复变函数08-09试卷A
复变函数历年考试真题试卷
河南理工大学 2009-2010 学年第 二 学期《复变函数论》试卷（A 卷）一、选择题（每题5分，共25分）⒈ 已知 8)11(ii z +-=，则223366-+z z 的值为( ) A. ;i - B. 1; C. ;i D. -1.⒉ 函数iv u z f w +==)(在点0z 处解析,则命题( )不成立A. v u ,仅在点0z 处可微且满足C-R 条件；B. 存在点0z 的某一邻域)(0z U ，v u ,在)(0z U 内满足C-R 条件；C. v u ,在)(0z U 内可微；D. B 与C 同时成立.3. 设11:=-z C ,则=+-⎰Cz z dz 33)1()1(( ) A. i 83π; B. i 83π-; C. i 43π; D. i 43π- 4. 若幂级数∑∞=-0)1(n n n z a 在3=z 发散,则它必在( )A. 1-=z 收敛;B. 23-=z 发散;C. 2=z 收敛;D. 以上全不正确5. =+-=)1)((1Re 2z i z s i z ( ) A.4i B. 4i - C. 41 D. 41- 二、 填空题（每题5分，共25分）1. =+6)1(i .2． 若z i e i = ,则=z Re .3. =++⎰=dz z z z 243)1(1 .4. 4. 幂级数()∑∞=-11n n n z i 的收敛半径为R= 5.=++⎰+∞∞-dx x x x 54cos 2 . 三、 计算题（每题10分，共40分）1、设y e vpx sin =，求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数iv u z f +=)(。
2、计算积分dz z z e I C z ⎰-=3)1(，其中C 为不经过点0与1的闭路。
3、求函数)1)(2(5222+-+-z z z z 在圆环域20<<z ，+∞<<z 2内的洛朗级数.4、求出332)(sin )2)(1()(z z z z f π--= 在扩充复平面内的所有奇点并指明其类型，极点请指出其阶数。
复变函数试卷试题及含答案
1、复数 12 2i 的指数形式是2、函数 w = 1将 S Z 上的曲线 x 1 2y 21 变为 S W ( w uiv ) 上z的曲线是3. 若1e z 0 , 则 z ＝4、 1 i i =5、积分2 i 2 2 dz =2z6、积分1sin z dz2 iz 1z7、幂级数1 i n z n 的收敛半径 R=n 08、 z 0 是函数e z1 1 的 奇点1 z9、 Re se zz2 1z110、将点 ,i,0 分别变为 0,i,的分式线性变换 w二、单项选择题（每题 2 分）1、设为随意实数，则 （ ）1 =A 无心义 B等于 1C 是复数其实部等于 1 D是复数其模等于 12、以下命题正确的选项是（ ）A i 2iB零的辐角是零C 仅存在一个数 z, 使得1z D1z izzi3、以下命题正确的选项是（）A 函数 f z z 在 z 平面上到处连续B 假如 fa 存在 , 那么 f z 在 a 分析C 每一个幂级数在它的收敛圆周上到处收敛D 假如 v 是 u 的共轭调解函数 , 则 u 也是 v 的共轭调解函数4、根式3 1 的值之一是（）A 13 i B 3 i C 3 i D 1 3 i 2 2 2 2 2 2 2 25、以下函数在 z 0 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（）1 1 zA B cos C e ctg 1sin 1 zz6、以下积分之值不等于0 的是 ( )D LnzA dzB dzC dzD dz3 1z 1 z z 1 z z 1 z 2 2z 4z 1 cosz2 27、函数f z arctan z 在z 0处的泰勒展式为（）A 1 n z 2n （ z <1）B 1 n z2 n 1（z <1）n 0 2n 1 n 0 2nC 1 n z2 n 1 （ z <1）D 1 n z2n （ z <1）n 0 2n 1 n 0 2n8、幂级数( 1) n 1 z2 n在z 1内的和函数是（）n 01B 1C1 1A1 z2 z2 1 D1 z2 1 z 29、设 a i ， C： z i =1，则z cos z2dz （）C a iA 0B 2i C 2 ie D icosi e10、将单位圆 z 1共形映照成单位圆外面w 1 的分式线性变换是（）A w e i z a( a 1) B w e iz a( a 1) 1 az 1 azC w e i z a( a 1) D w e iz a( a 1) z a z a三、判断题（每题 2 分）1、（）对任何复数 z, z22z 建立2、（）若 a 是 f z 和 g z 的一个奇点,则 a 也是 f z g z 的奇点3、（）方程 z7 z3 12 0 的根全在圆环1 z 2 内4、（） z= 是函数f zz52 的三阶极点1 z5、（）分析函数的零点是孤立的四、计算题（每题 6 分）1、已知f z x2 axy by 2 i (cx2 dxy y 2 ) 在 S z上分析,求a,b,c,d 的值2、计算积分5z 22 dzz 2 z(z 1)3、将函数 f z z 1在 z 1 的邻域内展成泰勒级数 , 并指出收敛范围z 14、计算实积分I=x 2dx 0(x 2 1)( x2 4)5、求f (z) 1 在指定圆环 2 z i 内的洛朗展式z216、求将上半平面 Im z 0 共形映照成单位圆w 1的分式线性变换w L z ，使切合条件 L i 0 ， L i 0五、证明题（每题7 分）1、设（ 1）函数f (z)在地区 D 内分析（2）在某一点z0 D 有 f (n) (z0 ) 0 ，（ n 1,2,）证明： f ( z) 在D内必为常数2、证明方程e z 5z n 1 0 在单位圆z 1内有n个根一填空题（每题 2 分，视答题状况可酌情给 1 分，共 20 分）5 i 11 4e6 ，2 u (2k+1) i ,(k=0,1, 2) ，4，32e i ln 2 e4 2k) (k=0, 1, 25 i6 0 , 71, 8 可去，9e， 101 ,2 2 z 3二（每小 2 分，共 20 分）1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A三判断（每小 2 分，共 10 分）1 2 3 4 5四算（每小 6 分，共 36 分）1 解：u x2 axy by 2, v cx 2 dxy y 23 分u x v y 2x ay dx 2yu y v x ax 2by 2cx dy ⋯5 分解得 : a d 2,b c 1 6分2 解：被函数在周的z 2 内部只有一极点z=0及二极点 z=1 2 分Re s f (z) 5z 2 2( z 1) 2 z 0z 0Re s f (z) 5z 2 225分z z 2z 1 z 1z 15z 2 2 dz = 2i(-2+2)=0 6 分z2 z(z 1)3 解： f zz 1z 12 1 1n= 1 1 1 z 1 n ⋯ 4 分z 1 1 z 1 n 0 22（ z 1 <2）⋯6分4 解: 被 函数 偶函数在上半z 平面有两个一 极点 i,2iI=1x 2dx2( x 2 1)( x24)=12 i Re s f (z) Re sf (z)2z iz 2 i=iz 2z iz 22i) z 2i( zi)( z 24)(z 2 1)( z=65 解： f ( z)1( zi )( z i)=1122i(z i ) 1z i=1 i )2( 1) n( 2i ) n2 z i(z n 0 (z i) n6 解 :w =L(i)=k z iz iwk 2ii) 2( zw L (i) 0k iz i w iz i五 明 （每小 7 分，共 14 分）⋯ 1 分⋯ 2 分⋯ 3 分 ⋯ 5 分⋯6 分⋯1 分⋯3 分⋯6 分2 分⋯3 分⋯4 分⋯6 分1 明 : k : z z 0R(k D )f (z) 在 z 0 分析由泰勒定理f (z)f ( n) (z 0 ) ( z z 0 ) n ( z k D ) ⋯2 分n 0n! 由 f (n) (z 0 ) 0 f (z)f (z 0 ) ， ( zkD ) ⋯4 分由独一性定理f ( z) f ( z 0 ) ( z D )⋯ 7 分2 明：令 f ( z) 5z n， ( z) e z 1 2 分(1 ） f z 及z 在z 1分析(2 ） z 1上，f z 5z n 5z e z 1 e z 1 e z 1 e 1 <5 4 分故在 z 1上 f z z ，由儒歇定理在 z 1内N ( f z z , z 1) N ( f z , z 1) n ⋯ 7 分一、填空（每小 2 分）1、 cos5 i sin 52 的指数形式是cos3 i sin 3 32、i i =3、若 0<r<1，分ln 1 z dzz r4、若v是u的共和函数，那么v 的共和函数是5、 z 0 函数f (z) = z3 sin z3的m零点，m =6、z a 函数 f z 的 n 极点，那么 Re s f z=z a f z7、数z n 的收半径 R=n 0 n!8、 z 0 是函数z5sin 1 的奇点z9、方程z7 z3 12 0 的根全在内10、将点,i,0 分成 0,i, 的分式性 w二、（每小 2 分）1、若函数 f z 在地区D内分析，函数 f z 在地区D内（）A 在有限个点可B存在随意数C 在无多个点可D存在有限个点不行2、使z22建立的复数是（）zA 不存在B 独一的C 纯虚数D 实数3、cos z dz （）z2 (1 z)2A － i sin1B i sin1C －2 i sin1D 2 i sin14、根式3i的值之一是（）A3 iB3 iC iD i2 2 2 25、z 是 sin z 的（）zA 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 实质奇点6、函数f z 1 ，在以 z 0 为中心的圆环内的洛朗展式z z 1 z 4有m个，则 m=( )A 1B 2C 3D 47、以下函数是分析函数的为（）A x2 y 2 2xyiB x2 xyiC 2( x 1) y i( y2 x 2 2x)D x3 iy 38、在以下函数中， Res f z 0 的是（）z 0A fe z 1B f zsin z 1 zz z z2C fsin z cos zD f z1 1zz e z 1 z9、设 a i ， C： z i =1，则z cos z2dz （）C a iA 0B 2 iC 2 ieD icosie10、将单位圆 z 1共形映照成单位圆外面w 1 的分式线性变换是（）A w eiz a( a1)Bw eiz a ( a1)1az1 azC w eiz a( a1)Dw eiz a( a1)z az a三、判断题（每题 2 分）1、（ ）幂级数n 0 z n 在 z <1 内一致收敛2、（ ） z= 是函数1cos z 的可去奇点z 23、（ ）在柯西积分公式中，假如 aD ，即 a 在 D 以外，其余条件不变，则积分 1f zdz 0， z D2 i C z a4、（ ）函数 f zctg1 0 的去心邻域内可展成洛朗级数ez在 z 5、（ ）分析函数的零点是孤立的四、计算题（每题6 分）1、计算积分x y ix 2 dz ， C ： i 1+ i 的直线段C2、求函数 f zz2 在全部孤立奇点（包含）处的留数z 1 z 13、将函数 f z1 z 1 在 z i 的去心邻域内展成洛朗级数 , 并指出收敛域z i i4、计算积分Cz 2dz, C: x 2 y 2 2y 1，z 2 15、计算实积分 I=2d(a 1)acos6、求将单位圆 z1共形映照成单位圆 w1的分式线性变换 w L z使切合条件 L10 ， L 112五、证明题（每题7 分）满分14得分1、设函数 f z 在地区 D 内分析，证明：函数 i f z 也在 D 内分析2、明：在 z 0 分析，且足的 f 11 1， f 11（ n 1,2 ）的2n 2n 2n 2n 函数 f z 不存在一填空（每小 2 分，答状况可酌情 1 分，共 20 分）2k1 e i19，2 e2 (k=0, ±⋯)，3 0 ，4 u ，5 96 n，7 ，8 本，9 1 z 2 ， 10 1 z二（每小 2 分，共 20 分）1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A三判断（每小 2 分，共 10 分）1234 5四算（每小 6 分，共 36 分）1 解： C 的参数方程： z=i+t, 0 t 1 dz=dt 3分x y ix 2 dz＝t 1 it2 dt = 1 i 6 分1C 0 2 32 解: z 1 f z 一极点 1 分z 1 f z二极点 2 分Re s f zz11z 1z 1z4Re s f zz12 z 1z 1 z 14Re s f z 0z3 解： f z1 1 = 1 1 1ziz iz i2iz i12i=11 n z i nz i n2i n 1（0< zi <2）4 解：在 C 内 f z 有一个二 极点 z ＝ 0 和一个一 极点 z iRe s f z1z 21z 0z 0Res f z1 12 ( z i ) z i2iz iz3 分5 分⋯6 分⋯2分⋯5分 ⋯6分⋯ 1 分⋯ 3 分⋯5分因此原式＝ 2 i 01⋯6 分2i5 解：令 ze iI1dz1z z 1izza2=2a 2dzi z 1 z ( a 1) z ( aa 2 1)被 函数在 z1内的有一个一 极点 zaa 2 1⋯ 1 分⋯3 分Re s f ( z)1⋯5 分2zaa 212 a 1I=2 2 12 ⋯6 分i2 a 21a 2 1i1z1 z 16 解： wL k 2 k2 2 分21 z2z11211L 1 k21 因此 k 24 分2k121z 2z 1w2 2于是所求分z 2z62五 明 （每小 7 分，共 14 分）1 明：f(z)=u （x ，y ）+iv （ x ， y ）f (z) = u （x ，y ）-iv（x ，y ）i f ( z) = v （x ，y ）-i u （x ，y ）2 分f （ z ）在 D 内分析， u xv y ,u yv xi f (z) 四个偏 数 v x ， v y ，-u x ，-u y4 分比 f （z ）的 C －R 方程 i f (z) 也 足 C-R 方程且四个偏 数在 D 内i f (z) 在 D 内分析 7 分2 明：假 在 z 0 分析的函数 f z 存在且 足 f1 11 ， f 1 1（ n 1,2）2 分2n 2n2n2n点列 1 = 1以 z0 聚点2n 2n在点列1 1 1 2n上, f2n2n由分析函数的独一性定理在 z 0 的邻域内 f z = z5 分但在这个邻域内又有 f1 11矛盾2n 2n在 z 0分析的函数 f z 不存在 7 分。
08 09第二学期复变函数积分变换复习卷(答案)
08 09第二学期复变函数积分变换复习卷（答案）08-09第二学期复变函数积分变换复习卷（答案）2022-2022学年第二学期复变函数（本科）复习卷参考答案一、填空题1.复数Z？1.I=2（COS？4？Isin？4？）的三角表达式；复指数表达式=2E4。
i2、复数z?1?6?3i的z=2；argz?5??3?2k?；argz??3；z?1?3i。
1.1.我23、?；? 我1.1.1.我10?? i3i？3.E3i？？十、3岁？1.454、? 1.2i？十、3.5i？Y1.3i通过解方程，x？。
，Y2倍？5y？？31111? 5、 f？Z3z2？Z1.那么f我6、功能6。
Lnz？奇点Z？1z（Z？1）2？0，z？？我3iln2(63ii2ki；ln(ie)?1??2i。
7.我我1.2.艾莉？2k，e1？？e2（1-3i）8、3?8?2(cos??2k?3?isin??2k?3)；k?0,1,2。
1.4.2k？4.伊辛？？4.2k？4） k？0,1,2,3；方程z?1?i?0的根：z?e?1441?i?(2)4(cos?9、sini??e2i；cos?2i?12?2?(e?e2)；10、z?1dzz?2z?42?0；Z1dzz？12? 2.我11、设f(z)?1?coszz3，则z?0是（一级极点）；res[1?coszz3,0]?12。
二、确定以下函数可以从何处派生？在哪里解析？找出可以导出的导数。
（1）f?z??x?iy；2222解决方案：u？x、 v？YU十、2倍，？UY0伏？十、0伏？Y2Y，一阶偏导数连续，因此当ux?vy,uy??vx时，即x?y时可导，在z平面处处不解析。
f?(z)?ux?ivx?2x。
（2）f?z??zrez；一解：f(z)?zrez?(x?yi)x?x2?xyi，于是u?x2,v?xy,?u?x?2x,?u?y?0,?v?x?y,?v?y?x，什么时候？vy，uy？？什么时候VX，x？0，y？0是可微的，不能在z平面的任何地方解析。
2008-2009(1)第二学期复变函数期末考试试题
2008－2009第二学期复变函数期末考试试题一 填空题（每小题4分）1. 复变函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在点0z 解析与在0z 点（ ）等价A 可导B 邻域内能展开成幂级数C v u ,满足柯西-黎曼条件D v u ,可微 2．若函数)(z f 在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-C n dz a z z f 1)()(等于（ ） A ．)()!1(2)1(a f n i n ++π B ．)(!2a f n i π C ．)(2)(a if n π D ．)(!2)(a f n i n π 3．函数()()21-=z z z f 在以原点为中心的圆环域内的洛朗展式，有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 44．0=z 是函数3sin zz 的（ ） A 可去奇点 B 二级极点 C 三级极点 D 本性奇点5．设()z Q 在点0=z 处解析，()00≠Q ,()()()1-=z z z Q z f ,则()]0,[Re z f s 等于（ ）A.()0Q B ．()0Q - C ．()0Q ' D ．()0Q '- 二 填空题（每小题4分）1 设()1001i z +=，则z Im ＝___________。
2 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析，y y x v =),(，则_______)(='z f 。
3 ()i Ln 43--的实部是 ，虚部是 。
4 0=z 是函数z z sin -的__________阶零点。
5 函数]1)(z 11z 1[1z 1)(5+++++=z f 在点0=z 处的留数为__________________。
三 完成下列各题（每题10分）（1）试证：当0→z 时，()zz z f Re =的极限不存在。
大学《复变函数》试卷及答案
---------------------------- 6分
2．函数 在复平面内何处可导，何处解析，并求
解：设 ， 则
．四个偏导数在复平面上都连续，
由C—R方程得： ．
故 仅在直线 上可导，在复平面上处处不解析．
--------------------------- 4分
且因为点 在曲线 上，所以 ．
大学《复变函数》试卷及答案
一.判断题(每小题2分,共10分.
正确打“√”，错误打“×”.）
评
分
阅
卷
人
1． ．（）
2．若 在 不解析，则 不存在．（）
3． 为函数 的孤立奇点．（）
4．级数 收敛．（）
5． 在点 处不连续．（）
二.填空题(每小题2分,共10分.
将正确结果填在横线上.）
评
分
阅
卷
人
1.复参数方程 （t为参数）的直角坐标方程为
3.下列结论错误的是（）
（A） 是函数 的二阶极点．（B） 是函数 的可去奇点．
（C） ．(D) 是函数 的本性奇点．
4.下列结论错误的是（）
（A）C为不通过原点的简则 也为解析函数．
(C)在点 解析的函数一定可以在点 的邻域内展开成泰勒级数．
(D)对于任意的复数 ．
解：由于 在平面上处处解析，所以积分
与路径无关，又 的一个原函数为 ，
---------------------------- 5分
故
＝ ．
------------------------ 7分
2． ．
解： 在 内有两个不解析点， 分别为简单极
点、二级极点
，
------------------------ 5分
复变函数试卷及答案
复变函数及答案一、填空题（每题3分，共15分）1.计算ln(1)i +=2.设3232()3(3)f z y x y i x xy =-+-，计算()f z '=3.25|z|=1sin d (2)zezz z =-⎰4..求留数3sin R e [,0]z z s z-＝______________5. 幂级数11nnn z n∞=∑的收敛半径R=______________二、单项选择题（每题3分，共15分， 每题只有一个正确答案，请将答案填在题后的方框内，错选或多选均不得分 ）. 1、设211()sinf z z z z=-，则Re s[(),0]f z 为( )A ．1，B ．2，C ．0，D ．2i π。
2、复数 23412i i ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的模为 ( )A.5； B. 5； C. 55； D ．253、复数 i 31-- 的主辐角为 ( )A. 3arctan ；B. π+3arctan ；C. arctan 3π--;D. arctan 3π- 4、方程 220z i -= 的根为 ( )A. 121,1z i z i =+=--；B. 121,1z i z i =+=-+；C. 121,1z i z i =+=-;D. 121,1z i z i =-=-- 5、设 22()2()f z x y i y x =+-，则 ()f z '= ( )A. 22x y i +；B. 22y x i -；C. 22x y i -；D. 22x y i -- 三、(20分) 求下列积分的值:(1) 2sin d ,(1)Czz zz -⎰ :||2C z =的正向. （10分）(2) 21sin d Cz z z ⎰ , 其中:1,C z = 且方向为正向. (10分)四、(15分) 将函数)2()1(1)(--=z z z f在0z =点展开为洛朗 (Laurent) 级数．.五、(15分) 由2(1),(2)u x y f i =-=- 求出解析函数()f z u iv =+关于z 的表达式.六、(15分)利用Laplace 变换求解微分方程组：()()1,(0)0,()(),(0) 1.x t y t x x t y t t y '+==⎧⎪⎨'-==⎪⎩七、 (5分) 求积分11d 2z z z =+⎰ ，从而证明：012cos d 0.54cos πθθθ+=+⎰.一、填空题（每题3分，共15分）1.1ln(1)ln 224i iπ+=+2. 2()3f z iz '= 3.25|z|=1sin d 0(2)zezz z =-⎰4.. 3sin R e [,0]0z z s z-= 5. R=+∞二、单项选择题（每题3分，共15分， 每题只有一个正确答案，请将答案填在题后的方框内，错选或多选均不得分 ）.1、B.2、B3、D4、A5、B 三、(20分) 求下列积分的值: (1) 解：令)1(sin)(22-=z z zz f ，在2||=z 内，函数)(z f 有两个奇点．=z 为可去奇点，0]0),([Res =z f ，1=z 为一阶极点，)()1(lim ]1),([Res 1z f z z f z -=→1sin sin 2122===z zz，原式1sin 2])1),([Res ]0),([Res (22i z f z f i ππ=+= (2)解：令21()sinf z z z =，在||1z =内，0=z 为)(z f 的本性奇点，21sinz z2357111111()1!3!3!5!7!z zzzzz =-+-+=-⋅+，原式22R es [(),0]3!3i ii f z πππ==-=-四、解：)2()1(1)(--=z z z f 2111-+--=z z zz---=2111，在复平面上以原点为中心分为三个解析环：1||0<≤z ， 2||1<<z ，+∞<<||2z ．(1) 在 1||0<≤z 内，⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212111)(z zz f∑∑+∞=+∞=-=221n nn n nz z ∑+∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211n nn z ．(2) 在 2||1<<z 内，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2121111)(z z z z f∑∑+∞=+∞=--=022111n nn n nz zz∑∑+∞=++∞=+--=01121n n nn n z z．(3) 在 +∞<<||2z 内，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=z z z z z f 211111)(∑∑+∞=+∞=+-=02111n nn n nzzzz∑+∞=+-=11)12(n n nz．五、解： 2(1),(2)u x y f i =-=- 2,2(1)u u y x xy∂∂==-∂∂(,)(0,0)(,)d d x y yxv x y u x u y C=-++⎰(,)(0,0)2(1)d 2d x y x x y y C=--++⎰222(1)d 2d 2xyx x y y C x x y C =-++=-++⎰⎰.又 (2)(2,0)(2f u i v=+ i C i ==.故221,(,)21C v x y x x y ==-++. 从而222()2(1)(21)(21)f z x y i x x y i z z =-+-++=-+另解： 2(1),u x y =- 由2,y x v u y == 得2d (),y v v y y x ϕ==+⎰又()2(1)x y v x u x ϕ'==-=- 即()2(1)x x ϕ'=-由此得2()2x x x C ϕ=-+所以222v y x x C=+-+又 (2)(2,0)(2f u i v=+ i C i ==.于是有222()2(1)(21)(21)f z x y i x x y i z z =-+-++=-+六、解：对方程两边取拉氏变换并代入初值得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+.1)1)(()(,1)()(2s s sY s X ss Y s X s 求解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.1)(,)1(1)(222s ss Y s s s X 求拉氏逆变换得⎩⎨⎧=-=.cos )(,sin )(t t y t t t x七 (8分).证明： 因为11d d 22(sin cos )(2cos sin )d (2cos sin )(2cos sin )12cos 12cos d 2d 54cos 54cos i iz iez z e i i i i i i θπθππππππθθθθθθθθθθθθθθθθ=---=++-++-=+++-++==++⎰⎰⎰⎰⎰又因11d 02z z z ==+⎰所以12cos d 054cos πθθθ+=+⎰。
(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)
a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数 试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。
因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ，则⎰C z2=()楚造成不良后果的，均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责；如故意涂改、乱写 的，考试成绩 答一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析，那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a （ a 为复常数）B. lim f (z ) = ∞视为无效。
题分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。
）()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密 封 A.处处不连续B.处处连续，处处不可导线 C.处处连续，仅在点 z = 0 处可导D.处处连续，仅在点 z = 0 处解析，3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1，则的值()n =0n +1 n =0n 否 则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ，f (z ) = - y + i x ，则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 ， ⎰C dz = 2i ，则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号（最后两位）总分 题号 一 二 三四统分人 题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下， z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ，则arg z =.13.在复平面上，函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ，则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛，而级数∑ zn 发散，则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛，求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题，每小题15 分，共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析，且在C因此在任何点(x , y ) 处， ∂u ≠∂v，所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。
复变函数与积分变换试题及答案
南昌大学2008～2009学年第一学期期末考试试卷468复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数论试卷
《复变函数论》试卷一一、填空（30分）1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z2.=+i e π3 ，()ii +1的辐角的主值为3. =z 0是()44sin z z z f =的 阶零点.4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是()z f '1的 阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数， 则___________________===c b a6.方程0273=+z 的根为 ， ，二、简要回答下列各题（15分）1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简单闭曲线，问积分()()dz z f z f c ⎰'是否等于零，为什么？三、计算下列积分（16分）1. czdz ⎰，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段2. 202cos d πθθ+⎰四、（12分）求函数()11z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式.五、（12分）证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、（15分）求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把1z =映射成0w =，把2z =映射成1w =.《复变函数》试卷二一、填空题（20分）1. －2是 的一个平方根2. 设21i z --=，则，=z Argz ＝ =z Im3. 若22z z =，则θi re z =满足条件 4. =ze e，()=ze e Re5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为 变换，它是由 等三个变换复合而成.7. 幂级数∑∞=12n nn z n 的收敛半径=R 8.函数baz +1在0=z 处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为9.变换z e W =将区域π<<z D Im 0:变换成区域:G二、判断下列命题之真伪（20分）1.()z e z F cos =在全平面上任意阶可微.2. 若函数()z F 在有界区域D 内有解析，且在其中有无穷多个零点，则()z F 在D 内恒为零. （ ）3. 设扩充复平面上的点a 时函数()z F 的可去奇点，则()Re 0z asF z ==.4. 若()W F z =是区域D 内的保形变换，则()W F z =在D 内单叶解析且保角.5. 若函数()z F 在区域D 内解析，则()0cf z dz =⎰，其中c 是D 内的任意一条围线.6. 设()()(),,F z u x y iv x y =+在区域D 内可导，则在D 内，()'y x F z v iv =+7. 设函数()z F 在点()a ≠∞解析，则总存在0R >，在z a R -<内()z F 能展成幂级数()0nn n c z a ∞=-∑.8. 非常数的整函数必为无界函数.9. 设()f z 在区域D 内解析，则()f z 在D 内连续. 10. 若函数()f z 在a 点可导，则()f z 在a 点解析.三、计算下列各题（24分）1. 求极限0cos lim sin z z z zz z →--2. 求21c I dz z=⎰ ，其中是下半圆周，起点11z =-，终点21z =3. 求i 的立方根4. 求2212cos d I p pπθθ=-+⎰()1p >5. 求()11f z z =-在1z =及z =∞的残数 6. 求1sin z dzI z z==⎰四、（16分） 1. 叙述儒歇定理2. 证明方程()01z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根 五、求下列变换（20分）1. 求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换2. 求出将圆42z i -<变为半平面v u >的保形变换，使得圆心变到－4，而圆周上的点2i 变到0w =《复变函数》试卷三一、填空题（45分）1. ()1Arg i -＝ ，复数()1cos sin 0z i ϕϕϕπ=-+<≤的模为2. 设()()32256f z z z =+-，则()'f z ＝3. 设()()cos sin x f z e y i y =+，则()'f z ＝4. z e 是周期函数，其基本周期为5. 如果函数()w f z =在区域D 内满足条件： ，则称()f z 为区域D 内的解析函数6. 设c 是连接a 与b 的直线段，则czdz ⎰＝7. 设圆周:3c z =，则3c dzz ⎰＝ 8. 级数21nn z n ∞=∑的收敛半径为 ，级数2491z z z ++++⋅⋅⋅的收敛半径为9. 0z =为函数()sin f z z z =-的 级零点10. 叙述最大模原理： 11. 设()()()25121zf z z z =-+，则1z =为()f z 的 级极点，12z =-为()f z 的 级极点12. 设()22f z z z =+，则在点12z i =-+处的旋转角()'arg 12f i -+＝ 二、判断下列命题之真伪（15分）1. 函数()2f z z =在z 平面上处处不解析 2.()z F z e =是整函数3.若函数()F z 在区域D 内解析，c 是D 内任一条围线，则()0cF z dz =⎰4.设函数()F z 在点()a ≠∞解析，则总存在0R >，在z a R -<内能展成幂级数()0nn n c z a ∞=-∑2. 若函数()f z 在点a 可导，则()f z 在点a 解析 三、求解下列各题（20分） 1. 求积分()ln 1z rI z dz ==+⎰ ()01r <<2. 求积分()()229I d i ξξξξξ==-+⎰3. 求积分()22521z z I dz z z =-=-⎰4. 试将函数()2zf z z =+按1z -的幂展开，并指出其收敛范围5. 求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换 四、证明题（20分）1. ①叙述代数学基本定理②试用复分析方法证明代数学基本定理2. 证明方程()00z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根《复变函数》试卷四一、填空题（50分）1. 已知1z i =-，则arg z ＝ ()arg z ππ-<≤，z ＝ ，z ＝2.3. 设()()cos sin x f z e y i y =+，则()'f z ＝4. sin z 的零点为 ，cos z 的零点为5. ()1Ln -＝ ， i i ＝6. 函数()f z ()(),,u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是7.1z dzz =⎰＝21z dzz =⎰＝8． 幂级数21nn z n∞=∑ 的收敛半径为9． 0z =是函数()sin f z z z =-的 级零点10. 叙述最大模原理： 11.函数()()()112f z z z =--在z 平面内有 个奇点，它们是12. 1z =为函数()()()251121z f z z z +=-+的 级极点13. 方程742520z z z -+-=在单位圆内有 个根14. 设()22f z z z =+，则()f z 在12z i =-+处的旋转角为 伸缩率为 15. 线性变换()0az bw ad bc cz d+=-≠+的逆变换为16. 变换3w z =将z 平面上区域:0arg 3D z π<<变换为w 平面上的区域G ：二、判断题（15分）1. 设()f z 在区域D 内可导，则()f z 在D 内解析2. 互为共轭的两复数具有相同的模3. 复数0z =的充要条件是0z =4. 设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一闭曲线，则()0cf z dz =⎰5. sin z 和cos z 都是平面上的有界函数三、计算下列各题（15分） 1. 设()()()112f z z z =--，求()f z 在1z <内的泰勒展式2. 求积分()22521z z I dz z z =-=-⎰3.求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换四、证明题（20分）1. 证明函数()2f z z =在z 平面上处处不解析2. 设a 为()f z 的n 级零点，证明：a 必为函数()()'f z f z 的一级极点，并且()()'Re z a f z s n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦《复变函数》试卷五一、填空题（18分）1. 的所有值为：2. ()cos 1i +＝ ()1Ln -＝3. 0cos limsin z z z zz z→--＝4. 设()()0n n f z c z r z +∞-∞=≤<<+∞∑，则()Re z s f z =∞＝5． 令z x iy =+，2z w e =，则w ＝ Im w ＝6. 线性变换()()0az bW L z ad bc cz d+==-≠+在扩充z 平面上有下列特性，请你完整地予以叙述⑴ 保形性：⑵ 保交比性： ⑶ 保圆周性： ⑷ 保对称性：7. 1w z=将z 平面上的直线y x =变换为w 平面上的曲线二、判断题（10分）下列断语如果正确则打“ √”，否则打“×”1. 如果函数()f z 在点()a ≠∞处解析，则存在0R >，使()f z 在z a R -<内可展成泰勒级数，且展式唯一2. 设a 是z 平面上的一点，若a 为函数()f z 的可去奇点，则()Re 0z as f z ==（ ）3. 如果函数()f z 在某有界区域D 内解析，且在D 内有一列零点，则()f z 在D 内恒为零 4. sin z 和cos z 都是z 平面上的有界整函数 5. 若函数()f z 在区域D 内解析，则()0cf z dz =⎰.其中c 是内的任意一条围线三、解下列各题（24分）1. 求1c dz z ⎰的值，其中c 是上半单位圆周，起点为1z =-，终点为1z =2. 求函数()11z f z e -=在1,z =∞的留数3. 计算积分()20sin 01x mxI dx m x+∞=>+⎰4. 将函数()11z f z z -=+在1z =处展开成幂级数，并求其收敛半径四、证明题（24分）1. 试证：在原点解析，且在()11,2,z n n==⋅⋅⋅处取下列值的函数()f z 是不存在的： 111111,,,,,224466⋅⋅⋅2. 试证：73120z z -+=的根全在12z <<内 五、（12分）求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换六、（12分）求出将圆42z i -<变成半平面v u >的保形变换，使得圆心变到－4，而圆周上的点变到2i 变到0w =《复变函数》试卷六一、填空题（30分）1．已知z=1－i ，则arg z= （－π<arg z ≤π），| z |= , z =2．变换W=Z 3将Z 平面上区域D ：0< arg z <3π变换为W 平面上的区域G ：3．Ln （－1）= , i i = , Arctg(2i) = 4．函数f （z ）在区域D 内解析的充要条件是下列条件之一（1） （2） （3） （4）5．幂级数z ＋z 4＋z 9＋…＋2n z ＋…的收敛半径为6．在原点解析，而在z= 1n （n=1，2，…）处取值为 f(1n )=211n+的函数为7．函数f （z ）=z 2（21z e -）的零点是 ，它是 级的 二、判断题（10分）1．设f （z ）在区域D 内可导，则f （z ）在D 内解析 （ ） 2．设f （z ）在区域D 内解析，C 是D 内任一闭曲线，则c⎰f （z ）dz=03．Sinz 和cosz 都是z 平面上的有界函数 （ ） 4．f （z ）=u ＋iv 在区域D 内解析，则－u 是v 的共轭调和函数5． f （z ）=| z |2在z 平面上处处不解析三、求下列积分（15分） 1．I= z cze dz ⎰，其中c 是连结o 到－1＋i 的直线段 2．I=212ln(1)z z z dz =+⎰3．I=22(8)()z zdz z z i =--⎰ 四、（12分）已知u=x 3+6x 2y-3xy 2-2y 3,求解析函数f(z)=u+iv 使合条件f （0）＝0五、（12分）将函数f(z)=1az b+(a,b 为复数，ab ≠0)展开为z 的幂级数，并指出展式成立的范围 ， 六、（12分）叙述并证明代数学基本定理七、（9分）设f （z ）=u(x ·y )+iv(x ·y )在区域内解析，试证在D 内，0f z∂=∂《复变函数》试卷七一．填空题（20分）1．已知z ＝1－I ，则argz ＝ (－π<arg z ≤π)，| z |= ，z =2．变换W=Z 3将z 平面上的区域D 变换为W 平面上的区域G ：，其中D ： 0< arg z <3π3． sin 2z ＋cos 2z ＝1在直线z ＝x ，(y=0)上成立，则由 定理，sin 2z ＋cos 2z ＝1 在全平面上也成立4．设f(z)=2z 4－z 3＋11z 2－1，f(z)在| z |<2内有 个零点，f(z)在 2≤| z |<3 内有 个零点，f(z)在3≤| z |<＋∞内有 零点，f(z)在z ＝1处的旋转角为 ，伸缩率为 。
(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）:1.若f （z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z ）在z 0解析. （ ）2.有界整函数必在整个复平面为常数。
( ) 3。
若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ）4.若f （z ）在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f （z ）在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. （ ) 6。
若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
( ） 7。
若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点. ( )8。
若函数f （z ）在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠。
（ ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .（ ）10.若函数f(z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。
（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2。
=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。
5。
幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。
6.若函数f （z ）在整个平面上处处解析，则称它是__________。
7。
若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8。
=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。
9. zz sin 的孤立奇点为________ .10。
复变函数考试试卷(A)及答案
第 1 页 共 5 页考试试卷(A)2008--2009学年第二学期 时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式: 闭卷一、专业年级: 教改信息班 总分100分, 占总评成绩70 %1． 注: 此页不作答题纸, 请将答案写在答题纸上 单项选择题（15分, 每小题3分） 下列方程中, 表示直线的是（ ）。
()()()()()()()254(54)54(54)112Re 1A i z i z zzB i z i zC z i z iD z z z -++=-++=-++==-2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。
()()()()22A B x C y D ==全平面处处不可导下列命题中, 不正确的是（ ）。
()()()()()()()()()0Res ,0Im 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e iD z e iωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆3． 下列级数绝对收敛的是（ ）。
()()()()()221111112n nnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++⎪⎝⎭∑∑∑∑ 设 在 内解析且 , 那么 （ ）。
()()()()2211A iB iCD ππ--第 2 页 共 5 页1. 的主值为 。
2. 函数 仅在点z= 处可导。
3. 。
4. 函数 在 处的泰勒展开式 。
5. 幂级数 的收敛半径为 。
三．(10分)求解析函数 , 已知 。
四. (20分)求下列积分的值 1．()2241z z e dz zz =-⎰2．()20sin 0x xdx a x a+∞>+⎰五. (15分)若函数 在点 解析, 试分析在下列情形: 1. 为函数 的m 阶零点； 2. 为函数 的m 阶极点；求()()()0Res ,f z z z f z ϕ⎡⎤'⎢⎥⎣⎦。
复变函数练习题及答案
复变函数卷答案与评分标准一、填空题：1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。
定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。
（3分）定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。
（3分）定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =⎰ 。
（3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。
（3分）2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。
（3分）3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222i k i π++，其中k 为整数。
（3分） 4、设()2010sin z f z z+=，则()0Re z s f z ==2010。
（3分） 二、验证计算题（共16分）。
1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。
（8分）解：（1）22u x x ∂=+∂，222u x ∂=∂；2u y y∂=-∂，222u y ∂=-∂。
由于22220u u y x∂∂+=∂∂，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。
（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有22v u x y x∂∂==+∂∂，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++⎰ 2,v u y x y∂∂=-=∂∂又2()v y C x x ∂'=+∂ ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。
复变函数期末试卷
南昌大学 2005～2006学年第一学期期末试卷一 . 填空 (每题2分，共10分)。
1. 设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z .2.设c 为沿原点z =0到点z =1+i 的直线段,则=⎰cdz z 2 2 .3. 函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z15+++++在点z=0处的留数为__________________4. 若幂级数i z z c n n n 210+=∑∞=在处收敛，则该级数在z =2处的敛散性为 .5. 设幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为 .二. 单项选择题 (每题2分，共40分)。
1． 复数i 258-2516z=的辐角为 （B ）A ．arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 212． 方程1Rez 2=所表示的平面曲线为 （ ）A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 3．复数)5isin -5-3(cos z ππ=的三角表示式为 （C ）A ．)54isin543(cos -ππ＋ B ．)54isin543(cos ππ－C ．)54isin 543(cosππ＋ D ．)54isin 543(cos -ππ－4．设z=cosi ，则 （ A ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π 5．复数i3e+对应的点在 （ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．设w=Ln(1-i),则Imw 等于（ B ） A ．4π－B ． 1,0,k ,42k ±=ππ－C ．4πD ． 1,0,k ,42k ±=+ππ7.设函数f(z)=u+iv 在点z 0处可导的充要条件是 ( D) A. u,v 在点z 0处有偏导数C. u,v 在点z 0处满足柯西—黎曼方程B. u,v 在点z 0处可微 D. u,v 在点z 0处可微，且满足柯西—黎曼方程8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-cn a z z f 1)()(等于 （ D ）A ．)()!1(2)1(a fn i n ++π B ．)(!2a f n i π C ．)(2)(a ifn π D ．)(!2)(a fn i n π9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-cn i z dz 1)(等于 （C ）A.1 B ．2πi C ．0 D ．iπ2110．设C 为正向圆周|z|=2，则积分dz z c⎰-等于 （ A ）A ．0B ．2πiC ．4πiD ．8πi 11．设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ，则f （z ）等于 （ D ）A ．1++z z e zeB ．1-+z z e zeC ．1-+-z z e zeD ．1+-z z e ze 12．设积分路线C 为z=-1到z=1的上半单位圆周，则⎰+c2dz z1z 等于（D ）A ．i 2π+B ．i -2πC ．i -2-πD ．i 2-π+13．幂级数∑∞=1n 1-n n!z的收敛区域为（ B ）A ．+∞<<|z |0B ．+∞<|z |C ．1|z |0<<D ．1|z |<14． 3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ D ）A.一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点 15．z=-1是函数41)(z z cot +π的 （ A ）A.3级极点 B ．4级极点 C ．5级极点 D ．6级极点 16．幂极数∑∞=+1n nz (2n)!1)!n （的收敛半径为（ D ）A.0 B ．1 C ．2 D ．＋∞ 17．设Q （z ）在点z=0处解析，1)-z(z Q(z)f(z)=,则Res[f(z),0]等于 （ B ）A ．Q （0）B ．－Q （0）C ．Q ′（0）D ．－Q ′（0） 18．下列积分中，积分值不为零的是（D ） A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c3=++⎰为正向圆周｜其中 C ．1|z C dz,sinzz c=⎰为正向圆周｜其中B ．5|zC dz,e c z =⎰为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1-z cosz c=⎰为正向圆周｜其中19.级数∑∞=1n in e 是 ( B )A. 收敛B. 发散C. 绝对收敛D. 条件收敛20.在|z|<1内解析且在（-1，1）内具有展开式∑∞=-0n n n x )1(的函数只能是（ A ）A. z11+ B.2z11- C.z11- D.2z11+三．计算及应用题（每题10分，共50分）。
2008-2009复变函数第二学期A
《复变函数与积分变换》试卷（A ） 第1页（共2页）河南理工大学万方科技学院 2008—2009 学年第 2 学期《复变函数与积分变换》试卷（A 卷）考试方式：闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的 80 %一、填空：（每空3分，共30分）1、5)i =_______________2、1i i ⎛⎫⎪⎝⎭--arg =_____________________3、函数)sin (cos )(y i y e z f x +=的解析区域为________________4、2||124z dzz z =++⎰ = 5、把函数311z +展开成z 的幂级数 6、0z =是31z e z-的 级极点7、2Re [,1]1zzes z -= 8、()F f t ⎡⎤=⎣⎦______________________9、atL e ⎡⎤⎣⎦= ，1L ⎡⎤⎣⎦=_________________二、选择：(每题4分，共20分)1、0=z 是函数()f z =ze 1的哪种奇点 （ ）A ．可去奇点B ．极点C ．本性奇点D ．非孤立奇点 2、幂级数1(1)n n n i z ∞=+∑的收敛半径 ()A ．0B ．∞CD ．e3、若z 0为()f z 的奇点,则下列结论正确的是 ( ) A ．()f z 在z 0点必不可导 B ．()f z 在z 0点必不连续 C ．()f z 在z 0点必没有定义 D ．()f z 在z 0点必不解析4、下列哪一个是调和函数 ( ). A . 32(,)3u x y y x =- B . 22(,)u x y x y =-C . 2(,)3u x y xy =D . 23(,)2u x y x y =-5、设a z =是)(z f 的m 级极点，则函数)()(z f z f '在点a z =处的留数为 ()A ．mB . -mC . m-1D . m+1三、计算：(每题10分，共50分)1、设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数，确定l n m ,,的值。
复变函数试卷及答案
复变函数试卷及答案【篇一：《复变函数》考试试题与答案各种总结】xt>一、判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若{zn}收敛，则{re zn}{im zn}与都收敛. ( )4.若f(z)在区域d内解析，且f(z)?0，则f(z)?c（常数）.( )5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( )7.若z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域d内的单叶函数，则f(z)?0(?z?d). ( )9. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?cf(z)dz?0.( )10.若函数f(z)在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域d 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）dz?__________.（n为自然数）1、 ?|z?z0|?1(z?z)n22sinz?cosz? _________. 2.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?4.设?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.n?nzn?0的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若n??limzn??z1?z2?...?zn?n??n，则______________.limezres(n,0)?z8.________，其中n为自然数.sinz9. 的孤立奇点为________ .zlimf(z)?___zf(z)的极点，则z?z010.若0是.三.计算题（40分）：1. 设1f(z)?(z?1)(z?2)，求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz.?|z|?1cosz2.3?2?7??1f(z)??d?c??z3. 设，其中c?{z:|z|?3}，试求f(1?i).w?4. 求复数z?1z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题?2?in?11. ? ；2. 1；3. 2k?，(k?z)；4. z??i； 5. 1 0n?1?6. 整函数；7. ?；8. 三．计算题.1. 解因为0?z?1, 所以0?z?1?1?zn111n??z??(). f(z)???2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?021； 9. 0； 10. ?.(n?1)!2. 解因为z?resf(z)?limz??2?2z??2?lim1??1, coszz???sinzz??2resf(z)?limz???2z???2?lim1?1. coszz????sinz所以1sf(z)?resf(z)?0. z?2cosz?2?i(re??z??z?2223. 解令?(?)?3??7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)??(?)?c??z?2?i?(z).所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解令z?a?bi, 则 w?z?122a(?1?bi)2a(?1)b2. 2?1?1?122222z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b, . )?1?im()?z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2故 re(四. 证明题.1. 证明设在d内f(z)?c.令f(z)?u?iv,则f(z)?u2?v2?c2.2?uux?vvx?0两边分别对x,y求偏导数, 得??uuy?vvy?0(1)(2)因为函数在d内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为?uux?vvx?022. 消去ux得, (u?v)vx?0. ??vux?uvx?01) 若u?v?0, 则 f(z)?0 为常数.2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 c.?r.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数).22所以f(z)?c1?ic2为常数. 2.证明f(z)?的支点为z?0,1. 于是割去线段0?rez?1的z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角增加?. 所以f(z)?的幅角共增加?. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分2?i?2支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为,故f(?1)??.2《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在d内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在d 内连续. ( )2. cos z与sin z在复平面内有界.( )3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( )z?z06. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?f(z)dz?0.c( )8. 若数列{zn}收敛，则{rezn}与{imzn}都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域d内解析，则|f(z)|也在d内解析. ( )11110. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()?0且f()?,n?1,2,....n?12n2n( )二. 填空题. (20分)1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,?__z?1?i2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c，则limf(z)?________.3.dz?|z?z0|?1(z?z0)n?_________.（n为自然数）4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?0?5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?1，则f(z)的孤立奇点有_________. 21?z9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.z?110. res(,1)?____. 4z三. 计算题. (40分)3sin(2z)的幂级数展开式. 1. 求函数2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.??|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）?ii3. 计算积分：i的右半圆.4. 求sinzz?2(z?)22dz.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.【篇二：复变函数试题与答案】>一、选择题1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（） 1?i（a）i （b）?i（c）1 （d）?12．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（） 61331?i （d）??i 2222（a）?1?3i （b）?3．复数z?tan??i(3?i （c）??????)的三角表示式是（） 2 ???)?i??)] （b）sec?（a）sec22??3?3???)?i??)] 22?（c）?sec3?3?????)?i??)]（d）?sec???)?i??)] 2222224．若z为非零复数，则z?与2z的关系是（）2222（a）z??2z （b）z??2z22（c）z??2z （d）不能比较大小５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12，的轨迹是（）（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针旋转?3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为1?3i，则原向量对应的复数是（）（a）2（b）1?i （c）3?i （d）3?i1７．使得z2?z成立的复数z是（） 2（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数８．设z为复数，则方程z??2?i的解是（）（a）?3333?i （b）?i （c）?i （d）??i 4444９．满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是（） z?i（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区域10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（）（a）中心为2?3i，半径为2的圆周（b）中心为?2?3i，半径为２的圆周（c）中心为?2?3i，半径为2的圆周（d）中心为2?3i，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（a）z?1?2 （b）z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) （d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az（c）12．设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2 ）（a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i13．limim(z)?im(z0)（） x?x0z?z0（a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（）（a）u(x,y)在(x0,y0)处连续（b）v(x,y)在(x0,y0)处连续（c）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（d）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115．设z?c且z?1，则函数f(z)?的最小值为（） z （a）?3 （b）?2（c）?1 （d）1二、填空题1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?3．设z?,arg(z?i)?3?，则z? 4(cos5??isin5?)24．复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5．以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 6７．方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射??2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410．lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求z?2的取值范围．四、设a?0，在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i，试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z七、试证１.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z2２.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy，试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性： ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题：1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )（a）解析的（b）可导的（c）不可导的（d）既不解析也不可导2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（a）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1（b）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导（c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在d内解析（d）若f(z)在区域d内解析，则在d内也解析4．下列函数中，为解析函数的是( )（a）x2?y2?2xyi（b）x2?xyi（c）2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)（d）x3?iy35．函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )（a）等于0 （b）等于1 （c）等于?1（d）不存在6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )（a）0（b）1（c）2（d）?27．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )（a）0（b）1（c）?1（d）任意常数8．设函数f(z)在区域d内有定义，则下列命题中，正确的是（a）若f(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（b）若re(f(z))在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（c）若f(z)与f(z)在d内解析，则f(z)在d内是一常数（d）若argf(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )5【篇三：大学复变函数考试卷试题及答案】ss=txt>?z2?,z?01．设f?z???z，则f?z?的连续点集合为（）。
808级复变函数与积分变换(A卷)参考答案
第 1 页/共 4 页课程编号：8 北京理工大学2009—20010学年第二学期2008级复变函数与积分变换试题A 卷年级_______ 姓名_________ 学号_______成绩__________一 (10) (1) 求区域}0)Im(:{>z z 在映射)1(+-=z i w 下的像。
解答：像为{w | Re(w ) > 0}（映射过程图略）。
(2) 判别函数2)(z z f =在复平面上哪些点处可导，哪些点处解析。
解答： f (z ) 仅在z = 0处可导，在囫囵复平面上无解析点。
二（6）设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面的某个区域D 内解析，并且),(),(2y x u y x v =，求)(z f 。
解答：f (z )＝c ＋i c 2（其中c 为实常数）。
三（6）求解析函数),(),()(y x iv y x u z f += 满意：)(2)4)((22y x y xy x y x v u +-++-=+。
解答：).1(2)23()23()(33223i c z z c y y y x i c x xy x z f -+-=---++--= 四（58）计算下列积分：（1）⎰Cdz z )Im(，其中积分路径C 分离为1）从），（00到i +1的直线段；2）从），（00到i 的直线段以及从i 到i +1的直线段。
解答：1）21i +； 2）21i+； （2）dz z z z ⎰=++1||2221＝0 （由Cauchy 积分定理）； （3）⎰=++12)2)(12(z z z zdzi π92-=； （4）dz z zi z ⎰=-+122解答：21||1()()||1,z i z i z i z i z i z i-=⇒--=-=⇒-=-22221111212211()222(2)() (2)() 2{Re [,]Re []}(2)()(2)() z i z i z i z i z i i zdzz i ii z i z i dz dz dz z z z z z i izdz z z i iz izi s i s z z i z z i π-=-=-=-=-=------∴===++++--=+---=++-+-⎰⎰⎰⎰⎰ 2{1(1 ;i i ππ=+=-（5）⎰=-+1323)(z dz a z z z ，其中常数1||≠a 解答：⎩⎨⎧<+>=-+⎰= );1|(| )26(),1|(| 0)(1323a i a a dz a z z z z π （6）||)2(11||dz z z z ⎰=- 解答：设],2,0[ ,π∈=t e z it则,|||||| ,]2,0[izdzdt dt dt ie dz izdt dt ie dz t itit ======∈π 所以2)2(12)2(1)2(1||)2(101||21||1||ππ-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=-====⎰⎰⎰z z z z z i i dz z iz iz dz z z dz z z ；（7）4)1(1022π=+⎰+∞dx x ； （8）dz z z z ⎰=-2|1|1cos 解答：12|1|20,1cos Re 21cos -=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰ic z z s i dz z z z ππ，其中1-c 为z z 1cos 在∞<<||0z 内Laurent 级数的负一次项系数。
青岛科技大学2008-2009学年第一学期复变函数AS数理学院通信信息专业考试试题与答案
08-09 第一 复变函数(A)数理学院通信071-2信息071-4（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、 选择题（每小题2分，共12分）1、下列命题正确的是__________.A. sin 1z ≤B. n Lnz nLnz =C. 211= D.2z k i z e e π+=（k 是整数）2、复数z -12-2i =的三角形式为________.A. 554(cossin )66i ππ- B. 554(cos sin )66i ππ+ C. 4(cos sin )66i ππ- D. 4(cos sin )33i ππ-3、 若f()z 在圆环域0r z z R <-<内解析，则f()z 可以展成洛朗级数0()nnn c z z +∞=-∞-∑，其中n c =________.A.()0()!n f z n B. 101f()dz 2()n Cz i z z π+-⎰，C 为圆环域内围绕0z 的简单闭曲线C.02()!i f z n π D. 101f()dz 2()n Cz iz z π+-⎰，C 为围绕0z 的简单闭曲线 4、2c dz ()(3)z i z =-+⎰_______，其中C ：23z =正向圆周. A.3i + B.21(3)i - C. 0 D. 22(3)i + 5、若函数f()(,)(,)z u x y iv x y =+在区域D 内解析，则下列命题错误的是____.课程考试试题学期 学年 拟题人: 校对人:拟题学院（系）: 适 用 专 业:A ．),(),,(y x v y x u 在区域D 内可微 B. ()f z '在区域D 内解析C ．u vy x∂∂=-∂∂ D. c 0f(z)dz 0z-z =⎰，其中C 为D 内任意一条包围0z 的闭曲线6、0z =是函数3sin zz e z⋅的__________. A ．可去奇点 B 二级极点 C ．三级极点 D.本性奇点二、 填空题（每小题3分，共18分）1、1=i _____________.2、设复数(1911)(1)1119i i z i+-=-，=___________z 则. 3、设C 为正向圆周||3z =，则z2c e dz z (1)(4)z z ++⎰=_________. 4、设C 为围绕0z 的任意简单闭曲线，n 为整数，则1c 0dz()n z z +-⎰=_________.5、1sin dz ________z z =⎰.6、设f()z 在扩充复平面内有三个孤立奇点1,2,∞，且它在奇点1,2的留数分别是1,e -，则函数211f ()z z 在零点的留数211Res[f(),0]_________z z=.三、 是非判断题（每小题2分，共10分）1、352i i +<+. ( )2、解析函数的实部与虚部互为调和函数.（ ）3、若f()z 在0z 点的导数存在，则f()z 在0z 点解析. （ ）4、级数0(1)nn i +∞-=+∑是绝对收敛的.（ ） 5、21z e z-的孤立奇点0z =是一级极点.（ ）四、 计算题（每小题10分，共50分）1、计算积分2252dz (1)z z z z =--⎰. 2、函数2f ()z x y i =-在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数. 3、求函数ln(1)z +在0z =的泰勒展式，并指出其泰勒级数的收敛范围.4、将函数21(1)z z z +-在圆环域1z <<+∞内展为洛朗级数. 5、利用留数定理计算220dxcos 1x π+⎰.五、 证明题（10分）若f ()z 在0||z z R -≤解析，证明：20001f ()f (Re )d θ2i z z πθπ=+⎰.20072008 拟题学院（系）： 数理学院适用专业： 通信071-2信息071-42008－2009 学年 一 学期 复变函数 试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、选择题（2*6=12）1． D 2．A 3．B 4．C 5．D 6．B 二、填空：（3*6=18） 1． 2,0,1,2,k ek π-=±± 2．2 3．238i ie ππ- 4．0,1,2,2,0n i n π=±±⎧⎨=⎩ 5．sin1cos1- 6．1e -三．判断题(2*6=12)1．错 2．错 3．错 4．对 5．对 四．计算题（5*10=50）1、 解：被积函数的奇点有0z =和1z =且都在C 内 ， （2分） 分别绕0和1作位于C 内的简单闭路1C 和2C ，由复合闭路定理 （3分）原式12252522(1)dz dz (1)C C z z z z zz ---=+-⎰⎰（5分） 由柯西积分公式及高阶导数公式 （6分） 上式=215252()(1)z z z z z z ==--'=+- （8分） 220=-+= （10分） 2、 解：函数的定义域为复平面 （1分） 由已知 2(,),(,)u x y x v x y y ==- （2分）拟 题 人：书写标准答案人：而 2,10,0u vx x yu v y x∂∂==-∂∂∂∂==∂∂ （4分）若函数可导须满足柯西黎曼方程,u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （6分） 即 21x =- 所以 12x =-（7分） 所以，函数在直线12x =-可导，此时，f ()1u vz i x x∂∂'=+=-∂∂ （8分）但在整个复平面不解析. （10分）3、解：由于ln(1)z +的解析区域是除负实轴上 1z ≤- 外的区域， （1分）所以离0z =最近的奇点是-1，故收敛半径是1，收敛圆域是1z < （3分）因为 1[ln(1)]1z z'+=+ （5分） 而1(1)1n n n z z ∞===-+∑ （8分） 两边逐项求积分得1101ln(1)(1)(1)1n n nn n n z z z n n +∞∞-==+=-=-+∑∑ （10分） 4、解：因为2222211112112(1)(1)111z z z z z z z z z z z++==-+=-+---- （2分）在 1z <<+∞ 内， 可知1<1z（3分） 因为122111zz z =-- （6分） 01212n n n n z z z +∞+∞====∑∑ （8分）所以222213111212(1)n n n n z z z z zz z z+∞+∞==+=-+=-+-∑∑ （10分）5、解：因为cos cos()x x π=--，22cos cos ()x x π=- （1分）令u x π=-， 则02222022dx du dx cos 1cos ()1cos 1x u x πππππ-==+-++⎰⎰⎰ （2分） 故22200dx 1dxcos 12cos 1x x ππ=++⎰⎰ （3分） 20001dx 1d2x 1d 1cos 2223cos 223cos 12x x πππθθ===++++⎰⎰⎰ （4分） 令i z e θ=则21cos 2z zθ+= （5分）因此221d 1dz13cos 32z z izzπθθ==+++⎰⎰ （6分） 212dz61z i z z ==++⎰ 12(322)(z iz ==+-⎰（8分）322i π=-+==（9分） 所以220dx cos 14x π=+⎰（10分）五．证明题（10）证明：由已知条件及柯西积分公式得 （1分）001f()f ()dz 2Cz z iz z π=-⎰其中C 是圆周0R z z -= （3分）C 的极坐标方程可写为0()Re i z z θθ=+ （5分）所以20000f(Re )1f ()d(Re )2Re i i i z z z i θπθθπ+=+⎰ （8分） 200f(Re )1Re id 2Re i i i z i θπθθθπ+=⎰ （9分） 2001f (Re )d θ2i z πθπ=+⎰（10分）。
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第一 复变函数(A) 数理学院
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（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）
一、 选择题（每小题2分，共12分）
1、下列命题正确的是__________.
A. sin 1z ≤
B. n Lnz nLnz =
C. 1=
D.
2z k i z e e π+=（k 是整数） 2、复数z =的三角形式为________. A. 554(cos sin )66i ππ- B. 554(cos sin )66
i ππ+ C. 4(cos sin )66i ππ- D. 4(cos sin )33
i ππ- 3、 若f()z 在圆环域0r z z R <-<内解析，则f()z 可以展成洛朗级数
0()n n n c z z +∞=-∞-∑，其
中n c =________. A.()0()!n f z n B. 101f()dz 2()n C
z i z z π+-⎰ ，C 为圆环域内围绕0z 的简单闭曲线 C. 02()!i f z n π D. 101f()dz 2()
n C z i z z π+-⎰ ，C 为围绕0z 的简单闭曲线 4、=⎰ _______，其中C ：23
z =正向圆周. A. i 5、若函数f()(,)(,)z u x y iv x y =+在区域D 内解析，则下列命题错误的是____.
课程考试试题
学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:
A ．),(),,(y x v y x u 在区域D 内可微 B. ()f z '在区域D 内解析
C ．u v y x ∂∂=-∂∂ D. c 0f(z)dz 0z-z =⎰ ，其中C 为
D 内任意一条包围0z 的闭曲线
6、0z =是函数3sin z
z e z
⋅的__________. A ．可去奇点 B 二级极点 C ．三级极点 D.本性奇点
二、 填空题（每小题3分，共18分）
1、1=i _____________.
2、设复数(1911)(1)1119i i z i
+-=-， =___________z 则. 3、设C 为正向圆周||3z =，则z
2c e dz z (1)(4)z z ++⎰ =_________.
4、设C 为围绕0z 的任意简单闭曲线，n 为整数，则1c 0dz ()n z z +-⎰ =_________.
5、1
0sin dz ________z z =⎰.
6、设f()z 在扩充复平面内有三个孤立奇点1,2,∞，且它在奇点1,2的留数分别是1,e -，则函数211f ()
z z 在零点的留数211Res[f(),0]_________z z
=. 三、 是非判断题（每小题2分，共10分）
1、352i i +<+. ( )
2、解析函数的实部与虚部互为调和函数.（ ）
3、若f()z 在0z 点的导数存在，则f()z 在0z 点解析. （ ）
4、级数0(1)n n i +∞
-=+∑是绝对收敛的.（ ） 5、21z e z
-的孤立奇点0z =是一级极点.（ ）
四、 计算题（每小题10分，共50分）
1、计算积分22
52dz (1)z z z z =--⎰ . 2、函数2f ()z x y i =-在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数.
3、求函数ln(1)z +在0z =的泰勒展式，并指出其泰勒级数的收敛范围.
4、将函数21(1)
z z z +-在圆环域1z <<+∞内展为洛朗级数. 5、利用留数定理计算
220dx cos 1
x π
+⎰. 五、 证明题（10分）
若f ()z 在0||z z R -≤解析，证明：20001
f ()f (Re )d θ2i z z π
θπ=+⎰.。