22.2.2公式法(1)(2)
22.2.2 降次--解一元二次方程(公式法)
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案
年级： 九年级 学科： 数学 命题人： 王金涛 审核人： 叶书生
东 辛 店 中 学 验 标 题
（满分： 50+20 时间： 10 分钟 成绩： ）
必做题：（共5题，每题10分）
1、方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式是 ，求根公式是 。
2、方程()()1422-=-+x x x 化为一般形式得 ，其中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，用求根公式求得方程的两根=1x ，=2x 。
3、方程 ()()
22312+-=+x x x x 化简整理后，写出 ()002≠=++a c bx ax 的形式，其中a = ，b = ，c = 。
4、用公式法解下列方程：
（1）1382-=x x
（2）()()43213-+=-x x x
选做题：（共2题，每题10分）
1、（2012·德州）若关于x 的方程()0222
=+++a a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是 。
2、用长为100cm 的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不能是（ ）
A 2325cm
B 2500cm
C 2625cm
D 2
800cm。
22.2.2公式法
1 x 4 x 7 0; 2 2 2 x 2 2 x 1 0; 2 3 5 x 3x x 1; 2 4 x 17 8 x
2
随堂练习
请同学们马上完成课本12页第1题.（限时10分钟） 请同学们核对答案：
32 32 , x2 1 x1 2, x2 3 2 x1 2 2 3 15 3 15 3 , x2 3 x1 4 x1 0, x2 3 3 2 2 14 2 14 , x2 5 x1 3, x2 3 6 x1 2 2
2 b 4ac （2） b2－4ac=0，此时 =0，由得，方程有两个相等的实数根 2 4a
x1 x 2
b ; 2a
2 b 2 4ac b x ﹤0，而x取任何实 （3）b2－4ac=0，此时 4a 2 ﹤0，由可知 2a
b 数都不能使 x ﹤0，因此方程无实数根 2a
当堂测试
1
1、下列方程中，有两个不等实数根的是（ 2 B． A．
D）
x 3x 8
2
C．
7 x 14 x 7 0
9 m 2
D．
x 5x 10 x2 7 x 5x 3
2
2、当m满足
时，关于x的方程
x2－4x+m－
1 2
= 0有两个
不相等的实数根．
3、如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数 1 k 且k 0 根，那么k的取值范围是 . 4
2
ax bx c 0 a 0
2
有两个相等的实数根； 无实数根； 我们可以不解 方程判断出根 的情况！
解一元二次方程(公式法)课件
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程
ax2 bx c 0（a 0）有两个相等的实数根．
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程
ax2 bx c 0（a 0）无实数根．
2．求根公式
ax2 bx c 0(a 0) ax2 bx c 0(a 0)
（x
b ）2 2a
b2
4ac 4a2
方程右边的值有哪些情况呢？ 从而方程的解的个数及解的情况又 如何呢？说说你的想法。
因为a≠0,4a2＞0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0） 有两个不相等的实数根．
x1 b
x b b2 4ac 2a
3．知识归纳
方程 ax2 bx c 0(a 0)
x b b2 4ac 2a
x1
x2
b ; 2a
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根. 3、代入求根公式 : x b b2 4ac ；
1.探究新知
问题：我们知道，任意一个一元 二次方程都可以转化为一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
你能用配方法得出它的解吗？试试看！
解： 移项，得 ax2 bxc
二次项系数化为1，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b
2
2a
c a
b
2
22.2.2 一元二次方程的解法公式法(2)
5.已知关于x的方程 ax 4 x 1 0 (1)当a取什么值时,方程有两个不相等的实数根; (2)当a取什么值时,方程有两个相等的实数根; (3)当a取什么值时,方程没有实数根.
6.已知关于x的一元二次方程
mx 3m 1 x 2m 1 0 （ ）
2
其根的判别式的值为1,求m的值及方程的根.
2
9.若关于x的方程 实数根，求k的取值范围为
10、已知关于x的一元二次方程(k-1）x2-
有
有实数根，求k的取值范围
k
1 x+ =0 4
8、已知关于x的方程ax 2a 1 x a 1 0， （ ） （ ）
2
根据下列条件分别求出a的值。
（1）方程有一个根是0；
（2）方程有两个相等的实数根；
b b 2 4ac x 2a (1) 9 1 3 2 2 4
x1 1 1 x2 2
(2)将方程化为一般形式 2x 6x 3 0
2
a2
2
b6
2
c3
b 4ac 6 4 2 3 12 0
结 果 约 分
b b 4ac 6 2 3 x 2a 2 2 3 3 3 3 x1 x2 2 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、 的值。
2、求出
b 4ac 的值
2
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
x 4、写出方程的解： x1、 2
用公式法解下列方程： 5 2 1.x1 ; x2 1. （） x 3x 5 0 12
22.2.2公式法-解一元二次方程
b 2a
.
(3)当 b 4 ac＜ 0 时 ， 方 程 无 实 数 根
当 b 4 a c≥ 0 时 ， 方 程 方 程 方 程 ax + b x + c 0 （ a ≠ 0）
2 2
的实数根可写为x
b
2
b 4ac
2
的形式，
2a 这 个 式 子 叫 做 方 程 ax + b x + c 0 （ a ≠ 0） 的 求 根 公 式 。
练 习 4 ： 若 方 程 2 x -8 x + m = 0 有 解 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 （ ）
练 习 5： 设 m 是 实 数 ， 求 证 ： 方 程 ( x - 1 ) ( x - 2 ) = m 有两个不相等的实数根。
2
体验中考
【解析】
奋斗就是生活，人生只有前进. ——巴金
式 子 b 4 a c叫 做 ax + b x + c= 0 （ a ≠ 0 ） 跟 的 判 别 式 ，
2 2
通 常 用 希 腊 字 母 表 示 它 ， 即 b 4 a c.
2
例 题 1:用 公 式 法 求 方 程 2x +7 x=4 的 解 解 ： 原 方 程 可 化 为 2 x + 7 x -4 = 0 , a= 2 ,b = 7 ,c= -4 = b 4 a c 7 4 x 2 -4 = 8 1＞ 0
2
（ 3） 3 x -2 3 x + 1 = 0
2
(4 )4 x x + 1 0
2
例 题 2： 不 解 方 程 ， 判 断 下 列 方 程 的 根 的 情 况 。 (1) x (5 x 2 1) 2 0 (2) x 9 6 x
22.2.2一元二次方程 的解法(因式分解法)
(2)(2a 3)2 (a 2)(3a 4)
(1)(4x 3)2 (x 3)2
解：移项，得 (4x 3)2 (x 3)2 0, (4x 3 x 3)(4x 3 x 3) 0 5x(3x 6) 0,
5x 0或3x 6 0, x1 0, x2 2.
什么？ 直接开平方法
2、用直接开平方法来解的方程有什 么特征?
A2 a a 0
1.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
2.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
———提公因式和平方差
太乙中学
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想
重 重点：用因式分解法解一元二次 点 方程 难 难点：正确理解AB=0A=0或 点 B=0（ A、B表示两个因式）
复习引入: 1、已学过的一元二次方程解法有
3x+1+ 5 =0或3x+1－ 5 =0
∴ x1=
１
3
5 １
, x2= 3
5
(3) 2y2 3y
解：2 y2 3y 0 y( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
32 y1 0, y2 2 .
(4)x2 x
解：方程的两边同时除以x，得
x 1.
原方程的解为x 1.
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0
x1
5 3
,
22.2.2公式法解一元二次方程(二)
b 2 b 2 4ac (x ) 2a 4a 2 当 0 时，对于 ax2 bx c 0(a 0)
b b 4ac x , 2a
2
一元二次方程的 求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法
由求根公式可知，一元二次方程的根不可能
多于两个。
例题讲解
b b 2 4ac (4) 44 x 2 11, 2a 2 1
即
x1 2 11, x2 2 11
(2)2x 2 2 x 1 0
2
（2） a 2, b 2
2, c 1
2 ) 4 2 1 0
2
∴ b2 4ac (2
∴方程有两个相等的实根
b 2 2 2 x1 x2 2a 2 2 2
(3)5x 3x x 1
2
（3）原方程可化为 ∴
5x 2 4 x 1 0
a 5, b 4, c 1
∴ b2 4ac (4) 2 4 5 (1) 36 ＞0 ∴方程有两个不等的实根
b b 4ac (4) 36 4 6 x , 2a 25 10
2
1 即 x1 1, x2 5
(4) x 17 8x
2
（4）原方程可化为
x 8x 17 0
2
∴ a 1, b 8, c 17
∴ b
2
4ac (8) 4 117 4 ＜0
2
有两个不等的实数根． （2）当 0 时，方程 ax2 （3）当
bx c 0(a 0)
有两个相等的实数根．
0 时，方程 ax2 bx c 0(a 0)
华师大版九年级上册22.2.2 用配方法解一元二次方程课件
次方程 当当pp<<00时时，，原原方方程程的无解解又如何？
【针对练二】
2
-4
-1
解：
总结梳理 内化目标
•用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
(1)配方法解一元二次方程应注意些什么 ？
在用配方法解二次项系数不为1的一元二次 方程时，通常是先让方程的各项除以二次项系 数，即把这类方程转化为例1中的方程类型；
合作探究 达成目标
解一元二次方程的基本思路
二次ห้องสมุดไป่ตู้程
一次方程
把原方程变为(x+n)2＝p的形式 (其中n、p是常数）
当p≥0时，两边同时开平方，
（4）求解:解一元一次方程
（5）定解:写出原方程的解
（1）把常数项移到方程右边后，两边加上的常数和一 次项系数有何关系？
（2）左边的平方式中的符号与一次项系数的符号有什 么关系？
【针对练一】
36
6
4
2
16
4
解：
合作探究 达成目标
探究点二 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
➢ 活动二：
(1)这两个小题与活动一中的方程有什么不同 ？如何将此例方程转化为活动一中方程的情形？
达标检测 反思目标
D B
9
3
正数
解：
• 上交作业：教科书第17页 习题21.2第2,3题 ．
22.2.2 一元二次方程 求根公式法
③、△＜0 ④、△≥0
方程没有实数根 方程有实数根
例题讲解
不解方程，判别方程 的根的情况.
解：4 y 2 4 y 1 0 a 4, b 4, c 1 (4) 2 4 4 1 0
4 y 1 4 y
2
所以，方程有两个相等的实数根。
3 x 2
2x
解： a 2，b 1，c 1. 1
b 4ac 1 4 2 1 9 0,
2 2
x
确定a、b 、c的值时要 注意符号．
1 9 2 ２
1 3 , 4
1 x1 1, x2 . 2
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公 式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根 公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例题讲解
解下列方程：
2x 1 2 x 1 0; x 2 1.5 3x; 2 1 0; 2 3 x 2 0. 4 4x 2
小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c ２.再求出
b 4ac
2
３.最后代入公式
当 当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时，有两个实数根 时，方程无实数 解
4 2 6 x 0 4x
解：
a 4, b 6, c 0.
b 4ac 6 4 4 0 36.
2 2
x
6 36 2 4
66 , 8
3 x1 0, x2 . 2
5 x
解：化为一般式
2
4 x 8 4 x 11 x2 3 0 .
22.2.2 配方法(1)第4课时教学设计
第4课时 22.2.2 配方法(1)教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略三、巩固练习教材P 38 讨论改为课堂练习，并说明理由．教材P 39 练习1 2．（1）、（2）．四、应用拓展例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材P 45 复习巩固2．3(1)(2)2．选用作业设计．一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-113．如果m x 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________．3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．三、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x2-4x+y2，求（xy）z的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？课后反思。
2014年秋新人教版九年级上22.2.2公式法同步练习含答案
22．2降次--解一元二次方程（第三课时）22.2.2 公式法◆随堂检测1、一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根2、若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m < B ．1m >- C ．1m > D ．1m <-3、若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则实数m 的取值范围是_____________.4、用公式法解下列方程.（1）22410x x --=； （2）2523x x +=； （3）24310x x -+=.分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后正确代入求根公式1x =，2x=. ◆典例分析2+= 有一位同学解答如下：这里，a =b =c =∴224432b ac -=-,∴x=2==,∴12x =，22x =．请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果．分析：本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的一般形式才行.解：这位同学的解答有错误,错误在c =-而不是c =并且导致以后的计算都发生相应的错误．正确的解答是:20+-=，∴a =b =c =-∴2244(64b ac -=--=,∴x===∴1x =2x =◆课下作业●拓展提高1、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．240x += B ．24410x x -+= C ．230x x ++= D ．2210x x +-= 2、如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________. 3、用公式法解下列方程.（1）1)4(2=+x x ；（2）(2)(35)1x x --=；（3）20.30.8y y +=.4、求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．5、若关于x 的一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数解，求30ax +>的解集（用含a 的式子表示）．提示：不等式30ax +>中含有字母系数a ，要想求30ax +>的解集，首先就要判定a 的值是正、负或0．利用条件一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数根可以求出a 的取值范围．●体验中考1、如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k ≥-且0k ≠ 注意:一元二次方程22(21)10k x k x -++=的二次项系数含有字母k .2、定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知20(0)ax bx c a ++=≠是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A ．a c = B ．a b = C ．b c = D ．a b c ==●挑战能力1．解关于x 的方程2x 2+（3m －n ）x －2m 2+3mn －n 2=0．2．当m 取何值时，关于x 的方程mx 2－4x+4=0与x 2－4mx+4m 2－4m －5=0都有两个实数根？3．试证明：关于x 的方程（a 2－8a+20）x 2+2ax+1=0，不论a 取何值，该方程都是一元二次方程．4．k 取何值时，方程kx 2－（2k+1）x+k=0，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根．5．方程x 2－（k+1）x+41k=0能否有相等的实数根．若有请求出来．6．已知一元二次方程（ab －2b ）x 2+2（b －a ）x+2a －ab=0有两个相等的实数根，求ba 11+的值．7．已知：a 、b 、c 是三角形三条边的长，求证：方程b 2x 2+（b 2+c 2－a 2）x+c 2=0没有实数根．参考答案： ◆随堂检测1、B ∵△＝224(2)41(1)80b ac -=--⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故选B ．2、C ∵△＝224(2)41440b ac m m -=--⨯⨯=-<，∴1m >．故选C ．3、94m ≤∵△＝224(3)41940b ac m m -=--⨯⨯=-≥，∴94m ≤． 4、解：（1）2a =，4b =-，1c =-,∴224(4)42(1)240b ac -=--⨯⨯-=>, ∴x===∴122x +=，222x =． （2）将方程化为一般形式23520x x --=，∴3a =，5b =-，2c =-,∴224(5)43(2)490b ac -=--⨯⨯-=>, ∴x=(5)57236--±±=⨯，∴12x =，213x =-． （3）4a =，3b =-，1c =,∴224(3)44170b ac -=--⨯⨯=-<，∵在实数范围内，负数不能开平方，∴此方程无实数根．◆课下作业 ●拓展提高1、D 只有选项D 中△＝224241(1)80b ac -=-⨯⨯-=>，方程有两个不相等的实数根．故选D ．2、1k <- ∵△＝224(2)41()440b ac k k -=--⨯⨯-=+<，∴1k <-． 3、（1）将方程化为一般形式22810x x +-=，∴2a =，8b =，1c =-,∴224842(1)720b ac -=-⨯⨯-=>,∴84222x --±==⨯，∴142x -+=，242x --=． （2）将方程化为一般形式231190x x -+=，∴3a =，11b =-，9c =,∴224(11)439130b ac -=--⨯⨯=>, ∴x==1x =，2x =． （3）将方程化为一般形式20.30.80y y +-=，∴0.3a =，1b =，0.8c =-,∴224140.3(0.8) 1.960b ac -=-⨯⨯-=>, ∴y=10146-±=，∴14y =-，223y =． 4、证明：∵△＝2224(21)41(1)450b ac k k k -=+-⨯⨯-=+>恒成立，∴方程有两个不相等的实数根．5、解：∵关于x 的一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数根， ∴2(2)4(2)(1)480a a a a ---+=+<，∴20a <-<． ∵30ax +>即3ax >-，∴3x a<-． ∴所求不等式的解集为．3x a<-. ●体验中考1、B 依题意得,222(21)410k k k ⎧≠⎪⎨+-⨯>⎪⎩,解得14k >-且0k ≠.故选B ． 2、A 依题意得,240a b c b ac ++=⎧⎨-=⎩,代入得2()4a c ac +=,∴2()0a c -=,∴a c =.故选A ．。
22.2.2公式法(1) 李翠红2
1）3x2－x＋1 = 3x（2）(2x+1)(9x+8)=1（3）3x2－4 x =－4
4、用公式法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）7x2－ x－5＝0
自我
补充
课题
22.2.2公式法(1)
主备人
李翠红
审核人
张少雄
课型
新授课
备课时间
9.12
上课时间
教
学
目
标
1．理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2．熟记求根公式 并理解公式中的条件
3．能熟练地运用求根公式解一元二次方程。
重点
熟记求根公式 并理解公式中的条件
难点
一元二次方程的求根公式的推导过程
教
学
程
序
教学过程：
（2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x二次方程的方法叫公式法。
用公式法解下列方程．
（1）x2-4x-7=0（2）2x2- 2 x+1=0
解：a=，b=，c=解：a=，b=，c=
△=b2-4ac=△=b2-4ac=
=0（>，<或=）=0（>，<或=）
方程有实数根方程有实数根
x1=x2=
（3）5x2- 3x = x+1（4）x2+17=8x
解：方程化为解：方程化为
=0=0
a=，b=，c=a=，b=，c=
△=b2-4ac=△=b2-4ac=
=0（>，<或=）=0（>，<或=）
方程有实数根方程实数根。
22.2一元二次方程的解法(公式法)
22．2一元二次方程的解法（公式法）教学目标：1、 理解一元二次方程求根公式的推导过程。
2、 会用公式法解一元二次方程。
学情分析：本节是在学生已经掌握了配方法解一元二次方程的基础上,从问题入手,推导求根公式,并能用公式法解简单系数的一元二次方程。
教学重难点：重点：本节教学的重点是用公式法解一元二次方程。
难点：一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力，是本节教学的难点。
教学过程： 一、 复习引入请你用配方法解下列一元二次方程： 08922=+-x x学生先独立完成，由一名学生板演，师生共同评价。
师：对于任意的一个一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）是不是有一种万能的方法，都能求出一元二次方程的解呢？下面我们一起研究02=++c bx ax 的特点。
引出课题：用公式求一元二次方程的解 二、 授新课 1、 探究活动怎样用配方法解用一般形式表示的一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）。
请完成下面的填空：1）化1:把二次项系数化为1： 2）移项:把常数项移到方程的右边：3）配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方： 4）变形:方程左分解因式,右边合并同类：5）开方:根据平方根意义,方程两边开平方： 6）求解:解一元一次方程： 7）定解:写出原方程的解。
想一想：为什么0,042≠≥-a ac b ？如果042<-ac b 一元二次方程有没有实数根？（学生思考后由一名优生回答） 2、给出求根公式一般地,对于一元二次方程 02=++c bx ax （0≠a ）：板书：1）上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。
2）用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solving by formular). 教师强调：用公式法解一元二次方程的前提是：1）必需是一般形式的一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）） .0:2=++ac x a b x 解.2ac x a b x -=+.22222ac a b a b x a b x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++.442222a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,042时当≥-ac b .2422aac b a b x -±=+().04.2422≥--±-=∴ac b aac b b x 它的根是时当,042≥-ac b ().04.2422≥--±-=ac b aac b b x 042≥-ac b3.概括一元二次方程根的情况：当042 ac b -时，方程有两个不相等的实数根； 当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根； 当042 ac b -时，方程无实数根。
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师生共用导学稿
年级：九年级 学科：数学 执笔：王志娟 审核：九年级数学组 内容：22.2.2公式法（1） 课型：新授 时间：12年8月 日 〖课前回顾〗
用配方法．．．解方程 4x²-x-9 =0
〖学习目标〗
经历推导求根公式的过程，会用公式法解一元二次方程.
〖自主学习〗
（一）学生活动：请根据提示完成下面解题过程.
用配方法解方程：20(0)ax bx c a ++=≠ ①
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，x 2+
x a b +（ ）2 = a c -+（ ）2 即 （ ) 2 = ②
∵ a ≠0 ∴4a 2 0
∵2
4b ac -的值有以下三种情况∴224a 4ac -b 的值就有三种情况. （1）当2
40b ac ->时，即224a 4ac -b ﹥0，方程有两个 的实数根 由②得 x+2a
b = ∴1x =______ , 2x =_____
（2）当2
40b ac -=时, 即224a 4ac -b =0，方程有两个 的实数根 1x =2x =____
（3）当2
40b ac -<时，即224a 4ac -b ﹤0，方程 . ∵由②得 （x+2a
b ）2﹤0 ，而负数没有平方根，因此方程没有实数根. （二）探索新知：
由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数 而定， ∴（1ax 2+bx+c=0，当
b ．2．-．4a
c ．．．≥．0．时，•将a 、b 、c 代入式子就得到方程的根．（式子24b ac -通常用希腊字母∆表示它，即∆=24b ac -） （2）这个式子叫做一元二次方程的 ．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫 ．
例：用公式法解下列方程： （1）x 2-4x-7=0 （2）2x 2-22x+1=0
解：a= ,b= ,c=
∆=b 2
-4ac= = ＞0
∴方程有两个不相等的实数根
即x= =
∴1x =______ 2x =_____
（3）5y 2-3y=y+1 （4）x 2+17=8x
〖课堂小结〗
〖自我测试〗
1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．
4．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）
A ．x=32-
B ．x=32
C ．x=32-±
D ．x=32±
5x 2=0的根是（ ）
A ．x 1x 2．x 1=6，x 2．x 1x 2．x 1=x 2 〖课后作业〗
1.用公式法．．．
解下列方程： （1）3
1y 2-2y=-1 （2）-3x 2-5x+2=0 （3）4m 2-6m=0
（4）1222=+y y （5）x 2+17=22x （6）5x+2=3x 2
（7）x 2-32x -
4
1=0 （8）x 2-2=0 （9）（y-2）（3y-5）=0
2.已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值。
3.矩形ABCD 中，点P 从点A 沿AB 向B 点以每秒2cm 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向C 点以每秒1cm 的速度移动，AB=6cm ，BC=4cm ，若P 、Q 两点分别从A 、B 同时出发，问几秒钟后P 、Q 两点之间的距离为22cm ？
师生共用导学稿
年级：九年级 学科：数学 执笔：王志娟 审核：九年级数学组 内容：22.2.2公式法（2） 课型：新授 时间：12年8月 日 〖课前回顾〗
1、解一元二次方程
（1）2x 2-3x=0 （2）3x 2
x+1=0 （3）y 2＋2y +4＝0；
〖学习目标〗
1.了解根的判别式的概念,能用判别式判别根的情况．
2.进一步渗透转化和分类的思想方法．
〖自主学习〗
（一）探索新知：
上节课我们在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的配方过程中得到
（x ）2＝ ①
B P
发现只有当 ≥0时，才能直接开平方，得
2
2442a ac b a b x -±=+ 观察①式思考：
（1） 决定了一元二次方程根的情况？
（2）一元二次方程根的情况有 种.
（3）这里的 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”表示，即∆=24b ac -
（4）当∆>0时，方程有 实数根；（5）当∆=0时，方程有 实数根；（6）当∆<0时，方程 实数根；
（7）当∆≥0时，方程有 实数根.
（二）自我尝试：
例1：不解方程．．．．
，判定方程根的情况（一化二算三判断） （1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0 （3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2+bx+c=0（c<0）
例2：m 取什么值时，关于x 的方程mx 2-(2m-1)x ＋m －2＝0
(1)有两个相等的实数根？(2)有两个不相等的实数根？ (3)没有实数根？
（4）有两个实数根？（5）有实数根？
例3：求证：关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 总有两个不相等的实数根.
〖课堂小结〗
一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）
①b 2-4ac>0↔方程有两个不相等的实数根；②b 2-4ac=0↔方程有两个相等的实数根；
③b 2-4ac<0↔方程没有实数根；④b 2-4ac ≥0↔方程有两个实数根.
〖自我测试〗
1.下列关于x 的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A ．x 2+1=0
B ．x 2+x-1=0
C ．x 2+2x-3=0
D ．4x 2-4x+1=0
2.一元二次方程x 2-ax+1=0的两实数根相等，则a 的值为（ ）．
A ．a=0
B ．a=2或a=-2
C ．a=2
D ．a=2或a=0
3.已知关于x 的方程221(3)04
x m x m --+=有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是（ ） A ．2 B ．－1 C ．0 D ．l
4.若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围
是 .
5.若关于x 的一元二次方程012.2=+-x mx 则实数m 的取值范围是 .
6.关于x 的方程012.2=--x mx 有实数根， 则实数m 的取值范围是 .
〖课后作业〗
1.不解方程判定下列方程根的情况:
（1）(y-1)(y+3)+5=0 （2）x 2-x-34=0 （3）3x 2+6x-5=0 （4）4x 2-x+116
=0
（5）x 2-42x+9=0 （6）4x 2-6x=0 （7）9x 2-1=6x （8）3x 2+10=2x 2+8x
2.已知关于x的一元二次方程，kx2+2（k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
3.m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
4.已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时方程无实数根？
5.当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．
6.求证：无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不相等的实数根.
自助餐（自愿选做）---------综合提高题
1.已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a+b)x2 +2cx +(a + b)＝0的根的
情况是（）A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
答案：1.A
2. 解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8=4a+8<0 ∴a<-2
∵ax+3>0即ax>-3 ∴x<-3
a
∴所求不等式的解集为x<-
3
a。