gaolu功和能

f
·
d re r m
( 2) (1 )
r1
× (1)
GMm dr 2 r GMm GMm r2 r1
r2 r1
任何有心力 f (r )er都是保守力。
2、弹力： 一维运动时
f kx i
3、重力： p mg
x ─ 对自然长度的增加量， k ─ 弹簧的劲度(stiffness)。
1 4.9 1.11 m 代入数据： hm ax 0.2 2 9.8 1 2
2
例2：用一个轻弹簧把一个金属盘悬挂起来，这 时弹簧伸长了l1=10cm。一个质量和盘相同的泥 球，从高于盘h=30cm处由静止下落到盘上。求 此盘向下运动的最大距离l2。
v 2 gh mv 2mv 1 1 2 1 2 2m gl2 k l1 k l1 l2 2 2m v 2 2 2
▲§4.10 两体问题（书4.12节）
§4.1 功（work）
功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的
标量积。
W12
( 2) dW (1)

( 2) (1)
( 2) (1)
F d r
F cos d r
×
2
dr L m
×

F
▲ 功是标量，有正、
负之分。
1
当质点同时受到几个力的作用时，合力的功等 于各分力沿同一路径所做的功的代数和。
二、由势能曲线求保守力 Ep
O
× ×
例：双原子分子势能曲线
斜率 < 0 r 斜率 > 0
0
×
r = r0 ： 斜率 = 0 ， fr = 0。 r > r0 ： 斜率 > 0 ， fr < 0， r 是引力。 r < r0 ： 斜率 < 0 ， fr > 0， 是斥力。
斜率 = 0
r
§4.7 功能原理，机械能守恒定律
Ep x ， f保 y
Ep y ， f保 z
f保 x
Ep z

E p f保 （ i x grad E p
E p j y
E p k） z
grad E p —— EP 的梯度（gradient）
引入算符 i j k x y z f 保 E p 则有
E pA E pB
GMm GMm rB rA
令 rB , E pB 0 ，
有
GMm E p (r ) r
2、重力势能
以物体在地球表面上时为势能零点。
E pA
GMm GMm R rA
GmMh 2 R
代入 rA R h
得 E pA
即
E pA mgh
3、弹性势能
第四章 功和能（Work and Energy）
§4.1 功
§4.2 动能定理 §4.3 一对力的功 §4.4 保守力 §4.5 势能（书4.5，4.6，4.7节） §4.6 由势能求保守力（书4.8节） §4.7 功能原理，机械能守恒定律（书4.9节） §4.8 守恒定律的意义（书4.10节） §4.9 碰撞（书4.11节）
非国际单位：尔格（erg），电子伏（eV）
例1：弹簧弹力所做的功。
m o A x0 = 0 B x
例2：摩擦力的功。 例3：滑雪运动员的质量为m，沿滑雪道下滑了 高度h，忽略他所受的摩擦力，求在这一过程 中他受的合外力做的功。 注意：分析不同种类的力的做功特点。
§4.2 动能定理（kinetic energy theorem）
E pA E pB
1 2 1 2 kxA kxB 2 2
1 2 0 有 E p ( x ) kx 2
令 xB 0时， E pB
§4.6 由势能求保守力
一、由势能函数求保守力 f保
m l dl f =f cosθp
f 保l d l d E p
一、定义 如果一对力的功与相对移动的路径无关，
而只决定于相互作用物体的始末相对位置， 这样的力称为保守力。
(2) L1 L2
( 2) ( 2) 若 f 为保守力，则： (1) f d r (1) f d r

( 2) (1)
dr m2 L2 f L1 (1) r m1 L=L1+L2
WAB

B
A
B
B F dr F1 F2 FN dr
A
A A


A
B B F1 dr F2 dr FN dr
W1 AB W2 AB WNAB
功的国际单位：焦耳（J）
Ek Ek EkC
— 克尼希定理
§4.3 一对力的功
一、一对力 分别作用在两个物体上的大小相等、方向 相反的力， 称之为 “一对力”。 一对力通常是 作用力与反作用力，但也可不是。 二、一对力的功 d W对 f1 d r1 f 2 d r2 B2× z B1× f 2 (d r2 d r1 ) f2 dr2 r21 m2 dr1 f1 f 2 d( r2 r1 ) m 1 r1 f 2 d r21 r2 × × A2 A1 d r21 ：m2相对m1 的 y x o 元位移。
质点的动能定理 （对惯性系）
例4：利用动能定理，重解此题，求线摆下角 时珠子的速率。
o

T mg
二、质点系的动能定理
对质点i，由动能定理：
Bi 1 1 2 2 Fi dri f i dri mi viB mi viA Ai Ai 2 2
Bi
对质点系的所有质点求和：
S（质心系）： v C 0 miv 0 i 1 miv 2 Ek i 2 S（惯性系）： v i v v C i
1 1 2 2 miv ( miv ) v C ( mi )v C i i 2 2
三、非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力。 例如： ▲ 摩擦力（耗散力）： 一对滑动摩擦力作功恒为负； ▲ 爆炸力：作功为正。
§4.5 势能（potential energy）
利用保守力的功与路径无关的特点，可引入 “势能” 的概念。 一、系统的势能 Ep 定义： 系统由位形(1)变到位形(2)的过程中，
W12 对
( 2) f 2 d r21 ( f1 d r12 ) ( 2) (1) (1)
(1)表示初位形，即 m1在A1，m2在A2； (2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。 说明： 1、W对 与参考系选取无关。 2、一对滑动摩擦力的功恒小于零。 （摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果） 3、在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情 况下， 一对力的功必为零。
E p1 E p 2 E p W保12
其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。
若规定系统在位形（2）的势能为零， 则： ( 2) E p1 f 保 d r
(1)
说明： 1、势能属于相互作用的系统； 2、势能不依赖于参考系的选择，不要将势能 零点的选择与参考系的选择相混淆。 3、对保守力才能引进势能的概念，非保守力 没有势能的概念 二、几种势能 1、万有引力势能
(1) f d r ( 2 ) f d r
L1
f dr 0
L
L2
二、几种保守力 1、万有引力：
(2) ×
W12对

( 2) f dr (1)
GMm er d r 2 r
r2
d r er d r
M
·
r
一、功能原理（work-energy theorem） 对质点系有： W外 W内 Ek 2 Ek 1
W内 W内保 W内非 ( E p 2 E p1 ) W内非
W外 W内非 Ek 2 E p 2）（Ek 1 E p1） （
引入系统的机械能： E Ek E p 功能 原理
[例3]分析荡秋千原理：m表示人的质心 ▲ 1→2：人迅速蹲下，使有效 O
摆长 Om 由 l 变为l ； l l l ▲ 2→3：对（人+地球）系统， 5 只有重力作功，机械能守恒： v m 1 1 4 3 mv 2 mgl (1 cos ) （1） 2 2 v ▲ 3→4：人对O，M 外 0， mv l mvl （2） 角动量守恒：
f 保l d Ep dl
所以有：
1 2 例如弹性势能 E p kx ， 2 d 1 2 则可得弹性力 f x ( kx ) kx dx 2
此时有： 通常 EP 可以是几个坐标的函数，
f 保l E p l
若
E p E p ( x , y, z ) ， 则有：
W外 W内非 E2 E1 （积分形式）
d W外 d W内非 d E
（微分形式）
二、机械能守恒定律 在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。
即 若 d W外 0 且 d W内非 0 ，则 E 常量
（对惯性系） —— 机械能守恒定律 显然，孤立的保守系统机械能守恒。
当 E 0 时，Ek E p W内保

· · ·· ·
▲
4→5：对（人+地球）系统，机械能守恒：
1 mv 2 mgl (1 cos ) 2
（3）
（1）、（2）、（3）联立解得：
例如：
N v12 光滑
v1 1 m 2
v2