2016-2017学年江苏省常州市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共计42分）1．（3.00分）若集合M={1，2}，P={1，3}，则M∩P等于．2．（3.00分）函数的最小正周期为．3．（3.00分）函数y=+lg（4﹣x）的定义域为．4．（3.00分）与向量共线的一个单位向量是．5．（3.00分）角β的终边和角α=﹣1035°的终边相同，则cosβ=．6．（3.00分）已知，则=．7．（3.00分）扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形的面积为．8．（3.00分）下列幂函数中：①；②y=x﹣2；③；④；其中既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是．（填相应函数的序号）．9．（3.00分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．10．（3.00分）已知函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象过定点A，若点A 也在函数f（x）=2x+b的图象上，则f（log23）=．11．（3.00分）若方程log2x=5﹣x的根x0∈（n﹣1，n），则整数n=．12．（3.00分）已知坐标平面内，，，P是直线OM上一个动点，的最小值是．13．（3.00分）对于函数，有下列说法：①f（x）的图象关于直线对称；②f（x）的图象关于点对称；③f（x）在上单调递增；④将f（x）的图象向左平移个单位，即得到函数的图象．其中正确的是．（填上所有正确说法的序号）14．（3.00分）已知函数的最大值为1，则实数a 的取值为．二、解答题（本大题共6小题，共计58分）15．（8.00分）已知，．（1）若，的夹角θ为45°，求；（2）若，求与的夹角θ．16．（8.00分）已知向量，且∥．（1）求tanα的值（2）求的值．17．（8.00分）已知．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若函数为奇函数，求θ的值．18．（10.00分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．（1）写出飞机票价格y元与旅行团人数x之间的函数关系式；（2）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．19．（12.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M，记∠MO P=α，且．（1）若sinα=，求cos∠POQ；（2）若，求α的值；（3）求△OPQ面积的最大值．20．（12.00分）若，，x∈R，p1，p2为常数，记（1）若函数f1（x）是偶函数，求p1；（2）当p1=0，p2=1时，求函数f（x）的解析式；（3）若f（x）=f1（x）对任意x∈R恒成立，求p1，p2满足的条件．2016-2017学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共计42分）1．（3.00分）若集合M={1，2}，P={1，3}，则M∩P等于{1} ．【解答】解：∵M={1，2}，P={1，3}，∴M∩P={1}．故答案为：{1}2．（3.00分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数的最小正周期为T===π．故答案为：π．3．（3.00分）函数y=+lg（4﹣x）的定义域为{x|﹣2≤x＜4} ．【解答】解：依题意得，解得﹣2≤x＜4．故函数y=+lg（4﹣x）的定义域为{x|﹣2≤x＜4}．故答案为：{x|﹣2≤x＜4}．4．（3.00分）与向量共线的一个单位向量是，或．【解答】解：与向量共线的一个单位向量==±=±．故答案为：，或．5．（3.00分）角β的终边和角α=﹣1035°的终边相同，则cosβ=．【解答】解：∵角β的终边和角α=﹣1035°的终边相同，cosβ=cos（﹣1035°+3×360°）=cos45°=．故答案为：．6．（3.00分）已知，则=．【解答】解：，则=，故答案为：．7．（3.00分）扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形的面积为．【解答】解：扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形的面积为S扇形=αr2=××22=．故答案为：．8．（3.00分）下列幂函数中：①；②y=x﹣2；③；④；其中既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是③．（填相应函数的序号）．【解答】解：：①的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．；②y=x﹣2=定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）==f（x），则函数是偶函数，在（0，+∞）上单调单调递减，不满足条件．③=，函数的定义域为（﹣∞，+∞），则f（﹣x）=f（x），则函数为偶函数，则（0，+∞）上单调递增，满足条件．；④的定义域为（﹣∞，+∞），函数为奇函数，不满足条件；故答案为：③9．（3.00分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．【解答】解：由题意结合向量的运算可得=====，又由题意可知若=λ1+λ2，故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=故答案为：10．（3.00分）已知函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象过定点A，若点A 也在函数f（x）=2x+b的图象上，则f（log23）=﹣1．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（2，0），将x=2，y=0代入y=2x+b得：22+b=0，∴b=﹣4，∴f（x）=2x﹣4，则f（log23）=﹣4=﹣1，故答案为：﹣111．（3.00分）若方程log2x=5﹣x的根x0∈（n﹣1，n），则整数n=4．【解答】解：根据题意，log2x=5﹣x⇒log2x+x﹣5=0，设f（x）=log2x+x﹣5，若方程log2x=5﹣x的根x0，则有f（x0）=log2x0+x0﹣5=0，显然f（x）是（0，+∞）上的增函数，x0是连续f（x）的零点．因为f（3）=log23+3﹣5＜0，f（4）=log24+4﹣5=1＞0，故x0∈（3，4），则n=4；故答案为：4．12．（3.00分）已知坐标平面内，，，P是直线OM上一个动点，的最小值是﹣8．【解答】解：由题意，可设=λ=（λ，2λ），则=（1﹣λ，5﹣2λ）=（7﹣λ，1﹣2λ），∴•=（1﹣λ）（7﹣λ）+（5﹣2λ）（1﹣2λ）=5λ2﹣20λ+12=5（λ﹣2）2﹣8≥﹣8，∴•的最小值﹣8，故答案为：﹣8．13．（3.00分）对于函数，有下列说法：①f（x）的图象关于直线对称；②f（x）的图象关于点对称；③f（x）在上单调递增；④将f（x）的图象向左平移个单位，即得到函数的图象．其中正确的是①②．（填上所有正确说法的序号）【解答】解：函数，对于①：当时，即f（）=2sin=2，取得最大值，∴①对；对于②：当x=时，即f（）=2sin0=0，∴②对；对于③：令，可得，∴③不对．对于④：将f（x）的图象向左平移个单位，y=2sin（+），∴④不对故答案为：①②14．（3.00分）已知函数的最大值为1，则实数a 的取值为2﹣2．【解答】解：函数=a（sinxcosx+1）+（sinx﹣cosx），令t=sinx﹣cosx=sin（x﹣），可得﹣≤t≤，t2=1﹣2sinxcosx，则设g（t）=a（1+）+t=﹣at2+t+a，若a=0，则g（t）=t，最大值为，不成立；则a≠0，由于最大值在端点处或顶点处取得，由g（﹣）=﹣a﹣+a=1，解得a=2+2，则g（t）的对称轴为t==（﹣1）∈[﹣，]，且抛物线的开口向下，应为顶点处取得最大值，则a=2+2不成立；由g（）=﹣a++a=1，解得a=2﹣2，则g（t）的对称轴为t==﹣（+1）∈[﹣，]，且抛物线的开口向上，应为t=取得最大值，则a=2﹣2成立；由g（）==1，判别式小于0，无实数解．综上可得，a=2﹣2．故答案为：2﹣2．二、解答题（本大题共6小题，共计58分）15．（8.00分）已知，．（1）若，的夹角θ为45°，求；（2）若，求与的夹角θ．【解答】解：（1）2=||2+||2﹣2||•||cos45°=2+1﹣2××1×=1．则=1，（2）∵，∴（﹣）•=•﹣||2=||•||cosθ﹣||2=cosθ﹣1=0，即cosθ=，∵0≤θ≤π，∴．16．（8.00分）已知向量，且∥．（1）求tanα的值（2）求的值．【解答】解：（1）由∥．则1×sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，∴tanα的值﹣2；（2）=﹣sin2α=﹣=﹣=﹣=∴=．17．（8.00分）已知．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若函数为奇函数，求θ的值．【解答】解：（1）．由﹣，得﹣∴函数的增区间为；（2）函数y=f（x+θ）是奇函数，即2sin（2x+2）是奇函数，则=kπ∴．∵，∴当k=0时，可得：．18．（10.00分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．（1）写出飞机票价格y元与旅行团人数x之间的函数关系式；（2）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．【解答】解：（1）依题意得，当1≤x≤35时，y=800．当35＜x≤60时，y=800﹣10（x﹣35）=﹣10x+1150；∴．…（4分）（2）设利润为Q，则．…（6分）当1≤x≤35且x∈N时，Q max=800×35﹣16000=12000，当35＜x≤60且x∈N时，，因为x∈N，所以当x=57或x=58时，Q max=17060＞12000．故当旅游团人数为57或58时，旅行社可获得最大利润为17060元．…（13分）19．（12.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M，记∠MOP=α，且．（1）若sinα=，求cos∠POQ；（2）若，求α的值；（3）求△OPQ面积的最大值．【解答】解：（1）因为：，且，所以：；所以：cos∠POQ=（2）由题意得，P（cosα，sinα），．可得：，因为：，所以：，因为：，2α+∈（﹣，），以：2α+=，可得：α=．（3）由三角函数定义，得：P（cosα，sinα），从而，所以：==，因为：，所以：当时等号成立，所以：△OPQ的面积的最大值为．20．（12.00分）若，，x∈R，p1，p2为常数，记（1）若函数f1（x）是偶函数，求p1；（2）当p1=0，p2=1时，求函数f（x）的解析式；（3）若f（x）=f1（x）对任意x∈R恒成立，求p1，p2满足的条件．【解答】解：（1）由题意得，f1（x）=f1（﹣x），即，所以|x ﹣p1|=|x+p1|，故p1=0（2）由题意得，得，3|x|＜2•3|x﹣1|⇒3|x|﹣|x﹣1|＜2⇒|x|﹣|x﹣1|＜log32；当x≤0时，﹣x﹣（1﹣x）=﹣1≤log32；；当x≥1时，x﹣（x﹣1）=1＞log32；综上，故；（3）⇔|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤log32因为|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤|（x﹣p1）﹣（x﹣p2）|=|p1﹣p2|，所以，故只需|p1﹣p2|≤log32恒成立，综上所述，f（x）=f1（x）对所有实数成立的充要条件是：|p1﹣p2|≤log32。