二维热传导方程的Galerkin边界元解法

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galerkin公式

galerkin公式Galerkin公式是应用于数学和工程领域的一种重要方法，它被广泛用于求解各种偏微分方程和边界值问题。

本文将介绍Galerkin公式的基本概念、原理和应用，并通过实例来说明其在实际问题中的作用。

Galerkin公式是一种变分方法，它基于变分原理，通过将待求解函数表示为一组已知函数的线性组合，将原方程转化为一个求解线性方程组的问题。

这些已知函数称为试验函数，通常是由问题的边界条件和物理特性决定的。

Galerkin公式的基本思想是，将待求解函数与试验函数的乘积在整个求解域上积分，并使该积分等于零。

这样，原方程就可以通过对试验函数的选择和变换，将积分方程转化为一个线性代数方程组求解的问题。

Galerkin公式的求解过程可以分为三个步骤：选择试验函数、建立积分方程和求解线性代数方程组。

首先，根据问题的边界条件和物理特性，选择一组适当的试验函数。

试验函数的选择不仅要满足边界条件，还要能够较好地近似待求解函数。

其次，在整个求解域上建立积分方程，将原方程转化为一个积分形式的方程。

最后，通过求解线性代数方程组，得到待求解函数的近似解。

Galerkin公式的应用非常广泛，特别是在求解偏微分方程和边界值问题中。

例如，在流体力学中，Galerkin方法可以用于求解Navier-Stokes方程和非线性对流扩散方程，从而研究流体的运动和传热问题。

在结构力学中，Galerkin方法可以用于求解弹性力学方程和热传导方程，从而研究结构的变形和应力分布。

在电磁学中，Galerkin方法可以用于求解麦克斯韦方程和波动方程，从而研究电磁场的分布和传播。

除了上述应用外，Galerkin公式还可以用于优化问题和变分不等式的求解。

在优化问题中，可以将目标函数和约束条件表示为试验函数的线性组合，并通过Galerkin公式求解最优解。

在变分不等式中，可以将不等式约束表示为试验函数的线性组合，并通过Galerkin公式求解不等式的解集。

gallerkin方法

gallerkin方法
Galerkin方法是一种数值分析中常用的近似解偏微分方程的方法。

它通过将原始的偏微分方程转化为一个更易处理的代数方程组来求解。

该方法的基本思想是选择一个合适的试验函数空间，并在该空间中寻找一个函数来近似原方程的解。

这个近似解可以通过使得原方程残差在试验函数空间中正交来得到，这就是所谓的Galerkin投影。

在实际应用中，Galerkin方法通常用于求解较为复杂的偏微分方程，如椭圆型、抛物型和双曲型方程。

它在有限元法、有限体积法和谱方法等数值计算技术中都有广泛的应用。

通过将偏微分方程离散化为代数方程组，Galerkin方法为工程和科学领域提供了一种有效的数值求解手段。

从数学角度来看，Galerkin方法可以被视为在一个试验函数空间中进行投影，以最小化原方程的残差。

这种投影的思想使得Galerkin方法在处理非线性、高阶以及具有复杂边界条件的偏微分方程时表现出色。

此外，Galerkin方法的收敛性和稳定性也得到了广泛的研究和证明。

总的来说，Galerkin方法是一种重要的数值分析工具，它在求解偏微分方程和其他数学建模问题中发挥着重要作用，为复杂问题的数值求解提供了一种灵活而有效的途径。

解二维LAPLACE方程DIRICHLET问题直接边界积分方程的GALERKIN..

摘要Laplace方程是最典型，最简单但应用广泛的椭圆型偏微分方程。

用边界元法解边值问题，由不同的边界归化方法可以得到不同的边界积分方程，数值求解边界积分方程也有好几种方法。

本文考虑用Green公式和基本解推导得出直接边界积分方程来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题，该直接边界积分方程是第一类Fredholm积分方程。

对二维问题，一般的带对数积分核第一类Fredholm积分方程并不总是唯一可解的，特别是对外边值问题，解在无穷远处的形态有很大的影响。

人们在用直接边界元方法进行计算时，并不刻意去考虑积分方程的可解性，但可解性的问题是不能回避的，这涉及到原问题的解与边界积分方程的解的等价性问题。

事实上，对内边值问题，第一类Fredholm直接边界积分方程的可解性条件是自然得到满足的，本文对此做了验证。

对外边值问题，考虑到二维Dirichlet 问题的解应当在无穷远处有界，故解的边界积分表达式要做修正，对积分方程的解要有约束，这样去解边界积分方程得出的解才等同于原问题的解。

一般来说，直接边界积分方程可以很方便的用配点法求解，还未见有实际用Galerkin边界元来解的报道。

本文采用Galerkin边界元方法求解直接边界积分方程，是为了验证这两种方法的效率和精度，且Galerkin法易于进行收敛性分析。

Galerkin 边界元方法是把积分方程转化为等价的边界变分方程，经用边界元离散后，通过求解线性代数方程组和计算解的离散的积分表达式求得原问题的数值解，该方法需要在边界上计算重积分。

本文推出了第一重积分的解析计算公式，对外层积分则采用高斯数值积分。

对外边值问题，第一类Fredholm积分方程的解要附加在边界上积分为零的条件，本文采用Lagrange乘子放松这个约束，求解扩展的变分方程时，可同时得出解在无穷远的值。

本文采用常单元和线性元这两种离散方式，分别用Fortran90编写了计算程序，对误差与边界元的数量的关系做了数值实验。

用双层位势求解Neumann外问题的Galerkin边界元解法

2006年3月重庆大学学报（自然科学版）Mar.2006 第29卷第3期Journai of Chongging University （NOturOi Science Edition ）Voi.29 No.3文章编号：1000-582X （2006）03-0103-04用双层位势求解Neumann 外问题的Gaierkin 边界元解法＊张守贵1，祝家麟2，董海云2（1.重庆师范大学数计学院，重庆 400047；2.重庆大学数理学院，重庆 400030）摘要：对二维Lapiace 方程的Neumann 问题采用双层位势来求解时，要出现超强奇异积分.对得出的与之等价的边界边分方程，通过引入边界旋度，经过一系列推导，得到二维情况边界旋度的具体表达式，使超强奇异性转化为弱奇异的积分.计算时采用线性单元，利用Gaierkin 边界元方法求解.在计算单元刚度矩阵时，对二重积分的第一重使用精确积分，第二重使用数值积分.数值算例验证了这种方法的有效性和实用性.关键词：边界元；双层位势；Gaierkin 方法；Lapiace 方程；Neumann 外问题中图分类号：0241.82文献标识码：A Lapiace 方程的Neumann 问题作为一类重要的椭圆边值问题，有广泛的运用背景.采用双层位势来表示解，要导至求解超强奇异型积分，可采用Gaierkin 方法求解.但实际的数值计算要遇到很大的困难.在三维情况下，Nedeiec 等人引入边界旋度，推导有完成超强奇异积分的数值计算公式［1］.二维情况下，对于几何形状特殊的问题，余德浩用与区域形状相关的Green 函数形成的自然边界方法［2］求解，并得出了一些算例.但对任意形状区域的问题，用无限空间的基本解的情况，祝家麟只给出了基本的变分公式［3］，没有具体的数值计算的过程，也未见到采用这种方法完成数值算例的报导.就二维Neumann 外问题，笔者将引进边界旋度，推导出可供实际计算的公式，找到在二维情况下消去超强奇异积分数值计算的障碍的办法，完成数值算例.1 边界积分方程及其变分形式由文献［3］知，对于二维Lapiace 方程的Neumann外边值问题：!U（x ）=0，x 。

无单元 Galerkin 方法数值求解二维瞬态热传导问题

无单元 Galerkin 方法数值求解二维瞬态热传导问题摘要：采用无单元 Galerkin 方法数值求解具有狄利克雷边界条件的二维瞬态热传导问题。

首先离散该问题的时间变量，将该问题转化为与时间无关的边值问题；然后采用罚函数法处理 Dirichlet 边界条件，得到数值离散方程组，再利用 Matlab 软件求解给出的算例，结果表明该方法得到的数值结果与解析解吻合较好，该方法具有较高的计算精度和较好的收敛性。

关键词：二维瞬态热传导问题；无单元 Galerkin 方法；罚函数法；Matlab 软件中图分类号：G210.7 文献标识码：A 文章编号：20200168685有限差分法（FDM）[1]、有限元法（FEM）[2]、边界元法（BEM）得[3]、无网格法[4]等数值方法是解决瞬态热传导问题的常用方T k1T k1法。

Burlayenko 等人[5]用梯度有限元法计算了梯度材料中的瞬Tk1vd k vd k vdy2y态温度。

Sutradhar 和 Paulino[6]提出了一种简单的边界元法，该法只考虑边界条件，适用于梯度材料中的三维非定常热传导问T k1vd k1Q vdk1vd题。

Sladek 等人[7]用无网格局部边界积分方程方法考虑梯度材料中的不稳定温度场。

无单元 Galerkin 方法是应用最为广泛的无网格方法之一。

本文借鉴文献[8]应用无单元 Galerkin 方法数值求解具有狄利克雷边界条件的二维瞬态热传导问题。

首先离散该问题的时间变量，将该问题转化为与时间无关的边值问题；然后采用罚函数法（7）接下来，根据高斯公式化简（7）式，于是得与混合边值问k1x H1 ，使得，有题（6）等价的变分问题：求T处理 Dirichlet 边界条件，得到数值离散方程组，再利用 Matlab 软件求解给出的算例，最后给出了一个数值算例来验证理论误差a T k1,v（8）T k1vdvQ k1dR k1vd vT k2d结果。

求解两点边值问题的有理插值galerkin法

求解两点边值问题的有理插值galerkin法Galerkin法，也称作分子法，是一种用于求解两点边值问题的有理插值方法。

Galerkin法可以用来解决插值方法，拟合数据的关系，和求得自变量的取值（如拟合函数的极值）。

在本文中，将会介绍Galerkin 法如何在求解两点边值问题中发挥重要作用，并说明什么情况下Galerkin法更为有效。

一、什么是两点边值问题两点边值问题（Boundary Value Problem）是指一类特定的非线性问题，通常用来描述在一个定义域内满足现实条件下数学模型的求解/拟合过程。

大致可以分为初值问题和边值问题两类，前者是解决带有初始函数的初值问题的拟合（如求解ODE），而边值问题指的是描述定义域内间断函数满足边界条件的不等式系统（如求解PDE）。

二、Galerkin法的基本原理基于Galerkin法的变分原理，首先需要对两点边值问题的求解模型进行一定的定义和代数处理。

具体步骤如下：（1）首先根据问题及定义域内数学模型，确定一系列未知函数作为待求解变量；（2）构造一个能够捕获定义域及边界条件的函数类；（3）对函数空间进行 Galerkin正交展开，用有理函数作为基函数，通过矩阵运算把边值问题转换为矩阵有关的二次模型（要求基函数的数量大于待求解的未知函数的数量）。

（4）根据所构造出的二次模型，求解出未知函数及边界条件。

三、Galerkin法与常规插值法对比Galerkin法以有理函数作为基函数构建二次模型，从而更好地捕获定义域内的特征，更有效地描述二维数据的格式关系；而常规插值法，虽然也能够解决边值问题，但是很难实现高维数据的有效拟合，无论是精准度还是效率都很难达到Galerkin法的标准。

四、总结Galerkin法是用于求解两点边值问题的有理插值方法，它在变分原理的基础上，构造一个基于有理函数的函数空间，从而捕获边界条件及局部变化信息，更有效地拟合二维数据，并有助于求解未知函数及其边界条件。

二维热传导方程的局部间断Galerkin有限元方法

摘要：讨论了局部间断Ｇａｒｉｌｋｎ有限元方法求解二维热传导方程。通过引入辅助变量将含有二阶导数的ｅ热传导方程重新写为一阶偏微分方程组，空间上用间断有限元离散得到一组常微分方程组，时间上用显式方法在在
Ｌｏａｓｏｉ０ｌｒｉｅｈｄｆｒｔｅｃｌＤｉｃｎｔｎｕｕｓＧａｅｋｎＭｔｏｏｈＴＷＯ— ＤｉｅｉｎａｅｔＥｑｔｏｍｎｓｏｌＨａｕａｉｎ
ＺＨＡＮＧＲｏｎｇ～ｐｅ，ＷＡＮＧｏｇ— ｒｇｉＲｎｏｎ
（．ｏｌｇｆＳｉｎｅ，ＬｉｏｉｇＳｉｕｉｅｓｔＦｕｈｎＬｉｏｉｇ１０，Ｐ．Ｃｉａ；１ＣｌｅｅｏｃｅｃｓａｎｎｈｈａＵｎｖｒｉｙ，ｓｕａｎｎ３１０１Ｒ．ｈｎ２ＳｈｏｆＶｃｔｎｌＴｅｈｏｏｙ，ＬｉｏｉｇＳｉｕｉｅｓｔＦｕｈｎＬｉｏｉｇ１３０，Ｐ．Ｃｈｎ）．ｃｏｌｏａｉａｃｎｌｇｏｏａｎｎｈｈａＵｎｖｒｉｙ，ｓｕａｎｎ１０１Ｒ．ｉａ
离散，终给出数值算例验证了该方法的收敛精度。最关键词：二维热传导方程；局部间断Ｇｌｋｎ方法；非结构网格ａｅｉｒ中图分类号：４．２Ｏ２１８文献标识码：Ａｄｉ１．６６ｊｉｎ１７ —６５．０２０．２ｏ：０３９／．ｓ．６２９２２１．２０３ｓ

热传导方程的间断galerkin数值解法

一、引言热传导方程是描述物质内部温度分布随时间变化的基本方程之一。

在工业、生物医学、环境等领域，热传导方程的数值解法具有重要的应用价值。

本文将介绍一种间断Galerkin 数值解法，用于求解热传导方程。

二、热传导方程热传导方程是一个偏微分方程，通常用以下形式表示：$$\frac{\partial u}{\partial t}-\nabla\cdot(k\nabla u)=f(x,t)$$其中，$u(x,t)$表示温度分布，$k$表示热传导系数，$f(x,t)$表示外部热源。

热传导方程是一个典型的抛物型方程，具有初值和边界条件。

三、间断Galerkin方法间断Galerkin方法是一种基于有限元的数值解法，适用于求解偏微分方程。

它的基本思想是将求解区域划分为若干个小区域，将每个小区域内的解表示为一个多项式函数的线性组合，通过求解多项式系数来得到整个求解区域内的解。

在间断Galerkin方法中，每个小区域内的解通常是一个低阶多项式函数。

为了保证解的连续性，相邻两个小区域之间的解需要满足一定的连续性条件。

这种方法的优点是可以处理非连续解和奇异解，适用于各种类型的偏微分方程。

四、热传导方程的间断Galerkin数值解法将热传导方程离散化后，可以得到如下形式的方程组：$$M\frac{dU}{dt}+KU=F$$其中，$M$和$K$分别表示质量矩阵和刚度矩阵，$U$表示解向量，$F$表示右端项。

在间断Galerkin方法中，将求解区域划分为若干个小区域，每个小区域内的解表示为一个低阶多项式函数的线性组合。

通过求解多项式系数，可以得到整个求解区域内的解。

在热传导方程的间断Galerkin数值解法中，每个小区域内的解通常是一个一次或二次多项式函数。

为了保证解的连续性，相邻两个小区域之间的解需要满足一定的连续性条件。

具体来说，如果相邻两个小区域的解分别表示为$U_i$和$U_{i+1}$，则需要满足以下条件：$$U_i(x_i)=U_{i+1}(x_i),\quad U_i(x_{i+1})=U_{i+1}(x_{i+1})$$其中，$x_i$和$x_{i+1}$分别表示相邻两个小区域的边界点。

带超强奇异积分的galerkin边界元法

带超强奇异积分的galerkin边界元法近年来，随着科学技术的发展，计算力学方面研究的热点不断涌现。

Galerkin边界元法作为一种非常重要的计算力学算法，用于模拟复杂物理场。

近年来，计算力学学者们不断探索和发展，以提高Galerkin边界元法的性能。

在计算力学领域，超强奇异积分近年来也得到了广泛的应用。

鉴于此，本文将尝试运用超强奇异积分的思想，开发一种高效可靠的Galerkin边界元方法，以模拟复杂物理力字函数。

Galerkin边界元法简介Galerkin边界元法是一种现代计算力学方法，用于模拟复杂物理场。

这种方法通过将原始物理力学方程式用有限元技术重新求解，实现了从物理力字函数到实际计算结果的映射。

可以这样说，Galerkin边界元算法将原始物理力学方程式重新求解，以实现从物理力字函数到实际计算结果的映射。

超强奇异积分简介超强奇异积分是一种提高计算效率的低秩处理方法，它可以有效地减少计算步骤，并且可以计算出低秩的结果。

因此，超强奇异积分可以有效提高计算效率，从而为复杂的计算力学问题提供高效可靠的计算方案。

引入超强奇异积分的Galerkin边界元法引入超强奇异积分的Galerkin边界元法的实现需要以下几个方面的考虑：1.Galerkin边界元法求解过程中引入超强奇异积分，以加快计算速度；2.用超强奇异积分计算出的低秩结果，加以修正以实现高精度；3.发新的超强奇异积分把握算法，使之能够应用于多种多样的计算力学模型；4.超强奇异积分和Galerkin边界元法相结合，不断改进，以增加计算力学模型的适用性；5.进Galerkin边界元方法，将计算精度提高到最高水平；6.用有限元技术，尽可能减少Galerkin边界元法的运算量，加快求解过程。

应用引入超强奇异积分的Galerkin边界元法，可以应用于多种复杂的计算力学模型的求解，与运用传统的Galerkin边界元法相比，能够提高求解速度，同时保证较高的解精度。

【doc】二维扩散方程边界元解法中的四重奇异积分计算

二维扩散方程边界元解法中的四重奇异积分计算2009年第5期中图分类号:0241.82文献标识码:A文章编号:1009—2552(2009)o5—0196—04二维扩散方程边界元解法中的四重奇异积分计算吴胤霖,王召刚(91550部队94分队,大连116023)摘要:对二维热传导方程的Dirichlet初边值问题,采用带时间变量的基本解,利用基于单层位势的间接边界积分方程及其等价的Galerkin变分形式求解,该方法涉及到与时空相关的四重奇异积分的计算.在采用常单元离散的情况下,推导了具体实施数值计算所需的积分公式,完成了数值实验,验证了该方法的有效性和可行性.关键词:扩散方程;Galerkin边界元法;间接边界积分方程;奇异积分Thecalculationofquadruplesingularintegralinboundaryelementmethodof2.DdiffusionequationWUYin—lin.GZhao—gang(94Unit,91550Troo~0fPLA,I)-dlliall116023,China)Abstract:Dirichletproblemoftwo—dimensionaldiffusionequationisconsidered.Byadoptingtime—dependent fundamentalsolution,indirectbounaa~yintegralequationanditsequivalentGalerkinvariati onalformulawhich basedonsimplelayerpotentialisconductedfortheequation.Themethodoomesdowntoquad ruplesingularintegralcalculationonspace—time.Onconditionthattheequationisdiscretizatedbyadoptingconstantcell,integralformulasneededbyactualizingnumericalcalculationarededuced.Finally,thenume ricalexamplesillusn'atethefeasibilityandtheefficiencyoftheproposedmethod.Keywords:diffusionequation;Galerkinboundaryelementmethod;indirectboundaryintegr alequation;singularintegral0引言扩散方程是一类重要的抛物型偏微分方程,涉及到传热,传质等传导现象,在诸如能源,机械,动力等诸多领域,都会要用到与时间相关的扩散方程来描述.由于边界元法具有降维,数据准备工作量省,精度高等优点,故采用边界元方法求解此类方程是一种可选的方法.从上世纪6o年代将边界元法应用于数值计算以来,人们对抛物型方程的边界元解法的实施主要依据直接边界元解法.Onishi,Zhu等人曾研究过采用带时间变量的基本解,利用间接边界积分方程及其等价的Galerkin变分形式求解二维扩散方程,但他们的讨论偏重于理论,未实施于数值计算.Galerkin方法是基于变分原理基础上的一种把微分方程或积分方程转化为等价的变分方程,然后离散变分方程求原方程数值解的方法.Galerkin一】96一方法比配点法更便于进行理论分析,比如解的存在唯一性,近似解的收敛性及误差估计等.由于实施Galerkin边界元解法,有求解四重奇异积分及超越函数积分的麻烦,少有实施用于数值计算的报道.针对二维扩散方程的Dirichlet初边值问题,具体实施基于单层位势的间接边界积分方程的Galerkin边界元解法.在采用常单元的情况下,推导了计算中涉及到的关于时间和空间的四重奇异积分的所有公式,并较好地处理了超越函数.最后采用FortrangO编制的程序进行了数值试验,说明方法的可行性和有效性.?收稿日期:2008—08—19作者简介:吴胤霖(1979一),男,硕士,助理工程师,研究方向为边界元方法及其在工程中的应用.1二维扩散方程的间接边界积分方程的等价变分公式考虑如下二维扩散方程的初边值问题::c△u(,f)(,)∈Q×,u(x,￡)=g(,)(,)∈/-,×,(1)(,0)=U0()∈QU(,O)=0EQ其中Q是中的单连通开区域,r=aQ是n的边界并充分光滑,Q:尺\是Q的闭包在R.中的补域,,是时间变量t的取值范围,,:0<t<T≤+∞,系数c对不同的物理方程有不同的解释.它对应的基本解是:exp(一),式中,Ⅳ(t—r)是海维赛德(Heaviside)函数,表示当t<r时恒为0.方程(1)的求解可通过格林公式归化为求解它的间接边界积分方程中的未知量q(,r),如下式:g(,￡)=I0()M(,￡;,0)d+clI(,￡;,r)q(,r)ds}dr(,t)∈rX,(2)(2)式有如下的等价变分形式,对uEL(Q),gEL2(0,;H(r)),求qEL2(O,;H—(r)),使得VPEL(0,;H(r)),满足a(q,P)=P),其中,P)=IIg(,￡)p(,t)dsdt—II{Ⅱ.()u(,t,,0)P(,t)dSdsdt(3)口(g,p)=cfr"(,;,r)g(,r)p(z,t)ds}dsdrdt(4)解的存在唯一性可以用Lax—Milgram定理证明. 把边界I1离散为Ⅳ个单元I1(i=1,2,…,J7,『),把区域Q分成个单元e(m=1,2,…,),把时间区间(0,T)等分为个时间步,At=T/K,t=Ii}△(k:1,2,…,).本文采用常单元进行计算,即假没q,P在每个边界单元和每个时间步上都是常数.变分问题的离散形式可表示为下面的式子,NK:F=,2,…,Ⅳ(5)∑/=1Go.zqj~:__I1(5)=】,i==量,二',』其中:=cU,r)dsedsdrdt(6)G=c』.』,』』uc,;,rdsdsdrdf:1,2,…,k一1(7)F=j'..rgc,cdsd一二.j.j.u.()H(,t;,0)dSdsdt(8)2积分计算首先解析计算(6)式中对时间t,r的积分,即计算, .一士唧(一)中,r:J一I①计算内层积分击唧(一)drI设a=,卜一Jr=t一=去妇If积分上限a(t)=∞'i积分下限):¨exp(-去2tda=J口(.一1)r'}(专)②计算外层积分.匝()d￡设』9=专?=』:+1.2,d:嘉j一+'di.2(一丢=(△+r2)E(r2)一△exp(一F2)所以,G渺:+r2)()一-——一197---——Atexp(一)(9)用同样的方法可以计算得到,G=z+1)A+】El()一【)一2【(_f)△t+)+【(Ii}一z一1)Ac+]()一(一z+1)△texp(一_)+2(k—1)A(一Atexp(～专)jdsed(1o)其中,(?)是指数积分函数,可以展开成如下的级数形式:Ei()=一Co—In+(一1)(11)其中,C0是欧拉常数,其近似值Co0.5772156649. 容易看出,当J=i一1,i,i+1时,(9),(1O)是奇异积分,分两种情况来处理.①当i:_『时,G瓣的奇异部分可以解析计算,不含奇异性的部分用二重高斯积分计算.事实上,因为是直线段,可以设r=I一I=Ia—Iz,那么,ddse=Z(a—f1),其中,z是的长度,则有,()tn()=j..『(△t+)(dad:重141(l:,:11垒2:::::3(12)②当i≠时,对计算中对含有奇异性的部分第一重采用解析积分,第二重采用高斯积分,而对不含奇异性的部分用二重高斯积分计算.下面是解析积分的推导.设是积分源点,积分线段是从A到的有向线段,沿线段的单位方向是,n是的外法向量.瓤亩的距离为d,云是到上任一点的向量,向量,尺和尺在m上的投影为S,S和S,II:^,II:,:√li『z+d则G的奇异项经过一重解析积分得,一198一l,A喜一n图1解析积分葸图if(△t+)ln=封+)[n一sIn/'1—2+2d(O:一O1)】+【sln一s;ln一号(s;一s)+2d一2d(:一0)J}d同理,G所有奇异项也可解析计算,而剩下的积分全部采用高斯积分计算.的计算同样可以先对时间解析积分,然后使用高斯积分.其中,u.()Ⅱ(;,0)dt=J一l-t"蠹)_(/2)】当G撇,G,全部计算出来之后,就可以建立线性代数方程组,解出所有,然后通过求得任意点在任意t时刻的函数值M(,t).3指数积分函数的处理从前面的积分计算中看到,指数积分函数Ei()在计算中多次出现,由于Ei()中含有一个无穷级数项,在实际数值计算中,无法得到它的精确值,只能求一个近似值来代替它参与运算.这个近似值的精度大小将会很大程度的影响最终结果的精度.①由其形式(11)式可知,当较小时,()收敛速度是比较快的,计算时可设定一个误差限,当通项小于误差限时可停止计算.②当较大时,Ei()的收敛速度非常慢,如果仍然采用上面的方法来处理,n值需要取得比较大, 循环的次数会大量增加,从而导致程序效率低下.有文献给出了较大时()的级数展开式:Ei():妻)事实上,(13)式是通过分部积分推导出来的.对屁():一Iedu作Ⅳ次分部积分,结果有,Ei()=一j.:d"=一lde"=≥--X一:d=一一'f:等d=…'=/1一(J7,r+1)!:0矿,一一'(一1)"?!戈它的截断项是(N+1)!ldu,与一般的级数不J一∞" 同,当比较大时,上式收敛较快,如17,=5,余差为..D一720ll<720×Jl一10当>10时,便有e<720×<10～,可见已经lU满足计算要求.4数值实验单位半径的圆域问题,具有零初始条件和如图2所示的与时间有关的边界条件,参数C=5.采用本文的方法计算出,=0和r=0.8的结果,和文献[8]中的解析解比较,结果如图3所示,可以看出,数值结果具有相当高的精度.由此可见,本文中处理四重奇异积分和超越函数的方法是可行的,有效的. 图2边界条件随时间的变化nnO0r:0数值解/+r=0.8数值解..=0.8解析解/':/002t图3解析解和数值解的对比参考文献:【1]ZhuJ.AnIIldiI哪B0ElementMethodintheSolutionoftheDiflu- sionEquation[c].BndaryElementVIIIConference,1986:707—714.[2]ShawRP.Anintegralequationapproachtodiffusien[J].Int.J.Heat MassTransfer.17.1974:693—699.[3]BrebbiaCA,WalkerS.BoundaryElementtechniquesinengineering [M].Nemaes—Butterworths,London.19~o0.[4]CostabelM.B0IntegralOperat~fortheHeatEquatien[C].In—tegraEquaiJon$andOperatorTheory,1990:498—552.[5]OnishiK.GalerkinmethodforbaIlfIdaryintegralequationsintransient heatcenduetion【C]//CABrebbia.wLWend/and.GKuhn.editors.B0urldaryElementsIX,l987:231—248.[6]AttawayDC.TheBEMforthediffusionequation:afeasibilitystudy [J]//MorinoL,PivaReds.BoundaryintegraleqllalJonmethods,theory andapplication.Rome,1990:75—81.[7]祝家麟.椭圆边值问题的边界元分析[M].北京:科学出版社, 1991.[8]c.A布瑞比亚,JCF泰勒斯,Lc诺贝尔.边界元的理论和工程应用[M].龙述尧,刘腾喜,蔡松柏,译.国防工业出版社,1988.[9]冯振兴,李正秀,唐少武.扩散方程基本解的积分处理[J].武汉大学:自然科学版,1997,43(3):289—295.责任编辑:李光辉(上接第195页)设备开通调试后,对该区域网络覆盖情况进行了现场测试,也对新开通的每个基站进行了呼叫跟踪,结果显示通话效果良好.验证了仿真系统对工程实施的有效指导.4结束语从实践上看,所设计的网络仿真软件基本满足了工程需求,对具体的工程实践有很好的指导作用.软件的设计建模切近工程实际,能准确反映网络运行情况.程序界面友好,计算迅速.在指导小灵通网络的优化工作中也能发挥良好的作用.仿真软件虽然可以满足一般工程需要,但在对通信环境的建模方面并不完善,例如没有考虑周围复杂的地理环境对天线覆盖区的影响等,根据工程实践的进一步要求,可进一步对其功能进行优化与完善.参考文献:[1]徐福新.小灵通网络维护与优化[M].北京:电子工业出版社, 2004:76—84.[2]徐福新.小灵通(PAS)个人通信接入系统[M].北京:电子工业出版社,2003:174—187.[3]孙宇彤.小灵通无线网络优化[M].北京:人民邮电出版社, 2003:100—140.[4]王宏.MA TLAB6.5及其在信号处理中的应用[M].北京:清华大学出版社,2004:159—165.[5]WilliamHTmnter,K"SamS}lanmn,等.通信系统仿真原理与无线应用[M].肖明波,等译.北京:机械工业出版社,2O06:441—443.责任编辑:么丽苹～l99一。

二维热传导方程的解法

二维热传导方程的解法热传导是指物体内部的热量由高温处向低温处自然传递的现象。

而热传导方程就是描述热传导现象的数学方程。

在物理学中，二维热传导方程是一个很重要的方程，它可以用来描述各种具有二维几何形状的物体内部的热传导性质。

本文将介绍二维热传导方程的解法。

一、二维热传导方程的建立二维热传导方程的建立需要满足两个条件：1. 假设物体是均匀的，即密度、比热和热导率在整个物体内是不变的；2. 假设物体的热量是由热传导引起的。

根据热传导定律，可以得到二维热传导方程：$${\partial u\over\partial t} =\ alpha({\partial^2u\over\partial x^2}+ {\partial^2u\over\partial y^2}) $$其中，$\alpha$为热扩散系数，$u$为物体内的温度场，$x,y$分别为物体内的两个空间坐标，$t$为时间。

二、格点法格点法是一种数学工具，它可以通过将物体划分成许多个小区域来离散化二维热传导方程，从而得到数值解。

通过将物体划分成的小区域称为格点，每个格点的温度可以根据它周围格点的温度值进行计算。

使用格点法求解二维热传导方程的基本步骤如下：1. 将物体划分成 $N\times N$ 个格点，每个格点的大小为$\Delta x\times\Delta y$；2. 将时间划分成若干个离散时间步长 $\Delta t$，并设定初值条件 $u(x,y,0)=f(x,y)$；3. 根据离散化的二维热传导方程对每个格点的温度进行更新，即$${u_{i,j}^{n+1}-u_{i,j}^n\over\Delta t} ={\alpha\over\Deltax^2}(u_{i+1,j}^n-2u_{i,j}^n+u_{i-1,j}^n) +{\alpha\over\Deltay^2}(u_{i,j+1}^n-2u_{i,j}^n+u_{i,j-1}^n) $$4. 循环迭代，重复步骤 3 直到达到约定的终止条件。

求解二维shroedinger方程的全离散galerkin谱元素方法

求解二维shroedinger方程的全离散galerkin谱元素方法二维Schrödinger方程是描述量子力学中粒子的运动状态的方程，其中包含了时间和空间两个变量。

全离散Galerkin谱元素方法是其中一种数值求解方法，它将问题的解表示为一组基函数的线性组合，并使用适当的方法来离散化时间和空间。

在全离散Galerkin谱元素方法中，空间变量通常使用Chebyshev多项式、Legendre多项式等正交多项式作为基函数来展开解。

而时间变量则使用差分方法离散化，如向前或向后差分法、中心差分法等。

首先，我们来考虑空间离散化。

假设我们在二维区域Ω上求解Schrödinger方程，该区域可以表示为Ω = [a, b] × [c, d]。

我们将Ω分成N_x个子区间，N_y个子区间，每个子区间上取M_x个基函数，M_y个基函数。

这样，我们可以将解表示为：ψ(x,y)=∑ᵢ∑ⱼαᵢⱼΦᵢ(x)Φⱼ(y)其中，Φ_i(x)和Φ_j(y)分别是x和y方向的基函数，α_iⱼ是待求解的系数。

将解的表达式代入Schrödinger方程，我们可以得到一组代数方程：∑ᵢ∑ⱼ αᵢⱼ [1/(2m)(d²/dx² + d²/dy²) + V(x, y) - E] Φᵢ(x) Φⱼ(y) = 0这是一个N_x×N_y×M_x×M_y维度的代数方程组。

我们可以通过适当的处理将其转化为一个矩阵方程：Hα=ESα其中，H是一个N_x×N_y×M_x×M_y维度的矩阵，E是待求解的能量，S是一个N_x×N_y×M_x×M_y维度的对角矩阵，α是一个N_x×N_y×M_x×M_y维度的向量。

接下来，我们来考虑时间离散化。

在时间上，我们通常使用差分方法对时间导数进行离散化。

二维热传导方程求解

二维热传导方程求解二维热传导方程是描述平面内物体温度分布随时间变化的数学模型，被广泛应用于工业制造、城市规划和环境模拟等领域。

本文将介绍二维热传导方程的求解方法及其应用。

一、二维热传导方程的基本形式二维热传导方程可以写成以下形式：∂u/∂t = α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u表示温度分布，t表示时间，x和y分别表示平面内的水平和竖直坐标，α为热传导系数。

二、二维热传导方程的求解方法为了求解二维热传导方程，需要确定初始条件和边界条件。

初始条件指在t=0时刻温度分布的初始状态，边界条件指平面内边界的温度（或热流）分布。

常见的求解方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。

这里以有限差分法为例。

有限差分法是将待解区域划分成一个个小网格，用数值方法近似代替微分方程，然后逐步迭代求解。

假设在(x_i,y_j,t_n)处的温度为u_(i,j,n)，则可以用以下式子近似代替热传导方程：u_(i,j,n+1) = u_(i,j,n) + αΔt/Δx^2(u_(i+1,j,n)+u_(i-1,j,n)-2u_(i,j,n))+ αΔt/Δy^2(u_(i,j+1,n)+u_(i,j-1,n)-2u_(i,j,n))其中，Δt为时间步长，Δx和Δy为空间步长。

通过迭代计算，即可得到平面内任意位置随时间的温度变化规律。

三、应用实例二维热传导方程的应用范围非常广泛。

在工业制造中，可以用来分析材料的热处理过程，优化生产工艺；在城市规划中，可以用来预测城市内部的热岛效应，为城市绿化提供科学依据；在环境模拟中，可以用来模拟地下水温度变化、河流水温变化等。

例如，在炼钢过程中，需要控制钢材的温度分布，以保证钢材的物理性能。

通过建立二维热传导方程模型，可以计算出钢材表面的温度分布，进而调整生产参数，达到最佳的钢材质量。

在城市规划中，针对不同的城市形态和环境条件，可以建立相应的二维热传导方程模型，预测城市内不同区域的温度分布情况，并提出合理建议。

二维热传导方程柯西问题的求解

二维热传导方程柯西问题的求解二维热传导方程是描述一个二维物体内部温度分布随时间变化的方程。

柯西问题是指在一个有界的区域上，给出初始温度分布和边界条件，求解在给定的时间内物体内部温度分布的问题。

二维热传导方程的数学表达为：∂u/∂t = a(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)其中u(x, y, t)表示物体在点(x, y)的温度，t表示时间，a是热扩散系数。

柯西问题的边界条件通常有三种情况：1.温度边界条件：在区域边界上给出物体的温度分布。

2.边界绝热条件：在区域边界上假设物体与外界没有热量的交换，即∂u/∂n = 0，其中n表示区域边界的法向量。

3.边界反射条件：在区域边界上假设物体与外界的热量交换满足反射条件，即∂u/∂n = −k(∂u/∂n)，其中k是热导率。

柯西问题的初始条件通常是给出物体在t=0时刻的温度分布。

解柯西问题的方法有多种，其中常用的有分离变量法和离散化法。

1.分离变量法：分离变量法的基本思想是将温度函数u(x, y, t)表示为两个只与变量x和y有关的函数的乘积，即u(x, y, t) = X(x) * Y(y)。

将上述表示代入二维热传导方程中，可以得到两个分离后的常微分方程。

2.离散化法：离散化法的基本思想是将物体内部的连续温度分布离散为一系列离散点的温度值，然后利用差分近似来逼近二维热传导方程。

常用的差分近似方法有有限差分法和无限差分法。

有限差分法将物体内部的连续区域离散为一个有限的网格，在网格节点上近似求解差分方程。

无限差分法则通过在整个区域上进行离散化，利用无穷级数的性质求解差分方程。

在实际求解柯西问题时，需要根据具体的边界条件和初始条件选择合适的求解方法，并通过数值计算的方式得到近似解。

通常需要使用计算机编程来实现求解过程，常用的编程语言有MATLAB和Python 等。

以上就是关于二维热传导方程柯西问题的求解的一些基本概念和方法。

在实际应用中，需要根据具体的问题和条件来选择适合的数学模型和求解方法，以获得准确的温度分布信息。

用边界单元法解二维非稳定温度场

用边界单元法解二维非稳定温度场边界单元法是一种用于求解非稳态温度场问题的数值方法。

它适用于复杂的几何形状、非均匀材料和复杂的边界条件等问题。

在边界单元法中，热传递方程被离散化为一系列的边界积分方程，然后使用数值方法求解得到温度场的解。

下面将介绍边界单元法求解二维非稳定温度场的基本过程。

二维非稳定温度场问题的热传递方程可以写成如下形式：∂T/∂t - α∇²T = Q其中，T是温度场，α是热扩散系数，Q是热源项。

此方程描述了温度场随时间的演化以及热量在空间中的传递。

为了求解这个方程，我们需要知道初始条件和边界条件。

基本步骤：1. 网格划分首先，将求解区域划分为有限数量的边界单元。

每个边界单元在边界上被定义为一个节点。

这些节点用来构成一个节点矩阵。

节点矩阵的大小取决于节点个数。

每个边界单元内部的温度用插值方法计算。

2. 边界条件的处理处理边界条件是边界单元法求解的关键。

在求解热传递方程时，需要知道温度场在边界上的值。

将边界条件插值到节点上，便可得到边界上的温度场。

常见的边界条件有Dirichlet、Neumann和Robin边界条件。

Dirichlet边界条件是指在边界上直接给出温度值，而Neumann边界条件是指在边界上给出热流通量值。

Robin边界条件则是Dirichlet和Neumann边界条件的组合，包括边界温度和热流的线性组合。

3. 组装节点矩阵和右侧向量现在可以将节点矩阵组装为一个方程组，通过组装节点矩阵和右侧向量，建立方程组。

将温度场求解的问题转化为求解线性方程组，方程组的大小和边界单元的数量有关。

通过处理边界条件，将方程组的未知数限制在内部节点上。

4. 求解线性方程组得到线性方程组之后，可以通过数值方法求解得到温度场的解。

常见的数值方法包括高斯消元法和迭代法等。

总之，边界单元法是求解温度场问题的一种可靠的数值方法。

它通过将求解区域划分为边界单元，构建节点矩阵和处理边界条件来求解温度场问题。

二维laplace方程dirichlet问题直接边界积分方程的galerkin解法

二维laplace方程dirichlet问题直接边界积分方程的galerkin解法二维Laplace方程是一个非常典型的偏微分方程，在实际工程领域中应用非常广泛。

其中，Dirichlet问题是一种典型的边界条件，在许多实际问题中常常需要使用直接边界积分方程的Galerkin解法来求解。

Galerkin方法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法，它通过将方程的解表示成一组特殊函数的线性组合，然后通过求解一组线性方程组来求解问题。

当然，在求解二维Laplace方程时，我们需要先将方程转化为边界积分方程，然后再运用Galerkin方法求解。

下面是二维Laplace方程Dirichlet问题直接边界积分方程的Galerkin解法的具体步骤：第一步，将二维Laplace方程转化为边界积分方程。

对于Dirichlet问题，我们可以通过定义边界上的势函数来将Laplace方程转化为边界积分方程。

具体来说，我们可以写出边界上的势函数u(x)：u(x) = ∫ f(y)G(x,y)ds(y)其中，f(y)是边界上的已知函数，G(x,y)是方程的格林函数，s(y)是边界上的曲面元素。

利用Green第一恒等式可以证明，该势函数u(x)满足Laplace方程，且在边界上满足给定的Dirichlet条件，即u(x) = f(x)。

第二步，选择基函数。

为了应用Galerkin方法求解问题，我们需要选择一组特殊函数作为基函数。

一般来说，我们可以选择分段线性函数、分段多项式函数或者N次样条函数等作为基函数。

第三步，确定权函数。

在Galerkin方法中，我们需要定义一个权函数作为线性组合的系数。

对于二维Laplace方程的边界积分方程，我们可以选择δ函数（Dirac函数）作为权函数，即：∫ w(x)u(x)dm(x) = ∫ w(x)∫ f(y)G(x,y)ds(y)dm(x)其中，w(x)是δ函数，m(x)是边界的度量，即曲面元素。

二维抛物型方程的广义galerkin方法

二维抛物型方程的广义galerkin方法二维抛物型方程的广义Galerkin方法引言：二维抛物型方程广义Galerkin方法是一种数值计算方法，用于求解二维抛物型偏微分方程。

在许多科学和工程领域中，二维抛物型方程是非常重要的模型，例如热传导方程、扩散方程等。

本文将介绍广义Galerkin方法的基本思想、数学原理以及求解步骤，并通过一个例子来说明其应用。

一、广义Galerkin方法的基本思想广义Galerkin方法是一种弱形式求解偏微分方程的方法，其基本思想是通过将原方程乘以一个试探函数，然后在整个计算域上进行积分，通过适当的近似和转化，将原方程转化为一组离散的代数方程。

广义Galerkin方法通过这种离散化的方式，将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，从而实现了数值求解。

二、广义Galerkin方法的数学原理1. 试探函数空间和测试函数空间的选择：广义Galerkin方法中，我们需要选择适当的试探函数空间和测试函数空间。

通常情况下，我们选择的试探函数空间和测试函数空间是具有一定光滑性质的函数空间，例如Sobolev空间。

2. 弱形式的推导：将原方程乘以一个试探函数，并在整个计算域上进行积分，得到一个弱形式的方程。

这个弱形式的方程通常是具有更好的可求解性质的。

3. 离散化：通过适当的近似和转化，将弱形式的方程转化为一组离散的代数方程。

通常情况下，我们使用一组基函数来近似试探函数和测试函数，并通过在有限元网格上进行积分，将积分方程离散化为代数方程。

三、广义Galerkin方法的求解步骤1. 确定试探函数和测试函数空间：根据问题的特点和要求，选择合适的试探函数和测试函数空间。

2. 推导弱形式：将原方程乘以试探函数，并在整个计算域上进行积分，得到弱形式的方程。

3. 离散化：选择适当的基函数，通过在有限元网格上进行积分，将弱形式的方程离散化为代数方程。

4. 求解代数方程：通过求解离散化的代数方程，得到数值解。

Laplace方程的Galerkin边界元解法

Laplace方程的Galerkin边界元解法
张洁;祝家麟;张凯
【期刊名称】《重庆大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2003(26)10
【摘要】Galerkin方法是基于变分原理基础上的一种把微分方程或积分方程转化为等价的变分方程,通过离散变分方程求原方程数值解的数值计算方法。

把Laplace方程的边值问题转化为边界积分方程后,通过与边界积分方程等价的变分形式,采用线性单元,利用Galerkin边界元方法求解。

在计算单元刚度矩阵时,对二重积分的第一重使用精确积分,第二重使用数值积分,从而有效克服了奇异积分的计算,数值算例验证了Galerkin方法误差的理论结果。

【总页数】3页(P39-41)
【关键词】Galerkin方法;Laplace方程;边界元
【作者】张洁;祝家麟;张凯
【作者单位】解放军后勤工程学院基础部;重庆大学数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.二维热传导方程的Galerkin边界元解法 [J], 吴胤霖;刘春光
2.平面定常Stokes方程的Galerkin边界元解法 [J], 向瑞银;祝家麟
3.二维Laplace方程Neumann问题直接边界积分方程的Galerkin解法 [J], 张
守贵
4.二维Laplace方程Dirichlet问题直接边界积分方程的Galerkin解法 [J], 董海云;祝家麟;张守贵
5.二维Laplace方程Dirichlet问题直接边界积分方程的Galerkin边界元解法 [J], 董海云;祝家麟
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