复变函数08-09试卷A
复变函数历年考试真题试卷

河南理工大学 2009-2010 学年第 二 学期《复变函数论》试卷(A 卷)一、选择题(每题5分,共25分)⒈ 已知 8)11(ii z +-=,则223366-+z z 的值为( ) A. ;i - B. 1; C. ;i D. -1.⒉ 函数iv u z f w +==)(在点0z 处解析,则命题( )不成立A. v u ,仅在点0z 处可微且满足C-R 条件;B. 存在点0z 的某一邻域)(0z U ,v u ,在)(0z U 内满足C-R 条件;C. v u ,在)(0z U 内可微;D. B 与C 同时成立.3. 设11:=-z C ,则=+-⎰Cz z dz 33)1()1(( ) A. i 83π; B. i 83π-; C. i 43π; D. i 43π- 4. 若幂级数∑∞=-0)1(n n n z a 在3=z 发散,则它必在( )A. 1-=z 收敛;B. 23-=z 发散;C. 2=z 收敛;D. 以上全不正确5. =+-=)1)((1Re 2z i z s i z ( ) A.4i B. 4i - C. 41 D. 41- 二、 填空题(每题5分,共25分)1. =+6)1(i .2. 若z i e i = ,则=z Re .3. =++⎰=dz z z z 243)1(1 .4. 4. 幂级数()∑∞=-11n n n z i 的收敛半径为R= 5.=++⎰+∞∞-dx x x x 54cos 2 . 三、 计算题(每题10分,共40分)1、设y e vpx sin =,求p 的值使v 为调和函数,并求出解析函数iv u z f +=)(。
2、计算积分dz z z e I C z ⎰-=3)1(,其中C 为不经过点0与1的闭路。
3、求函数)1)(2(5222+-+-z z z z 在圆环域20<<z ,+∞<<z 2内的洛朗级数.4、求出332)(sin )2)(1()(z z z z f π--= 在扩充复平面内的所有奇点并指明其类型,极点请指出其阶数。
复变函数试卷试题及含答案

1、复数 12 2i 的指数形式是2、函数 w = 1将 S Z 上的曲线 x 1 2y 21 变为 S W ( w uiv ) 上z的曲线是3. 若1e z 0 , 则 z =4、 1 i i =5、积分2 i 2 2 dz =2z6、积分1sin z dz2 iz 1z7、幂级数1 i n z n 的收敛半径 R=n 08、 z 0 是函数e z1 1 的 奇点1 z9、 Re se zz2 1z110、将点 ,i,0 分别变为 0,i,的分式线性变换 w二、单项选择题(每题 2 分)1、设为随意实数,则 ( )1 =A 无心义 B等于 1C 是复数其实部等于 1 D是复数其模等于 12、以下命题正确的选项是( )A i 2iB零的辐角是零C 仅存在一个数 z, 使得1z D1z izzi3、以下命题正确的选项是()A 函数 f z z 在 z 平面上到处连续B 假如 fa 存在 , 那么 f z 在 a 分析C 每一个幂级数在它的收敛圆周上到处收敛D 假如 v 是 u 的共轭调解函数 , 则 u 也是 v 的共轭调解函数4、根式3 1 的值之一是()A 13 i B 3 i C 3 i D 1 3 i 2 2 2 2 2 2 2 25、以下函数在 z 0 的去心邻域内可展成洛朗级数的是()1 1 zA B cos C e ctg 1sin 1 zz6、以下积分之值不等于0 的是 ( )D LnzA dzB dzC dzD dz3 1z 1 z z 1 z z 1 z 2 2z 4z 1 cosz2 27、函数f z arctan z 在z 0处的泰勒展式为()A 1 n z 2n ( z <1)B 1 n z2 n 1(z <1)n 0 2n 1 n 0 2nC 1 n z2 n 1 ( z <1)D 1 n z2n ( z <1)n 0 2n 1 n 0 2n8、幂级数( 1) n 1 z2 n在z 1内的和函数是()n 01B 1C1 1A1 z2 z2 1 D1 z2 1 z 29、设 a i , C: z i =1,则z cos z2dz ()C a iA 0B 2i C 2 ie D icosi e10、将单位圆 z 1共形映照成单位圆外面w 1 的分式线性变换是()A w e i z a( a 1) B w e iz a( a 1) 1 az 1 azC w e i z a( a 1) D w e iz a( a 1) z a z a三、判断题(每题 2 分)1、()对任何复数 z, z22z 建立2、()若 a 是 f z 和 g z 的一个奇点,则 a 也是 f z g z 的奇点3、()方程 z7 z3 12 0 的根全在圆环1 z 2 内4、() z= 是函数f zz52 的三阶极点1 z5、()分析函数的零点是孤立的四、计算题(每题 6 分)1、已知f z x2 axy by 2 i (cx2 dxy y 2 ) 在 S z上分析,求a,b,c,d 的值2、计算积分5z 22 dzz 2 z(z 1)3、将函数 f z z 1在 z 1 的邻域内展成泰勒级数 , 并指出收敛范围z 14、计算实积分I=x 2dx 0(x 2 1)( x2 4)5、求f (z) 1 在指定圆环 2 z i 内的洛朗展式z216、求将上半平面 Im z 0 共形映照成单位圆w 1的分式线性变换w L z ,使切合条件 L i 0 , L i 0五、证明题(每题7 分)1、设( 1)函数f (z)在地区 D 内分析(2)在某一点z0 D 有 f (n) (z0 ) 0 ,( n 1,2,)证明: f ( z) 在D内必为常数2、证明方程e z 5z n 1 0 在单位圆z 1内有n个根一填空题(每题 2 分,视答题状况可酌情给 1 分,共 20 分)5 i 11 4e6 ,2 u (2k+1) i ,(k=0,1, 2) ,4,32e i ln 2 e4 2k) (k=0, 1, 25 i6 0 , 71, 8 可去,9e, 101 ,2 2 z 3二(每小 2 分,共 20 分)1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A三判断(每小 2 分,共 10 分)1 2 3 4 5四算(每小 6 分,共 36 分)1 解:u x2 axy by 2, v cx 2 dxy y 23 分u x v y 2x ay dx 2yu y v x ax 2by 2cx dy ⋯5 分解得 : a d 2,b c 1 6分2 解:被函数在周的z 2 内部只有一极点z=0及二极点 z=1 2 分Re s f (z) 5z 2 2( z 1) 2 z 0z 0Re s f (z) 5z 2 225分z z 2z 1 z 1z 15z 2 2 dz = 2i(-2+2)=0 6 分z2 z(z 1)3 解: f zz 1z 12 1 1n= 1 1 1 z 1 n ⋯ 4 分z 1 1 z 1 n 0 22( z 1 <2)⋯6分4 解: 被 函数 偶函数在上半z 平面有两个一 极点 i,2iI=1x 2dx2( x 2 1)( x24)=12 i Re s f (z) Re sf (z)2z iz 2 i=iz 2z iz 22i) z 2i( zi)( z 24)(z 2 1)( z=65 解: f ( z)1( zi )( z i)=1122i(z i ) 1z i=1 i )2( 1) n( 2i ) n2 z i(z n 0 (z i) n6 解 :w =L(i)=k z iz iwk 2ii) 2( zw L (i) 0k iz i w iz i五 明 (每小 7 分,共 14 分)⋯ 1 分⋯ 2 分⋯ 3 分 ⋯ 5 分⋯6 分⋯1 分⋯3 分⋯6 分2 分⋯3 分⋯4 分⋯6 分1 明 : k : z z 0R(k D )f (z) 在 z 0 分析由泰勒定理f (z)f ( n) (z 0 ) ( z z 0 ) n ( z k D ) ⋯2 分n 0n! 由 f (n) (z 0 ) 0 f (z)f (z 0 ) , ( zkD ) ⋯4 分由独一性定理f ( z) f ( z 0 ) ( z D )⋯ 7 分2 明:令 f ( z) 5z n, ( z) e z 1 2 分(1 ) f z 及z 在z 1分析(2 ) z 1上,f z 5z n 5z e z 1 e z 1 e z 1 e 1 <5 4 分故在 z 1上 f z z ,由儒歇定理在 z 1内N ( f z z , z 1) N ( f z , z 1) n ⋯ 7 分一、填空(每小 2 分)1、 cos5 i sin 52 的指数形式是cos3 i sin 3 32、i i =3、若 0<r<1,分ln 1 z dzz r4、若v是u的共和函数,那么v 的共和函数是5、 z 0 函数f (z) = z3 sin z3的m零点,m =6、z a 函数 f z 的 n 极点,那么 Re s f z=z a f z7、数z n 的收半径 R=n 0 n!8、 z 0 是函数z5sin 1 的奇点z9、方程z7 z3 12 0 的根全在内10、将点,i,0 分成 0,i, 的分式性 w二、(每小 2 分)1、若函数 f z 在地区D内分析,函数 f z 在地区D内()A 在有限个点可B存在随意数C 在无多个点可D存在有限个点不行2、使z22建立的复数是()zA 不存在B 独一的C 纯虚数D 实数3、cos z dz ()z2 (1 z)2A - i sin1B i sin1C -2 i sin1D 2 i sin14、根式3i的值之一是()A3 iB3 iC iD i2 2 2 25、z 是 sin z 的()zA 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 实质奇点6、函数f z 1 ,在以 z 0 为中心的圆环内的洛朗展式z z 1 z 4有m个,则 m=( )A 1B 2C 3D 47、以下函数是分析函数的为()A x2 y 2 2xyiB x2 xyiC 2( x 1) y i( y2 x 2 2x)D x3 iy 38、在以下函数中, Res f z 0 的是()z 0A fe z 1B f zsin z 1 zz z z2C fsin z cos zD f z1 1zz e z 1 z9、设 a i , C: z i =1,则z cos z2dz ()C a iA 0B 2 iC 2 ieD icosie10、将单位圆 z 1共形映照成单位圆外面w 1 的分式线性变换是()A w eiz a( a1)Bw eiz a ( a1)1az1 azC w eiz a( a1)Dw eiz a( a1)z az a三、判断题(每题 2 分)1、( )幂级数n 0 z n 在 z <1 内一致收敛2、( ) z= 是函数1cos z 的可去奇点z 23、( )在柯西积分公式中,假如 aD ,即 a 在 D 以外,其余条件不变,则积分 1f zdz 0, z D2 i C z a4、( )函数 f zctg1 0 的去心邻域内可展成洛朗级数ez在 z 5、( )分析函数的零点是孤立的四、计算题(每题6 分)1、计算积分x y ix 2 dz , C : i 1+ i 的直线段C2、求函数 f zz2 在全部孤立奇点(包含)处的留数z 1 z 13、将函数 f z1 z 1 在 z i 的去心邻域内展成洛朗级数 , 并指出收敛域z i i4、计算积分Cz 2dz, C: x 2 y 2 2y 1,z 2 15、计算实积分 I=2d(a 1)acos6、求将单位圆 z1共形映照成单位圆 w1的分式线性变换 w L z使切合条件 L10 , L 112五、证明题(每题7 分)满分14得分1、设函数 f z 在地区 D 内分析,证明:函数 i f z 也在 D 内分析2、明:在 z 0 分析,且足的 f 11 1, f 11( n 1,2 )的2n 2n 2n 2n 函数 f z 不存在一填空(每小 2 分,答状况可酌情 1 分,共 20 分)2k1 e i19,2 e2 (k=0, ±⋯),3 0 ,4 u ,5 96 n,7 ,8 本,9 1 z 2 , 10 1 z二(每小 2 分,共 20 分)1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A三判断(每小 2 分,共 10 分)1234 5四算(每小 6 分,共 36 分)1 解: C 的参数方程: z=i+t, 0 t 1 dz=dt 3分x y ix 2 dz=t 1 it2 dt = 1 i 6 分1C 0 2 32 解: z 1 f z 一极点 1 分z 1 f z二极点 2 分Re s f zz11z 1z 1z4Re s f zz12 z 1z 1 z 14Re s f z 0z3 解: f z1 1 = 1 1 1ziz iz i2iz i12i=11 n z i nz i n2i n 1(0< zi <2)4 解:在 C 内 f z 有一个二 极点 z = 0 和一个一 极点 z iRe s f z1z 21z 0z 0Res f z1 12 ( z i ) z i2iz iz3 分5 分⋯6 分⋯2分⋯5分 ⋯6分⋯ 1 分⋯ 3 分⋯5分因此原式= 2 i 01⋯6 分2i5 解:令 ze iI1dz1z z 1izza2=2a 2dzi z 1 z ( a 1) z ( aa 2 1)被 函数在 z1内的有一个一 极点 zaa 2 1⋯ 1 分⋯3 分Re s f ( z)1⋯5 分2zaa 212 a 1I=2 2 12 ⋯6 分i2 a 21a 2 1i1z1 z 16 解: wL k 2 k2 2 分21 z2z11211L 1 k21 因此 k 24 分2k121z 2z 1w2 2于是所求分z 2z62五 明 (每小 7 分,共 14 分)1 明:f(z)=u (x ,y )+iv ( x , y )f (z) = u (x ,y )-iv(x ,y )i f ( z) = v (x ,y )-i u (x ,y )2 分f ( z )在 D 内分析, u xv y ,u yv xi f (z) 四个偏 数 v x , v y ,-u x ,-u y4 分比 f (z )的 C -R 方程 i f (z) 也 足 C-R 方程且四个偏 数在 D 内i f (z) 在 D 内分析 7 分2 明:假 在 z 0 分析的函数 f z 存在且 足 f1 11 , f 1 1( n 1,2)2 分2n 2n2n2n点列 1 = 1以 z0 聚点2n 2n在点列1 1 1 2n上, f2n2n由分析函数的独一性定理在 z 0 的邻域内 f z = z5 分但在这个邻域内又有 f1 11矛盾2n 2n在 z 0分析的函数 f z 不存在 7 分。
08 09第二学期复变函数积分变换复习卷(答案)

08 09第二学期复变函数积分变换复习卷(答案)08-09第二学期复变函数积分变换复习卷(答案)2022-2022学年第二学期复变函数(本科)复习卷参考答案一、填空题1.复数Z?1.I=2(COS?4?Isin?4?)的三角表达式;复指数表达式=2E4。
i2、复数z?1?6?3i的z=2;argz?5??3?2k?;argz??3;z?1?3i。
1.1.我23、?;? 我1.1.1.我10?? i3i?3.E3i??十、3岁?1.454、? 1.2i?十、3.5i?Y1.3i通过解方程,x?。
,Y2倍?5y??31111? 5、 f?Z3z2?Z1.那么f我6、功能6。
Lnz?奇点Z?1z(Z?1)2?0,z??我3iln2(63ii2ki;ln(ie)?1??2i。
7.我我1.2.艾莉?2k,e1??e2(1-3i)8、3?8?2(cos??2k?3?isin??2k?3);k?0,1,2。
1.4.2k?4.伊辛??4.2k?4) k?0,1,2,3;方程z?1?i?0的根:z?e?1441?i?(2)4(cos?9、sini??e2i;cos?2i?12?2?(e?e2);10、z?1dzz?2z?42?0;Z1dzz?12? 2.我11、设f(z)?1?coszz3,则z?0是(一级极点);res[1?coszz3,0]?12。
二、确定以下函数可以从何处派生?在哪里解析?找出可以导出的导数。
(1)f?z??x?iy;2222解决方案:u?x、 v?YU十、2倍,?UY0伏?十、0伏?Y2Y,一阶偏导数连续,因此当ux?vy,uy??vx时,即x?y时可导,在z平面处处不解析。
f?(z)?ux?ivx?2x。
(2)f?z??zrez;一解:f(z)?zrez?(x?yi)x?x2?xyi,于是u?x2,v?xy,?u?x?2x,?u?y?0,?v?x?y,?v?y?x,什么时候?vy,uy??什么时候VX,x?0,y?0是可微的,不能在z平面的任何地方解析。
2008-2009(1)第二学期复变函数期末考试试题

2008-2009第二学期复变函数期末考试试题一 填空题(每小题4分)1. 复变函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在点0z 解析与在0z 点( )等价A 可导B 邻域内能展开成幂级数C v u ,满足柯西-黎曼条件D v u ,可微 2.若函数)(z f 在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析,在C 上连续,且a 为D 内任一点,n 为正整数,则积分⎰+-C n dz a z z f 1)()(等于( ) A .)()!1(2)1(a f n i n ++π B .)(!2a f n i π C .)(2)(a if n π D .)(!2)(a f n i n π 3.函数()()21-=z z z f 在以原点为中心的圆环域内的洛朗展式,有( )个 A 1 B 2 C 3 D 44.0=z 是函数3sin zz 的( ) A 可去奇点 B 二级极点 C 三级极点 D 本性奇点5.设()z Q 在点0=z 处解析,()00≠Q ,()()()1-=z z z Q z f ,则()]0,[Re z f s 等于( )A.()0Q B .()0Q - C .()0Q ' D .()0Q '- 二 填空题(每小题4分)1 设()1001i z +=,则z Im =___________。
2 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析,y y x v =),(,则_______)(='z f 。
3 ()i Ln 43--的实部是 ,虚部是 。
4 0=z 是函数z z sin -的__________阶零点。
5 函数]1)(z 11z 1[1z 1)(5+++++=z f 在点0=z 处的留数为__________________。
三 完成下列各题(每题10分)(1)试证:当0→z 时,()zz z f Re =的极限不存在。
大学《复变函数》试卷及答案

---------------------------- 6分
2.函数 在复平面内何处可导,何处解析,并求
解:设 , 则
.四个偏导数在复平面上都连续,
由C—R方程得: .
故 仅在直线 上可导,在复平面上处处不解析.
--------------------------- 4分
且因为点 在曲线 上,所以 .
大学《复变函数》试卷及答案
一.判断题(每小题2分,共10分.
正确打“√”,错误打“×”.)
评
分
阅
卷
人
1. .()
2.若 在 不解析,则 不存在.()
3. 为函数 的孤立奇点.()
4.级数 收敛.()
5. 在点 处不连续.()
二.填空题(每小题2分,共10分.
将正确结果填在横线上.)
评
分
阅
卷
人
1.复参数方程 (t为参数)的直角坐标方程为
3.下列结论错误的是()
(A) 是函数 的二阶极点.(B) 是函数 的可去奇点.
(C) .(D) 是函数 的本性奇点.
4.下列结论错误的是()
(A)C为不通过原点的简则 也为解析函数.
(C)在点 解析的函数一定可以在点 的邻域内展开成泰勒级数.
(D)对于任意的复数 .
解:由于 在平面上处处解析,所以积分
与路径无关,又 的一个原函数为 ,
---------------------------- 5分
故
= .
------------------------ 7分
2. .
解: 在 内有两个不解析点, 分别为简单极
点、二级极点
,
------------------------ 5分
复变函数试卷及答案

复变函数及答案一、填空题(每题3分,共15分)1.计算ln(1)i +=2.设3232()3(3)f z y x y i x xy =-+-,计算()f z '=3.25|z|=1sin d (2)zezz z =-⎰4..求留数3sin R e [,0]z z s z-=______________5. 幂级数11nnn z n∞=∑的收敛半径R=______________二、单项选择题(每题3分,共15分, 每题只有一个正确答案,请将答案填在题后的方框内,错选或多选均不得分 ). 1、设211()sinf z z z z=-,则Re s[(),0]f z 为( )A .1,B .2,C .0,D .2i π。
2、复数 23412i i ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的模为 ( )A.5; B. 5; C. 55; D .253、复数 i 31-- 的主辐角为 ( )A. 3arctan ;B. π+3arctan ;C. arctan 3π--;D. arctan 3π- 4、方程 220z i -= 的根为 ( )A. 121,1z i z i =+=--;B. 121,1z i z i =+=-+;C. 121,1z i z i =+=-;D. 121,1z i z i =-=-- 5、设 22()2()f z x y i y x =+-,则 ()f z '= ( )A. 22x y i +;B. 22y x i -;C. 22x y i -;D. 22x y i -- 三、(20分) 求下列积分的值:(1) 2sin d ,(1)Czz zz -⎰ :||2C z =的正向. (10分)(2) 21sin d Cz z z ⎰ , 其中:1,C z = 且方向为正向. (10分)四、(15分) 将函数)2()1(1)(--=z z z f在0z =点展开为洛朗 (Laurent) 级数..五、(15分) 由2(1),(2)u x y f i =-=- 求出解析函数()f z u iv =+关于z 的表达式.六、(15分)利用Laplace 变换求解微分方程组:()()1,(0)0,()(),(0) 1.x t y t x x t y t t y '+==⎧⎪⎨'-==⎪⎩七、 (5分) 求积分11d 2z z z =+⎰ ,从而证明:012cos d 0.54cos πθθθ+=+⎰.一、填空题(每题3分,共15分)1.1ln(1)ln 224i iπ+=+2. 2()3f z iz '= 3.25|z|=1sin d 0(2)zezz z =-⎰4.. 3sin R e [,0]0z z s z-= 5. R=+∞二、单项选择题(每题3分,共15分, 每题只有一个正确答案,请将答案填在题后的方框内,错选或多选均不得分 ).1、B.2、B3、D4、A5、B 三、(20分) 求下列积分的值: (1) 解:令)1(sin)(22-=z z zz f ,在2||=z 内,函数)(z f 有两个奇点.=z 为可去奇点,0]0),([Res =z f ,1=z 为一阶极点,)()1(lim ]1),([Res 1z f z z f z -=→1sin sin 2122===z zz,原式1sin 2])1),([Res ]0),([Res (22i z f z f i ππ=+= (2)解:令21()sinf z z z =,在||1z =内,0=z 为)(z f 的本性奇点,21sinz z2357111111()1!3!3!5!7!z zzzzz =-+-+=-⋅+,原式22R es [(),0]3!3i ii f z πππ==-=-四、解:)2()1(1)(--=z z z f 2111-+--=z z zz---=2111,在复平面上以原点为中心分为三个解析环:1||0<≤z , 2||1<<z ,+∞<<||2z .(1) 在 1||0<≤z 内,⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212111)(z zz f∑∑+∞=+∞=-=221n nn n nz z ∑+∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211n nn z .(2) 在 2||1<<z 内,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2121111)(z z z z f∑∑+∞=+∞=--=022111n nn n nz zz∑∑+∞=++∞=+--=01121n n nn n z z.(3) 在 +∞<<||2z 内,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=z z z z z f 211111)(∑∑+∞=+∞=+-=02111n nn n nzzzz∑+∞=+-=11)12(n n nz.五、解: 2(1),(2)u x y f i =-=- 2,2(1)u u y x xy∂∂==-∂∂(,)(0,0)(,)d d x y yxv x y u x u y C=-++⎰(,)(0,0)2(1)d 2d x y x x y y C=--++⎰222(1)d 2d 2xyx x y y C x x y C =-++=-++⎰⎰.又 (2)(2,0)(2f u i v=+ i C i ==.故221,(,)21C v x y x x y ==-++. 从而222()2(1)(21)(21)f z x y i x x y i z z =-+-++=-+另解: 2(1),u x y =- 由2,y x v u y == 得2d (),y v v y y x ϕ==+⎰又()2(1)x y v x u x ϕ'==-=- 即()2(1)x x ϕ'=-由此得2()2x x x C ϕ=-+所以222v y x x C=+-+又 (2)(2,0)(2f u i v=+ i C i ==.于是有222()2(1)(21)(21)f z x y i x x y i z z =-+-++=-+六、解:对方程两边取拉氏变换并代入初值得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+.1)1)(()(,1)()(2s s sY s X ss Y s X s 求解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.1)(,)1(1)(222s ss Y s s s X 求拉氏逆变换得⎩⎨⎧=-=.cos )(,sin )(t t y t t t x七 (8分).证明: 因为11d d 22(sin cos )(2cos sin )d (2cos sin )(2cos sin )12cos 12cos d 2d 54cos 54cos i iz iez z e i i i i i i θπθππππππθθθθθθθθθθθθθθθθ=---=++-++-=+++-++==++⎰⎰⎰⎰⎰又因11d 02z z z ==+⎰所以12cos d 054cos πθθθ+=+⎰。
(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)

a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数 试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。
因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ,则⎰C z2=()楚造成不良后果的,均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责;如故意涂改、乱写 的,考试成绩 答一、单项选择题(本大题共 10 小题,每题 3 分,共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析,那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a ( a 为复常数)B. lim f (z ) = ∞视为无效。
题分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项,z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。
)()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密 封 A.处处不连续B.处处连续,处处不可导线 C.处处连续,仅在点 z = 0 处可导D.处处连续,仅在点 z = 0 处解析,3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1,则的值()n =0n +1 n =0n 否 则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ,f (z ) = - y + i x ,则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题,每题 3 分,共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 , ⎰C dz = 2i ,则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号(最后两位)总分 题号 一 二 三四统分人 题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下, z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ,则arg z =.13.在复平面上,函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ,则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛,而级数∑ zn 发散,则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛,求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题,每小题15 分,共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析,且在C因此在任何点(x , y ) 处, ∂u ≠∂v,所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。
复变函数与积分变换试题及答案

南昌大学2008~2009学年第一学期期末考试试卷468复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.)31ln(i --的模,幅角。
2.-8i 的三个单根分别为: , , 。
3.Ln z 在 的区域内连续。
4.z z f =)(的解极域为:。
5.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7.指数函数的映照特点是: 。
8.幂函数的映照特点是:。
9.若)(ωF =F [f (t )],则)(t f = F )][(1ω-f。
10.若f (t )满足拉氏积分存在条件,则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数,且f (0)=0。
三、(10分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分(5分×2) 1.⎰=-2||)1(z z z dz2.⎰-c i z z3)(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、(10分)求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1.1||0<-<i z 2.+∞<-<||1i z六、证明以下命题:(5分×2)(1))(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、(10分)应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、(10分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1. 22942ln π+ ,ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6. 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解:∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += (5分)c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0(3分)∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=(2分)三、解:原式=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分)z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(=0∴原式=(2分) 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1.解:原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 (3分) z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0(2分)2.解:原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=)(cos i i cos π-==1ich π-五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分)(分)(分)(11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=(2分)2.解:⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分)(分)((1分)nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i (2分) 六、1.解:∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰(3分) ∴结论成立 (2)解:∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e(2分)∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i(2分)七、解:∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX(3分)S (2)-(1): ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s (3分)∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的()条件。
复变函数论试卷

《复变函数论》试卷一一、填空(30分)1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式,则=z 把它化为指数表示式,则=z2.=+i e π3 ,()ii +1的辐角的主值为3. =z 0是()44sin z z z f =的 阶零点.4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点,则0z 是()z f '1的 阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数, 则___________________===c b a6.方程0273=+z 的根为 , ,二、简要回答下列各题(15分)1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么?2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件?3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析,且不为零,C 是D 内的任一简单闭曲线,问积分()()dz z f z f c ⎰'是否等于零,为什么?三、计算下列积分(16分)1. czdz ⎰,c 是从点1i -到点1i +的有向直线段2. 202cos d πθθ+⎰四、(12分)求函数()11z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式.五、(12分)证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、(15分)求映射,把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <,且把1z =映射成0w =,把2z =映射成1w =.《复变函数》试卷二一、填空题(20分)1. -2是 的一个平方根2. 设21i z --=,则,=z Argz = =z Im3. 若22z z =,则θi re z =满足条件 4. =ze e,()=ze e Re5. 设1≠=θi re z ,则()=-1ln Re z6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数,则称此变换为 变换,它是由 等三个变换复合而成.7. 幂级数∑∞=12n nn z n 的收敛半径=R 8.函数baz +1在0=z 处的幂级数展开式为 ,其收敛半径为9.变换z e W =将区域π<<z D Im 0:变换成区域:G二、判断下列命题之真伪(20分)1.()z e z F cos =在全平面上任意阶可微.2. 若函数()z F 在有界区域D 内有解析,且在其中有无穷多个零点,则()z F 在D 内恒为零. ( )3. 设扩充复平面上的点a 时函数()z F 的可去奇点,则()Re 0z asF z ==.4. 若()W F z =是区域D 内的保形变换,则()W F z =在D 内单叶解析且保角.5. 若函数()z F 在区域D 内解析,则()0cf z dz =⎰,其中c 是D 内的任意一条围线.6. 设()()(),,F z u x y iv x y =+在区域D 内可导,则在D 内,()'y x F z v iv =+7. 设函数()z F 在点()a ≠∞解析,则总存在0R >,在z a R -<内()z F 能展成幂级数()0nn n c z a ∞=-∑.8. 非常数的整函数必为无界函数.9. 设()f z 在区域D 内解析,则()f z 在D 内连续. 10. 若函数()f z 在a 点可导,则()f z 在a 点解析.三、计算下列各题(24分)1. 求极限0cos lim sin z z z zz z →--2. 求21c I dz z=⎰ ,其中是下半圆周,起点11z =-,终点21z =3. 求i 的立方根4. 求2212cos d I p pπθθ=-+⎰()1p >5. 求()11f z z =-在1z =及z =∞的残数 6. 求1sin z dzI z z==⎰四、(16分) 1. 叙述儒歇定理2. 证明方程()01z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根 五、求下列变换(20分)1. 求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换2. 求出将圆42z i -<变为半平面v u >的保形变换,使得圆心变到-4,而圆周上的点2i 变到0w =《复变函数》试卷三一、填空题(45分)1. ()1Arg i -= ,复数()1cos sin 0z i ϕϕϕπ=-+<≤的模为2. 设()()32256f z z z =+-,则()'f z =3. 设()()cos sin x f z e y i y =+,则()'f z =4. z e 是周期函数,其基本周期为5. 如果函数()w f z =在区域D 内满足条件: ,则称()f z 为区域D 内的解析函数6. 设c 是连接a 与b 的直线段,则czdz ⎰=7. 设圆周:3c z =,则3c dzz ⎰= 8. 级数21nn z n ∞=∑的收敛半径为 ,级数2491z z z ++++⋅⋅⋅的收敛半径为9. 0z =为函数()sin f z z z =-的 级零点10. 叙述最大模原理: 11. 设()()()25121zf z z z =-+,则1z =为()f z 的 级极点,12z =-为()f z 的 级极点12. 设()22f z z z =+,则在点12z i =-+处的旋转角()'arg 12f i -+= 二、判断下列命题之真伪(15分)1. 函数()2f z z =在z 平面上处处不解析 2.()z F z e =是整函数3.若函数()F z 在区域D 内解析,c 是D 内任一条围线,则()0cF z dz =⎰4.设函数()F z 在点()a ≠∞解析,则总存在0R >,在z a R -<内能展成幂级数()0nn n c z a ∞=-∑2. 若函数()f z 在点a 可导,则()f z 在点a 解析 三、求解下列各题(20分) 1. 求积分()ln 1z rI z dz ==+⎰ ()01r <<2. 求积分()()229I d i ξξξξξ==-+⎰3. 求积分()22521z z I dz z z =-=-⎰4. 试将函数()2zf z z =+按1z -的幂展开,并指出其收敛范围5. 求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换 四、证明题(20分)1. ①叙述代数学基本定理②试用复分析方法证明代数学基本定理2. 证明方程()00z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根《复变函数》试卷四一、填空题(50分)1. 已知1z i =-,则arg z = ()arg z ππ-<≤,z = ,z =2.3. 设()()cos sin x f z e y i y =+,则()'f z =4. sin z 的零点为 ,cos z 的零点为5. ()1Ln -= , i i =6. 函数()f z ()(),,u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是7.1z dzz =⎰=21z dzz =⎰=8. 幂级数21nn z n∞=∑ 的收敛半径为9. 0z =是函数()sin f z z z =-的 级零点10. 叙述最大模原理: 11.函数()()()112f z z z =--在z 平面内有 个奇点,它们是12. 1z =为函数()()()251121z f z z z +=-+的 级极点13. 方程742520z z z -+-=在单位圆内有 个根14. 设()22f z z z =+,则()f z 在12z i =-+处的旋转角为 伸缩率为 15. 线性变换()0az bw ad bc cz d+=-≠+的逆变换为16. 变换3w z =将z 平面上区域:0arg 3D z π<<变换为w 平面上的区域G :二、判断题(15分)1. 设()f z 在区域D 内可导,则()f z 在D 内解析2. 互为共轭的两复数具有相同的模3. 复数0z =的充要条件是0z =4. 设()f z 在区域D 内解析,c 为D 内任一闭曲线,则()0cf z dz =⎰5. sin z 和cos z 都是平面上的有界函数三、计算下列各题(15分) 1. 设()()()112f z z z =--,求()f z 在1z <内的泰勒展式2. 求积分()22521z z I dz z z =-=-⎰3.求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换四、证明题(20分)1. 证明函数()2f z z =在z 平面上处处不解析2. 设a 为()f z 的n 级零点,证明:a 必为函数()()'f z f z 的一级极点,并且()()'Re z a f z s n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦《复变函数》试卷五一、填空题(18分)1. 的所有值为:2. ()cos 1i += ()1Ln -=3. 0cos limsin z z z zz z→--=4. 设()()0n n f z c z r z +∞-∞=≤<<+∞∑,则()Re z s f z =∞=5. 令z x iy =+,2z w e =,则w = Im w =6. 线性变换()()0az bW L z ad bc cz d+==-≠+在扩充z 平面上有下列特性,请你完整地予以叙述⑴ 保形性:⑵ 保交比性: ⑶ 保圆周性: ⑷ 保对称性:7. 1w z=将z 平面上的直线y x =变换为w 平面上的曲线二、判断题(10分)下列断语如果正确则打“ √”,否则打“×”1. 如果函数()f z 在点()a ≠∞处解析,则存在0R >,使()f z 在z a R -<内可展成泰勒级数,且展式唯一2. 设a 是z 平面上的一点,若a 为函数()f z 的可去奇点,则()Re 0z as f z ==( )3. 如果函数()f z 在某有界区域D 内解析,且在D 内有一列零点,则()f z 在D 内恒为零 4. sin z 和cos z 都是z 平面上的有界整函数 5. 若函数()f z 在区域D 内解析,则()0cf z dz =⎰.其中c 是内的任意一条围线三、解下列各题(24分)1. 求1c dz z ⎰的值,其中c 是上半单位圆周,起点为1z =-,终点为1z =2. 求函数()11z f z e -=在1,z =∞的留数3. 计算积分()20sin 01x mxI dx m x+∞=>+⎰4. 将函数()11z f z z -=+在1z =处展开成幂级数,并求其收敛半径四、证明题(24分)1. 试证:在原点解析,且在()11,2,z n n==⋅⋅⋅处取下列值的函数()f z 是不存在的: 111111,,,,,224466⋅⋅⋅2. 试证:73120z z -+=的根全在12z <<内 五、(12分)求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换六、(12分)求出将圆42z i -<变成半平面v u >的保形变换,使得圆心变到-4,而圆周上的点变到2i 变到0w =《复变函数》试卷六一、填空题(30分)1.已知z=1-i ,则arg z= (-π<arg z ≤π),| z |= , z =2.变换W=Z 3将Z 平面上区域D :0< arg z <3π变换为W 平面上的区域G :3.Ln (-1)= , i i = , Arctg(2i) = 4.函数f (z )在区域D 内解析的充要条件是下列条件之一(1) (2) (3) (4)5.幂级数z +z 4+z 9+…+2n z +…的收敛半径为6.在原点解析,而在z= 1n (n=1,2,…)处取值为 f(1n )=211n+的函数为7.函数f (z )=z 2(21z e -)的零点是 ,它是 级的 二、判断题(10分)1.设f (z )在区域D 内可导,则f (z )在D 内解析 ( ) 2.设f (z )在区域D 内解析,C 是D 内任一闭曲线,则c⎰f (z )dz=03.Sinz 和cosz 都是z 平面上的有界函数 ( ) 4.f (z )=u +iv 在区域D 内解析,则-u 是v 的共轭调和函数5. f (z )=| z |2在z 平面上处处不解析三、求下列积分(15分) 1.I= z cze dz ⎰,其中c 是连结o 到-1+i 的直线段 2.I=212ln(1)z z z dz =+⎰3.I=22(8)()z zdz z z i =--⎰ 四、(12分)已知u=x 3+6x 2y-3xy 2-2y 3,求解析函数f(z)=u+iv 使合条件f (0)=0五、(12分)将函数f(z)=1az b+(a,b 为复数,ab ≠0)展开为z 的幂级数,并指出展式成立的范围 , 六、(12分)叙述并证明代数学基本定理七、(9分)设f (z )=u(x ·y )+iv(x ·y )在区域内解析,试证在D 内,0f z∂=∂《复变函数》试卷七一.填空题(20分)1.已知z =1-I ,则argz = (-π<arg z ≤π),| z |= ,z =2.变换W=Z 3将z 平面上的区域D 变换为W 平面上的区域G :,其中D : 0< arg z <3π3. sin 2z +cos 2z =1在直线z =x ,(y=0)上成立,则由 定理,sin 2z +cos 2z =1 在全平面上也成立4.设f(z)=2z 4-z 3+11z 2-1,f(z)在| z |<2内有 个零点,f(z)在 2≤| z |<3 内有 个零点,f(z)在3≤| z |<+∞内有 零点,f(z)在z =1处的旋转角为 ,伸缩率为 。
(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f (z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z )在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数。
( ) 3。
若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f (z )在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6。
若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
( ) 7。
若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f (z)的可去奇点. ( )8。
若函数f (z )在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠。
( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z )在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数。
( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2。
=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________。
5。
幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。
6.若函数f (z )在整个平面上处处解析,则称它是__________。
7。
若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8。
=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数。
9. zz sin 的孤立奇点为________ .10。
复变函数考试试卷(A)及答案

第 1 页 共 5 页考试试卷(A)2008--2009学年第二学期 时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式: 闭卷一、专业年级: 教改信息班 总分100分, 占总评成绩70 %1. 注: 此页不作答题纸, 请将答案写在答题纸上 单项选择题(15分, 每小题3分) 下列方程中, 表示直线的是( )。
()()()()()()()254(54)54(54)112Re 1A i z i z zzB i z i zC z i z iD z z z -++=-++=-++==-2. 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在( )处可导。
()()()()22A B x C y D ==全平面处处不可导下列命题中, 不正确的是( )。
()()()()()()()()()0Res ,0Im 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e iD z e iωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆3. 下列级数绝对收敛的是( )。
()()()()()221111112n nnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++⎪⎝⎭∑∑∑∑ 设 在 内解析且 , 那么 ( )。
()()()()2211A iB iCD ππ--第 2 页 共 5 页1. 的主值为 。
2. 函数 仅在点z= 处可导。
3. 。
4. 函数 在 处的泰勒展开式 。
5. 幂级数 的收敛半径为 。
三.(10分)求解析函数 , 已知 。
四. (20分)求下列积分的值 1.()2241z z e dz zz =-⎰2.()20sin 0x xdx a x a+∞>+⎰五. (15分)若函数 在点 解析, 试分析在下列情形: 1. 为函数 的m 阶零点; 2. 为函数 的m 阶极点;求()()()0Res ,f z z z f z ϕ⎡⎤'⎢⎥⎣⎦。
复变函数练习题及答案

复变函数卷答案与评分标准一、填空题:1.叙述区域内解析函数的四个等价定理。
定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件:(1)(,)u x y ,(,)v x y 在D 内可微,(2)(,)u x y ,(,)v x y 满足C R -条件。
(3分)定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件:(1),,,x y x y u u v v 在D 内连续,(2)(,)u x y ,(,)v x y 满足C R -条件。
(3分)定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件:()f z 在区域D 内连续,若闭曲线C 及内部包含于D ,则()0C f z dz =⎰ 。
(3分) 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件:()f z 在区域D 内每一点a ,都能展成x a -的幂级数。
(3分)2.叙述刘维尔定理:复平面上的有界整函数必为常数。
(3分)3、方程2z e i =+的解为:11ln 5arctan 222i k i π++,其中k 为整数。
(3分) 4、设()2010sin z f z z+=,则()0Re z s f z ==2010。
(3分) 二、验证计算题(共16分)。
1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数,并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。
(8分)解:(1)22u x x ∂=+∂,222u x ∂=∂;2u y y∂=-∂,222u y ∂=-∂。
由于22220u u y x∂∂+=∂∂,所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。
(4分) (2)因为()f z 为解析函数,则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程,则有22v u x y x∂∂==+∂∂,所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++⎰ 2,v u y x y∂∂=-=∂∂又2()v y C x x ∂'=+∂ ,所以 ()0C x '=,即()C x 为常数。
复变函数期末试卷

南昌大学 2005~2006学年第一学期期末试卷一 . 填空 (每题2分,共10分)。
1. 设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=,则=z .2.设c 为沿原点z =0到点z =1+i 的直线段,则=⎰cdz z 2 2 .3. 函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z15+++++在点z=0处的留数为__________________4. 若幂级数i z z c n n n 210+=∑∞=在处收敛,则该级数在z =2处的敛散性为 .5. 设幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径为R ,那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为 .二. 单项选择题 (每题2分,共40分)。
1. 复数i 258-2516z=的辐角为 (B )A .arctan 21 B .-arctan 21 C .π-arctan 21 D .π+arctan 212. 方程1Rez 2=所表示的平面曲线为 ( )A .圆B .直线C .椭圆D .双曲线 3.复数)5isin -5-3(cos z ππ=的三角表示式为 (C )A .)54isin543(cos -ππ+ B .)54isin543(cos ππ-C .)54isin 543(cosππ+ D .)54isin 543(cos -ππ-4.设z=cosi ,则 ( A )A .Imz=0B .Rez=πC .|z|=0D .argz=π 5.复数i3e+对应的点在 ( A )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 6.设w=Ln(1-i),则Imw 等于( B ) A .4π-B . 1,0,k ,42k ±=ππ-C .4πD . 1,0,k ,42k ±=+ππ7.设函数f(z)=u+iv 在点z 0处可导的充要条件是 ( D) A. u,v 在点z 0处有偏导数C. u,v 在点z 0处满足柯西—黎曼方程B. u,v 在点z 0处可微 D. u,v 在点z 0处可微,且满足柯西—黎曼方程8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析,在C 上连续,且z=a 为D 内任一点,n 为正整数,则积分⎰+-cn a z z f 1)()(等于 ( D )A .)()!1(2)1(a fn i n ++π B .)(!2a f n i π C .)(2)(a ifn π D .)(!2)(a fn i n π9.设C 为正向圆周|z+1|=2,n 为正整数,则积分⎰+-cn i z dz 1)(等于 (C )A.1 B .2πi C .0 D .iπ2110.设C 为正向圆周|z|=2,则积分dz z c⎰-等于 ( A )A .0B .2πiC .4πiD .8πi 11.设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ,则f (z )等于 ( D )A .1++z z e zeB .1-+z z e zeC .1-+-z z e zeD .1+-z z e ze 12.设积分路线C 为z=-1到z=1的上半单位圆周,则⎰+c2dz z1z 等于(D )A .i 2π+B .i -2πC .i -2-πD .i 2-π+13.幂级数∑∞=1n 1-n n!z的收敛区域为( B )A .+∞<<|z |0B .+∞<|z |C .1|z |0<<D .1|z |<14. 3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的( D )A.一阶极点 B .可去奇点 C .一阶零点 D .本性奇点 15.z=-1是函数41)(z z cot +π的 ( A )A.3级极点 B .4级极点 C .5级极点 D .6级极点 16.幂极数∑∞=+1n nz (2n)!1)!n (的收敛半径为( D )A.0 B .1 C .2 D .+∞ 17.设Q (z )在点z=0处解析,1)-z(z Q(z)f(z)=,则Res[f(z),0]等于 ( B )A .Q (0)B .-Q (0)C .Q ′(0)D .-Q ′(0) 18.下列积分中,积分值不为零的是(D ) A .2|1-z C 3)dz,2z (z c3=++⎰为正向圆周|其中 C .1|z C dz,sinzz c=⎰为正向圆周|其中B .5|zC dz,e c z =⎰为正向圆周|其中 D .2|z C dz,1-z cosz c=⎰为正向圆周|其中19.级数∑∞=1n in e 是 ( B )A. 收敛B. 发散C. 绝对收敛D. 条件收敛20.在|z|<1内解析且在(-1,1)内具有展开式∑∞=-0n n n x )1(的函数只能是( A )A. z11+ B.2z11- C.z11- D.2z11+三.计算及应用题(每题10分,共50分)。
2008-2009复变函数第二学期A

《复变函数与积分变换》试卷(A ) 第1页(共2页)河南理工大学万方科技学院 2008—2009 学年第 2 学期《复变函数与积分变换》试卷(A 卷)考试方式:闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的 80 %一、填空:(每空3分,共30分)1、5)i =_______________2、1i i ⎛⎫⎪⎝⎭--arg =_____________________3、函数)sin (cos )(y i y e z f x +=的解析区域为________________4、2||124z dzz z =++⎰ = 5、把函数311z +展开成z 的幂级数 6、0z =是31z e z-的 级极点7、2Re [,1]1zzes z -= 8、()F f t ⎡⎤=⎣⎦______________________9、atL e ⎡⎤⎣⎦= ,1L ⎡⎤⎣⎦=_________________二、选择:(每题4分,共20分)1、0=z 是函数()f z =ze 1的哪种奇点 ( )A .可去奇点B .极点C .本性奇点D .非孤立奇点 2、幂级数1(1)n n n i z ∞=+∑的收敛半径 ()A .0B .∞CD .e3、若z 0为()f z 的奇点,则下列结论正确的是 ( ) A .()f z 在z 0点必不可导 B .()f z 在z 0点必不连续 C .()f z 在z 0点必没有定义 D .()f z 在z 0点必不解析4、下列哪一个是调和函数 ( ). A . 32(,)3u x y y x =- B . 22(,)u x y x y =-C . 2(,)3u x y xy =D . 23(,)2u x y x y =-5、设a z =是)(z f 的m 级极点,则函数)()(z f z f '在点a z =处的留数为 ()A .mB . -mC . m-1D . m+1三、计算:(每题10分,共50分)1、设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数,确定l n m ,,的值。
复变函数试卷及答案

复变函数试卷及答案【篇一:《复变函数》考试试题与答案各种总结】xt>一、判断题(20分):1.若f(z)在z0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若{zn}收敛,则{re zn}{im zn}与都收敛. ( )4.若f(z)在区域d内解析,且f(z)?0,则f(z)?c(常数).( )5.若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )6.若z0是f(z)的m阶零点,则z0是1/f(z)的m阶极点. ( )7.若z?z0limf(z)存在且有限,则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域d内的单叶函数,则f(z)?0(?z?d). ( )9. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?cf(z)dz?0.( )10.若函数f(z)在区域d内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域d 内恒等于常数.()二.填空题(20分)dz?__________.(n为自然数)1、 ?|z?z0|?1(z?z)n22sinz?cosz? _________. 2.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?4.设?1z2?1,则f(z)的孤立奇点有__________.n?nzn?0的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若n??limzn??z1?z2?...?zn?n??n,则______________.limezres(n,0)?z8.________,其中n为自然数.sinz9. 的孤立奇点为________ .zlimf(z)?___zf(z)的极点,则z?z010.若0是.三.计算题(40分):1. 设1f(z)?(z?1)(z?2),求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz.?|z|?1cosz2.3?2?7??1f(z)??d?c??z3. 设,其中c?{z:|z|?3},试求f(1?i).w?4. 求复数z?1z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?f(z)在区域d内解析. 证明:如果|f(z)|在d内为常数,那么它在d内在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题(一)参考答案一.判断题?2?in?11. ? ;2. 1;3. 2k?,(k?z);4. z??i; 5. 1 0n?1?6. 整函数;7. ?;8. 三.计算题.1. 解因为0?z?1, 所以0?z?1?1?zn111n??z??(). f(z)???2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?021; 9. 0; 10. ?.(n?1)!2. 解因为z?resf(z)?limz??2?2z??2?lim1??1, coszz???sinzz??2resf(z)?limz???2z???2?lim1?1. coszz????sinz所以1sf(z)?resf(z)?0. z?2cosz?2?i(re??z??z?2223. 解令?(?)?3??7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)??(?)?c??z?2?i?(z).所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解令z?a?bi, 则 w?z?122a(?1?bi)2a(?1)b2. 2?1?1?122222z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b, . )?1?im()?z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2故 re(四. 证明题.1. 证明设在d内f(z)?c.令f(z)?u?iv,则f(z)?u2?v2?c2.2?uux?vvx?0两边分别对x,y求偏导数, 得??uuy?vvy?0(1)(2)因为函数在d内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为?uux?vvx?022. 消去ux得, (u?v)vx?0. ??vux?uvx?01) 若u?v?0, 则 f(z)?0 为常数.2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 c.?r.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数).22所以f(z)?c1?ic2为常数. 2.证明f(z)?的支点为z?0,1. 于是割去线段0?rez?1的z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角增加?. 所以f(z)?的幅角共增加?. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分2?i?2支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为,故f(?1)??.2《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在d内连续,则u(x,y)与v(x,y)都在d 内连续. ( )2. cos z与sin z在复平面内有界.( )3. 若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点,则limf(z)一定不存在. ( )z?z06. 若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?f(z)dz?0.c( )8. 若数列{zn}收敛,则{rezn}与{imzn}都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域d内解析,则|f(z)|也在d内解析. ( )11110. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()?0且f()?,n?1,2,....n?12n2n( )二. 填空题. (20分)1. 设z??i,则|z|?__,argz?__,?__z?1?i2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c,则limf(z)?________.3.dz?|z?z0|?1(z?z0)n?_________.(n为自然数)4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?0?5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0,则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?1,则f(z)的孤立奇点有_________. 21?z9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.z?110. res(,1)?____. 4z三. 计算题. (40分)3sin(2z)的幂级数展开式. 1. 求函数2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.??|z|dz,积分路径为(1)单位圆(|z|?1)?ii3. 计算积分:i的右半圆.4. 求sinzz?2(z?)22dz.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析,试证:f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题.【篇二:复变函数试题与答案】>一、选择题1.当z?1?i时,z100?z75?z50的值等于() 1?i(a)i (b)?i(c)1 (d)?12.设复数z满足arc(z?2)??3,arc(z?2)?5?,那么z?() 61331?i (d)??i 2222(a)?1?3i (b)?3.复数z?tan??i(3?i (c)??????)的三角表示式是() 2 ???)?i??)] (b)sec?(a)sec22??3?3???)?i??)] 22?(c)?sec3?3?????)?i??)](d)?sec???)?i??)] 2222224.若z为非零复数,则z?与2z的关系是()2222(a)z??2z (b)z??2z22(c)z??2z (d)不能比较大小5.设x,y为实数,则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12,的轨迹是()(a)圆(b)椭圆(c)双曲线(d)抛物线6.一个向量顺时针旋转?3,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为1?3i,则原向量对应的复数是()(a)2(b)1?i (c)3?i (d)3?i17.使得z2?z成立的复数z是() 2(a)不存在的(b)唯一的(c)纯虚数(d)实数8.设z为复数,则方程z??2?i的解是()(a)?3333?i (b)?i (c)?i (d)??i 44449.满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是() z?i(a)有界区域(b)无界区域(c)有界闭区域(d)无界闭区域10.方程z?2?3i?2所代表的曲线是()(a)中心为2?3i,半径为2的圆周(b)中心为?2?3i,半径为2的圆周(c)中心为?2?3i,半径为2的圆周(d)中心为2?3i,半径为2的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()(a)z?1?2 (b)z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) (d)z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az(c)12.设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,,则f(z1?z2 )(a)?4?4i(b)4?4i(c)4?4i(d)?4?4i13.limim(z)?im(z0)() x?x0z?z0(a)等于i(b)等于?i(c)等于0(d)不存在14.函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是()(a)u(x,y)在(x0,y0)处连续(b)v(x,y)在(x0,y0)处连续(c)u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续(d)u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115.设z?c且z?1,则函数f(z)?的最小值为() z (a)?3 (b)?2(c)?1 (d)1二、填空题1.设z?(1?i)(2?i)(3?i),则z? (3?i)(2?i)2.设z?(2?3i)(?2?i),则argz?3.设z?,arg(z?i)?3?,则z? 4(cos5??isin5?)24.复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5.以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为6.不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 67.方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z8.方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线9.对于映射??2i22,圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410.lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0,试求z?2的取值范围.四、设a?0,在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i,试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?),求出圆周z?4的像. 2z七、试证1.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2; z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z22.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0,则存在??0,使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy,试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy,试讨论下列函数的连续性: ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题:1.函数f(z)?3z在点z?0处是( )(a)解析的(b)可导的(c)不可导的(d)既不解析也不可导2.函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充分必要条件(d)既非充分条件也非必要条件3.下列命题中,正确的是( )(a)设x,y为实数,则cos(x?iy)?1(b)若z0是函数f(z)的奇点,则f(z)在点z0不可导(c)若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程,则f(z)?u?iv在d内解析(d)若f(z)在区域d内解析,则在d内也解析4.下列函数中,为解析函数的是( )(a)x2?y2?2xyi(b)x2?xyi(c)2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)(d)x3?iy35.函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )(a)等于0 (b)等于1 (c)等于?1(d)不存在6.若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析,那么实常数a?( )(a)0(b)1(c)2(d)?27.如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零,且f(0)??1,那么在z?1内f(z)?( )(a)0(b)1(c)?1(d)任意常数8.设函数f(z)在区域d内有定义,则下列命题中,正确的是(a)若f(z)在d内是一常数,则f(z)在d内是一常数(b)若re(f(z))在d内是一常数,则f(z)在d内是一常数(c)若f(z)与f(z)在d内解析,则f(z)在d内是一常数(d)若argf(z)在d内是一常数,则f(z)在d内是一常数9.设f(z)?x2?iy2,则f?(1?i)?( )5【篇三:大学复变函数考试卷试题及答案】ss=txt>?z2?,z?01.设f?z???z,则f?z?的连续点集合为()。
808级复变函数与积分变换(A卷)参考答案

第 1 页/共 4 页课程编号:8 北京理工大学2009—20010学年第二学期2008级复变函数与积分变换试题A 卷年级_______ 姓名_________ 学号_______成绩__________一 (10) (1) 求区域}0)Im(:{>z z 在映射)1(+-=z i w 下的像。
解答:像为{w | Re(w ) > 0}(映射过程图略)。
(2) 判别函数2)(z z f =在复平面上哪些点处可导,哪些点处解析。
解答: f (z ) 仅在z = 0处可导,在囫囵复平面上无解析点。
二(6)设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面的某个区域D 内解析,并且),(),(2y x u y x v =,求)(z f 。
解答:f (z )=c +i c 2(其中c 为实常数)。
三(6)求解析函数),(),()(y x iv y x u z f += 满意:)(2)4)((22y x y xy x y x v u +-++-=+。
解答:).1(2)23()23()(33223i c z z c y y y x i c x xy x z f -+-=---++--= 四(58)计算下列积分:(1)⎰Cdz z )Im(,其中积分路径C 分离为1)从),(00到i +1的直线段;2)从),(00到i 的直线段以及从i 到i +1的直线段。
解答:1)21i +; 2)21i+; (2)dz z z z ⎰=++1||2221=0 (由Cauchy 积分定理); (3)⎰=++12)2)(12(z z z zdzi π92-=; (4)dz z zi z ⎰=-+122解答:21||1()()||1,z i z i z i z i z i z i-=⇒--=-=⇒-=-22221111212211()222(2)() (2)() 2{Re [,]Re []}(2)()(2)() z i z i z i z i z i i zdzz i ii z i z i dz dz dz z z z z z i izdz z z i iz izi s i s z z i z z i π-=-=-=-=-=------∴===++++--=+---=++-+-⎰⎰⎰⎰⎰ 2{1(1 ;i i ππ=+=-(5)⎰=-+1323)(z dz a z z z ,其中常数1||≠a 解答:⎩⎨⎧<+>=-+⎰= );1|(| )26(),1|(| 0)(1323a i a a dz a z z z z π (6)||)2(11||dz z z z ⎰=- 解答:设],2,0[ ,π∈=t e z it则,|||||| ,]2,0[izdzdt dt dt ie dz izdt dt ie dz t itit ======∈π 所以2)2(12)2(1)2(1||)2(101||21||1||ππ-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=-====⎰⎰⎰z z z z z i i dz z iz iz dz z z dz z z ;(7)4)1(1022π=+⎰+∞dx x ; (8)dz z z z ⎰=-2|1|1cos 解答:12|1|20,1cos Re 21cos -=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰ic z z s i dz z z z ππ,其中1-c 为z z 1cos 在∞<<||0z 内Laurent 级数的负一次项系数。
青岛科技大学2008-2009学年第一学期复变函数AS数理学院通信信息专业考试试题与答案

08-09 第一 复变函数(A)数理学院通信071-2信息071-4(答案写在答题纸上,写在试题纸上无效)一、 选择题(每小题2分,共12分)1、下列命题正确的是__________.A. sin 1z ≤B. n Lnz nLnz =C. 211= D.2z k i z e e π+=(k 是整数)2、复数z -12-2i =的三角形式为________.A. 554(cossin )66i ππ- B. 554(cos sin )66i ππ+ C. 4(cos sin )66i ππ- D. 4(cos sin )33i ππ-3、 若f()z 在圆环域0r z z R <-<内解析,则f()z 可以展成洛朗级数0()nnn c z z +∞=-∞-∑,其中n c =________.A.()0()!n f z n B. 101f()dz 2()n Cz i z z π+-⎰,C 为圆环域内围绕0z 的简单闭曲线C.02()!i f z n π D. 101f()dz 2()n Cz iz z π+-⎰,C 为围绕0z 的简单闭曲线 4、2c dz ()(3)z i z =-+⎰_______,其中C :23z =正向圆周. A.3i + B.21(3)i - C. 0 D. 22(3)i + 5、若函数f()(,)(,)z u x y iv x y =+在区域D 内解析,则下列命题错误的是____.课程考试试题学期 学年 拟题人: 校对人:拟题学院(系): 适 用 专 业:A .),(),,(y x v y x u 在区域D 内可微 B. ()f z '在区域D 内解析C .u vy x∂∂=-∂∂ D. c 0f(z)dz 0z-z =⎰,其中C 为D 内任意一条包围0z 的闭曲线6、0z =是函数3sin zz e z⋅的__________. A .可去奇点 B 二级极点 C .三级极点 D.本性奇点二、 填空题(每小题3分,共18分)1、1=i _____________.2、设复数(1911)(1)1119i i z i+-=-,=___________z 则. 3、设C 为正向圆周||3z =,则z2c e dz z (1)(4)z z ++⎰=_________. 4、设C 为围绕0z 的任意简单闭曲线,n 为整数,则1c 0dz()n z z +-⎰=_________.5、1sin dz ________z z =⎰.6、设f()z 在扩充复平面内有三个孤立奇点1,2,∞,且它在奇点1,2的留数分别是1,e -,则函数211f ()z z 在零点的留数211Res[f(),0]_________z z=.三、 是非判断题(每小题2分,共10分)1、352i i +<+. ( )2、解析函数的实部与虚部互为调和函数.( )3、若f()z 在0z 点的导数存在,则f()z 在0z 点解析. ( )4、级数0(1)nn i +∞-=+∑是绝对收敛的.( ) 5、21z e z-的孤立奇点0z =是一级极点.( )四、 计算题(每小题10分,共50分)1、计算积分2252dz (1)z z z z =--⎰. 2、函数2f ()z x y i =-在何处可导?何处解析?在可导点求其导函数. 3、求函数ln(1)z +在0z =的泰勒展式,并指出其泰勒级数的收敛范围.4、将函数21(1)z z z +-在圆环域1z <<+∞内展为洛朗级数. 5、利用留数定理计算220dxcos 1x π+⎰.五、 证明题(10分)若f ()z 在0||z z R -≤解析,证明:20001f ()f (Re )d θ2i z z πθπ=+⎰.20072008 拟题学院(系): 数理学院适用专业: 通信071-2信息071-42008-2009 学年 一 学期 复变函数 试题标准答案(答案要注明各个要点的评分标准)一、选择题(2*6=12)1. D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 二、填空:(3*6=18) 1. 2,0,1,2,k ek π-=±± 2.2 3.238i ie ππ- 4.0,1,2,2,0n i n π=±±⎧⎨=⎩ 5.sin1cos1- 6.1e -三.判断题(2*6=12)1.错 2.错 3.错 4.对 5.对 四.计算题(5*10=50)1、 解:被积函数的奇点有0z =和1z =且都在C 内 , (2分) 分别绕0和1作位于C 内的简单闭路1C 和2C ,由复合闭路定理 (3分)原式12252522(1)dz dz (1)C C z z z z zz ---=+-⎰⎰(5分) 由柯西积分公式及高阶导数公式 (6分) 上式=215252()(1)z z z z z z ==--'=+- (8分) 220=-+= (10分) 2、 解:函数的定义域为复平面 (1分) 由已知 2(,),(,)u x y x v x y y ==- (2分)拟 题 人:书写标准答案人:而 2,10,0u vx x yu v y x∂∂==-∂∂∂∂==∂∂ (4分)若函数可导须满足柯西黎曼方程,u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ (6分) 即 21x =- 所以 12x =-(7分) 所以,函数在直线12x =-可导,此时,f ()1u vz i x x∂∂'=+=-∂∂ (8分)但在整个复平面不解析. (10分)3、解:由于ln(1)z +的解析区域是除负实轴上 1z ≤- 外的区域, (1分)所以离0z =最近的奇点是-1,故收敛半径是1,收敛圆域是1z < (3分)因为 1[ln(1)]1z z'+=+ (5分) 而1(1)1n n n z z ∞===-+∑ (8分) 两边逐项求积分得1101ln(1)(1)(1)1n n nn n n z z z n n +∞∞-==+=-=-+∑∑ (10分) 4、解:因为2222211112112(1)(1)111z z z z z z z z z z z++==-+=-+---- (2分)在 1z <<+∞ 内, 可知1<1z(3分) 因为122111zz z =-- (6分) 01212n n n n z z z +∞+∞====∑∑ (8分)所以222213111212(1)n n n n z z z z zz z z+∞+∞==+=-+=-+-∑∑ (10分)5、解:因为cos cos()x x π=--,22cos cos ()x x π=- (1分)令u x π=-, 则02222022dx du dx cos 1cos ()1cos 1x u x πππππ-==+-++⎰⎰⎰ (2分) 故22200dx 1dxcos 12cos 1x x ππ=++⎰⎰ (3分) 20001dx 1d2x 1d 1cos 2223cos 223cos 12x x πππθθ===++++⎰⎰⎰ (4分) 令i z e θ=则21cos 2z zθ+= (5分)因此221d 1dz13cos 32z z izzπθθ==+++⎰⎰ (6分) 212dz61z i z z ==++⎰ 12(322)(z iz ==+-⎰(8分)322i π=-+==(9分) 所以220dx cos 14x π=+⎰(10分)五.证明题(10)证明:由已知条件及柯西积分公式得 (1分)001f()f ()dz 2Cz z iz z π=-⎰其中C 是圆周0R z z -= (3分)C 的极坐标方程可写为0()Re i z z θθ=+ (5分)所以20000f(Re )1f ()d(Re )2Re i i i z z z i θπθθπ+=+⎰ (8分) 200f(Re )1Re id 2Re i i i z i θπθθθπ+=⎰ (9分) 2001f (Re )d θ2i z πθπ=+⎰(10分)。
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08-09
第一 复变函数(A) 数理学院
通信071-2信息
(答案写在答题纸上,写在试题纸上无效)
一、 选择题(每小题2分,共12分)
1、下列命题正确的是__________.
A. sin 1z ≤
B. n Lnz nLnz =
C. 1=
D.
2z k i z e e π+=(k 是整数) 2、复数z =的三角形式为________. A. 554(cos sin )66i ππ- B. 554(cos sin )66
i ππ+ C. 4(cos sin )66i ππ- D. 4(cos sin )33
i ππ- 3、 若f()z 在圆环域0r z z R <-<内解析,则f()z 可以展成洛朗级数
0()n n n c z z +∞=-∞-∑,其
中n c =________. A.()0()!n f z n B. 101f()dz 2()n C
z i z z π+-⎰ ,C 为圆环域内围绕0z 的简单闭曲线 C. 02()!i f z n π D. 101f()dz 2()
n C z i z z π+-⎰ ,C 为围绕0z 的简单闭曲线 4、=⎰ _______,其中C :23
z =正向圆周. A. i 5、若函数f()(,)(,)z u x y iv x y =+在区域D 内解析,则下列命题错误的是____.
课程考试试题
学期 学年 拟题学院(系): 适 用 专 业:
A .),(),,(y x v y x u 在区域D 内可微 B. ()f z '在区域D 内解析
C .u v y x ∂∂=-∂∂ D. c 0f(z)dz 0z-z =⎰ ,其中C 为
D 内任意一条包围0z 的闭曲线
6、0z =是函数3sin z
z e z
⋅的__________. A .可去奇点 B 二级极点 C .三级极点 D.本性奇点
二、 填空题(每小题3分,共18分)
1、1=i _____________.
2、设复数(1911)(1)1119i i z i
+-=-, =___________z 则. 3、设C 为正向圆周||3z =,则z
2c e dz z (1)(4)z z ++⎰ =_________.
4、设C 为围绕0z 的任意简单闭曲线,n 为整数,则1c 0dz ()n z z +-⎰ =_________.
5、1
0sin dz ________z z =⎰.
6、设f()z 在扩充复平面内有三个孤立奇点1,2,∞,且它在奇点1,2的留数分别是1,e -,则函数211f ()
z z 在零点的留数211Res[f(),0]_________z z
=. 三、 是非判断题(每小题2分,共10分)
1、352i i +<+. ( )
2、解析函数的实部与虚部互为调和函数.( )
3、若f()z 在0z 点的导数存在,则f()z 在0z 点解析. ( )
4、级数0(1)n n i +∞
-=+∑是绝对收敛的.( ) 5、21z e z
-的孤立奇点0z =是一级极点.( )
四、 计算题(每小题10分,共50分)
1、计算积分22
52dz (1)z z z z =--⎰ . 2、函数2f ()z x y i =-在何处可导?何处解析?在可导点求其导函数.
3、求函数ln(1)z +在0z =的泰勒展式,并指出其泰勒级数的收敛范围.
4、将函数21(1)
z z z +-在圆环域1z <<+∞内展为洛朗级数. 5、利用留数定理计算
220dx cos 1
x π
+⎰. 五、 证明题(10分)
若f ()z 在0||z z R -≤解析,证明:20001
f ()f (Re )d θ2i z z π
θπ=+⎰.。