理论力学

2、求简正坐标的方法 对一个有s个广义坐标的体系， 一定可以找到s个简正坐标，记为：u1 、u2 、… 、 us 。 以前得到： f1 cos(1t 1 ) q B . f cos( t ) s s s
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两边同乘 CB , 就得到全部简正坐标：
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b11 b21 b1T b 1 1. b T1b b11 b21 bs1 T 1 bs1 弯曲空间中的元长度， 欧氏空间中在曲线坐标系下的元长度就是这种形式。 上面只是对本征值2都为单根时成立。 2个或2个以上的2相等，即为多重根或多重简并情形。 如某一2为r重根，也称为r重简并。 这时，对应这一个2， 可以解出r个相互正交的本征矢量。 在这个基础上，小振动解的形式与以前相同。
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§2、小振动的解 只有一个广义坐标时，前面的运动方程的解是振动解， 因此，对多个广义坐标时，仍用振动型的解做试探， 即，设方程的解为： q
i t
b e , 1,2,, s.
i t
这里，解的实部为广义坐标的观测值。 把这 s 个解代入 s 个方程组，得：
(V T )b e =０ 1, 2,, s. .
f1 cos(1t 1 ) u1 C B 1q C u . f cos( t ) u s s s s
1
这里，非0常数C 使我们在求 B
1
时，
可以不计算非0比例系数。
对 B (b )ss ,
2
0 0 1 0 1 0 如果 , 1 T 1 0 0 上式可以写为：.b 2 b V
1b 2b b 其中， . sb
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这是一个本征值问题：2为本征值，b为本征矢量, 在刚体的转动惯量、量子力学中将会再次用到。 1 T 对应的是更一般情形的本征值问题， 称为广义本征值问题，要求出解，就要求出非0的 b， 否则，是静止解。 b T 2 b V 是 b1 , b2 ,, bs 的线性、齐次方程组， 方程共s个。 非0解的必要充分条件是相应的系数行列式为0，即:
1 1 1
)2(
b T 2 2b V 2 2
)3( T 2b 2 V2b (2)转置： 2 : 1b)3( )1( 2 b . bT b) 2 2 ( 0
1 2 2 1
由于
,0 2 21 ∴ 2
.0 1bT 2b
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这就是b1和b2 正交的数学表达式， 可以看作以前的正交关系的推广。 因为中间的矩阵为单位矩阵时， 上式就是以前的正交关系。 k1 0 0 全部本征矢量的正交关系可以写为： 0 k2 0 BT B K. 0 0 ks 所以，所有k＞0。 由于 T 是正定的， 适当选择本征矢量的大小，使上面的 K 等于单位矩阵， 上式就成为本征矢量的正交、归一关系。 归一指的是矢量的长度为1， b1 的归一关系可写为：
M
b (s-1)×(s-1)
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称为b 的minor；定义 C (1) M , 称为b 的cofactor.
C11 C1s 1 1 B . B Cs1 Css s 由于T 是正定的，所以 B T B K k 必然大于0，
0
即V 组成的矩阵，是实对称的。 这个矩阵称为V 的系数矩阵，记为：. V 由于变换方程不显含t， 1 1 T T2 a (q )q q a (0)q q . 2 2 最后一步近似是因为：在平均意义上， , q 是同阶小量。 q
xi xi a 其中， (0) mi qa 0 q . 0
,0 T 2 V
这是 2的1元s次方程。 、 由于 T V 都是实对称矩阵，因此在这个方程中，
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包括重根在内， 2 一定有s 个实数根（本征值）， 2 记为: , 1,2,, s. 2 对应每一个本征值 , 代入原方程组， 2 的本征矢量， 就可以解出相应的b，称为对应本征值 b (b1 , b2 ,, bs )T , 记为： 它给出了不同广义坐标的解的振幅的比例关系。 由于b的方程组是齐次的， 本征矢量的解只确定到一非零常数， 例如与 21对应的本征矢量可以为：
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令 T ≡ a (0) = T ， 1 动能写为：T T q q . 2 T 也是实对称的，并且是正定的。 就说明体系在运动， 正定是因为：只要有 q 不为0， 这时必有： T＞0。 1 1 L T q q V q q . ∴ 2 2 相应的Lagrange方程为： T q V q 0, =1,2,…,s. 这是关于s个广义坐标的2阶、齐次、线性微分方程组， 方程共s个。
c1b1 c1 (b11, b21,, bs1 )T ,
这里，c1 为任意非零常数，物理意义是： 所有广义坐标都变为原来的c1倍，仍为体系的解。
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1、如果 21 ＞0，
V
1 12 0. 令 第 个广义坐标对应的解为：
q 1 b 1[Re(c1ei 1t ) Re(d1ei 1t )]
把这个矩阵称为： B
在s个2中，哪个排第一，哪个排第二，… 是任意的， 但它们与本征矢量的对应关系是确定的。
通常我们把 b 取成最简单的非零值， 让 f1、f2、…、fs ,1、2、…、s这2s 个常量任意变化。
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给定了s个广义坐标，和s个广义速度的初始值， 就能完全确定上述2s个任意常量。 下面证明： 属于不同的本征值的本征矢量是彼此正交的。 设 21和 22 对应的本征矢量分别是b1和b2 ， 则有： )1( b T 2 b V
由此得：
1
T
因此得，B 0, 由此得到： 一定存在。 B
1
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3、广义坐标之间的变换 与简正坐标相联系的一个问题是： 、 是否可以取一组广义坐标，使 T V 都是对角形？ 、 可以！当广义坐标全取为简正坐标时，T V都是对角形。 直接用线性代数中的结论： 、 T 对2个s×s的实对称矩阵 T V ， 并且还是正定的， 一定存在一个非退化（即行列式不为0）s×s矩阵B ， 同时使： BT B K (或=1), BV B D. 这里,
第 三 章
小 振 动
1
本章主要内容
§1、小振动体系的运动方程
§2、小振动的解
§3、简正坐标 §4、例题：耦合摆 §5、质点组的动能
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日常生活中力学体系在平衡位置附近运动的例子： 桥梁、房屋、车辆、仪器等等。 §1、小振动体系的运动方程 一个由 n 个质点组成的 理想、完整、稳定约束力学体系， 整个体系在平衡位置附近运动。 主动力都是保守的。 s = d, 取 s 个广义坐标，使变换方程不显含t： xi= xi(q), i=1,2,…,3n. 取平衡位置为所有广义坐标的0点，即在平衡位置取为： q (q1, q2 ,..., qs ) (0,0,...,0) 0. 由于主动力都是保守的，它们可以用势 V(q) 来描述。
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V O
q1
O
V
q1
q 1 b 1[cei (i1 )t dei (i1 )t ].
在0点附近势的形式如右图。 上面的 2对应匀速直线运动， 3对应指数发散。 这2种情况都会导致广义坐标无限制增大，
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从而跑出小振动的范围。 因此，小振动的理论不能用于这2种情况。 而只能用于第一种情况，即 V 为正定的。 对一个力学体系，如果得到 2＝0， 不能直接得出匀速直线运动的结论。 需要由拉氏方程判断。 由于小振动体系的运动方程是齐次的， 对21能得到一个振动解， 对其它频率能得到新的振动解， 这些振动解加起来仍然是齐次方程的解。 ∴
忽略3阶和3阶以上的小量， 取 V(0)=0. 当体系处于平衡时， 在平衡位置，即q＝0处用虚功原理: V xi V A xi 0. Q Fi xi q q q
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∴ 其中，
1 V (q) V q q , 2 2V V V . qa q
3
在平衡位置，即在q＝0 对V 作Taylor展开：
V 1 2V V (q ) V 0 q 2 qa q q 0
0
q q , 0
如果q的0点不取在平衡点，上式右边为：
V 0 V q (q q ) . q q0
2
写成矩阵形式：
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V11 2T11 V12 2T12 V21 2T21 V22 2T22 V 2T V 2T s1 s2 s2 s1 或者写成：,b T 2 b V
V1s T1s b1 2 V2 s T2 s b2 0. 2 Vss Tss bs
q
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即：
q1 b11 b12 q2 b21 b22 q qs bs1 bs 2
b1s f1 cos(1t 1 ) b2 s f 2 cos( 2t 2 ) . bss f s cos( s t s )
q q b f cos( t ).
1
s
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b11 已求出解： 2 d V T 2 f1 cos(1t 1 ) dt bs1 b11 0 f1 cos(1t 1 ) 2 d V T 2 0. dt bs1 0 f s cos( s t s ) 这样的方程共有s个，仅中间的矩阵不同，s个相加即得： b11 b1s f1 cos(1t 1 ) d 2 V T 2 0. dt bs1 bss f s cos( s t s )
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§3、简正坐标 1、简正坐标的定义 2、求简正坐标的方法 3、广义坐标之间的变换 4、系数矩阵为准对角化情形
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1、简正坐标的定义 从前面得到的广义坐标的解知道， 通常一个广义坐标随时间的变化，包含若干个频率成分。 是否有广义坐标，无论体系取任何初始条件， 都只以某一个频率振动？回答是有。 这样的广义坐标，称为简正坐标。
b 1 f1 cos(1t 1 ).
q百度文库O
这里， f1、1 都是实数。 这时在0点附近势的形式如图。
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2、如果21 ＝0，q 1 b 1. 直接由拉氏方程 T q V q 0, 得 q 1 cb 1 db 1t. 这时在0点附近势的形式如右图。 3、如果21 ＜0， 令 1 0. 第 个广义坐标对应的解为：