高中数学必修二：2.3.1-1《直线与平面垂直的判定》课件(新人教版A必修2)
高一数学人教A版必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定 教学课件
[ 思路分析]
(1) 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出
过直线上一点的平面的垂线． (2) 中过 A1 作平面 BDD1B1 的垂线，该垂线必与 B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
[ 解析]
(1)∵直线 A1A⊥平面 ABCD， ∴∠A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
命题方向2 ⇨直线与平面所成的角
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 导学号 09024474
(1)求直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角的正切值； (2)求直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
又 BB1∥AA1，∴CD⊥BB1， 又 AA1⊂平面 ABB1A1，BB1⊂平面 ABB1A1， ∴CD⊥平面 ABB1A1.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[ 错因分析]
错解中 AA1 和BB1 是平面 ABB1A1 内的两条平行直线，不是相交
直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．
第二章 点、
线面垂直的判定方法：
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直 于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一 个平面．
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定课件新人教A版必修2
错解:因为F,G分别为棱B1B,C1C的中点,所以BC∥FG. 因为BC⊥AB,BC⊥B1B,且B1B∩AB=B, 所以BC⊥平面A1ABB1. 又因为B1E⊂平面A1ABB1, 所以BC⊥B1E, 即FG⊥B1E. 同理A1D1⊥B1E,所以B1E⊥平面A1FGD1. 纠错:本题的错误在于只证明了直线和平面内的两条平行直线垂直,不符
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
(2)解:作 A1F⊥DE,垂足为 F,连接 BF. 因为 A1E⊥平面 ABC,所以 BC⊥A1E. 因为 BC⊥AE,所以 BC⊥平面 AA1DE.所以 BC⊥A1F,所以 A1F⊥平面 BB1C1C. 所以∠A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;
(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E⊥平面ABC,所以 A1E⊥AE. 因为AB=AC,所以AE⊥BC. 故AE⊥平面A1BC. 连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B, 从而DE∥A1A且DE=A1A, 所以AA1DE为平行四边形. 于是A1D∥AE. 又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.
和这个平面所成的角.
锐角
(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 直角 ;一条直线在平面内或 一条直线和平面平行,称它们所成的角是 0° 的角,于是,直线与平面 所成的角θ 的范围是0°≤θ ≤90°.
自我检测
1.(线面垂直的性质)已知直线a⊥平面α ,直线b∥平面α ,则a与b的关系为
(B ) (A)a∥b
在 Rt△A1NB1 中,sin∠A1B1N= A1N = 1 ,因此∠A1B1N=30°.所以,直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 A1B1 2
人教版高中数学必修2 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(共49张PPT)
平面垂直的判定定理知，直线垂直于平面，所以直线与第三边垂直．]
梦 境
3．矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 2，PA⊥平面 ABCD，PA＝1，则 PC 与平面 ABCD 所成的角是________．
30°[如图所示，∵PA⊥平面 ABCD， ∴AC 为 PC 在平面 ABCD 上的射影． ∴∠PCA 为 PC 与平面 ABCD 所成的角．
的射影，图中斜线 PA 在平面 α 上的射影为_A_O_
梦 境
直线与平 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．
面所成的 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是_直__角_____；一条直
角
线和平面平行或在平面内，它们所成的角是_0_°__的__角___
取值范围
[0°，90°]
梦 境
定的平面；
梦 境
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；
⑤过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
梦 境
(1)B (2)D (3)C [(1)A 项，α∥β 且 m⊂α，则 m∥β，故 A 不正确； B 项，n⊥β，则 n 垂直 β 内的任意一条直线，又 m∥n.可知 m 也垂直于 平面 β 内的任意一条直线，所以 m⊥β，故正确； C 项，D 项，由 m⊥n，n⊂β 或 m⊥n，n∥β，可得 m 与 β 的关系可以是 m⊂β，或 m∥β 或 m 与 β 相交，故不正确； 选 B.
(2)直线 a⊥直线 b，b⊥平面 β，则 a 与 β 的关系是( )
A．a⊥β
B．a∥β
C．a⊂β
D．a⊂β 或 a∥β
(3)下列说法中，正确的有( )
数学：《直线与平面垂直的判定定理》课件(人教a版必修2)
再将绳子拉直与地面交 与另一点D，D与B，C不共线，连接 BD，
若AB与BC，AB与CD都垂直，则旗杆 与地面垂直，否则不垂 直。
变式：有一根旗杆和一条比它长的绳子，请设计一个方案用
一把皮尺来判断旗杆是否与地面垂直，并说明理由。
A
D C B
例2.已知a∥b, a ⊥ 求证: b ⊥
a
m
b
n
O
练习
在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD， 求证：对角线AC BD。
A
1.
证明 取BD的中点E , 连接AE, CE ,
：
AB AD, AEBD,
D
B E
BC DC, CEBD, 又 Nhomakorabea AE CE E , BD平面ACE, AC 平面ACE, BDAC
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
定义法
此直线垂直于这个平面
；
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辉煌，尤其是那些啤酒厂的员老们常常神情沮丧地念叨，他们眼前都经历过这样的一幕幕情景：八十年代的啤酒咋卖得那么快， 大年三十还在厂里加班加点地生产，排成队的卡车在车间门外等，还有船在码头等着装啤酒。市场投诉？能买到啤酒就已经是 幸运的了，哪里还有市场投诉；啤酒有悬浮物不要紧，照样喝，那是蛋白营养物质；有不干净的东西，把不干净的东西捞掉再 喝，还说：啤酒是粮食做的，不能浪费„„这些金典语录是骄傲、是炫耀。然而过去的美好时光都如美丽炫目的肥皂泡一样瞬 间消失了，整个啤酒厂都沉浸在过去的光环之中不愿苏醒，日子仍旧在一天天消磨着，人们逐渐迟钝麻木，听天由命，温水煮 青蛙效应遍及全厂，就像人们在微烫的水中洗澡，底下在用火在烧一样。就在这一段时间，厂里的财务出现了状况。话说有一 天，马启明到财务科去报前几天出差的费用，正好碰到供应科的秦天雅，也要到财务科去。秦天雅说包装车间需要三千多元购 买一些设备备件，供应商要先打50%的钱，后付设备备件，他想去问一下财务科最近厂里有没有钱。他们就边走边聊，秦天雅 笑着说道：“我给你讲个段子。有一个学生问大人：‘大粪的粪怎么写？’大人想了想，把手放在嘴下面，苦思冥想地说： ‘唉！怎么刚到嘴边就是不出来！’”秦天雅看马启明不笑，就接着说：“我有一次去北京，看北京是如何欺负老外的，公交 站名‘北京西站南广场东是哪里？搞得老外晕晕乎乎。’报站时说‘前门到了，请从后门下车！’我亲眼见老外当场就傻眼 了。”一进财务科，秦天雅刚张嘴问道：“邱科长，包装车间想买一些备件„„”邱德喜立即打断了秦天雅的话，给他致命一 击：“等一段时间，账上暂时没有钱。”“还等，车间里都打了好几次电话了。如果再买不回来的话，就影响正常生产了，我 就要跳楼了。”秦天雅还垂死挣扎地说道，说要跳楼是临死之前的遗言。“邱科长，这么大的厂子怎会连这么点钱也没有？你 是哭穷吧！”马启明开玩笑地问道。其实他也知道，近来厂里资金周转有些困难，但没想到竟到了连这点购买设备备件的钱都 拿不出来的地步。以前需要什么配件只要给供应商打个电话立刻送货上门，结账的事根本不用担心，可现在却是没钱免谈。 “金钱社会”到这里体现得淋漓尽致。“正在想办法。”邱德喜没有正面回答，只是抬头问道：“我马上还要去开会。马启明， 你有什么事?”“我来把出差的发票报了，才200多元。”马启明生怕邱德喜说没有钱，所以他强调说才200多元钱。如果厂子 连200多元都没有的话，那厂子不就有问题了吗？而且还是大问题。他满怀期待地看着邱德喜，还好邱德喜没有回绝，签了字 站起来，摇摇头，无可奈何地说：“资金是企业的命脉，没有资金，就没有
【数学】2.3.1-1《直线与平面垂直的判定》课件_(新人教版A必修2)
线段C1D
C1 B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
B
α
旗杆AB所在直线 与地面内任意一条过点B的直线垂直． 与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
平面 的垂线
垂足
l
P
直线 l 的垂面
线面垂直的定义常这样使用
l
复习：直线与平面的位置关系有哪几种？ 线在面内
线 面 位置关系
线面平行 线面相交
垂直
斜交
观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
观察实例,发现新知 房屋的屋柱与地面的 关系，给人以直线与 平面垂直的形象。
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
大桥的桥柱与水面垂直
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1
E
线段B1E
D1 B1 C1
D
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
新课标高中数学人教A版必修二全册课件2.3.1直线与平面垂直的判定(一)
2. 直线和平面垂直的判定
定理：一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，则这条直线与该平
面垂直.
l
mB n
第十四页，编辑于星期日：十三点 十六分。
2. 直线和平面垂直的判定
定理：一条直线与一个平面内的两
条相交直线都垂直，则这条直线与该平
面垂直.
符号语言:
l
mB n
第十五页，编辑于星期日：十三点 十六分。
哪些？ →提问：你觉得垂直的依据是什么？
第十一页，编辑于星期日：十三点 十六分。
举例：生活中直线与平面垂直的现象有
哪些？
→提问：你觉得垂直的依据是什么？
→思考：给定一条直线和一个平面，如
何判定它们是否垂直？
第十二页，编辑于星期日：十三点 十六分。
2. 直线和平面垂直的判定
l mB n
第十三页，编辑于星期日：十三点 十六分。
都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作
l⊥. l叫平面的垂线，叫直线l的垂面.
直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P
叫做垂足. l
(线线垂直→线面垂直)
P
第九页，编辑于星期日：十三点 十六分。
举例：生活中直线与平面垂直的现象有 哪些？
第十页，编辑于星期日：十三点 十六分。
举例：生活中直线与平面垂直的现象有
直线，则这条直线垂直于这个平面； C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于
这个平面的直线必定垂直于这条直线；
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于 这条直线的另一直线必垂直于这个平面.
第十七页，编辑于星期日：十三点 十六分。
#39;D'中，
与平面B'C'CB垂直的直线有
2. 直线和平面垂直的判定
高一数学人教A版必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定 教学课件
数学必修② · 人教A版第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1 自主预习学案2 互动探究学案3 课时作业学案自主预习学案一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直．你承认这个事实吗？为什么？1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的_______，平面α叫做直线l的_______．它们唯一的公共点P叫做_________．任意一条垂线垂面垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直[归纳总结](1)定义中的“任任任任任任”任任任任任“任任任任”任任任任任任“任任任任任”任任任任任任(2)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(3)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任2．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言 l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，__________⇒l ⊥α 作用判断直线与平面垂直相交 a ∩b ＝P[归纳总结]直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直任任任任任任任任任任任任任任任任任任任“任任任任任任任任任任”．任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面______，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的______叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过_______和______的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于______.因此，直线与平面所成的角的范围是____________． 垂直 交点 垂足 斜足 锐角 90° 0° [0°，90°][解析] ∵直线l ⊥任任α任∴l 任α任任任任∵m ⊂α任∴l 任m 任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任l ⊥m .任l 任m 任任任任任任1．直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能导学号 09024468() A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直A2．直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α的关系是导学号 09024469( )A ．l 和平面α相互平行B ．l 和平面α相互垂直C ．l 在平面α内D ．不能确定[解析] 如下图所示，直线l 和平面α相互平行，或直线l 和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D ．D3．(2016～2017·福州高二检测)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是导学号09024471()A．5B．25C．35D．4 5[解析]取BC的中点D，∵AB＝AC，∴AD⊥BC. 又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又P A∩AD＝D，∴BC⊥平面P AD，∴BC⊥PD.∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∴AD＝4，∴PD＝P A2＋AD2＝4 5.故选D．D互动探究学案命题方向1⇨线面垂直的判定如图，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：导学号 09024472(1)BC⊥平面P AB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[思路分析]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．[解析](1)∵PA⊥平面ABC任BC⊂任任ABC任∴PA⊥BC.∵∠ABC任90°任∴AB⊥BC.任AB∩PA任A任∴BC⊥任任PAB.(2)∵BC⊥任任PAB任AE⊂任任PAB任∴BC⊥AE.∵PB⊥AE任BC∩PB任B任∴AE⊥任任PBC.(3)∵AE⊥任任PBC任PC⊂任任PBC任∴AE⊥PC.∵AF⊥PC任AE∩AF任A任∴PC⊥任任AEF.『规律方法』线面垂直的判定方法：(1)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(3)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任〔跟踪练习1〕如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.导学号 09024473(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[解析](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.命题方向2⇨直线与平面所成的角在正方体ABCD－A1B1C1D1中，导学号 09024474(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[思路分析](1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B 1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．[解析](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.『规律方法』求线面角的方法：(1)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(2)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任〔跟踪练习2〕如图，在三棱柱ΑΒC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．导学号 09024475(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．[解析] (1)取BC 任任任E 任任任A 1E 任DE 任AE 任任任任任A 1E ⊥任任ABC 任任任A 1E ⊥AE 任任任AB 任AC 任任任AE ⊥BC 任任AE ⊥任任A 1BC 任任D 任E 任任任B 1C 1任BC 任任任任任DE ∥B 1B 任DE 任B 1B 任任任DE ∥A 1A 任 任任任任任A 1AED 任任任任任任任任A 1D ∥AE 任任任任AE ⊥任任A 1BC 任任任A 1D ⊥任任A 1BC .(2)作A 1F ⊥DE ，垂足为F ，连接BF .因为A 1E ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1E .因为BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面AA 1DE .所以BC ⊥A 1F ，A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角．由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2.由∠A1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14.由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72.所以sin ∠A 1BF ＝78.逻辑推理不严密致误如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D 是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1.导学号 09024476[错解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1.又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1.[错因分析]错解中AA1任BB1任任任ABB1A1任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任[正解]∵AA1⊥任任ABC任CD⊂任任ABC任∴CD⊥AA1.任AC任BC任D任AB任任任任∴CD⊥AB.∵AB⊂任任ABB1A1任AA1⊂任任ABB1A1任AB∩AA1任A任∴CD⊥任任ABB1A 1 .[警示]任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任.〔跟踪练习3〕如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠B 1A 2C 1＝90°，D 为BB 1的中点．求证：AD ⊥平面A 1DC 1. 导学号09024477[错解] 在三棱柱中，∵AA 1⊥平面ABC ，∠B 1A 1C 1＝90°，∴AD ⊥A 1C 1；又从图可知AD ⊥平面BCC 1B 1，∴AD ⊥C 1D ，∴AD ⊥平面A 1DC 1.[辨析]前半部分任任任任任任任任任任任任任AD⊥A1C1任任任任任任任任任任任任任任AD⊥任任BCC1B1任任任任任任任任任任任任任[分析]任任任C1A1⊥任任ABB1A1任任AD⊥C1A1任任任任任ABB1A1任任任任任任任任AD⊥A1D.[证明]∵AA1⊥任任ABC任任任A1B1C1∥任任ABC任∴AA1⊥任任A1B1C1.∴A1C1⊥AA1.任∠B1A1C1任90°任∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A，∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2. ∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.1．线线垂直和线面垂直的相互转化(2016～2017·湖南张家界高一期末)如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点.导学号 09024478(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．[解析](1)证明：直三棱柱ABC任A1B1C1任任BB1⊥任任ABC任∴BB1⊥AD任∵AB任AC任D任BC任任任任∴AD⊥BC.任BC∩BB1任B任∴AD⊥任任BCC1B 1 .(2)解：连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1，则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．在Rt△AC1D中，AD＝32，AC1＝2，sin∠AC1D＝ADAC1＝64，即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为64.〔跟踪练习4〕如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .导学号 09024479[证明] ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE .又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC .∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF .∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ，∴AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .2．关于垂直的存在型探索性问题在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝1，边BC 上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ？为什么？导学号 09024480[思路分析] 关键是将PQ ⊥QD 转化为DQ ⊥AQ ，再使DQ ⊥AP 即可，但AD ＝BC ＝a 是变化的，故需对a 进行讨论．[解析]∵PA⊥平面ABCD任∴PA⊥QD.任任BC任任任任任Q任任任QD⊥AQ任任任QD⊥任任PAQ任任任QD⊥PQ.任任任ABCD任任任AD任a<2任任任任BC任任AD任任任任任任任任任任任任任Q任任AQ⊥DQ.∴任a≥2任任任任任任Q任任任PQ⊥QD.[点评]任任任任任任任任任任任任任任AD任任任任任任BC任任任任任任任任Q任任任任任[解析] 三角形的两边任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任.1．如果一条直线垂直于一个平面内的：导学号 09024481①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 则能保证该直线与平面垂直( )A ．①③B ．①②C ．②④D ．①④A2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为导学号 09024482()A．223B．23C．24D．13[解析]∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角，∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴AC1＝3，∴sin∠AC1A1＝AA1AC1＝13.D3．如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有____.导学号 09024483[解析]∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC.∴△P AB、△P AC为直角三角形．∵BC⊥AC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AC，BC⊥PC.∴△ABC、△PBC为直角三角形．44．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：EF⊥平面PCD.导学号 09024484[解析] 如图，取PD 的中点H ，连接AH 、HF .∴FH 12CD ，∴FH AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形， ∴AH ∥EF .∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD .又∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.又∵AH⊂平面P AD，∴CD⊥AH.又∵P A＝AD，∴AH⊥PD，PD∩CD＝D，∴AH⊥平面PCD，又∵AH∥EF，∴EF⊥平面PCD.课时作业学案。
高中数学 第二章2.3.1直线与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2
除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？ 除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？
A A 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： A
l
C
A
D
α
B B
D D
P
C
C
α C α
B B
D
边上的高时， 所在直 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 的顶点A翻折纸片 得到折痕AD， 翻折纸片， 过 ∆ABC 的顶点 翻折纸片，得到折痕 ，将翻 α 垂直． 线与桌面所在平面 垂直． 折后的纸片竖起放置在桌面上（ ， 于桌面接触 于桌面接触） 折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .
线面垂直
知识探究（ 知识探究（二）：直线与平面垂直的判定
思考1 对于一条直线和一个平面， 思考1：对于一条直线和一个平面，如果 根据定义来判断它们是否垂直， 根据定义来判断它们是否垂直，需要解 决什么问题？如何操作？ 决什么问题？如何操作？
思考2 思考2：我们需要寻求一个简单可行的办 法来判定直线与平面垂直. 法来判定直线与平面垂直. 如果直线l与平面 内的一条直线垂直， 如果直线 与平面α内的一条直线垂直， 与平面 内的一条直线垂直 能保证l⊥α吗？ 能保证 ⊥ 吗 如果直线l与平面 内的两条直线垂直， 与平面α内的两条直线垂直 如果直线 与平面 内的两条直线垂直， 能保证l⊥ 吗 能保证 ⊥α吗？
高一数学必修2《直线与平面垂直的判定》课件(新人教A版)
C C1
B
B1
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直线与平面垂直的定义： 如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线 都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直. 记作：l ⊥α l 叫做α 的垂线, α 叫做l 的垂面, l 与α 的唯一公共点P叫做垂足。 画直线与平面平行时，通 常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直。
D
C
B
巩固练习 2.过ABC所在平面外一点P, 作PO , 垂足
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为O, 连接PA, PB, PC. 1).若PA PB PC, C 90 , 则O是AB边的 __ 点.
王新敞
奎屯 新疆
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引入新课 在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
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观察实例,发现新知
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旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
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房屋的屋柱与地面的 关系，给人以直线与 平面垂直的形象。
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例题示范,巩固新知 例2、如图，已知a∥b，a⊥α 。 求证：b⊥α 。 分析：在平面内作两条相交直线， 由直线与平面垂直的定义可知， 直线a与这两条相交直线是垂直的， 又由b平行a，可证b与这两条相交 直线也垂直，从而可证直线与平 面垂直。
人教A版高中数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定教学课件
直线与平面平行
现实生活中的 线面垂直
思考
将一本书打开直立在桌面上，观察书背（想 象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此 时书背与每页书和桌面的交线的位置关系如何？
立几画板
探究(一) 线面垂直的定义
改为“无数
条”可否？
定义：如果直线l与平面α内的 任意 一条直线
都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，
定义与判做定定曲理的尺共同的点是“什么L？”形木尺.《鲁班书》中描述：要检验一根木 棒是否与板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相 请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸
片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.
2.3.1直线与平面垂直的判定 定义与判定定理的共同点是什么？
请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.
请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.
A
B
思考:我们如何证明线面垂直呢？
实验探究
请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们
一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折
痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与
桌面接触）.观察并思考：
A
思考 空间里和AD平
行l的直线是否与平面 B
C
垂直，l与CD和BD的
D
如何翻折才能使折痕AD与桌关面系所是什在么的？平面垂直？
人教A版高中数学必修二2.3.1直线和平面垂直的判定课件
如果两条直线相交
b
α
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直．
lm
ln mnO
m n
l
线不在多 相交则行
l
m
O
α
n
线线垂直
线面垂直
直线与平面垂直
思考：折痕AD垂直BC时，翻折后直线AD与 桌面所在的平面垂直吗？为什么？
A
A
B
D
B
D C C
例1.如图，点P是平行四边形ABCD所在平面 外一点,O是对角线AC与BD的交点,且PA=PC， PB=PD.求证：PO 平面ABCD.
直，我们说直线l与平面 互相垂直，记作 l ．
垂足
平面 的垂线
l
Pa
直线 l 的垂面
l
a
线线垂直
la
线面垂直
线面垂直的判定条件 如果直线 l与平面内的一条直线垂直，
则直线 l 和平面 互相垂直?
l
b
α
如果直线 l与平面内的两条直线垂直， 则直线 l 和平面 互相垂直?
如果两条直线平行
面图中有几个直角三角形? A
O
B
PA 平面ABC
BC
平面ABC
AC BC PA BC PA AC
A
C
BC 平面PAC
PC
平面PAC
BC
PC PBC是直角三角形.
故共有四个直角三角形
例5.在正方体中,求证: (1)BD ⊥ AC,
(2)BD ⊥ 平面ACB
D’
C’
A’
B’
D A
V
P
.K
A B
人教A版高中数学必修二课件2.3.1直线与平面垂直的判定(共27张PPT)
解：作CC1⊥平面α于点C1，连接AC1、BC1、DC1，则
∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，∠CDC1为CD与α所成的 角．
设 CC1＝ a，则 AC＝ 2a， BC＝ 2a. 因此，在 Rt△ ABC 中， AB＝ 6a， AC· BC 2 所以 CD＝ ＝ a. AB 3 CC1 3 在 Rt△ CC1 D 中，sin∠ CDC1＝ ＝ ，∴∠ CDC1 ＝ 60° . CD 2 即 CD 与平面 α 所成的角为 60° .
线和两相交直线所在的平面．
互动探究
1．在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平 面SAC的位置关系为________．
解析：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC.
又由例题知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
答案：垂直
和平面所成角问题的关键．要找射影就要寻找过斜线上
一点与平面垂直的垂线．没有垂线的，还要在斜线上取
点作平面的垂线，垂足和斜足连线(有时也可以是两垂足) 就是斜线在平面内的射影，但要注意斜线上点的选取以 及垂足的位置要与问题中已知量有关，才便于计算．
跟踪训练
3．如图，Rt△ABC的斜边AB在
平面α内，AC和BC与α所成的角分别是30°，45°，CD是 斜边AB上的高，求CD与平面α所成的角．
高中数学课件
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2． 3
直线、平面垂直的判定及其性质
2．3.1 直线与平面垂直的判定
学习导航
学习目标
重点难点 重点：对直线与平面垂直的判定定理的理解及应用．
难点：对直线与平面垂直的判定及线面角的求法．
人教A版高中数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定精品课件(共25张PPT)
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直
l
小结：证明线面垂直的方法关键是证明
符号表示： a,b AA1,BB1,CC1,DD1
与平面 ABCD 垂直的直线 平面 内能否找到与直线 不垂直的直线？
③推出直线与平面垂直的条件缺一不可.
abP 小结：证明线面垂直的方法关键是证明
宿舍楼前的 垂直 柱子与地面：
桥墩与水面：
3
l
思考：直线 l 与平面 内的直线位置关系如何？
垂直
直线 l 与平面 内的每一条直线都垂直吗？ 平面 内能否找到与直线 l 不垂直的直线？
α 4
l
思考：直线 l 与平面 内的直线位置关系如何？
垂直
直线 l 与平面 内的每一条直线都垂直吗？
平面 内能否找到与直线 l 不垂直的直线？
证明： VA = VC ， O 为 AC 中点
∴VO ⊥ AC
AB = BC ， O 为 AC 中点
∴BO ⊥ AC
又 VO , BO ⊂ 平面 VOB
VO ∩BO = O
∴AC ⊥平面 VOB
14
探究案：
例2.正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求证： BD⊥平面ACC1A1
书写过程要求： ①字迹工整清晰； ②每一步骤的依据要表达清楚； ③推出直线与平面垂直的条件缺一 不可.
BD A1A, BD AC
可 得 B D 平 面 A C C 1A
16
变式：在底面为菱形的直棱柱
ABCD-A1B1C1D1 中，
求证： BD⊥平面ACC1A1
证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC，
高中数学人教A版必修2-2.3.1 直线与平面垂直的判定-课件(共31张PPT)
记作：l
l
垂足
直线 l的垂面
P
线面垂直
线线垂直
直线和平面垂直的画法:
l
P
直线与平行四边 形的一边垂直
怎样判断一条直线与一个平面垂直呢？
探究一：直线垂直于平面内一条直线
探究一：直线垂直于平面内一条直线
怎样判断一条直线与一个平面垂直呢？
探究一：直线垂直于平面内一条直线
(3) 证明 A1C⊥平面C1DB
D1
A1
C1 B1
D C
A
B
归纳总结，分享喜悦
一、知识 二、数学思想
归纳总结，分享喜悦
猜猜这是哪位同学的童年照，请这位同学来与大家分享
归纳总结，分享喜悦
归纳总结，分享喜悦
谢谢大家
B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD
所在直线与桌面所在平面 垂直．
线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言
m
l
n mI
n
p
l
lm
m Pn
l n
线线垂直 线面垂直
例.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， (1) 与AA1垂直的平面有哪些？并证明。
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
例.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， (1) 与AA1垂直的平面有哪些？并证明。
(2) 证明 BD⊥平面A1AC
D1 A1
D
C1 B1
C