{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练47《抛物线》附答案详析

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2020高考数学(文数)考点测试刷题本49 抛物线(含答案解析)

2020高考数学(文数)考点测试刷题本49抛物线一、选择题1.抛物线y=4ax 2(a≠0)的焦点坐标是( )A ．(0，a)B ．(a ，0)C ．⎝⎛⎭⎫0，116a D ．⎝⎛⎭⎫116a ，02.到定点A(2，0)与定直线l ：x=-2的距离相等的点的轨迹方程为( )A ．y 2=8xB ．y 2=-8xC ．x 2=8yD ．x 2=-8y3.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为( )A ．4B ．6C ．8D ．124.若抛物线y 2=2px(p>0)上的点A(x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．25.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2=6，则|AB|等于( )A ．4B ．6C ．8D ．106.若抛物线y=4x 2上一点到直线y=4x-5的距离最短，则该点为( )A ．(1，2)B ．(0，0)C ．(0.5，1)D ．(1，4)7.已知点P 是抛物线x 2=4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．108.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若PF→=3MF →，则|MN|=( )A ．163B ．8C ．16D ．833二、填空题9.已知动圆过点(1，0)，且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．10.已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．11.已知抛物线y 2=4x 的一条弦AB 恰好以P(1，1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________．12.已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →=－4(其中O 为坐标原点)，则△ABO 面积的最小值是________．三、解答题13.如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24=1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．14.设抛物线C：y2=2x，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM=∠ABN．15.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．16.已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →=λQO →，QN →=μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．答案解析1.答案为：C ；解析：将y=4ax 2(a≠0)化为标准方程得x 2=14a y(a≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116a ，故选C ．2.答案为：A ；解析：由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p=4，焦点在x 轴正半轴上，故选A ．3.答案为：B ；解析：依题意得，抛物线y 2=8x 的准线方程是x=-2，因此点P 到该抛物线准线的距离为4＋2=6，故选B ．4.答案为：D ；解析：由题意3x 0=x 0＋p 2，x 0=p 4，则p22=2，∵p>0，∴p=2，故选D ．5.答案为：C ；解析：由抛物线y 2=4x 得p=2，由抛物线定义可得|AB|=x 1＋1＋x 2＋1=x 1＋x 2＋2，又因为x 1＋x 2=6，所以|AB|=8，故选C ．6.答案为：C ；解析：根据题意，直线y=4x-5必然与抛物线y=4x 2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y=4x-5平行的抛物线的切线的切点．由y′=8x=4得x=0.5，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是0.5，1，该点到直线y=4x-5的距离最短．故选C ．7.答案为：C ；解析：延长PQ 与准线交于M 点，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1，根据抛物线的定义知，|PF|=|PM|=|PQ|＋1．∴|PA|＋|PQ|=|PA|＋|PM|-1=|PA|＋|PF|-1≥|AF|-1=82＋(7－1)2-1=10-1=9．当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9．故选C ．8.答案为：A ；解析：由题意F(1，0)，设直线PF 的方程为y=k(x-1)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．因为准线方程为x=-1，所以得P(-1，-2k)．所以PF →=(2，2k)，MF →=(1-x 1，-y 1)，因为PF →=3MF →，所以2=3(1-x 1)，解得x 1=13．把y=k(x-1)代入y 2=4x ，得k 2x 2-(2k 2＋4)x ＋k 2=0，所以x 1x 2=1，所以x 2=3，从而得|MN|=|MF|＋|NF|=(x 1＋1)＋(x 2＋1)=x 1＋x 2＋2=163．故选A ．9.答案为：y 2=4x ；解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2=4x ．10.答案为：(1,0)；解析：由题知直线l 的方程为x=1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a)(a ＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a=4，即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．11.答案为：2x-y-1=0；解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由A ，B 都在抛物线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，作差得(y 1＋y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2)．因为AB 中点为P(1，1)，所以y 1＋y 2=2，则有2·y 1－y 2x 1－x 2=4，所以k AB =y 1－y 2x 1－x 2=2，从而直线AB 的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0．12.答案为：42；解析：不妨设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，y 1＞0，由OA →·OB →=－4，即x 1x 2＋y 1y 2=－4得116y 21y 22＋y 1y 2=－4，得y 1y 2=－8.所以S △ABO =12|x 1y 2－x 2y 1|=|y 1－y 2|≥42，当y 1=22，y 2=－22时取等号，故△ABO 面积的最小值为4 2. 13.解：(1)证明：设P(x 0，y 0)，A(14y 21，y 1)，B(14y 22，y 2)．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程y ＋y 022=4·14y 2＋x 02即y 2-2y 0y ＋8x 0-y 20=0的两个不同的实根．所以y 1＋y 2=2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM|=18(y 21＋y 22)-x 0=34y 20-3x 0，|y 1-y 2|=22(y 20－4x 0)．因此，△PAB 的面积S △PAB =12|PM|·|y 1-y 2|=324(y 20-4x 0)32．因为x 20＋y 204=1(x 0<0)，所以y 20-4x 0=-4x 20-4x 0＋4∈[4，5]．因此，△PAB 面积的取值范围是62，15104．14.解：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x=2，可得M 的坐标为(2，2)或(2，-2)．所以直线BM 的方程为y=12x ＋1或y=-12x-1．(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为线段MN 的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN ．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k(x-2)(k≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2-2y-4k=0，可知y 1＋y 2=2k，y 1y 2=-4．直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN =y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2=x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2)．① 将x 1=y 1k ＋2，x 2=y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)=2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k =－8＋8k=0．所以k BM ＋k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN ．综上，∠ABM=∠ABN ．15.解：由题意知，直线AB 的斜率一定存在，∴设直线AB ：y=kx ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p=0，则x 1＋x 2=2pk ，x 1x 2=－2p.①(1)由x 2=2py 得y′=x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2=－2p，∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ，∴－2p=－1，∴p=2.(2)易得直线AN ：y －y 1=x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2=x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎨⎧y －y 1＝x 1px －x 1，y －y 2＝x2p x －x 2，结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N(pk ，－1)．|AB|=1＋k 2|x 2－x 1|=1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2=1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d=|kx N ＋1－y N |1＋k 2=|pk 2＋2|1＋k2，则S △ABN =12·|AB|·d =p pk 2＋23≥22p ，当k=0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p=4，∴p=2，故抛物线C 的方程为x 2=4y.16.解：(1)因为抛物线y 2=2px 过点(1，2)，所以2p=4，即p=2．故抛物线C 的方程为y 2=4x ，由题意知，直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为y=kx ＋1(k≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k-4)x ＋1=0．依题意Δ=(2k-4)2-4×k 2×1>0，解得k<0或0<k<1．所以直线l 斜率的取值范围是(-∞，-3)∪(-3，0)∪(0，1)． (2)证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2=-2k －4k 2，x 1x 2=1k 2．直线PA 的方程为y-2=y 1－2x 1－1(x-1)．令x=0，得点M 的纵坐标为y M =－y 1＋2x 1－1＋2=－kx 1＋1x 1－1＋2．同理得点N 的纵坐标为y N =－kx 2＋1x 2－1＋2．由QM →=λQO →，QN →=μQO →得λ=1-y M ，μ=1-y N ．所以1λ＋1μ=11－y M ＋11－y N =x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2=1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2=1k －1·2k 2＋2k －4k 21k2=2．所以1λ＋1μ为定值．。

高考数学专题《抛物线》习题含答案解析

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴．而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-，则42p=，即8p =．故抛物线的方程为216y x =．故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=，所以12126,1x x x x +==，所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ，所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=，故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析答案见解析【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能，当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >），此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--，由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =，整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-，所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==，所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=，所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--，即20x y +-=，故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ，同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误；由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确；抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确．故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ．【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错；对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =，易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+，易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值，所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭．过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+．再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--，所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。

【高考复习】2020年高考数学(文数) 抛物线小题练(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(文数)抛物线小题练一、选择题1.抛物线y=4ax 2(a≠0)的焦点坐标是( )A ．(0，a)B ．(a ，0)C ．⎝⎛⎭⎫0，116a D ．⎝⎛⎭⎫116a ，02.到定点A(2，0)与定直线l ：x=-2的距离相等的点的轨迹方程为( )A ．y 2=8xB ．y 2=-8xC ．x 2=8yD ．x 2=-8y3.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为( )A ．4B ．6C ．8D ．124.抛物线y=14x 2的准线方程是( )A ．y=-1B ．y=-2C ．x=-1D ．x=-25.已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2=±22x B ．y 2=±2x C ．y 2=±4x D ．y 2=±42x6.抛物线y=2x 2的准线方程是( )A ．x=12B ．x=－12C ．y=18D ．y=－187.若抛物线x 2=4y 上的点P(m ，n)到其焦点的距离为5，则n=( )A ．194B ．92 C ．3 D ．48.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2=6，则|AB|等于( )A ．4B ．6C ．8D ．109.若抛物线y 2=2px(p>0)上的点A(x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．210.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF|=32|MN|，则点F 到MN 的距离为( ) A.12B ．1 C. 3 D ．211.过抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M(M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，若|NF|=4，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 3 C ．3 3 D ．2 212.抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( ) A.43 B ．－43 C ．±43 D ．－169二、填空题13.已知动圆过点(1，0)，且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．14.已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．15.抛物线y 2=14x 的焦点坐标是________．16.已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．17.已知点M(-1，1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB=90°，则k=________．18.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF|=32|MN|，则∠NMF=________．答案解析1.答案为：C ；解析：将y=4ax 2(a≠0)化为标准方程得x 2=14a y(a≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116a ，故选C ．2.答案为：A ；解析：由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p=4，焦点在x 轴正半轴上，故选A ．3.答案为：B ；解析：依题意得，抛物线y 2=8x 的准线方程是x=-2，因此点P 到该抛物线准线的距离为4＋2=6，故选B ．4.答案为：A ；解析：依题意，抛物线x 2=4y 的准线方程是y=-1，故选A ．5.答案为：D ；解析：由题意知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线C 的方程为y 2=±2px(p＞0)，则p 2=2，所以p=22，所以抛物线C 的方程为y 2=±42x.故选D.6.答案为：D ；解析：抛物线y=2x 2的标准方程为x 2=12y ，其准线方程为y=－18.7.答案为：D ；解析：抛物线x 2=4y 的准线方程为y=－1，根据抛物线的定义可知，5=n ＋1，得n=4，故选D.8.答案为：C ；解析：由抛物线y 2=4x 得p=2，由抛物线定义可得|AB|=x 1＋1＋x 2＋1=x 1＋x 2＋2，又因为x 1＋x 2=6，所以|AB|=8，故选C ．9.答案为：D ；解析：由题意3x 0=x 0＋p 2，x 0=p 4，则p22=2，∵p>0，∴p=2，故选D ．10.答案为：B ；由题可知|MF|=2，设点N 到准线的距离为d ，由抛物线的定义可得d=|NF|，因为|NF|=32|MN|，所以cos ∠NMF=d |MN|=|NF||MN|=32，所以sin ∠NMF=1－⎝⎛⎭⎪⎫322=12，所以点F 到MN 的距离为|MF|sin ∠NMF=2×12=1，故选B.11.答案为：B ；∵直线MF 的斜率为3，MN ⊥l ，∴∠NMF=60°，又|MF|=|MN|，且|NF|=4， ∴△NMF 是边长为4的等边三角形，∴M 到直线NF 的距离为2 3.故选B.12.答案为：B ；解析：将y=1代入y 2=4x 可得x=14，即A ⎝⎛⎭⎫14，1.由题可知，直线AB 经过焦点F(1,0)，所以直线AB 的斜率k=1－014－1=－43，故选B.13.答案为：y 2=4x ；解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2=4x ．14.答案为：(1,0)；解析：由题知直线l 的方程为x=1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a)(a ＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a=4，即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．15.答案为：⎝⎛⎭⎫116，0；解析：由于抛物线y 2=2px 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，因此抛物线y 2=14x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫116，0.16.答案为：(1，0)；解析：由题意得a>0，设直线l 与抛物线的两交点分别为A ，B ，不妨令A 在B 的上方，则A(1，2a)，B(1，-2a)，故|AB|=4a=4，得a=1，故抛物线方程为y 2=4x ，其焦点坐标为(1，0)．17.答案为：2；解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21-y 22=4x 1-4x 2，所以k=y 1－y 2x 1－x 2=4y 1＋y 2．取AB 的中点M′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x=-1 的垂线，垂足分别为A′，B′．因为∠AMB=90°，所以|MM′|=12|AB|=12(|AF|＋|BF|)=12(|AA′|＋|BB′|)．因为M′为AB 的中点，所以MM′平行于x 轴．因为M(-1，1)，所以y 0=1，则y 1＋y 2=2，所以k=2．18.答案为：π6；解析：过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有|PN|=|NF|，∴|PN|=32|MN|，∠NMF=∠MNP ．又cos ∠MNP=32，∴∠MNP=π6，即∠NMF=π6．。

(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习坐标系文课后训练题含解析

课后限时集训(五十九)(建议用时：60分钟) A 组基础达标1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．[解] 设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，x ′29＋y ′24＝1.∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．[解] 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径|PC |＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φy ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．[解] (1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN |＝|ρ1－ρ2|＝2，∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.4．在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为2.B 组能力提升1．已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3.∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32. 曲线C 2化为x 26＋y 22＝1，(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6.∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)，P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. ∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ，得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.2．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．[解] (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. ∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. ∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。

北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习课后限时集训47抛物线含解析

课后限时集训(四十七)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为()A．14B．－14C．4D．－4B[由y＝ax2，变形得x2＝1a y＝2×12a y，∴p＝12a.又抛物线的准线方程是y＝1，∴－14a＝1，解得a＝－1 4.]2．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是() A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16xD[依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，p＝8，∴点M的轨迹的方程为y2＝16x，故选D.] 3．已知AB是抛物线y2＝8x的一条焦点弦，|AB|＝16，则AB中点C的横坐标是()A．3 B．4C．6 D．8C[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝16，又p＝4，所以x1＋x2＝12，所以点C的横坐标是x1＋x22＝6.]4．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为4，则抛物线的方程是()A．y＝4x2B．y＝12x2C．y2＝6x D．y2＝12xD[设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则准线方程为x＝－p2，由题知1＋p2＝4，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝12x，故选D.]5．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为()A ．627B ．1827C ．427D ．227C [设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ，可知其焦点F 的坐标为(1,0)，故|PM |＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8，故P 点坐标为(8,42)，所以k PF ＝0－421－8＝427.] 二、填空题6．(2019·泰安期末)若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是________．9 [根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]7．(2019·营口期末)直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝________. ±3 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝±3.]8．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．(1,0) [由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a >0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]三、解答题9．(2019·襄阳模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，M (0,4)，动点P 到点F 的距离与到直线y ＝－14的距离相等． (1)求点P 的轨迹方程；(2)是否存在定直线y ＝a ，使得以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为定值？若存在，求出定直线方程，若不存在，请说明理由．[解] (1)设P (x ，y )，由题意得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －142＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋14，化简得y ＝x 2.∴点P 的轨迹方程为x 2＝y .(2)假设存在定直线y ＝a ，使得以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为定值，设P (t ，t 2)，则以PM 为直径的圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 2＋422＝t 2＋(t 2－4)24，∴以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为 l ＝2t 2＋(t 2－4)24－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋42－a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －154t 2－a 2＋4a 若a 为常数，则对于任意实数y ，l 为定值的条件是a －154＝0，即a ＝154时，l ＝152. ∴存在定直线y ＝154，以PM 为直径的圆与直线y ＝154的相交弦长为定值．10．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线． [解] (1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2. ∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：∵点A (2，m )在抛物线E 上，∴m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，∴k GA ＝223，k GB ＝－223， ∴k GA ＋k GB ＝0，∴∠AGF ＝∠BGF . ∴GF 为∠AGB 的平分线．B 组能力提升1．(2019·鸡西模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l .设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为( )A ．5 B.41 C ．41－2 D ．4B [由题意得，圆C 的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F (2,0)．根据抛物线的定义，得m ＋|PC |＝|PF |＋|PC |≥|FC |＝41.]2．(2019·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．13B ．23C ．34D ．43A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2120°＝8p 3，所以x 1＋x 2＝5p 3.又x 1x 2＝p 24，可得x 2＝32p ，x 1＝p 6，则|AF ||BF |＝p 6＋p232p ＋p 2＝13.故选A ．] 3．(2019·山东枣庄期末)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线C 2：x 23－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点重合，若点F 到双曲线C 2的一条渐近线的距离为1，则C 1的焦点F 到其准线的距离为________．4 [根据题意，双曲线的一个焦点为(b 2＋3，0)，它到一条渐近线y ＝b3x 的距离为|b b 2＋3|b 2＋3＝b ＝1，所以焦点F (2,0)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2，故C 1的焦点F 到其准线的距离为4.]4．(2019·江西吉安模拟)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)与圆C 2：x 2＋y 2＝5的两个交点之间的距离为4.(1)求p 的值；(2)设过抛物线C 1的焦点F 且斜率为k 的直线与抛物线交于A ，B 两点，与圆C 2交于C ，D 两点，当k ∈[0,1]时，求|AB |·|CD |的取值范围．[解] (1)由题意知，交点坐标为(－2,1)，(2,1)，代入抛物线C 1：x 2＝2py ，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线C 1方程为x 2＝4y ，故抛物线C 1的焦点F (0,1)．设直线方程为y ＝kx ＋1，与抛物线C 1：x 2＝4y 联立化简得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·(4k )2－4×(－4)＝4(1＋k 2)．∵圆心C 2到直线y ＝kx ＋1的距离为d＝11＋k2，∴|CD|＝25－d2＝25－11＋k2＝25k2＋41＋k2.∴|AB|·|CD|＝4(1＋k2)×25k2＋41＋k2＝8(1＋k2)(5k2＋4)＝85k4＋9k2＋4.又k∈[0,1]，∴|AB|·|CD|的取值范围为[16,242]．。

2020高考数学(文)一轮复习课时作业 49抛物线含解析

解法二
如图，不妨设点A在第一象限，设∠AFx＝θ，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则由抛物线的定义知xA＋1＝2＋3cosθ＝3，解得cosθ＝ .又|BF|＝xB＋1＝1－|BF|cosθ＋1＝2－ |BF|，所以|BF|＝ .
答案：
8．[2019·合肥质量检测]抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂直PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为________．
解析：因为抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，所以抛物线C的方程为y2＝12x，其准线方程为x＝－3.由抛物线的定义可得|PiF|＝xi＋3(i＝1,2，…，2 017)，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2 017F|＝(x1＋3)＋(x2＋3)＋…＋(x2 017＋3)＝x1＋x2＋…＋x2 017＋3×2 017＝8 068.
又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，
∴1＋＋1＋k2 －k ＋1＝0，
整理得－＋1＝0，解得k＝2.
答案：2
C．11pD．12p
解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p，
∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p，故选B.
答案：B
二、填空题
6．[2019·长沙市，南昌市部分学校联合模拟]已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，P1，P2，…，P2017是抛物线C上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x2 017，若x1＋x2＋…＋x2 017＝2 017，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2 017F|＝________.

2022届北师大版高考数学一轮复习抛物线含解析

抛物线[A 组基础保分练]1．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到点C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析：设A （x ，y ），由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12．又因为点A到y 轴的距离为9，即x ＝9，所以9＋p2＝12，解得p ＝6．答案：C2．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（） A ．4 B ．9 C ．10 D ．18解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．答案：C 3．（2021·安阳模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′．若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠F AA ′＝35，则抛物线C 的方程为（） A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′．设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠F AA ′＝35，故|AF |＝5x ，则|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2．四边形AA ′PF 的面积S＝（|PF |＋|AA ′|）·|FF ′|2＝⎝⎛⎭⎫p ＋52p ·2p2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x ．答案：C4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于（）A ．4B ．92C ．5D ．6解析：易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k （x －1）．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－（2k 2＋4）x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，① 因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2（x B＋1），即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92．答案：B5．（2021·合肥检测）已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为（） A ．1 B ． 2 C ．2 2 D ．4解析：双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p22＝1，解得p ＝2．答案：B 6．（2021·广东六校联考）抛物线y ＝2x 2上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长为3，则点M 的纵坐标的最小值为（）A ．118B ．54C ．32D ．1解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，由题意知y 0≥b＞0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝2x 2，整理得2x 2－kx －b ＝0，Δ＝k 2＋8b ＞0，x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－b 2，则|AB |＝1＋k 2·k 24＋2b ，点M 的纵坐标y 0＝y 1＋y 22＝x 21＋x 22＝k 24＋b ．因为弦AB 的长为3，所以1＋k 2·k 24＋2b ＝3，即（1＋k 2）⎝⎛⎭⎫k 24＋2b ＝9，故（1＋4y 0－4b ）（y 0＋b ）＝9，即（1＋4y 0－4b ）（4y 0＋4b ）＝36．由基本不等式得，（1＋4y 0－4b ）＋（4y 0＋4b ）≥2（1＋4y 0－4b ）（4y 0＋4b ）＝12，当且仅当⎩⎨⎧b ＝18，y 0＝118时取等号，得1＋8y 0≥12，y 0≥118，故点M 的纵坐标的最小值为118．答案：A 7．已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为（0，－2），则此抛物线的标准方程为_________．解析：依题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py （p ＞0），因为焦点坐标为（0，－2），所以－p2＝－2，解得p ＝4．故所求的抛物线的标准方程为x 2＝－8y ．答案：x 2＝－8y 8．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （1，0），且与C 交于A ，B 两点，则p ＝，1|AF |＋1|BF |＝_________．解析：由p2＝1，得p ＝2．当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1，代入y 2＝4x ，得y ＝±2，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝12＋12＝1；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k （x －1）（k ≠0），代入抛物线方程，得k 2x 2－2（k 2＋2）x ＋k 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2＝1，1|AF |＋1|BF |＝|AF |＋|BF ||AF |·|BF |＝x 1＋x 2＋2（x 1＋1）（x 2＋1）＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 1＋x 2＋1＝1．综上，1|AF |＋1|BF |＝1．答案：2 19．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．（1）求抛物线的方程；（2）若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解析：（1）抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ．（2）∵点A 的坐标是（4，4），由题意得B （0，4），M （0，2）．又∵F （1，0），∴k F A ＝43．∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34．又F A 的方程为y ＝43（x －1），故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45． 10．（2021·襄阳联考）动点P 到定点F （0，1）的距离比它到直线y ＝－2的距离小1．设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作曲线C 的切线，且两切线相交于点M ．（1）求曲线C 的方程；（2）求证：AB →·MF →＝0．解析：（1）由已知得动点P 在直线y ＝－2的上方，条件可转化为动点P 到定点F （0，1）的距离等于它到直线y ＝－1的距离，∴动点P 的轨迹是以F （0，1）为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，故其方程为x 2＝4y ．（2）证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1．则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0．设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x ．∴直线AM 的方程为y －14x 2A ＝12x A （x －x A ），①直线BM 的方程为y －14x 2B ＝12x B （x －x B ）．② ①－②，得14（x 2B －x 2A ）＝12（x A －x B ）x ＋12（x 2B －x 2A ）， ∴x ＝x A ＋x B 2＝2k ．将x ＝x A ＋x B2代入①，得y －14x 2A＝12x A x B －x A 2＝14x A x B －14x 2A， ∴y ＝14x A x B ＝－1，∴M （2k ，－1）．∵MF →＝（－2k ，2），AB →＝（x B －x A ，k （x B －x A ））， ∴AB →·MF →＝－2k （x B －x A ）＋2k （x B －x A ）＝0．[B 组能力提升练]1．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为（） A ．y 2＝4x B ．y 2＝36x C ．y 2＝4x 或y 2＝36x D ．y 2＝8x 或y 2＝32x解析：因为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点到抛物线对称轴的距离为6，所以可设该点为P （x 0，±6）．因为P 到抛物线焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以根据抛物线的定义得x 0＋p 2＝10．① 因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0．② 由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x ．答案：C 2．（2021·武汉模拟）已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A （5，3），M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13解析：由题意知，当|MA |＋|MF |的值最小时，△MAF 的周长最小．设点M 在抛物线的准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|MD |＝|MF |，因此|MA |＋|MF |的最小值即|MA |＋|MD |的最小值．根据平面几何的知识可得，当D ，M ，A 三点共线时，|MA |＋|MD |最小，最小值为x A －（－1）＝5＋1＝6．又|F A |＝（5－1）2＋（3－0）2＝5，所以△MAF 周长的最小值为6＋5＝11．答案：B 3．（2021·河北六校模拟）抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为_________．解析：设满足题意的圆的圆心为M ．根据题意可知圆心M 在抛物线上．又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，则x M ＝6－p2．又由题意可知x M ＝p 4，∴p 4＝6－p2，解得p ＝8．∴抛物线方程为y 2＝16x ．答案：y 2＝16x 4．（2021·成都摸底）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且|AF ||BF |－|AF |＝1，则抛物线C 的标准方程为_________．解析：如图，设直线l 与x 轴交于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ，则|DF |＝p ．由抛物线的定义知|BE |＝|BF |．设|BE |＝|BF |＝m ，因为△AEB ∽△ADF ，所以|AF ||AB |＝|DF ||BE |，即|AF ||AF |－|BF |＝|DF ||BF |，所以|AF ||AF |－m ＝p m ，所以|AF |＝pm p －m．由|AF ||BF |－|AF |＝1，得pmp －m m －pm p －m＝1，解得p ＝1，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝2x ．答案：y 2＝2x5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，若|AO |＝|AF |＝32．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．解析：（1）因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y ．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b （b ≥0），代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0＜b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2b 3＋b 2（0＜b ≤1）．设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，函数单调递增，所以当b ＝1时，△OPQ 的面积取最大值为2．6．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）和定点M （0，1），设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N ．（1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；（2）若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解析：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ①，x 1x 2＝－2p ②．（1）由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p，因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ，所以－2p ＝－1，所以p ＝2．（2）易得直线AN ：y －y 1＝x 1p （x －x 1），直线BN ：y －y 2＝x 2p（x －x 2），联立，得⎩⎨⎧y －y 1＝x 1p（x －x 1），y －y 2＝x 2p （x －x 2），结合①②式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N （pk ，－1）．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，则△ABN 的面积S △ABN＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号．因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y ．[C 组创新应用练]1．（2021·兰州模拟）设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点M （4，0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝4，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝（）A ．34B ．45C ．56D ．25解析：由抛物线方程y 2＝8x ，得焦点F 的坐标为（2，0），准线方程为x ＝－2．如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为E ，N ．设直线AB 的方程为y ＝k （x －4）（k ≠0），则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），y 2＝8x ，消去y 并整理得k 2x 2－（8k 2＋8）x ＋16k 2＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2＝16．由抛物线的定义知|BF |＝|BN |＝x 2＋2＝4，所以x 2＝2，所以x 1＝8，所以|AE |＝x 1＋2＝10．因为BN ∥AE ，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BN ||AE |＝410＝25．答案：D2．已知抛物线x ＝18y 2的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A 在第一象限），抛物线的准线交x 轴于点K ，则|AF ||AK |最小时，直线AK 的斜率为（）A ．1B ． 2C ． 3D ．2 2解析：x ＝18y 2可化为y 2＝8x ．如图，过A 作准线的垂线，垂足为A 1．因为|AF |＝|AA 1|，所以|AF ||AK |＝|AA 1||AK |＝sin ∠AKA 1．若|AF ||AK |最小，则sin ∠AKA 1最小，即∠AKA 1最小．数形结合可得，直线AK 与抛物线y 2＝8x 相切时，∠AKA 1最小．设直线AK 的方程为y ＝k （x ＋2），且k ＞0，与y 2＝8x 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，消去x ，得ky 2－8y ＋16k ＝0，由Δ＝64－64k 2＝0，得k ＝1．答案：A。

高考数学一轮复习抛物线专题练习(含答案)

高考数学一轮复习抛物线专题练习（含答案）【常规证法】抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，显然直线AB 的斜率不为0，当AB斜率不存在时，直线AP方程为x=，不妨设A在第一象限，则易知A，B，C，此时kOA==2，kOC==2.kOA=kOC，A，O，C三点共线，即直线AC经过原点O.当AB斜率存在且不为0时，设直线AB方程为y=k代入y2=2px 得k2x2-(k2+2)px+=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=，(y1y2)2=p4，由题意知y1y20，y1y2=-p2kOC======kOA直线AC过原点O，综上，直线AC经过原点O.【巧妙证法】因为抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，而直线AB的斜率不为零，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+.代入抛物线方程消去x得y2-2pmy-p2=0.若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2.因为BCx轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k===，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.3.(2019南师附中检测)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2=2px(p0)上位于x轴两侧的两点.(1)若y1y2=-2p，证明直线AB恒过一个定点;(2)若p=2，AOB(O是坐标原点)为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范围.[解] (1)设直线AB在x轴上的截距为t，则可设直线AB的方程为x=my+t.代入y2=2px得y2=2p(my+t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直线AB 恒过定点(1,0).(2)因为AOB为钝角，所以0，即x1x2+y1y20.y=2px1，y=2px2，yy=2px12px2，于是x1x2===t2，故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t0，得00)把点P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p(-2).解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py(p0)，把点P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p(-4).解得p=.抛物线方程为x2=-y.综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.[答案] y2=-8x或x2=-y4.(2019广东高考)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时，求|AF||BF|的最小值.[解题思路] (1)由点到直线的距离求c的值，得到F(0，c)后可得抛物线的方程;(2)采用设而不求策略，先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合导数求切线PA，PB的方程，代入点P 的坐标，根据结构，可得直线AB的方程;(3)将|AF||BF|转化为关于x(或y)的函数，再求最值.[解] (1)依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy(c0)，由点到直线的距离公式，得=，解得c=1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x2=4y.(2)由x2=4y，得y=x2，其导数为y=x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x=4y1，x=4y2，切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以和为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由消去x并整理得到关于y的方程为y2+(2y0-x)y+y=0.由一元二次方程根与系数的关系得y1+y2=x-2y0，y1y2=y.所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0-y0-2=0，即x0=y0+2，所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+，所以当y0=-时，|AF||BF|取得最小值，且最小值为.2019年高考数学一轮复习抛物线专题练习及答案的所有内容就为考生分享到这里，查字典数学网请考生认真练习。

高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业49

课时作业(四十九) 抛物线A 级1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x2．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．拋物线3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切D ．不确定4．(2012·四川卷)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 55．拋物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与拋物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则拋物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x6．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有________条．7．(2012·北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．8．点P 在抛物线x 2＝4y 的图像上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|P A |最小，则相应P 的坐标为____________．9．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________.10．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程．11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标．B 级1．(2011·辽宁卷)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.742．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.3．(2012·山东潍坊二模)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．答案课时作业(四十九)A 级1．D 由题意知圆心为(1，－3)，抛物线开口向右或向下．把(1，－3)代入验证知D 正确．2．D 把直线x ＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是拋物线的定义． 3．C 设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1，B 1分别为A ，B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切． 4．B 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋P 2＝2＋P2＝3，∴P ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2，∴y 0＝±22， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.5．B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，拋物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴拋物线C 的方程为y 2＝2x .6．解析：容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，l 与抛物线有一个公共点，或者l 在M 点上与抛物线相切．答案： 27．解析： ∵y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0，即3x 2－10x ＋3＝0. ∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3.∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.答案：38．解析：由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝⎛⎭⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|P A |最小．答案： ⎝⎛⎭⎫－1，14 ⎛⎫1⎛1A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＜x 2，将y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12代入y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎭⎫x －122＝2x ，∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0.∴x 1x 2＝14. 而x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，∴x 1＋x 2＝1312.∴x 1＝13，x 2＝34.∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝56.答案： 5610．解析：由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c ，设抛物线方程为y 2＝4c ·x .∵拋物线过点⎝⎛⎭⎫32，6， ∴6＝4c ·32.∴c ＝1，故拋物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6，∴94a 2－6b 2＝1. 又a 2＋b 2＝c 2＝1， ∴94a 2－61－a 2＝1.∴a 2＝14或a 2＝9(舍)． ∴b 2＝34，故双曲线方程为x 214－y 234＝1.11．解析： (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k F A ＝43，∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎫85，45.B 级1．C 过A ，B 两点，分别向拋物线的准线作垂线，垂足分别为A ′，B ′，设线段AB 的中点为P ，点P 到准线的距离为|PP ′|，如右图所示．由拋物线定义：|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|PP ′|＝3，∴|PP ′|＝32.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为d ＝|PP ′|－14＝32－14＝54.故选C.2．解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知， y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2，∴|BF |＝12－(－1)＝32. 答案： 323．解析： (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，y 1＋y 2＝8＋p 2，y 1y 2＝4，由已知AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，由韦达定理及p ＞0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， ∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ＞0得k ＜－4或k ＞0， ∴x 0＝x B ＋x C 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴b＞2.。

高三数学一轮复习课时规范练47抛物线文含解析北师大版

课时规范练47 抛物线基础巩固组1.(2020福建厦门一模)若抛物线x 2=ay 的焦点到准线的距离为1,则a=( )A.2B.4C.±2D.±42.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=4√2x 的焦点,P 为抛物线C 上一点,若|PF|=4√2,则△POF 的面积为( ) A.2 B.2√2C.2√3D.43.(2020河北唐山一模,文8)抛物线x 2=2py (p>0)上一点A 到其准线和坐标原点的距离都为3,则p=( ) A.8 B.6 C.4 D.2 4.F 是抛物线y 2=2x 的焦点,点P 在抛物线上,点Q 在抛物线的准线上,若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|PQ|=( ) A.92B.4C.72D.35.(2020河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5 m,跨径为12 m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( ) A.2512 mB.256mC.95mD.185m6.已知抛物线E :y 2=2px (p>0)的准线为l ,圆C :(x -p 2)2+y 2=4,l 与圆C 交于A ,B 两点,圆C 与E 交于M ,N两点.若A ,B ,M ,N 为同一个矩形的四个顶点,则E 的方程为( ) A.y 2=x B.y 2=√3x C.y 2=2xD.y 2=2√3x7.(2020河南安阳三模)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线为l ,l 与x 轴的交点为P ,点A 在抛物线C 上,过点A 作AA'⊥l ,垂足为A'.若四边形AA'PF 的面积为14,且cos ∠FAA'=35,则抛物线C 的方程为 ( )A.y 2=xB.y 2=2xC.y 2=4xD.y 2=8x8.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 分别作y 轴的垂线,垂足分别为C ,D ,则|AC|+|BD|的最小值为 .9.(2020江西萍乡一模)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线l :x=-1,点M 在抛物线C 上,点M 在准线l 上的射影为A ,且直线AF 的斜率为-√3,则△AMF 的面积为 .10.已知F 为抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点,曲线C 1是以F 为圆心,p4为半径的圆,直线2√3x-6y+3p=0与曲线C ,C 1从左至右依次相交于P ,Q ,R ,S ,则|RS ||PQ |= .综合提升组11.(2020广东广州一模)已知F为抛物线C:y2=6x的焦点,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=()A.6B.8C.10D.1212.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与圆C2:x2+y2-12x+11=0交于A,B,C,D四点.若BC⊥x轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,则点A的横坐标为()A.116B.3 C.113D.613.(2020河北衡水中学三模,理14)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(1,1)的直线与C交于A,B 两点,若M恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=,直线AB的斜率为.14.设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F在y轴的正半轴上,点A是抛物线上的一点,以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F.(1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.创新应用组15.(2020江西九江二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=()A.4B.8C.16D.16316.(2020江西上饶三模,理20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点到准线的最小距离为1.(1)求抛物线C的方程;(2)若过点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线C交于A,B两点,l2与抛物线C交于C,D两点,M,N分别为弦AB,CD的中点,求|MF|·|NF|的最小值.▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁课时规范练47 抛物线1.C ∵x 2=ay ,∴p=a 2=1,∴a=±2.故选C .2.C 利用|PF|=x P +√2=4√2,可得x P =3√2.∴y P =±2√6.∴S △POF =12|OF|·|y P |=2√3.故选C .3.C 设A (x 0,y 0),由题意得y 0+p 2=3,即p=6-2y 0,又因为x 02=2py 0,所以x 02=2(6-2y 0)y 0,化简得x 02+4y 02=12.又因为点A 到原点的距离为3,所以x 02+y 02=9,解得x 02=8,y 02=1.又由题可得y 0=1,代入x 02=2py 0有p=4.故选C.4.A 记抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P 作准线的垂线,垂足为M ,则|PF|=|PM|.由△QFK ∽△QPM ,得|FK ||MP |=|QF ||QP |,即1|MP |=13,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=32,所以|PQ|=|PF|+|QF|=92.故选A .5.D 建立平面直角坐标系如图所示.设抛物线的解析式为x 2=-2py ,p>0,因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p ,解得p=185.所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m .故选D .6.C 如图,圆C :(x -p 2)2+y 2=4的圆心C (p2,0)是抛物线E :y 2=2px (p>0)的焦点.∵圆C :(x -p 2)2+y 2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.∵A ,B ,M ,N 为同一个矩形的四个顶点,∴点A ,N 关于直线x=p2对称, 即x N +x A =p2×2=p ,∴x N =32p ,∴|NA|=32p-(-p 2)=2,即2p=2,则E 的方程为y 2=2x.故选C .7.C 过点F 作FF'⊥AA',垂足为F'.设|AF'|=3x ,因为cos ∠FAA'=35,所以|AF|=5x ,|FF'|=4x.由抛物线的定义可知|AF|=|AA'|=5x ,则|A'F'|=2x=p ,故x=p 2.四边形AA'PF 的面积S=(|PF |+|AA '|)·|FF '|2=(p+52p)·2p2=14,解得p=2,故抛物线C 的方程为y 2=4x.8.2 由题意知F (1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2. 9.4√3 设准线l 与x 轴交于点N ,则|FN|=2.∵直线AF 的斜率为-√3, ∴∠AFN=60°, ∴∠MAF=60°,|AF|=4.由抛物线的定义可得|MA|=|MF|, ∴△AMF 是边长为4的等边三角形. ∴S △AMF =√34×42=4√3.10.215 {x 2=2py ,2√3x -6y +3p =0⇒12y 2-20py+3p 2=0.因为直线2√3x-6y+3p=0与曲线C ,C 1从左至右依次相交于P ,Q ,R ,S ,所以y P =p 6,y S =32p.由直线2√3x-6y+3p=0过抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点F ,所以|RS|=|SF|-p4=y S +p2−p4=y S +p4,|PQ|=|PF|-p4=y P +p2−p4=y P +p 4,|RS ||PQ |=|SF |-p 4|PF |-p 4=3p 2+p 4p 6+p 4=74512=215.11.B 由已知得抛物线C :y 2=6x 的焦点坐标为32,0,准线方程为x=-32. 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为|AF|=3|BF|,所以x 1+32=3x 2+32,|y 1|=3|y 2|. 所以x 1=3x 2+3,x 1=9x 2, 所以x 1=92,x 2=12.所以|AB|=x 1+32+x 2+32=8.故选B . 12.A 圆C 2:x 2+y 2-12x+11=0可化为(x-6)2+y 2=52,故圆心为(6,0),半径为5,由于BC ⊥x 轴,且线段BC 恰为圆C 2的一条直径,故B (6,-5),C (6,5). 将B 点坐标代入抛物线方程得25=12p ,故p=2512,抛物线方程为y 2=256x. 联立{y 2=256x ,x 2+y 2-12x +11=0,消去y 得x 2-476x+11=0, 解得x=116或x=6(舍去), 故A 点横坐标为116.故选A .13.4 2 过点A ,B ,M 分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为A 1,B 1,M 1,则|MM 1|=2.根据梯形中位线定理,得|AA 1|+|BB 1|=4. 根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA 1|+|BB 1|=4.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由y 12=4x 1,y 22=4x 2,得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=4(x 1-x 2),则直线AB 的斜率为k=y 1-y2x 1-x 2=4y 1+y 2=42×1=2.14.解(1)设抛物线方程为x 2=2py (p>0).∵以A 为圆心,2为半径的圆与y 轴相切,切点为F ,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x 2=4y. (2)由题知直线m 的斜率存在, 设其方程为y=kx+6,由{y =kx +6,x 2=4y 消去y 整理得x 2-4kx-24=0,显然,Δ=16k 2+96>0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则{x 1+x 2=4k ,x 1·x 2=-24. 由x 2=4y ,得y=x 24,∴y'=x2.抛物线在点P (x 1,x 124)处的切线方程为y-x 124=x 12(x-x 1),令y=-1,得x=x 12-42x 1,可得点R (x 12-42x 1,-1),由Q ,F ,R 三点共线得k QF =k FR , ∴x 224-1x 2=-1-1x 12-42x 1,即(x 12-4)(x 22-4)+16x 1x 2=0,整理得(x 1x 2)2-4〖(x 1+x 2)2-2x 1x 2〗+16+16x 1x 2=0,∴(-24)2-4〖(4k )2-2×(-24)〗+16+16×(-24)=0,解得k 2=14,即k=±12, ∴所求直线m 的方程为y=12x+6或y=-12x+6.15.C 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y 1+y 2+2,因为y 1+y 22=|AB|-1,所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos ∠AFB=|AF |2+|BF |2-|AB |22|AF ||BF |=3(|AF |2+|BF |2)-2|AF ||BF |8|AF ||BF |≥6|AF ||BF |-2|AF ||BF |8|AF ||BF |=12,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以当∠AFB 最大时,△AFB 为等边三角形,AB ∥x 轴. 不妨设此时直线AD 的方程为y=√3x+1,由{y =√3x +1,x 2=4y ,消去y ,得x 2-4√3x-4=0,所以x 1+x 3=4√3, 所以y 1+y 3=√3(x 1+x 3)+2=14. 所以|AD|=16.故选C .16.解(1)∵抛物线C 上的点到准线的最小距离为1,∴p2=1,解得p=2,∴抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)由(1)可知焦点为F (1,0).由已知可得AB ⊥CD ,∴两直线AB ,CD 的斜率都存在且均不为0. 设直线AB 的斜率为k ,则直线CD 的斜率为-1k ,∴直线AB 的方程为y=k (x-1). 联立{y 2=4x ,y =k (x -1),消去x 得ky 2-4y-4k=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4k .设M (x M ,y M ),由y M =k (x M -1),得x M =y Mk +1=2k 2+1,∴M (2k 2+1,2k ).同理可得N (2k 2+1,-2k ).∴|NF|=√(2k 2+1-1)2+(-2k )2=2√k 2(k 2+1),|MF|=2√1+k 2k 2,∴|MF|·|NF|=2√1+k 2k 2×2√k 2(1+k 2)=4×1+k 2|k |≥4×2√|k |·1|k |=8,当且仅当|k|=1|k |,即k=±1时,等号成立.∴|MF|·|NF|的最小值为8.。

版高考数学一轮复习核心素养测评五十四 10.7 抛物线文(含解析)北师大版-北师大版高三全册数学

核心素养测评五十四抛物线(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020·某某模拟)动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为( )A.y2=4xB.y2=8xC.x2=4yD.x2=8y【解析】选D.因为动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,所以动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y=-2的距离相等.由抛物线的定义得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,其标准方程为x2=8y.2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,|PF|=3,则直线AF的斜率为( )A. B.- C. D.-【解析】选B.如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),由|PF|=3,得|PA|=3,则x P=2,代入y2=4x,得y P=2.所以A(-1,2),所以k AF==-.3.(2020·聊城模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且=3,则|AB|= ( )A. B. C. D.【解析】选C.由抛物线方程y2=4x,知焦点F(1,0),准线l:x=-1,如图,设l与x轴交点为K,过B作BM⊥l,交l于M,则易知BM∥KF,所以△ABM∽△AFK,设|BF|=m,由=3,可知|AB|=2m,所以|KF|=|AF|=m,又由方程知|KF|=2,所以m=2,即m=,所以|AB|=2m=.4.(2020·某某模拟)已知点F是抛物线x2=4y的焦点,点P为抛物线上的任意一点,M(1,2)为平面上一点,则|PM|+|PF|的最小值为( )A.3B.2C.4D.2【解析】选A.抛物线标准方程为x2=4y,即p=2,故焦点F(0,1),准线方程y=-1,过P作PA垂直于准线,垂足为A,过M作MA0垂直于准线,垂足为A0,交抛物线于P0,则|PM|+|PF|=|PA|+|PM|≥|A0M|=3(当且仅当P与P0重合时取等号).5.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为( )A.x2=yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3y【解析】选D.设点M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y得x2-2ax+2a=0,所以==3,即a=3,所以所求的抛物线方程是x2=3y.6.已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.F,0,那么M4-,4在抛物线上,即16=2p4-,即p2-8p+16=0,解得p=4.7.在直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N 分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,若∠NFR=60°,则|NR|= ( )世纪金榜导学号A.2B.C.2D.3【解析】选A.根据题意,如图所示:连接MF,QF,抛物线的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0),准线为x=-1,则|FH|=2,由抛物线定义可得|PF|=|PQ|,由PQ⊥l,得:PQ∥FR,所以∠QPF=∠NFR,又∠NFR=60°,所以∠QPF=60°,所以△PQF为等边三角形,由M,N分别为PQ,PF的中点,得|MN|=|QF|,MN∥QF,且MF⊥PQ,又QH⊥PQ,QM∥HF,故四边形HFMQ为矩形,故|QM|=|HF|=2,又在Rt△QMF中,|QF|===4,故|MN|=|QF|=2,又PQ∥RF,|PN|=|NF|,所以|NR|=|MN|=2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知点P(-3,3),过点M(3,0)作直线,与抛物线y2=4x相交于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=.【解析】设过点M的直线为x=my+3,联立抛物线方程可得y2-4my-12=0,设A,B,可得y1+y2=4m,y1y2=-12,则k1+k2=+=+=+=+=-1.答案:-19.已知抛物线x2=4y焦点为F,经过F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点A,B在抛物线准线上的射影分别为A1,B1,以下四个结论:①x1x2=-4,②|AB|=y1+y2+1,③∠A1FB1=,④AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的是.【解析】抛物线x2=4y焦点为F(0,1),易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4,①正确;|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=y1+y2+2,②不正确;=(x1,-2),=(x2,-2),所以·=x1x2+4=0,所以⊥,∠A1FB1=,③正确;AB的中点到抛物线的准线的距离d=(|AA1|+|BB1|)=(y1+y2+2)=(kx1+1+kx2+1+2)=(4k2+4)≥2.当k=0时取得最小值2,④正确.答案:①③④10.(2020·某某模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1,2),直线l与抛物线交于相异两点A,B,若△MAB的内切圆圆心为(1,t),则直线l的斜率为. 世纪金榜导学号【解析】将点M(1,2)代入y2=2px,可得p=2,所以抛物线方程为y2=4x,由题意知,直线l斜率存在且不为0,设直线l的方程为x=my+n(m≠0),代入y2=4x,得y2-4my-4n=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4n,又由△MAB的内切圆圆心为(1,t),可得k MA+k MB=+=+=0,整理得y1+y2+4=4m+4=0,解得m=-1,从而l的方程为y=-x+n,所以直线l 的斜率为-1.答案:-1(15分钟35分)1.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于( )A. B.3 C. D.2【解析】选B.设Q到l的距离为d,则|QF|=d,因为=4,所以|PQ|=3d,不妨设直线PF的斜率为-=-2,因为F(2,0),所以直线PF的方程为y=-2(x-2),与y2=8x联立得x=1,所以|QF|=d=1+2=3.2.(5分)抛物线y=x2上一点M到x轴的距离为d1,到直线-=1的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )A. B. C.3D.2【解析】选D.因为点M到抛物线x2=4y的准线的距离为d1+1等于M到抛物线x2=4y的焦点的距离|MF|,则d1+d2+1的最小值即为焦点F到直线-=1的距离.由题意知F(0,1),所以(d1+d2)min=-1=2.【变式备选】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=2,则|QF|= ( )A.8B.4C.6D.3【解析】选D.设Q到l的距离为d,则|QF|=d,因为=2,所以|PQ|=3d,所以直线PF的斜率为±2,因为F(1,0),所以直线PF的方程为y=±2(x-1),与y2=4x联立可得x=2(另一根舍去),所以|QF|=d=1+2=3.3.(5分)(2019·某某模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于M,N点,若l1与直线l2的斜率的乘积为-1,则|AB|+|MN|的最小值为( )A.14B.16C.18D.20【解析】选B.可得F(1,0),又可知l1,l2的斜率都存在.设直线l1的方程为y=k(x-1),将其代入y2=4x可得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),所以|AB|=x1+x2+p=+2=4+,因为l1与l2的斜率的乘积为-1,所以l2的斜率为-,同理可得|MN|=x3+x4+p=+2=4+4k2,所以|AB|+|MN|=4++4+4k2=8++4k2≥8+2=16.当且仅当k=±1时取等号.4.(10分)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标.(2)求△PAB的面积.【解析】(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).由题意知圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0).由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·,直线PA的方程为tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),则S(t)=|AP|·d=.5.(10分)(2019·某某模拟)已知抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4.(1)若直线l与抛物线E相切,求直线l的方程.(2)设Q(4,0),k>0,直线l与抛物线E交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),若存在点C,使得四边形OACB为平行四边形(O为原点),且AC⊥QC,求x2的取值X围. 世纪金榜导学号【解析】(1)根据题意,抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4,联立可得整理可得k2x2-8(k+1)x+16=0,若直线l与抛物线E相切,则k≠0且Δ=64(k+1)2-64k2=0,可得k=-,所以,所求的直线方程为y=-x-4.(2)根据题意,联立直线与抛物线的方程,有可得k2x2-8(k+1)x+16=0,因为k>0,所以Δ=64(k+1)2-64k2>0,则有x1+x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)-8=,word因为四边形OACB为平行四边形,则=+=(x1+x2,y1+y2)=,即C,因为AC⊥QC,则k AC·k QC=-1.又k QC==,又k AC=k OB==k-,所以·=-1,所以=k++2,又由k>0,则=k++2≥2+2=2(+1),当且仅当k=时等号成立,此时0<x2≤4(-1).故x2的取值X围为(0,4(-1)].。

(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习参数方程文课后训练题含解析

课后限时集训(六十)(建议用时：60分钟) A 组基础达标1．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．[解] (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．2．(2019·南昌模拟)已知直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π4＝22，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φy ＝－2＋2sin φ(φ为参数)．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；(2)若曲线C 2为曲线C 1关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线C 1、曲线C 2上的动点，点P 的坐标为(2,2)，求|AP |＋|BP |的最小值．[解] (1)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴22ρcos θ＋22ρsin θ＝22，即ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φy ＝－2＋2sin φ，∴曲线C 1的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4.(2)∵点P 在直线x ＋y ＝4上，根据对称性，|AP |的最小值与|BP |的最小值相等，又曲线C 1是以(－1，－2)为圆心，半径r ＝2的圆， ∴|AP |min ＝|PC 1|－r ＝2＋12＋2＋22－2＝3，则|AP |＋|BP |的最小值为2×3＝6.3．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.4．已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －12t ，y ＝32t(其中t 为参数，m 为常数)．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线与曲线C 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝152，求实数m 的值； (2)若m ＝1，点P 的坐标为(1,0)，求1|PA |＋1|PB |的值．[解] (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，转化为普通方程可得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －12t ，y ＝32t代入x 2＋(y －1)2＝1并整理可得t 2－(m ＋3)t ＋m 2＝0，(*)由条件可得Δ＝(m ＋3)2－4m 2＞0，解得－33＜m ＜ 3. 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝m ＋3，t 1t 2＝m 2≥0，|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝m ＋32－4m 2＝152，解得m ＝32或36. (2)当m ＝1时，(*)式变为t 2－(1＋3)t ＋1＝0，t 1＋t 2＝1＋3，t 1t 2＝1，由点P 的坐标为(1,0)知P 在直线上，可得1|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝1＋ 3. B 组能力提升1．(2019·湖南长郡中学联考)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值．[解] (1)由C 1消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝1. 同理曲线C 2的普通方程为x 264＋y 29＝1.C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ，又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|3sin θ－4cos θ＋13| ＝55|5sin(θ－φ)＋13|⎝⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43. 所以d 的最小值为855.2．(2019·安徽芜湖期末)平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝3t ＋1(t为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ1－cos 2θ. (1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知与直线l 平行的直线l ′过点M (2,0)，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|AB |.[解] (1)由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝3t ＋1得其普通方程为3x －y －3＋1＝0.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线方程得3ρcos θ－ρsin θ－3＋1＝0.由ρ＝2cos θ1－cos 2θ可得ρ2(1－cos 2θ)＝2ρcos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，故曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)∵直线l 的倾斜角为π3，∴直线l ′的倾斜角也为π3.又直线l ′过点M (2,0)，∴直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ′，y ＝32t ′(t ′为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2－4t ′－16＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t ′1，t ′2.由根与系数的关系知t ′1t ′2＝－163，t ′1＋t ′2＝43，∴|AB |＝|t ′1－t ′2|＝t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋16×43＝4133.。

高三大一轮复习讲义数学文课时作业：抛物线北师大含解析

课时作业(四十九) 抛物线A 级1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x2．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．拋物线3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切D ．不确定4．(2012·四川卷)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 55．拋物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与拋物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则拋物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x6．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有________条．7．(2012·北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．8．点P 在抛物线x 2＝4y 的图像上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|P A |最小，则相应P 的坐标为____________．9．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________.10．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程．11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标．B 级1．(2011·辽宁卷)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.742．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.3．(2012·山东潍坊二模)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．答案课时作业(四十九)A 级1．D 由题意知圆心为(1，－3)，抛物线开口向右或向下．把(1，－3)代入验证知D 正确． 2．D 把直线x ＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是拋物线的定义． 3．C 设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1，B 1分别为A ，B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切． 4．B 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋P 2＝2＋P2＝3，∴P ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2，∴y 0＝±22， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.5．B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，拋物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴拋物线C 的方程为y 2＝2x .6．解析：容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，l 与抛物线有一个公共点，或者l 在M 点上与抛物线相切．答案： 27．解析： ∵y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0，即3x 2－10x ＋3＝0. ∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3.∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.答案：38．解析：由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝⎛⎭⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|P A |最小．答案： ⎝⎛⎭⎫－1，14 9．解析：由于y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，设AB 所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＜x 2，将y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12代入y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎭⎫x －122＝2x ，∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k24＝0.∴x 1x 2＝14.而x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，∴x 1＋x 2＝1312.∴x 1＝13，x 2＝34.∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝56.答案： 5610．解析：由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c ，设抛物线方程为y 2＝4c ·x .∵拋物线过点⎝⎛⎭⎫32，6， ∴6＝4c ·32.∴c ＝1，故拋物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6，∴94a 2－6b 2＝1. 又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a 2＝1.∴a2＝14或a 2＝9(舍)． ∴b 2＝34，故双曲线方程为x 214－y 234＝1. 11．解析： (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k F A ＝43，∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.B 级1．C 过A ，B 两点，分别向拋物线的准线作垂线，垂足分别为A ′，B ′，设线段AB 的中点为P ，点P 到准线的距离为|PP ′|，如右图所示．由拋物线定义：|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|PP ′|＝3，∴|PP ′|＝32.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为d ＝|PP ′|－14＝32－14＝54.故选C.2．解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知， y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2，∴|BF |＝12－(－1)＝32. 答案： 323．解析： (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，y 1＋y 2＝8＋p 2，y 1y 2＝4，由已知AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，由韦达定理及p ＞0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， ∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ＞0得k ＜－4或k ＞0， ∴x 0＝x B ＋x C 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴b ＝2(k ＋1)2， ∴b ＞2.。

高三北师大文科数学课时作业第讲抛物线含解析

课时作业(四十八) [第48讲抛物线](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x2．动点P 到点F (0，1)的距离比到x 轴的距离大1，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．点P 在抛物线y 2＝－2x 上移动，点Q (2，－1)，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )A ．(2y ＋1)2＝4x －4B ．(2y －1)2＝－4x ＋4C ．(2y ＋1)2＝－4x ＋4D ．(2y －1)2＝4x －44．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝2，则a ＝________．能力提升5．[2012·皖南八校一联] 若直线mx －y ＋n 2－1＝0(m >0，n >0)经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则1m ＋1n的最小值为( ) A ．3＋2 2 B ．3＋ 2C.3＋222D.3＋226．[2012·泉州质检] 若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到双曲线x 2－y 2＝1的渐近线的距离为322，则p 的值为( ) A ．6 5B ．6C ．2 3D ．37．正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b ax 的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－516，0B.⎝⎛⎭⎫－25，0 C.⎝⎛⎭⎫15，0 D.⎝⎛⎭⎫－15，0 8．如图K48－1所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|( )A ．y 2＝32x B ．y 2＝9x C ．y 2＝92x D ．y 2＝3x 9．[2012·黄冈中学模拟] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在10．[2012·宜春模拟] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．11．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则抛物线方程为________．12．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到准线的距离为d 1，P 到点A (1，4)的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．13．[2012·邯郸一模] 设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，点M 在抛物线上，线段MF 的延长线与直线x ＝－14交于点N ，则1|MF |＋1|NF |的值为________． 14．(10分)一抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，又此抛物线与双曲线的一个交点为32，6，求该抛物线与双曲线的方程．15．(13分)已知圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．难点突破16．(12分)A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB .(1)求A ，B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB 过定点；(3)求弦AB 中点P 的轨迹方程；(4)求△AOB 面积的最小值．课时作业(四十八)【基础热身】1．B [解析] 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，又∵其准线方程为x ＝－p 2＝－2，∴p ＝4，所求抛物线方程为y 2＝8x .2．D [解析] 由题意知动点P 坐标到点F (0，1)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，∴点P 的轨迹是抛物线．3．C [解析] 设点P (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝2x ，y 0－1＝2y ，即得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ＋1， ∵点P 在抛物线y 2＝－2x 上，∴(2y ＋1)2＝－2(2x －2)，即(2y ＋1)2＝－4x ＋4，故选C.4．－18 [解析] 抛物线方程为x 2＝y a ，因为准线方程为y ＝2，所以p 2＝2，所以p ＝4，于是1a ＝－2p ＝－8，所以a ＝－18. 【能力提升】5．C [解析] 抛物线的焦点为(1，0)，该点在直线mx －y ＋n 2－1＝0(m >0，n >0)上，所以有2m ＋n ＝2，于是1m ＋1n ＝12⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝12⎝⎛⎭⎫n m ＋2m n＋3≥12(22＋3)．故选C. 6．B [解析] 抛物线焦点为F p 2，0，双曲线的渐近线为x ±y ＝0，根据对称性知，抛物线焦点到两条渐近线的距离相等，所以⎪⎪⎪⎪p 22＝322，解得p ＝6.故选B. 7．D [解析] 正数a ，b 的等差中项是92，所以a ＋b ＝9；又因为正数a ，b 的一个等比中项是25，所以ab ＝(25)2＝20；而a >b ，所以a ＝5，b ＝4.抛物线方程为y 2＝－45x ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－15，0，故选D. 8．D [解析] 过A ，B 分别作准线的垂线AA ′，BD ，垂足分别为A ′，D ，则|BF |＝|BD |.又2|BF |＝|BC |，所以在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，又|AF |＝3，所以|AA ′|＝3，所以|AC |＝6，|FC |＝3.所以p ＝12|FC |＝32，所以y 2＝3x . 9．D [解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5.所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而过抛物线焦点的弦的最小长度(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．10.2＋1 [解析] 由题知⎩⎨⎧p 2＝a 2＋b 2，p ＝b 2a，解得离心率为2＋1. 11．x 2＝－8y [解析] 依题意，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，根据抛物线的定义，由点P (k ，－2)到焦点的距离为4可得p 2＝4－|－2|＝2，所以p ＝4，抛物线的方程为x 2＝－8y .12．4 [解析] 由抛物线定义得P 到准线的距离d 1等于点P 到焦点F (1，0)的距离|PF |，又点A (1，4)在抛物线外部，所以当点P ，A ，F 三点共线时，d 1＋d 2取得最小值|AF |，即最小值为4.13．2 [解析] 由题意知，该表达式的值为定值．过点F 作x 轴的垂线，设该垂线与抛物线的一个交点为M ，则直线MF 与y 轴没有交点，可理解为|NF |→＋∞，则1|NF |→0；由抛物线定义易得|MF |＝12，所以1|MF |＋1|NF |＝2.也可以用直接法解． 14．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x .∵抛物线过点32，6，∴6＝4c ·32. ∴c ＝1.故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点32，6， ∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a 2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)． ∴b 2＝34.故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1. 15．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， ∴点C 的轨迹方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1）消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1. 设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)．∴S △OAB ＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，所以12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10，解得k ＝±16. 【难点突破】16．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x 0，y 0)，k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2. ∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB ＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， ∴y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0. ∵y 1≠0，y 2≠0，∴y 1y 2＝－4p 2，∴x 1x 2＝4p 2，(2)证明：∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，∴当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2. ∴k AB ＝2p y 1＋y 2， ∴直线AB ：y －y 1＝2p y 1＋y 2(x －x 1)． ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2. ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2. ∵y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2. ∴AB 过定点(2p ，0)，设M (2p ，0)，当x 1＝x 2时，知AB 方程为x ＝2p ，过(2p ，0)．由上可知，直线AB 过定点．(3)如图，设OA ：y ＝kx ，代入y 2＝2px 得x ＝0或x ＝2p k 2. ∴A 2p k 2，2p k ，同理，以－1k代替k 得B (2pk 2，－2pk )，设P (x 0，y 0)，∴⎩⎨⎧x 0＝pk 2＋1k 2，y 0＝p 1k－k ， ∵k 2＋1k 2＝1k－k 2＋2. ∴x 0p ＝y 0p2＋2，即y 20＝px 0－2p 2， ∴中点P 的轨迹方程为y 2＝px －2p 2.(4)S △AOB ＝S △AOM ＋S △BOM＝12|MO |(|y 1|＋|y 2|) ＝p (|y 1|＋|y 2|)≥2p |y 1y 2|＝4p 2.当且仅当|y 1|＝|y 2|＝2p 时等号成立．∴△AOB 的面积的最小值为4p 2.。

2020年高考数学(文科)复习课后作业第44讲抛物线

第44讲抛物线1.抛物线y2=4x的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)2.若抛物线x2=2py(p>0)的焦点在直线2x-y+3=0上,则p=()A.12B.6C.3D.323.[2018·昆明一中月考]已知点F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,O为坐标原点,若以F为圆心,|FO|为半径的圆与直线√3x-y+3=0相切,则抛物线C的方程为()A.x2=2yB.x2=4yC.x2=6yD.x2=8y4.已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(2,2),则直线l的方程为.5.[2018·河南中原名校质检]已知直线l与抛物线y2=4x交于不同的两点A,B,其中A(x1,y1),B(x2,y2),若y1y2=-36,则直线l恒过的点的坐标是.6.如图K44-1所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是上底面A1B1C1D1内一动点,PM垂直AD 于点M,图K44-1|PM|=|PB|,则点P的轨迹为()A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分7.[2018·衡水五调]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线y23-x2=1相交于M,N 两点,若△MNF为直角三角形,其中F为直角顶点,则p=()A.2√3B.√3C.3√3D.68.[2018·天津滨海新区联考]已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线的离心率为2,△ABO的面积为2√3,则抛物线的焦点坐标为()A.(12,0) B.(√22,0)C .(1,0)D .(√2,0)9.过抛物线C :y 2=4x 的焦点F ,且斜率为√3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方),l 为C 的准线,点N 在l 上,且MN ⊥l ,则M 到直线NF 的距离为 ( )A .√5B .2√2C .2√3D .3√3 10.已知抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,△ABC 的三个顶点都在抛物线上,且A (1,2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC 边所在的直线方程为 ( )A .2x-y-2=0B .2x-y-1=0C .2x+y-6=0D .2x+y-3=011.[2018·郑州模拟] 一条斜率为2的直线过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 且与抛物线交于A ,B 两点,A ,B 在y 轴上的射影分别为D ,C ,若梯形ABCD 的面积为6√5,则p= . 12.[2018·西宁一模] 已知抛物线C :y 2=6x 的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线于两点A ,B ,交抛物线的准线于点C ,若FC⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BF|= . 13.[2018·哈尔滨六中月考] 已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F (1,0),点A (x 0,2)在抛物线C 上,过焦点F 的直线l 交抛物线C 于M ,N 两点. (1)求抛物线C 的方程以及|AF|的值;(2)记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ,若MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λFN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|BM|2+|BN|2=40,求λ的值.14.[2018·抚州模拟] 已知△ABC 的直角顶点A 在y 轴上,点B (1,0),D 为斜边BC 的中点,且AD 平行于x 轴. (1)求点C 的轨迹方程; (2)设点C 的轨迹为曲线Γ,直线BC 与Γ的另一个交点为E ,以CE 为直径的圆交y 轴于M ,N ,记此圆的圆心为P ,∠MPN=α,求α的最大值.15.[2018·莆田九中月考] 已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)和抛物线C 2:x 2=2py (p>0),在C 1,C 2上),(-4,4).各取两个点,这四个点的坐标为(2,1),(-√2,0),(1,√22(1)求C1,C2的方程;(2)设P是C2上位于第一象限的点,C2在点P处的切线l与C1交于A,B两点,线段AB的中点为D,过原点O的直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点Q,证明:点Q在定直线上.。

北师大文科数学高考总复习教师用书：抛物线含答案

第6讲抛物线最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．知识梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线．(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．(2016·四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)解析抛物线y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，故y 2＝4x ，则焦点坐标为(1,0)．答案 D3．(2014·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．8解析由y 2＝x ，得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14.设A 点到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1，故选C. 答案 C4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．解析很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝12，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.答案y2＝－8x或x2＝－y5．已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．解析设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1,1]．答案[－1,1]考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)(2016·浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M 到y轴的距离是________．(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|P A|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________．解析(1)抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)．准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足x M＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M到y轴的距离为9.(2)将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．答案 (1)9 (2)(2,2)规律方法与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．【训练1】 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →(λ＞0)，则λ的值为( ) A.34 B.32 C.3 D ．3(2)动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．解析 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，－x 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±42，点A (4,42)，则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.(2)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x . 答案 (1)D (2)y 2＝4x考点二抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8y D ．x 2＝16y(2)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析 (1)∵x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2， ∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba ＝ 3.x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p 21＋(3)2＝2，解得p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .(2)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)， ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2， ∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p ＋8＝p 24＋5，解得p ＝4(负值舍去)，∴C 的焦点到准线的距离为4.答案(1)D(2)B规律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝3x(2)(2017·西安模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．解析(1)设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线l的斜率为3，故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，故p|AA1|＝|CF||AC|＝12，即p＝32，从而抛物线的方程为y2＝3x，故选C.(2)如图，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2，将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标为y＝22，所以A(2,22)，所以直线AF的方程为y＝22(x－1)，联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝22，由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，所以S △AOB ＝12×1×|y A －y B |＝322. 答案 (1)C (2)322考点三直线与抛物线的位置关系(多维探究) 命题角度一直线与抛物线的公共点(交点)问题【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故ON 的方程为y ＝pt x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点．规律方法 (1)①本题求解的关键是求点N 、H 的坐标．②第(2)问将直线MH 的方程与曲线C 联立，根据方程组的解的个数进行判断．(2)①判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.②解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．命题角度二与抛物线弦长(中点)有关的问题【例3－2】 (2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎨⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2| ＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.规律方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.【训练3】已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切． (1)解由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为 y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．[思想方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)． 2．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p . [易错防范]1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2016·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1,2)，代入曲线y ＝kx (k >0)得k ＝2，故选D.答案 D2．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2 D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2解析分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2. 答案 D3．(2017·宜春诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B. 答案 B4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2 解析∵FP→＝4FQ →， ∴|FP→|＝4|FQ →|，∴|PQ ||PF |＝34. 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 答案 C5．(2017·衡水金卷)已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为( )A ．12B ．24C ．16D ．32解析当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎨⎧x ＝4，y 2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －4)，得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32＞32，综上可知，y 21＋y 22≥32.∴y 21＋y 22的最小值为32.故选D.答案 D 二、填空题6．(2016·兰州诊断)抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析由图可知弦长|AB |＝23，三角形的高为3， ∴面积为S ＝12×23×3＝3 3.答案 3 37．(2017·安徽四校三联)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长|AB |为________．解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案88．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米．答案2 6三、解答题9．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．(1)解∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2,0)．即抛物线的焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p＝4.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则⎩⎨⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 212p，x 2＝y 222p ，∴k PQ ＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2py 1＋y 2，又∵P ，Q 关于l 对称．∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2p ， ∴y 1＋y 22＝－p ，又∵PQ 的中点一定在l 上， ∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝2－p .∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②解 ∵PQ 的中点为(2－p ，－p )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝4－2p ，即⎩⎨⎧ y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2，∴⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 1y 2＝4p 2－4p ，即关于y 的方程y 2＋2py ＋4p 2－4p ＝0，有两个不等实根．∴Δ＞0. 即(2p )2－4(4p 2－4p )＞0，解得0＜p ＜43，故所求p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p (my ＋p2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝ 12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2017·汉中模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24； ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 21y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4，又∵y 1y 2＜0，∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 答案 A12．(2016·四川卷)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22 D ．1 解析如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM→＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2等号成立．故选C.答案 C13．(2016·湖北七校联考)已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________．解析如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案655－114．(2017·南昌模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解 (1)由题意知F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2， ∴F 1F 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2，∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2→·OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0， ∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)，联立⎩⎨⎧ y ＝kx ，y 2＝4x 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ，联立⎩⎨⎧y ＝kx .x 2＝4y得N (4k,4k 2)，从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ，又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，进而S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝ 2·(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2(1＋k ＋k 2)k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1，令t ＝k ＋1k (t ≤－2)，则有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，当t ＝－2时，此时k ＝－1，S △PMN 取得最小值．即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8.。

2023届高考数学一轮复习作业抛物线北师大版

抛物线一、选择题1．(2021·衡水模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )A．y2＝4x B．y2＝36xC．y2＝4x或y2＝36x D．y2＝8x或y2＝32xC　[设P(x0，y0)，则x0＋＝10，y0＝±6，即点P的坐标为，又点P在抛物线y2＝2px上，∴2p＝36，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或p＝18，因此所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝36x，故选C．]2．(2021·泰安模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF 为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p ＝( )A．1 B． C．2 D．2B　[由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得1＝，∵p＞0，∴p＝，故选B．]3．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O 的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( )A．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OPB　[如图所示：因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P．故选B．]4．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( ) A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－yC．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36yD　[将y＝ax2化为x2＝y．当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝．当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－．∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y．]5．过抛物线y2＝4x的焦点F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点(x A＞x B)，则＝( )A． B． C．3 D．2D　[设直线方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立得2x2－5x＋2＝0，所以(2x－1)(x －2)＝0，x1＝，x2＝2．因为x A＞x B，所以x A＝2，x B＝，所以＝＝＝2．]6．(2021·江西萍乡一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线l：x＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－，则△MAF的面积为( )A． B．2 C．4 D．8C　[如图所示，设准线l与x轴交于点N．则|FN|＝2．∵直线AF的斜率为－，∴∠AFN＝60°．∴∠MAF＝60°，|AF|＝4．由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，∴△AMF是边长为4的等边三角形．∴S△AMF＝×42＝4．故选C．]二、填空题7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2，0)，则抛物线C的方程是________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝________．y2＝8x　6　[抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2，0)，可得p＝4，则抛物线C的方程是y2＝8x．由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y＝±2，则M(1，±2)，则点N的坐标为(0，±4)，所以|FN|＝＝6．]8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．2　[建立平面直角坐标系如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意可知抛物线过点(2，－2)，故4＝4p，∴p＝1，∴x2＝－2y．故当y＝－3时，x2＝6，即x＝．所以当水位降1米后，水面宽2米．]9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若| AF|＝3，则|BF|＝________．　[法一：由题意可知F(1，0)，设A(x A，y A)，B(x B，y B)，点A在第一象限，则|AF|＝x A＋1＝3，所以x A＝2，y A＝2，所以直线AB的斜率为k＝＝2．则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，x A＋x B＝，所以x B＝，所以|BF|＝＋1＝．法二：由＋＝可知＝1－＝，∴|BF|＝．]三、解答题10．如图，抛物线的顶点在原点，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|＋|CD|的值．[解]　(1)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，∵圆(x－2)2＋y2＝22的圆心恰是抛物线的焦点，∴p＝4．∴抛物线的方程为y2＝8x．(2)依题意直线AB的方程为y＝2x－4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，|AD|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10．|AB|＋|CD|＝|AD|－|CB|＝10－4＝6．11．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3．(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线．[解]　(1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋＝3，解得p＝2．∴抛物线E的方程为y2＝4x．(2)证明：∵点A(2，m)在抛物线E上，∴m2＝4×2，解得m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)，由A(2，2)，F(1，0)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)，由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或，∴B．又G(－1，0)，∴k GA＝，k GB＝－，∴k GA＋k GB＝0，∴∠AGF＝∠BGF．∴GF为∠AGB的平分线．1．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( )A．3 B．4 C．5 D．＋1A　[由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1，0)，又N(1，0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3．]2．(2021·济宁三模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足AF＝2FB，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为( )A． B． C． D．B　[由题意得抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AF＝2FB，∴|AF|＝2|BF|，∴x1＋1＝2(x2＋1)，∴x1＝2x2＋1，∵|y1|＝2|y2|，∴y＝4y，∴x1＝4x2，∴x1＝2，x2＝．∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为[(x1＋1)＋(x2＋1)]＝．故选B．]3．已知点A(m，4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C．(1)求证：直线BC的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围．[解]　(1)证明：∵点A(m，4)在抛物线上，∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则k AB＋k AC＝＋＝＝0，∴x1＋x2＝－8．∴k BC＝＝＝＝－2，∴直线BC的斜率为定值－2．(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则k PQ＝＝＝＝，∴x0＝1．∴M(1，－2＋b)．又点M在抛物线内部，∴－2＋b＞，即b＞．由得x2＋8x－4b＝0，∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b．∴|BC|＝|x3－x4|＝·＝×．又b＞，∴|BC|＞10．∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．1．(2021·潍坊模拟)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( ) A．＋B．9＋C．＋D．9＋D　[∵MA∥x轴，∴A，由题意可知AB经过抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，∴直线AB的方程为y＝－(x－1)．联立方程解得B(4，－4)，∴|AM|＝3－＝，|AB|＝＋4＋2＝，|MB|＝＝．∴△ABM的周长为9＋．故选D．]2．已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线Γ上，且FA＋FB＋FC＝0，则称该三角形为“核心三角形”．(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0，0)和(1，2)？请说明理由；(2)设“核心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4，求直线AB的方程；(3)已知△ABC是“核心三角形”，证明：点A的横坐标小于2．[解]　(1)抛物线Г：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由FA＋FB＋FC＝0，得1＝，0＝，故第三个顶点的坐标为3(1，0)－(0，0)－(1，2)＝(2，－2)，但点(2，－2)不满足抛物线的方程，即点(2，－2)不在抛物线上，所以这样的“核心三角形”不存在．(2)设直线AB的方程为y＝4x＋t，与y2＝4x联立，可得y2－y＋t＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，y1＋y2＝1，x1＋x2＝(y1＋y2－2t)＝－t，由(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3)＝(3，0)，可得x3＝t＋，y3＝－1，代入方程y2＝4x，可得11＋2t＝1，解得t＝－5，所以直线AB的方程为4x－y－5＝0．(3)证明：设直线BC的方程为x＝ny＋m，与y2＝4x联立，可得y2－4ny－4m＝0，因为直线BC与抛物线相交，故判别式Δ＝16(n2＋m)＞0，y1＋y2＝4n，所以x1＋x2＝n(y1＋y2)＋2m＝4n2＋2m，可得点A的坐标为(－4n2－2m＋3，－4n)，又因为A在抛物线上，故16n2＝－16n2－8m＋12，可得m＝－4n2＋，因为m＞－n2，所以n2＜，故A的横坐标为－4n2－2m＋3＝－4n2＋8n2＝4n2＜2．。