理论力学
理论力学
柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体． 胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力．
3 、光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链 支座等） （1） 径向轴承（向心轴承）
约束特点： 轴在轴承孔内，轴为非自由体、 轴承孔为约束．
约束力： 当不计摩擦时，轴与孔在接触处为光滑接 触约束——法向约束力．约束力作用在接触处，沿径向 指向轴心．
画受力图步骤： 1、取所要研究物体为研究对象（分离体），画出其简图 2、画出所有主动力 3、按约束性质画出所有约束（被动）力
根据约束的类型画出研究对象的受力图
例1：结构如图所示，不计构件自重，画出AB杆的受力图。 A
C
B
A
B
FAx
A
D FAy
C
FC
W B W
C
D
CD杆为二力杆
W
例2：画出AB杆的受力图。
课程内容
静力学 研究物体在力系作用下的平衡规律的科学．
运动学 研究物体运动的几何性质的科学。 只从几何的角度来研究物体的运动（如轨迹、速度、 加速度等），而不研究引起物体运动的物理原因。
动力学
研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
静力学引言
静力学：
研究物体在力系作用下的平衡条件的科学．
1、物体的受力分析：分析物体（包括物体系）受 哪些力，每个力的作用位置和方向，并画出物体的受力 图．
理论力学公式
理论力学公式
理论力学是物理学中重要的分支之一，它研究的是物质运动的规律以
及力对物体运动的影响。在理论力学中有很多重要的公式，下面将介绍一
些较为常用的公式。
1.速度与位移的关系：
速度（v）是一个物体在单位时间内所经过的位移（s）的变化率。速
度的公式可以表示为：
v = ds/dt
其中，v代表速度，s代表位移，t代表时间。这个公式表明，速度
等于位移的导数。
2.加速度和速度的关系：
加速度（a）是一个物体在单位时间内速度（v）的变化率。加速度的
公式可以表示为：
a = dv/dt
其中，a代表加速度，v代表速度，t代表时间。这个公式表明，加
速度等于速度的导数。
3.牛顿第二定律：
牛顿第二定律描述了力对物体运动的影响。牛顿第二定律可以表示为：
F = ma
其中，F代表力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。这个公式表明，物体受到的力等于其质量乘以加速度。
4.动能和功的关系：
动能（K）是物体运动时所具有的能量。根据定义，动能等于物体的质量乘以速度的平方的一半，即：
K = (1/2)mv^2
其中，K代表动能，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
功（W）则描述了力对物体运动所做的功。功的公式可以表示为：
W = F·s·cosθ
其中，W代表功，F代表力，s代表位移，θ代表力在位移方向上与位移的夹角。这个公式表明，功等于力乘以位移乘以力在位移方向上的投影。
5.势能和力的关系：
势能（U）是力学系统中保持的一种能量形式。势能的公式可以表示为：
U = -∫F·ds
其中，U代表势能，F代表力，s代表位移。这个公式表明，势能等于力对位移的负积分。
理论力学
图1-4
• 2)三力平衡汇交定理 • 作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中 两个力交于一点，则此第三个力必过汇交 点，且三力共面，它们组成的力三角形自 行封闭。 • 1.2.4 公理四作用与反作用 定律 图1-5 • 作用力和反作用力总是同时存在，两力的 大小相等，方向相反，沿同一直线，分别 作用在两个相互作用的物体上。
• 力对物体的作用效果与力的大小、方向和 作用点有关，称其为力的三要素。 • 力是矢量。 • 力系是指作用于物体上的一群力。两个不 同的力系，如果它们对同一物体的作用效 应完全相同，则这两个力系是等效的，它 们互称为等效力系。 • 2)刚体
• 实际物体受力时，其内部各点间的相对距 离都要发生改变，这种改变称为位移。各 点位移累加的结果，使物体的形状和尺寸 改变，这种改变称为变形。 • 刚体即是指物体在力的作用下，其内部任 意两点之间的距离始终保持不变的物体。 绝对的刚体并不存在，刚体只是一个理想 化的力学模型。 • 3)平衡
• 三、学习理论力学的目的 • 理论力学是一门理论性较强的技术基础课， 是机械专业学生必须掌握的基础理论。 • 四、理论力学的学习方法
静力学
• 静力学是研究物体在力系作用下的平衡条 件的科学。
第1章 力学基本知识与物体 的受力分析
• • • • 1.1 静力学的基本知识 1.1.1 力、刚体、平衡 1)力的概念 力的概念是人们在生产实践中逐步形成的。 力是物体之间相互的机械作用。
理论力学的基本概念与原理
理论力学的基本概念与原理
理论力学是物理学的重要分支，它研究物体的运动规律和力的作用
原理。本文将介绍理论力学的基本概念与原理，包括质点与刚体的运动、牛顿三大定律、动能定理和动量守恒定律。
一、质点与刚体的运动
在理论力学中，质点与刚体被认为是物体的简化模型。质点是不具
有大小和形状的点，刚体则是一个不变形的物体。质点的运动可以用
坐标表示，而刚体的运动则包括平动和转动。
二、牛顿三大定律
牛顿三大定律是理论力学的基石，它们描述了物体的运动规律和力
的作用原理。
1. 第一定律：也称为惯性定律，它表明物体在不受力作用时将保持
静止或匀速直线运动。
2. 第二定律：也称为动力学定律，它表明物体的加速度与作用在物
体上的力成正比，与物体的质量成反比。即F=ma，其中F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
3. 第三定律：也称为作用-反作用定律，它表明任何两个物体之间都会相互施加大小相等、方向相反的作用力。
三、动能定理
动能定理描述了力对物体进行功的过程。根据动能定理，物体的变动动能等于作用在物体上的合外力所做的功。动能定理可以用公式表示为：W=ΔKE，其中W表示外力所做的功，ΔKE表示物体动能的变化量。
四、动量守恒定律
动量守恒定律是理论力学中的一个重要原理，它描述了系统的总动量在没有外力作用时将保持不变。根据动量守恒定律，一个系统中各个物体的动量之和在碰撞或相互作用前后保持不变。
综上所述，理论力学的基本概念与原理包括质点与刚体的运动、牛顿三大定律、动能定理和动量守恒定律。通过研究这些基本概念和原理，我们能够更好地理解和描述物体的运动规律和力的作用原理。理论力学在解决力学问题、预测物体运动、设计工程等方面具有重要的应用价值。希望本文对读者理解和掌握理论力学有所帮助。
理论力学知识点总结
理论力学知识点总结
理论力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动规律和受力情况。其基
础在于牛顿力学，也称为经典力学。本文将总结理论力学领域中的一些重要知识点，包括牛顿定律、动量、能量等概念。
1. 牛顿定律
牛顿定律是理论力学的基石，共分为三个定律。第一定律也称为惯性定律，描
述了物体的运动状态。它指出，任何物体都保持静止或匀速直线运动，除非有外力作用于它。第二定律是物体的运动状态与作用在其上的力成正比的关系。其公式为
F = ma，其中F为物体所受力，m为物体的质量，a为物体的加速度。第三定律是
作用力和反作用力总是成对存在的。这些定律对于解释物体的运动行为和相互作用提供了基础。
2. 动量
动量是物体运动的重要物理量，定义为物体质量与速度的乘积。动量为矢量量，方向与速度方向一致。动量的变化率等于作用在物体上的力。这一关系可以表示为
F = dp/dt，其中F为物体的受力，p为物体的动量，t为时间。动量在碰撞、运动和
相互作用等情况下起着重要的作用，也是守恒定律的基础之一。
3. 动能和势能
动能是物体运动时具有的能量形式，定义为物体质量与速度平方的乘积的一半。动能可以表示为K = 1/2 mv^2，其中m为物体质量，v为物体速度。动能与物体的
质量和速度平方成正比，是运动状态的指示器。势能是与物体位置有关的能量，通常体现为引力和弹性力。势能是因物体在某一位置而具有的能量，可以转化为动能，也可以从动能转化为势能，满足能量守恒定律。
4. 转动
理论力学不仅研究物体的直线运动，还涉及到了转动的问题。刚体的转动是指刚体绕固定轴线旋转的运动。转动的物理量包括角位移、角速度和角加速度。角位移表示物体绕轴线旋转的角度，角速度是单位时间内角位移的变化率，角加速度是单位时间内角速度的变化率。转动存在着转动惯量、角动量、角动量守恒和角动量定理等重要概念。
理论力学
理论力学绪论
理论力学：是研究物体机械运动一般规律的科学。
机械运动：物体在空间的位置随时间的改变。
静力学：主要研究受力物体平衡时作用力所应满足的条件；同时也研究物体受力的分析方法，以及力系简化的方法。
运动学：只从几何的角度来研究物体的运动（如轨迹、速度、加速度等），而不研究引起物体运动的物理原因。
动力学：研究受力物体的运动和作用力之间的关系。
静力学引言
静力学是研究物体的受力分析、力系的等效替换（或简化）、建立各种力系的平衡条件的科学。
１．静力学研究的三个问题
⑴物体的受力分析：分析物体（包括物体系）受哪些力，每个力的作用位置和方向，并画出物体的受力图。
⑵力系的等效替换（或简化）：用一个简单力系等效代替一个复杂力系。
⑶建立各种力系的平衡条件：建立各种力系的平衡条件，并应用这些条件解决静力学实际问题。
２．基本概念
平衡：物体相对惯性参考系（如地面）静止或作匀速直线运动。
质点：具有质量,而其形状、大小可以不计的物体。
质点系：具有一定联系的若干质点的集合。
刚体：在力的作用下，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体。
力：物体间相互的机械作用，作用效果使物体的机械运动状态发生改变。
力的三要素：大小、方向和作用线。
力系：是指作用在物体上的一群力。
等效力系：对同一刚体产生相同作用效应的力系。
合力：与某力系等效的力。
平衡力系：对刚体不产生任何作用效应的力系。
共点力系：力的作用线汇交于一点。
平面汇交（共点）力系：力的作用线在同一平面内。
空间汇交（共点）力系：力的作用线不在同一平面内。
力系的分类：按作用线所在的位置，分为平面力系和空间力系；按作用线之间的相互关系，分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系。
理论力学
绪 论
理论力学是物理学专业学生必修的一门重要专业基础课，又是后续三大理论物理课程（即：电动力学、热力学与统计物理学、量子力学）的基础。理论力学虽然讲授经典理论，但其概念、理论及方法不仅是许多后继专业课程的基础，甚至在解决现代科技问题中也能直接发挥作用。近年来，许多工程专业的研究生常常要求补充理论力学知识以增强解决实际问题能力，因此学习理论力学课程的重要性是显然的。既然我们将开始学习理论力学这门课程,我们至少应该了解什么是理论力学?
一.什么是理论力学?
1. 它是经典力学.
理论力学是基础力学的后继课程,它从更深更普遍的角度来研究力与机械运动的基本规律。当然它仍然属于经典力学，这里“经典”的含义本身就意味着该学科是完善和已成定论的,它自成一统,与物理学及其它学科所要探索的主流毫不相干。正因为如此,原本属于物理学的力学,经过三百多年的发展到达20世纪初就从物理学中分化出来,并与数、理、化、天、地、生一起构成自然科学中的七大基础学科。由于理论力学它是经典力学，因此它不同与20世纪初发展起来的量子力学，也不同于相对论力学。它研究的机械运动速度比光速要小得多，它研究的对象是比原子大得多的客观物体。如果物体的速度很大，可以同光速比拟，或者物体尺度很小如微观粒子，在这种情况下，经典力学的结论就不再成立，失去效用，而必须考虑它的量子效应和相对论效应。因此，理论力学它有一定的局限性和适用范围，它只适用于c v << h t p t E >>∆⋅⋅)( (h —普朗克常数)的情况，不再适用于高速微观的情况。经典力学的这一局限性并不奇怪，它完全符合自然科学发展的客观规律……。从自然科学发展史的角度来看，由于力学是发展得最早的学科之一，这就难免有它的局限性。因此，在某种意义上来说它确是一门古老而成熟的理论。尽管理论力学是一门古老而成熟的理论，这并不意味着它是陈旧而无用的理论。它不管是在今天还是在将来都仍是许多前沿学科不可缺少的基础。其实，前沿总是相对基础而言的，没有基础哪来的前沿。在最近几十年来以航天、原子能、计算机为标志的新技术和物理化学的新成就，促使力学有很大的发展。理论的发展往往是沿着分久必合、合久必分的规律向前发展的。随着科学和现代工程技术的神速发展，力学作为一门基础学科，正在突破它原来的范畴。与其他学科交叉结合形成了许多新的分支学科。多学科的交叉是当今科学发展的大趋势。那么，力学有多少分支学科呢？就目前看来，力学大体上有14个分支学科。
理论力学
理论力学建立科学抽象的力学模型（如质点、刚体等）。静力学和动力学都联系运动的物理原因——力，合 称为动理学。有些文献把kinetics和dynamics看成同义词而混用，两者都可译为动力学，或把其中之一译为运动 力学。此外，把运动学和动力学合并起来，将理论力学分成静力学和动力学两部分。
理论力学依据一些基本概念和反映理想物体运动基本规律的公理、定律作为研究的出发点。例如，静力学可 由五条静力学公理演绎而成；动力学是以牛顿运动定律、万有引力定律为研究基础的。理论力学的另一特点是广 泛采用数学工具，进行数学演绎，从而导出各种以数学形式表达的普遍定理和结论 。
动力学中关于运动的量度有动量、动量矩和动能，与此有关的力的作用的量度有冲量、冲量矩和功。表明这 两种量度间的关系的定理，有动量定理、动量矩定理以及动能定理，称为动力学普遍定理。
理论力学的基础是牛顿三定律：第一定律即惯性定律；第二定律给出了质点动力学基本方程；第三定律即作 用与反作用定律，在研究质点系力学问题时具有重要作用。第一、第二定律对于惯性参考系成立。在一般问题中， 与地球固结的参考系或相对于地面作惯性运动的参考系，可近似地看作惯性参考系。
理论力学总结知识点
理论力学总结知识点
1. 牛顿力学
牛顿力学是经典力学的基础，主要包括牛顿三定律、万有引力定律和动量定理等内容。牛顿三定律是牛顿力学的基本定律，它分别描述了物体的运动状态、受力作用和反作用的关系。动量定理则是描述了力对物体运动状态的影响，通过动量定理可以得到物体的运动规律。而万有引力定律则描述了质点之间的引力作用，是描述天体运动和行星运动的基础。
2. 哈密顿力学
哈密顿力学是经典力学的一种形式，它以哈密顿量为基础，通过哈密顿正则方程描述物体的运动规律。哈密顿量是描述系统动能和势能的函数，通过对哈密顿量的推导和求解可以得到系统的运动规律。哈密顿正则方程则是描述了对应于哈密顿量的广义动量和广义坐标的变化规律，通过它可以得到物体的运动轨迹。
3. 拉格朗日力学
拉格朗日力学是经典力学的另一种形式，它以拉格朗日函数为基础，描述了物体在一定势场中的运动规律。拉格朗日函数是描述系统动能和势能的函数，通过对拉格朗日函数的求导和求解可以得到系统的运动规律。拉格朗日方程则是描述了对应于拉格朗日函数的广义坐标和时间的变化规律，通过它可以得到物体的运动轨迹。
4. 动力学
动力学是研究物体在受力作用下的运动规律的一门学科，它主要包括质点动力学、刚体动力学和连续体动力学等内容。质点动力学是研究质点在受力作用下的运动规律，通过牛顿三定律和动量定理可以得到质点的运动规律。刚体动力学则是研究刚体在受力作用下的运动规律，它包括刚体的平动和转动运动规律。而连续体动力学是研究连续体在受力作用下的变形和运动规律，它是弹性力学和流体力学的基础。
理论力学
表示．
（2）光滑圆柱铰链
约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成，如剪 刀．
简化表示：
约束力表示：
约束力：
光滑圆柱铰链：亦为孔与轴的配合问题，与轴承一样，可用 两个正交分力表示．
Fcx Fcx , Fcy Fcy
其中有作用反作用关系
一般不必分析销钉受力，当要分析时，必须把销钉单独 取出．
此时整体受力图如图（f） 所示
讨论：若左、右两拱都考 虑自重，如何画出各受力 图？
如图 （g） （h）（i）
例1-5 不计自重的梯子放在光滑水 平地面上，画出梯子、梯子 左右两部分与整个系统受力 图．
解： 绳子受力图如图（b）所示
梯子左边部分受力图 如图（c）所示
梯子右边部分受力图 如图（d）所示
约束力：比径向轴承多一个轴向的约束反力，亦有三个正 交分力 FAx , FAy , FAz ．
固定端约束
阳台，电线杆，机床的卡盘
（1）光滑面约束——法向约束力 FN
（2）柔索约束——张力 FT
（3）光滑铰链—— FAy FAx
（4）滚动支座—— FN
⊥光滑面
球铰链——空间三正交分力 止推轴承——空间三正交分力
自由体：位移不受限制的物体叫自由体。 非自由体：位移受限制的物体叫非自由体。
约束：对非自由体的位移起限制作用的物体. （这里的约束是名词，而不是动词）
理论力学
τ
(2)法向加速度 （ 表示速度方向的变化）
二 刚体的基本运动
1.刚体的平动
刚体平移的定义: 刚体在运动中,其上任意两点的连线始终与它的初始位置
平行，这种运动称为平行移动，简称平移。
平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样，各点的运动 轨迹形状相同。
刚体平动时整体的运动可归结为点的运动.
二 刚体的基本运动
用自然法， 点在 t时间内，走过的弧长为
s= R
速度 v dS lim S dt t0 t
lim R R
t0 t
v R
切向加速度为
at
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R,
法向加速度为
an
v2
(R)2
R
R 2
全加速度大小为
a an2 at2 R 2 4
方向为
tan
at an
R 2R
四 刚体的转动惯量与飞轮的作用
2.飞轮的作用 （1）使转速变化均匀 （2）改善扭转特性，减缓机械振动 （3）改善机器的启动和操纵性能
力偶臂 作用面 力偶矩
m = rBA×F = rAB×F´ 在平面问题中则有 m = ±Fd
A F´
F
d rBA B
四.力偶及其性质
3.力偶的性质 性质一：力偶不能简化为一个力，即力偶 不能与一个力等效 性质二：力偶对于任意点之矩，与该点的位置 无关它恒等于力偶矩
理论力学试题及答案
理论力学试题及答案
1. 题目：速度与加速度的关系
问题：在理论力学中，速度和加速度之间存在着怎样的关系？
解答：速度和加速度是物体运动过程中的两个重要物理量，它们之间存在一定的数学关系。根据牛顿第二定律，物体的加速度等于物体所受合外力的大小与物体的质量之比。即：
a = F/m
其中，a表示物体的加速度，F表示物体所受的合外力，m表示物体的质量。
在一维直线运动的情况下，物体的速度和加速度之间的关系可以通过对速度对时间的导数来表示：
a = dv/dt
其中，a表示物体的加速度，v表示物体的速度，t表示时间。
综上所述，速度和加速度之间的关系可以用以下公式表示：
a = dv/dt = F/m
这表明，速度和加速度的关系由物体所受合外力和物体的质量共同决定。
2. 题目：牛顿的三大定律
问题：简要介绍牛顿的三大定律。
解答：牛顿的三大定律是经典力学的基础，它们描述了物体运动的原理和规律。
第一定律，也被称为惯性定律，表明如果物体受到的合外力为零，则物体将保持静止或匀速直线运动状态。换句话说，物体的速度只有在受到外力作用时才会改变。
第二定律，也被称为运动定律，表明物体的加速度与物体所受的合外力成正比，与物体的质量成反比。即 F = ma，其中F表示物体所受的合外力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
第三定律，也被称为作用-反作用定律，表明任何两个物体之间都存在相互作用力，且作用力和反作用力在大小上相等、方向上相反。换句话说，所有力都是成对出现的，并且它们互相抵消。
这些定律为解释物体运动和相互作用提供了基本原理，广泛适用于各种力学问题的分析和解决。
《理论力学》知识点复习总结
《理论力学》知识点复习总结
1.物体的力学性质：力、质量、惯性、受力分析方法等。
-力是物体之间相互作用的结果，具有大小和方向。
-质量是物体所固有的特性，是描述物体所具有惯性的物理量。
-惯性是物体保持运动状态的性质。
-受力分析方法包括自由体图、受力分解和力的合成等。
2.静力学：物体在平衡状态下的力学性质。
-质点和刚体的平衡条件：质点处于平衡状态的条件是合外力为零；刚体处于平衡状态的条件包括合外力为零和合力矩为零。
-平衡条件的应用：包括静力平衡、摩擦力和弹簧力的分析。
3.动力学：物体在运动状态下的力学性质。
- 牛顿第二定律：力的大小与物体的加速度成正比，与物体的质量成反比。F=ma。
-牛顿第三定律：相互作用的两个物体对彼此施加的力大小相等、方向相反且作用线共面。
-看似相矛盾的运动：如撞击问题、弹性碰撞和非弹性碰撞等。
-应用：包括运动学方程、加速度分析和力学功与功率。
4.系统动力学：多个物体组成的力学系统的运动性质。
-质心和运动质量：质心是体系质点整体运动的简化描述，质点与质心之间的相对运动。
-惯性张量：描述刚体旋转运动的物理量，与刚体的形状和质量分布有关。
- 牛顿第二运动定理的推广：F=ma，扩展到系统的质心运动和转动运动。
-平面运动：考虑力矩与角动量的关系，通过角动量守恒定律解决问题。
-空间运动：考虑转动动力学和刚体旋转平衡。
5.两体问题：描述两个物体之间的相互作用。
-地球质点模型：解析化描述地球和物体之间的万有引力相互作用。
-地球表面近似：解析化描述地球表面物体之间的重力相互作用。
-行星运动：描述行星围绕太阳轨道运动和轨道素描和轨道周期的计算。
理论力学知识点详细总结
理论力学知识点详细总结
引言
理论力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动规律和力学特性。它是一门基础学科，也是物理学中最早发展的学科之一。理论力学对于理解和解释自然界的很多现象都起着关
键作用，广泛应用于航天、航空、土木工程、机械制造等领域。本文将对理论力学的主要
知识点进行详细总结，包括牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学等内容。
一、牛顿力学
牛顿力学是经典力学的基础理论，是研究物体运动规律和力学现象的最基本方法。牛顿力
学建立在牛顿三大定律的基础上，主要包括运动学和动力学两大部分。
1. 运动学
运动学是研究物体运动的几何学方法，包括位置、速度、加速度等概念。基本知识点包括：
① 位移：物体从一个位置移动到另一个位置的距离和方向称为位移。位移可用位移矢量
表示。
② 速度：物体单位时间内移动的位移称为速度。平均速度可用位移除以时间计算，瞬时
速度可用极限定义。
③ 加速度：物体单位时间内速度变化的量称为加速度。平均加速度可用速度变化除以时
间计算，瞬时加速度可用速度的导数定义。
2. 动力学
动力学是研究物体受力运动的学科，主要包括牛顿运动定律和牛顿万有引力定律。
① 牛顿三大定律：第一定律指出，物体在不受外力作用时保持匀速直线运动或静止；第
二定律指出，物体受到的力与其加速度成正比，与质量成反比；第三定律指出，相互作用
的两个物体之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。
② 牛顿万有引力定律：物体间的引力与它们的质量和距离平方成反比。万有引力定律可
用来解释行星运动、天体引力等现象。
二、拉格朗日力学
拉格朗日力学是研究自由度受限制的多体系统的运动方程和动力学的方法。它是经典力学
理论力学教案
理论力学教案
教案标题：理论力学教案
教学目标：
1. 理解牛顿力学的基本原理和公式
2. 掌握力学中的基本概念和计算方法
3. 能够运用理论力学知识解决实际问题
教学重点：
1. 牛顿三定律
2. 力的合成与分解
3. 物体的平衡和运动
教学难点：
1. 运用牛顿定律解决实际问题
2. 熟练掌握力的合成与分解的计算方法
教学准备：
1. 教学课件
2. 实验器材
3. 教学辅助工具
教学过程：
1. 导入：通过实例引入牛顿三定律的概念，引发学生对力学的兴趣和好奇心。
2. 理论讲解：介绍牛顿三定律的内容和意义，引导学生理解力的概念和基本原理。
3. 实验演示：通过实验演示力的合成与分解，让学生直观感受力的作用和计算
方法。
4. 计算练习：组织学生进行力的合成与分解的计算练习，巩固理论知识。
5. 案例分析：引导学生运用理论力学知识解决实际案例，培养学生的问题解决能力。
6. 总结反思：对本节课的重点知识进行总结，激发学生对力学学科的兴趣和探索欲望。
教学建议：
1. 注重理论与实践相结合，通过实验演示和案例分析，提高学生对理论力学知识的理解和运用能力。
2. 引导学生主动参与，培养学生的动手能力和团队合作精神。
3. 鼓励学生提出问题和思考，激发学生的求知欲和创新意识。
教学评估：
1. 课堂表现：学生对理论力学知识的理解和掌握情况。
2. 练习成绩：学生在力的合成与分解计算练习中的表现。
3. 案例分析：学生运用理论力学知识解决实际案例的能力。
教学反思：
1. 教学方法：针对学生的实际情况，灵活运用多种教学方法，提高教学效果。
2. 学生反馈：及时收集学生的反馈意见，不断改进教学内容和方式，提高教学质量。
理论力学知识点总结
理论力学知识点总结
理论力学是经典物理学的一个重要分支，主要研究物体的力学运动规律。从古至今，人们
一直对物体的运动规律进行研究，不断总结出了一系列理论力学知识。理论力学是物理学
的基础，对于理解和研究各种现象有着重要的意义。本文将对理论力学的主要知识点进行
总结，并探讨其在实际应用中的重要性。
1. 牛顿定律
牛顿定律是理论力学的基础，它由三个定律组成。第一定律（惯性定律）指出，物体在受
到合外力作用时，将保持原来的静止状态或匀速直线运动状态；第二定律（运动定律）规
定物体的加速度与作用在其上的合外力成正比，与物体的质量成反比；第三定律（作用-
反作用定律）规定，两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反，且作用在两个物体
之间的直线上。
2. 物体的运动
理论力学研究物体的运动形式，主要分为直线运动和曲线运动。在直线运动中，物体以匀
速或变速方式运动，可以通过位移、速度、加速度等物理量来描述其运动状态。而在曲线
运动中，物体的运动轨迹是曲线形状，它的速度和加速度的方向和大小在运动过程中会不
断变化。
3. 动力学
动力学是研究物体运动和其引起的一系列现象的力学学科。在动力学中，我们研究物体受
到各种力的作用下的运动规律。根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物
体的质量成反比，因此可以通过力和质量之间的关系来研究物体的加速度和速度变化规律。
4. 力学能量
力学能量是指物体由于位置、速度或形变而具有的能力。力学能量主要包括动能和势能两
种形式。动能是由于物体的运动而产生的能量，它与物体的质量和速度平方成正比。势能
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两边同乘 CB , 就得到全部简正坐标：
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b11 b21 b1T b 1 1. b T1b b11 b21 bs1 T 1 bs1 弯曲空间中的元长度， 欧氏空间中在曲线坐标系下的元长度就是这种形式。 上面只是对本征值2都为单根时成立。 2个或2个以上的2相等，即为多重根或多重简并情形。 如某一2为r重根，也称为r重简并。 这时，对应这一个2， 可以解出r个相互正交的本征矢量。 在这个基础上，小振动解的形式与以前相同。
6
§2、小振动的解 只有一个广义坐标时，前面的运动方程的解是振动解， 因此，对多个广义坐标时，仍用振动型的解做试探， 即，设方程的解为： q
i t
b e , 1,2,, s.
i t
这里，解的实部为广义坐标的观测值。 把这 s 个解代入 s 个方程组，得：
(V T )b e =０ 1, 2,, s. .
f1 cos(1t 1 ) u1 C B 1q C u . f cos( t ) u s s s s
1
这里，非0常数C 使我们在求 B
1
时，
可以不计算非0比例系数。
对 B (b )ss ,
2
0 0 1 0 1 0 如果 , 1 T 1 0 0 上式可以写为：.b 2 b V
1b 2b b 其中， . sb
8
这是一个本征值问题：2为本征值，b为本征矢量, 在刚体的转动惯量、量子力学中将会再次用到。 1 T 对应的是更一般情形的本征值问题， 称为广义本征值问题，要求出解，就要求出非0的 b， 否则，是静止解。 b T 2 b V 是 b1 , b2 ,, bs 的线性、齐次方程组， 方程共s个。 非0解的必要充分条件是相应的系数行列式为0，即:
1 1 1
)2(
b T 2 2b V 2 2
)3( T 2b 2 V2b (2)转置： 2 : 1b)3( )1( 2 b . bT b) 2 2 ( 0
1 2 2 1
由于
,0 2 21 ∴ 2
.0 1bT 2b
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这就是b1和b2 正交的数学表达式， 可以看作以前的正交关系的推广。 因为中间的矩阵为单位矩阵时， 上式就是以前的正交关系。 k1 0 0 全部本征矢量的正交关系可以写为： 0 k2 0 BT B K. 0 0 ks 所以，所有k＞0。 由于 T 是正定的， 适当选择本征矢量的大小，使上面的 K 等于单位矩阵， 上式就成为本征矢量的正交、归一关系。 归一指的是矢量的长度为1， b1 的归一关系可写为：
M
b (s-1)×(s-1)
21
称为b 的minor；定义 C (1) M , 称为b 的cofactor.
C11 C1s 1 1 B . B Cs1 Css s 由于T 是正定的，所以 B T B K k 必然大于0，
0
即V 组成的矩阵，是实对称的。 这个矩阵称为V 的系数矩阵，记为：. V 由于变换方程不显含t， 1 1 T T2 a (q )q q a (0)q q . 2 2 最后一步近似是因为：在平均意义上， , q 是同阶小量。 q
xi xi a 其中， (0) mi qa 0 q . 0
,0 T 2 V
这是 2的1元s次方程。 、 由于 T V 都是实对称矩阵，因此在这个方程中，
9
包括重根在内， 2 一定有s 个实数根（本征值）， 2 记为: , 1,2,, s. 2 对应每一个本征值 , 代入原方程组， 2 的本征矢量， 就可以解出相应的b，称为对应本征值 b (b1 , b2 ,, bs )T , 记为： 它给出了不同广义坐标的解的振幅的比例关系。 由于b的方程组是齐次的， 本征矢量的解只确定到一非零常数， 例如与 21对应的本征矢量可以为：
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令 T ≡ a (0) = T ， 1 动能写为：T T q q . 2 T 也是实对称的，并且是正定的。 就说明体系在运动， 正定是因为：只要有 q 不为0， 这时必有： T＞0。 1 1 L T q q V q q . ∴ 2 2 相应的Lagrange方程为： T q V q 0, =1,2,…,s. 这是关于s个广义坐标的2阶、齐次、线性微分方程组， 方程共s个。
c1b1 c1 (b11, b21,, bs1 )T ,
这里，c1 为任意非零常数，物理意义是： 所有广义坐标都变为原来的c1倍，仍为体系的解。
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1、如果 21 ＞0，
V
1 12 0. 令 第 个广义坐标对应的解为：
q 1 b 1[Re(c1ei 1t ) Re(d1ei 1t )]
把这个矩阵称为： B
在s个2中，哪个排第一，哪个排第二，… 是任意的， 但它们与本征矢量的对应关系是确定的。
通常我们把 b 取成最简单的非零值， 让 f1、f2、…、fs ,1、2、…、s这2s 个常量任意变化。
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给定了s个广义坐标，和s个广义速度的初始值， 就能完全确定上述2s个任意常量。 下面证明： 属于不同的本征值的本征矢量是彼此正交的。 设 21和 22 对应的本征矢量分别是b1和b2 ， 则有： )1( b T 2 b V
由此得：
1
T
因此得，B 0, 由此得到： 一定存在。 B
1
22
3、广义坐标之间的变换 与简正坐标相联系的一个问题是： 、 是否可以取一组广义坐标，使 T V 都是对角形？ 、 可以！当广义坐标全取为简正坐标时，T V都是对角形。 直接用线性代数中的结论： 、 T 对2个s×s的实对称矩阵 T V ， 并且还是正定的， 一定存在一个非退化（即行列式不为0）s×s矩阵B ， 同时使： BT B K (或=1), BV B D. 这里,
第 三 章
小 振 动
1
本章主要内容
§1、小振动体系的运动方程
§2、小振动的解
§3、简正坐标 §4、例题：耦合摆 §5、质点组的动能
2
日常生活中力学体系在平衡位置附近运动的例子： 桥梁、房屋、车辆、仪器等等。 §1、小振动体系的运动方程 一个由 n 个质点组成的 理想、完整、稳定约束力学体系， 整个体系在平衡位置附近运动。 主动力都是保守的。 s = d, 取 s 个广义坐标，使变换方程不显含t： xi= xi(q), i=1,2,…,3n. 取平衡位置为所有广义坐标的0点，即在平衡位置取为： q (q1, q2 ,..., qs ) (0,0,...,0) 0. 由于主动力都是保守的，它们可以用势 V(q) 来描述。
2 1
V O
q1
O
V
q1
q 1 b 1[cei (i1 )t dei (i1 )t ].
在0点附近势的形式如右图。 上面的 2对应匀速直线运动， 3对应指数发散。 这2种情况都会导致广义坐标无限制增大，
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从而跑出小振动的范围。 因此，小振动的理论不能用于这2种情况。 而只能用于第一种情况，即 V 为正定的。 对一个力学体系，如果得到 2＝0， 不能直接得出匀速直线运动的结论。 需要由拉氏方程判断。 由于小振动体系的运动方程是齐次的， 对21能得到一个振动解， 对其它频率能得到新的振动解， 这些振动解加起来仍然是齐次方程的解。 ∴
忽略3阶和3阶以上的小量， 取 V(0)=0. 当体系处于平衡时， 在平衡位置，即q＝0处用虚功原理: V xi V A xi 0. Q Fi xi q q q
4
∴ 其中，
1 V (q) V q q , 2 2V V V . qa q
3
在平衡位置，即在q＝0 对V 作Taylor展开：
V 1 2V V (q ) V 0 q 2 qa q q 0
0
q q , 0
如果q的0点不取在平衡点，上式右边为：
V 0 V q (q q ) . q q0
2
写成矩阵形式：
7
V11 2T11 V12 2T12 V21 2T21 V22 2T22 V 2T V 2T s1 s2 s2 s1 或者写成：,b T 2 b V
V1s T1s b1 2 V2 s T2 s b2 0. 2 Vss Tss bs
q
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即：
q1 b11 b12 q2 b21 b22 q qs bs1 bs 2
b1s f1 cos(1t 1 ) b2 s f 2 cos( 2t 2 ) . bss f s cos( s t s )
q q b f cos( t ).
1
s
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b11 已求出解： 2 d V T 2 f1 cos(1t 1 ) dt bs1 b11 0 f1 cos(1t 1 ) 2 d V T 2 0. dt bs1 0 f s cos( s t s ) 这样的方程共有s个，仅中间的矩阵不同，s个相加即得： b11 b1s f1 cos(1t 1 ) d 2 V T 2 0. dt bs1 bss f s cos( s t s )
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§3、简正坐标 1、简正坐标的定义 2、求简正坐标的方法 3、广义坐标之间的变换 4、系数矩阵为准对角化情形
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1、简正坐标的定义 从前面得到的广义坐标的解知道， 通常一个广义坐标随时间的变化，包含若干个频率成分。 是否有广义坐标，无论体系取任何初始条件， 都只以某一个频率振动？回答是有。 这样的广义坐标，称为简正坐标。
b 1 f1 cos(1t 1 ).
q百度文库O
这里， f1、1 都是实数。 这时在0点附近势的形式如图。
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2、如果21 ＝0，q 1 b 1. 直接由拉氏方程 T q V q 0, 得 q 1 cb 1 db 1t. 这时在0点附近势的形式如右图。 3、如果21 ＜0， 令 1 0. 第 个广义坐标对应的解为：