庆三模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．2 C．4 D．89．（5分）（2015大庆三模）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π10．（5分）（2015泉州校级模拟）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣11．（5分）（2015秋单县校级月考）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=112．（5分）（2015大庆三模）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）13．（5分）（2014春海淀区期中）在△ABC中，AB=，AC=1，∠A=30°，则△ABC的面积为．14．（5分）（2004上海）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为．15．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为．16．（5分）（2016成都校级二模）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点．则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015重庆）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．18．（12分）（2015广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．（12分）（2015大庆二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2．（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求三棱锥A﹣C1CD的体积．20．（12分）（2015商丘三模）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．21．（12分）（2015大庆三模）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数），h（x）=1﹣x﹣xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求h（x）的最大值；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．四.请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.[选修4-1，几何证明选讲]22．（10分）（2015河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016南通模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5；不等式选讲]24．（2015河北）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015-2016学年黑龙江省大庆市实验中学高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A．（1，2）B．{2} C．{﹣1，2} D．{1，2}【分析】求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中方程变形得：（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2，即A={1，2}，∵B={x|x＞﹣1}，∴A∩B={1，2}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【分析】利用完全平方式展开化简即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算；注意i2=﹣1．3．（5分）（2015湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）（2015大庆三模）执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M处的条件为（）A．k＜64？B．k≥64？C．k＜32？D．k≥32？【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=64时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为63，从而可判断M处的条件为：k≥64？【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0不满足条件，S=1，k=2不满足条件，S=3，k=4不满足条件，S=7，k=8不满足条件，S=15，k=16不满足条件，S=31，k=32不满足条件，S=63，k=64由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为63．故可判断M处的条件为：k≥64？故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2016洛阳二模）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．（5分）（2016宁波模拟）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【分析】可通过线面垂直的性质定理，判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质，判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义，即可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D．【解答】解：A．若α⊥β，a⊥α，a⊄β，b⊄β，b⊥α，则a∥b，故A错；B．若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，则a∥b，故B错；C．若b⊥β，α∥β，则b⊥α，又a⊂α，则a⊥b，故C正确；D．若α⊥β，b∥β，设α∩β=c，由线面平行的性质得，b∥c，若a∥c，则a∥b，故D 错．故选C．【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面、面面平行、垂直的判定和性质，熟记这些是迅速解题的关键．7．（5分）（2015福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+2B．11+2C．14+2D．15【分析】判断出该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可．【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，∴侧面为（4）×2=8，底面为（2+1）×1=，故几何体的表面积为8=11，故选：B．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状．8．（5分）（2015大庆三模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．2 C．4 D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2x﹣y 的最大值．【解答】解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A（4，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，将A的坐标代入z=2x﹣y，得z=2×4﹣0=8，即目标函数z=2x﹣y的最大值为8．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．（5分）（2015大庆三模）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π【分析】根据题意，可将棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，∴可将棱柱ABC﹣AA1B1C1补成长方体，长方体的对角线=4，即为球的直径，∴球的直径为4，∴球的表面积为4π×22=16π，故选：D．【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（5分）（2015泉州校级模拟）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣【分析】由题意可得OC=，OP=，∠AOP=45°，运用向量的三角形法则和向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得AB=，OC=，OP=，∠AOP=45°，则=（﹣）=﹣=（）2﹣1×=﹣．故选：B．【点评】本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，属于基础题．11．（5分）（2015秋单县校级月考）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=1【分析】设椭圆的右焦点为F′，由|OP|=|OF|及椭圆的对称性知，△PFF′为直角三角形；由勾股定理，得|PF′|；由椭圆的定义，得a2；由b2=a2﹣c2，得b2；然后根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程．【解答】解：由题意可得c=2，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|===8，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，于是 b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以椭圆的方程为+=1．故选：C．【点评】本题属容易题，主要考查了椭圆的定义及其几何特征．对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a，b，c的三个方程，这样才能确定a2，b2，属于中档题．12．（5分）（2015大庆三模）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．【解答】解：∵定义域为R的奇函数y=f（x），∴F（x）=xf（x）为R上的偶函数，F′（x）=f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．F（）=a=f（）=F（ln），F（﹣2）=b=﹣2f（﹣2）=F（2），F（ln）=c=（ln）f（ln）=F（ln2），∵ln＜ln2＜2，∴F（ln）＜F（ln2）＜F（2）．即a＜c＜b故选：D【点评】本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）13．（5分）（2014春海淀区期中）在△ABC中，AB=，AC=1，∠A=30°，则△ABC的面积为．【分析】直接利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：S△ABC=ABACsinA=××1×=．故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．注意熟练掌握正弦定理及其变形公式的灵活运用．14．（5分）（2004上海）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5 ．【分析】要求圆的标准方程，即要找到圆心坐标和半径，根据图形可知圆心坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出圆心到A的距离即为圆的半径，然后根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：根据垂径定理可得AB的垂直平分线y=﹣3过圆心，而圆心过x=2，则圆心坐标为（2，﹣3），圆的半径r=|AC|==，则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2=5【点评】此题考查学生灵活运用垂径定理及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．15．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为3+2．【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2时，y=log a1﹣1=﹣1，∴函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0， +=（+）（2m+n）=3++≥3+2，当且仅当=时取等号， +的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．16．（5分）（2016成都校级二模）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点．则实数a的取值范围是（，）．【分析】方法一：g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点可化为|lnx|﹣ax=0在区间（0，4）上有三个不同的解，令令a==；讨论函数的取值即可，方法二：首先，画出函数y=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，4）上有三个零点，进行判断【解答】解：方法一：∵g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，∴|lnx|﹣ax=0在区间（0，4）上有三个不同的解，令a==；则当0＜x＜1时，﹣的值域为（0，+∞）；当1≤x＜4时，a=在[1，e]上是增函数，0≤≤，在[e，4）上是减函数，≤≤；故当a∈（，）时，有三个不同的解．方法二：函数y=|lnx|的图象如图示：当a≤0时，显然，不合乎题意，当a＞0时，如图示当x∈（0，1]时，存在一个零点，当x＞1时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]）g′（x）=﹣a=，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，此时f（x）必须在（1，4）上有两个交点，∴，解得，≤a＜，在区间（0，3]上有三个零点时，故实数a的取值范围为（，），故答案为：（，）．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的取值的关系应用，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015重庆）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{b n}前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知条件得：，解得．代入等差数列的通项公式得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．设{b n}的公比为q，则，从而q=2，故{b n}的前n项和．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．18．（12分）（2015广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19．（12分）（2015大庆二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2．（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求三棱锥A﹣C1CD的体积．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明A1C⊥平面BB1D1D；（2）根据三棱锥的条件公式，即可求三棱锥A﹣C1CD的体积．【解答】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD，∵A1O∩AC=0，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥A1C，由已知A1A=2，AC=2，又AO=OC，A1O⊥AC，∴A1A=A1C=2，A1A2=A1C2=AC2，∴A1C⊥A1A，∵B1B∥A1A，∴A1C⊥B1B，∵BD∩B1B=B，∴A1C⊥平面BB1D1D．（2）连结A1C1，∵AA1∥C1C，且AA1=C1C，∴四边形ACC1A1是平行四边形，∴A1C1∥AC，三棱锥A﹣C1CD的体积===×=．【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥的体积的计算，要求熟练掌握空间线面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式．20．（12分）（2015商丘三模）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．【分析】（Ⅰ）通过△OAB的面积为，求出，然后求出抛物线的方程．（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，求出三角形的面积；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x﹣4），与抛物线联立，然后求出三角形的面积，推出S△OCD最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…（2分）代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2=8x…（6分）（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x﹣4），代入抛物线，得ky2﹣8y﹣32k=0，y1+y2=，y1y2=32，，综上S△OCD最小值为．…（12分）【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）（2015大庆三模）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数），h（x）=1﹣x﹣xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求h（x）的最大值；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到切线方程；（Ⅱ）求出函数的导数，求得单调区间和极值，进而得到最值；（Ⅲ）结合（Ⅱ）的结论，以及指数函数的单调性即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=，得f（1）=，f′（x）=，所以k=f′（1）=0，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=．（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x＞0．所以h′（x）=﹣lnx﹣2．令h′（x）=0得，x=e﹣2．因此当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．所以h（x）在x=e﹣2处取得极大值，也是最大值．h（x）的最大值为h（e﹣2）=1+e﹣2．（Ⅲ）证明：因为g（x）=x f′（x），所以g（x）=，x＞0，g（x）＜1+e﹣2等价于1﹣x﹣xlnx＜e x（1+e﹣2）．由（Ⅱ）知h（x）的最大值为h（e﹣2）=1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，只需证明x＞0时，e x＞1成立，这显然成立．所以1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜e x（1+e﹣2）．因此对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．四.请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.[选修4-1，几何证明选讲]22．（10分）（2015河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CEBE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016南通模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．[选修4-5；不等式选讲]24．（2015河北）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得 [2a+1﹣]（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期开学考试试题 理
大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）开学考试第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．42.若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π4.如图，若依次输入的x 分别为5π6、π6，相应输出的y 分别为y 1、y 2，则y 1、y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定5.已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5D.526．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则a <b 的概率为( )A.45B.35C.25D.157.若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈)是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3 C.3π2D.5π38. 若函数2()log (2)(0,1)a f x x x a a =+>≠在区间1(0,)2内恒有()0,f x >则()f x 的单调增区间为（ ） A.B.C.D.9.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为45的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC1D．210.函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）1(,)2-∞-11. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为( )A.2π3＋12B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋1212. 已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++, R λ∈, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心第Ⅰ卷(非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.） 13. 圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________.14. 设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值 ．15. 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列{1x n}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.2006(,,,_____.x x S x S ==16.在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.) 17.（本小题满分12分）已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．18. （本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中任取3所学校做进一步数据分析，①求取出的3所学校中没有小学的概率；②设取出的小学个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在点P ，P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2都与圆C 相切.若存在，求P 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）函数1()ln ,x e f x x-=数列{}n a 满足111,()n n a a f a +==. （1）试求()f x 的单调区间；（2）求证：数列{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
【精选高中试题】黑龙江省大庆高三上学期期初考试数学(理)试题Word版含答案
大庆实验中学高三上学期期初考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知{}{}{}6,2,4,1,3,4,6U x N x P Q =∈<==，则()U C P Q ⋂=（ ） A. {}3,4B. {}3,6C. {}1,3D. {}1,42．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i 1i z -=+，则z 的共轭复数是（ ）A. 1B. 1-C. iD. i -3．命题“3,30x R x x ∀∈->”的否定为（ ）A. 330x R x x ∀∈-≤，B. 330x R x x ∀∈-<，C. 330x R x x ∃∈-≤，D. 330x R x x ∃∈->，4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为A.53钱 B.32钱 C.43钱 D.54钱 5.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A. 323B.643C. 16D. 32(5题图) (7题图)6．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种7.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ． 6k ≤8.已知函数()cos (0)6f x x ωπωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ） A. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移3π个单位而得 B. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移6π个单位而得D. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位而得9.已知三棱锥A BCD -的四个顶点,,,A B C D 都在球O 的表面上， ,BC CD AC ⊥⊥平面BCD ，且2AC BC CD ===，则球O 的表面积为 （ ）A. 4πB. 8πC. 16πD.10．若直线mx+ny+2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆()()22311x y +++=的弦长为2，则13m n+ 的 最小值为（ ）A. 4B. 6C. 12D. 1611.设双曲线22221x y a b-=（0b a <<）的半焦距为c ，()(),0,0,a b 为直线l 上两点，已知原点到直线l ，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．或2 C ．2或D ．212.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '， x R ∀∈，有()()2f x f x x-+=，在()0,+∞上()f x x '<，若()()22220f m f m m m -+--+-≥，则实数m 的取值范围为（ ）A. []1,1-B. [)1,+∞C. [)2,+∞D. ][(),22,-∞-⋃+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()2,3a =， ()1,2b =-，若a b μ+与2a b -平行，则μ等于__________． 14.若()5234501234521x a a x a x a x a x a x +=+++++，则01234a a a a a a -+-+-的值为___________．15. 变量x ， y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值__________．16.已知抛物线2:4C y x =焦点为F ，直线MN 过焦点F 且与抛物线C 交于M N 、两点， P 为抛物线C 准线l 上一点且PF MN ⊥，连接PM 交y 轴于Q 点，过Q 作QD MF ⊥于点D ，若2MD FN =，则MF =__________．三、解答题（本大题共70分 ）（一）必考题共60分17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22 n S n n n N =+∈，，数列{}n b 满足24l o g 3 n n a b n N =+∈，.（1）求 n n a b ，； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .18．（12分）近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望.参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.下面的临界值仅供参考：19. （12分）如图，四棱锥P ABCD-的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，2PA AD==，BD=(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求二面角P CD B--余弦值的大小；20. （12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点)，且经过点⎛-⎝⎭，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于,A B两点（点A在x轴的上方）（1）求椭圆C的方程；（2）若2AM MB=，且直线l与圆224:7O x y+=相切于点N，求MN的长.21. （12分）已知函数()()()2242xf x x e a x=-++（a R∈, e是自然对数的底数）.（1）当1a=时，求曲线()y f x=在点()()0,0P f处的切线方程；（2）当0x≥时，不等式()44f x a≥-恒成立，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。
(全优试卷)黑龙江省大庆高三上学期期初考试数学(理)试题Word版含答案
大庆实验中学高三上学期期初考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知{}{}{}6,2,4,1,3,4,6U x N x P Q =∈<==，则()U C P Q ⋂=（ ）A. {}3,4B. {}3,6C. {}1,3D. {}1,42．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i 1i z -=+，则z 的共轭复数是（ ）A. 1B. 1-C. iD.i -3．命题“3,30x R x x ∀∈->”的否定为（ ）A. 330x R x x ∀∈-≤，B. 330x R x x ∀∈-<，C. 330x R x x ∃∈-≤，D. 330x R x x ∃∈->，4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为A.53钱 B.32钱 C.43钱 D.54钱 5.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A. 323B.643C. 16D. 32(5题图) (7题图) 6．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种7.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ． 6k ≤8.已知函数()cos (0)6f x x ωπωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移3π个单位而得 B. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移6π个单位而得D. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位而得9.已知三棱锥A BCD -的四个顶点,,,A B C D 都在球O 的表面上， ,BC CD AC ⊥⊥平面BCD ，且2AC BC CD ===，则球O 的表面积为 （ ）A. 4πB. 8πC. 16πD.10．若直线mx+ny+2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆()()22311x y +++=的弦长为2，则13m n+ 的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 12D. 1611.设双曲线22221x y a b-=（0b a <<）的半焦距为c ，()(),0,0,a b 为直线l 上两点，已知原点到直线l ，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．或2 C ．2或D ．212.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '， x R ∀∈，有()()2f x f x x-+=，在()0,+∞上()f x x '<，若()()22220f m f m m m -+--+-≥，则实数m 的取值范围为（ ）A. []1,1-B. [)1,+∞C. [)2,+∞ D.][(),22,-∞-⋃+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()2,3a =， ()1,2b =-，若a b μ+与2a b -平行，则μ等于__________． 14.若()5234501234521x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为___________．15. 变量x ， y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值__________．16.已知抛物线2:4C y x =焦点为F ，直线MN 过焦点F 且与抛物线C 交于M N 、两点，P 为抛物线C 准线l 上一点且PF MN ⊥，连接PM 交y 轴于Q 点，过Q 作QD MF ⊥于点D ，若2MD FN =，则MF =__________． 三、解答题（本大题共70分 ）（一）必考题共60分17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22 n S n n n N =+∈，，数列{}n b 满足24log 3n n a b n N =+∈，. （1）求 n n a b ，； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .18．（12分）近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望.参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.下面的临界值仅供参考：19. （12分） 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ， 2PA AD ==，BD =(1)求证： BD ⊥平面PAC ；(2)求二面角P CD B --余弦值的大小；20. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点)，且经过点⎛- ⎝⎭，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 在x 轴的上方）（1）求椭圆C 的方程；（2）若2AM MB =，且直线l 与圆224:7O x y +=相切于点N ，求MN 的长.21. （12分）已知函数()()()2242x f x x e a x =-++（a R ∈, e 是自然对数的底数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程； （2）当0x ≥时，不等式()44f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。
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大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）期末考试第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2,12B y y x x ==--≤≤，则AB 等于（ ）A ．RB ．{}0C ．{},0x x R x ∈≠ D ．∅2. 化简224(1)ii ++的结果是（ ） A.2i + B.2i -+ C.2i - D.2i -- 3. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ） A ．32 B.323C.48D. 1634. 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A. 2133b c -B.5233c b -C. 2133b c + D.1233b c +5. 若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率（ ）A.2B.3C.22D.23 6.函数f (x )＝sin()x ω(ω>0)在区间[0,]4π上单调递增，在区间[,]43ππ上单调递减，则ω为( )A.1B.2 C ．32D ．237.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在2[2,3]a a --上的偶函数，那么a ＋b 的值是 ( ) A ．3B. －1C. －1或3D ．18. 已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) A. {}23x x << B. {}23x x x ≤≥或C. 1132xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D.1132x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或9. 已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）A.1[,)2+∞ B. 1[,)3+∞ C.1(,)3+∞ D. 1(,)2+∞10. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，则三棱锥C ABD -的外接球表面积为（ ） A. 16π B. 12π C. 8π D. 4π11. 已知数列{}n c 的前n 项和为n T ，若数列{}n c 满足各项均为正项，并且以(,)n n c T (n ∈N *)为坐标的点都在曲线2,022a aay x x b a =++（为非常数）上运动，则称数列{}n c 为“抛物数列”.已知数列{}n b 为“抛物数列”，则（ ）A. {}n b 一定为等比数列B. {}n b 一定为等差数列C.{}n b 只从第二项起为等比数列D. {}n b 只从第二项起为等差数列12. 已知函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上处处可导，若[()()]tan ()0f x f x x f x '--<，则（ ）．A.33(ln )sin(ln )22f 一定小于550.6(ln )sin(ln )22fB. 33(ln )sin(ln )22f 一定大于550.6(ln )sin(ln )22fC. 33(ln )sin(ln )22f 可能大于550.6(ln )sin(ln )22fD. 33(ln )sin(ln )22f 可能等于550.6(ln )sin(ln )22f第Ⅰ卷(非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.） 13. 圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为 . 14. 已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2),则tan （α＋β）= .15. 已知函数2()20f x x ax =++ (a ∈R )，若对于任意0x >，f (x )≥4恒成立，则a 的取值范围是________.16.在平面直角坐标系中，设,,M N T 是圆C :22(1)4x y -+=上不同三点，若存在正实数,a b ，使得CT aCM bCN =+，则3221a ab ab b a++++的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.) 17.（本小题满分10分） 在ABC ∆中，tan 2tan A AB ACB AC-=.(1)求tan A ；(2)若1BC =，求A C A B ⋅的最大值，并求此时角B 的大小.18. （本小题满分12分）已知直线:(3)(1)40l t x t y +-+-=（t 为参数）和圆22:68160C x y x y +--+=； （1）t R ∈时，证明直线l 与圆C 总相交；（2）直线l 被圆C 截得弦长最短，求此弦长并求此时t 的值.19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，1AA AC ⊥，M 、N 分别为棱1AA 、1CC 的中点.（1）求证：直线MN ⊥平面1B BD ；（2）已知1AA AB =，1AA AB ⊥，取线段11C D 的中点Q ，求二面角Q MD N --的余弦值. 20．（本小题满分12分）设数列{a n }满足12n a a a +++＋2n ＝11(1)2n a ++，n ∈N *，且a 1＝1．(1)求证数列{}2nn a +是等比数列；(2)求数列{a n}的前n 项和nS.21．（本小题满分12分）已知椭圆C 与椭圆E ：22175x y +=共焦点，并且经过点6(1,)2A ， (1)求椭圆C 的标准方程；(2)在椭圆C 上任取两点P Q 、，设PQ 所在直线与x 轴交于点(,0)M m ，点1P 为点P 关于轴x 的对称点，1QP 所在直线与x 轴交于点(,0)N n ，探求mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()xxf x e be -=+，（b R ∈），函数()2sing x a x =，（a R ∈）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若1b =-，()(),(0,)f x g x x π>∈，求a 取值范围.参考答案一、选择题BCBCA BABDC BA二、填空题 13. 22(1)1x y ++= 14.1 15. [-8，＋∞) 16. (2,)+∞ 三、解答题17. 由正弦定理知sin cos 2sin sin ,sin cos sin A B C BB A B-= 即sin cos sin cos 2sin ,sin cos sin B A A B CB A B += sin()2sin 1,cos ,sin cos sin 2A B C A B A B +∴=∴=0,,tanA 33A A ππ<<∴==（2)在ABC ∆中，2222cos ,BC AC AB AC AB A =+-⋅且1,BC =221,AC AB AC AB ∴=+-⋅222,12,AC AB AC AB AC AB AC AB +≥⋅∴≥⋅-⋅即1AC AB ⋅≤，当且仅当1AC AB ==时，AC AB ⋅取得最大值1， 此时3B π=18. 解：（1）直线总过定点(2,2)，该点在圆内，所以直线l 与圆C 总相交.（2）73t =-，最短弦长为4. 19. （1）证明：关键步骤：1,MN BD MN BB ⊥⊥,则1MN BB D ⊥.（2）由已知可得四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，易求得面MDN 的一个法向量为11(,,1)22n =-，(0,1,2)Q ，则面QMD 的一个法向量为1(,2,1)2m =-，则314cos ,14n m <>=，所以二面角Q MD N --的余弦值为31414. 20. (1) 解 由条件可得25a =.∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n，则1123(2)n nn n a a +++=+，又2a ＋4＝9，知11232n n nn a a +++=+（2n ≥），经计算当1n =时，221232a a +=+也成立，所以{}2n na+是首项为3，公比为3的等比数列，(2)法一：由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1直接可得11113222n n n S ++=⋅-+ 法二：直接求和公式.21. 解：（1）22142x y +=（2）当PQ 斜率不存在时，不合题意.故设PQ 为y kx b =+，(0,0k b ≠≠),则(,0)bM k-，设点11(,)P x y ，则111(,)P x y -，设22Q(,)x y ，则1PQ 方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则121211221121212112121212()()()2()()2()2y x x x y x y x kx b x kx b kx x b x x n x y y y y k x x b k x x b-++++++=+===++++++由22142x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)4240k x kbx b +++-=，则 2121222424,1212kb b x x x x k k -+=-=++.则22121222122()4844()2424kx x b x x kb k kb kk x x b k b b k b b++--==-++-++， 故4(,0)kN b-，所以 4.mn =所以mn 是定值，定值为4. 22. 解：（1）2()()x xxxe bf x e bee--'=-= ①当0b ≤时，()0f x '≥，所以()f x 的增区间为(,)-∞+∞； ②当0b >时，减区间为1(,lnb),2-∞增区间为1(lnb,)2+∞.（2）由题意得2sin 0,(0,)x xe ea x x π--->∈恒成立， 构造函数()2sin xxh x e e a x -=--，(0,)x π∈显然0a ≤时，2sin 0,(0,)xxe ea x x π--->∈恒成立，下面考虑0a >时的情况.(0)0h =，()2cos x x h x e e a x -'=+-，(0)22h a '=-当01a <≤时，()0h x '≥，所以()2sin xxh x e ea x -=--在(0,)π为增函数，所以()(0)0h x h >=，即01a <≤满足题意；当1a >时，(0)220h a '=-<，又()02h π'>，所以一定存在0(0,)2x π∈，0()0h x '=，且0()0,(0,)h x x x '<∈，所以()h x 在0(0,)x 单调递减，所以()(0)0h x h <=，0(0,)x x ∈，不满足题意.综上，a 取值范围为(,1]-∞.。
黑龙江省大庆实验中学第一学期高三期中考试数学试卷(理)
2013届黑龙江省大庆实验中学第一学期高三期中考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>,则M N =A ．φB ．{|03}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|23}x x <<2．若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为A ．1B ．2C ．1或2D ．-13．若函数f （x ）是幂函数，且满足()()1654f f =，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．15B ．15-C ．5D ．5-4．函数)112lg()(--=xx f 的图象关于 A ．y 轴对称B ．直线1=x 对称C ．点（1，0）对称D ．原点对称5．函数3()31f x x x =+-在以下哪个区间内一定有零点A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)6．已知向量(2,3),(cos ,sin )a b θθ==,且//a b ,则tan θ=A ．32 B ．23- C ．23 D ．32- 7．由直线x ＝－π3，x ＝0，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为A ．32B ．12C ． 3D ．18．当()3,4x ∈时，不等式()()2log 230a x x -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[)2,+∞B ．．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦9．若ABC ∆ 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且 3450OA OB OC ++=，则 OC AB⋅的值为A ．65-B ．15-C ．15D ．6510．函数()sin xy e x ππ=-≤≤的大致图像为11．已知函数321,,112()111,0,362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，函数()()sin 2206x g x a a a π=-+>，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()12()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是A ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数⎩⎨⎧≥+-<-=,0,46,0|,)lg(|)(3x x x x x x f 若关于x 的函数1)()(2+-=x bf x f y 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是A ．),2(+∞B ．),2[+∞C ．)417,2( D ．]417,2( 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．函数()()()[]2 )0( 20x8)(-⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=f f x x x x x f 则＝ ．14．若实数x ，y 满足不等式组330230210x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =15．若直线y x =是曲线3231y x x ax =-+-的切线，则a 的值为 ．16．给出下列四个命题：①如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题； ②已知向量a ，b 满足1,4a b ==，且2a b ⋅=，则a 与b 的夹角为6π； ③若函数()1f x +是奇函数，()1f x -是偶函数，且()02f =，则()2012f =2； ④已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，函数44()log (2)3x g x a a =⋅-，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是()1,+∞．其中正确命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，且()01f =．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若在区间[]1,1-上，()y f x =的图像恒在2y x m =+的图像上方，求实数m 的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数()01)(2≠++=a bx ax x f 是奇函数，并且函数()x f 的图象经过点()3,1．（Ⅰ）求实数b a ,的值； （Ⅱ）求函数()x f 的值域．19．（本题满分12分）已知函数2()(21)(R xf x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在[]1,1-上单调递减，求a 的取值范围．20．（本题满分12分）设函数()()221f x x bx c c b =++<<，()10f =，方程()10f x +=有实根．（Ⅰ）证明：13-≤<-c ，且0≥b ；（Ⅱ）若m 是方程()01=+x f 的一个实根，判断()4-m f 的正负并加以证明． 21．（本题满分12分）已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R ． （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．22．（本题满分12分）设函数2()ln 2f x x x x =-+，（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使()f x 在[,]a b 上的值域是[(2),(2)]k a k b ++，求k 的取值范围。
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大庆实验中学2014-2015学年度高三暑期期初考试数学试题（理科）一、选择题（每题5分共60分）1．已知{|24}A x Z x =∈-<<，2{|1}1B x x =≥-，则()R AC B 的元素个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4 2．若i 是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（ ）B3．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ）A. 归纳推理B. 类比推理C. 演绎推理D 以上都不是 4．已知幂函数αx xf =)(的部分对应值如下表： 则不等式2)(≤x f 的解集是( )． A ．{x|－4≤x ≤4} B ．{x|0≤x ≤4} C ．{x|≤x D.{x|0<x }5．已知函数2()cos fx a x bx =+，若0()0f x '=则0()f x '-=（ ） A 、0 B 、2a C 、2b D 、-6．由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ） A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．96种7．高二年级计划从3名男生和4名女生中选3人参加某项会议，则选出的3人中既有男生又有女生的选法种数为（ ）A ．24B ．30C ．60D ．908．某班有60名学生，一次考试后数学成绩()110,102N ξ~,若()1001100.35P ξ≤≤=，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．79．已知(1＋x)10＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2(1－x)2＋…＋a 10(1－x)10，则a 8＝( ) A ．－180 B ．180 C ．45 D ．－45 10．已知函数f （x ）=331,0321,3og x x og x x ⎧<≤⎪⎨->⎪⎩，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c 的取值范围为（ ） A ．（2032,33） B ．（19,113） C ．（193，12） D ．（6，l2） 11．设函数()f x ）是定义在（一∞，0）上的可导函数，其导函数为()x f ',且有()()22x x f x x f >'+,则不等式()()()024*********>--++f x f x 的解集为( )A,()2012,-∞- B.()02012，- C.()2016,-∞- D. ()02016，- 12．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n 行有n 个数且两端的数均为1n(n ≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如11=12+12,12=13+16,13=14+112,则第10行第4个数(从左往右数)为()A.11260B. 1504C. 1840D.1360二、填空题（每题5分共20分）13.为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：已知P(K 2≥3.841)≈0.05，P(K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K 2＝()250132010723272030⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为______．14．已知0＜θ＜，由不等式tan θ+≥2，tan θ+=++≥3，tan θ+=+++≥4，…，启发我们得到推广结论：tan θ+≥n+1，则a= _________ ．15.若不等式29ln bx c x x ++≤对任意的()0+x ∈∞，，()03b ∈，恒成立，则实数c 的取值范围是 ．16．已知函数f(x)＝2,021,0x e x ax x -⎧-≤⎨->⎩， (a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1； ②函数f (x)在R 上是单调函数；③若f(x)＞0在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有1212()()()22x x f x f x f ++<其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)． 三、解答题（共70分）17．（12分）已知函数f(x)＝22x x ax＋＋，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．18．（12分）已知)22nx+的展开式的二项式系数的和比(3x －1)n的展开式的二项式系数和大992,求(2x －1x)2n的展开式中: (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．19. （12分） 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .20. （12分）已知函数3211()(1)()32f x x a x ax a R =+-+∈. （1）若()f x 在2x =处取得极值，求()f x 的单调递增区间； （2）若()f x 在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a 的取值范围. 21．（10分）已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<） （1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； （2）若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长22．（12分）已知关于x 的函数()(0)exax a f x a -=≠ （1）当1a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 取值范围.参考答案二、选择题（每题5分共60分）CBBAD,CBBBB,CC二、填空题（每题5分共20分）13. 5% 14. n n 15. (]9ln3-∞-， 16. ①③④ 三、解答题：（共70分）17、（12分）解：(1)由a ＝4，则f(x)＝224x x x＋＋＝x ＋4x ＋2≥6，当x ＝2时，取得等号．即当x ＝2时，f(x)min ＝6.(2)x ∈[1，＋∞)，22x x ax＋＋ >0恒成立，即x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a>0恒成立．等价于a>－x 2－2x ，当x ∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)，从而 a>g(x)max ＝－1－2×1＝－3，即a>－3. 所以a 的取值范围是()3,-+∞.18、（12分）解：由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，∴2n＝32，解得n ＝5．(1)由二项式系数的性质知，1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项的二项式系数最大即510252C =．∴()55555610101228064T C x C x ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭．(2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大，∴()()1010102110101212rr r r r r x r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．∴101101101010110110102222r r r r r r r r C C C C ---+-+-+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩ 得110101101022r r r r C C C C -+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，即1122110r r r r -≥⎧⎨+≥-⎩， 解得81133r ≤≤ ∵r ∈Z ，∴r ＝3． 故系数的绝对值最大的是第4项，3744410215360T C x x =-=- 19、（12分）解： （1）设天未来，个日销售，个日销售量3{B }50{A }100{A 21=== 里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个}.因108.0215.06.06.0B P 15.050003.0A P 6.050002.0004.0006.0A P 21=⨯⨯⨯==⨯==⨯++=）（）（）（）（X 可能的取值为0,1,2,3，相应的概率为216.06.03P 432.06.016.02P 288.06.016.01P 064.06.010P 333223213303=⋅===-⋅⋅===-⋅⋅===-⋅==C X C X C X C X ）（）（）（）（）（）（）（分布列为:72.06.016.03D 8.16.03E 6.0,3B ~=-⨯⨯==⨯=）（）（，）（），所以（因为X X X 20、（12分）解：（1）∵3211()(1)32f x x a x ax =+-+，∴2'()(1)f x x a x a =+-+， ∵()f x 在2x =处取得极值，∴'(2)0f =，即242(1)03a a a +-+=⇒=-，∴2521'()()(2)333f x x x x x =--=+-，令'()0f x >，则1()(2)03x x +->，∴13x <-或2x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1(,)3-∞-，(2,)+∞；（2） ∵()f x 在(0,1)内有极大值和极小值 ∴2'()(1)f x x a x a =+-+在(0,1)内有两不等零点，而二次函数2'()(1)f x x a x a =+-+，其对称轴12a x -=-， 可结合题意画出'()f x 的大致示意图：∴2(1)401012'(0)0'(1)20a a a f a f a ⎧∆=-->⎪-⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪=>⎪⎩，解得03a <<-， ∴实数a的取值范围是(0,3-.21、（10分）解：（1）曲线C 的直角坐标方程为x y 42=， 故曲线C 是顶点为O （0，0），焦点为F(1,0)的抛物线；（2）直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos t y t x ( t 为参数，0≤α＜π) 故l 经过点（0，1）；若直线l 经过点(1,0)，则43πα=∴直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-==t t y t t x 22143sin 12243cos ππ（t 为参数）代入x y 42=，得02262=++t t 设A 、B 对应的参数分别为21,t t ， 则2,262121=-=+t t t t ∴21221214)(t t t t t t AB -+=-==822．（12分）解：（1）2e (2)(2)()(e )e x x xa x a x f x ----'==，x ∈R .当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2()e f x -=-. （2）(2)()()xa x F x f x --''==. 当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：因为F (1)=1＞0, 若使函数F (x )没有零点，需且仅需2(2)10eaF =+>， 解得2e a >-, 所以此时2e 0a -<<；当0a >时，(),'()F x F x 的情况如下表：因为(2)(1)0F F >>,且10110101110e 10e 10(1)0eeaaaF a------=<<，所以此时函数()F x 总存在零点. （或：当2x >时，()F x =()111,e xa x -+>当2x <时，令()F x =()110,exa x -+<即()1e 0,xa x -+<由于()()21e 1e ,x a x a x -+<-+令()21e 0,a x -+<得21e x a <-，即21e x a<-时()0F x <，即2x <时()F x 存在零点.）综上所述，所求实数a 的取值范围是2e 0a -<<.。