第六章 估计方法的扩展

π
3
β p;
第六章 估计方法的扩展
第一节 离散选择模型
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3.两项选择模型对现实问题描述能力的衡量
( yt − yt )2 ∑ ˆ ( yt − yt )2 ∑
t =1 t =1 n n
拟合程度判定系数 = 1− R
2
n n = 1− ( yt − yt )2 ∑ ˆ n1n2 t =1
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第一节 离散选择模型
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1.两项选择模型的推导
约定在具有备择对象的0和1两项选择模型中， 下标t表示各不同的经济主体，取值0或1的因变量 yt 表示经济主体的具体选择结果，而影响经济主 体进行选择的自变量xt为(1，x2t，x3t，…，xkt)，与 自变量xt相关的回归模型参数β为(β1 ， β2 ， β3 ， …， βk)′ 两项选择模型可以写成 yt=xtβ+ut
f ( x) f (x x > α ) = P( x > α )
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第二节 受限因变量模型
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（1）与正态分布相关的断尾分布及其性质
设随机变量x ~ N ( µ , σ 2 )，断尾分布的断尾点为α，根据断尾 分布的定义可将随机变量x大于断尾值α而小于临界值c的分布 函数F (c x > α )表示成： P(α ≤ x ≤ c) P( x ≥ α ) α −µ α − µ −1 c−µ ) − Φ( ))(1 − Φ( )) = (Φ ( F (c x > α ) = P ( x ≤ c x ≥ α ) =
2.两项选择模型的参数β估计（极大似然估计）
( 6 − 5 ) 式似然函数： L(β ) =
∏ [ F ( x β )]
t =1 t
n
yt
[1 − F ( x t β )] 1− y t
n
∴ ln L ( β ) =
∑y
t =1
n
t
ln F ( x t β ) + ∑ (1 − y t ) ln[ 1 − F ( x t β )]
（6-5）
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第一节 离散选择模型
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Probit模型
标准正态分布函数Φ(xtβ)作为转 换函数F(xtβ) Logistic函数Λ(xtβ)作为转换函数 F(xtβ)
Logit模型
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第一节 离散选择模型
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21世纪经济学系列教材 21世纪经济学系列教材 普通高等教育“十五” 十一五” 普通高等教育“十五”、“十一五”国家级规划 教材
计量经济学
（第三版）
赵国庆
中国人民大学出版社
估计方法的扩展
计量经济学 第六章
重点问题
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两项选择模型：Probit模型和Logit模型 两项选择模型：Probit模型和Logit模型 模型和Logit 断尾回归模型与截取回归模型 固定效应模型和随机效应模型
t =1
根据对数似然函数式最
大化一阶条件得：
∑
t =1
n
∂F ( xt β ) ∂β
yt 1 − yt − =0 F ( xt β ) 1 − F ( xt β )
∂F ( xt β ) = x t′ f ( x t β ) ∂β 通常，如果样本量 n ，自变量 x t的个数 k 和因变量 y t的均值 y 满足条件 数 β 的最大似然估计量。 min{ n y , n (1 − y )} ≥ k ，根据上式就可得到参
第六章 估计方法的扩展
主要内容
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第一节 离散选择模型 第二节 受限因变量模型 第三节 面板数据
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第一节 离散选择模型
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在实际经济问题的分析中，除可以利用连续变 量表示居民消费或企业投资规模外，还会遇到一些 表示研究对象的数量或状态的离散变量。如：可用 0，1，2……表示企业申请专利数，也可用0或1说 明企业是否申请专利事项。 在将离散变量理解成仅表示选择状态的基础上， 可以进一步地利用离散变量讨论类似家庭是否购房 或某人是否有工作等问题。 如果某个家庭是否购买住房或某人是否有工作 的状态仅是作为用于说明某种具体经济问题的自变 量，则应用以前介绍的虚拟变量的知识就足够了。
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第一节 离散选择模型
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如果现在考虑某个家庭在一定的条件下是否 购买住房或某人在一定的条件下是否有工作等问 题，则表示状态的虚拟变量就不再是自变量，而 是作为一个被说明对象的因变量出现在经济模型 中。 因为在家庭是否购房或某人是否有工作等选 择问题中，虚拟因变量的具体取值仅是为了区别 不同的状态，所以将通过虚拟因变量讨论备择对 象选择的回归模型称为选择模型。
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第二节 受限因变量模型
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∂E ( y t y t > α ) 由上式注意到： < β ∂ xt 自变量 xt 变化对条件期望值 E ( yt yt > α )的影响与断尾回归模型 式中的 参数 β 的大小不一致，其绝对 规模要比参数 β 表示的规模小。 参数 β 的估计：
ρ 拟合优度判定似然比指数 = 1− :
ln L(β ) ln L(0)
β的变化不引起似然函数 在两项选择模型的参数 变化时，似然比指数 ρ = 0，当两项选择模型的参 β能够完全正确的预测两 数 项选择的结果 时，似然函数(β ) = 1，似然比指数 = 1 L ρ 。
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第一节 离散选择模型
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第二节 受限因变量模型
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在现实中，需要考虑从总体的一个受限部分 抽取的样本推断总体特征的问题，就形成了受限 因变量模型(Limited Dependent VariableModels)。 断尾回归模型(Truncated Regression Model) 只能得到分析对象在特定区间以内的因变 量和自变量观察值的情形 截取回归模型(Censored Regression Model) 能得到全部自变量和部分因变量观察值的情形
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4.多元选择模型 可以考虑类似旅游地的选择、品牌选择或者 职业选择等问题 。 （1）多元选择模型基本上还是需要通过最大似然 法获得多元选择模型参数的一致统计估计量； （2）多元选择模型也可以使用不同的概率函数形 式； （3）多元选择模型还涉及无关备择的独立性问 题 。常用的多元选择模型基本上还主要是多元 Logit模型。
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第一节 离散选择模型
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利用线性函数xtβ描述两项选择模型的条件期望值 E(yt|xt) ,得 P(yt=1|xt)=xtβ （6-3） 一般地,将利用线性函数描述选择概率的式 (6-3) 称为线性概率模型 (Linear Probability Model)。 式 (6-3) 不 能 保 证 选 择 备 择 对 象 1 的 概 率 函 数 P(yt=1|xt)始终在［0，1］范围内取值的要求，就需要 对式(6-3)进行必要的修正，在线性函数之外寻找满 足概率函数取值要求的回归模型。作为对线性概率 模型的修正，
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第一节 离散选择模型
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作为最简单的选择模型，可以考虑只具有两 个备择对象的两项选择模型。 两项选择模型具有广泛的应用性，它不仅可 以用于讨论家庭购房等问题，还可以用于讨论家 庭购房是否申请银行贷款、家庭成员是否利用公 共交通设施等两者择一的问题。
正态右断尾分布的期望 值和方差为：
φ (α ) E (x x > α ) = µ + σ 1 − Φ (α ) φ (α ) φ (α ) Var ( x x > α ) = σ 2 [ 1 − ( − α )] 1 − Φ (α ) 1 − Φ (α ) 正态左断尾分布的期望 值和方差为： φ (α ) E (x x < α ) = µ − σ Φ (α ) Var ( x x < α ) = σ 2 [1 − φ ( α ) ( φ ( α ) + α )] Φ (α ) Φ (α )
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第二节 受限因变量模型
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1.断尾分布及其性质 断尾分布是指未断尾分布在大于某个特定断 尾值以上的部分或小于某个特定断尾值以下的部 分。 如果连续随机变量x的概率密度函数为f(x)， 则随机变量x大于断尾值a的条件密度函数就可表 示成下式：
σ
σ
σ
进一步可以导出正态断尾分布的概率密度函数： α − µ −1 1 α −µ f (x x > α ) = φ( )(1 − Φ( ))
σ
σ
σ
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第二节 受限因变量模型
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将在概率分布函数左边发生的断尾称为左断 尾，而将出现在概率分布函数右边的断尾称为右 断尾。
Logit 模型对应的对数似然函 数最大化一阶条件：
∑x
t =1
n
jt
yt − ∑ x jt Λ ( xt β ) = 0