第2课时 正弦和余弦.ppt
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1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
栏目 导引
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．
正弦函数、余弦函数的图象和性质 PPT
x0
2
3 2 2
sin x 0 1 0 1 0
1+sin x 1 2 1 0 1
2.画出函数y cos x, x0,2 的简图.
x0
2
3 2 2
cos x 1 0 1 0 1
cos x 1 0 1 0 1
1.已知函数y 2cos x 1,作出函数的图象，并根据图象 写出函数的定义域、值域、单调区间、对称轴、对称中 心，并解不等式 2cos x 1 0.
对称中 心 周期
R
1，1
增：
2
2k
,
2
2k
,
k
Z
减：2
2k ,
3 2
2k
,
k
Z
奇函数
x k , k Z
2
k,0, k Z
2
R
1，1
增： 2k，2k ,k Z
减：2k, 2k , k Z
偶函数
x k , k Z
2
k
,
0
,
k
Z
2
1.画出函数y 1sin x, x0,2 的简图.
函数名sin 后面跟的是角，无论角 以何种形式出现，只要整体取定一 个值，就可以得一个正弦值。
根据正弦函数的图象填写下面的表格
函数
y sin x
y cos x
图象
定义域 值域 单调区 间
奇偶性 对称轴
对称中 心 周期
R
1，1
增：
2
2k
,
2
2k
,
k
Z
减：2
2k ,
3 2
2k
,
k
Z
奇函数
x k , k Z
5.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质(第2课时)课件高一上学期数学
变式训练1
求函数y=cos|x|的最小正周期.
解 因为cos(-x)=cos x,所以y=cos|x|=cos x,从而函数y=cos|x|与y=cos x的图
象一样,因此周期相同,为2π.
探究点二
正弦、余弦函数的最值(值域)
1.正、余弦函数的最值的理解
【例2】 求函数y=4-cos 3x取得最大值、最小值时的自变量x的集合,并分
π
f(x+2 )=
sin( +
即函数满足
π
)
2
+ cos( +
π
)
2
=|cos x|+|-sin x|=|cos x|+|sin x|=f(x),
π
π
f(x+2 )=f(x),因此函数的一个周期是2 ,因此选
BCD.
1 2 3 4
2.函数y=3-sin ax(a≠0,x∈R)的值域是( B )
别写出最大值、最小值.
解 ∵-1≤cos 3x≤1,
∴-1≤-cos 3x≤1.
∴3≤4-cos 3x≤5.
∴当 cos 3x=-1 时,3x=2kπ+π,即
2π
x=
3
y 取得最大值 5,相应的自变量 x
2π
的集合为{x|x=
3
当 cos 3x=1 时,3x=2kπ,即
+
π
(k∈Z)时,
3
+
π
求形如y=asin2x+bsin x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最大(小)值时,可以通
过换元,令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或
正弦定理与余弦定理PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
余弦定理、正弦定理(第二课时) 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修第二册
探究新知
下面先研究锐角三角形的情形. 证明：
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知Байду номын сангаас
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知
探究新知
证明：
由分配律，得 即 也即 所以 同理可得，
探究新知
文字语言
符号语言
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一 个定量关系.利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题， 还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
探究新知
探究1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间 的联系.
1
c
思考1：那么对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式是否仍然成立？ 猜 想：对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式仍然成立.
探究新知
思考2：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现 转化？
课堂小结
正弦定理
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等
课
已知两角和一边，解三角形
堂 小
定理应用
结
已知两边和其中一边的对角，解三角形（注意多解问题）
思想方法
数形结合 分类讨论
作业
近测高塔远看山， 量天度海只等闲； 古有九章勾股法， 今看三角正余弦。
感谢观看！
课后思考:探索和证明这个定理的方法很多，有些方法甚至比向量法更加简洁. 你还能想到其他方法证明正弦定理吗？
巩固练习
解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得
跟踪训练
题型一：已知两角及一边解三角形
5.4.2正弦函数余弦函数的性质(第2课时)课件-高一上学期数学人教A版2
当堂达标
2．函数 f(x)＝ 3sin2x－π4，x∈R 的最小正周期为(
)
π A.2
B．π
C．2π
D．4π
【解析】 因为 3sin12x＋4π－π4＝ 3sin12x－π4＋2π ＝ 3sin12x－π4，即 f(x＋4π)＝f(x)，所以函数 f(x)的最小正周期为 4π.
当堂达标
3．函数 f(x)＝sinx＋π6的一个递减区间是(
(1)cos 150°与 cos 170°；(2)sin 5π与 sin－75π. 【解】 (1)因为 90°<150°<170°<180°，函数 y＝cos x 在区间[90°，180°]
上是减函数，所以 cos 150°>cos 170°.
(2)sin－75π＝sin－2π＋35π＝sin 35π＝sinπ－25π＝sin 25π.因为 0<π5<25π<π2，
)
A.－π2，π2
B．[－π，0]
C.－23π，23π
D.π2，23π
【解析】 令 x＋π6∈π2＋2kπ，32π＋2kπ，k∈Z，
得 x∈π3＋2kπ，43π＋2kπ，k∈Z，
k＝0 时，区间π3，43π是函数 f(x)的一个单调递减区间，
而π2，23π⊆π3，43π.故选 D.
当堂达标
4．比较下列各组数的大小：
函数 y＝sin x 在区间0，π2上是增函数，
所以 sin
π 5<sin
25π，即 sin
π5<sin－75π.
课堂小结
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
函数
奇偶性
正弦函数 奇函数
余弦函数 偶函数
单调性（单调区间）
第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式_1
和的余弦
和的正弦
差的正弦
公
式
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
α+ β
和的正切
tan(α+β)=1- α β
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
)
(2)sin α+sin β=sin(α+β).(
)
(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos β+cos(α-15°)sin β.(
自主预习
一
二
三
四
二、两角和与差的正弦公式
1.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 以及诱导公式 sin
和的正弦
差的正弦
公
式
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
α+ β
和的正切
tan(α+β)=1- α β
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
)
(2)sin α+sin β=sin(α+β).(
)
(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos β+cos(α-15°)sin β.(
自主预习
一
二
三
四
二、两角和与差的正弦公式
1.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 以及诱导公式 sin
《正弦定理余弦定理》课件
THANKS
感谢观看
REPORTING
基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
正弦定理和余弦定理课件PPT
在钝角三角形 ABC 中，a＝1，b＝2，c＝t，且 C 是最大角，则 t 的取值范围是________．
[错解] ∵△ABC 是钝角三角形且 C 是最大角，∴C>90°， ∴cosC<0，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， ∴a2＋b2－c2<0，即 1＋4－t2<0. ∴t2>5.又 t>0，∴t> 5， 即 t 的取值范围为( 5，＋∞)．
sin A
3
y 4sin x 4sin( 2 x) 2 3 3
4 3 sin(x ) 2 3， 6
A ,0 B x 2 .
3
3
故 x ( , 5),sin(x ) (1 ,1］,
6 66
62
∴y的取值范围为 (4 3,6 3］.
正、余弦定理的综合应用 【名师指津】正、余弦定理的综合应用
(2)由于 a:b:c＝1: 3:2， 可设 a＝x，b＝ 3x，c＝2x. 由余弦定理的推论，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2 ＝32x×2＋43xx2×－2xx2＝ 23，故 A＝30°. 同理可求得 cosB＝12，cosC＝0，所以 B＝60°，C＝90°.
已知三角形的三边长分别为 x2＋x＋1，x2－1 和 2x＋ 1(x>1)，求这个三角形的最大角．
∵∠ADC＝45°，DC＝2x， ∴在△ADC 中，根据余弦定理，得 AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos45°， AC2＝4x2－4x＋2， 又 AC＝ 2AB， ∴AC2＝2AB2， 即 x2－4x－1＝0，解得 x＝2± 5. ∵x>0，∴x＝2＋ 5，即 BD＝2＋ 5.
名师辨误做答
第一章
解三角形
第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理 课件(53张)
a≥b 一解
a>b 一解
上表中,若A为锐角,当a<bsin A时无解;若A为钝角或直角,当a≤b时无解.
3.三角形面积
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S.
(1)S=
1 2
ah(h为BC边上的高).
1
(2)S= 2 absin C=
1
1
2 acsin B = 2 bcsin A.
1∶13.
由余弦定理得cos
C=
52
112 132 2 511
<0,所以C为钝角,即△ABC一定是钝角
三角形.
2-2 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos
A,则△ABC的形状为 ( D )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
A. 6 B. 3 C. 6
D. 3
4.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2cos Asin B=b2sin Acos B,
则△ABC的形状为 ( D )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
5.若满足条件C=60°,AB= 3 ,BC=a的△ABC有两个,那么a的取值范围是
1 2
absin
C≤
3
3 4
,又S△
ABC>0,所以S△ABC∈
0,
3
3 4
.
解法二:因为 a = b = c =2,
sin A sin B sin C
所以a=2sin A,b=2sin B.
又A+B=
2
3
5_4_2正弦函数、余弦函数性质第2课时课件-数学人教A版(2019)必修第一册
总结升华
1.正余弦函数的图象和性质
2．体会整体，熟知将复合函数转化初等函数问 题 3．注意易错问题
课后作业
教材P207练习T1-5 P213习题5.4T4,T5，T16
∴kπ<x<kπ＋π4，k∈Z.
∴y＝log1(cos 2x)的增区间为 2 （kπ，kπ＋π]k∈Z. 4
例4. 设函数 f ( x) sin(2x )( 0), y f ( x) 图象
的一条对称轴为直线
x
8
.
(1) 求 ；
(2) 求函数 y f (x) 的单调区间 及其图象的对称中心；
9
5
9
5
例3.求函数y
解：令u 2x
3
,
sin(2 x
则y
3
sin
探究应用3：单调性
) 单调递增区间.
u u 2 x 在R上是增函数， 3
由复合函数“同增异减”原则知，y sin u 是增函数.
2k
u
2k , (k Z )，
2
2
即 2k 2x 2k ,(k Z)，
，且由
π 1xπ π 22 32
得 5π x π
3
3
所以，函数
y
sin
1 2
x
π 3
x [2π,2π]
的单调递增区间是
5π 3
,
π 3
变式 3 求函数 y＝log1(cos 2x)的增区间． 2 解 由题意得 cos 2x>0 且 y＝cos 2x 递减．
∴x 只须满足：2kπ<2x<2kπ＋π2，k∈Z.
x
k
+
3
，k
Z
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)教学课件(人教版)
（小）值求解.
（3）余弦函数类似.
例4
例4 不通过求值，比较下列各组数的大小
(1)sin( )与sin( )
（1）因为 0，
正弦函数
y
sin
x在区间
,
0 上单调递增，
所以sin( ) sin( ).
分析：可利用三角函数的单调 性比较两个同名三角函数值的 大小.为此，先用诱导公式将已 知角化为同一单调区间内的角， 然后再比较大小.
,
x
[2,
2]
的单调区间吗？
解：令 z 1 x.由于 z 是 x的减函数，因此函数 y sin z 的减区间就是原函数的增区间. 2
函数
y
sin
z
的单调递减区间是
2
2k，3 2
2k
(k
Z)
由于 2k 1 x 3 2kk Z
2
2 2
得 7 k x kk Z
对于余弦函数 y cos x, x R,有 当且仅当 x 2k, k Z时，取得最大值 1； 当且仅当 x (2k 1), k Z时，取得最小值-1.
例3
例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、 最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值. (1) y cos x 1, x R; （1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R 取得最大值的 x 的集合{x | x 2k, k Z}； 使函数 y cos x 1, x R取得最小值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R取得 最小值的 x 的集合{x | x 2(k 1), k Z}. 函数 y cos x 1, x R的最大值是11 2；最小值是11 0.
（3）余弦函数类似.
例4
例4 不通过求值，比较下列各组数的大小
(1)sin( )与sin( )
（1）因为 0，
正弦函数
y
sin
x在区间
,
0 上单调递增，
所以sin( ) sin( ).
分析：可利用三角函数的单调 性比较两个同名三角函数值的 大小.为此，先用诱导公式将已 知角化为同一单调区间内的角， 然后再比较大小.
,
x
[2,
2]
的单调区间吗？
解：令 z 1 x.由于 z 是 x的减函数，因此函数 y sin z 的减区间就是原函数的增区间. 2
函数
y
sin
z
的单调递减区间是
2
2k，3 2
2k
(k
Z)
由于 2k 1 x 3 2kk Z
2
2 2
得 7 k x kk Z
对于余弦函数 y cos x, x R,有 当且仅当 x 2k, k Z时，取得最大值 1； 当且仅当 x (2k 1), k Z时，取得最小值-1.
例3
例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、 最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值. (1) y cos x 1, x R; （1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R 取得最大值的 x 的集合{x | x 2k, k Z}； 使函数 y cos x 1, x R取得最小值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R取得 最小值的 x 的集合{x | x 2(k 1), k Z}. 函数 y cos x 1, x R的最大值是11 2；最小值是11 0.
沪科版数学九年级上册23.1第2课时正弦和余弦 课件(共22张PPT)
知识点3 在Rt △ABC中，∠C＝90°，
sinA=cosB
定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第2课时 正弦和余弦
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解锐角正弦、余弦的定义．2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
理解锐角正弦、余弦的意义．用正弦Biblioteka 、余弦值表示直角三角形中两边的比.
回顾复习
什么叫锐角的正切？什么叫坡度？如何表示？ 在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，坡面的垂直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度；记作：i，即i= .
问题2：在图中，由于∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
知识点2 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
问题引入
问题1：在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
sinA=cosB
定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第2课时 正弦和余弦
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解锐角正弦、余弦的定义．2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
理解锐角正弦、余弦的意义．用正弦Biblioteka 、余弦值表示直角三角形中两边的比.
回顾复习
什么叫锐角的正切？什么叫坡度？如何表示？ 在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，坡面的垂直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度；记作：i，即i= .
问题2：在图中，由于∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
知识点2 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
问题引入
问题1：在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
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