黄冈中学高考数学典型例题1：集合
黄岗集合思想及应用(可编辑修改word版)
⎩ ⎩ ⎩难点 1 集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解， 以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.●难点磁场(★★★★★)已知集合 A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且 0≤x ≤2},如果 A ∩B ≠ ∅ ,求实数 m 的取值范围. ●案例探究 ［例 1］设 A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在 k 、b ∈N , 使得(A ∪B )∩C = ∅ ，证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C = ∅ 转化为 A ∩C = ∅ 且 B ∩C = ∅ ，这样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵， 因而可能感觉无从下手.技巧与方法：由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制， 可得到 b 、k 的范围，又因 b 、k ∈N ,进而可得值. 解：∵(A ∪B )∩C = ∅ ，∴A ∩C = ∅ 且 B ∩C = ∅⎧ y 2 = x + 1 ∵ ⎨ y = kx + b∵A ∩C = ∅∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是 16b 2－16>0,即 b 2>1①⎧4x 2 + 2x - 2 y + 5 = 0 ∵ ⎨y = kx + b∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C = ∅ ,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0 ∴k 2－2k +8b －19<0,从而 8b <20,即 b <2.5 ② 由①②及 b ∈N ,得 b =2 代入由Δ1<0 和Δ2<0 组成的不等式组，得⎧⎪4k 2 - 8k + 1 < 0, ⎨⎪k 2 - 2k - 3 < 0 ∴k =1,故存在自然数 k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C = ∅ .［例 2］向 50 名学生调查对 A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对 A 、B 都不赞成的学生数比对 A 、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人.问对 A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来. 错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.解：赞成 A 的人数为 50× 3=30，赞成 B 的人数为 30+3=33，如上图，记 50 名学生组成的5集合为 U ，赞成事件 A 的学生全体为集合 A ；赞成事件 B 的学生全体为集合 B .设对事件 A 、B 都赞成的学生人数为 x ,则对 A 、B 都不赞成的学生人数为 x+1,赞成 A 而不赞3成 B 的人数为 30－x ，赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33－x .依题意(30－x )+(33－x )+x +( x+1)=50,解得 x =21.3所以对 A 、B 都赞成的同学有 21 人，都不赞成的有 8 人. ●锦囊妙计1. 解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2. 注意空集∅ 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如 A⊆ B ,则有 A = ∅ 或 A ≠ ∅ 两种可能，此时应分类讨论. ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)集合 M ={x |x = kx + ,k ∈Z },N ={x |x = k +,k ∈Z },则( )2 4 2 2A.M =NB.M NC.M ND.M ∩N = ∅2.(★ ★ ★ ★ )已知集合 A ={x |－ 2≤ x ≤ 7},B ={x |m +1<x <2m － 1}且 B ≠ ∅ ,若 A ∪ B =A ， 则 ( )A.－3≤m ≤4B.－3<m <4C.2<m <4D.2<m ≤4 二、填空题3.(★★★★)已知集合 A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若 A 中元素至多有 1 个，则 a 的取值范围是 .4.(★★★★)x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )| x - y=1,a >0,b >0},当 A ∩B 只有一个元素a b时，a ,b 的关系式是 . 三、解答题5.(★★★★★)集合 A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当 a 取什么实数时，A ∩B ∅ 和 A ∩C = ∅ 同时成立.6.(★★★★★)已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为 0，a 1 和 d 均为实数，它的前 n 项和记作 S ,设集合 A ={(a , S n )|n ∈N *},B ={(x ,y )| 1x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.n nn 4试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.⎩⎨⎩(1) 若以集合 A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2) A ∩B 至多有一个元素； (3) 当 a 1≠0 时，一定有 A ∩B ≠ ∅ .7.(★★★★)已知集合 A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合1∈R },当 A ∩B =B 时，求 b的值.B ={w |w = zi +b ,b2 8.(★★★★)设 f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }. (1)求证：A ⊆ B ;(2)如果 A ={－1，3}，求 B .参考答案难点磁场⎧x 2 + mx - y + 2 = 0解：由⎨x - y + 1 = 0(0 ≤ x ≤ 2) ∵A ∩B ≠ ∅得 x 2+(m －1)x +1=0①∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得 m ≥3 或 m ≤－1,当 m ≥3 时，由 x 1+x 2=－(m －1)＜0 及 x 1x 2=1>0 知，方程①只有负根，不符合要求. 当 m ≤－1 时，由 x 1+x 2=－(m －1)>0 及 x 1x 2=1>0 知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内. 故所求 m 的取值范围是 m ≤－1. 歼灭难点训练一、1.解析：对 M 将 k 分成两类：k =2n 或 k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =n π+,n ∈Z }∪{x |x = 4n π+ 3 ,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+ ,n ∈4 2Z }∪{x |x =n π+ 3 ,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+ 5,n ∈Z }.4 4答案：C2.解析：∵A ∪B =A ，∴B ⊆ A,又 B ≠ ∅ , ⎧m + 1 ≥ -2 ∴ ⎪2m - 1 ≤ 7 ⎪m + 1 < 2m - 1 答案：D即 2＜m ≤4. 二、3.a =0 或 a ≥ 984.解析：由 A ∩B 只有 1 个交点知，圆 x 2+y 2=1 与直线 x - y =1 相切，则 1= ab,即 ab =a b.答案：ab = a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2(b - 2)2 + (1 - 0)2 ⎩ 1 1 1 ⎨ ⎩1三、5.解：log 2(x 2－5x +8)=1,由此得 x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}.由 x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又 A ∩C = ∅ ，∴2 和－4 都不是关于 x 的方程 x 2－ax +a 2－19=0 的解，而 A ∩B ∴3 是关于 x 的方程 x 2－ax +a 2－19=0 的解，∴可得 a =5 或 a =－2.∅ ,即 A ∩B ≠ ∅ , 当 a =5 时，得 A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与 A ∩C = ∅ 不符合，所以 a =5(舍去)；当 a =－2 时，可以求得 A ={3，－5}，符合 A ∩C = ∅ ，A ∩B ∅ ，∴a =－2.6. 解：(1)正确.在等差数列{a }中，S = n (a 1 + a n ) ,则 S n = 1 (a +a ),这表明点(a , Sn ）的坐n n 2 n 2 1 n n n标适合方程 y = 1 (x +a ),于是点(a , S n )均在直线 1 1上.2 1 n n y = 2 x + 2 a 1 ⎧ y = 1 x + 1a⎪ 2 (2)正确.设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标 x ,y 应是方程组⎨ 12 的解，由方程组消去 y ⎪ x 2 - y 2 = 1 4得：2a 1x +a 2=－4(*)，当 a =0 时，方程(*)无解，此时 A ∩B = ∅ ；当 a ≠0 时，方程(*)只有⎧ - 4 - a 2⎪ y = 1 - 4 - a 2 ⎪ 2a 1 一个解 x = 1 ,此时，方程组也只有一解⎨ ,故上述方程组至多有一解. 2a 1 ⎪a 2- 4 ⎪ y = 1 ∴A ∩B 至多有一个元素.⎩4a 1 (3）不正确.取 a =1,d =1,对一切的 x ∈N *,有 a =a +(n －1)d =n >0, Sn >0,这时集合 A 中的元素1 n 1 n作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于 a 1=1≠0.如果 A ∩B ≠ ∅ ,那么据(2）的结- 4 - a 2 2 a + x 3论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0）,而 x 0= 1 = - 2a 1 5 ＜0,y 0=1 0 =2 ＜0,这样的4(x 0,y 0）∉A ,产生矛盾，故 a 1=1,d =1 时 A ∩B = ∅ ，所以 a 1≠0 时，一定有 A ∩B ≠ ∅ 是不正确的.7. 解：由1 w = zi +b 2得 z = 2w - 2b , i ∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得| 2w - 2b－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1.i∴集合 A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合 A 表示以点(2，0）为圆心，半径为 2 的圆面，集合 B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为 1 的圆面. 又 A ∩B =B ，即 B ⊆ A ，∴两圆内含.因此 ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =2. 8.(1)证明：设 x 0 是集合 A 中的任一元素，即有 x 0∈A . ∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).即有 f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故 A ⊆ B . (2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴方程 x 2+(p －1)x +q =0 有两根－1 和 3，应用韦达定理，得⎧- 1 + 3 = -( p - 1), ⇒ ⎧ p = -1⎩(-1) ⨯ 3 = q ⎨q = -33 3 3 3 ∴f (x )=x 2－x －3.于是集合 B 的元素是方程 f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根. 将方程(*)变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0 解得 x =1,3, ,－ . 故 B ={－ ，－1， ，3}.。
湖北省黄冈中学2020届高三普通高等学校招生全国统一考试数学理科(含答案)
|
AF
|
⋅
|
BF
|
.”那么对于椭圆
E，问否存在实数
λ，使得 |
AF2
|
+
|
BF2=|
λ | AF2 | ⋅ | BF2 | 成
立,若存在求出 λ 的值;若不存在,请说明理由.
21. (12 分)已知函数 f (= x) ex−2 +1.
(1)求函数 f(2x)在 x=1 处的切线方程; (2)若不等式 f(x+y)+ f(x-y)≥mx 对任意的 x∈[0,+∞), y∈[0,+∞) 都成立,求实数 m 的取值范围.
2x)
2sin(2x
)
6
6
，由
2k≤2x ≤3 2k , k Z
k≤x≤ 5 k ,k Z
2
62
，解得 3
6
，即函数的增区间为
[
k , 5
k ], k Z
[, ]
3
ห้องสมุดไป่ตู้
6
，所以当 k 0 时，增区间为 3 2 ，选 D.
9．【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示：
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22. (10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程
x=
1+
3t
在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 2
(t 为参数).以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极
y = 1+ t
坐标系,圆 C 的极坐标方= 程为 ρ 2 cos(θ − π ) . 4
则
|
z |2 z
黄冈中学2011年高考数学易错题精选(二)集合与简易逻辑、极限与复数
--集合与简易逻辑、极限与复数1．已知集合12{|,}10M x x Z N x=∈∈-且，则M 的非空真子集的个数是（ ） A ．30个 B ．32个 C ．62个 D ．64个 2．不等式1ax a x->的解集为M ，且2M ∉，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,)4+∞ B ．1[,)4+∞ C ．1(0,)2D ．1(0,]23．已知2{|40},{|10}P m m M m mx mx x =-<<=--<对一切实数都成立，则下列关系式中成立的是（ ）A ．P M ØB ．M P ØC ．M P =D ．M P =∅ 4．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则1(1)1lim 1(1)1p n qn n→∞+-+-=（ ）A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 5．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意,x y S ∈，都有,,x y x y xy S +-∈， 则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|,}S a bi a b i =+为整数，为虚数单位为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集； ④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)6．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ； 若至少有一个元素，则a 的取值范围 ．7．对任意两个集合M N 、，定义：{|}M N x x M x N-=∈∉且，M N M N N M =-- （）（），设2{|,}M y y x x R ==∈，{|3sin ,}N y y x x R ==∈，则M N ＝ ．8．已知数列{}n a 的前n 项和11(1)n n nS ba b =-+-+，其中b 是与n 无关的常数，且01b <<，若lim n n S →∞存在，则lim n n S →∞= ．9．22lim (4)x x x x x →-∞+-- = ．10．如果(,R,0)z a bi a b a =+∈≠且是虚数，则222,,,||,||,,,||,||z z z z z z z z z z 中是虚数的有 个，是实数的有 个，相等的有 组．11．设{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-=(1)A B A B = ，求a 的值；(2)A B ∅ Ø，且A C =∅ ，求a 的值； (3)A B A C =≠∅ ，求a 的值． 12．已知集合10{|1},{|1}6E x x mF x R x =-≥=∈>+． （1）若3m =，求E F ；（2）若E F R = ,求实数m 的取值范围．13．设R 为全集，集合2{|10,}A x x ax x R =++=∈，{|1,}B y y x x R ==-∈,若R AC B A = ,求实数a 的取值范围．14．设集合22{(,)|10},{(,)|42250}A x y ay x B x y x x y =--==+-+=，{(,)|}C x y y kx b ==+．（1）当0a =时，求A B ；（2）当1a =时，问是否存在正整数k 和b ，使得()()A C B C =∅ ，若存在，求出k 、b 的值；若不存在,说明理由．15．已知不等式2435x x a x -++-≤的解集中的最大解为3，求实数a 的值．16．设2x a -<时，不等式241x -<成立，求正数a 的取值范围．17．设:p 方程2210x mx ++=有两个不相等的正根；:q 方程22(2)3100x m x m +--+=无实根，求使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围．18．试判断3a ≥是关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的什么条件？并给出判断理由．19．已知不等式①32x x +>；②22132x x x +≥-+；③2210x mx +-<． （1）若同时满足①、②的x 也满足③，求实数m 的取值范围；（2）若满足③的x 至少满足①、②中的一个，求实数m 的取值范围．20．已知数列{}n a 的各项都是正数，且满足：0111,(4)2n n n a a a a +==-，N n ∈，证明：12n n a a +<<，N n ∈．21．试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当1,N n n >∈*且a 、b 、c 互不相等时，均有：2n n n a c b +>．22．已知函数21()22f x x x =-+，数列{}n a 满足递推关系式：1()(N )n n a f a n +=∈*，且11a =．（1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）用数学归纳法证明：当5n ≥时，121n a n <--； （3）证明：当5n ≥时，有111nk kn a =<-∑． 23．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，由{}n a 中的部分项组成的数列12,,,nb b b a a a ，…，为等比数列，其中11b =，25b =，317b =． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记123123n n n n n n n T C b C b C b C b =++++ ，求lim4nn n nT b →∞+．24．已知公比为(0)q q <<1的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列2{}na 各项的和为815． （1）求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；（2）对给定的(1,2,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求数列(2)T 的前10项之和；（3）设i b 为数列()i T 的第i 项，12n n S b b b =++ ，求n S ，并求正整数(1)m m >，使得limnmn S n →∞ 存在且不等于零．25．当x →∞时，函数()(,N )nm x f x m n x b =∈*+的极限是否存在？若存在，求出其极限．26．设z 是虚数，1z zω=+是实数，且1ω-<<2．（1）求||z 的值及z 的实部的取值范围；（2）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； （3）求2u ω-的最小值．集合与简易逻辑、极限与复数易错题（参考答案）1．C 解：因为121122634=⨯=⨯=⨯，又x Z ∈且1210N x∈-，所以 101,2,3,4,6,12x -=，故{9,8,7,6,4,2}M =-，所以它的非空真子集有62262-=个．故选C ．2．B 解：当0a ≤时，不等式的解集为{|0}x x R x ∈≠且，不符合题意，所以0a >，由不等式1ax a x->得：1ax a x ->或1ax a x -<-，即10x ->或210ax x -<，则有0x <或102x a<<，又2M ∉，所以122a ≤，即有14a ≥，故选B ． 3．A 解：当0m =时，10-<，对一切实数x ，不等式210mx mx --<恒成立；当0m ≠时，要使不等式恒成立，则0m <且240m m ∆=+<，即40m -<<，所以{|40}M m m =-<≤，故选A ． 4．C 解：特殊值法由题意取1,2p q ==，则211(1)1lim lim lim11212(1)1p n n n q n n n n n nn →∞→∞→∞+-==++-+12p q==，可见选C ． 5．①②解：∵集合S 为复数集，而复数集一定为封闭集，∴①是真命题． ②由封闭集定义知②为真命题．③是假命题．如{0}S =符合定义，但是S 为有限集．④是假命题．如S Z =，T 为整数和虚数构成集合，满足S T C ⊆⊆，但T 不是封闭集， 如32,32i i +-都在T 中，但(32)(32)23i i T ++-=∉，所以正确的是①②．6．9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ 解：当A 中仅有一个元素时，0a =，或980a ∆=-=；当A 中有0个元素时，980a ∆=-<；当A 中有两个元素时，980a ∆=->；所以9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭． 7．[3,0)(3,)-+∞解：依题意有[0,)M =+∞，[3,3]N =-，所以(3,)M N -=+∞，[3,0)N M -=-，故[3,0)(3,)M N M N N M =--=-+∞ （）（）．8．1 解：因为1111()1(01)(1)(1)n n n n nnS ba b S S b b b -=-+-=--+-<<++， 所以11lim (lim lim )1lim(1)n n n nn n n n S b S S b -→∞→∞→∞→∞=--+-+，得1lim 1lim(1)n n n n S b →∞→∞=-+，则01b <<，故112b <+<，所以lim 1n n S →∞=．9．52-解：22lim (4)x x x x x →-∞+--=225lim4x x x x x x→-∞++-5lim1411x x x→-∞-=++-52=-．10．4，5，3．解：2,,,z z z z 四个为虚数；22||,||,,||,||z z z z z z 五个为实数；2,||||,||z z z z z z z === 三组相等．11．解：(1)因为A B A B = ，所以A B =，又由对应系数相等可得5a =和2196a -=同时成立，即5a =；(2)由于{2,3}B =，{4,2}C =- ，且A B ∅ Ø，A C =∅ ，故只可能3A ∈.此时23100a a --=，即5a =或2a =-，由(1)可知，当5a =时，{2,3}A B ==，此时A C ≠∅ ，与已知矛盾，所以5a =舍去，故2a =-；(3)由于{2,3}B =，{4,2}C =-，且A B A C =≠∅ ，此时只可能2A ∈，即22150a a --=，也即5a =，或3a =-，由(2)可知5a =不合题意，故3a =-．12．解：（1）当3m =时，{|13}{|24}E x x x x x =-≥=≤-≥或，10{|1}{|64}6F x x x x =>=-<<+， {|24}{|64}{|62}E F x x x x x x x =≤-≥-<<=-<≤- 或；（2）因为{|1}E x x m =-≥，当0m ≤时，,E R E F R == ,满足条件；当0m >时，{|11}E x x m x m =≤-≥+或，由E F R = ，{|64}F x x =-<<，得：16140m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得03m <≤.综上，实数m 的取值范围为(,3]-∞． 13．解：因为R A C B A = ，所以R A C B ⊆．又[0,)B =+∞，所以(,0)A ⊆-∞．所以方程210x ax ++=或者无实根，或者只有负实数根．所以，0∆<或00a ∆≥⎧⎨-<⎩，即240a -<或2400a a ⎧-≥⎨>⎩，得2a >-．故实数a 的取值范围为(2,)-+∞．14．解：（1）0a =，则{(,)|1,}A x y x y R ==-∈，由方程组2142250x x x y =-⎧⎨+-+=⎩解得：172x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即7{(1,)}2A B =- ． （2）1a =，则A 中的方程为210y x --=.因为A B C 、、都是非空集合，由已知必有A C =∅ 且BC =∅ ，此即方程组21y x y kx b ⎧=+⎨=+⎩和方程组242250x x y y kx b⎧+-+=⎨=+⎩均无解，消去y 整理得222(21)10k x bk x b +-+-=(0)k ≠和242(1)250x k x b +--+=，所以22221(21)4(1)4410bk k b k kb ∆=---=-+<，2224(1)16(52)4(2819)0}k b k k b ∆=---=-+-<，将其看做关于k 的二元一次不等式，从而2316160b ∆=->，444(819)0b ∆=-->，所以21b >且52b <成立.又b N *∈，所以2b =,此时24810k k -+<，且2230k k --<，由此得232322k -+<<，由k N *∈,得1k =，即所求2b =，1k =．15．解：将3x =代入2435x x a x -++-=，得35a -+=，即8a =．当8a =时，原不等式可化为2343x x x -≤-+-，解得0323x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即23x ≤≤，所以8a =满足要求．16．解：因为0a >，所以由2x a -<得22a x a -<<+，由241x -<，得：35x <<或53x -<<-，故2325a a ⎧-≥⎪⎨+≤⎪⎩，解得52a ≤-， 又0a >，所以052a <≤-，又25230a a a ⎧-≥-⎪⎪+≤-⎨⎪>⎪⎩，无解．综上，正数a 的取值范围是{|052}a a <≤-．17．解：令2()21f x x mx =++，则由(0)0f >，且02ba->， 且0∆> ，求得1m <-，∴:(,1)p m ∈-∞-，2:4(2)4(310)023q m m m ∆=---+<⇒-<<，由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 一真一假．①当p 真q 假时，123m m m <-⎧⎨≤-≥⎩或，即2m ≤-；②当p 假q 真时，123m m ≥-⎧⎨-<<⎩即13m -≤<．∴m 的取值范围是2m ≤-或13m -≤<． 答案：(,2][1,3)-∞--18．解：令2()10f x x ax =++=，则方程在区间[1,1]-上有解的充要条件是：240112(1)0(1)0a a f f ⎧-≥⎪⎪-≤-≤⎪⎨⎪-≥⎪≥⎪⎩或(1)(1)0f f -≤，由于第一个不等式的解集是{2,2}-，而第二个不等式的解集是{|22}a a a ≤-≥或，所以关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的充要条件是2a ≥，因为集合{|3}{|2}a a a a ≥≥Ø，故而可得结论：3a ≥是关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的充分不必要条件．19．解：由题意知，解①得13x -<<；解②得01x ≤<或24x <≤．（1）设同时满足①、②的集合[0,1)(2,3)A = ，满足③的集合为B ，因为A B ⊆，所以：(3)0(0)0f f ≤⎧⎨<⎩，所以173m ≤-为所求． （2）(1,3)[0,1)(2,4]B ⊆- ，所以(1,4]B ⊆-，即方程2210x mx +-=的两根在[1,4]-内，所以：0(1)0(4)0144f f m ∆≥⎧⎪-≥⎪⎪⎨≥⎪⎪-<-<⎪⎩，所以3114m -≤≤为所求． 20．证明：用数学归纳法证明①当0n =时，01a =，10013(4)22a a a =-=，所以012a a <<，命题正确②假设当(N )n k k =∈*时，有12k k a a -<<，则当1n k =+时，11111(4)(4)22k k k k k k a a a a a a +---=--- 11112()()()2k k k k k k a a a a a a ---=---+111()(4)2k k k k a a a a --=---，而110,40k k k k a a a a ---<-->，所以10k k a a +-<．又2111(4)[4(2)]222k k k k a a a a +=-=--<，所以当1n k =+时，命题正确由①②知，对一切N n ∈，有12n n a a +<<．21．证明：（1）设a 、b 、c 为等比数列，,(01)ba c bq q q q==>≠且，所以1()2n nnn n n n n n n b a c b q b q b q q+=+=+>．（2）设a 、b 、c 为等差数列，则2b a c =+，猜想()(2N )22n n na c a c n n ++>≥∈*且．下面用数学归纳法证明：①当2n =时，由2222()()a c a c +>+， 所以222()22a c a c ++>．②假设n k =时成立，即()22k k ka c a c ++>，则当1n k =+时，1111111()24k k k k k k a c a c a c +++++++=+++ 111()4k k k k a c a c c a ++>+++1()()4k k a c a c =++ ()()22k a c a c ++> 1()2k a c ++=22．解：（1）由11a =及21122n n n a a a +=-+计算得：232a =，3138a =，4217128a =． （2）证明：（Ⅰ）2512172172171217217391()22(1)22212812812821281282564a =-+=--⨯=-<- ，即当5n =时，结论成立．（Ⅱ）假设结论对(5)n k k =≥成立，即121k a k <--． 因为21133(1)222n n a a +=-+≥，函数213()(1)22f x x =-+在(1,)+∞上递增，则1()(2)1k f a f k <--，所以21113(21)212k a k +<--+-21112212(1)k k k =-+<---， 即当1n k =+时结论也成立． 由（Ⅰ）（Ⅱ）知，不等式121n a n <--对一切5n ≥都成立． （3）因为当5n ≥时，121n a n <--，所以112n n a +<-． 又由21122n n n a a a +=-+，即1(2)22n nn a a a +--=， 即111122n n n a a a +=---，得111122n n n a a a +=---，且11a =．所以111111()22nnk k k k k a a a ==+=---∑∑11111111222n n n a a a ++=-=-<----．23．解：（1）由题意知25117a a a = ，即221111(4)(16)2a d a a d a d d +=+⇒=． 因为0d ≠，所以12a d =，数列{}nb a 的公比511143a a dq a a +===， 所以113nn b a a -= ．① 又111(1)2n n b n b a a b d a +=+-=．② 由①②得111132n n b a a -+=．因为120a d =≠，所以1231n n b -=-． （2）1212n n nn n n T C b C b C b =+++ 10211(231)(231)(231)n n n n n C C C -=++-++- 122122(333)()3n n nn n n n n n C C C C C C =+++-+++ 2[(13)1](21)3n n =+---214233n n =-+ ， 所以1214233lim lim 44231n n n n n n n n n T b -→∞→∞-+=++- 12111()()23234lim13131()()244n nn n n →∞--+==+- ． 24．解：（1）由题设可得1212918151a q a q⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得1323a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以数列{}n a 的首项1a 为3，公比q 为23．（2）由（1）知，123()3n n a -=⨯，所以，(2)T 是首项为22a =，公差2213d a =-=的等差数列，它的前10项之和为10110210931552S =⨯+⨯⨯⨯=，即数列(2)T 的前10项之和为155．（3）因为i b 为数列()i T 的第i 项，()i T 是首项为i a ，公差为21i a -的等差数列， 所以(1)(21)(21)(1)i i i i b a i a i a i =+--=---，所以12n n S b b b =+++ 12335(21)[12(1)]n a a a n a n =++++--+++- ． 令12335(21)n S a a a n a =++++- ．因为12112()(21)n n S qS a a a a n a +-=+++--- ，所以1112(21)(1)21(1)n n a n a a q S q q ++--=--- 245(1845)()3nn =-+，故(1)2(1)45(1845)()232n n n n n n S S n --=-=-+-． 所以12(1)limlim [45(1845)()]32n n m m n n S n n n n n →∞→∞-=-+-因为1m >，且lim n m n S n →∞存在，所以当2m =时，1lim 2n m n S n →∞=-； 当2m >时，lim0n m n S n →∞=，由题设，limnmn S n →∞不等于0． 因此2m >不合题意，舍去，故满足题设的正整数m 的值为2． 25．解：（1）当n m =时1lim ()lim111()x x mf x b x→∞→∞==+ ；（2）当n m <时1()lim ()lim 011()m nx x mx f x bx-→∞→∞==+ ；（3）当n m >时lim ()lim11()n mx x mx f x bx-→∞→∞=+ 不存在． 所以0lim ()1x n m f x n m n m →∞<⎧⎪==⎨⎪>⎩（）（）不存在（）． 26．解：（1）设(R,0)z a bi a b b =+∈≠、且，则221a bi z a bi z a b ω-=+=+++2222()()a b a b i a b a b =++-++，因为ω是实数，所以220b b a b -=+．由0b ≠，得221a b +=，即||1z =，因为||1z =，所以2||1z z z == ，所以12z z z a z ω=+=+=．由已知12ω-<<，即122a -<<，解得112a -<<．（2）证明：11z u z-=+ 1()(1)(1)1()[(1)][(1)]a bi a bi a bi a bi a bi a bi -+--+-==+++++-1bia -=+． 所以u 是纯虚数．（3）22222()21(1)bi b u a a a a ω---=-=-++2211221(1)a a a a a a --=-=+++22(1)31a a=++-+， 因为112a -<<，所以1122a <+<，所以242(1)51a a≤++<+，所以2u ω-的最小值为1．。
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析集合与逻辑考点透析
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析5：集合与逻辑考点透析1．（北京卷）设集合A ={}213x x +＜，B ={}23＜＜x x -，则A ⋂B 等于（ ） (A) {}13＜＜x x - (B) {}21＜＜x x (C)｛x|x ?－3｝ (D) ｛x|x ?1｝解：集合A ={}312＜+x x ＝｛x|x ?1｝，借助数轴易得选A2．（福建卷）已知全集U =R,且A=｛x ︱︱x －1︱>2｝,B =｛x ︱x 2－6x +8<0｝，则(U A )∩B等于（ ） A.[－1,4] B. (2,3) C. (2,3) D.(－1,4) 解：全集,U R =且{}|12{|1或3},A x x x x x =->=<->{}2|680{|24},B x x x x x =-+<=<<∴(U A )∩B =(2,3]，选C.3．（山东文1）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ）14．（湖北卷）集合P ＝｛x 」x 2－16<0｝,Q ＝｛x 」x ＝2n ，n ∈Z ｝,则P Q ＝A.｛-2,2｝B.｛－2，2，－4，4｝C.｛2，0，2｝D.｛－2，2，0，－4，4｝解：P ＝｛x |x 2－16<0｝＝｛x |－4?x ?4｝，故P Q ＝｛－2，0，2｝，故选C5．（全国卷I ）设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则A ．M N =∅B ．M N M =C ．M N M =D ．M N R = 解：{}20M x x x =-<={|01}x x <<，{}2N x x =<={|22}x x -<<，∴ M N M =，选B.6．（全国II ）已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（A ）∅ （B ）｛x |0＜x ＜3｝ （C ）｛x |1＜x ＜3｝ （D ）｛x |2＜x ＜3｝ 解析:{}{}2log 12N x x x x =>=>,用数轴表示可得答案D【点评】考察知识点有对数函数的单调性,集合的交集7．（辽宁卷）设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是(A)1 (B)3 (C)4 (D)8【解析】{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。
考向01 集合(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)
考向01 集合【2022年新高考全国Ⅰ卷】若集合{4},{31}M xx N x x =<=≥∣∣，则M N =（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D【2022年新高考全国II 卷】已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ） A ．{1,2}- B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B 后可求A B . 【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =， 故选：B.(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用Venn 图求解.(2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但要注意端点值能否取到.(3)根据集合的运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.（1）集合运算的相关结论交集 A B A ⊆ A B B ⊆ A A A = A ∅=∅ A B B A = 并集 A B A ⊇A B B ⊇A A A =A A ∅=A B BA =补集()UU A A =UU =∅UU ∅= ()U A A =∅()U A A U =（2）(.)UUU A B A B A A B B A B A B ⊆⇔=⇔=⇔⊇=⇔∅易错题【01】对集合中元素的类型理解不到位集合问题是高考必考问题,一般作为容易题出现,求解集合问题的关键是理解集合中元素的类型,特别是用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是连续数集、离散数集、点集或其他类型的集合. 易错题【02】忽略集合中元素互异性利用元素与集合的关系或两集合之间的关系求参数的值,集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意,求出以后一定要代入检验,看看是否满足元素的互异性. 易错题【03】忽略空集空集是任何集合的子集,在涉及集合关系,如根据,A B ⊆求参数的值或范围要注意A 是否可以为∅,根据A B =∅求参数的值或范围必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解． 易错题【04】忽视集合转化的等价性把用描述法表示的集合转化为用列举法表述的集合或化简集合容易忽略等价性,如去分母忽略分母不为零,解含有对数式的不等式要保证对数式有意义,要注意集合中的限制条件等.1．（2022·全国·模拟预测）若集合{}24M xy x x ==-∣，{}222x N x -=>∣，则M N =（ ）A ．{}01xx ≤≤∣ B ．{01}x x ≤<∣ C ．{14}x x <<∣ D ．{1}∣<xx 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的定义，先对集合进行化简，再利用交运算即可求解. 【详解】由题意知{}04M xx =≤≤∣，{1}N x x =<∣，所以{01}M N x x ⋂=≤<∣． 故选:B ．2．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知集合{}22(,)4A x y x y =+=，(){},34B x y y x =+，则A B中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】把34y x =+代入224x y +=，根据方程的根的个数分析即可 【详解】集合{}22(,)4A x y x y =+=，{}(,)34B x y y x ==+，把34y x =+代入224x y +=，得22330x x ++=，即3x =有唯一解，故集合A B 中元素的个数为1． 故选：B3．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知集合{}2670A x x x =--<，{}3,1x B y y x ==<，则()R A B ⋂=（ ） A ．[)3,7 B ．(][)1,03,7-⋃C ．[)7,+∞D ．()[),17,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】 【分析】先化简集合A 、B ，再去求R B ，进而求得()RA B【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}()3,10,3x B y y x ==<=，所以(][)R ,03,B =-∞⋃+∞，所以()(][)R 1,03,7A B ⋂=-⋃． 故选：B ．1．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）设集合{}{}220,1,1,2,3A x N x x B =∈--≤=-，则A B =（ ）A ．{1,0}-B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A ，根据交集运算求解. 【详解】{}{}{}220120,1,2A x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤=，{}1,1,2,3B =-， {1,2}A B ∴=，故选：B2．（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合A ，B ，C ，全集为I ，则图中阴影部分的区域表示（ ）A ．ABC ⋂⋂B ．()I AC B ⋂⋂C ．()I A B C ⋂⋂D ．()I B C A ⋂⋂【答案】B 【解析】 【分析】找到每一个选项对应的区域即得解. 【详解】 解：如图所示，A. A B C ⋂⋂对应的是区域1；B. ()I A C B ⋂⋂对应的是区域2；C. ()I A B C ⋂⋂对应的是区域3；D. ()I B C A ⋂⋂对应的是区域4. 故选：B3．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R （ ） A ．[2,2]- B ．(2,2]- C ．[0,2] D ．(0,2]【答案】B 【解析】 【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合,P Q ，结合集合的补集及交集的定义即可求解. 【详解】由2log 1x >，得2x >，所以{}2,P x x =>{}R2P x x =≤.由302x x -≤+，得23x -<≤，所以{}23x x Q =-<≤，所以(){}{}{}R 23222P Q x x x x x x -<=≤=≤-<≤，故选：B.4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R （ ） A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(,2]-∞ D ．(,2)-∞【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性求得集合A ，解一元二次不等式求得B ,即可根据集合的补集以及并集运算求得答案. 【详解】由题意得{}2|log ,4{|2}A y y x x y x ==>=>，则{|2}A y y =≤R，而{}2|320{|12}B x x x x x =-+<=<<，故()(,2]A B =-∞R ， 故选：C.5．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},21B x y y x ==-，则集合AB的子集个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】B 【解析】 【分析】 求出抛物线2y x 和曲线2||1y x =-的交点，确定集合A B 的元素个数，即可确定答案.【详解】由题意得21,02121,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨--<⎩，当0x ≥时，21y x =- 联立2yx ，解得11x y =⎧⎨=⎩ ；当0x <时，21y x =-- 联立2yx ，解得11x y =-⎧⎨=⎩；故抛物线2y x 与曲线2||1y x =-有两个公共点，分别为(11)-，，(11)，，则集合A B 有两个元素，所以A B 的子集个数为224=， 故选:B ．6．（2022·河北·沧县中学模拟预测）若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（ ） A ．(2,1)- B ．{1,0}- C ．(2,1]{2}-⋃ D ．{1,0,1,2}-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出集合A ，再利用并集的定义即可求解. 【详解】由题意可知{}}{211,0A x Z x =∈-<<=-，又{}0,1,2B =， 所以}{{}1,00,1,2{1,0,1,2}A B =-=-．故选：D ．7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知集合()22,1,,42x y A x y x Z y Z ⎧⎫=+≤∈∈⎨⎬⎩⎭，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的性质得22,22x y -≤≤-≤. 【详解】解：由椭圆的性质得22,22x y -≤≤≤ 又,x Z y Z ∈∈,所以集合()()()()()()()()()()(){}=2,0,2,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1A ------- 共有11个元素. 故选：C8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合234|0A x x x ，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可. 【详解】解：由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅， 所以，当{}2|B x a x a=<<=∅时，2a a≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞. 故选：D9．（2022·江苏·南京市第一中学三模）非空集合{|03}A x N x =∈<<，2{|10,}B y N y my m R =∈-+<∈，A B A B =，则实数m 的取值范围为（ ） A ．510,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．170,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．517,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】由题知{}1,2A B ==，进而构造函数()21f x x mx =-+，再根据零点存在性定理得()()()302010f f f ⎧≥⎪<⎨⎪<⎩，解不等式即可得答案. 【详解】解：由题知{}0{|}13,2A x N x =∈<=<， 因为A B A B =，所以A B =，所以{}2{|10,}1,2B y N y my m R =∈-+<∈=，故令函数()21f x x mx =-+，所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得： ()()()302010f f f ⎧≥⎪<⎨⎪<⎩，即103052020m m m -≥⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，解得51023m <≤，所以，实数m 的取值范围为510,23⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A10．（2022·四川攀枝花·三模（理））设集合{}A x x a =>，{}2320B x x x =-+>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B ，再由A B ⊆求出实数a 的范围. 【详解】{}{23202B x x x x x =-+>=>或}1x <. 因为集合{}A x x a =>，A B ⊆，所以2a ≥.故选：D11．（2022·安徽黄山·二模（文））若集合2{|60}A x x x =--+>，5{|1}3B x x =≤--，则A B 等于（ ） A ．()3,3- B ．[2,3)-C ．(2,2)-D ．[2,2)-【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用交集的定义直接求解作答. 【详解】不等式260x x --+>化为：260x x +-<，解得：32x -<<，则(3,2)A =-， 不等式513x ≤--，即203x x +≤-，整理得：(2)(3)030x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，解得23x -≤<，则[2,3)B =-，所以[2,2)A B ⋂=-. 故选：D1．（2022·全国·高考真题（文））集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N =（ ）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N =．故选：A.2．（2022·全国·高考真题（理））设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =，则（ ） A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉【答案】A【解析】【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A3．（2022·全国·高考真题（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B xx x =-=-+=∣，则()U A B ⋃=（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-【答案】D【解析】【分析】 解方程求出集合B ,再由集合的运算即可得解.【详解】 由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-, 所以(){}U 2,0A B ⋃=-.故选：D.4．（2022·浙江·高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可得正确的选项.【详解】 {}1,2,4,6A B =，故选：D.5．（2022·北京·高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A （ ）A ．(2,1]-B ．(3,2)[1,3)--C ．[2,1)-D ．(3,2](1,3)--【答案】D【解析】【分析】 利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =--，故选：D ．6．（2022·全国·高考真题（文））设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ） A ．{}0,1,2B ．{2,1,0}--C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A【解析】【分析】 根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣，所以{}0,1,2A B =． 故选：A.7．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U AB =（ ） A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3} 【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=， 故选：B.8．（2021·全国·高考真题（文））设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【解析】【分析】求出集合N 后可求M N ⋂.【详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.9．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T =.故选：C.10．（2021·全国·高考真题（理））设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.11．（2021·全国·高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .12．（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则y x ∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A【解析】【分析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍. 若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456*********,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确.故选：A .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 13．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.14．（2020·浙江·高考真题）已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则P Q =（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}<<x x【答案】B【解析】【分析】根据集合交集定义求解.【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q == 故选：B【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.。
高考数学总复习 热点题型突破 探究高考中4种类型的集合创新问题课件 理 新人教A版
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【解析】 取 T＝{x|x∈(－∞，0)，且 x∈Z}，V＝{x|x∈ (0，＋∞)，且 x∈Z}∪{0}，可得 T 关于乘法不封闭，V 关于 乘法封闭，又取 T＝{奇数}，V＝{偶数}，可得 T，V 关于乘法 均封闭，故排除 B、C、D，故选 A.
则对于任意集合 X、Y、Z，则 X⊕(Y⊕Z)＝
()
A．(X∪Y)∪(∁UZ)
B．(X∩Y)∪(∁UZ)
C．[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z D．(∁UX)∪(∁UY)∪Z
解析：由定义运算得 X⊕(Y⊕Z)＝X⊕[(∁UY)∪Z]＝∁UX∪[(∁UY)∪Z]＝∁UX∪(∁ UY)∪Z. 答案：D
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(2)当 a，b 为一奇一偶时， ab＝6⇒ab＝36，即 1×36＝ 3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a，b)有 2×3＝6 个．
综合(1)(2)，集合 A 中的元素个数为 17 个． 【答案】 17
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解决创新集合新运算问题常分为三步：(1)对新定义进行信 息提取，确定化归的方向；(2)对新定义所提取的信息进行加工， 探求解决方法；(3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出， 其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题 的难点．
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4．创新集合新交汇 创新集合新交汇问题往往是综合集合与其他知识的交汇， 特别是与函数、复数、向量、不等式等内容，以集合为背景， 通过知识的交汇性创新来达到考查与应用的目的．
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2023-2024学年湖北省黄冈市高中数学上教版 必修一集合与逻辑章节测试-6-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省黄冈市高中数学上教版 必修一集合与逻辑章节测试(6)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知命题 ，那么命题 为（ ）A.B.C.D.2. 已知： ， ：.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x 2﹣3x+2≠0”“a=2”是“函数f （x ）=log a x 在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件若命题p ：∃n ∈N ，2n ＞1000，则￢p ：∀n ∈N ，2n ＞1000命题“∃x ∈（﹣∞，0），2x ＜3x ”是假命题3. 下列关于命题的说法错误的是（ ）A. B. C. D. 充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件4. “a≤0”是“函数f （x ）=|（ax ﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（ ）A. B. C. D. 充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件5. 已知平面四边形 ， 则“(为实数)，”是“四边形是平行四边形”的（ ）A. B. C. D. 逆命题与否命题假，逆否命题真逆命题假，否命题和逆否命题真6. 原命题“若实数 ， ， 成等比数列，则 ”，则（ ）A. B.逆命题和否命题真，逆否命题假逆命题、否命题、逆否命题都真C. D. 充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件7. 已知 是实数，则“ ，且 ”是“ ”的（ ）A. B. C. D. 12348. 已知下面四个命题：①“若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 且 ，则”②“”是“ ”的充分不必要条件③命题 存在，使得 ，则 ：任意 ，都有④若 且 为假命题，则均为假命题，其中真命题个数为（ ）A. B. C. D. 9. 在 中，角的对边为 ，则“”成立的必要不充分条件为（ ）A.B.C.D.充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件10. “ ”是“两点 ， 到直线 的距离相等”的（ ）A. B. C. D. 充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件11. 设，，则“”是“”的（ ）A. B. C. D. 12. 已知命题 “”，那么命题p 的否定为（ ）A.B.C. D.13. 数学老师给出一个函数 ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在上函数单调递减；乙：在上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线 对称；丁：不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为 说的是错误的．14. 已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2+2x+3＞0，如果命题￢p 是真命题，那么实数a 的取值范围是 ．15. 在△ABC 中，“ ”是“是等腰三角形”的 条件16. 如图所示，正方形 的边长为 ，已知，将沿边折起，折起后 点在平面 上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：① 与所成角的正切值为；②；③；④平面平面，其中正确的命题序号为 ．阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．18. 已知，条件：对任意，不等式恒成立；条件：存在，使得成立.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.19. 设．(1) 命题p：，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围；(2) 解关于x的不等式．20. 已知，，其中 .(1) 若，且为真，求的取值范围；(2) 若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．21. 已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为.(1) 当时，求；(2) 若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.(1)(2)(1)(2)(1)(2)。
2023-2024学年湖北省黄冈市高一数学人教A版集合与常用逻辑用语强化训练-1-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省黄冈市高一数学人教A版集合与常用逻辑用语强化训练(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）A ⊆B B ⊆A A∈B B∈A1. 设B＝{1,2}，A＝{x|x ⊆B}，则A与B的关系是（ ）A .B .C .D .373948572. 已知集合M={x∈N *|1≤x≤15)，集合A 1 ， A 2 ， A3满足：①每个集合都恰有5个元素，②A 1UA 2UA 3=M．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为X i (i=1，2，3)，则X 1+X 2+X 3的值不可能为（ ）．A .B .C .D .①②①③①④②④3. 下列元素与集合的关系判断正确的是（ ）①；②；③；④.A . B . C .D .4. 已知非空集合 ， ， ，则集合 可以是（ ）A .B .C .D .（﹣∞，1）（﹣∞，﹣1]（1，+∞）[1，+∞）5. 已知集合A={x|x 2≤1}，B={x|x＜a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是（ ）A .B .C .D .6. 下列集合中，是集合 的真子集的是（ ）A .B .C .D .{x|x+3=3}{（x，y）|y 2 =x 2 ， x，y∈R}{x|x 2 ≤0}{x|x 2-x+1=0，x∈R}7. 下列四个集合中，是空集的是（ ）A .B .C .D .1个2个3个4个8. 若U为全集，为非空集合，下面四个命题：（1）；（2）；（3） ；（4） .其中与命题等价的命题个数有（ ）A . B . C . D .9. 下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A .B .C .D .， ， 10. 命题“ ”的否定为（ ）A .B .C .D .11. 设集合 ，集合 ，则 （ ）A .B .C .D .0120或212. 如果集合A={x|mx 2﹣4x+2=0}中只有一个元素，则实数m的值为（ ）A .B .C .D .13. 若整数 、 能使 成立，则 ．14. 集合 ，则“ 或 ”是“ ”的 条件.（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．15. 命题“∀x＞0，x 2﹣3x+2＜0”的否定是 ．16. 集合{1，0}的子集的个数为 .17. 设全集 ,集合 ， .(1) 求 ；(2) 若 ,求实数 的取值范围.18. ， ， ， .(1) 求a，b的值；(2) 求.19. 已知集合A={x| ＞0}，集合B={x|y=lg（﹣x2+3x+28）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．(1) 求（∁R A）∩B；(2) 若B∪C=B，求实数m的取值范围．20. 在①是的充分不必要条件；②；③ ， 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合 ， .(1) 当时，求；(2) 若选__________，求实数m的取值范围.21. 已知集合 ， 集合 ．(1) 若 ， 求实数的值；(2) 若 ， ， 且p是q的充分条件，求实数的取值范围．答案及解析部分1.2.3.4.6.7.8.9.10.11.12.13.14.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(1)(2)20.(1)(2)(1)(2)。
2023-2024学年湖北省黄冈市高中数学人教B版 必修一集合与逻辑用语章节测试-11-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省黄冈市高中数学人教B 版 必修一集合与逻辑用语章节测试(11)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）Ａ＝ＢA ⊆B1. 设函数的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增， ， 则 （ ）A.B. C.D. 2. 已知， ，则 （ ）A. B. C.D.3. 已知集合，，则 （ ）A.B. C. D.4. 命题：“”的否定是（ ）A. B.C. D.5. 已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D.或 或 或6. 命题“恒成立”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.7. 已知集合 ， 则（ ）A. B. C. D.∅R B A8. 已知集合A={x|x 2﹣2x ＞0}，B={x|﹣＜x ＜ }，则A ∪B=（ ）A. B. C. D. p 为真﹁q 为假p ∧q 为假p ∨q 为真9. 设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为；命题q ：函数y ＝cosx 的图象关于直线x ＝对称．则下列判断正确的是 ( )A. B. C. D. 10. 设命题p:>1,n 2>2n ,则 p 为（ ）A. B. C. D.或1 或4411. 已知 2， ， ， ，则A. B. C. D. 对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0，则¬p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件若命题p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”12. 下列命题的说法错误的是（ ）A. B. C. D. 13. 集合A={0，1，2}的真子集的个数是 ．14. 设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝ ，则b －a ＝ .15. 函数f （x ）=a|log 2x|+1（a≠0），定义函数F （x ）=，给出下列命题：①F （x ）=|f （x ）；②函数F （x ）是偶函数；③当a ＜0时，若0＜m ＜n ＜1，则有F （m ）﹣F （n ）＜0成立；④当a ＞0时，函数y=F （x ）﹣2有4个零点．其中正确命题的序号为 ．16. 给出以下四个命题：①若集合，，，则，；②若函数的定义域为，则函数的定义域为；③函数的单调递减区间是；④若，且， .其中正确的命题有（写出所有正确命题的序号）．17. 已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q 有且只有一个为真，求m的取值范围．18. 已知， .(1) 求集合A；(2) 若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.19. 已知命题p：方程x2+y2﹣ax+y+1=0表示圆；命题q：方程2ax+（1﹣a）y+1=0表示斜率大于1的直线，若p∨q为真命题，p ∧q为假命题，求a的取值范围．20. 设集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，(1) 若m=4，求A∪B；(2) 若B⊆A，求实数m的取值范围．21. 已知函数 .(1) 关于x不等式的解集为空集，求实数m的取值范围；(2) 设（1）中m取值范围为集合A，又集合，若，求实数a的取值范围.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.(1)(2)19.20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年湖北省黄冈市高一数学人教A版集合与常用逻辑用语章节测试-12-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省黄冈市高一数学人教A版集合与常用逻辑用语章节测试(12)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）{x|x<1}{x|3<x<4}{x|1<x<3}R1. 已知集合A＝{x|x 2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B等于（ ） A . B . C .D .{0}2. 设全集 ， ， ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A .B .C .D . ， 且 ， 或 ，且，或 3. 命题“ ， ”的否定是（ ）A .B .C .D .0、1或31或31或 0或34. 已知集合 ， ，若集合 有4个子集，则实数 （）A .B .C .D . ， ，5. 命题“ ， ”的否定是（ ）A .B .， ，C .D .3206. 已知集合A={x|x 2一x一6=0}，B={x|ax+6=0}，若A∩B=B，则实数a不可能取的值为（ ）A .B .C .D .{1，3，4}{3，4}{3}{4}7. 已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2}，则∁U （A∪B）=（ ）A .B .C .D .96428. 若集合M={0，1，2}，N={（x ， y）|x﹣2y+1≥0且x﹣2y﹣1≤0，x ， y∈M}，则N中元素的个数为（ ）A .B .C .D .9. 若全集为 ， 集合和集合的图如图所示，则图中阻影部分可表示为（ ）A .B .C .D .10. 设集合 ， ，则下列关系中正确的是（ ）A .B .C .D .11. 命题：“ ”的否定是（ ）A .B .C .D .{1，3}{4}{3，5}{5}12. 设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={1，2，3，5}，N={2，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是（ ）A .B .C .D .13. 已知集合 ， ，则 中的元素个数为 .14. 如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为 ．15. A={x|x2﹣x﹣2=0}，B={x|ax﹣1=0}，若A∩B=B，则a= ．16. 已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m的取值范围为 .17. 已知集合 ，(1) 当 时，求集合 ；(2) 若 ,求实数a的取值范围.18. 已知集合 ， ，若 为全体实数集合．(1) 求 ；(2) 若 ， ，求 的取值范围．19. 设集合A={1，1+d，1+2d}，B={1，q，q2}，若A=B，求d与q的值．20. 已知集合 或 ， ，(1) 求 ， ；(2) 若 ，求实数 的取值范围.21. 已知函数 , .(1) 若集合 ,求实数 的取值范围;(2) 当 时,若对任意的 ,总存在 ,使 成立,求实数 的取值范围;(3) 若 的值域为区间 ,是否存在常数 ,使区间 的长度为 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由(注:区间 的长度为 ).答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.20.(1)(2)21.(1)(2)(3)。
黄冈中学高考数学典型例题1：集合
黄冈中学⾼考数学典型例题1：集合黄冈中学⾼考数学典型例题详解集合⽤典型例题来拓展我们的解题思路集合是⾼中数学的基本知识，为历年必考内容之⼀，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为⼯具，考查集合语⾔和集合思想的运⽤.本节主要是帮助考⽣运⽤集合的观点，不断加深对集合概念、集合语⾔、集合思想的理解与应⽤.●难点磁场(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠?,求实数m的取值范围.●案例探究［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=?，证明此结论.命题意图：本题主要考查考⽣对集合及其符号的分析转化能⼒，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进⽽解决问题.属★★★★★级题⽬.知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=?转化为A∩C=?且B∩C=?，这样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考⽣对符号的不理解，对题⽬所给出的条件不能认清其实质内涵，因⽽可能感觉⽆从下⼿.技巧与⽅法：由集合A与集合B中的⽅程联⽴构成⽅程组，⽤判别式对根的情况进⾏限制，可得到b 、k 的范围，⼜因b 、k ∈N ,进⽽可得值.解：∵(A ∪B )∩C =?，∴A ∩C =?且B ∩C =?∵+=+=bkx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∵A ∩C =?∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1 ①∵?+==+-+b kx y y x x 052242∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =?,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0 ∴k 2－2k +8b －19<0,从⽽8b <20,即b <2.5②由①②及b ∈N ,得b =2代⼊由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得<--<+-032,018422k k k k ∴k =1,故存在⾃然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =?.［例2］向50名学⽣调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的⼈数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的⽐赞成A 的多3⼈，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学⽣数⽐对A 、B 都赞成的学⽣数的三分之⼀多1⼈.问对A 、B 都赞成的学⽣和都不赞成的学⽣各有多少⼈？命题意图：在集合问题中，有⼀些常⽤的⽅法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考⽣切实掌握.本题主要强化学⽣的这种能⼒.属★★★★级题⽬.知识依托：解答本题的闪光点是考⽣能由题⽬中的条件，想到⽤韦恩图直观地表⽰出来.错解分析：本题难点在于所给的数量关系⽐较错综复杂，⼀时理不清头绪，不好找线索.技巧与⽅法：画出韦恩图，形象地表⽰出各数量关系间的联系.3=30，赞成B的⼈数为30+3=33，如解：赞成A的⼈数为50×5上图，记50名学⽣组成的集合为U，赞成事件A的学⽣全体为集合A；赞成事件B的学⽣全体为集合B.设对事件A、B都赞成的学⽣⼈数为x,则对A、B都不赞成的学x+1,赞成A⽽不赞成B的⼈数为30－x，赞成B⽽不赞成A ⽣⼈数为3的⼈数为33－x.x+1)=50,解得x=21.依题意(30－x)+(33－x)+x+(3所以对A、B都赞成的同学有21⼈，都不赞成的有8⼈.●锦囊妙计1.解答集合问题，⾸先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于⽤描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前⾯的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图⽰法的作⽤，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合⾮空时，要考虑到空集的可能性，如A ?B ,则有A =?或A ≠?两种可能，此时应分类讨论.●歼灭难点训练⼀、选择题1.(★★★★)集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =22ππ+k ,k ∈Z },则( )A.M =NB.M NC.M ND.M∩N =?2.(★★★★)已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1B ≠?,若A ∪B =A ，则( )A.－3≤m ≤4B.－3C.2D.2⼆、填空题3.(★★★★)已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素⾄多有1个，则a 的取值范围是_________.4.(★★★★)x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|by a x -=1,a >0,b >0},当A ∩B 只有⼀个元素时，a ,b 的关系式是_________.三、解答题5.(★★★★★)集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B 和A∩C =?同时成⽴.6.(★★★★★)已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41 x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同⼀条直线上；(2)A ∩B ⾄多有⼀个元素； (3)当a 1≠0时，⼀定有A ∩B ≠?.7.(★★★★)已知集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =21zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值.8.(★★★★)设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }.(1)求证：A ?B ;(2)如果A ={－1，3}，求B .参考答案难点磁场解：由≤≤=+-=+-+)20(01022x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0①∵A ∩B ≠?∴⽅程①在区间［0，2］上⾄少有⼀个实数解.⾸先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，⽅程①只有负根，不符合要求.当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，⽅程①只有正根，且必有⼀根在区间(0，1］内，从⽽⽅程①⾄少有⼀个根在区间［0，2］内.故所求m 的取值范围是m ≤－1.歼灭难点训练⼀、1.解析：对M 将k 分成两类：k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =nπ+4π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+2π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+45π,n ∈Z }.答案：C2.解析：∵A ∪B =A ，∴B ?A,⼜B ≠?,∴??-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4.答案：D⼆、3.a =0或a ≥894.解析：由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线by ax -=1相切，则1=22ba ab +,即ab =22b a +.答案：ab =22b a +三、5.解：log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}.由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},⼜A ∩C =?，∴2和－4都不是关于x 的⽅程x 2－ax +a 2－19=0的解，⽽A ∩ B,即A ∩B ≠?,∴3是关于x 的⽅程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2.当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =?不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A∩C =?，A ∩ B，∴a =－2.6.解：(1)正确.在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,则21=n S n(a 1+a n ),这表明点(a n ,n S n ）的坐标适合⽅程y 21=(x +a 1),于是点(a n , nS n )均在直线y =21x +21a 1上.(2)正确.设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是⽅程组=-+=1412121221y x a x y 的解，由⽅程组消去y 得：2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，⽅程(*)⽆解，此时A ∩B =?；当a 1≠0时，⽅程(*)只有⼀个解x =12124a a --,此时，⽅程组也只有⼀解-=--=1211214424a a y a a y ,故上述⽅程组⾄多有⼀解.∴A ∩B ⾄多有⼀个元素.(3）不正确.取a 1=1,d =1,对⼀切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,nS n >0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0.如果A ∩B ≠?,那么据(2）的结论，A ∩B 中⾄多有⼀个元素(x 0,y 0）,⽽x 0=5224121-=--a a ＜0,y 0=43201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0）?A ,产⽣⽭盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =?，所以a 1≠0时，⼀定有A ∩B ≠?是不正确的.7.解：由w =21zi +b 得z =ib w 22-,∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代⼊得|ib w 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1.∴集合A 、B 在复平⾯内对应的点的集合是两个圆⾯，集合A 表⽰以点(2，0）为圆⼼，半径为2的圆⾯，集合B 表⽰以点(b ,1)为圆⼼，半径为1的圆⾯.⼜A ∩B =B ，即B ?A ，∴两圆内含.因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =2. 8.(1)证明：设x 0是集合A 中的任⼀元素，即有x 0∈A . ∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ?B . (2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴⽅程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应⽤韦达定理，得-=-=?=---=+-313)1(),1(31q p q p ∴f (x )=x 2－x －3.于是集合B 的元素是⽅程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根.将⽅程(*)变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0 解得x =1,3,3,－3.故B ={－3，－1，3，3}.仔细再三体会下。
黄冈市必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测(包含答案解析)
一、选择题1．已知命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>是真命题，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．13a < B ．103a <≤ C ．13a >D ．13a ≤2．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知集合()(){}225A x x x =+-<，(){}2log 1,B x x a a N =->∈，若A B =∅，则a 的可能取值组成的集合为（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．*N5．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（ ）A ．原命题与逆命题均为真命题B ．原命题真，逆命题假C ．原命题假，逆命题真D ．原命题与逆命题均为真命题6．全集U =R ，集合04xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞7．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，则“35m =”是“点P 到直线l 的距离的最小值是10”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知集合{}{}2|13,|4,P x R x Q x R x =∈≤≤=∈≥ 则()R P Q ⋃=A ．[2,3]B ．（ -2,3 ]C ．[1,2）D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞10．已知1:12p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)11．设集合{}1,0,1,2,3A =-， 2{|30}B x x x =->，则()R A C B （ ）A ．{－1}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}12．“8m =”是“椭圆2214x y m +=的离心率为2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知集合U =R ，集合[]5,2A =-，()1,4B =，则下图中阴影部分所表示的集合为__________．14．对于任意非空集合A 、B ，定义{|,}A B a b a A b B +=+∈∈，若{}2,0,1S T ==-，则S T +=________（用列举法表示）15．已知集合{}{}22160,430,A x x B x x x =-<=-+>则AUB =____________. 16．集合{}|20M x N x =∈-≤≤的子集个数为__________． 17．已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞0，则p ⌝为__________．18．设命题21:01x p x -<-，命题2:2110q x a x a a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．19．若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为_____________. 20．在正项等比数列{}n a 中，已知120151a a <=，若集合1212111|0,t t A t a a a t N a a a *⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-++-≤∈⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，则A 中元素个数为______．三、解答题21．已知非空集合S 的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x ，y ∈S (x 、y 可以相同)，有x +y ∈S 且x -y ∈S .（1）集合S 能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由； （2）证明：若3∈S 且5∈S ，则S =Z . 22．已知集合4{|0}3x A x x -=>+，集合{|221}B x a x a =-≤≤+． （1）当3a =时，求A 和()R A B ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 23．已知{}2680A x x x =-+≤，201B x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}260C x x mx =-+<，且“x AB ∈”是“xC ∈”的充分不必要条件.（1）求AB ；（2）求实数m 的取值范围.24．已知命题:P 实数x 满足2280x x --≤，命题:q 实数x 满足2(0)x m m -≤> （1）当m=3时，若“p 且q”为真，求实数x 的取值范围;（2）若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 25．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<．（1）若12a =，求A B ； （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．26．已知集合1|11A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，()(){}|320,1B x x a x a a =--->≤. （1）求集合A 和B ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意可得2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠即可求解.【详解】若命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>是真命题， 则2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立， 当0a =时，230x +>可得：32x >-不满足对于x ∈R 恒成立，所以0a =不符合题意；当0a ≠时，需满足04430a a >⎧⎨∆=-⨯<⎩解得13a >，所以实数a 的取值范围是13a >， 故选：C 【点睛】关键点点睛：对于2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，需讨论0a =和0a ≠，当0a ≠时，结合二次函数图象即可得等价条件.2．A解析：A 【详解】因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或， 因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A. 3．A解析：A 【分析】求出函数()()xf x x a e =-的极值点，利用该极值点在()0,∞+内求得实数a 取值范围，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.解析：D 【分析】解不等式确定集合,A B ，然后由交集的结果确定参数a 的取值范围． 【详解】()(){}{}22533A x x x x x =+-<=-<<， (){}{}2log 1,2,B x x a a N x x a a N =->∈=>+∈，因为AB =∅，所以23a +≥，1a ≥．又a N ∈，∴*a N ∈．故选：D ． 【点睛】本题考查由集合交集的结果求参数范围，解题时可先确定两个集合中的元素，然后分析交集的结果得出结论．5．B解析：B 【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真. 【详解】原命题的逆否命题为：若,a b 中没有一个大于等于1，则2a b +<，等价于“若1,1a b <<，则2a b +<”，显然这个命题是对的，所以原命题正确； 原命题的逆命题为：“若,a b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥”，取5,5a b ==-则,a b 中至少有一个不小于1，但0a b +=，所以原命题的逆命题不正确. 【点睛】至少有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.6．C解析：C 【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃.求出集合,,A B A B ⋃，即求()U C A B ⋃. 【详解】∵集合{}04A x x =≤<，{}5B x x =>，由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U C A B ⋃，又{04A B x x ⋃=≤<或}5x >，()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃.故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.解析：B 【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．8．B解析：B 【分析】“点P 到直线l ”解得：m =±. 【详解】点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，考虑“点P 到直线l ” 设()[)2cos ,sin ,0,2P θθθπ∈，点P 到直线l 的距离d ϕϕ===点P 到直线l ()m θϕ++的最小值()m θϕ++符号恒正或恒负，()m m m θϕ⎡++∈⎣当0m <时，m =-，当0m >时，m =综上所述：m =±所以“m =是“点P 到直线l ”的充分不必要条件. 故选：B 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据题意准确求出参数的取值范围.9．B解析：B 【解析】有由题意可得：{}|22R C Q x x =-<< ， 则()RP Q ⋃= ( -2,3 ] .本题选择B 选项.10．C解析：C 【分析】求出p ，q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由112x ≥-，即302x x -≤-，解得23x <≤， 由||2x a -<得22a x a -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤，实数a 的取值范围为(]1,4， 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.11．B解析：B 【分析】解出集合B ，进而求出R C B ，即可得到()R A C B ⋂. 【详解】{}{}{}23003,03,R B x x x x x x C B x x =->=∴=≤≤或故(){}{}{}1,0,1,2,3030,1,2,3R A C B x x ⋂=-⋂≤≤=. 故选B. 【点睛】本题考查集合的综合运算，属基础题.12．A解析：A 【分析】椭圆2214x y m +=离心率为2，可得：4m >2=04m <<时，2=，解得m 即可判断出结论． 【详解】椭圆2214x y m +=离心率为2，可得：4m >2=，8m ∴=；04m <<2=，2m ∴=总之8m =或2．∴“8m =”是“椭圆2214x y m +=离心率为2”的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、充分不必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题13．【解析】因为所以或则图中阴影部分所表示的集合为应填答案 解析：[]5,1-【解析】因为[]5,2A =-，()1,4B =，所以{|1U C B x x =≤或4}x ≥，则图中阴影部分所表示的集合为(){|51}U C B A x x ⋂=-≤≤，应填答案[]5,1-．14．【分析】根据集合的新定义分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况【详解】由题：对于任意非空集合定义若各取一个元素形成有序数对所有可能情况为所有情况两个数之和构成的集合为：故答案为：【点睛】此 解析：{}4,2,1,0,1,2---【分析】根据集合的新定义，分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况. 【详解】由题：对于任意非空集合A 、B ，定义{|,}A B a b a A b B +=+∈∈， 若{}2,0,1S T ==-，各取一个元素,a A b B ∈∈形成有序数对(),a b ，所有可能情况为()()()()()()()()()2,2,2,0,2,1,0,2,0,0,0,1,1,2,1,0,1,1------，所有情况两个数之和构成的集合为：{}4,2,1,0,1,2--- 故答案为：{}4,2,1,0,1,2--- 【点睛】此题考查集合的新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义找出新集合中的元素即可得解.15．R 【解析】分析：根据一元二次不等式的解法先将化简再由并集的运算求详解：因为或故答案为点睛：本题考查并集及其运算一元二次不等式的解法正确化简集合是关键研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两解析：R 【解析】分析：根据一元二次不等式的解法先将,A B 化简，再由并集的运算求A B .详解： 因为{}{}2|160|44A x x x x =-<=-<<，{}{2430|1B x x x x x =-+=<或}3x >，A B R ∴⋃=，故答案为R .点睛：本题考查并集及其运算，一元二次不等式的解法，正确化简集合,A B 是关键. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.16．2【解析】因为集合所以集合子集有两个：空集与故答案为解析：2 【解析】因为集合{}{}|200M x N x =∈-≤≤=，所以集合M 子集有两个：空集与{}0，故答案为2.17．【详解】根据全称命题的否定的概念可知p 为解析：00R,20xx ∃∈≤【详解】根据全称命题的否定的概念，可知⌝p 为00R,20x x ∃∈≤.18．【详解】试题分析：由题意得解得所以由解得即要使得是的充分不必要条件则解得所以实数的取值范围是考点：充分不必要条件的应用；不等式的求解【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用分式不等式解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】试题分析：由题意得，21:01x p x -<-，解得112x <<，所以1:12p x <<，由2:2110q x a x a a ，解得1a x a ≤≤+，即1q a x a ≤≤+:，要使得p 是q的充分不必要条件，则11{12a a +≥≤，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：充分不必要条件的应用；不等式的求解． 【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用、分式不等式和一元二次不等式的求解等知识的应用，本题的解答中根据分式不等式的求解和一元二次不等式的求解，求解,p q 的解集，再由p 是q 的充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．19．1【解析】若是真命题则大于或等于函数在的最大值因为函数在上为增函数所以函数在上的最大值为1所以即实数的最小值为1所以答案应填:1考点：1命题；2正切函数的性质解析：1【解析】 若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦ ”是真命题，则m 大于或等于函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值 因为函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以，函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，所以，1m ≥ ，即实数m 的最小值为1. 所以答案应填:1.考点：1、命题；2、正切函数的性质.20．4029【解析】试题分析：设等比数列公比为的公比为因为所以即所以解得考点：等比数列求和公式解析：4029 【解析】试题分析：设等比数列公比为{}n a 的公比为，因为，所以,,即，所以，解得.考点：等比数列求和公式.三、解答题21．（1）{}0；（2）证明见解析. 【分析】（1）若a S ∈，分析0a ≠和0a =可得答案；（2）集合S 的元素都是整数，利用已知得到非空集合S 是所有整数构成的集合.然后再由5S ∈，3S ∈， 532S -=∈得到{}|2,x x k k Z =∈ S ，且{}|21,x x k k Z =+∈ S可得答案. 【详解】（1）能，理由如下：若a S ∈，且0a ≠，由题意知a 的所有整数倍的数都是S 中的元素，所以S 是无限集；若a S ∈，且0a =，则{}0S =，,x y S x y S +∈-∈符合题意，且{}0S =是有限集，所以集合S 能为有限集，即{}0S =. （2）证明：因为非空集合S 的元素都是整数，且()(),x y Z x y Z +∈-∈, 由5S ∈，3S ∈，所以532S -=∈，所以321S -=∈，所以112S +=∈，123S +=∈，134S +=∈，，110S -=∈，011S -=-∈，112S --=-∈，213S --=-∈，所以非空集合S 是所有整数构成的集合.由5S ∈，3S ∈，所以532S -=∈，因为,x y S x y S +∈-∈，所以224,220S S +=∈-=∈，246,242S S +=∈-=-∈，268,264S S +=∈-=-∈，， 所以2的所有整数倍的数都是S 中的元素，即{}|2,x x k k Z =∈ S ， 且321S -=∈，所以21,x k k Z =+∈也是集合S 中的元素，即{}|21,x x k k Z =+∈ S ，{}|2,x x k k Z =∈{}|21,x x k k Z Z =+∈=，综上所述，S Z =.【点睛】本题考查对集合性质的理解，关键点是理解,x y S x y S +∈-∈，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及推理能力.22．（1）{|3A x x =<-或}4x >，(){}|37R A B x x ⋃=-≤≤；（2）2a <-或6a >.【分析】（1）当3a =时，得出集合B ，解分式不等式即可得集合A ，再根据补集和并集的运算，从而可求出()R A B ； (2)由题意知B A ，当B =∅时，221a a ->+；当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）由题可知，当3a =时，则{}|17B x x =≤≤，{40|33x A x x x x ⎧⎫-=>=<-⎨⎬+⎩⎭或}4x >， 则{}|34R A x x =-≤≤，所以(){}{}{}|34|17|37R A B x x x x x x ⋃=-≤≤⋃≤≤=-≤≤.（2）由题可知，x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B A ， 当B =∅时，221a a ->+，解得：3a <-；当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，解得：32a -≤<-或6a >；综上所得：2a <-或6a >.【点睛】结论点睛：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．23．（1）[]2,4A B ⋂=；（2）11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【分析】（1）解出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合AB ； （2）根据题意可得知A BC ，可知，不等式260x mx -+<在区间[]2,4上恒成立，可得出关于实数m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）{}[]26802,4A x x x =-+≤=，()201,1B x x ⎧⎫=≥=+∞⎨⎬-⎩⎭，[]2,4A B ∴=；（2）因为“x AB ∈”是“xC ∈”的充分不必要条件，A B ∴ C ， 设()26f x x mx =-+，由题意可知，不等式()0f x <在区间[]2,4上恒成立， 则()()2102042240f m f m ⎧=-<⎪⎨=-<⎪⎩，解得112m >. 因此，实数m 的取值范围是11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了利用充分不必要条件求参数，考查了二次不等式在区间上恒成立问题的求解，考查计算能力，属于中等题.24．（1）[1,4]-（2）4m ≥【详解】试题分析：（1）先转化，q ，由且q 为真，得真q 真，解出x （2）由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 得是q 的充分不必要条件，根据数轴列出不等式解出m 试题解：（1）若真：24x -≤≤；当3m =时，若q 真：15x -≤≤ ∵且q 为真 ∴24{15x x -≤≤-≤≤ ∴实数x 的取值范围为：[1,4]-（2）∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 ∴是q 的充分不必要条件∵若q 真：22m x m -≤≤+∴22{42m m-≤-≤+且等号不同时取得 （不写“且等号不同时取得”，写检验也可） ∴4m ≥．考点：复合命题，充要条件，解不等式25．（1）{}01A B x x ⋂=<<；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦． 【分析】（1）求出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B ； （2）分A =∅和A ≠∅两种情况讨论，结合条件AB =∅可得出关于a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）当12a =时，122A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭， {}01B x x =<<，因此，{}01A B x x ⋂=<<；（2）A B =∅.①当A =∅时，即121a a -≥+，2∴≤-a ；②当A ≠∅时，则12111a a a -<+⎧⎨-≥⎩或121210a a a -<+⎧⎨+≤⎩，解得122a -<≤-或2a ≥. 综上所述，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】 本题考查交集的运算，同时也考查了利用交集运算结果求参数，考查运算求解能力，属于中等题.26．（1）()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞；（2）(]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用不等式的性质即可求出集合A 和B ；（2）由A B B ⋃=，得A B ⊆，解不等式组，进而得出实数a 的取值范围.【详解】（1）集合{}1|1|0|0111x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫=>=>=<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭， 因1a ≤，则32a a ≤+，所以集合()(){}{320,1|3B x x a x a a x x a =---≤=<或}2x a >+.即集合()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞.（2）由（1）知，集合()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞，由A B B ⋃=，得A B ⊆，所以131a a ≤⎧⎨≥⎩或120a a ≤⎧⎨+≤⎩，解得113a ≤≤或2a ≤-， 故实数a 的取值范围为(]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.。
高考数学压轴专题黄冈备战高考《集合与常用逻辑用语》技巧及练习题附解析
新数学《集合与常用逻辑用语》专题解析(1)一、选择题1．“方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A ．“6m =”B ．“67m <<”C ．“57m <<”D ．“57m <<”且“6m ≠”【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义可列出m 满足的不等式组，从而求出m 的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件． 【详解】因为方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆，则由椭圆的定义可知：705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得：57m <<且6m ≠，所以“方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“57m <<且6m ≠”，Q “57m <<”推不出“57m <<且6m ≠”，反之可推出，所以“57m <<”是方程“22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件．所以“方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“57m <<”．故选：C ． 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2【答案】D 【解析】 【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<；()1,2P Q ∴⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.3．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果. 详解：若//l αβα⊥，，则l β⊥，又//m β，所以l m ⊥；若l m ⊥，当//m β时，直线l 与平面β的位置关系不确定，无法得到//αβ. 综上，“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l 1∥l 2⇒32211m m m --=≠-， 由321m mm -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件， 故答案为：A 【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.5．已知命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++…；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题的是（ ） A ．p B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．p q ∧【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断选项. 【详解】命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++≥由辅助角化简可得sin cos 114x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，可知当34x π=-104x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，故p 为假；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-若直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切，则d == 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真，故()p q ⌝∧为真， 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.6．14a =-是函数2()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将14a =-代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】当14a =-时，2211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭，2x =-，充分性； 当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要. 故选：A . 【点睛】本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.7．已知命题:p “关于x 的方程240x x a -+=无实根”，若p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】B 【解析】【分析】求出p 为真命题时，a 的取值，由充分不必要条件的性质，得出314m +>，即可得出答案.【详解】当p 为真命题时，1640a ∆=-<，即4a > 令{|4}A a a =>，{|31}B a a m =>+因为p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，所以B A即314m +>，解得1m > 故选：B 【点睛】本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围，属于中档题.8．下列三个命题中，真命题的个数为（ ） ①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02x x ≤-； ②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件； ③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题； A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】对三个命题逐一判断即可. 【详解】①中p ⌝：()1x ∀∈+∞，，02xx ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题；③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C . 【点睛】本题考查命题的真假，属于基础题.9．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分 B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.10．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N *=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.11．“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先分析“4a ≤-”能否推出“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”，这是必要性分析；然后分析“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”能否推出“4a ≤-”，这是充分性分析，然后得出结果. 【详解】若4a ≤-，则对称轴(1)32x a =-+≥>，所以()f x 在(,2]-∞上为单调递增，取3a =-，则对称轴(1)2x a =-+=，()f x 在(,2]-∞上为单调递增，但4a >-，所以“()f x 在(,2]-∞上为单调递增”是“4a ≤- ”的必要不充分条件. 【点睛】充分、必要条件的判断，需要分两步：一方面要说明充分性是否满足，另一方面也要说明必要性是否满足.12．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.13．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.14．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．15．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解. 【详解】由题意，圆()()22212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-， 当直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=相切，可得d r =，即d ==12c +=，解得1c =或3c =，所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．若命题“[1,2]x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】分离参数，将问题转化为[]1,2x ∀∈，2111()22x a x x x+<=+恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解. 【详解】若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则[]1,2x ∀∈，212x ax +>，即2111()22x a x x x+<=+恒成立，11()12x x+≥=Q，当且仅当1x =时等号成立， ∴1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C ． 【点睛】此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.17．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．18．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋14<0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sinx ＋cosx 成立”．则下列判断正确的是（ ） A ．p ∨q 为假命题 B ．p ∧q 为真命题 C ．非p ∧q 为真命题 D ．非p ∨非q 是假命题【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：：∵任意x ∈R 时，都有x 2-x+14=（x−12）2≥0，∴p 是假命题；∵sin （x+4π），当x=4π时，， ∴q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，非p n q 为真命题，故选C 考点：复合命题的真假19．设集合{}20,201x M xN x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ）A ．{}01x x ≤< B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M xx x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭，所以{}01M N x x ⋂=<<. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.20．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞- B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞【答案】B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.。
湖北黄冈中学高一数学基础知识过关检测题—1.3交集、并集
1.3 交集、并集1．若非空集合A 、B 满足条件A ≠⊂B ，U 为全集，则下列集合为空集的是（B ） A ．A B B ．A ()U B ðC ．A ()U B ðD ．()()U U A B 痧提示：作出韦恩图分析即得．2．设无理数集为P ，对于自然数集N ，实数集R 和有理数集Q ，则下列给出的式子成立的是（D ） A ．P R =Q B ．N Q =Q C ．P N =R D ．P Q =R提示：实数由有理数和无理数组成． 3．设P=}1|{>x x ，S=2|{≤x x }，则（B ） A ．P S=ΦB ．P S=RC ．P ≠⊂SD ．S ≠⊂P提示：在数轴上分析易得．4．已知全集{2，3，5}U =，A 是U 的子集，且{|5|，2}A a =-，{5}U A =ð，则a 的值为（D ）A ．2B ．8C ．3或5D ．2或8提示：由()U AA U =ð，知|5|3a -=，∴2a =或8a =．5．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则集合()()U U A B =痧（C ）A ．{0，1，2，3，4}B ．{0，1，4}C ．{0，1}D ．{0}提示：{4}U A =ð，{01}U B =，ð，求并集得． 6．设全集U={-2,-1,0,1,2}，A={-2,-1,0}，B={0,1,2}，则（U ðA ）∩B=（C ） A ．{0}B ．{-2,-1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}提示：U ðA {1,2}=，故得． 7．已知集合U = {1，2，3，4，5，6，7}，A = {3，4，5}，B = {1，3，6}，则A ∩(U B)等于（A ） A ．{4，5} B ．{2，4，5，7} C ．{1，6} D ．{3}提示：U B{2,4,5,7}=，故得．8．已知全集为U ，A ∩B =B ,且B ≠∅，则下列各式中一定错误的是（D ） A ． B （U ðA ）=∅ B ． B （U ðA ） =UC ．（U ðA ） （U ðB ）=∅ D ．A （U ðB ）U ≠提示：必有B A ⊆，利用韦恩图知选D ．9．若集合=B A U （U 为全集），则下列关系一定正确的是（C ） A 、B U A ⊆ð B ．A B Φ=C ．B U A ⊇ðD ．()()U U A B =痧U提示：作韦恩图，对满足条件的可能情况都考虑到．10．已知集合M={01|2=++x m x x }，若M R =Ф，则实数m 的取值范围是（A ） A ．m<4 B ．0<m<4 C ．0≤m<4 D ．m>4提示：即要求集合M 为空集，∴方程无解，由0<∆解得．11．已知集合M={2|)(=+y x y x ，}，P={4|)(=-y x y x ，}，则M P=（D ） A ．13-==y x ，B ．（3，1-）C ．{3，1-}D ．{(3，1-)}提示：即求两个一次函数2+-=x y 与4-=x y 图象的交点，并用点集形式给出． 12．已知M={平行四边形}，P={梯形}，则MP =（C ）A ．MB ．PC ．∅D ．{矩形}提示：既是平行四边形又是梯形的四边形不存在．13．设集合M=2{|1，y y x x =+∈R }，P={|1，y y x x =+∈R }，则M P=（D ）A ．{(0，1)，(1，2)}B ．{1，2}C ．{0，1}D ．{|1}x x ≥提示：两个集合分别是函数21(y x x =+∈R )与1(y x x =+∈R )的值域，∴M {|1}x x =≥，P=R ，∴M P={|1}x x ≥．14．已知集合A={x|a-2≤x≤a+1},B={x|2<x<4},能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是（D ） A ．{a|3<a<4} B ．{a|3≤a<4} C ．{a|3<a≤4} D ．{a|3≤a≤4} 提示：当且仅当22a -≤，且14a +≥时，解得正确选项为D ． 15．设M 、N 、P 为三个集合，则M ∩P=N ∩P 是“M=N ”的（B ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 提示：由M=N ，必有M ∩P=N ∩P ，反之不然，∴选B ．16．设集合A={x ∈R |x 3=x }，B={x ∈R ||x|=x}，则集合M={0，1-}满足（C ） A ．M=AB ．M=BC ．M ⊂≠ABD ．M ⊂≠AB提示：A={1-，0，1}，B={0，1}，∴A B =A ，A B =B ，由子集的概念知应选C ．17．已知A∩B=B ，且A={125|-<-x x }，若ðA B={x x x -<+4|}，则集合B=（A ）A ．{x|-2≤x<3}B ．{x|-2<x<3}C ．{x|-2<x≤3}D ．{x|-2≤x≤3}提示：由A∩B=B 知B 是A 的子集，∴（ðA B ）B=A ，求得ðA B=}2|{-<x x ，A=}3|{<x x ，用数轴分析得．18．已知集合M={x||x-1|<2}与集合P={x||x-1|>1}，则M∩P=（C ） A ．{x|-1<x<3} B ．{x|-1<x<0} C ．{x|-1<x<0，或2<x<3} D ．{x|x<0，或x>3}提示：M=}31|{<<-x x ，P=0|{<x x ，或}2>x ．19．已知集合M=}1|{2+=x y x ，P=)}3(2|{2--=x y x ，则M P=（C ）A ．)}36235{(±， B ．}31|{<<-x x C ．}31|{≤≤-x x D ．}3|{≤x x提示：M 中112-≥-=y x ，P 中33212≤+-=y x ． 20．已知全集U={8|<x x ，且∈x N +}，集合M={1，3，5，7}，集合P={3，5}，则（A ） A ．()U U MP =ðB ．P M U =C ．()U U M P =ðD ．()()U U U M P =痧提示：U={1，2，3，4，5，6，7}，U P =ð{1，2，4，6，7}． 21．已知集合M={a 2，a}，P={-a ，2a-1}，若card(M P)=3，则集合MP=（C ）A ．{-1，0，2}B ．{-1，1，3}C ．{-1，1，-3}D ．{1，2，-3}提示：两个集合中有且仅有一个元素相同，又a a -≠，且1≠a ，∴1-=a ．22．已知全集U=R ，集合M={y x y x a a 、，2|+=∈Q }，则下列结论正确的是（C ） A ．Q M ⊆ B ．Q C M U ⊆ C ．M Q ≠⊂ D ．Q M =提示：由以上分析，M 中的元素是全体有理数和部分无理数，从而可知选项A 是错误的，B 、D 也不正确；∴正确的选择是C ．23．已知集合M={(x ，y)|x+y=2}，P={(x ，y)|x-y=4}，则M∩P=（D ） A ．x=3，y=-1 B ．（3，-1） C ．{3，-1} D ．{(3，-1)}提示：求方程组⎩⎨⎧=-=+；，42y x y x 的解集，注意点的集合的正确表示．24．集合P 、S 满足条件：P ∪S={1，2}，则这样的有序集合对（P ，S ）共有（D ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个提示：可以采用枚举法，将这样的有序集合对一一列出：如当P=Ф时，S={1，2} ；当P={1}时，S={2}或S={1，2}等，共有9个．25．设集合A={x ∈R |x 2=x }，B={x ∈R ||x|=x }，则集合M={0，1}=（B ）A ．BB ．A∩BC ．A ∪BD ．A∩C R P提示：A={0，1}，B={x|x≥0}） 26．设全集U={0，1，2，3，4}，集合M={0，1，2，3}，集合P={2，3，4}，则(ðU M)∪(ðU P)=（C ） A ．{0} B ．{0，1，2，3，4} C ．{0，1，4} D ．{0，1} 提示：分别求出ðU M 和ðU P ． 27．已知A∩B=B ，且A={x|125x -<-}，若ðA B={x|x+4<-x}，则集合B=（A ） A ．{x|-2≤x<3} B ．{x|-2<x<3} C ．{x|-2<x≤3} D ．{x|-2≤x≤3}提示：已知条件即A ⊇B ，且A={x|x<3}，C A B={x|x<-2}．28．已知集合M={x|x 2+x m +1=0}，若M R =∅，则实数m 的取值范围是（C ）A ．4m <B ．04m <<C ．04m ≤<D ．4m >提示：需要考虑的是当m 为何值时方程x 2+x m +1=0没有实数根，且m 有意义，由此解得40m -<，且0m ≥，故选C ．29．设S={至少有一组对边平行的四边形}，A={平行四边形}，则A =S ð______________． [答案]{梯形}提示：四边形中至少有一组对边平行包括有两种情况：有且仅有一组对边平行和两组对边都平行，即S 中的元素是梯形和平行四边形，那么在S 中而不在A 中的就是梯形． 30．给出下列命题： ①设全集U=R ，A={正数}，则ðU A={负数}； ②设全集U=Z ，S=N ，A=N *，则ðS A=0； ③已知集合S 中A 的补集是一个有限集，集合A 也是有限集，则S 一定是一个有限集； ④设全集U={三角形}，集合A={锐角三角形}，则ðU A={钝角三角形}； ⑤设集合M 、P 都是全集U 的非空子集，若ðU M ⊇P ，则必有M ⊆ðU P ．其中正确命题的序号是_________________． [答案]③⑤提示：①中ðU A={非正实数}；②中正确的表示应该是ðS A={0}；由已知A 首先是S 的一个子集，∵集合S 中的元素不在A 中就在ðS A 中，∴③是正确的；三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三类，∴④是错误的；利用韦恩图分析不难知道若ðU M ⊇P ，则必有M ⊆ðU P ，∴⑤是正确的．31．设S 、T 是两个非空集合，且/S T ⊆、/T S ⊆，令M S T =，则M S =___________．[答案]S提示：利用集合运算的韦恩图或交集与并集的概念易得． 32．设S 、P 为两个非空集合，且S /⊆P ，P /⊆S ，令M=S∩P ，给出下列4个集合： ①S ；②P ；③Ф；④S ∪P ；其中与S ∪M 能够相等的集合的序号是____________. [答案]①提示：用Venn 图分析可得．33．已知全集U={2，0，23a - }，子集P={2，22--a a }，且ðU P={1-}，则实数a =___________.[答案]2提示：依题意，-1是U 中的元素，但不是P 中的元素，且P 中元素必是U 中元素，∴23a -=-1，且22--a a =0，解得a =2．34．给出下列说法： ①若U=R ，ðU A=Ф，则A=R ； ②若S={矩形}，A={两邻边不等的矩形}，则ðS A={菱形}； ③设U={x|x=-n ，n ∈N*}，A={x|x=-2n ，n ∈N*}，则ðU A={x|x=-2n+1，n ∈N*}； ④若A 有2个子集，ðS A 有4个子集，则S 有6个子集； 其中正确说法的序号是_________________. [答案]①③ 提示：①是正确的；矩形各内角是直角，∴ðS A={正方形}，②是错误的；负整数分为负奇数和负偶数，∴③是正确的；由A 有2个子集，∴A 中有且只有一个元素，ðS A 有4个子集，∴ðS A 中有且只有2个元素，∴S 中共有3个元素，从而S 共有8个子集，即④是错误的．35．设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|-1<x≤3}，C={x|-3<x<2}，且集合A∩（B ∪C ）={x|a≤x≤b}，则a=______，b=_______. [答案]-1，2 提示：利用数轴可求得A∩（B ∪C ）={x|-1≤x≤2}）． 36．已知集合4{|2m M m -=∈Z }，3{|2p P p +=∈Z }，则M P =_____________．[答案]∅提示：欲42m -为整数，即要2m 为整数，∴m 为偶数；欲32p +为偶数，即要12p +为整数，∴p 为奇数，故M 是偶数集，而P 是奇数集，故M P =∅．37．已知全集{1,2,3,4,5}U =，{2}AB =，(){4}U A B =ð，()(){1,5}U U A B =痧，则集合A=____________，B=_____________．[答案]{2，3}，{2，4}提示：利用韦恩图易得． 38．给出下列命题： ①设A={x|x 是锐角三角形}， B={x|x 是钝角三角形}，则A ∪B={三角形}； ②设A={矩形}，B={菱形}，则A∩B={正方形}； ③设A={奇数}，B={偶数}，则A ∪B={自然数}； ④设A={质数}，B={偶数}，则A∩B={2}； ⑤若集合A={y|y=x 2+1，x ∈R}，B={y|y=x+1，x ∈R}，则A∩B={（0，1），（1，2）}； 其中正确的命题的序号是_____________. [答案]②④提示：根据相应的概念去逐一判断．39．已知全集U=R ，它的两个子集A {|112}x x =-≤-≤，B {|0}x x a =-≥，若()(){|0}U U A B x x =<痧，()(){|1U U A B x x =<痧，或3}x >，则实数a 的取值范围是____________． [答案]{1}提示：由()()(){|0}U U U A B A B x x ==<痧?得{|0}A B x x =≥，由()()()U U U A B A B =痧?知{|13}A B x x =≤≤，而{|03}A x x =≤≤，∴x a ≥即1x ≥，故1a =．40．对于非空集合M 、P ，把所有属于M 而不属于P 的元素组成的集合称为M 与P 的差集，记作M P -，用数学符号描述这一集合则{|M P x -=__________________}，且在下列给出的4个集合中，必与()M M P --相等的集合的序号是______________． ①M ；②P ；③MP ；④M P ；⑤∅[答案]{|M P x x M -=∈，且}x P ∉，③提示：由定义，M P -表示的是在M 中而不在P 中的元素，∴{|M P x x M -=∈，且}x P ∉，从而()M M P --表示的是在M 中且在P 中的元素，故选③．41．已知集合A={3，4，3a 2-12a+17 }，B={a 2-1，2a+1，a 2-2a+2}，当A∩B={3，5}时，求实数a 的值和集合A ∪B ． [解答]由交集的概念，3和5既是A 中元素又是B 中的元素，由于A 、B 都是有限集合，且A 中已有元素3、4，∴3a 2-12a+17=5，得a=2，代入B 中，得B={3，5，2}，∴A ∪B={2，3，4，5}. 42．已知全集U={x|x 是不大于20的质数}，A 、B 是U 的两个子集，且满足条件：A∩ðU B={3，5}，ðU A∩B={7，19}，ðU A∩ðU B={2,17}，求集合A 、B. [解答]∵U={2，3，5，7，11，13，17，19}，利用Venn 图， 填图易得A∩B={11，13}，∴A={3，5，11，13}，B={7，11，13，19}.43．设集合A={|1|,3,5}a +，B=22{21,2,21}a a a a a +++-，当{2,3}A B =时，求A B ．[解答]由已知必有|1|2a +=，∴1a =，或3a =-，当1a =时集合B 中的元素213a +=，且223a a +=，与集合中元素的互异性矛盾，当3a =-时集合B {5,2,3}=-适合题意，∴3a =-时得到{5,2,3,5}AB =-．44．设A={x|x 2+4x=0}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0}； （1）若A∩B=B ，求实数a 的值；（2）若A ∪B=B ，求实数a 的值. [解答]A={-4，0}，（1）∴A∩B=B ，∴B A ⊆，10当0∈B 时，则a 2-1=0，∴a=1±； 20当-4∈B 时，则(-4)2-4×2(a+1)+a 2-1=0，∴a=1，或a=7， 其中当a=7时，B={-12，-4}不合题意，故舍去；∴a=1； 30当B=Ф时，则Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)<0，∴a<-1； 综合知所求a≤-1，或a=1；（2）∵A ∪B=B ，∴A ⊆B ，而A={0，-4}，且B 中最多有两个元素，∴A=B ，∴-4、0是方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的两个根，由（1）立得a=1.45．设U=R ，集合M={m|方程mx 2-x-1=0有实数根}，集合P={p|方程x 2-x+p=0有实数根}，求(ðU M)∩P.[解答]方程mx 2-x-1=0有实数根，∴m=0，或(-1)2-4m(-1)≥0，∴m=0，或m≥41-； 即M={m|m≥41-}；同理P={p|p≤41}；又ðU M={m|m 41-<}，∴(ðU M)∩P=ðU M={m|m 41-<}.46．已知集合A={(,)x y |31}2y a x -=+-，集合B={(,)x y |2(1)(1)30a x a y -+-=}，若A B =∅，求实数a 的值.[解答]由A∩B=Ф，即方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=--;30)1()1(,1232y a x a a x y 无解；也即混合组⎪⎩⎪⎨⎧≠=-+--+=-;2,30)1()1(),2)(1(32x y a x a x a y 无解，由方程组中消去y 得222(1)2331a x a a -=-+， ∴当21a =时，上一方程无解，∴原方程组无解，又当210a -≠时，有2223312(1)a a x a -+=-，令)1a (231a 3a 222-+-=2，解得5a =-，或72a =， 此时所得的根使20x -=，即此时也使得A B =∅，∴所求的1a =-，1，5-，或27． 47．已知集合2{320}A x x x =-+=，集合2{10}B x x ax a =-+-=，若A B A ⋃=，求实数a 的值.[解答]2{320}{1,2}A x x x =-+==，A B A B A ⋃=⇒⊆，2{10}{(1)(1)0}B x x ax a x x x a =-+-==--+=，则有123a a -=⇒=或112a a -=⇒=．48．已知集合22{|190}A x x ax a =-+-=，集合2{|560}B x x x =-+=，是否存在实数a ，使得集合A 、B 能同时满足下列三个条件：①A B ≠；②A B B =；③()A B ⊂∅≠？若存在，求出实数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．[解答]由已知条件可得{2,3}B =，若存在，由A B B =，且A B ≠，∴A B ⊂≠，又()AB ⊂∅≠，∴A ≠∅，∴{2}A =，或{3}A =，当{2}A =时，有242190a a -+-=，即22150a a --=，解得3a =-，或5a =，此时集合{2,5}A =-，或{2,3}A =都与{2}A =矛盾；当{3}A =时，同理得出矛盾，故这样的实数a 不存在．49．已知集合2{|4260}A x R x ax a =∈-++=，{|0}B x R x =∈<，若AB ≠∅，求实数a 的取值范围． [解答]设全集为2{|(4)4(26)0}U a a a =∆=--+≥，则{|1U a a =≤-，或3}2a ≥，若方程24260x ax a -++=的两个根1x 、2x 均非负数，则121240260a Ux x a x x a ∈⎧⎪+=≥⎨⎪=+≥⎩，解得32a ≥， 因为在全集U 中集合3{|}2a a ≥的补集为{|1}a a ≤-，∴所求的实数a 的取值范围{|1}a a ≤-．50．已知以3个实数为元素给出的集合用列举法表示时，既能表示为{1}b a a，，的形式，又能表示为2{0}a a b +，，的形式，试求关于x 的不等式45ab ax x-+<的解集．[解答]由题意在{1，a ，b a }中有a=0或ba=0，而a=0显然不符合，所以有ba=0，即b=0， ∴{1，a ，b a}={1，a ，0}={0，2a ，a+b}={0，2a ，a}， ∴2a =1⇒ a = ±1，当a =1时，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去，∴a = －1，此时{1，a ，b a}={0，2a ，a+b}={0，－1，1}，不等式为1x -+ 4x < 5，即24510x x x-+<，∴(41)(1)0x x x --<，∴所求不等式的解集为{|0x x <，或11}4x <<. 51．已知全集U={x ∈P|-1≤x≤2}，集合A={x|0≤x<2}、集合B={x|-0.1<x ≤1}. （1）若P=R ，求U ðA 中最大元素m 与U ðB 中最小元素n 的差m n -的值； （2）若P=Z ，证明：U ðBA=U ．[解答]（1）U ðA={x|-1≤x<0，或x=2}，∴m=2， 又U ðB={x|-1≤x ≤0.1，或1<x ≤2}，∴n=-1， ∴2(1)3m n -=--=；（2）∵P=Z ，∴U={-1，0，1，2}、A={0，1}、B={0，1}，∴U ðB={-1，2}，从而U ðBA=U ．52．已知全集U={|1|a -，(2)(1)a a --，4，6}； （1）若U ð()U B ð={0，1}，求实数a 的值； （2）若U ðA={3，4}，求实数a 的值．[解答]（1）∵U ð（U ðB ）=B={0，1}，且B ⊆U ， ∴|1|a -=0，且(2)(1)a a --=1； 或|1|a -=1，且(2)(1)a a --=0；第一种情况显然不可能，在第二种情况中由|1|a -=1得0a =，或2a =，而2a =适合(2)(1)a a --=0，∴所求a 的值是2；（2）依题意知|1|a -=3，或(2)(1)a a --=3，若|1|a -=3，则4a =，或2a =-；若(2)(1)a a --=3，则a =，经检验知4a =时，(42)(41)6--=，与集合中元素的互异性相矛盾，∴所求的a 的值是2-，或2133±．。
湖北省黄冈中学必修一第一单元《集合》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ） A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，2．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃3．由实数x ，﹣x ，|x | ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个4．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ）A ．-3或-1或2B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或25．定义集合运算{},,A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈，设{0,1},{3,4,5}A B ==，则集合A B ⊗的真子集个数为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．86．在整数集Z 中,被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[]k ,即[]{5|}k n k n Z =+∈,0,1,2,3,4k =;给出四个结论:（1）2015[0]∈;（2）3[3]-∈;（3）[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃;（4）“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知全集U =R ，集合{|23}M x x =-≤≤，{|24}N x x x =<->或，那么集合()()C C U U M N ⋂等于（ ）A ．{|34}x x <≤B ．{|34}x x x ≤≥或C ．{|34}x x ≤<D ．{|13}x x -≤≤8．对于非空集合A ，B ，定义运算：{},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂且，已知{}M x a x b =<<，{}N x c x d =<<，其中a 、b 、c 、d 满足a b c d +=+，0ab cd <<，则M N ⊕=（ ）A ．()(),,a d b c B ．()(),,c a b d C ．(][),,a c d b D ．()(),,c a d b9．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是和美集合，集合111,0,,,1,323M ⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的所有非空子集中是和美集合的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．若集合2{||31|2},{|0},1x A x x B x x -=-≥=≤-则()R C A B =（ ）A ．1[,2]3-B ．∅C ．1(,)(1,2]3-∞-⋃ D ．1,1(1,2]3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭11．集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值 范围是（ ） A ．{}a |0a 6≤≤ B ．{}|24a a a ≤≥或C ．{}|06a a a ≤≥或D ．{}|24a a ≤≤12．设集合{}21xA y y ==-，{}1B x x =≥，则()R A C B =（ ）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,1-D ．[)1,+∞二、填空题13．对非空有限数集12{,,,}n A a a a =定义运算“min”：min A 表示集合A 中的最小元素．现给定两个非空有限数集A ，B ，定义集合{|,,}M x x a b a A b B ==-∈∈，我们称min M 为集合A ，B 之间的“距离”，记为AB d ．现有如下四个命题：①若min min A B =，则0AB d =；②若min min A B >，则0AB d >；③若0AB d =，则A B ⋂≠∅；④对任意有限集合A ，B ，C ，均有AB BC AC d d d +． 其中所有真命题的序号为__________．14．若集合{}{,,,}1,2,3,4,a b c d =且下列四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠中有且只有一个是正确的，则符合条件的所有有序数组(,,,)a b c d 的个数是________．15．已知{|14}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，若A B =∅，则a 的取值范围是__________16．定义有限数集A 中的最大元素与最小元素之差为A 的“长度”，如：集合1{1,2,4}A =的“长度”为3，集合{}23A =的“长度”为0.已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，则U 的所有非空子集的“长度”之和为_________.17．已知集合{}10,A x ax x R =+=∈，集合{}2280B x x x =--=，若A B ⊆,则a 所有可能取值构成的集合为______________18．设集合{}[1,2),0M N x x k =-=-≤,若M N ⋂=∅，则实数k 的取值范围为_______.19．设a 、b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=__________． 20．已知集合{}1,2,3,4,5P =，若,A B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数为____．三、解答题21．已知集合{}13A x x =-<<，集合{}21B x m x m =<<-. （1）当1m =-时，求A B ；（2）若AB B =，求实数m 的取值范围.22．设集合{}227150A x x x =+-≤，{}122B x a x a =-<<． （Ⅰ）若B =∅，求实数a 的取值集合； （Ⅱ）若A B ⊆，求实数a 的取值集合．23．已知集合A ={x |12x -≤≤}，B ={x |123m x m +≤≤+} （1）当m =1时，求AB ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围 24．已知全集为R ，集合{}503x A x R x -=∈>+，()2{|21050}B x R x a x a =∈-++≤． （1）若RB A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是RB A ⊆的什么条件(充分必要性)．①[)7,10a ∈-；②(]7,10a ∈-；③(]6,10a ∈．25．设集合{|12A x a x a =-<<，}a R ∈，不等式2760x x -+<的解集为B ． （1）当a 为0时，求集合A 、B ； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．26．已知集合{}212520A x x x =-->，{}20B x x ax b =-+≤满足AB =∅，(]=-4,8A B ⋃，求实数a ，b 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】解方程求得集合A ，分别在B =∅和B ≠∅两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果. 【详解】由2230x x --=得：1x =-或3x =，即{}1,3A =-； ①当0a =时，B =∅，满足B A ⊆，符合题意；②当0a ≠时，{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，11a ∴=-或13a =，解得：1a =-或13a =；综上所述：实数a 的值构成的集合是11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误.2．B解析：B 【分析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.3．A解析：A 【分析】根据绝对值的定义和开平方、立方的方法,应对x 分0,0,0x x x >=<三种情况分类讨论,根据讨论结果可得答案. 【详解】当0x >时，0x x x ===-<，此时集合共有2个元素，当0x =时，0x x x ====-=，此时集合共有1个元素，当0x <时，0x x -===>，此时集合共有2个元素，综上所述，此集合最多有2个元素. 故选：A . 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断及根式的化简求值,其中解答本题的关键是利用分类讨论思想,对x 分三种情况进行讨论,是基础题.4．C【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.5．B解析：B 【分析】根据新定义得到{}{},,0,3,4,5A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈=，再计算真子集个数得到答案. 【详解】{0,1},{3,4,5}A B ==，{}{},,0,3,4,5A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈=其真子集个数为：42115-= 故选：B 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，真子集问题，意在考查学生的应用能力.6．C解析：C 【分析】根据新定义,对每个选项逐一判断,即可得到答案. 【详解】对于（1）,因为20155403÷=,余数为0,所以2015[0]∈,故（1）正确; 对于（2）,因为()3512-=⨯-+,所以33[]-∉,故（2）错误; 对于（3）,因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类,故[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃,故（3）正确;对于（4）,因为整数,a b 属于同一“类”,所以整数,a b 被5除的余数相同,从而-a b 被5除的余数为0,反之也成立,故“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故（4）正确．综上所述,正确的个数为:3个. 故选C ． 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是理解被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,考查了分析能力和计算能力.7．A解析：A先分别求出C ,C U U M N ，再求()()C C U U M N ⋂即可 【详解】∵C {|}23U M x x x =<>-或，C {|24}U N x x =-≤≤， ∴()()C C {|34}U U M N x x ⋂=<≤． 故选:A ． 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，属于中档题8．C解析：C 【分析】先判断0a c d b <<<<，再计算(,),(,)M N a b M N c d ⋃=⋂=，得到答案. 【详解】根据a b c d +=+，0ab cd <<得到：0a c d b <<<<{}M x a x b =<<，{}N x c x d =<<故(,),(,)M N a b M N c d ⋃=⋂=(][),,M N a c d b ⊕=故选：C 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，确定0a c d b <<<<是解题的关键.9．D解析：D 【分析】写出集合111,0,,,1,323M ⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的非空子集，根据和美集合的定义验证即可. 【详解】先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有{}{}1,1,- 再考虑 含有两个元素的和美集合，有{}11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，含有三个元素的子集且为和美集合的是111,,3,1,,3,33⎧⎫⎧⎫-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭含有四个元素的子集且为和美集合的是11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查了集合的子集，考查了创设新情景下解决问题的能力，属于中档题.10．D【分析】解绝对值不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，求得集合A 的补集，然后求此补集和集合B 的并集，由此得出正确选项. 【详解】由|31|2x -≥得312x -≤-或312x -≥，解得13x ≤-或1x ≥，故1,13R C A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由201x x -≤-得()()12010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得12x <≤，所以()R C A B =1,1(1,2]3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合补集、并集的计算，属于基础题.11．C解析：C 【解析】|x-a|<1,∴a-1<x<a+1,∵A∩B=∅. ∴a-1≥5或a+1≤1,即a≤0或a≥6.故选C.12．C解析：C 【解析】 【分析】化简集合A ，B 根据补集和交集的定义即可求出． 【详解】集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1}＝（﹣1，+∞），B ＝{x |x ≥1}＝[1，+∞）， 则∁R B ＝（﹣∞，1） 则A ∩（∁R B ）＝（﹣1，1）， 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题13．①③【分析】根据题意可得①③正确通过举反例可得②④错误【详解】对于结论①若则中最小的元素相同故①正确；对于结论②取集合满足但故②错误；对于结论③若则中存在相同的元素则交集非空故③正确；对于结论④取集解析：①③ 【分析】根据题意可得①③正确，通过举反例可得②④错误. 【详解】对于结论①，若min min A B =，则A ，B 中最小的元素相同，故①正确；对于结论②，取集合{}1,2A =，{}0,2B =，满足min min A B >，但0AB d =，故②错误；对于结论③，若0AB d =，则,A B 中存在相同的元素，则交集非空，故③正确； 对于结论④，取集合{}1,2A =，{}2,3B =，{}3,4C =，可知0AB d =，0BC d =，1AC d =，则AB BC AC d d d +≥不成立，故④错误. 故答案为：①③．14．6【分析】因为①；②；③；④中有且只有一个是正确的故分四种情况进行讨论分别分析可能存在的情况即可【详解】若仅有①成立则必有成立故①不可能成立若仅有②成立则成立此时有两种情况若仅有③成立则成立此时仅有解析：6 【分析】因为①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可. 【详解】若仅有①成立,则1a =必有1b ≠成立,故①不可能成立.若仅有②成立,则1a ≠,1b ≠,2c ≠,4d =成立,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况. 若仅有③成立,则1a ≠,1b =,2c =,4d =成立,此时仅有(3,1,2,4)成立.若仅有④成立,则1a ≠,1b =,2c ≠,4d ≠成立,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况.综上符合条件的所有有序数组(,,,)a b c d 的个数是6个. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了集合的综合运用与逻辑推理的问题,需要根据题设条件分情况讨论即可.属于中等题型.15．【分析】根据集合所以集合没有公共元素列出两个集合的端点满足的不等关系结合数轴可以得出的范围得到结果【详解】集合由借助于数轴如图所示可得故答案为：【点睛】该题主要考查集合中参数的取值范围的问题两个集合解析：(,1]-∞-. 【分析】根据集合{|14}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，A B φ⋂=，所以集合,A B 没有公共元素，列出两个集合的端点满足的不等关系，结合数轴可以得出a 的范围，得到结果.【详解】集合{|14}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<， 由A B φ⋂=，借助于数轴，如图所示，可得1a ≤-， 故答案为：(,1]-∞-. 【点睛】该题主要考查集合中参数的取值范围的问题，两个集合的关系，属于中档题目.16．201【分析】根据集合长度的定义可将集合的非空子集分六类分别计算可求出答案【详解】集合有6个元素非空子集有个①集合长度为0的子集有：；②集合长度为1的子集有：；③集合长度为2的子集有：；④集合长度为解析：201 【分析】根据集合“长度”的定义，可将集合U 的非空子集分六类，分别计算可求出答案. 【详解】集合U 有6个元素,非空子集有62163-=个，①集合“长度”为0的子集有：{}{}{}{}{}{}1,2,3,4,5,6； ②集合“长度”为1的子集有：{}{}{}{}{}1,2,2,3,3,4,4,5,5,6； ③集合“长度”为2的子集有：{}{}{}{}1,3,2,4,3,5,4,6,{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6；④集合“长度”为3的子集有：{}{}{}1,4,2,5,3,6,{}{}{}1,2,4,1,3,4,2,3,5，{}{}{}2,4,5,3,4,6,3,5,6,{}{}1,2,3,4,2,3,4,5,{}3,4,5,6；⑤集合“长度”为4的子集有：{}{}1,5,2,6,{}{}{}1,2,5,1,3,5,1,4,5,{}{}{}2,3,6,2,4,6,2,5,6,{}{}{}1,2,3,5,1,2,4,5,1,3,4,5,{}{}{}2,3,4,6,2,3,5,6,2,4,5,6,{}2,3,4,5,6,{}1,2,3,4,5；⑥集合“长度”为5的子集有：{}1,6,{}1,2,6,{}1,3,6,{}1,4,6,{}1,5,6,{}1,2,3,6,{}1,2,4,6,{}1,2,5,6,{}1,3,4,6,{}1,3,5,6,{}1,4,5,6{1,3,4,5,6},{1,2,4,5,6},{1,2,3,5,6},{1,2,3,4,6},{1,2,3,4,56},.U 的所有非空子集的“长度”之和为061528312416516201⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：201. 【点睛】本题考查新定义，要求读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行计算、推理、迁移，新定义问题要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过思考，合理进行思想方法的迁移.17．【分析】先化简集合利用分类讨论和即可求出构成的集合【详解】由可得:即:解得或故:由可得:当时方程无实数解此时满足当时方程的实数解为故:由可得:或解得或的所有取值构成的集合为:故答案为:【点睛】本题主解析：11{0,,}24- 【分析】先化简集合B ,利用A B ⊆,分类讨论=0a 和0a ≠,即可求出构成a 的集合. 【详解】由{}2280B x x x =--=可得:2280x x --= 即:()()240x x +-= 解得2x =-或4x = 故:{}2,4B =- {}10,A x ax x R =+=∈由10ax += 可得:1ax =-当0a =时,方程1ax =-无实数解,此时A =∅,满足A B ⊆ 当0a ≠时,方程1ax =-的实数解为1x a =-,故:1{}A a=- 由A B ⊆可得:12a -=-或14a -= 解得12a =或14a =-a 的所有取值构成的集合为:11{0,,}24-.故答案为:11{0,,}24-. 【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系以及一元二次方程的解法,要注意集合A 是集合B 的子集时,集合A 有可能是空集.18．【分析】首先求得集合N 然后确定实数k 的取值范围即可【详解】由题意可得：结合可知实数k 的取值范围是：故答案为：【点睛】本题主要考查交集的运算由集合的运算结果求参数取值范围的方法等知识意在考查学生的转化 解析：{}|1k k <-【分析】首先求得集合N ，然后确定实数k 的取值范围即可.【详解】由题意可得：{}|N x x k =≤，结合M N ⋂=∅可知实数k 的取值范围是：1k <-.故答案为：{}|1k k <-．【点睛】本题主要考查交集的运算，由集合的运算结果求参数取值范围的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】根据题意得出则则有可得出由此得出然后求出实数的值于是可得出的值【详解】由于有意义则则有所以根据题意有解得因此故答案为【点睛】本题考查利用集合相等求参数的值解题的关键就是根据题意列出方程组求解 解析：2【分析】根据题意得出0a ≠，则a b b +≠，则有0a b +=，可得出1b a=-，由此得出10b a b b a a ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=⎩，然后求出实数a 、b 的值，于是可得出b a -的值.【详解】{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，由于b a -有意义，则0a ≠，则有0a b +=，所以，1b a -=-. 根据题意有10b a b b a a ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，因此，()112b a -=--=. 故答案为2.【点睛】本题考查利用集合相等求参数的值，解题的关键就是根据题意列出方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．49【分析】分中的最大数为中的最大数为中的最大数为中的最大数为四种情况根据题意列举出满足条件的集合即可得出结果【详解】当中的最大数为即时；所以满足题意的集合对的个数为个；当中的最大数为即时；即满足题 解析：49【分析】分A 中的最大数为1，A 中的最大数为2，A 中的最大数为3，A 中的最大数为4，四种情况，根据题意列举出满足条件的集合,A B ，即可得出结果.【详解】当A 中的最大数为1，即{1}A =时，{2}B =，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，{2,3,4,5}； 所以满足题意的集合对(,)A B 的个数为15个；当A 中的最大数为2，即{2},{1,2}A =时，{3}=B ，{4}，{5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{3,4,5}；即满足题意的集合对(,)A B 的个数为2714⨯=个；当A 中的最大数为3，即{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}A =时，{4},{5},{4,5}B =，即满足题意的集合对(,)A B 的个数4312⨯=个；当A 中的最大数为4，即{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}A =时，{5}B =，即满足题意的集合对(,)A B 的个数为8个；所以总共个数为49个．【点睛】本题主要考查集合的应用，灵活运用子集的概念，用列举法表示集合即可，属于常考题型.三、解答题21．（1）()2,3-；（2）1[2-，)+∞. 【分析】（1）当1m =-时，求出集合B ，再由并集的定义可得答案．（2）推导出B A ⊆，当B =∅时，21m m -，当B ≠∅时，212113m m m m <-⎧⎪-⎨⎪-⎩，由此能求出实数m 的取值范围．【详解】（1）当1m =-时，集合{|13}A x x =-<<，集合{|22}B x x ．(){|2233},A B x x ∴⋃=-<-<=．（2）集合{|13}A x x =-<<，集合{|21}B x m x m =<<-． 因为A B B =，B A ∴⊆，∴当B =∅时，21m m -，解得13m ， 当B ≠∅时，212113m m m m <-⎧⎪-⎨⎪-⎩，解得1123m -<．∴实数m 的取值范围是1[2-，)+∞．【点睛】本题考查交集、并集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想的应用，是基础题．22．（Ⅰ）14a ≤；（Ⅱ）{}3a a >. 【分析】（Ⅰ）由空集的意义知，当且仅当212a a ≤-时，集合B 中无任何元素，解不等式即可得实数a 的取值范围；（Ⅱ）根据A B ⊆，得到a 的取值范围，即可得到结论．【详解】解：∵集合{}()(){}2327150235052A x x x x x x x x ⎧⎫=+-≤=-+≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭， （Ⅰ）∵B =∅，∴{}122x a x a -<<=∅，∴212a a ≤-，解得14a ≤， （Ⅱ）∵A B ⊆，则集合B ≠∅,所以212a a >-，则14a >∴1253322a a a -<-⎧⎪⇒>⎨>⎪⎩∴实数a 的取值集合为{}3a a >．【点睛】本题考查解二次不等式，根据集合的包含关系求参数的范围，属于中档题.23．（1）{}2；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）根据集合的交集运算求解即可；（2）讨论集合B 是否为空集，根据包含关系列出不等式，即可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）当m =1时，B ={x |2≤x ≤5}，因此A B ={2} （2）A B ⇔B A ⊆，则①当B =∅时，即123m m +>+，即2m <-，符合题意②当B ≠∅时，要满足B A ⊆，则12311232m m m m +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩2212m m m ⎧⎪≥-⎪⇒≥-⎨⎪⎪≤-⎩122m ⇒-≤≤- 综上所述，当B A ⊆时，实数m 的取值范围时1(,2)2,2⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦=1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，解题的关键就是对含参集合分空集和非空集合两种情况讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中档题. 24．（1）610a -≤≤；（2）答案见解析.【分析】()1先求集合A ，B ，A R ，再由R B A ⊆得到a 的不等式，解得即可；()2结合()1利用充分必要条件的定义逐一判定．【详解】解：()1集合5|0(3)(5,)3x A x R x -⎧⎫=∈>=-∞-⋃+∞⎨⎬+⎩⎭， 所以[]35R A =-，，集合()()()2{|21050}{|250}B x R x a x a x R x a x =∈-++≤=∈--≤，若R B A ⊆， 只需352a -≤≤， 所以610a -≤≤．()2由()1可知的充要条件是[]610a ∈-，， 选择①，则结论是既不充分也不必要条件；选择②，则结论是必要不充分条件；选择③，则结论是充分不必要条件．【点睛】关键点睛，利用集合关系求参数范围，求集合A ，B ，A R ，再由R B A ⊆得到a 的不等式，进而利用a 的范围，判定充分必要条件，属于中档题．25．（1）{|10}A x x =-<<，{|16}B x x =<<；（2）1a -或23a ．【分析】（1）根据题意，由0a =可得结合A ，解不等式2760x x -+<可得集合B ，（2）根据题意，分A 是否为空集2种情况讨论，求出a 的取值范围，综合即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，集合{|12A x a x a =-<<，}a R ∈，当0a =时，{|10}A x x =-<<，276016x x x -+<⇒<<，则{|16}B x x =<<，（2）根据题意，若A B ⊆，分2种情况讨论：①，当12a a -时，即1a -时，A =∅，A B ⊆成立；②，当12a a -<时，即1a >-时，A ≠∅，若A B ⊆，必有1126a a -⎧⎨⎩， 解可得23a ，综合可得a 的取值范围为1a -或23a ．【点睛】本题考查集合的包含关系的应用，（2）中注意讨论A 为空集，属于基础题． 26．19,122a b == 【分析】 先化简集合A ，再根据AB =∅，(]=-4,8A B ⋃，确定集合B 求解.【详解】 因为{}231252042A x x x x x ⎧⎫=-->=-<<⎨⎬⎩⎭，{}20B x x ax b =-+≤ 满足A B =∅，(]=-4,8A B ⋃， 所以{}23082B x x ax b xx ⎧⎫=-+≤=≤≤⎨⎬⎩⎭， 所以3,82是方程20x ax b -+=的两个根， 所以382382a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩ ， 解得19,122a b == . 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于中档题.。
2024—2025学年湖北省黄冈中学高一实验班上学期第一次练习数学试卷
2024—2025学年湖北省黄冈中学高一实验班上学期第一次练习数学试卷一、单选题(★★) 1. 若集合，则满足的集合B的个数为（）A．2B．4C．8D．16(★★) 2. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 3. 若函数的值域是，则函数的值域是（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知函数定义域为，则定义域是（）A．B．C．D．(★★) 5. 设函数,则A．3B．1C．0D．(★★) 6. 已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 7. 若函数的值域为，则实数m的取值范围是（）．A．B．C．D．(★★★) 8. 已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 下列命题，其中正确的命题是（）A．函数的最小值为2B．若，则的值为1C．函数的减区间是D．已知在上是增函数，若，则(★★) 10. 定义运算，设函数，则下列命题正确的有（）A．的值域为B．的值域为C．不等式成立的范围是D．不等式成立的范围是(★★★) 11. 已知正数满足，则（）A．B．C．D．三、填空题(★★) 12. 已知函数f( x)＝为定义是区间[－2 a，3 a－1]上的奇函数，则a ＋b＝ ________ ．(★★) 13. 函数的值域为 ___________ ．(★★★) 14. 设a、b分别是方程与的根，则__________ ．四、解答题(★★★) 15. 已知，，全集(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.(★★★) 16. 已知函数.（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围.(★★★) 17. 某企业现有，两条生产线，根据市场调查，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，．假定且．(1)求实数，，的值；(2)该企业现有万元资金全部投入，两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．(★★★) 18. 已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，函数在区间上的最小值为，其中.(1)求函数的解析式；(2)求函数的最小值的表达式；(3)是否存在实数同时满足以下条件:①；②当的定义域为时，值域为.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (★★) 19. 若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．(1)函数是否有“飘移点”？请说明理由；(2)证明函数在上有“飘移点”；(3)若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围．。
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黄冈中学高考数学典型例题详解集合用典型例题来拓展我们的解题思路集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.●难点磁场(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠∅,求实数m的取值范围.●案例探究［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=∅，证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=∅转化为A∩C=∅且B∩C=∅，这样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值.解：∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∵A ∩C =∅∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1 ①∵⎩⎨⎧+==+-+b kx y y x x 052242∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0 ∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <2.5②由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-032,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅.［例2］向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.3=30，赞成B的人数为30+3=33，如解：赞成A的人数为50×5上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学x+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A 生人数为3的人数为33－x.x+1)=50,解得x=21.依题意(30－x)+(33－x)+x+(3所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.●锦囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =22ππ+k ,k ∈Z },则( )A.M =NB.M NC.M ND.M∩N =∅2.(★★★★)已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则( )A.－3≤m ≤4B.－3<m <4C.2<m <4D.2<m ≤4二、填空题3.(★★★★)已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________.4.(★★★★)x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|by a x -=1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________.三、解答题5.(★★★★★)集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ∅和A∩C =∅同时成立.6.(★★★★★)已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41 x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)A ∩B 至多有一个元素； (3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅.7.(★★★★)已知集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =21zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值.8.(★★★★)设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }.(1)求证：A ⊆B ;(2)如果A ={－1，3}，求B .参考答案 难点磁场解：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)20(01022x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0①∵A ∩B ≠∅∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.故所求m 的取值范围是m ≤－1.歼灭难点训练一、1.解析：对M 将k 分成两类：k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =nπ+4π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+2π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+45π,n ∈Z }.答案：C2.解析：∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4.答案：D二、3.a =0或a ≥894.解析：由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线by ax -=1相切，则1=22ba ab +,即ab =22b a +.答案：ab =22b a +三、5.解：log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}.由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩ B∅,即A ∩B ≠∅,∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2.当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩ B∅，∴a =－2.6.解：(1)正确.在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,则21=n S n(a 1+a n ),这表明点(a n ,n S n ）的坐标适合方程y 21=(x +a 1),于是点(a n , nS n )均在直线y =21x +21a 1上.(2)正确.设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1412121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得：2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =∅；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x =12124a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1211214424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解.∴A ∩B 至多有一个元素.(3）不正确.取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,nS n >0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0.如果A ∩B ≠∅,那么据(2）的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0）,而x 0=5224121-=--a a ＜0,y 0=43201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0）∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的.7.解：由w =21zi +b 得z =ib w 22-,∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|ib w 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1.∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面.又A ∩B =B ，即B ⊆A ，∴两圆内含.因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =2. 8.(1)证明：设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A . ∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B . (2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=⨯---=+-313)1(),1(31q p q p ∴f (x )=x 2－x －3.于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根.将方程(*)变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0 解得x =1,3,3,－3.故B ={－3，－1，3，3}.仔细再三体会下。