中学数学解题研究——数列

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高中数学的归纳数列与排列组合的重要性质及解题方法总结

高中数学的归纳数列与排列组合的重要性质及解题方法总结在高中数学的学习中，归纳数列与排列组合是一类非常重要的概念和方法。

它们不仅在解决实际问题中起着重要作用，还在数学推理和证明中发挥着重要的作用。

本文将介绍归纳数列与排列组合的重要性质以及解题方法，并总结它们在高中数学中的应用。

一、归纳数列的重要性质及解题方法1. 等差数列和等差数列的通项公式等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。

在解决等差数列问题时，可利用等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。

2. 等比数列和等比数列的通项公式等比数列是指数列中任意两项之比都相等的数列。

在解决等比数列问题时，可利用等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比。

3. 斐波那契数列及其性质斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前两项之和。

斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，如植物的叶子排列、螺旋形状等。

求解斐波那契数列问题时，可以利用递推关系式：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn表示斐波那契数列的第n项，Fn-1表示斐波那契数列的第n-1项，Fn-2表示斐波那契数列的第n-2项。

二、排列组合的重要性质及解题方法1. 排列的计算方法排列是指从一组元素中选取一部分进行排列的方法。

在排列问题中，需要关注选取的元素个数、元素的排列顺序和元素是否可重复选取等因素。

排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，A(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，n!表示n的阶乘。

2. 组合的计算方法组合是指从一组元素中选取一部分进行组合的方法。

与排列不同，组合不考虑元素的排列顺序。

组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中，C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数。

高中数学研究课题教案

高中数学研究课题教案一、课题名称：探究数列的本质和规律二、课题背景和意义：数列是数学中非常重要的概念，它在解决实际问题以及推导数学结论中都有着重要的作用。

通过对数列的研究，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学思维能力。

通过本课题的学习，学生将能够深入理解数列的本质和规律，掌握数列的常见性质和求和公式，培养学生的逻辑思维和分析能力。

三、课题目标：1. 了解数列的定义和性质；2. 掌握常见数列的求和公式；3. 能够运用数列的思想解决实际问题；4. 提高学生的数学思维和解题能力。

四、教学内容和步骤：1. 数列的概念和表示方法（25分钟）- 引入数列的概念和定义；- 介绍等差数列和等比数列的表示方法；- 给出一些实际问题，引导学生理解数列的概念。

2. 数列的性质和求和公式（30分钟）- 讲解数列的常见性质，如通项公式、前n项和公式等；- 给出一些例题，让学生掌握数列的求和方法；- 指导学生如何根据数列的性质解题。

3. 数列的应用和实践（25分钟）- 分组讨论实际问题，应用数列的方法解决；- 带领学生完成一些综合性的练习题；- 撰写论文或报告，总结数列的应用及发现。

五、教学方法和手段：1. 讲授教学结合课堂互动，鼓励学生提问和讨论；2. 利用多媒体教具展示数列的图像和应用实例；3. 设计小组合作学习任务，培养学生的团队协作能力；4. 鼓励学生参与数学竞赛和研究活动，提高数学实践能力。

六、评价方式和评分标准：1. 平时表现（包括课堂互动、作业完成情况等）：占总分的20%；2. 课堂测验和小组作业：占总分的30%；3. 个人论文或报告：占总分的30%；4. 学习总结和思考：占总分的20%。

七、拓展任务和延伸阅读：1. 带领学生开展数列的进一步研究，探索更多的数列性质和规律；2. 推荐相关数学书籍和期刊，引导学生扩展数学知识和视野；3. 参加数学竞赛和学术交流活动，锻炼学生的数学解题能力和表达能力。

以上为本课题的教案范本，教师可根据实际情况进行适当调整和修改。

高中数学数列试题的解题方法研究

123神州教育高中数学数列试题的解题方法研究胡铭晟宁波市第二中学摘要：数列是高中数学学习的重要组成部分，在学习的过程中会遇到各种问题，为提高解题效率，本文就高中数学中数列试题的解题方法围绕着两点进行分析：数列在高中数学学习中的重要性，高中数学数列试题的解题方法。

关键词：高中数学；数列试题；解题方法引言：目前，在我国高中数学的教学中，数列是非常重要的学习内容，熟练掌握并应用数列内容，有利于学生提高学习成绩，培养学生自身的素养。

但是在实际的学习过程中，经常会遇到一些问题，为了提高解题效率，本文就高中数列试题的解题方法进行探究。

1数列在高中数学学习中重要性高中阶段的数学学习是非常重要的，其不仅是初中数学知识和高等数学知识之间的过渡，更是培养学生数学素养的重要阶段。

数列在高中数学教材中是独立部分并没有与其它学习内容联系在一起学习，由此就可以看出其在教学中十分重要。

数列内容虽然是独立呈现出来的，但是其与其它数学知识之间具有十分紧密的关系，很多数学知识的练习都是以数列为基础的，如不等式、函数等内容中都涉及到了数列内容，因此在学习的过程中，需要掌握数列知识的学习。

2高中数学数列试题的解题方法在高中数学的学习过程中，数列的解题方法是教师教学的重点，也是学生学习的难点。

为了提升解题效率，在学习的过程中需要对教学内容进行深入的了解，根据自身的学习内容，选择适合的解题方法来解决问题，以此提高学习的质量。

2.1深入学习相关概念在高中数学的学习过程中，涉及到了很多公式定义的学习与记忆，我们在解题的过程中，需要利用公式进行计算。

由于高中数学中所涉及到的公式较多，有部分可以在计算中直接运用，但是有的公式则是需要推导之后才可以应用的。

在数列试题中也是如此，有的问题可以直接运用公式进行计算。

可以直接利用公式计算的问题相对比较简单，只需要学生对数列的相关定义公式可以熟练地应用及理解即可，然后根据题目，将公式代入，就可以得到答案。

例如，已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，S 10=10，S 50=70，则S 40等于多少？解析，在解决这类问题时，首先应该对题目进行分析，然后将所学公式带入，利用基本公式和求和公式进行计算，以此来保证答案的正确性。

高中数学数列求和题解题方法技巧

高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。

2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。

例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。

3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。

对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。

这种数列求和方式叫做错位相减。

4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。

5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。

6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。

7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。

高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

(完整版)如何理解数列在数学中的作用以及数列在中学数学中的定位？

如何理解数列在数学中的作用以及数列在中学数学中的定位？一、数列在数学中的作用数列是特殊的函数。

它的定义域一般是指非负的正整数，有时也可以为自然数，或者自然数的无限子集。

自然数是离散的，数列通常称为离散函数，离散函数是相对定义域为实数或者实数的区间的函数而言的。

数列作为离散函数，在数学中有着自己的重要地位。

在高中和大学，除了专门研究数学之外，我们所遇到的函数都是“好的函数”，“好函数”不仅是连续的，而且是可导的，像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是好函数，它们具有任意阶导数。

数列在研究这些函数中发挥着重要作用。

数列常常用来处理连续函数，即通过离散化的办法来研究一般的函数。

例如，学习过高等数学的教师都知道：函数y = f(x)在x0处连续可以用数列来刻画，对任意一个以x0为极限的数列xn，数列f(xn)的极限为f(x0) 。

反之也是正确的，即若错误！链接无效。

则错误！链接无效。

数列本身也是一个数学的研究对象。

例如，斐夫那切数列就是数学中研究的一个非常重要的数列。

数列的生成体现着递归思想。

递归思想是研究数列的基本思想。

例如，研究差分数列就依赖于递归思想。

这是数学中的重要思想。

在现代数学中起着巨大的作用。

数列是刻画实际问题的重要模型。

数列作为一类特殊的函数有着广泛的应用。

例如，在我们日常经济生活中几乎许多经济问题都可以归结为数列模型，特别是等差数列、等比数列是最基本的模型。

强调数列是应用的重要模型，就要让学生了解老百姓日常经济生活中的一些数列模型。

例如，存贷款模型、教育储蓄模型、分期付款模型、商家返卷模型等等。

这一点是非常重要的。

数列中蕴涵着丰富的恒等关系。

掌握数列的基本性质，例如，等差、等比数列的性质，熟悉等差、等比数列的常用公式，了解这些性质之间的关系，可以作为提高恒等变换能力的载体。

二、数列在中学数学的定位在高中数学课程中，不可能完整地体现数列的功能，即使学习数学的人也没有必要完整了解数列的所有的功能。

高中数学数列解题方法研究

高中数学数列解题方法研究1. 引言1.1 背景介绍数、符号等。

数列是数学中重要的概念之一，它在高中数学课程中占据着重要的地位。

数列的研究不仅有助于学生在数学领域的学习，也在实际生活中有着广泛的应用。

数列是一组按照一定规律排列的数的集合，其性质和规律的研究对于数学的发展至关重要。

随着现代科技的不断进步，数学在各个领域的应用也愈发广泛。

数列作为数学中的基本概念之一，在科学研究、工程技术、经济管理等领域都有着重要的作用。

对高中数学数列解题方法的研究显得尤为重要。

通过对基本概念、常见解题方法、递推关系、数列求和和数列的应用等方面的研究，可以帮助学生更好地掌握数列的相关知识，提高数学解题能力。

本文将重点研究高中数学数列解题方法，希望能为学生提供更多的帮助，使他们能够更加轻松地掌握数学知识。

1.2 研究意义数不足提示等。

【研究意义】数列作为数学中重要的概念之一，在高中数学教学中扮演着重要的角色。

研究数列解题方法的意义在于帮助学生更好地理解数列的形式和规律，提高他们解决数列问题的能力。

通过深入研究数列的解题方法，可以拓展学生的数学思维，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

掌握数列解题方法对于提高学生的数学成绩和考试能力具有显著的帮助。

数列是数学中的一个重要工具，在很多领域都有着广泛的应用，比如物理、经济学等。

研究数列解题方法不仅有助于提高学生的数学能力，还能为他们未来的学业和职业发展打下坚实的基础。

对高中数学数列解题方法的研究具有重要的意义，可以促进学生学习数学的兴趣，提高他们的学习质量和学习效果。

1.3 研究目的研究目的是为了深入探讨高中数学中数列解题的方法，提高学生对数列问题的理解和应用能力。

通过对数列解题方法的研究，可以帮助学生建立数学思维，提高解题的效率和准确性。

研究数列解题方法也有助于拓展数学知识的广度和深度，促进学生对数学学科的全面发展。

通过深入研究数列解题方法，可以为教师们提供更好的教学指导，为学生们提供更好的学习方法，进一步推动数学教育水平的提高。

高考数学中数列题的解题方法研究

高考数学中数列题的解题方法研究摘要：在高中数学的学习过程中，关于数列的这一部分知识有着比较重要的地位，在高考的数学科目中也是必定会考查的知识点，所以，学生对数列知识的学习是很重要的。

数列的内容总体来讲是分为两大类，第一类是等差数列，另一类则是等比数列，知识点的测试也都是围绕这两大类拓展延伸的。

因而，在教学过程中，高中数学教师要抓住高考考查的重点知识，对学生进行准确和针对性的练习，而不能盲目的教学，这样才能提高学生的思维能力。

关键词：高中数学；数列题；解题方法对于高考来讲，数学这门学科一直是非常重要的，受到学生、教师乃至家长的重视。

在高中数学的学习过程当中，数列这部分内容的学习对于学生而言是有一定的难度的，因为数列涉及到的知识不是局限在一个角度，而是广泛又全面的。

知识的程度也是不一样的，有简单的，也有困难的，因而教师在教学过程中要制定合理的教学计划才能提高学生的解题思路。

1.数列知识在高中数学中的概念在小学阶段，学生学习数学的内容都是最基础的知识，主要是以算数为主，进入初中之后，数学知识的难度有了一定程度的提高，但是重点还是看学生有没有完全掌握好所学的知识，但进入高中之后，所学内容的难度和以往就不同了，侧重点也和之前不一样了，高中阶段数学科目的学习主要是培养学生的思维能力，让学生具备解决问题的水平。

在高中数学当中，数列是比较特殊的，因为我们可以把数列当作一种特殊的函数。

数列的特殊性是首先从数列的定义域表现出来，从定义域的角度来讲，数列可以是一个单独的数，它也可以表示一个范围，而且这个范围是连续的。

我们可以把数列当作一种比较特殊的函数，这就说明一点，在学习数列的时候，如何运用函数的思想是非常重要的内容。

数列的表示方法和函数的表示方法有同样的数量，它们都有三种，数列的第一种表示方法是列举法，顾名思义就是对数列当中所包含的元素一一列举出来，可以一目了然的看清楚，第二种方法是图像法，就是用图像表示数列，第三种是解析法，是通过解析式来表示数列，用这种方法表示的是数列的范围。

规律探究问题在初中数学教学中的类型以及解题技巧研究

规律探究问题在初中数学教学中的类型以及解题技巧研究一、引言数学是一门抽象而又具体的学科，它需要学生在学习和探索中培养逻辑思维和抽象思维能力，这其中又不可或缺的是规律探究。

规律探究问题是初中数学教学中的重要一环，不仅能够锻炼学生的思维能力，还能提高他们的解决实际问题的能力。

本文将探讨规律探究问题在初中数学教学中的类型和解题技巧，并提出一些有效的教学方法和策略。

二、规律探究问题的类型在初中数学教学中，规律探究问题的类型有很多种，下面我们就来列举一些常见的类型：1. 数列的规律探究：这是最基本的规律探究问题类型，学生需要根据给定的数列，找出规律并继续下去。

1，3，6，10，15，21, ...问下一个数是多少？2. 几何图形的规律探究：几何图形的规律探究也是一种常见的类型，比较常见的有拼图问题、几何图形面积和周长的关系、正多边形内角和外角的规律等。

4. 函数图像的规律探究：这类问题需要学生观察函数的图像，从中找出规律。

y=x^2的图像是怎样的？这些都是规律探究问题的常见类型，而在教学中我们需要根据具体情况来设计相应的解题技巧。

面对不同类型的规律探究问题，学生需要掌握不同的解题技巧。

下面我们将分别讨论不同类型规律探究问题的解题技巧。

1. 数列的规律探究：学生在解决数列的规律探究问题时，一般需要观察数列中相邻项的差值，找出它们之间的规律。

也可以观察数列中的乘积或者其他变化规律。

有时通过列出数列的前几项，找出它们之间的变化规律也是一个有效的解题技巧。

2. 几何图形的规律探究：对于拼图问题，学生需要根据图形本身的特点来进行拼图，这就需要他们对几何图形有一定的认识。

而对于面积和周长的关系、内角和外角的规律等问题，则需要学生掌握相关几何知识来解决。

3. 字母的规律探究：对于字母的规律探究问题，学生可以通过列举和找规律的方式来解决。

也可以通过字母之间的位置关系和字母的组合来找规律。

这需要学生具有一定的逻辑思维和抽象思维能力。

近三年全国新课标Ⅰ卷中数列试题的分析研究

• 6 •理科考试研究•数学版2020年6月1日解析由已知条件构造直三棱柱如图9所示，显然当点M是&的中点时，三棱锥M- A B C体积最大•根据二面角的定义知面M4S与面所成二面角为乙 A f D,于是 sin Z/IFZ)= =务=A F J55评注本题解法较多，如向量法，需要建系、描点、求法向量,尽管操作步骤都熟悉，但是运算过程相对复杂，而且坐标运算极易出错.通过构造直三棱柱使得所求二面角直观地展示出来，而且该角就处于一个已知的直角三角形中.构造直三棱柱优化了解题的过程，极大地提高了解题效率.3结束语正方体、长方体和直棱柱等特殊几何体模型是帮助我们认识和理解空间点、线、面位置关系的有效载体，借助这些特殊模型容易探究出空间线线、线面、面面间的关系转化，非常形象、直观，同时这些模型中的长度关系、位置关系也为计算带来极大的便利，实现了复杂问题求解的程序化和规律化，也有利于培养学生的空间想象能力、几何直观能力等.在解题教学活动中，我们要及时总结与反思，使学生逐渐形成思想方法，学习更具效率.参考文献：[1]黄林盛.以模型为载体解决空间几何体的外接球与内切球问题[J].中学数学研究(华南师范大学版）,2019(07) :14 -17.[2]宗火祥.一道高考题的反思与探究[门.中学数学教学参考,2019(25) :60 -63.(收稿日期:2020 - 02 - 27)浞三年全国鉀课标I卷中教列武题的分祈研走吕昊濮安山(扬州大学江苏扬州225〇02)摘要：数列模块是高中数学知识体系中非常重要的组成部分，纵观近三年全国新课标I卷，数列试题一直是必考内容且占有较大比重.本文针对近三年全国新课标丨卷理科数学和文科数学试题中的“数列”考点和分值情况进行分析，找寻数列试题的命题特点和解题规律，并为应届考生备考复习提出一些建议.关键词：数列；试题;命题分析；备考建议2019年4月23日，江苏正式启动了新一轮高考综合改革.新的高考模式中，语文、数学、外语将采用全国卷，自2021届考生开始实行，而在过去的“08方案”下, 江苏省所有学科采用自主命题试卷.因此为了积极应对高考改革新方案，研究全国卷命题特点并进行试题分析对2021届考生备考复习很有必要，数学作为一门重要的基础学科更是受到广大考生的高度关注.数列是高中代数知识的重要组成部分，《普通高中数学课程标准（实验）》指出，数列是一类特殊的函数;是数学中重要的研究对象;是研究其他类型函数的基本工具;是反映自然变化规律的基本模型.数列涉及的数学基础知识、思想方法量多面广，常与其他数学知识紧密联系，同时也是将来学习高等数学的基础.1数列试题统计与分析1.1 题型与分值分析从统计表可以看出，全国新课标I卷数列试题题型分布较稳定，理科数学以选择题和填空题为主，除了2017年为两道选择题，2018和2019年都是一道选择题加一道填空，每一年的总分值都是10分.文科数学以解答题为主，分值为12分，值得注意的是,2019 年的文科数学卷除了一道解答题外，还兼有填空题，分值为17分.表1近三年全国新课标I卷数列题统计(理科数学)年份题号题型考査内容分值总分值2017412选择题选择题等差数列通项公式、求和创新题型、等比数列通项公式、求和5分5分10分2018414选择题填空题等差数列通项公式、求和数列递推关系式、等比数列的定义、求和5分5分10分2019914选择题填空题等差数列通项公式、求和等比数列通项公式、求和5分5分10分作者简介：吕昊（1999 -),女，江苏南京人，本科在读，研究方向：中学数学教学.2020年6月1日理科考试研究•数学版表2 近三年全国新课标丨卷数列题统计（文科数学)年份题号题型考査内容分值总分值201717解答题等差数列的性质、等比数列通项、求和12分12分201817解答题递推关系式、等比数列的定义、通项公式12分12分20191418填空题解答题等比数列通项公式、求和等差数列通项公式、求和、解不等式5分12分17分1.2 考点分析全国新课标I卷数列试题所考查的知识点也相对较稳定,具体涉及到的数列知识点有：等差数列或等比数列的定义、性质、通项公式、前《项和公式、求和以及与其他数学知识结合.试题考查的内容与方法注重基础，解题方法与解题技巧较为常见，讲究解题的通性通法.1.3难度分析整体来看，全国新课标I卷数列试题难度并不是很大，以容易题和中档题为主.通过分析数列题出现的位置可以发现，若是以选择题的形式考查，除了 2017年理科I卷数列选择题为第12题，其他都是出现在前9题，对考生来说较容易做对;若是以填空题的形式考查，无一例外的都是第14题，即填空题的第二题，难度也并不是很大，对考生来说也很容易得分; 若是以解答题的形式考查，都是出现在解答题的第一题或第二题的位置，部分解答题最后一问与函数或不等式相关知识点结合，解题方法与技巧是考生较容易掌握的，仍然属于容易题.对比近三年全国新课标I卷理科数学与文科数学中的数列试题，理科试题难度整体上比文科试题难度稍大.理科以选择题、填空题为主，综合性强、思维跨度大;文科以解答题为主，侧重考查基础知识和基本方法.理科数列题的总分值往往都低于文科数列题的总分值，体现了“尊重差异，文理有别”的原则，充分考虑了文、理科学生能力的差异.2命题特点对近三年全国新课标I卷文、理科数学试卷中的10 道数列试题进行分析后，可以发现数列试题重点考查等差数列和等比数列的相关知识，着重强调学生的基础知识、基本技能、基本思想方法，同时部分试题也体现了“坚持创新”的命题要求.总体来说数列试题的命题紧扣考试大纲，突出对学生数学核心素养的考查.2.1考查数列的概念和性质常见命题方式：(1) 等差、等比数列的定义；(2) 判断是否构成等差或等比数列；(3)等差数列、等比数列的性质.例1(2017年全国新课标I卷文科第17题）记S…为等比数列U…!的前n项和，已知S2 =2，S3 =-6.(1) 求丨\1的通项公式；(2) 求S…，并判断S…+1，S…，S…+2是否成等差数列.解析（1)设1〇…|的公比为(?.ra,(1 +q) =2,由题设，可得 2[a,(1 +g +9 ) =-6.解得 9 =-2,a, =-2.故1\丨的通项公式为a…=(-2)".(2)由（1)可得二1-q3A r y n+3r y n+2由于乂+2+S…+1 =- ++ (-1)" ~p~n+1=2[-含+ (-1)".〜=2S…，故火+,，S…，S…+2成等差数列•点评本题考查了等差数列的性质、等比数列的通项公式与求和公式.第（1)问先利用数列中前2项和前3项的和，计算出等比数列的首项和公比，即可得出其通项公式;第(2)问根据已得出的通项公式，利用等比数列前n项和公式直接写出结果，再利用等差中项的性质判断是否成等差数列即可，属于容易题.2.2 考查数列的通项公式和前n项和公式常见命题方式：(1) 求等差数列的公差或等比数列的公比；(2) 求数列通项公式；(3) 利用等差数列和等比数列前《项和公式直接对数列进行求和.例2 (2017年全国新课标I卷理科第4题）记S…为等差数列U…|的前n项和，若a4 +a5 =24，S6 =48,则| a…丨的公差为()•A.1B.2C.4D.8解法1设等差数列的公差为贝l j a4 + a5 = a, + 3d + a, +4d= 2〇丨 + =24，S6 =6a, + ^ 2^ ^= 6a, + =48.联立r2a,+ld= 24,解得[6a, + 15^ =48,解法 2 由 S6 =3(a, +a6) =48，得 a, +a6 = 16.即a4 + a3 = 16.由已知a4 +a5 =24,两式相减可得2d =8.即公差故选 C.点评本题考查了等差数列的通项公式与求和理科考试研究•数学版2020年6月1日公式，属于容易题.解法1采用了常规的“基本量法”，此种方法虽然常用，但如果能灵活地运用等差数列、等比数列的一些性质，可以在一定程度上简便计算，例如解法2运用了等差数列的性质:若m+«=/)+<?，则a… + a… = ap + ，提高了解题速度_例3 (2019年全国新课标I卷理科第9题）记■5…为等差数列|a…l的前n项和•已知S4 =0，a5 = 5,点评本题考查数列的递推关系式、等比数列的定义与前n项和公式.解决此类问题需要掌握与S…之间的关系，即当时，=S…-S…_,，以此得到数列U…!中相邻两项的关系，从而确定该数列是等比数列，再结合令〃 =1求出a,的值，根据求和公式求解即可，属于容易题.例6 (2018年全国新课标1卷文科第17题）已则（）•A.an =2n - 5B.a…-3n -10C.S… = 2n~ - SnD.5… = ~解析设等差数列I a…|的公差为1则S4 =4«, + 6<i= 0 ,a5 = a, +4<i= 5，解得〇?=2,〇1=-3.故 a… =2n -5，S… =n2 -4r a.点评本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，属于容易题.根据题目中已给的条件，采用“基本量法”即可求解.例4 (2019年全国新课标I卷理科第M题）记S…为等比数列|a…l的前n项和.若a,=如4=a6，则 S5 =____•解析设等比数列的公比为9,则=(a i93)2 =1如1_35) 121a6 =a丨<?5•由 a, = 了得 g =3•故S5 = —--= 丁.点评本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，属于容易题.解题过程中涉及幂的乘方运算以及繁分式计算，因此除掌握数列“基本量法”解题技巧外，准确计算是解决此类问题的关键.2.3 考查数列的递推公式常见命题方式：(1) 根据\ = |^’。

研题的思考与实践——以一个数列问题为例

师把学术形态的数学转变为教育形态的数学的能
（３）设＝
１＿１
，求使＞１的２已知整数数列｛ａ｝满足ａ＝一１，ａ＝４，前６项依次成等差数列，从第５项起依次成等比数
Ｓ
通过学习、研究已有的题目，把握核心思想，发展、适度创新编拟出新的问题，形成情境、背景公平
的数学试题，以测试学生在新的情境下解决问题的
（３）是否存在正整数ｍ，使得
题１数列｛ａ｝满足ａ。＝０ｒａ＝２，。＝（１＋
ｃ。ｓ
二
）口＋４ｓｉｎ
，ｎ∈ Ｎ．
（１）求ａ３，ａ４，ａ５，ａ６；
（２）设Ｓ＝ａ】＋ａ３＋… ＋ａ抽一ｌ，＝ａ２＋ａ４＋
的等比数列２，６，１８，５４， … 插入到公差为２的等差数列１，３，５，７，９ … 中，交织组合在一起形成新的数列１，２，３，６，５，１８，７，５４，９ …，以适度增加问题复杂性，
…
把解题作为培养学生的数学才能和教会他们思考的
一
种手段和途径．掌握数学就是意味着善于解题，不
＋ａ，分别求ｓ，关于ｋ的表达式；
２Ｓ，
仅善于解一些模式题，而且善于解一些要求独立思

高中数学数列解题方法与技巧

高中数学数列解题方法与技巧一、引言在高中数学学习中，数列是一个重要的章节。

数列解题是数学学习中的基础，在考试中也占有比较大比重。

数列解题需要注意以下方面：1.正确理解题意，判断题目要求，2.找准解题方法与策略，3.实际操作，不放过每一道小问题。

二、数列概念1.数列的定义所谓数列，就是按照一定规律排列的一组数，其中每一个数均称为这个数列的项，数列中第一个项的位置称为“第一项”。

数列可以写作：a1,a2,a3,a4,a5,…,an比如：1，3，5，7，9，…，n，其中的5表示数列的第5项，n表示数列的第n项。

2.数列分类数列可分为等差数列、等比数列、递推数列、Fibonacci数列等。

其中，等差数列的相邻两项之间的公差相等，为d；等比数列的相邻两项之间的比值相等，为q；递推数列则是通过前项计算出后项，最后项由第一项通过递推公式推出。

三、数列解题方法1.等差数列（1）判断等差数列一般来说，判断一组数列是否为等差数列，需要寻找其中的通项公式。

可以借助相邻两项之差是否相等的方法来判断是否为等差数列。

比如：5，8，11，14，17，…判断方法如下：8-5=11-8=14-11=33=d，为常数，因此，判断这个数列为等差数列。

（2）求等差数列公式已知等差数列的首项a1与公差d，求通项公式an的方法如下：an=a1+n-1×d其中，n为数列的项数。

此公式可以自己推导得出，需要注意的是，根据首项与公差可推出所有项，若题目信息不足，则需要另外的方法解题。

（3）等差数列求和等差数列求和有两种方法：平均数法和公式法。

平均数法：将首项与尾项之和除以2，再乘以项数n，即为等差数列之和。

Sn=[a1+an]n2公式法：首项加末项n次方乘公差除以2，即为等差数列之和。

Sn=na1+nna22.等比数列（1）判断等比数列判断一组数列是否为等比数列，需要寻找其中的通项公式。

可以借助相邻两项之比是否相等的方法来判断是否为等比数列。

数学高中数列10种解题技巧

数学高中数列10种解题技巧数列是高中数学中一个非常重要且经常被考察的概念。

它在数学和实际应用中都有着广泛的应用。

但是，数列的解题方法非常多，有时候我们可能会感到困惑。

为此，本文总结了数学高中数列10种解题技巧，让我们一起来看看吧。

1. 求和公式有些数列如果求和，使用求和公式可以极大地简化计算。

例如，等差数列和等比数列的求和公式是非常常见和重要的。

2. 递推式递推式是数列的一种描述方法，是一种基于之前项和公式推导下一项的方法。

有些数列通过递推式很容易得到通项公式，进而求解问题。

3. 归纳法归纳法是数列题目解题的常用方法。

通过证明一个命题对于某个特定的数成立，以及每一个下一个数都满足这个性质，我们就可以得到它对于所有数都成立的结论。

4. 图像法有些数列的图像规律比较明显，通过观察它们的图像，我们可以得到一些结论，从而解决一些问题。

5. 交替数列交替数列是一种奇数项和偶数项分别出现不同的项的数列。

有时候，我们可以通过对它进行分割，分别计算奇数项和偶数项的和，然后再将结果相加。

6. 通项公式对于某些数列，如果能够求得它们的通项公式，那么我们就可以很方便地计算出它们的各个项。

常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。

7. 变形技巧变形技巧是数列解题过程中常用的一种方法。

它通常用于将原有的数列问题转化为其他已知的数列问题，从而利用已有的知识来解决问题。

8. 逆推法逆推法是一种通过倒向考虑来解决数列问题的方法，通常它可以帮助我们找到某个数列的特定项。

9. 等比数列与等差数列之间的关系等比数列和等差数列是数列中最常见的两种类型，它们之间有着一些重要的关系。

通过研究它们之间的联系，我们可以更加深入的理解它们的性质和规律。

10. 特殊的数列有些数列非常特殊，它们没有通项公式，没有明显的规律，但是它们在实际应用中却有着广泛的应用。

如果我们能够了解这些特殊的数列及其应用，那么在应用数学中会有更多的灵活性和优越性。

数列大题题型及解题方法

数列大题题型及解题方法数列大题是中学数学中常见的题型之一，主要考察学生对数列概念的理解和运用能力。

数列大题可以分为等差数列和等比数列两种类型。

下面将介绍这两种数列大题的解题方法。

一、等差数列的解题方法：1. 求数列的通项公式：首先，要判断数列是等差数列，可以通过观察数列中的差值是否相等来判断。

如果差值相等，则数列是等差数列。

然后，可以通过观察数列中的前几项来确定数列的首项a和公差d。

有了首项和公差，就可以得到数列的通项公式：an = a + (n-1)d。

2. 求数列的前n项和：数列的前n项和可以通过求和公式来计算。

等差数列的求和公式为Sn = n/2 * (a + an)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，an 表示第n项。

3. 解题实例：例如，有一个等差数列的前5项分别为1、4、7、10、13，要求求出数列的通项公式和前10项的和。

首先，根据观察，可以确定首项a为1，公差d为3。

其次，根据数列的通项公式an = a + (n-1)d，可以得到数列的通项公式为an = 1 + (n-1)3。

最后，代入n=10，可以计算出前10项的和Sn = 10/2 * (1 + 1 + 9*3) = 100。

二、等比数列的解题方法：1. 求数列的通项公式：判断数列是否是等比数列，可以通过观察数列中的相邻项之间的比值是否相等来判断。

如果比值相等，则数列是等比数列。

然后，可以通过观察数列中的前几项来确定数列的首项a和公比r。

有了首项和公比，就可以得到数列的通项公式：an = a * r^(n-1)。

2. 求数列的前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式来计算。

等比数列的求和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和，a 表示首项，r表示公比。

3. 解题实例：例如，有一个等比数列的前5项分别为1、2、4、8、16，要求求出数列的通项公式和前10项的和。

首先，根据观察，可以确定首项a为1，公比r为2。

初中数学规律题解题基本方法

初中数学规律题解题基本方法（一）数列的找规律初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。

然后再简化代数式a+(n-1)b。

例：4、10、16、22、28……，求第n位数。

分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。

如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。

此种数列第n位的数也有一种通用求法。

基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。

分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。

那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。

（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。

此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

找出的规律，通常包序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

新编中学数学解题方法1000招丛书——数列

新编中学数学解题方法1000招丛书——数列《新编中学数学解题方法1000招丛书，数列》是一本针对数列问题的解题指南。

本书通过系统地整理、总结了各类数列的性质、规律和解题技巧，并提供了大量的练习题和解析，帮助学生更好地理解和掌握数列相关的数学知识。

数列作为中学数学中的重要概念，包含了等差数列、等比数列、递归数列等各种类型。

在解数列的问题时，我们需要明确数列的定义、属性以及运算规律，进而通过观察和归纳找到解题的突破口。

《新编中学数学解题方法1000招丛书，数列》就是为了帮助学生掌握这些解题的方法和技巧而编写的。

首先，书中针对等差数列的解题方法进行了详细的介绍。

等差数列是最基本的数列概念之一，它的性质及其运算规律对于后续更复杂的数列问题有着重要的指导作用。

本书从等差数列的定义、通项公式和前n项和公式出发，解析了等差数列的各种题型，包括求首项、公差、项数，以及数列的各种关系式等。

其次，书中还对等比数列的解题方法进行了深入的分析。

等比数列是指数列的一种特殊情况，其中的各项之间的比例相等。

在解等比数列的问题时，学生需要掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，并能够将问题转化为等差数列或其他形式来求解。

《新编中学数学解题方法1000招丛书，数列》从等比数列的定义、性质和运算规律出发，提供了大量的例题和思考题，帮助学生深入理解等比数列的解题方法。

此外，本书还涵盖了递推数列、特殊数列以及一些常见的数列问题。

递推数列是通过前一项或前几项来确定后一项的数列，它在数学中有着广泛的应用。

解题时，学生需要找到递推关系，进而根据关系式构造递推公式。

本书通过丰富的例题和讲解，帮助学生掌握递推数列的解题方法。

特殊数列是指具有特殊性质的数列，如斐波那契数列、等差夹逼数列等。

这类问题在中学数学中较为常见，需要学生灵活运用数列的性质和规律来解答。

《新编中学数学解题方法1000招丛书，数列》通过对特殊数列的详细讲解和分析，帮助学生更好地理解和应用这些特殊数列的性质，从而解答相应的题目。

浅谈数列求和方法及其在中学数学中的应用

浅谈数列求和方法及其在中学数学中的应用摘要：数列是一种特殊的函数，函数的内容几乎贯穿于整个中学和大学的学习中，在初中数学中，学生已初步接触了看数找规律的问题，到了高中，中学生正式在高中一年级接触了数列的概念，等差、等比数列的通项公式、求和及综合应用，这些基本知识都是高考大纲所要求学生必须掌握的，到了大学，学习高等数学和数学分析时，首先就给出了数列极限的概念，而这一知识点又与高中导数微分的知识接轨，所以在学习数列极限时同学们并不感到陌生，本文主要探讨不同种类数列求和的求解方法，从一些基本的简单数列和稍微复杂的数列两个方面去探讨如何求解数列求和。

关键词：数列；求和；前n项和；中学数学应用一、总结数列求和方法的意义与作用在日常生活中，我们遇到很多需要用数列及其求和的知识来解决的问题，且求和方法在高考中经常考，也是高中生必须掌握数列求和的一种方法。

数列是高中数学的必须学习的内容，在提高学生的思维及推理能力有着举足轻重的作用，同时也考查了学生的逻辑推理能力。

数列有许多同类型的题，题型变化多，其中有取对数、构造等比通项等。

数列是高中数学的重难点，题型分为填空题、选择题、解答题三种类型，它们在每年高考中占的比例也比较大，在总结每年的高考试卷后，发现数列相关问题涉及到的知识点一般都是把数列和不等式还有函数等融合在一起，所以有的压轴题综合性强，很复杂，解法也很多。

二、求和方法1、利用公式法求和我们遇到的数列通项公式一般都不会直接给出单一的常见的能够直接求出该数列的和，而是一些项的组合，对于这种情况，我们首先要把基本的公式记熟练，同时还要学会观察这些式子的一些特征，然后通过观察，要勇于动笔化简到我们熟练的式子上来，勇于尝试，最后就是要计算仔细，而且还要注意一些小细节方面的问题，比如n是否是从1开始，或者有哪些特殊的点是不满足的，这样才能正确的解决相关的数列问题。

2、错位相减法求和3、裂项相消法求和先把数列的项用常用的分解公式拆开，然后相加时抵消一部分项，化成熟悉的求和式子，这就是裂项相消法的基本思想。

中学数学掌握数列与级数的性质

中学数学掌握数列与级数的性质数列与级数是中学数学中重要的概念和内容，掌握数列与级数的性质对于深入理解和解决数学问题具有重要意义。

本文将从数列与级数的性质、常见数列和级数的性质以及数列与级数在实际问题中的应用等方面进行探讨。

一、数列与级数的性质数列是按照一定规律排列的一组数，是数学中最基本的概念之一。

对数列中的每一个数进行求和，就构成了级数。

数列与级数的性质包括有界性、单调性、收敛性等。

1. 有界性：数列的有界性是指数列的数值在一定范围内变化。

一个数列如果既有上界又有下界，则称该数列是有界的。

例如，{1，2，3，4，...}这个数列的下界是1，上界则没有，所以这个数列是无界的。

2. 单调性：数列的单调性是指数列中的数值是递增还是递减。

如果一个数列中的每一个数都比它前一个数大（即严格递增），我们称该数列是单调递增的；如果每一个数都比它前一个数小（即严格递减），我们称该数列是单调递减的。

3. 收敛性：收敛性是指级数的和是否存在。

如果一个级数的部分和随着项数的增加逐渐趋于一个有限的数值，我们说该级数是收敛的；如果部分和无限增大或趋于无穷大，我们说该级数是发散的。

二、常见数列和级数的性质1. 等差数列：等差数列是指数列中的每一个数与它前一个数之差都相等的数列。

等差数列有一些特殊性质，例如，等差数列的前n项和可以表示为n与首项、末项的乘积的一半。

2. 等比数列：等比数列是指数列中的每一个数与它前一个数之比都相等的数列。

等比数列也有一些特殊性质，例如，等比数列的前n项和可以表示为首项与公比的乘积与1减去公比的n次方的商。

3. 调和数列：调和数列是指数列中的每一项的倒数构成的数列。

调和数列的性质较为复杂，例如，调和数列的前n项和约等于ln(n)+γ，其中γ是欧拉常数。

三、数列与级数的应用数列与级数在实际问题和数学建模中有广泛的应用。

以下列举一些常见的应用领域：1. 金融领域：利率、投资回报等金融问题可以使用数列和级数进行分析和计算。

新编中学数学解题方法1000招丛书——数列

新编中学数学解题方法1000招丛书——数列《新编中学数学解题方法1000招丛书》的数列部分是帮助学生提高数列解题能力的重要参考资料。

本书集中介绍了数列的基本概念和性质，以及数列的各种类型和解题技巧。

下面就是其中所涉及的一些内容：一、数列的基本概念和性质数列就是由一定规律排列在一起的数的序列。

数列是数学中重要的基础知识之一，它是许多数学问题的基础，比如常见的递推数列。

数列的基本概念包括数列的一般项公式、公比、数列求和公式等。

数列的性质主要有有限数列和无限数列、等差数列和等比数列、首项和公差、首项和公比、后项和等等。

二、数列的各种类型和解题技巧1.等差数列的求和公式：对于等差数列an，它的首项为a1，公差为d，它的前n项和Sn的求和公式为Sn=n(a1+an)/2。

2.等比数列的求和公式：对于等比数列an，它的首项为a1，公比为q，它的前n项和Sn的求和公式为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。

3.等差数列的性质：等差数列比较常见，它的项与项之间的差值是一定的常数，这个常数就叫做公差d。

4.等比数列的性质：等比数列的一个项与它前面的某一项之间的比叫做公比q。

5.斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每个数都等于前两个数之和，即F(n)=F(n-1)+F(n-2)，(n>=3,F(1)=1,F(2)=1)。

在解决计算机算法和组合排列等数学问题时，这个数列具有极大的应用价值。

6.题型分析和解题技巧：对于任何一个数列问题，首先要明确题目所问的内容，然后根据数列的类型和题目的特点，选择适当的数列求和公式和计算方法。

在分析题目时，还需要关注初值和通项公式的确定、数列的奇偶性和周期性等问题。

总之，数列是数学中非常重要的一个知识点，熟练掌握数列的基本概念和性质，以及各种类型的数列的求和公式和解题技巧，是提高数学解题能力的必要条件。

《新编中学数学解题方法1000招丛书》提供了丰富的解题技巧和例题，可以帮助学生更好地掌握数列的解题方法。

高三数学专题——数列

第二讲数列● 高考风向标数列的概念．等差数列及其通项公式、前n 项和公式；等比数列及其通项公式、前n 项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n 项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场． ● 典型题选讲例１若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则20a 的值为（）A ．67B ．57C ．37D ．17讲解逐步计算，可得167a =,231251,771031,77a a =-==-=456,71251,...77a a ==-=这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=⨯+, 所以2075a =．应选B ．点评分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．例２在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m+2，S m+1成等差数列，则a m , a m+2, a m+1成等差数列.（１）写出这个命题的逆命题；（２）判断逆命题是否为真，并给出证明.讲解（１）逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m , a m+2, a m+1成等差数列，则 S m ，S m+2，S m+1成等差数列. （２）设{a n }的首项为a 1，公比为q由已知得2a m+2= a m + a m+1 ∴2a 1q m+1=a 11-m q +a 1q m ∵a 1≠0 q ≠0 ,∴2q 2－q －1=0 , ∴q=1或q=－21. 当q=1时，∵S m =ma 1， S m+2= (m+2)a 1，S m+1= (m+1)a 1， ∴S m +S m+1≠2 S m+2,∴S m ，S m+2，S m+1不成等差数列. 当q=－21时, 2 S m+2=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--++212121134211])21(1[2m m a a ,∴S m +S m+1=2 S m+2 , ∴S m ，S m+2，S m+1成等差数列．综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q ≠1时，逆命题为真．点评对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题．例３设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且（1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且11131,()(*,2),2n n n b a b f b n N n b -⎧⎫==∈≥⎨⎬⎩⎭求证，为等差数列，并求n b ．讲解（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+两式相减，得1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a ma m +∴=+ {}n a ∴是等比数列．111111112(2)1,(),2,3233()22311133.311{}131121,333.2n n n n n n n n n n n n n mb a q f m n N n m b b f b b b b b b b b b n n b b n ------====∈≥+==⋅++=⇒-=∴-+∴=+==+由且时，得是为首项为公差的等差数列,故有点评为了求数列{}n b 的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．例４设数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n S 是首项为S 1各项均为正数且公比为q 的等比数列.（１）求数列{}n a 的通项公式n a （用S 1和q 表示）；（２）试比较122+++n n n a a a 与的大小，并证明你的结论.讲解（１）∵{}n S 是各项均为正数的等比数列，∴)0(11>=-q q S S n n ．当n=1时，a 1=S 1；当2112,(1)n n n n n a S S S q q --≥=-=-时． ∴⎩⎨⎧≥-==-)2()1()1(211n qq S n S a n n（２）当n=1时，213211312(1)2(1)[()]0,24a a a S S q q S q S q +-=+---=-+>Q∴2312a a a >+． 21211112,2(1)(1)2(1)n n n n n n n a a a S q qS q q S q q--++≥+-=-+---当时()3211.n S q q -=- ∵210,0,n S q ->>①当q=1时，321(1)0,2.n n n q a a a ++-=∴+= ②当,10时<<q .2,0)1(123++<+∴<-n n n a a a q ③当,1时>q .2,0)1(123++>+∴>-n n n a a a q综上以上，我们可知：当n=1时，2312a a a >+．当212,1,2;n n n n q a a a ++≥=+=时若则若2101,2;n n n q a a a ++<<+<则若211,2.n n n q a a a ++>+<则点评数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到n S 与n a 之间的关系式：11,(1).(2)n n n S n a S S n -⎧==⎨-≥⎩ 例５已知数列}{n a 满足n a >0，且对一切n ∈N x ，有3211, nninn i i i a S S a ====∑∑其中，(1) 求证：对一切n ∈N x ，有n n n S a a 2121=-++；(2) 求数列}{n a 的通项公式； (3) 求证：31<∑=nk k ka ．讲解 (1) 由321ni n i aS ==∑ ①得13211n in i aS ++==∑ ②②-①得 22131n n n S S a -=++=(S n +1+S n )(S n +1-S n )=(2 S n +a n +1) a n +1∵ a n +1 >0，∴n n n S a a 2121=-++ ．(2) 由n n n S a a 2121=-++，得122-=-n n n S a a (n ≥2)，两式相减，得(a n +1+ a n )( a n +1 - a n )= a n +1+ a n ， ∵a n +1+ a n >0，∴a n +1 - a n =1．(n ≥2)当n=1，2时易得，a 1=1，a 2=2，∴a n +1 - a n =1(n ≥1) ．从而{ a n }是等差数列，其首项为a 1=1，公差d=1，故a n =n ． (3)1nnk k ===21nk =<+∑1122 3.2=++-<+< 点评关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法，而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不可过小．例6 如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过xx 秒后，它所处的坐标．讲解 (1) 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n L ，当粒子从原点到达n A 时，明显有13,a = 211,a a =+3111234,a a a =+=+⨯ 431,a a =+5332054,a a a =+=+⨯ 651,a a =+… … 2123(21)4,n n a a n --=+-⨯ 2211,n n a a -=+∴2114[35(21)]n a a n -=++++-L ＝241n -, 222114n n a a n -=+=.221212(21)441n n b a n n n --=--=-+, 2222244n n b a n n n =+⨯=+．222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-, 2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,即2n c n n =+.（2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过得时间44c 再加（44－16）＝28秒，所以24444282008t =++=秒．（3）由2n c n n =+≤xx ，解得112n -≤≤，取最大得n=44,经计算，得44c ＝xx<xx ，从而粒子从原点开始运动，经过xx 秒后到达点44C ，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．点评从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．例７已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n . （1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a Λ . 讲解（１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得由31233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=--即有 ,)1(2211---⨯+=n n n a a 从而 ,)1(22221----⨯+=n n n a a 32322(1),n n n a a ---=+⨯-…….2212-=a a接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a Λ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n Λ经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n 其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+⨯-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n-，便得1122(1)(1)n n n n a a --=-⋅---．令,(1)nn na b =-就有 122n n b b -=--，于是 1222()33n n b b -+=-+，这说明数列23n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得 111221()(2)()(2)333n n n b b --+=+⋅-=-⋅-，即121()(2)(1)33n n na -+=-⋅--，故有.1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n （３）由通项公式得.24=a 当3≥n 且n 为奇数时，]121121[2311121-++=+--+n n n n a a ).2121(232222312222223123221213221----------+=+⨯<--++⨯=n n n n n n n n n n当m m 且4>为偶数时，ma a a 11154+++Λ )212121(2321)11()11(14431654--++++<+++++=m m m a a a a a ΛΛ .878321)211(4123214=+<-⨯⨯+=-m 当m m 且4>为奇数时，1m +为偶数，可以转化为上面的情景 .87111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a ΛΛ 故任意整数m >4，有.8711154<+++m a a a Λ 点评本小题２００４年全国（旧教材版）高考理科压轴试题．主要考查数列的通项公式，等比数列的前n 项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题1n n a ca d +=+有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．针对性演练１某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选（） (A) 1楼 (B) 2楼 (C) 3楼 (D) 4楼 2. 若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，则 ( )（A ）P =M S （B ）P ＞M S （C ）n M S P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2 （D ）2P ＞nM S ⎪⎭⎫ ⎝⎛3. xx 年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死＂禽流感＂病毒N 的同时能够自身复制．已知１个细菌M 可以杀死１个病毒N ，并且生成２个细菌M ，那么１个细菌M 和2048个＂禽流感＂病毒N 最多可生成细菌M 的数值是（）（A ）1024 （B ）2048 （C ） 2049 （D ）无法确定 4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为xx ，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为(A) xx (B) xx (C) xx (D) xx5. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：而一旦植完，则不会被沙化. 问：（1）每年沙化的亩数为多少？（2）到那一年可绿化完全部荒沙地？６．已知正项数列{}n a 满足a a =1 （10<<a ），且.11nnn a a a +≤+求证（1）();11an aa n -+≤（2）.111<+∑=nk kk a 答案１．C ２． C ３．C ４．A５．（1）由表知，每年比上一年多造林400亩.因为xx 年新植1400亩，故当年沙地应降为23800140025200=-亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以xx 年沙化土地为200亩.同理xx 年沙化土地为200亩.所以每年沙化的土地面积为200亩.（2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.设xx 年及其以后各年的造林亩数分别为1a 、2a 、3a 、…，则n 年造林面积总和为：4002)1(1600⨯-+=n n n S n . 由题意：n S n 20024000+≥ 化简得012072≥-+n n ,解得： 8≥n .故8年，即到xx 年可绿化完全部沙地.６．（1）将条件n n n a a a +≤+11变形，得1111≥-+nn a a . 于是，有,1112≥-a a ,11123≥-a a ,11134≥-a a …………1111≥--n n a a . 将这n-1个不等式叠加，得,111-≥-n aa n 故 ().11an aa n -+≤（2）注意到10<<a ，于是由（1）得()nn aa n a a n 111111<-+=-+≤，从而，有 .1111111)1(11111<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+<+∑∑∑===n k kk k k a nk n k nk k。