关于高考数学总复习基础知识名师讲义

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高中数学高考知识点名师讲义(1)--集合的概念

集合的概念一、教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．二、教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．三、教学过程：（一）主要知识： 1．集合①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。

②表示列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x ∣P(x)}.如：}1),({},1{},1{-=-=-=x y y x x y y x y x图示法：用文氏图表示题中不同的集合。

③分类：有限集、无限集、空集。

④性质确定性：A a A a ∉∈或必居其一，互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同，无序性：{1，2，3}={3，2，1}2．常用数集复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集*N （或N +）有理数集Q 3．元素与集合的关系：A a A a ∈∉或4．集合与集合的关系：①子集：若对任意A x ∈都有B x ∈[或对任意B x ∉都有A x ∉] 则A 是B 的子集。

记作：A B B A ⊇⊆或 C A C B B A ⊆⇒⊆⊆, ②真子集：若B A ⊆，且存在A x B x ∉∈00,但，则A 是B 的真子集。

记作：AB[或“B A B A ≠⊆且”] A B ，B CA C③B A A B B A =⇔⊆⊆且④空集：不含任何元素的集合，用φ表示对任何集合A 有A ⊆φ，若φ≠A 则φ A注：}{}0{}{φφφ≠≠≠a a5．子集的个数若},,{21n a a a A =，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n 个，2n -1个和2n -2个。

（二）主要方法：1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．（三）例题分析：例1．已知P={0，1}，M={x ∣x ⊆P}，则P 与M 的关系为（）M P D M P C M P B MP A ⊇⊆∉∈)()()()( [P 8变式]解：∵P={0，1} ∴M={x ∣x ⊆P}={φ，{0}，{1}，{0，1}} ∴P ∈M 应选A 例2．（2002年全国高考题）设集合},214{},,412{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（）N M A =)( (B)M N (C)M N φ=⋂N M D )( [P8变式]分析:}42{},214{},,412{},412{Z k k x x Z k k x x N Z k k x x Z k k x x M ∈+==∈+==∈+==∈+==应选B例3.已知非空集合M ⊆{1,2,3,4,5},且若a ∈M,则6-a ∈M ，求集合M 的个数[P8变式] 解：∵M ⊆{1,2,3,4,5}，且若a ∈M,则6-a ∈M∴若1∈M ，则5∈M ，反之亦然，∴1∈M 且5∈M ，或1∉M 且5∉M 同理：2∈M 且4∈M ，或2∉M 且4∉M 3∈M 且6-3∈M ，又∵M 是非空集合，∴M 个数为23-1=7例4．已知}023{},02{22≤+-=≤+-=x x x B a x x x A ，且A B ，求实数a 的取值范围。

高中数学复习讲义

高中数学复习讲义一、代数1.1 一元一次方程1.2 一元二次方程1.3 平面直角坐标系1.4 解析几何与向量1.5 指数与对数1.6 三角函数与三角恒等变换1.7 数列与数学归纳法二、几何2.1 平面与立体几何基本概念2.2 直线与角2.3 三角形与三角形的性质2.4 四边形与四边形的性质2.5 圆与圆的性质2.6 空间几何与立体几何三、概率与统计3.1 随机事件与概率的计算3.2 组合与排列3.3 抽样与统计四、数学思想方法4.1 推理与证明4.2 逻辑与谬误4.3 数学建模与解题策略五、应用题本讲义将针对高中数学涵盖的主要内容进行复习总结，旨在帮助大家全面复习数学知识，掌握解题方法和技巧，为高考做好充分准备。

一、代数1.1 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一元一次方程需要掌握方程的基本性质和求解方法。

我们将重点讲解常见的一元一次方程类型，并提供解题思路和方法。

掌握一元一次方程的求解技巧对于解决实际问题具有重要意义。

1.2 一元二次方程一元二次方程在高中数学中起着重要的作用，解一元二次方程需要掌握配方法、因式分解法以及求根公式等知识点。

我们将介绍一元二次方程的基本概念和解法，并通过大量例题帮助大家提高解题能力。

1.3 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面几何和解析几何的基础，了解坐标系的性质和坐标变换的规律对于解决几何问题至关重要。

我们将详细介绍直角坐标系的相关概念和性质，并结合实例进行讲解，帮助大家掌握平面直角坐标系的应用。

1.4 解析几何与向量解析几何是将代数与几何相结合的重要数学分支，研究空间中点、直线、平面等几何对象的解析表达和性质。

向量是解析几何中的重要工具，学习向量的表示方法和运算规律有助于解决几何问题。

我们将讲解解析几何基本概念和向量的数学性质，并通过练习题提高大家的解题能力。

1.5 指数与对数指数和对数是高中数学中重要的数学工具和运算方法，涉及到数学表达式的简化、方程的求解等。

高考数学总复习基础知识名师讲义第七章第七节双曲线(一) 理

第七节双曲线(一)知识梳理一、双曲线的定义我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为||AF 1|－|AF 2||＝2a ，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距．二、双曲线的标准方程当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，其中焦点坐标为F 1(c,0)，F 2(－c ，0)，且c 2＝a 2＋b 2；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，其中焦点坐标为F 1(0，c )，F 2(0，－c )，且c 2＝a 2＋b 2.当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式．三、双曲线的几何性质方程x 2a 2－y 2b 2＝1 y 2a 2－x 2b 2＝1图形范围 x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性关于x 轴、y 轴及原点对称关于x 轴、y 轴及原点对称顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－a )，B 2(0，a )离心率 e ＝ca (e >1) e ＝ca (e >1) 渐近线y ＝±b a xy ＝±a b xa ，b ，c的关系c 2＝a 2＋b 2c 2＝a 2＋b 2基础自测1．(2013·郑州质检)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则|PF 1|＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2×1，解得|PF 2|＝6，|PF 1|＝8，故选A. 答案：A2．(2013·北京东城区)若双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6解析：双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，因为双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的距离等于圆的半径r ，则r ＝|2×3±2×0|2＋4＝ 3.答案：A3．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是____________．答案：14＋8 24．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝__________.解析：因为F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，所以F 1(－10，0)，F 2(10，0)．由题意知△F 1PF 2为直角三角形，∴|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2|＝210.答案：2101．(2013·湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________．解析：设P 点在右支上，m ＝|PF 1|，n ＝|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝6a ，m －n ＝2a ，⇒m ＝4a ，n ＝2a ，依题意，△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得cos 30°＝16a 2＋4c 2－4a 22·8ac ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3a c ＋c a ＝32，于是可解得e ＝ca＝ 3.答案： 32．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解析： (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r .由题设知||x ＋52＋y 2－x －52＋y2＝4，化简得L 的方程为x 24－y 2＝1.(2)由已知可求得过M ，F 的直线l 方程为y ＝－2(x －5)，将其代入L 的方程得15x 2－325x ＋84＝0，解得x 1＝655，x 2＝14515，故可求得l 与L 的交点坐标分别为T 1⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255，T 2⎝⎛⎭⎪⎫14515，2515. 因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故||MT 1|－|FT 1||＝|MF |＝2，||MT 2|－|FT 2||<|MF |＝2. 若P 不在直线MF 上，在△MFP 中有||MP |－|FP ||<|MF |＝2. 故||MP |－|FP ||只在点P 位于T 1⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255时取得最大值2.,1．(2013·江门一模)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的焦距为8，则m ＝________.解析：因为在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的焦距为8，所以m ＞0，焦点在x 轴，所以a 2＝m ，b 2＝m 2＋4，所以c 2＝m 2＋m ＋4，又双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的焦距为8，所以：m 2＋m ＋4＝16，即m 2＋m －12＝0，解得m ＝3或m ＝－4(舍)．答案：32．(2013·韶关二模)设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，其中F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF 2F 1＝3，则双曲线的离心率为__________．解析：因为圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的半径r ＝a 2＋b 2＝c ，所以F 1F 2是圆的直径，所以∠F 1PF 2＝90°.依据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又因为在Rt△F 1PF 2中，tan∠PF 2F 1＝3，即|PF 1|＝3|PF 2|，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在直角三角形F 1PF 2中由(3a )2＋a 2＝(2c )2，得e ＝c 2a 2＝102. 答案：102。

高考数学复习讲义共十一章

高考数学复习讲义共十一章SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高考复习数学讲义（共十一章）一、集合与简易逻辑1.集合的元素具有无序性和互异性.2.对集合A B 、，A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；求集合的子集时是否注意到∅是任何集合的子集、∅是任何非空集合的真子集.✍3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n .22-n ，12-n4.“交的补等于补的并，即()U U U C AB C A C B =”；“并的补等于补的交，即()U U U C A B C A C B =”. 5.判断命题的真假关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ✍.8.充要条件二、函数1. 指数式、对数式，mn a =1mn m na a -=，log a N a N =log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，.01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log log log c a c b b a=，.log log m n a a n b b m =. 2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A 中的元素必有像，但第二个集合B 中的元素不一定有原像（A 中元素的像有且仅有下一个，但B 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B 的子集”.(2)函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：①1()()f a b f b a -=⇔=，1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=，但11[()][()]f f x f f x --≠. ② 函数(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+.3.单调性和奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称 .确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等. 对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==.（2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =.即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件.（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化。

高考数学总复习基础知识名师讲义第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件理(1)

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.4.会用反证法证明命题知识梳理一、命题用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句，叫命题．判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题．二、四种命题的形式原命题：若p，则q(p为命题的条件，q为命题的结论)．逆命题：若q，则p，即交换原命题的条件和结论．否命题：若綈p，则綈q，即同时否定原命题的条件和结论．逆否命题：若綈q，则綈p，即交换原命题的条件、结论之后，同时否定它们．三、四种命题的关系四、四种命题的真假的关系若两个命题互为逆否命题，则它们有________的真假性．若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性___．在四种形式的命题中真命题的个数只能为0或2或4.五、用推出符号“⇒”概括充分条件、必要条件、充要条件若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件．若p q，q⇒p，则p是q的______________________条件．若p⇒q，q⇒p，则p是q的_______________________条件．若p q，q p，则p是q的______________________条件．六、用反证法证明命题的一般步骤1．假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．2．从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．3．由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立．出现矛盾的几种常见形式有：(1)与定义、定理、公理矛盾；(2)与已知条件矛盾；(3)与假设矛盾；(4)自相矛盾．基础自测1．(2013·北京西城区模拟)命题“若a＞b，则a＋1＞b”的逆否命题是( )A．若a＋1≤b，则a＞bB．若a＋1＜b，则a＞bC．若a＋1≤b，则a≤bD．若a＋1＜b，则a＜b解析：逆否命题为“若a＋1≤b，则a≤b”．答案：C2．(2013·深圳模拟)已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由a⊥α，b⊂α，c⊂α，得a⊥b，a⊥c；反过来，由a⊥b，a⊥c不能得出a⊥α，因为直线b，c可能是平面α内的两条平行直线．综上所述，“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的充分不必要条件，选A.答案：A3．(2013·黄冈模拟)已知命题p：x2－3<0；命题q：log2x2>1，则命题p是命题q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－3<0得－3<x<3，log2x2>1得x>2或x<－ 2.∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．答案：D1．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＝3⇒A⊆B，A⊆B⇒a＝2或a＝3.因此“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．答案：A2．(2013·北京卷)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π. ∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．答案：A1．(2012·江门调研)已知命题p：“s in α＝sin β且cos α＝cos β”，命题q：“α＝β”，则命题p是命题q的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若“α＝β”，则有“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，反之若“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，则有“α＝2kπ＋β(k∈Z)”，∴p是q的必要不充分条件．故选A.答案：A2．(2013·汕尾二模)设向量a＝(1，x)，b＝(x,4)，则“x＝2”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵向量a＝(1，x)，b＝(x,4)，若x＝2，则2a＝b，∴a∥b.若a∥b，则1x＝x4，x＝±2.∴“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.答案：A。

高考数学总复习基础知识名师讲义第七章第九节抛物线(一) 文

第九节抛物线(一)1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2.理解数形结合的思想.知识梳理一、抛物线的定义平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线．注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线．二、抛物线的类型、标准方程及其几何性质(注意：表中各式的p>0)标准方程y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py图形焦点F ⎝⎛⎭⎫p2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R x ∈R ，y ≥0x ∈R ，y ≤0 对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0) 离心率e ＝1焦半径||PF ＝ p2 ＋x 1||PF ＝ p2 ＋||x 1||PF ＝ p2 ＋y 1||PF ＝ p2 ＋||y 1基础自测1．(2013·四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3B ．2C. 3D ．1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，由点到直线的距离公式得F (2,0)到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝22＝1.故选D.答案：D2．一动圆的圆心在抛物线x 2＝－8y 上，且动圆恒与直线y －2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(0，－4)C ．(2,0)D ．(0，－2)解析：由抛物线的定义知到焦点距离与到准线的距离相等，动圆必过焦点(0，－2)．答案：D3．若动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________．解析：由抛物线定义知点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，直线x ＝－2为准线的抛物线，所以p ＝4，所以其方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.答案：41．(2013·新课标全国Ⅰ卷)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 0＋2＝42，所以x 0＝32，所以y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12×2×26＝2 3.故选C.答案：C2．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求A D →·E B →的最小值．解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0. 所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故A D →·E B →＝(A F →＋F D →)·(E F →＋F B →)＝A F →·E F →＋A F →·F B →＋F D →·E F →＋F D →·F B →＝|A F →|·|F B →|＋|F D →|·|E F →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·E B →取得最小值16.1．(2013·汕头一模)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：因为y 2＝4x ，所以p ＝2，焦点坐标为(1,0)，依题意可知当P ，Q 和焦点三点共线且点P 在中间的时候，距离之和最小如图，故P 的纵坐标为－1，然后代入抛物线方程求得x ＝14.答案：⎝⎛⎭⎫14，－12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点F ()1，0的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作倾斜角为45°的直线m 交轨迹E 于点A ，B ，求△AOB 的面积．解析：(1)设P ()x ，y ，由抛物线定义知，点P 的轨迹E 为抛物线，方程为y 2＝4x .(2)m ：y ＝x －1，代入y 2＝4x ，消去x 得y 2－4y －4＝0.设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则||y 2－y 1＝42，所以S △AOB ＝12×||OF ×||y 2－y 1＝12×1×42＝2 2.。

高考数学总复习基础知识名师讲义第七章第八节双曲线(二) 理(1)

第八节双曲线(二)基础自测1．已知m >0，直线y ＝34x 是双曲线x 24－y2m 2＝1的渐近线，则m 等于( )A.32B.332C.83D.163解析：双曲线x 24－y 2m 2＝1的渐近线为x 24－y 2m 2＝0，即y ＝±m 2x ，又m >0，故直线y ＝34x 就是直线y ＝m 2x ，得34＝m 2，所以m ＝32.答案：A2．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A.32 B ．2 C.52 D ．3解析：由tan π6＝c 2b ＝33有3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝c a＝2.故选B.答案：B3．中心在原点，经过点(3,0)，离心率为53的双曲线的标准方程为__________．解析：依题意，双曲线实轴在x 轴上，且a ＝3，设其方程为x 29－y 2b 2＝1(b ＞0)，则32＋b23＝53，得b 2＝16，故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1. 答案：x 29－y 216＝14．(2013·梅州一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为________________．解析：因为a ＞b ＞0，所以渐近线y ＝b a x 的斜率小于1，因为两条渐近线的夹角为π3，所以，渐近线的倾斜角为π6，即b a ＝tan π6＝33，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴c 2＝a 2＋13a 2，所以c 2a 2＝43，所以e ＝233.答案：2331．(2013·广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则双曲线C 的方程是 ( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1解析：依题意c ＝3，e ＝32，所以a ＝2，从而a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝5，故选B.答案：B2．(2013·湖北卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等解析：双曲线C 1的离心率是e 1＝1cos θ，双曲线C 2的离心率是e 2＝sin 2θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ，故选D. 答案：D1．(2013·山东淄博上学期期末)已知双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 3解析：抛物线的焦点坐标为(3，0)，双曲线的右焦点为(c,0)，则c ＝3，渐近线为y ＝±b a x ，因为一条渐近线的斜率为2，所以ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，即c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，故选B.答案：B2．F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足|MF 1→|＝3|MF 2→|，则此双曲线的渐近线方程为________．解析：设该双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，则MF 2的斜率为－a b，所以MF 2的方程为y ＝－a b(x －c )．所以可求得交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c . 所以|MF 2→|＝b ，则|MF 1→|＝3b .在△MF 1O 中，|OM →|＝a ，|OF 1→|＝c ，cos ∠F 1OM ＝－cos∠F 2OM ＝－a c. 在△F 1OM 中，由余弦定理可知 a 2＋c 2－3b 22ac ＝－a c .又c 2＝a 2＋b 2，可得a 2＝2b 2，即b a ＝22，因此渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x。

高考数学总复习基础知识名师讲义第一章第一节集合的概念与运算理

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

高考数学总复习全套讲义

高中数学复习讲义第一章集合与简易逻辑第1课时集合的概念及运算【考点导读】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4.集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】1.集合用列举法表示．2.设集合，，则．3.已知集合，，则集合_______．4.设全集，集合，，则实数a的值为____8或2___．{0,2}【范例解析】例.已知为实数集，集合.若，或，求集合B.分析：先化简集合A，由可以得出与的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1），或.又，，可得.而或，或借助数轴可得或.【反馈演练】1．设集合，，，则=_________．2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是____8___个．3．设集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若，求实数a的值.解：（1）由题意知：，，.①当时，得，解得．②当时，得，解得．综上，．（2）①当时，得，解得；②当时，得，解得．综上，．（3）由，则．第2课命题及逻辑联结词【考点导读】1.了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1.下列语句中：①；②你是高三的学生吗？③；④．其中，不是命题的有____①②④_____．2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p，否命题可表示为，逆否命题可表示为；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．【范例解析】例1.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1）平行四边形的对边相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分；（3）设，若，则.分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设，若，则；真命题；逆命题：设，若，则；假命题；否命题：设，若或，则；假命题；逆否命题：设，若，则或；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；（3）p：方程的两实根的符号相同，q：方程的两实根的绝对值相等.分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p ：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p 或q ：方程的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；p 且q ：方程的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；非p ：方程的两实根的符号不同，真命题.点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p ，q 的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p ：每一个非负数的平方都是正数；（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p ：有的四边形没有外接圆；（5）p ：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“”的否定是“”，特称命题“”的否定是“” . 解：（1）：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；（2）：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3）：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（4）：所有四边形都有外接圆，假命题；（5）：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：【反馈演练】1．命题“若，则”的逆否命题是__________________. 2．已知命题：，则.3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____. 4．命题“若，则”的否命题为________________________．5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．（1）设，若，则或；（2）设，若，则．解：（1）逆命题：设，若或，则；真命题；否命题：设，若，则且；真命题；逆否命题：设，若且，则；真命题；（2）逆命题：设，若，则；假命题；否命题：设，若或，则；假命题；逆否命题：设，若，则或；真命题．第3 课时充分条件和必要条件若b M ∈，则a M ∉若a b ≤，则221a b≤-【考点导读】1.理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2.从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；若集合，则是的充要条件．3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．【基础练习】1.若，则是的充分条件．若，则是的必要条件．若，则是的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件．（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件．（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的___必要不充分__条件．3.若，则的一个必要不充分条件是．【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）是的___________________条件；（2）是的___________________条件；（3）是的___________________条件；（4）是或的___________________条件.分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.（3）当时，均不存在；当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件.点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.【反馈演练】1．设集合，，则“”是“”的_必要不充分条件．2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的条件．充分不必要3．已知条件，条件．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：，若是的充分不必要条件，则．若，则，即；若，则解得．综上所述，．2012高中数学复习讲义第二章函数A【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

高考数学总复习基础知识名师讲义第七章第十节抛物线(二) 理

第十节抛物线(二)基础自测1．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2.圆x 2＋y 2－6x －7＝0，可化为(x －3)2＋y 2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4.又抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，∴3＋p2＝4，解得p ＝2.故选C.答案：C2．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线的焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为( )A.94B.178 C ．5 D ．4解析：抛物线C ：x 2＝4y ，则焦点F (0,1)．直线l 为y ＝12x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝12x ＋1，得x 2－2x －4＝0.由韦达定理，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4. 由弦长公式可得，截得的线段长为1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×22－－＝5.故选C.答案：C3．(2013·东北三校第二次联考)若拋物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点和拋物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为________．解析：设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，所以36＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫10－p 2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.答案：2或184．已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________.解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x1．(2013·安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．解析：以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋y －a 2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)2．(2013·辽宁卷)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解析：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－－222p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④切线MA 、MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .1．设抛物线y 2＝4x 的准线为l ，F 为抛物线的焦点．P 为抛物线上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若△PQF 的面积与△POF 的面积之比为3∶1，则点P 坐标是________________．答案：(2，－22)或(2,22)2．(2013·江苏泰州二模)已知过点A (－4,0)的动直线l 与拋物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求拋物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解析：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，y 1＋y 2＝8＋p 2，y 1y 2＝4，由已知AC →＝4AB →，所以y 2＝4y 1，由韦达定理及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，所以拋物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋，得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ>0得k <－4或k >0，所以x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x－2k )，所以b ＝2(k ＋1)2，所以b >2.即b 的取值范围为(2，＋∞)．。

高考数学总复习基础知识名师讲义第七章第十一节轨迹方程的求法理

第十一节轨迹方程的求法知识梳理一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．二、求曲线的(轨迹)方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力．它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程．因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用．(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤．①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标M(x，y)；②列几何等式：写出适合条件的点的集合P＝{M|P(M)}，关键是根据条件列出适合条件的等式；③化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；④化简：把方程f (x ，y )＝0化成最简形式；⑤证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程．除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤⑤可以省略不写．如有特殊情况，可适当加以说明，步骤②也可省略．(2)求曲线轨迹方程应注意的问题．①要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明x ，y 的取值范围，保证轨迹的纯粹性；②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型．基础自测1．(2013·衡水中学模拟)下列说法正确的是( )A ．在△ABC 中，已知A (1,1)，B (4,1)，C (2,3)，则AB 边上的高的方程是x ＝2B ．方程y ＝x 2(x ≥0)的曲线是抛物线C ．已知平面上两定点A 、B ，动点P 满足|PA |－|PB |＝12|AB |，则P 点的轨迹是双曲线D ．第一、三象限角平分线的方程是y ＝x解析：A 选项中高线为线段，B 选项中为抛物线的一部分，C 选项中是双曲线的一支．故选D.答案：D2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，则PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x 、－y )，由PA →·PB →＝x 2，得y 2＝x ＋6，因此选C.答案：C3.已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|F 2P |，则Q 的轨迹方程是________________．解析：提示：用定义法求轨迹方程．答案：(x ＋1)2＋y 2＝161．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2 (1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是____________．解析： ①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a ＝1，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；③三角形的面积S △F 1F 2P ≤a 22，因为S △F 1F 2P ＝12|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2≤12|PF 1|·|PF 2|＝a 22.所以②③正确．答案：②③2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1，圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设动圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4，当l 的倾斜角为90°时，则与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.当l 的倾斜角不为90°时，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以设l ：y ＝k (x ＋4)，由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1(x ≠－2)并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1＝－4－627，x 2＝－4＋627，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187，综上，|AB |＝187或|AB |＝2 3.1．(2013·盐城模拟)设M 、N 为拋物线C ：y ＝x 2上的两个动点，过M 、N 分别作拋物线C 的切线l 1、l 2，与x 轴分别交于A 、B 两点，且l 1与l 2相交于点P ，若AB ＝1.(1)求点P 的轨迹方程；(2)求证：△MNP 的面积为一个定值，并求出这个定值．(1)解析：y ′＝2x ，设M (m ，m 2)，N (n ，n 2)，则依题意知，切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝2m ，k 2＝2n ，切线方程分别为y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，0，设P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋n 2，y ＝mn .①因为AB ＝1，所以|n －m |＝2，即(m ＋n )2－4mn ＝4，将①代入上式得：y ＝x 2－1，所以点P 的轨迹方程为y ＝x 2－1.(2)证明：设直线MN 的方程为y ＝kx ＋b (b >0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，y ＝x 2.消去y 得x 2－kx －b ＝0，所以m ＋n ＝k ，mn ＝－b ，②点P 到直线MN 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2－mn ＋b 1＋k2，MN ＝1＋k 2|m －n |，所以S △MNP ＝12d ·MN ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2－mn ＋b ·|m －n |＝14·(m －n )2·|m －n |＝2. 即△MNP 的面积为定值2.2.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2，1)，F 1、F 2为其左、右焦点，且△PF 1F 2的面积等于 2.(1)求椭圆E 的方程．(2)若M ，N 是直线x ＝－32上的两个动点，满足F 1M ⊥F 2N ，问：以MN 为直径的圆C 是否恒过定点？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由S △PF 1F 2＝12·2c ·1＝2， ∴c ＝ 2. ∴两个焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)．又椭圆E 过点P (2，1)，∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4，得a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1. (2)设M ，N 的坐标分别为－32，m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，n ，则F 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2，m ，F 2N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2，n . ∵F 1M →⊥F 2N →，∴F 1M →·F 2N →＝0，即94－2＋mn ＝0，mn ＝－14. 以MN 为直径的圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，m ＋n 2，半径为|m －n |2， ∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m ＋n 22＝m －n 24，即x 2＋y 2＋3x －(m ＋n )y ＋2＝0. 令y ＝0，整理得x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2，∴以MN 为直径的圆C 必过定点(－1,0)和(－2,0)．。

【金版学案】高考数学总复习基础知识名师讲义第六章第九节数学归纳法理

第九节数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理数学归纳法：对于某些与正整数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性．先证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立；然后假设当 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法．用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤： (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0＝1，n0＝2 等)时结论正确； (2)(归纳递推)假设当 n＝k(k∈N*，且 k≥n0)时结论正确，证明当 n＝k＋1 时结论也正确．由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确．用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．基础自测1．(2013·深圳月考)用数学归纳法证明“2n>n2＋1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取( )A．2B．3C．5D．6解析：当 n≤4 时，2n>n2＋1 不成立，n≥5 时，2n>n2＋1 成立，所以取 n0＝5.答案：C2．下列代数式中(其中 k∈N*)，能被 9 整除的是( )A．6＋6×7kB．2＋7k－1C．3(2＋7k)D．2(2＋7k＋1)解析：(1)当 k＝1 时，显然只有 3(2＋7k)能被 9 整除．(2)假设当 k＝n(n∈N*)命题成立，即 3(2＋7n)能被 9 整除，那么 3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36，这就说明，当 k＝n＋1 时命题也成立．故选 C.答案：C3．(2013·厦门质检)观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…11115＋15>2,1＋2＋3＋…＋31>2，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋2n－1 1>n2.111n答案：1＋2＋3＋…＋2n－1>24．在数列{an}中，a1＝13，且 Sn＝n(2n－1)an，通过计算 a2，a3，a4，猜想 an 的表达式是________．解析：a1＝13＝1×1 3，a2＝115＝3×1 5，a3＝315＝5×1 7，猜想 an＝1 2n－1 2n＋1.答案：an＝1 2n－1 2n＋11．已知 f(x)＝12x－1x.(1)若 x≥1 时，证明：f(x)≥ln x；(2)证明：1＋12＋13＋…＋1n>ln(n＋1)＋2n n＋1(n≥1)．证明：(1)设 g(x)＝f(x)－ln x＝x2－21x－ln x(x≥1)，则 g′(x)＝21x2－1x＋12＝x2－22xx2＋1＝x－1 2x22≥0(x≥1)，所以 g(x)在[1，＋∞)上单调递增，即当 x≥1 时，g(x)≥g(1)＝0，即 f(x)≥ln x.(2)(法一)由(1)有 f(x)＝12x－1x≥ln x(x≥1)，且当 x＞1 时，12x－1x＞ln x.令 x＝k＋k 1，有 ln k＋k 1＜12k＋k 1－k＋k 1＝121＋1k－1－k＋1 1，即 ln(k＋1)－ln k＜121k＋k＋1 1，k＝1,2,3，…，n. 将上述 n 个不等式依次相加，得ln(n＋1)＜12＋12＋13＋…＋1n＋21 n＋1.整理得 1＋12＋13＋…＋1n＞ln(n＋1)＋2n n＋1.(法二)用数学归纳法证明．(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝ln 2＋14＜1，不等式成立．(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k＞ln(k＋1)＋2k k＋1.那么 n＝k＋1 时，1＋12＋13＋…＋1k＋k＋1 1＞ln(k＋1)＋2k k＋1＋k＋1 1＝ln(k＋1)＋2k＋2 k＋1.由(1)有 f(x)＝12x－1x≥ln x(x≥1)．令 x＝kk＋＋21，得12kk＋＋21－kk＋＋12≥lnkk＋＋21＝ ln(k＋2)－ln(k＋1)．∴ln(k＋1)＋2k＋2 k＋1≥ln(k＋2)＋2k＋1 k＋2.∴1＋12＋13＋…＋1k＋k＋1 1＞ln(k＋2)＋2k＋1 k＋2.这就是说，当 n＝k＋1 时，不等式也成立．根据(1)，(2)，可知不等式对任何 n∈N*都成立． 2．(2012·大纲全国卷)函数 f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1 是过两点 P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标． (1)证明：2≤xn<xx＋1<3； (2)求数列{xn}的通项公式． (1)证明：因为 f(4)＝42－8－3＝5，故点 P(4,5)在函数 f(x)的图象上，故由所给出的两点 P(4,5)，Qn(xn，f(xn))可知，直线 PQn 斜率一定存在. 故有直线 PQn 的直线方程为 y－5f ＝xxnn－4－5·(x－4)．令 y＝0，可求得－5＝x2n－xn2－xn4－8·(x－4)⇔x－n＋52＝x－4⇔x＝4xxnn＋＋23.所以 xn＋1＝4xxnn＋＋23. 下面用数学归纳法证明 2≤xn<3. ①当 n＝1 时，x1＝2，满足 2≤x1<3. ②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，2≤xk<3 成立，则当 n＝k＋1 时，xk＋1＝4xxkk＋＋23＝4－xk＋5 2，由 2≤xk<3⇔xk＋2<5⇔1<xk＋5 2≤54⇔2<141≤4－xk＋5 2<3 即 2≤xk＋1<3 也成立．综上可知，2≤xn<3 对任意正整数恒成立．下面证明 xn<xn＋1：由 xn＋1－xn＝4xxnn＋＋23－xn＝4xn＋x3－ n＋x22n－2xn＝－xn－1 xn＋22＋4 ，由 2≤xn<3⇒ 0<－(xn－1)2＋4≤3，故有 xn＋1－xn>0，即 xn<xn＋1.综合①②可知，2≤xn<xn＋1<3 恒成立．(2)解析：由(1)及题意得 xn＋1＝32＋＋4xxnn.设 bn＝xn－3，则bn1＋1＝b5n＋1，bn1＋1＋14＝5b1n＋41，所以数列b1n＋14是首项为－34，公比为 5 的等比数列．因此b1n＋14＝－34·5n－1，即 bn＝－3·5n4－1＋1，所以数列{xn}的通项公式为 xn＝3－3·5n4－1＋1(n∈N*)．1．观察下表：123434567456789设第 n 行的各数之和为 Sn，则 Sn＝______________.解析：第一行，1＝12， 10第二行，2＋3＋4＝9＝32，第三行，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，第四行，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，归纳：第 n 行的各数之和 Sn＝(2n－1)2. 答案：(2n－1)22．(2013·揭阳一模改编)已知函数 f(x)＝1＋axxa(x>0，a 为常数)，数列{an}满足：a1＝12，an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)当 a＝1 时，求数列{an}的通项公式； (2)在(1)的条件下，证明对∀ n∈N*有：a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝12n n＋5 n＋2 n＋3.(1)解析：当 a＝1 时，an＋1＝f(an)＝1＋anan，两边取倒数，得an1＋1－a1n＝1，故数列a1n是1 以a1＝2为首项，1为公差的等差数列，所以a1n＝n＋1，an＝n＋1 1，n∈N*.(2)证明：(法一)由(1)知 an＝n＋1 1，故对 k＝1,2,3，…，akak＋1ak＋2＝ k＋11 k＋2k＋3 ＝121 k＋1 k＋2－1 k＋2 k＋3所以 a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝122×1 3－3×1 4＋3×1 4－4×1 5＋…＋1 n＋1 n＋2－1 n＋2n＋3＝122×1 3－1 n＋2 n＋3＝12n n＋5 n＋2 n＋3.(法二)①当 n＝1 时，等式左边＝2×13×4＝214，等式右边＝12×1× 1＋5 1＋21＋3＝214，左边＝右边，等式成立；②假设当 n＝k(k≥1)时等式成立，即 a1a2a3＋a2a3a4＋…＋akak＋1ak＋2＝12k k＋5 k＋2 k＋3，则当 n＝k＋1 时，a1a2a3＋a2a3a4＋…＋akak＋1ak＋2＋ak＋1ak＋2ak＋3＝12k k＋5 k＋2 k＋3＋k＋21 k＋3k＋4k k＋5 k＋4 ＋12k3＋9k2＋20k＋12＝12 k＋2 k＋3 k＋4 ＝12 k＋2 k＋3 k＋4k2 k＋1 ＋4 k＋1 2k＋3 ＝ 12 k＋2 k＋3 k＋4k＋1 k＋2 k＋6 ＝12 k＋2 k＋3 k＋4＝12[k＋1 k＋1＋[ 2]k[＋1k＋＋1 5]＋3].这就是说当 n＝k＋1 时，等式成立，综①②知对于∀ n∈N*有：a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝12n n＋5 n＋2 n＋3.。

高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第十二节变

第十二节变化率与导数的概念、导数的运算知识梳理一、导数的概念1．平均变化率：已知函数y ＝f (x )，如果自变量x 在x 0处有改变量Δx ，那么函数y 相应地有改变量Δy ＝________________，比值ΔyΔx就叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．2．函数在x ＝x 0处导数的定义：一般地，设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0的附近改变量为Δx 时，函数值的改变量为______________，如果Δx 趋近于0时，平均变化率__________________趋近于________________，即____________＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝m ，这个常数m 叫做函数f (x )在点x 0处的________．函数f (x )在点x 0处的瞬时变化率又称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作________或__________，即______________________．如果函数y ＝f (x )在x 0处有导数(即导数存在)，则说函数f (x )在x 0处可导．如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则说函数f (x )在区间(a ，b )内可导．3．导函数的定义：ΔyΔx表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个确1．导数概念及其几何意义． (1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何意义． 2．导数的运算．(1)能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12，y ＝x 的导数； (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．定的数值，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx.当x 在区间(a ，b )内变化时，f ′(x )便是x 的________，我们称它为______________(简称导数)．y ＝f (x )导函数有时记作y ′，即y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx.二、导数的几何意义及物理意义导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处导数的几何意义就是_________________．相应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．导数的物理意义：位移函数s ＝s (t )在t 0处的导数s ′(t 0)是________________，即v ＝s ′(t 0)．速度函数v ＝v (t )在t 0处的导数v ′(t 0)是______________________，即a ＝v ′(t 0)．三、导数的运算1．几种常见函数(基本初等函数)的导数：c ′＝______(c 为常数)；(x m )′＝__________(m ∈N )；⎝⎛⎭⎫1x ′＝________；(x )′＝______；(sin x )′＝________ ；(cos x )′＝________；(log a x )′＝________；(ln x )′＝__________；(a x )′＝________；(e x )′＝________.2．导数四则运算法则．(1)和、差的导数：[u (x )±v (x )]′＝__________________ (口诀：和与差的导数等于导数的和与差)；(2)积的导数： [u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)，若c 为常数，则(cu (x ))′＝cu ′(x )；(3)商的导数：⎝⎛⎭⎫uv ′＝_________________(v ≠0)(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)．一、1.f (x 0＋Δx )－f (x 0) 2.Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx一个常数m li m Δx →0 ΔyΔx 瞬时变化率 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0f ′(x 0) li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝li m x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 03.一个函数 f (x )在(a ，b )的导函数二、曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率函数s ＝s (t )在时刻t 0时的瞬时速度函数v ＝v (t )在时刻t 0时的瞬时加速度三、1.0 mxm －1－1x212x cos x －sin x1x ln a 1xa x ln a e x2.(1)u ′(x )±v ′(x ) (3)u ′v －u v ′v2基础自测1．(2012·深圳二模)曲线y ＝⎝⎛⎭⎫12x在x ＝0点处的切线方程是( ) A ．x ＋y ln 2－ln 2＝0 B ．x ln 2＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x ＋y －1＝0解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12，所以曲线在x ＝0点处的切线斜率为k ＝ln 12＝－ln 2，切点为(0,1)，所以切线方程为y －1＝－x ln 2，即x ln 2＋y －1＝0.故选B.答案：B2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：y ′＝ x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：B3．(2012·上海闸北区模拟)如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f [f (0)]＝________，lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝______(用数字作答)．解析： f (0)＝4，f (4)＝2，由导数的几何意义知， lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝－2. 答案：2 －24．已知函数f (x )＝10－4x ＋3x 2，且f ′(a )＝2，则a ＝______.解析：f ′(x )＝－4＋6x ，所以f ′(a )＝－4＋6a ＝2，得a ＝1. 答案：11．在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )A ．(－2，－9)B ．(0，－5)C ．(2，－9)D ．(1，－6)解析：令抛物线上横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的点为A (－4，11－4a )，B (2,2a －1)，则k AB＝a －2，y ′＝2x ＋a ＝a －2，所以x ＝－1.故切点为(－1，－4－a )，切线方程为(a －2)x －y－6＝0，该直线又和圆相切，则d ＝6(a －2)2＋1＝65，解得a ＝4或a ＝0(舍去)，则抛物线为y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9，顶点坐标为(－2，－9)．故选A.答案：A2. (2013·广东卷)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.解析：求导得y ′＝2a －1x ，依题意2a －1＝0，所以a ＝12.答案：121．( 2012·汕头市教学质量测评)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A ．1B.12C ．－12D ．－1解析：y ′＝2ax ，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1.故选A. 答案：A2．(2013·惠州一模)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：设点P 的横坐标为x 0，∵y ＝x 2＋2x ＋3，∴y ′|x ＝x 0 ＝2x 0＋2，利用导数的几何意义得2x 0＋2＝tan α(α为点P 处切线的倾斜角)，又∵α∈⎣⎡⎦⎤0，π4，∴0≤2x 0＋2≤1，∴x 0∈⎣⎡⎦⎤－1，－12，故选A. 答案：A。

高考数学总复习基础知识名师讲义第六章第四节基本

第四节基本不等式：ab≤a＋b2(a，b∈R＋)1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理一、算术平均数与几何平均数的概念若a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数是a ＋b2，几何平均数是ab .二、常用的重要不等式和基本不等式1．若a ∈R ，则a 2≥0，||a ≥0(当且仅当a ＝0时取等号)． 2．若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 3．若a ，b ∈R ＋，则a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 4．若a ，b ∈R ＋，则a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．三、均值不等式(基本不等式)两个正数的均值不等式：若a ，b ∈R ＋，则a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)．变式： ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ＋)．四、最值定理设x >0，y >0，由x ＋y ≥2xy ，有：(1)若积xy ＝P (定值)，则和x ＋y 最小值为2P . (2)若和x ＋y ＝S (定值)，则积xy 最大值为⎝⎛⎭⎫S 22. 即积定和最小，和定积最大．运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”．五、比较法的两种形式一是作差，二是作商．基础自测1．(2012·深圳松岗中学模拟)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝n 处有最小值，则n ＝( )A ．1＋2B ．1＋ 3C ．4D ．3解析：f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x －2＝1，x ＝3时，f (x )有最小值．故选D.答案：D2．(2013·广州二模)已知0＜a ＜1，0＜x ≤y ＜1，且log a x ·log a y ＝1，那么xy 的取值范围为( )A ．(0，a 2]B ．(0，a ]C ．(0，1a ]D ．(01a2]解析：因为0＜a ＜1,0＜x ≤y ＜1，所以log a x ＞0，log a y ＞0，所以log a x ＋log a y ＝log a (xy )≥2log a x ·log a y ＝2，当且仅当log a x ＝log ay ＝1时取等号．所以0＜xy ≤a 2.故选A.答案：A3．(2012·合肥重点中学联考)若直线2ax －by ＋2＝0(a ，b >0)始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y＋1＝0的周长，则1a ＋1b的最小值是________．答案：44．当x >2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为x ＋1x －2≥a 恒成立，所以a 必须小于或等于x ＋1x －2的最小值．因为x >2，所以x －2>0.所以x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4.所以a ≤4. 答案：(－∞，4]1．(2013·福建卷)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：因为1＝2x ＋2y ≥22x ×2y ，即2x ＋y ≤2－2，又因为2x ＋y 是增函数，所以x ＋y ≤－2，当且仅当2x ＝2y ，即x ＝y 时取等号．答案：D2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x8×x ×1x＝800x ＋x 8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8(x ＞0)，即x ＝80时，取得最小值．故选B.答案：B1．(2012·高州三中模拟)已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．5解析：1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ，ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，表达式取得最小值为4.故选C.答案：C2．(2013·东莞二模)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，则2x ＋3y 的最小值为________．解析：由题意可得，2x ＋3y ＝(2x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝3y x ＋18x y＋29≥23y x ·18xy＋29＝29＋66，当且仅当3y x ＝18x y ，结合1x ＋9y ＝1，解得x ＝2＋362，y ＝6＋9时取等号，故2x ＋3y 的最小值为29＋6 6.答案：29＋6 6。

高考数学总复习基础知识名师讲义第三章第三节两角和与差及二倍角三角函数公式理

第三节两角和与差及二倍角三角函数公式1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．知识梳理一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝________________(简记为S α±β)； cos(α±β)＝________________(简记为C α±β)； tan(α±β)＝________________(简记为T α±β)．答案：sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β二、二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin 2α＝________(简记为S 2α)；cos 2α＝________________(简记为C 2α)； tan 2α＝________(简记为T 2α)．答案：2sin αcos α cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α2tan α1－tan 2α三、二倍角余弦公式的变式1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. 四、辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin ()x ＋φ其中φ角所在的象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝b a确定．基础自测1．已知sin θ＝45，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．－45 D.2425解析：由题意知cos θ＜0，又sin θ＝45，∴cos θ＝－35，故sin 2θ＝2 sin θcos θ＝－2425.答案：A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝35，则sin 2θ的值为( )A ．－1925B ．－725C ．－1625 D.725解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝35得sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝35，即cos θ＋sin θ＝325，平方得1＋2sin θcos θ＝1825，∴sin 2θ＝－725.故选B.答案：B3．若cos α＝12，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α2的值是________________．解析：sin 2α2＝1－cos α2＝14，又α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0， ∴sin α2＝－12.答案：－124．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.解析：∵tan(π＋2α)＝－43，∴tan 2α＝－43，由二倍角公式得2tan α1－tan 2α＝－43，又α为第二象限角，∴tan α＝－12.答案：－121．(2012·山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74D.34解析：∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos 2θ<0.∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，∴sin 2θ＝916，sin θ＝34.故选D.答案：D2．(2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43解析：由(sin α＋2cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022可得＝sin 2α＋4cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝104，整理得3 tan 2α－8 tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 答案：C1．(2013·韶关二模)已知f (x )＝3cos 2x ＋2 sin x cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6( )A. 3 B ．－ 3 C.32 D ．－32解析：函数f (x )＝2sin x cos x ＋3cos 2x＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×13π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝ 3.故选A. 答案：A2．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos α＝________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，所以sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α＝－435，化简得32sin α＋32cos α＝－435，32sin α＋12cos α＝－45，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 因为－π2＜α＜0，所以－π3＜α＋π6＜π6.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 因此cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝33－410.答案：33－410。

高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第一节函数及其表示理

【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第一节函数及其表示第二章函数、导数及其应用近三年广东高考中对本章考点考查的情况本章内容主要包括：函数的概念与表示，函数的基本性质，基本初等函数，函数的应用，导数的概念、运算及其应用．1．函数的概念、表示和函数的基本性质(单调性与最值、奇偶性、周期性)：(1)判断两函数是否为同一函数，确定定义域与对应关系即可．(2)用换元法求函数的解析式时，注意换元前后的等价性．(3)单调性与最值是函数的局部性质，凸显用导数研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围．(4)奇偶性是函数的整体性质，奇偶性、周期性的综合运用灵活多变．2．基本初等函数：以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数．3．函数的应用主要包含：函数与方程、函数模型及应用两部分内容．(1)对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的取值范围，是高考中常见的题目类型．(2)函数的实际应用问题，多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，综合性较强．4．导数的概念、运算及应用．(1)导数的概念是推导基本初等函数导数公式和四则运算法则的基础．(2)利用导数求曲线的切线方程时，一定要分清已知点是否在曲线上．另外，曲线的切线和平面几何中圆的切线概念易混淆，曲线在点P(x0，f(x0))处的切线是曲线另一点Q无限接近点P时的极限位置，它与曲线可能还有其他公共点．(3)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，还要注意公式不要用混．(4)导数的应用包括函数的单调性、极值、最值等方面，单调性是关键，一个函数的递增区间或递减区间有多个时，不能盲目地将它们取并集，特别是函数的定义域不能忽略．在选择题和填空题中，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等)；在解答题中，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考查学生的分类讨论、转化与化归等思想．预测高考对本部分内容的考查，仍会以小题和大题的形式出现，小题主要考查基本初等函数的图象、性质，几种常见函数模型在实际问题中的应用以及函数零点，函数与方程的关系等，大题主要以函数为背景，以导数为工具，考查应用导数研究函数的单调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．复习本章要重点解决好五个问题：1．准确、深刻地理解函数的有关概念．概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学数学的始终．数、式、方程、不等式、导数、数列等都是以函数为中心的代数知识．近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线．2．揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系．函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容．3．把握数形结合的特征和方法．函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，图象有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性．因此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换．4．认识函数思想的实质，强化应用意识．函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，使问题得以解决．纵观近几年高考题，考查函数思想方法，尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想的实质，强化应用意识．5．运用好导数这一锐利武器．应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线．复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导，应立足基础知识和基本方法的复习，以熟练技能、强化应用为目标．学会优先考虑利用导数求函数的极大(小)值、最大(小)值或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化．导数与解析几何或函数图象的综合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意．第一节函数及其表示1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．知识梳理一、函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个________设A、B是两个________对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个数x，在集合B中有______确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个元素x，在集合B中有________的元素y与之对应名称称________为从集合A到集合B的一个函数称对应________为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射1．函数的表示方法．表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种．(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系．(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．2．函数解析式的常用求法．(1)配凑法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)赋值法．三、函数定义域的确定1．定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循“定义域优先”的原则．确定函数的定义域的原则是：(1)当函数y＝f(x)是用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；(2)当函数y＝f(x)是用图象给出时，函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数x的集合；(3)当函数y＝f(x)是用解析式给出时，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；(4)当y＝f(x)是由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．2．由解析式表示的函数的定义域的求法．(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；(2)若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；(3)若f(x)是二次(偶次)根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；(4)若f(x)是对数式，则函数的定义域是使真数的式子大于0且底数大于0并不等于1的实数集合；(5)若f(x)是指数式，则零指数幂的底数不等于零；(6)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(7)含参问题的定义域要分类讨论．四、分段函数1．分段函数的定义：在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，叫做分段函数．它是一类较特殊的函数．2．分段函数是一个函数，而不是几个函数．若函数为分段函数，则分别求出每一段上的解析式，再合在一起．3．因分段函数在其定义域内的不同子集上，其对应法则不同而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在的子集，而代入相应的解析式去求函数值，不要代错解析式．4．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．基础自测1．下列图形中不能作为函数图象的是( )解析：根据函数定义，定义域内任何一个x 取值，都有且只有唯一的y ＝f (x )与之对应，故选D.答案：D2．设A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，则f ：A →B 不是函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝14xD ．f ：x →y ＝16x解析：因为x ∈A ，y ＝12x ∈[0,3]B .由函数定义可知，对于6∈A ，在集合B 中找不到对应元素3，故f ：x →y ＝12x 不是函数．故选A.答案：A3．(2012·江西卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤1，3x，x ＞1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝___________________________.解析：f ⎝⎛⎭⎫12＝14＋2＝94，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝394＝43. 答案：434. (2013·东莞城南中学月考)若函数f (x )＝1－log 2x ，则f (x )的定义域是__________．解析：1－log 2x ≥0，所以log 2x ≤1，得0＜x ≤2，即定义域为(0,2]．答案：(0,2]1．(2013·江西卷)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：由⎩⎨⎧1－x >0，x ≥0得，函数定义域为[0,1)．故选B.答案：B2．(2013·新课标全国卷I)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：∵|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.∴由|f (x )|≥ax 得，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ≥ax .且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，ln (x ＋1)≥ax ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ≥ax ，可得a ≥x －2，则a ≥－2，排除A 、B ，当a ＝1时，易证ln(x ＋1)<x 对x ＞0恒成立，故a ＝1不适合，排除C ，故选D. 答案：D1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （－x ），x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1或－10B ．－1或10C ．2或－10D ．－2或10解析：因为f (1)＝e 1－1＝1，所以f (a )＝1，当a ≥0时，显然a ＝1满足；当a <0时，令lg(－a )＝1，得－a ＝10，即a ＝－10满足．故选A. 答案：A2．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是________．解析：由x ＋1≠0且1x ＋1＋1≠0，得x ≠－1，且x ≠－2.∴定义域为{x |x ≠－1，且x ≠－2}．答案：{x |x ≠－1，且x ≠－2}。

【金版学案】高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第五节指数与指数函数理

第五节指数与指数函数错误!知识梳理一、指数 1．根式．(1)定义：如果x n＝a 那么 x 叫做a 的n 次方根(其中n >1，且n ∈N *)，式子na 叫做根式，这里的n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)性质．①当n 为奇数时，na n＝a ；当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.②负数没有偶次方根．③零的任何次方根都是零． 2．幂的有关概念． (1)正整数指数幂：(2)零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．(3)负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)．(4)正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． (5)负分数指数幂：a －mn ＝1a mn＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(6)零的正分数指数幂为零，零的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的性质．(1)a r a s ＝a s ＋r(a ＞0，r ，s ∈Q )．(2)(a r )s ＝a sr(a ＞0，r ，s ∈Q )．(3)(ab )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．二、指数函数的定义形如 y ＝a x(a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数，其中x 是自变量，定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)．三、指数函数的图象和性质基础自测1．化简 (a ，b 为正数)的结果是( )A.b a B ．a C.abD ．B 解析：原式＝a 13b 83a 3a 23b 43＝a 53b 43a 23b 43＝a ，故选B. 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.3.了解指数函数模型的实际背景，知道指数函数是重要的函数模型.答案：B2．函数f (x )＝(a 2－1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－2,2) C ．(－∞，2)D ．(－2，－1)∪(1，2)解析：0<a 2－1<1,1<a 2<2，解得－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2.故选D. 答案：D3．函数y ＝4x ＋2x ＋1－3的值域是________．解析：定义域为R ，因为y ＝4x ＋2x ＋1－3＝(2x )2＋2·2x ＋1－4＝(2x ＋1)2－4，因为2x ＞0，所以(2x ＋1)2－4＞1－4＝－3.所以y ＝4x ＋2x ＋1－3的值域为{y |y ＞－3}．答案：{y |y ＞－3}4．若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝______. 解析：(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝4x 12－33－4x 12＋4＝－23.答案：－231．(2013·北京卷)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e－x －1 解析：与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.故选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．解析：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′()x ＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )随x 的变化情况见下表：x (－∞，k －1)k －1 (k －1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )－e k －1↗(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1]上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上所述，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－k ，k ≤1，－e k －1，1＜k ＜2，(1－k )e ，k ≥2.答案：见解析1．已知a ＝52，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )＞f (－n )，则m ，n 满足的关系为( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n解析：f (x )＝⎝⎛⎭⎫52x 是R 上的增函数，实数m ，n 满足f (m )＞f (－n )，故m ＞－n ，即m ＋n ＞0.故选B.答案：B2．若函数f (x )＝e －(x －μ)2的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝______.解析：∵函数f (x )＝e －(x －μ)2的最大值是1，∴m ＝1.又∵f (x )是偶函数，∴μ＝0.∴m ＋μ＝1.答案：1。

【金版学案】高考数学总复习基础知识名师讲义第五章第六节数列的综合问题理

第六节数列的综合问题知识梳理一、等差、等比数列的一些重要结论1．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .3．等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，S 4m － S 3m ，……仍为等差数列．4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，S 4m － S 3m ，……仍为等比数列(m 为偶数且公比为－1的情况除外)．5．两个等差数列{a n }与{b n }的和、差构成的数列{a n ＋b n }，{a n－b n }仍为等差数列．6．两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数构成的数列{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 仍为等比数列．7．等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列． 8．等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列． 9．若{a n }为等差数列，则{}ca n (c >0)是等比数列．10．若{b n }(b n >0)是等比数列，则{log c b n }(c >0且c ≠1)是等差数列．二、几个数成等差、等比数列的设法三个数成等差的设法：a －d ，a ，a ＋d ；四个数成等差的设法：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .三个数成等比的设法：a q ，a ，aq ；四个数成等比的设法：aq 3，a q，aq ，aq 3(因为其公比为q 2>0，对于公比为负的情况不能包括)．三、用函数的观点理解等差数列、等比数列1．对于等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，对应的点(n ，a n )是位于直线上的若干个离散的点；当d ＞0时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.数列；当d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；当d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列．若等差数列的前n项和为S n，则S n＝pn2＋qn(p，q∈R)．当p ＝0时，{a n}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．2．对于等比数列a n＝a1q n－1，可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1时，等比数列{a n}是单调递增数列；当a1＞0,0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{a n}是单调递减数列；当q＝1时，是一个常数列；当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．四、数列应用的常见模型1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差．2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比．3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n－1的递推关系，或前n项和S n与S n－1之间的递推关系．基础自测1．设{a n}，{b n}分别为等差数列与等比数列，a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，则下列结论正确的是( )A．a2＞b2 B．a3＜b3C．a5＞b5 D．a6＞b6解析：设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，由题可得d＝－1，q＝322，于是a2＝3＞b2＝232.故选A.答案：A2．设数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，关于数列{a n}有下列三个命题：①若数列{a n}既是等差数列又是等比数列，则a n＝a n＋1；②若S n＝an2＋bn(a，b∈R)，则数列{a n}是等差数列；③若S n＝1－(－1)n，则数列{a n}是等比数列．这些命题中，真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：①不妨设数列{a n }的前三项为a －d ，a ，a ＋d ，则其又成等比数列，故a 2＝a 2－d 2，∴d ＝0，即a n ＝a n ＋1，为真命题．②由S n 的公式，可求出a n ＝(2n －1)a ＋b ，故{a n }是等差数列，为真命题．③由S n 可求出a n ＝2×(－1)n －1，故数列{a n }是等比数列，为真命题．故选D.答案：D3．在数列{}a n 和{}b n 中，b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，a 1＝2且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{}b n 的通项公式为 ____________.答案：b n ＝4·3－n (n ∈N *)4. 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB 内存(1MB ＝210KB)．解析：依题意可知：a 0＝2，a 1＝22，a 2＝23，…，a n ＝2n ＋1，64MB ＝64×210＝216KB ，令2n ＋1＝216，得n ＝15.∴开机后45分钟该病毒占据64MB 内存．答案：451．(2013·福建卷)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n－1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m(m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm n解析：∵b n ＝a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m) ∴b n ＋1b n ＝a mn q ＋q 2＋…＋q m a m n －1q ＋q 2＋…＋q m＝a mn a m n －1＝q m (常数)．而b n ＋1－b n 不是常数．又∵c n ＝(a m (n －1))m q 1＋2＋…＋m＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a m n －1q m ＋12m ， ∴c n ＋1c n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a mna m n －1m＝(q m )m ＝qm 2(常数)．而c n ＋1－c n 不是常数．故选C.答案：C2．(2012·江西卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n的前n 项和T n . 解析：(1)当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即 8＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故 k ＝4，从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)．又a 1＝S 1＝72符合上式，∴a n ＝92－n (n ∈N *)． (2)令b n ＝9－2a n 2n ＝n 2n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1，∴T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1. 1．(2013·广州二模)数列{a n }的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第k ＋1个1之间有2k －1 个2，即数列{a n } 为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，记数列 {a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝__________； S 2 013＝__________.解析：设f (k )＝2k －1，则数列为1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，所以前20 项中共有16个2,4个1，所以S 20＝16×2＋4×1＝36.记第k 个1与其后面的k 个2组成第k 组，其组内元素个数记为b k ，则b k ＝2k ，b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋4＋…＋2n ＝n (n ＋1)＜2 013，而46×45＝2 080＜2 011,47×46＝2 162＞2 013，故n ＝45即前2 011项中有45个1以及1 968个2，所以S 2 013＝45＋1 968×2＝3 981.答案：36 3 9812．已知数列{a n }，{b n }中，对任何正整数n 都有a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n －1b n －1＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1.(1)若数列{b n }是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a n }的通项公式．(2)若数列{a n }是等差数列，数列{b n }是否是等比数列？若是，请求出通项公式；若不是，请说明理由．(3)求证： i ＝1n1a ib i <32.(1)解析：依题意，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，由a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n －1b n －1＋a n b n ＝(n －1)·2n＋1，可得a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·2n －1＋1()n ≥2，两式相减，可得a n ·b n ＝n ·2n －1，即a n ＝n .当n ＝1时，a 1＝1，从而对一切n ∈N *，都有a n ＝n .所以数列{a n }的通项公式是a n ＝n (n ∈N *)．(2)解析：(法一)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由(1)得a n ·b n ＝n ·2n －1，即b n ＝n ·2n －1a 1＋n －1d()n ≥2. ∴b n ＝n ·2n －1a 1－d ＋nd ＝2n －1a 1－dn＋d.要使b n ＋1b n是一个与n 无关的常数，当且仅当a 1＝d ≠0，即当等差数列{a n }满足a 1＝d ≠0时，数列{b n }是等比数列，其通项公式是b n ＝2n －1d；当等差数列{a n }满足a 1≠d 时，数列{b n }不是等比数列．(法二)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由(1)得a n ·b n ＝n ·2n －1，即b n ＝n ·2n －1a 1＋n －1d()n ≥2. 若数列{b n }是等比数列，则 b n ＋1b n ＝2[dn 2＋a 1n ＋a 1－d ]dn 2＋a 1n，要使上述比值是一个与n 无关的常数，需且只需a 1＝d ≠0，即当等差数列{a n }满足a 1＝d ≠0时，数列{b n }是等比数列，其通项公式是b n ＝2n －1d；当等差数列{a n }满足a 1≠d 时，数列{b n }不是等比数列．(3)证明：由(1)知a n b n ＝n ·2n －1，∑i ＝1n1a ib i ＝11×1＋12×2＋13×22＋14×23＋…＋1n ×2n －1， ∑i ＝1n 1a ib i <11×1＋12×2＋12×22＋12×23＋…＋12×2n －1＝11＋14＋18 ×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －21－12≤11＋14＋14＝32()n ≥3，当n ＝1时，1a 1b 1＝1<32，当n ＝2时，1a 1b 1＋1a 2b 2＝1＋14＝54<32，故∑i ＝1n 1a ib i <32.。

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