大学代数习题答案1

线性代数学习指导

第一章行列式

(P118)知识点: 行列式定义

1.(3) 排列1 3 5…(2n-1) 2 4 6…(2n)的逆序数t=(n-1)+(n-2)+…+1=n(n-1)/

2. (分析:此排列前n个为奇数,正序排列;后n个为偶数,排在2前比2大的有n-1个数, 排在4前比4大的有n-2个数,. 排在6前比6大的有n-3个数…)

2.(2) D=0 (01)

0 (20)

............

(00)

n

=(-1)t n!,t= n(n-1)/2.

(分析:由行列式定义, D=位于行列式中不同行不同列的n个元素乘积的代数和,应有n!项,但此行列式副对角线以外元素均为0,所以只有一项: 副对角线元素的乘积:a1n a2,(n-1)…a n1=1×2×…×n=n!.此项前应冠以符号(-1)t,t为排列

1 2 3 …n的逆序数,所以t=1+2+…+n=n(n-1)/2.)

(P117)知识点: 行列式性质

3(4)正确答案为B:D1=D2=D4

(分析:由行列式定义可知D1=D2; 而D3的第1列和第n列相等,故为零; 将D4第n列减去第1列,可知D2=D4)

(P116)知识点: 行列式性质与行列式按行(列)展开法则

5.等号左边的4阶行列式D中,将第2,3,4列均减去第1列,可得

D=11111000 1221111 2232021 3333003 x x

x x

x x

-

=

-

-

再按第1行展开,得D=111

21(1)(2)(3)003

x x x x x x --=---- 由D=0,得方程的3个根:x=1, x=2,x=3.

6.(1)由Th3,将D 4按第3行展开,得

D 4=4=a 31A 31+a 32A 32+a 33A 33+a 34A 34= -1×5+0×10+1×a+4×4,∴a=-7.

(2) 由Th3推论, a 31A 41+a 32A 42+a 33A 43+a 34A 44=0 -----(1-1), 由已知,a 31= -1,a 32=0,a 33=1,a 34=4, M 41=5, M 42=10, M 43=b, M 44=4,从而 A 41= -M 41=-5, A 42=M 42=10, A 43= -M 43= -b, A 44= M 44=4,代入(1)式得: --1×(-5)+0×10-1×b+4×4=0, ∴b=21. 8(2)行列式按最后一行展开:

D=a n A n1+ a n-1A n2+ a n-2A n3+…+a 2A n(n-1)+ (x+a 1)A nn

=a n (-1)

n+1M n1+ a n-1(-1)n+2M n2+ a n-2(-1)n+3M n3+…+a 2(-1)n+(n-1)M n(n-1)+ (x+a 1) (-1)n+n M nn ……….(1-2)

M nj =1

00j n j A B --为准对角行列式,左上角对应j-1阶上三角行列式:

11

...00...0||......

...10...

0j x x A x --=-=x j-1,右下角对应n-j 阶下三角行列式: 10

...01...0||......

...00 (1)

n j x B x ---=-=(-1)n-j 所以M nj =|A j-1|×|B n-j |=(-1)n-j x j-1, 代入式(1-2),得 D= a n + a n-1x+ a n-2x 2+…+a 2x n-2 +a 1x n-1+x n .

12.提示:c 2+c 3,再按c 2展开.