上海市嘉定区2012届高三下学期第三次模试考试数学文科

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上海市嘉定区2012年高三第三次质量调研语文试卷

嘉定区2011学年度高三年级第三次质量调研语文试卷一阅读80分(一)阅读下文，完成第1-6题。

(16分）“中庸智慧”再思考访谈嘉宾：万俊人(清华大学哲学系教授)①问：传统认为，中庸是中国特有的哲学智慧与思维方式。

究竟怎样理解中庸？②答：按照中国儒家的理解，中庸就是执两用中，即两极之间取其中。

但执中不是半斤八两式的静态结构，而是事物发展的两种极端可能性之间的动态均衡，比如人格的文质彬彬，行事的不偏不倚。

③由此可见，中庸的实现需要一种洞见，一种独特的视角，见人所未见，发人所未发。

它是一种平凡中求不平凡的方法。

所谓“无限风光在险峰”，需要人们具有很高的眼界，很敏锐的感觉，很深厚的经验知识积累，才能确定此时此地最合度的方法。

④问：在哲学思想和社会历史演变中，中庸的效力是如何体现的？⑤答：哲学史上有两种哲学家，一种是问题型的，如：尼采、维特根斯坦、海德格尔。

他们的思想比较激进，剑走偏锋，语不惊人死不休，凭借激情、想象，把问题追至极端，无所不用其极，最终寻求问题的深刻解释或解决。

问题型哲学家对于突破既定传统和思维定势所发挥的作用是不可替代的。

然而，诚如英国哲学家以赛亚·伯林所言，人类思想的进升既需要狐狸——那些问题型的哲学家，也需要刺猬——那些综合型的哲学家，比如：近代的康德、黑格尔和当代的罗尔斯。

他们不忽略任何哲学问题和观点，善于从各种哪怕是极端的哲学观点中，发现综合、整合的可能。

他们往往热衷于体系构建，立论相对中肯，即使对于他们所批判的观点，也不完全否认。

⑥不仅在哲学理论中是如此，在社会实践中也是如此。

比如战争。

战争在革命年代是必要的，但革命只是社会进程的一个方面，是被迫的选择。

纵观人类历史，革命和暴力决不是历史的常态和目标；是为革命而革命，是为建设而革命。

历史上，秦始皇统一六国当然有其历史意义，他采取了一些极端措施，但同时也需要建立秩序，以便进行有效的国家治理。

但在和平年代，稳定和谐就成为最高的政治价值，需要循序渐进。

2012年上海市嘉定区高三数学三模试卷(文科)含答案

2011学年嘉定区高三年级第三次模拟考试数学试卷（文科）(2012年5月14日)考生注意：本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设集合},1{R x x x A ∈<=，},4{2R x x x B ∈<=，则=B A ___________．2．设a 、R b ∈，i 为虚数单位，若i b i i a +=+)(，则复数bi a z +=的模为______． 3．函数x x y 2sin cos 2-=的最小正周期为_____________． 4．函数1)(-=x x f （1≥x ）的反函数=-)(1x f _____________．5．系数矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2312，解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21y x 的一个线性方程组是_______________．6．已知向量)1,1(-=k a，)2,(-=k b ，若b a ⊥，则实数k 的值为_____________．7．若一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面积是_____________．8．若a ，b ，c 成等比数列，则函数c bx ax xf ++=2)(的图像与x 轴交点的个数为_______． 9．设⎩⎨⎧<+-≥--=.0,42,0,12)(2x x x x x x f 则不等式2)(>x f 的解集为______________________．10．执行如下图所示的程序框图，那么输出的S 值为_____________．11．已知动圆圆心在抛物线x y 42=上，且动圆恒与直线1-=x 相切，则此动圆必过定点________________．12．从5名男生和2名女生中选出3人参加交通安全志愿者活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是____________．13．实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥,,12,1m y x x y y 如果目标函数y x z -=的最小值为1-，则实数m 的值为_________________．14．已知函数11)(+=x x f ，点n A 为函数)(x f 图像上横坐标为n （*N n ∈）的点，O 为坐标原点，向量)0,1(=e．记n θ为向量n OA 与e 的夹角，则=+++∞→)t a n t a n (t a n lim 21n n θθθ ___________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 15．“1tan =α”是“)(42Z k k ∈+=ππα”的…………………………………………（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 16．下列命题中正确的是……………………………………………………………………（）A ．若bc ac >，则b a >B ．若22b a >，则b a >C ．若b a >，则b a >D ．若ba 11<，则b a > 17．如图，四棱锥ABCD P -的底面是︒=∠60BAD 的菱形，且PC PA =，BD PB =，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面PAC 平行）可能是…………………（）A ．B ．C ．D ．18．若对于任意实数m ，关于x 的方程0)12(log 22=-++m x ax 恒有解，则实数a 的取值范围是……………………………………………………………………………………（）A ．)1,(-∞B ．]1,0(C ．]1,0[D ．)1,0(C ABDP三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，41=AA ．（1）求三棱柱111C B A ABC -的表面积S ；（2）设E 为棱1BB 的中点，求异面直线E A 1与BC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．解：（1）（2） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于A 、B 两点，其中A 在第一象限．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ．设直线AB 的斜率为k ．（1）若直线AB 平分线段MN ，求k 的值；（2）当2=k 时，求点A 到直线BC 的距离．解：（1）EC BA A 1B 1C 1（2） 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，角θ的始边OA 落在x 轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A 、C （20πθ<<），△AOB 为等边三角形．（1）若点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,54，求BOC ∠cos 的值；（2）设2||)(BC f =θ，求函数)(θf 的解析式和值域．解：（1）（2）小题满分6分．设向量)2,(x a = ，)12,(-+=x n x b （*N n ∈），函数b a y⋅=在]1,0[∈x 上的最小值与最大值的和为n a ，又数列}{n b 满足11=b ，121109-⎪⎭⎫⎝⎛=+++n n b b b ．（1）求证：1+=n a n ；（2）求数列}{n b 的通项公式；（3）设n n n b a c ⋅-=，试问数列}{n c 中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有k n c c ≤成立？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）（2）（3）小题满分7分．已知函数b xax x f ++=)(（0≠x ），其中a 、b 为实常数．（1）若方程13)(+=x x f 有且仅有一个实数解2=x ，求a 、b 的值；（2）设0>a ，),0(∞+∈x ，写出)(x f 的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；（3）若对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式10)(≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 上恒成立，求实数b 的取值范围．解：（1）（2）（3）2011学年嘉定区高三年级第三次模拟考试数学试卷（文科）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．}12{<<-x x ；2．2；3．π；4．12+x （0≥x ）；5．⎩⎨⎧=+=+.723,42y x y x ； 6．1-或2；7．29π；8．0；9．),3()0,(∞+-∞ ；10．2550；11．)0,1(；12．75；13．5；14．1．二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．B ；16．C ；17．B ；18．C ．三．解答题 19．（第1小题5分，第2小题7分，满分12分）（1）32432=⋅=∆ABC S ，……（1分） 2446=⨯=侧S ． ……（3分）所以侧S S S ABC +=∆22432+=． ……（5分）（2）取1CC 中点F ，连结EF 、F A 1．因为EF ∥BC ，所以EF A 1∠就是异面直线E A 1与BC 所成角（或其补角）．……（7分）在△EF A 1中，2=EF ，2211==F A E A ，42cos 1=∠EF A ．…………（11分）所以异面直线E A 1与BC 所成角的大小为42arccos．…………（12分） 20．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分）（1）由题设知，2=a ，2=b ，故)0,2(-M ，)2,0(-N ，所以线段MN 中点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--22,1．………………（3分）由于直线AB 平分线段MN ，故直线AB 过线段MN 的中点，又直线AB 过坐标原点，所以22122=--=k ．…………（6分） FE CBAA 1B 1C 1（2）当2=k 时，直线AB 的方程为x y 2=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,124,222y x x y 解得32±=x ，…（8分）从而A 点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛34,32，B 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--34,32，……（10分）于是C 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,32．…（11分）所以直线BC 的方程为032=--y x ．…（12分）所以点A 到直线BC 的距离为3222343432=--=d ．…………（14分）21．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分）（1）由题意，3πθ+=∠BOC ，因为点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,54，所以53sin =θ，54cos =θ，…………（3分）所以10334235321543cos cos -=⋅-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+=∠πθBOC ．…………（6分）（2）解法一：在△BOC 中，由余弦定理，BOC OC OB OC OB BC ∠-+=cos ||||2||||||222，……（7分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3cos 22)(πθθf ．…………（10分）因为20πθ<<，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈+65,33πππθ，……（11分）所以)32,1()(+∈θf ．…………（13分）因此，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3cos 22)(πθθf （20πθ<<），)(θf 的值域是)32,1(+．（14分）解法二：由题意，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21B ，)sin ,(cos θθC ，……（7分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6s 22)c s 3(223s 21c o||222πθθθθθBC ……………………………………（10分）因为20πθ<<，所以⎪⎭⎫⎝⎛-∈-3,66πππθ，…（11分）所以)32,1()(+∈θf ．（13分）所以，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin 22)(πθθf （20πθ<<），)(θf 的值域是)32,1(+．（14分）22．（第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）（1）由已知，2)4()12(2)(2-++=-++=x n x x n x x y ……（2分）而函数y 在]1,0[∈x 上是增函数，……（3分）所以12412+=-+++-=n n a n ．……（4分）（2）因为121109-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n b b b ，所以2121109--⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n b b b （2≥n ），………………（6分）两式相减，得2109101-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=n n b （)2≥n ．…………（8分）所以，数列}{n b 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-.109101,1,12n n n b …………（10分）（3）因为02111<-=-=b a c ，01091012>⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=-n n n c （2≥n ），……（12分）由题意，k c 为}{n c 的最大项，则2≥k ，要使k c 为最大值，则⎩⎨⎧≥≥+-,,11k kk k c c c c ……（13分）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+----123210910210910110910109101k k k k k k k k ……（14分）解得9=k 或8=k ． …………（15分）所以存在8=k 或9，使得k n c c ≤对所有*N n ∈成立．…………（16分） 23．（第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分，满分18分）（1）由已知，方程13+=++x b xax 有且仅有一个解2=x ，因为0≠x ，故原方程可化为0)1(22=--+a x b x ，…………（1分）所以⎩⎨⎧=+-=--08)1(02102a b b a ，…………（3分）解得8-=a ，9=b ．……（5分）（2）当0>a ，0>x 时，)(x f 在区间),0(a 上是减函数，在),(∞+a 上是增函数．…………（7分）（每个区间1分）证明：设),(,21∞+∈a x x ，且21x x <，112212)()(x ax x a x x f x f --+=-212112)(x x a x x x x -⋅-=，因为),(,21∞+∈a x x ，且21x x <，所以012>-x x ，a x x >21，即a x x >21，所以0)()(12>-x f x f ．………………（10分）所以)(x f 在),(∞+a 上是增函数．…………（11分）（3）因为10)(≤x f ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 时有10)(max ≤x f ，……（12分）由（2），知)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41的最大值为⎪⎭⎫⎝⎛41f 与)1(f 中的较大者．……（13分）所以，对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式10)(≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 上恒成立，当且仅当 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛10)1(1041f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤a b a b 94439对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a 成立．…………（15分）从而得到47≤b ． …………（17分）所以满足条件的b 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛∞-47,． …………（18分）。

2012学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷(文)

2012学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（文）本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题（每小题4分，满分56分）1．已知C ∈x ，且42-=x ，则=x ____________． 2．方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________．3．已知集合},082{2Z ∈<-+=x x x x A ，集合},3|2|{R ∈<-=x x x B ，则=B A _________________．4．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32cos 2πx y 的单调递减区间是__________________________．5．若函数ax x y -+=12的图像关于直线x y =对称，则实数a 的值为_____________．6．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积为_________________． 7．已知α、β均为锐角，且)sin()cos(βαβα-=+，则=αtan ___________．8．已知向量)sin ,(cos θθ=a ，)1,3(-=b ，则|2|b a-的最大值是___________．9．已知正数a ，b 满足1=ab ，则ba 11+的最小值为_________．10．=++++∞→2321limn nn ___________． 11．在数列}{n a 中，若21=a ，且对任意的正整数p 和q 都有q p q p a a a +=+，则8a 的值为__________．12．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥,,12,1m y x x y y 如果y x z -=的最小值是1-，则实数=m _____．13．如图，过双曲线1422=-y x 的右焦点作直线l 与圆422=+y x 相切于点M ，l 与双曲线交于点P则=||||PF PM ________________．14．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=,0,23,0,2)(2x x x x x f 若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．“1tan =α”是“4ππα+=k （Z ∈k ）”的………………………………………（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件16．已知集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B ，分别在集合A 和B 中各取一个数，第13题图则这两个数的和为偶数的概率是……………………………………………………（）A ．41 B ．21 C ．43 D ．161317．将正三棱柱截去三个角（如图1所示，A 、B 、C 分别是△GHI 三边的中点）后得到的几何体如图2所示，则该几何体按图中所示方向的左视图为…………………………（）A ．B ．C ．D ．18．下列区间中，函数|)3ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是…………………………（）A ．)2,(-∞B ．⎪⎭⎫⎝⎛-23,1 C ．)3,1( D ．)3,2(三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）如图，在四棱锥ABCD A -中，底面ABCD 是边长为2 的正方形，⊥PA 底面ABCD ，4=PA ，M 为PA 的中点．（1）求三棱锥MCD P -的体积；（2）求异面直线PC 与MD 所成角的大小．20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，某市拟在长为8千米的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数x A y ωsin =（0>A ，0>ω），]4,0[∈x 的图像，且图像的最高点为)32,3(S ；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定EB E B B E B 图1 BC AD EF A D BC I H GE F 图2 PA B CD M32π=∠MNP ．（1）求A ，ω的值和线段MP 的长；（2）设θ=∠PMN ，问θ为何值时，才能使折线段赛道MNP 最长？21．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）在等比数列}{n a 中，公比1≠q ，等差数列}{n b 满足311==a b ，24a b =，313a b =．（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（2）求使814011121>+++n a a a 成立的最小正整数n 的值．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于点N ．（1）当l 与m 垂直时，求证：直线l 必过圆心C ；（2）当32||=PQ 时，求直线l 的方程；（3）求证：⋅是定值．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R ∈x ．（1）若函数)(x f y =是偶函数，求实数a 的值；（2）若2=a ，求)(x f 的最小值；（3）对于函数)(x m y =，在定义域内给定区间],[b a ，如果存在0x （b x a <<0），满足ab a m b m x m --=)()()(0，则称函数)(x m 是区间],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数1)(2++-=mx x x g 是区间]1,1[-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．2012学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分） 1．i 2±； 2． 5； 3。

2012年三模试卷文参考答案

2011学年嘉定区高三年级第三次模拟考试数学试卷（文科）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．}12{<<-x x ；2．2；3．π；4．12+x （0≥x ）；5．⎩⎨⎧=+=+.723,42y x y x ； 6．1-或2；7．29π；8．0；9．),3()0,(∞+-∞ ；10．2550；11．)0,1(；12．75；13．5；14．1．二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．B ；16．C ；17．B ；18．C ．三．解答题 19．（第1小题5分，第2小题7分，满分12分）（1）32432=⋅=∆ABC S ，……（1分） 2446=⨯=侧S ． ……（3分）所以侧S S S ABC +=∆22432+=． ……（5分）（2）取1CC 中点F ，连结EF 、F A 1．因为EF ∥BC ，所以EF A 1∠就是异面直线E A 1与BC 所成角（或其补角）．……（7分）在△EF A 1中，2=EF ，2211==F A E A ，42cos 1=∠EF A ．…………（11分）所以异面直线E A 1与BC 所成角的大小为42arccos．…………（12分） 20．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分）（1）由题设知，2=a ，2=b ，故)0,2(-M ，)2,0(-N ，所以线段MN 中点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--22,1．………………（3分）由于直线AB 平分线段MN ，故直线AB 过线段MN 的中点，又直线AB 过坐标原点，所以22122=--=k ．…………（6分） FE CBAA 1B 1C 1（2）当2=k 时，直线AB 的方程为x y 2=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,124,222y x x y 解得32±=x ，…（8分）从而A 点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛34,32，B 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--34,32，……（10分）于是C 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,32．…（11分）所以直线BC 的方程为032=--y x ．…（12分）所以点A 到直线BC 的距离为3222343432=--=d ．…………（14分）21．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分）（1）由题意，3πθ+=∠BOC ，因为点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,54，所以53sin =θ，54cos =θ，…………（3分）所以10334235321543cos cos -=⋅-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+=∠πθBOC ．…………（6分）（2）解法一：在△BOC 中，由余弦定理，BOC OC OB OC OB BC ∠-+=cos ||||2||||||222，……（7分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3cos 22)(πθθf ．…………（10分）因为20πθ<<，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈+65,33πππθ，……（11分）所以)32,1()(+∈θf ．…………（13分）因此，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3cos 22)(πθθf （20πθ<<），)(θf 的值域是)32,1(+．（14分）解法二：由题意，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21B ，)sin ,(cos θθC ，……（7分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6s 22)c s 3(223s 21c o||222πθθθθθBC ……………………………………（10分）因为20πθ<<，所以⎪⎭⎫⎝⎛-∈-3,66πππθ，…（11分）所以)32,1()(+∈θf ．（13分）所以，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin 22)(πθθf （20πθ<<），)(θf 的值域是)32,1(+．（14分）22．（第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）（1）由已知，2)4()12(2)(2-++=-++=x n x x n x x y ……（2分）而函数y 在]1,0[∈x 上是增函数，……（3分）所以12412+=-+++-=n n a n ．……（4分）（2）因为121109-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n b b b ，所以2121109--⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n b b b （2≥n ），………………（6分）两式相减，得2109101-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=n n b （)2≥n ．…………（8分）所以，数列}{n b 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-.109101,1,12n n n b …………（10分）（3）因为02111<-=-=b a c ，01091012>⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=-n n n c （2≥n ），……（12分）由题意，k c 为}{n c 的最大项，则2≥k ，要使k c 为最大值，则⎩⎨⎧≥≥+-,,11k kk k c c c c ……（13分）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+----123210910210910110910109101k k k k k k k k ……（14分）解得9=k 或8=k ． …………（15分）所以存在8=k 或9，使得k n c c ≤对所有*N n ∈成立．…………（16分） 23．（第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分，满分18分）（1）由已知，方程13+=++x b xax 有且仅有一个解2=x ， ①a=0时，b=5…………（1分）②因为0≠x ，故原方程可化为0)1(22=--+a x b x ，…………（2分）所以⎩⎨⎧=+-=--08)1(02102a b b a ，…………（4分）解得8-=a ，9=b ．……（5分）（2）当0>a ，0>x 时，)(x f 在区间),0(a 上是减函数，在),(∞+a 上是增函数．…………（7分）（每个区间1分）证明：设),(,21∞+∈a x x ，且21x x <，112212)()(x ax x a x x f x f --+=-212112)(x x a x x x x -⋅-=，因为),(,21∞+∈a x x ，且21x x <，所以012>-x x ，a x x >21，即a x x >21，所以0)()(12>-x f x f ．………………（10分）所以)(x f 在),(∞+a 上是增函数．…………（11分）（3）因为10)(≤x f ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 时有10)(max ≤x f ，……（12分）由（2），知)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41的最大值为⎪⎭⎫⎝⎛41f 与)1(f 中的较大者．……（13分）所以，对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式10)(≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 上恒成立，当且仅当 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛10)1(1041f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤a b a b 94439对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a 成立．…………（15分）从而得到47≤b ． …………（17分）所以满足条件的b 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛∞-47,． …………（18分）。

上海市浦东新区2012届高三第三次模拟考试数学文试题(附答案)

上海市浦东新区2012届高三第三次模拟考试数学（文科）试卷2012.05注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数y =的单调递减区间为________.2. 已知(2,3),(4,),//,a b x a b x ==且则=______.3. 已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则x y +=_____.4.已知3cos 5x =，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2sin cos 1sin x x x =_____5. 已知01x <<的最大值是_______.6.方程lg(2)lg(3)lg12x x -+-=的解是_________.7.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a =________.8.在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5位数，则得到能被5整除的5位数的概率为______。

9. 若复数z a bi =+（i 为虚数单位）满足1a ≤且1b ≤，则z 在复平面内所对应的图形的面积为＿＿.10.若直线340x y m ++=与曲线 222440x y x y +-++=没有公共点，则实数m 的取值范围是____________.11.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的表面积为___________12. 已知函数2()(2f x x b x a b=++-是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是______． 13. 定义一个对应法则f ：()()/,,0,0P m n Pm n →≥≥.现有点()/1,3A 与()/3,1B 点，点/M 是线段//A B 上一动点，按定义的对应法则f ：/M M →。

2012学年第一学期嘉定区高三数学质量调研卷(文)

2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题：（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若i ii z +=11（i 为虚数单位），则=z ___________． 2．已知集合},0)1)(2({R ∈<-+=x x x x A ，},01{R ∈<+=x x x B ，则=B A I ___________．3．函数1)cos (sin )(2++=x x x f 的最小正周期是___________．4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是___________． 5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数，则公差d 的取值范围是___________．6．执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为___________．7．小王同学有5本不同的语文书和4本不同的英语书，从中任取2本，则语文书和英语书各有1本的概率为___________（结果用分数表示）．8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的底面积是___________． 9．动点P ),(y x 到点)1,0(F 的距离与它到直线01=+y 的距离相等，则动点P 的轨迹方程为___________．开始结束输出是否（第6题图）10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足5522cos=A ，3=⋅AC AB ，则△ABC 的面积为___________．11．已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n C 23,12，其中n 为正整数，设n S 表示△ABC 的面积，则=∞→n n S lim ___________．12．给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心、||为半径的劣弧AB 上运动，若y x +=，其中x 、R ∈y ，则22)1(-+y x 的最大值为___________．13．设a 、R ∈b ，且2-≠a ，若定义在区间),(b b -内的函数xaxx f 211lg )(-+=是奇函数，则b a 的取值范围是___________．14．在数列}{n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*N ∈n 满足n T n a a =+，则称}{n a 是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列}{n x 满足11=x ，a x =2（1≤a ），||12n n n x x x -=++，当数列}{n x 的周期为3时，则}{n x 的前2013项的和=2013S ___________．二、选择题：（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知R ∈x ，条件p ：x x <2，条件q ：11≥x，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．以下说法错误的是（）A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0πC ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π17．设函数)(x f 是偶函数，当0≥x 时，42)(-=xx f ，则0)2({>-x f x }等于（）A ．2{-<x x 或}2>x ；B ．2{-<x x 或}4>xC ．0{<x x 或}6>x ；D ．0{<x x 或}4>x ．18．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ，c by ax ++=111δ，c by ax ++=222δ．有四个命题：①若021>δδ，则点M 、N 一定在直线l 的同侧；②若021<δδ，则点M 、N 一定在直线l 的两侧； ③若021=+δδ，则点M 、N 一定在直线l 的两侧；④若2221δδ>，则点M 到直线l 的距离大于点N 到直线l 的距离．上述命题中，全部真命题的序号是（）A ．① ② ③；B ．① ② ④；C ．② ③ ④；D ．① ② ③ ④．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(22θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ．（1）求三棱锥ABC P -的体积V ；（2）求异面直线AB 与PC 所成角的大小．PABC21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知椭圆171622=+y x 的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ．设过点),(m t T 的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点),(11y x M 、),(22y x N ，其中0>m ，01>y ，02<y ．（1）设动点P 满足3||||22=-PB PF ，求点P 的轨迹；（2）若31=x ，212=x ，求点T 的坐标．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）写出一个正整数m ，使得91+m a 是数列}{n b 的项；（3）设数列}{n c 的通项公式为ta a c n nn +=，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ），使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在，请说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知R ∈a ，函数||)(a x x x f -⋅=．x O MB N yA TF·（1）当2=a 时，写出函数)(x f 的单调递增区间（不必证明）；（2）当2>a 时，求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值；（3）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最小值又有最大值，请分别求出m 、n 的取值范围（用a 表示）．2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．i -2 2．}12{-<<-x x 3．π 4．25．⎥⎦⎤ ⎝⎛710,45 6．37 7．95 8．42R π 9．y x 42= 10．2 11．2512．2 13．]2,1( 14．1342二．选择题（每小题5分，满分20分）15．A 16．C 17．D 18．B三．解答题 19．（本题满分12分）方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）所以3πθ2=，2±=a ．…………（12分） 20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）（1）因为⊥PA 底面ABC ，所以三棱锥ABC P -的高PA h =，…………（3分）所以，34213131=⋅⋅⋅⋅==PA BC AC Sh V ．…………（6分）（2）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ，连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ，所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或其补角）．…………（2分）连结AG ，则522=+=CG AC AG ，……（3分）622=+=AG EA EG ， …………（4分）G P ABCFE又22==PC AB ，所以2==FG EF ．…………（5分）在△EFG 中，212cos 222-=⋅-+=∠FG EF EG FG EF EFG ，……（7分）故︒=∠120EFG ．所以异面直线AB 与PC 所成角的大小为︒60．…………（8分）21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）（1）由已知，)0,4(B ，)0,3(F ，…………（1分）设),(y x P ，……（2分）由3||||22=-PB PF ，得3])4[(])3[(2222=+--+-y x y x ，…（5分）化简得，5=x ．所以动点P 的轨迹是直线5=x ．……（6分）（2）将),3(1y M 和⎪⎭⎫⎝⎛2,21y N 代入171622=+y x 得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+17641171692221y y ，……（1分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6444116492221y y ，……（2分）因为01>y ，02<y ，所以471=y ，8212-=y ．…………（3分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛47,3M ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-821,21N ．…………（4分）又因为)0,4(-A ，)0,4(B ，所以直线MA 的方程为)4(41+=x y ，直线NB 的方程为)4(43-=x y ．……（5分）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)4(43)4(41x y x y ，…………（6分）解得⎩⎨⎧==38y x ．…………（7分）所以点T 的坐标为)3,8(．……（8分）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）（1）设数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知，有⎩⎨⎧=+=+9333416211d a d a ，……（2分）解得11=a ，2=d ，…………（3分）所以}{n a 的通项公式为12-=n a n （*N ∈n ）．…………（4分）（2）当1=n 时，1111b T b -==，所以211=b ．……（1分）由n n b T -=1，得111++-=n n b T ，两式相减，得11++-=n n n b b b ，故n n b b 211=+，……（2分）所以，}{n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以nn b ⎪⎭⎫⎝⎛=21．……（3分）)4(2182191+=+=+m m a m ，…………（4分）要使91+m a 是}{n b 中的项，只要n m 24=+即可，可取4=m ．…………（6分）（只要写出一个m 的值就给分，写出42-=n m ，*N ∈n ，3≥n 也给分）（3）由（1）知，tn n c n +--=1212，…………（1分）要使1c ，2c ，k c 成等差数列，必须k c c c +=122，即tk k t t +--++=+12121136，…………（2分）化简得143-+=t k ．…………（3分）因为k 与t 都是正整数，所以t 只能取2，3，5．…………（4分）当2=t 时，7=k ；当3=t 时，5=k ；当5=t 时，4=k ．…………（5分）综上可知，存在符合条件的正整数t 和k ，所有符合条件的有序整数对),(k t 为：)7,2(，)5,3(，)4,5(．…………（6分）23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）（1）当2=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥--=-⋅=2,1)1(2,1)1(|2|)(22x x x x x x x f ，…………（2分）所以，函数)(x f 的单调递增区间是]1,(-∞和),2[∞+．…………（4分）（2）因为2>a ，]2,1[∈x 时，42)()(222a a x ax x x a x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=-⋅=．…………（1分）当2321≤<a ，即32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f ．…………（3分）当232>a ，即3>a 时，1)1()(min -==a f x f ．…………（5分）所以，⎩⎨⎧>-≤<-=3,132,42)(min a a a a x f ．…………（6分）（3）⎩⎨⎧<-≥-=a x x a x ax a x x x f ,)(,)()(．…………（1分）①当0>a 时，函数的图像如图所示，由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 解得a x 221+=，……（1分）所以20am <≤，a n a 221+≤<．……（4分） ②当0<a 时，函数的图像如图所示，由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 解得a x 221+=，……（5分）所以，a m a <≤+221，02≤<n a．……（8分） OxyOxy。

2020-2021学年上海市嘉定区高考数学三模试卷(文科)及答案解析

上海市高考数学三模试卷（文科）（解析版）一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数y=的定义域是．2．已知向量=（﹣2，x+1），=（3，x+2），若⊥，则实数x= ．3．若函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是R上的偶函数，则φ= ．4．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a= ．5．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b= ．6．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是．7．当x、y满足不等式组时，目标函数k=3x﹣2y的最大值为．8．某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为4的正方形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于．9．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x﹣x2，若f（m）+f（m﹣2）＞0，则实数m的取值范围是．11．已知直线l n：nx+2ny=4n+1（n=1，2，…）与x轴、y轴的交点分别为A n、B n，O为坐标原点，设△OA n B n的面积为S n（n=1，2，…），则= ．12．已知{a n}是递增的等比数列，且a2+a3=﹣1，那么首项a1的取值范围是．13．小李同学在研究长方体时发现空间有一条直线与长方体的所有棱所在直线所成的角都相等，那么这个角的大小是（结果用反三角函数值表示）．14．在数列{a n}中，a1=1，a n+2+（﹣1）n a n=1，则数列{a n}的前100项之和为．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件16．某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图中的曲线是半径为2的圆弧，则该几何体的体积为（）A．6﹣πB．8﹣πC．6﹣2πD．8﹣2π17．过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得=a+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A．点P（a，b）一定在单位圆内B．点P（a，b）一定在单位圆上C．点P（a，b）一定在单位圆外D．当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上18．（上海春卷18）已知函数f（x）=的图象关于点P对称，则点P的坐标是（）A．B．C．D．本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．20．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．21．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P（1）到抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线的距离为，点M（t，1）（t＞0）是C上的定点，A、B是C上的两个动点，且线段AB的中点Q（m，n）在线段OM上．（1）抛物线C的方程及t的值；（2）当点A、B分别在第一、四象限时，求k OA k OB的取值范围．22．设数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的n∈N*，都有S n=2a n﹣3n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的首项a1及数列的递推关系式a n+1=f（a n）；（2）若数列{a n+c}成等比数列，求常数c的值，并求数列{a n}的通项公式；（3）数列{a n}中是否存在三项a s，a p，a r（s＜p＜r），它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．23．已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）=．（1）证明：2是函数f（x）的周期；（2）当x∈[0，1）时，f（x）=x，求f（x）在x∈[﹣1，0）时的解析式，并写出f（x）在x∈[2k ﹣1，2k+1）（k∈Z）时的解析式；（3）对于（2）中的函数f（x），若关于x的方程f（x）=ax恰好有20个解，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数y=的定义域是（1，2）．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：1＜x＜2，∴函数的定义域是（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．2．已知向量=（﹣2，x+1），=（3，x+2），若⊥，则实数x= ﹣4或1 ．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，结合数量积的坐标表示，解方程可得x的值．【解答】解：向量=（﹣2，x+1），=（3，x+2），若⊥，则=0，即有﹣2×3+（x+1）（x+2）=0，化为x2+3x﹣4=0，解得x=﹣4或1．故答案为：﹣4或1．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，主要是垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．3．若函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是R上的偶函数，则φ= ．【分析】根据正弦函数的奇偶性以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即sin（φ﹣2x）=sin（φ+2x），故sinφ为函数f（x）的最值，则φ=，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的奇偶性以及它的图象的对称性，属于基础题．4．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a= 1 ．【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可．【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3 即a=1故答案为1【点评】本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．5．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b= 1 ．【分析】先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于a，b的方程组，解出可得．【解答】解：，即=2﹣ai=b+i，由复数相等的条件，得，解得，∴a+b=1，故答案为：1．【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题，正确理解复数相等的条件是解题关键．6．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是40 ．【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．【解答】解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1∴共有个体（4+1）×8=40故答案为：40．【点评】本题是分层抽样的相关知识．容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．7．当x、y满足不等式组时，目标函数k=3x﹣2y的最大值为 6 ．【分析】作出可行域，将目标函数变形，作出直线，将直线平移至（4，3）时，纵截距最小，k最大，将（4，3）代入k求出其最大值．【解答】解：作出可行域将目标函数k=3x﹣2y变形为y=作出直线y=，将其平移至（4，3）时纵截距最小，k最大所以k的最大值为3×4﹣2×3=6故答案为：6【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域，利用可行域求出目标函数的最值．8．某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为4的正方形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于．【分析】根据表面展开图可知棱锥的所有棱长均为4，做出棱锥的高PO，利用勾股定理计算PO，即可得出棱锥的体积．【解答】解：由棱锥的表面展开图可知棱锥为正四棱锥P﹣ABCD，底面边长与侧棱长均为4，做棱锥的高PO，则O为底面正方形的中心，OA=2．∴PO==2．∴V P﹣ABCD===．故答案为：．【点评】本题考查了棱锥的结构特征，体积计算，属于中档题．9．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是a≥．【分析】根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得．【解答】解：∵x＞0，∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号），∴=≤=，即的最大值为，故答案为：a≥【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x﹣x2，若f（m）+f（m﹣2）＞0，则实数m的取值范围是（1，+∞）．【分析】函数f（x）是定义在R 上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x﹣x2，可得出函数在R上是增函数，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．【解答】解：函数f（x）当x＜0时，f（x）=x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，又函数f（x）是定义在R 上的奇函数，故函数f（x）是定义在R 上的增函数，∵f（m）+f（m﹣2）＞0，可得f（m）＞﹣f（m﹣2）=f（2﹣m）∴m＞2﹣m，解得：1＜m，实数m 的取值范围是（1，+∞）故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，求解本题关键是根据函数的奇偶性与单调性得出函数在R上的单调性，利用单调性将不等式f（m）+f（m﹣2）＞0转化为代数不等式，求出实数m 的取值范围，本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型．11．已知直线l n：nx+2ny=4n+1（n=1，2，…）与x轴、y轴的交点分别为A n、B n，O为坐标原点，设△OA n B n的面积为S n（n=1，2，…），则= 4 ．【分析】由直线l n：nx+2ny=4n+1求出与x轴、y轴的交点，进一步求出三角形的面积，然后再由极限运算得答案．【解答】解：直线l n：nx+2ny=4n+1（n=1，2，…）与x轴、y轴的交点分别为A n（），B n（），O为坐标原点，∴△OA n B n的面积为S n=，则=．故答案为：4．【点评】本题考查了直线的截距式方程以及三角形面积的求法，考查了极限及其运算，是基础题．12．已知{a n}是递增的等比数列，且a2+a3=﹣1，那么首项a1的取值范围是．【分析】由已知得a1=﹣，q＞0，a1（q﹣1）＞0，由此能求出a1的取值范围．【解答】解：∵{a n}是递增的等比数列，且a2+a3=﹣1，∴q＞0，且=﹣1，∴a1=﹣，∵{a n}是递增的等比数列，∴a2＞a1，∴a1q＞a1，∴a1（q﹣1）＞0，同理，a3＞a2，即a1q2＞a1q，即a1q（q﹣1）＞0，∴q＞0，a1（q﹣1）＞0，当a1＞0时，有q＞1，由a1=﹣＞0，得：q（1+q）＜0，得：﹣1＜q＜0，矛盾，舍去；当a1＜0时，有0＜q＜1，由a1=﹣＜0，得：q（1+q）＞0，得：0＜q＜1符合．故当0＜q＜1时，t=q+q2单调增，取值为（0，2），∵a1=﹣，∴a1的取值范围为（﹣∞，﹣）．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的首项的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．13．小李同学在研究长方体时发现空间有一条直线与长方体的所有棱所在直线所成的角都相等，那么这个角的大小是arccos（结果用反三角函数值表示）．【分析】摆脱长方体的限制看这题，构造一个正方体，可以得到正方体的对角线与正方体的所有棱所在直线所成的角都相等，其余弦值为，可得这个角的大小．【解答】解：摆脱长方体的限制看这题，构造一个正方体，可以得到正方体的对角线与正方体的所有棱所在直线所成的角都相等，其余弦值为，所以这个角的大小是arccos，故答案为：arccos，【点评】本题考查空间直线所成角大小的求解，考查学生的计算能力，摆脱长方体的限制看这题，构造一个正方体是关键．14．在数列{a n}中，a1=1，a n+2+（﹣1）n a n=1，则数列{a n}的前100项之和为1300 ．【分析】a1=1，a n+2+（﹣1）n a n=1，对n分类讨论可得：a2k+2+a2k=1，a2k+1﹣a2k﹣1=1，k∈N*．利用分组求和、等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+2+（﹣1）n a n=1，∴n=2k为偶数时，a2k+2+a2k=1；n=2k﹣1为奇数时，a2k+1﹣a2k﹣1=1，k∈N*．∴数列{a n}的奇数项成等差数列，公差为1，首项为1．∴数列{a n}的前100项之和=（a1+a3+…+a99）+[（a2+a4）+…+（a98+a100）]=50×1+×1+25=1300．故答案为：1300．【点评】本题考查了分组求和、等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC若为钝角三角形，可得B不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：∵，即||||cosθ＞0，∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），所以两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，则“”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．故选A【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．16．某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图中的曲线是半径为2的圆弧，则该几何体的体积为（）A．6﹣πB．8﹣πC．6﹣2πD．8﹣2π【分析】由三视图知该几何体一个正方体挖去圆柱所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个正方体挖去圆柱所得的组合体，正方体的棱长是2，圆柱底面圆的半径是2、母线长是2，∴几何体的体积V==8﹣2π，故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．17．过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得=a+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A．点P（a，b）一定在单位圆内B．点P（a，b）一定在单位圆上C．点P（a，b）一定在单位圆外D．当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上【分析】根据点P到圆心O的距离判断点P与圆的位置关系．【解答】解：易知||=∵，||==1∴||=∴OP==1又圆的半为1∴点P一定在单位圆上故选：B【点评】本题主要考察了向量的求模运算，以及点与圆的位置关系的判断，属于中档题．18．（上海春卷18）已知函数f（x）=的图象关于点P对称，则点P的坐标是（）A．B．C．D．，任意给点M（x，y）关于P（m，n）的对称点为N （2m﹣x，2n﹣y），由，联立方程组：，解这个方程组得到，故选C．【点评】巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．【分析】（1）设圆柱的底面半径为r，根据相似比求出r与x的关系，代入侧面积公式即可；（2）利用二次函数的性质求出侧面积最大时x的值，代入体积公式即可．【解答】解：（1）设圆柱的半径为r，则，∴r=2﹣x，0＜x＜2．∴S圆柱侧=2πrx=2π（2﹣x）x=﹣2πx2+4πx．，∴当x=1时，S圆柱侧取最大值2π，此时，r=1，所以．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，体积计算，属于基础题．20．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【分析】（Ⅰ）由三角函数定义，得x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得y1=sinα，，分别求得S1和S2的解析式，再由S1=2S2求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．21．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P（1）到抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线的距离为，点M（t，1）（t＞0）是C上的定点，A、B是C上的两个动点，且线段AB的中点Q（m，n）在线段OM上．（1）抛物线C的方程及t的值；（2）当点A、B分别在第一、四象限时，求k OA k OB的取值范围．【分析】（1）求得抛物线的准线方程，由题意可得1+=，解得p，可得抛物线的方程；代入M的坐标，可得t的值；（2）求得Q的坐标，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得m的范围，运用直线的斜率公式，化简整理配方，由二次函数的值域可得所求范围．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线是，所以，解得，所以抛物线C的方程为y2=x．又点M（t，1）（t＞0）在曲线上，所以t=1．（2）由（1）知，M（1，1），可得直线OM的方程为y=x，故m=n，即点Q（m，m）．由题意，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y﹣m=k（x﹣m），由消去x，得ky2﹣y+m﹣km=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，由线段AB的中点为Q，可得y1+y2=2m，所以，m＞0，由，得，所以，因为，所以2m2﹣m的取值范围是，故k OA k OB的取值范围是（﹣∞，﹣8]．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意读懂直线的距离公式，考查直线的斜率的乘积的范围，注意联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．设数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的n∈N*，都有S n=2a n﹣3n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的首项a1及数列的递推关系式a n+1=f（a n）；（2）若数列{a n+c}成等比数列，求常数c的值，并求数列{a n}的通项公式；（3）数列{a n}中是否存在三项a s，a p，a r（s＜p＜r），它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由递推公式a n=s n﹣s n﹣1（n≥2），a1=s1求解（2）利用递推公式可得a n=s n﹣s n﹣1，利用等比数列的定义可求c（3）假设存在a s，a p，a r成等差数列，则2a p=a s+a r，结合（1）中的通项公式进行推理．【解答】解：（1）令n=1，则a1=S1=2a1﹣3，所以a1=3．…（1分）由S n=2a n﹣3n①，得S n+1=2a n+1﹣3（n+1）②，…（2分）②式减①式，得a n+1=2a n+1﹣2a n﹣3，…（3分）故数列的递推关系式为a n+1=2a n+3．…（4分）（2）由（1）知，a n+1=2a n+3，则，…（1分）由题意a n+1+c=q（a n+c），故当q=2，且时，数列{a n+c}是等比数列，所以当c=3时，数列{a n+c}成等比数列．…（3分）此时，．故，即，n∈N*．…（5分）综上，c=3，{a n}的通项公式为，n∈N*．…（6分）（3）假设a s，a p，a r（s＜p＜r）成等差数列，则2a p=a s+a r，…（1分）即2（32p﹣3）=（32s﹣3）+（32r﹣3），所以2p+1=2s+2r，…（2分）从而，2p﹣s+1=1+2r﹣s，…（4分）因为s，p，r∈N*且s＜p＜r，故2p﹣s+1为偶数，而1+2r﹣s为奇数．所以，2p﹣s+1=1+2r﹣s不可能成立，即不存在满足条件的三项．…（6分）【点评】本题主要考查了数列的递推关系a n=s n﹣s n﹣1（n≥2），a1=s1的应用及等比数列的定义，而对存在性问题，一般是先假设存在，然后由假设结合已知条件进行推理，看是否产生矛盾，从而判断存在性．23．已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）=．（1）证明：2是函数f（x）的周期；（2）当x∈[0，1）时，f（x）=x，求f（x）在x∈[﹣1，0）时的解析式，并写出f（x）在x∈[2k ﹣1，2k+1）（k∈Z）时的解析式；（3）对于（2）中的函数f（x），若关于x的方程f（x）=ax恰好有20个解，求实数a的取值范围．【分析】（1）令x取x+1代入化简后，由函数周期性的定义即可证明结论；（2）由x∈[﹣1，0）得x+1∈[0，1），求出f（x+1）代入化简后求出f（x），即可求出一个周期[﹣1，1）上的解析式，利用函数的周期性求出f（x）在x∈[2k﹣1，2k+1）（k ∈Z）时的解析式；（3）由（2）和函数的周期性画出f（x）的图象，将方程根的问题转化为图象的交点问题，根据图象和条件对a分类讨论，分别结合图象和条件列出不等式组求出a的取值范围．【解答】证明：（1）因为，令x取x+1得，所以，所以，2是函数f（x）的周期．解：（2）当x∈[﹣1，0）时，x+1∈[0，1），则f（x+1）=x+1，又，即，解得．所以，当x∈[﹣1，0）时，．所以，因为f（x）的周期为2，所以当x∈[2k﹣1，2k+1）（k∈Z）时，f（x）=f（x﹣2k）=，（3）由（2）作出函数的图象，则方程f（x）=ax解的个数：就是函数f（x）的图象与直线y=ax的交点个数．若a=0，则x=2k（k∈Z）都是方程的解，不合题意．若a＞0，则x=0是方程的解．要使方程恰好有20个解，在区间[1，19）上，f（x）有9个周期，每个周期有2个解，在区间[19，21）上有且仅有一个解．则解得，．若a＜0，同理可得．综上，．【点评】本题考查了函数周期性以及解析式，方程的根与函数图象交点之间的转化问题，考查了数形结合思想，推理能力与计算能力，属于难题．。

2012嘉定区数学一模(文)(答案)

2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题1．i +-1；2．5；3．1+x （1-≥x ）；4．1-；5．5-；6．}21{≤≤x x ；7．20；8．8；9．61；10．90；11．π18；12．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,12π；13．2122=+b a ；14．23n n +．二．选择题15．A ；16．B ；17．A ；18．C ．三．解答题 19．（1）在△ABC 中，因为2=AB ，4=AC ，︒=∠90ABC ，所以32=BC ．…………（1分）3221=⋅⋅=∆BC AB S ABC ．………………（1分）所以侧S S S ABC +=∆21)(2AA AC BC AB S ABC ⋅+++=∆4)4322(34⋅+++=31224+=．…………（3分）（2）连结1BC ，因为AC ∥11C A ，所以11C BA ∠就是异面直线B A 1与AC 所成的角（或其补角）．…………（1分）在△11BC A 中，521=B A ，721=BC ，411=C A ，…………（1分）由余弦定理，1052cos 111212112111=⋅⋅-+=∠C A B A BC C A B A C BA ，…………（3分）所以105arccos11=∠C BA ．…………（1分）即异面直线B A 1与AC 所成角的大小为105arccos ．……（1分） 20．（1）由题意，点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23，点Q 的坐标是)sin ,(cos αα，……（1分）所以53cos =α，54sin =α，……（2分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα6sin sin 6cos cos παπα+=1033421542353+=⨯+⨯=．……（3分）（2）由题意，αααααsin 21cos 23)sin ,(cos 21,23)(+=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin πα，……（3分）A BCA 1B 1C 1因为),0[πα∈，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+34,33πππα，…………（2分）所以⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,233sin πα．即函数)(αf 的值域是⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,23．…………（3分）21．（1）当0<a 时，曲线C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；……（1分）当0=a 时，曲线C 的轨迹是两条平行的直线1=x 和1-=x ；……（1分）当10<<a 时，曲线C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆； …………（1分）当1=a 时，曲线C 的轨迹是圆122=+y x ； …………（1分）当1>a 时，曲线C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆． …………（1分）（2）由⎩⎨⎧=+-=1122ay x x y ，得012)1(2=-+-+a ax x a ……① …………（2分）因为1-≠a ，所以方程①为一元二次方程，△04)1)(1(442>=-+-=a a a ，所以直线l 与曲线C 必有两个交点． …………（1分）设),(11y x M ，),(22y x N ，则1x ，2x 为方程①的两根，所以1221+=+a a x x ，1121+-=a a x x ， …………（1分）所以221221221)(2)()(||x x y y x x MN -=-+-=21141224)(2221221=+-⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=-+⋅=a a a a x x x x ，……（2分）所以0322=-+a a ，解得1=a 或3-=a ． ……（2分）因此曲线C 的方程为122=+y x 或1322=-y x ． ……（1分）22．（1）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，由题意，421+==n S n T n n ，所以n n S n 422+=． …………（1分）所以611==S a ，当2≥n 时，241+=-=-n S S a n n n ，而1a 也满足此式．……（2分）所以}{n a 的通项公式为24+=n a n ．…………（1分）（2）设数列}{n b 的前n 项和为n S ，则当n 为偶数时，23nS n =，……（1分）当n 为奇数时，21312)1(3-=+-=n n S n ． …………（1分）所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=为奇数当为偶数当n n n n T n ,132,32． ……（3分）所以32lim =∞→n n T ． ……（2分）（3）假设存在实数λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n a x f n对任意*N n ∈恒成立，则12442++≤+-n n x x 对任意*N n ∈恒成立，…………（1分）令124++=n n c n ，因为0)2)(1(21>++=-+n n c c n n ，所以数列}{n c 是递增数列，…（1分）所以只要124c x x ≤+-，即0342≥+-x x ，解得1≤x 或3≥x ．…………（2分）所以存在最大的实数1=λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n ax f n 对任意*N n ∈恒成立．（2分）23．（1）0=a 时，)(x f 是奇函数；……（2分）0≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数．……（2分）（2）当]2,0[∈x 时，42)(222a a x ax x x f -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=，函数)(x f 图像的对称轴为直线2ax =．……（1分）当02<a，即0<a 时，函数)(x f 在]2,0[上是增函数，所以0)0()(==f a m ；…（1分）当220≤≤a ，即40≤≤a 时，函数)(x f 在]2,0[a 上是减函数，在]2,2[a上是增函数，所以4)2()(2a a f a m -==；……（1分）当22>a，即4>a 时，函数)(x f 在]2,0[上是减函数，所以a f a m 24)2()(-==．……（1分）综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<=4,2440,40,0)(2a a a aa a m ．……（2分）（3）证法一：若4=a ，则0>x 时，x x x f 4)(2-=，方程可化为0442=+-xx x ，即x x x442+-=．……（2分）令xx g 4)(=，x x x h 4)(2+-=，在同一直角坐标系中作出函数)(x g )(x h 在0>x 时的图像．…………（2分）因为2)2(=g ，4)2(=h ，所以)2()2(g h >，即当2=x函数)(x h 图像上的点在函数)(x g 图像点的上方．……（3分）所以函数)(x g 与)(x h 的图像在第一象限有两个不同交点．即方程04)(=+xx f 有两个不同的正数解．…………（1分）证法二：若4=a ，则0>x 时，x x x f 4)(2-=，方程可化为0442=+-xx x ，即xx x 442-=-．…………（2分）令xx g 4)(-=，在同一直角坐标系中作出函数)(x f ，)(x g 在0>x 时的图像．……（2分）因为4)2(-=f ，2)2(-=g ，所以)2()2(-<-g f ，即当2=x 时，函数)(x f 图像上的点在函数)(x g 图像点的上方．…………（3分）所以函数)(x f 与)(x g 的图像在第四象限有两个不同交点．所以方程04)(=+xx f 有两个不同的正数解．…………（1分）。

上海市嘉定区2012届高三第三次模拟考试英语试题2012嘉定三模(可编辑)

上海市嘉定区2012届高三第三次模拟考试英语试题2012嘉定三模（可编辑）上海市嘉定区2011―2012学年度高三第三次质量调研英语试题 (120分钟完成; 总分:150分)第I卷 (共 105 分) I. Listening Comprehension Section ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard. 1. A. At home. B. On the farm. C. In a restaurant. D. In a supermarket. 2. A. $6. B. $4.5.C. $5.D. $4. 3.A. A worker at McDonald’s.B. A student.C. Atutor. D. A salesman in a market. 4.A. She didn’t receive th e E-mail.B. She is too busyto check the E-mail. C. Her computer broke down.D. She has replied to his E-mail. 5. A. It’s certainthat they will come to the lecture. B. They won’t come if they don’t call first. C. She is worried aboutit. D. There are plenty of seats for all the people. 6. A. She wishes the teacher could talk more.B. She thinks the teacher has an accent.C. She didn’t always catch the teacher.D. She thinks the teacher should talk louder. 7. A. Shewill pick up Jack at 2:00 in the af ternoon. B. She won’t be able to meet Jack atthe airport. C. She doesn’t want to meet Jack at the airport.D. She doesn’t know when Jack will arrive. 8. A. She is looking for a job in the summer. B. She is eager to go home for the vacation. C. She doesn’t know where to go in summer. D. She doesn’t want to go home in summer. 9. A. The woman goes to work by bike every day. B. The woman used to go to work by bike. C. The woman has bought a new bike. D. The man’s bikewas stolen. 10. A. The man wants to help the woman to find the lunch box. B. The man doesn’t know what todo. C. The man will buy lunch for the woman.D. The man will give the woman a treatment. Section B Directions: In Section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard. Questions 11 through 13 are based on the following passage. 11. A. Keep a high level of care for the people. B. Pay for damage done by dogs.C. Provide medical care for dogs.D. Buy insurance for dog owners.12. A. The owner of the car.B. The owner of the dog.C. The insurance company.D. The government.13. A. Dogs are welcome in public places. B. Keeping dogs means askingfor trouble. C. Many car accidents are caused by dogs.D. People care much about dogs. Questions 14 through 16 are based on the following passage. 14. A. Information research.B. Research for advertising.C. Market research.。

2012年上海市嘉定区高考数学一模试卷(文科) 含详解

2012年上海市嘉定区高考数学一模试卷（文科）一．填空题：（本大题满分56分）1．（4分）若z∈C，且（1﹣i）•z=2i，则z=．2．（4分）在等差数列{a n}中，a5=3，a6=﹣2，则{a n}的前10项和S10=．3．（4分）函数f（x）=（x≥0）的反函数f﹣1（x）=．4．（4分）方程log2（1﹣2x）=﹣1的解x=．5．（4分）在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（2，1），B（5，y），若，则y=．6．（4分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|x2﹣3x+2＞0}，则集合{x|x∈A且X∉（A ∩B）}=．7．（4分）某校老、中、青老师的人数分别为80、160、240．现要用分层抽样的方法抽取容量为60的样本参加普通话测试，则应抽取的中年老师的人数为．8．（4分）若双曲线x2﹣=1的焦点到渐进线的距离为2，则实数k的值是．9．（4分）在一个小组中有5名男同学，4名女同学，从中任意挑选2名同学参加交通安全志愿者活动，那么选到的2名都是女同学的概率为（结果用分数表示）．10．（4分）如图所示的算法框图，则输出S的值是．11．（4分）一个扇形的半径为3，中心角为，将扇形以一条半径所在直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是．12．（4分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈[﹣，]的值域是．13．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=r2（r＞0）内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若=a•+b•（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．14．（4分）将正整数排成三角形数表：12，34，5，67，8，9，10…按上面三角形数表排成的规律，数表中第n行所有数的和为．二．选择题：（本大题满分20分）15．（5分）若集合P={1，2，3，4}，Q={x|0＜x＜5，x∈R}，则“x∈P”是“x ∈Q”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）二次函数y=ax2+bx+c中，a•c＜0，则函数的零点个数是（）A．1B．2C．0D．无法确定17．（5分）若ab＜0，且a+b＞0，则以下不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．|a|＞|b| 18．（5分）直线xcosθ+y﹣1=0（θ∈R且θ≠kπ，k∈Z）与圆2x2+2y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定三．解答题：（本大题满分74分）19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（2）求异面直线A1B与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．20．（14分）如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．21．（14分）已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；（2）若a≠﹣1时，直线y=x﹣1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=，求曲线C的方程．22．（16分）定义x1，x2，…，x n的“倒平均数”为（n∈N*）．（1）若数列{a n}前n项的“倒平均数”为，求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：当n为奇数时，b n=1，当n为偶数时，b n=2．若T n为{b n}前n项的倒平均数，求；（3）设函数f（x）=﹣x2+4x，对（1）中的数列{a n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．23．（18分）已知函数f（x）=|x|•（x﹣a）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）设函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为m（a），求m（a）的表达式；（3）若a=4，证明：方程f（x）+=0有两个不同的正数解．2012年上海市嘉定区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题：（本大题满分56分）1．（4分）若z∈C，且（1﹣i）•z=2i，则z=﹣1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由条件可得z=，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，花简求得结果．【解答】解：∵z∈C，且（1﹣i）•z=2i，∴z====﹣1+i，故答案为﹣1+i．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（4分）在等差数列{a n}中，a5=3，a6=﹣2，则{a n}的前10项和S10=5．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】利用等差数列的通项公式，由a5=3，a6=﹣2，建立方程组求出a1和d，再由等差数列的前n项和公式求出S10．【解答】解：等差数列{a n}中，∵a5=3，a6=﹣2，∴，解得a1=23，d=﹣5，∴S10=10×23+=5，故答案为：5．【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3．（4分）函数f（x）=（x≥0）的反函数f﹣1（x）=（x≥﹣1）．【考点】4R：反函数；O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】由行列式得f（x）=x2﹣1（x≥0），知x=，x，y互换，得到函数y=x2（x＜0）的反函数是y=（x≥﹣1）．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1（x≥0），∴y≥﹣1，从中解出x=，x，y互换，得到函数f（x）的反函数是y=（x≥﹣1）．故答案为：（x≥﹣1）．【点评】本题考查反函数的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意原函数与反函数互换定义域和值域．4．（4分）方程log2（1﹣2x）=﹣1的解x=﹣1．【考点】4G：指数式与对数式的互化．【专题】11：计算题．【分析】由对数方程，转化为指数方程，解方程可求【解答】解：由log2（1﹣2x）=﹣1可得（1﹣2x）=，解方程可求可得，x=﹣1故答案为﹣1【点评】本题主要考查了对数方程的求解，解题中要善于利用对数与指数的转化，属于基础试题5．（4分）在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（2，1），B（5，y），若，则y=﹣5．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】由O为坐标原点，点A（2，1），B（5，y），先求出，，再由，能求出y．【解答】解：∵O为坐标原点，点A（2，1），B（5，y），∴，，∵，∴，解得y=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查数量积判断两个向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．（4分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|x2﹣3x+2＞0}，则集合{x|x∈A且X∉（A ∩B）}={x|1≤x≤2}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先分别求出集合A={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x ＜1或x＞2}，再求{x|x∈A且X∉（A∩B）}的值．【解答】解：∵集合A={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＜1或x＞2}，∴{x|x∈A且X∉（A∩B）}={x|1≤x≤2}，故答案为：{x|1≤x≤2}．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，解题时要认真审题，仔细解答．7．（4分）某校老、中、青老师的人数分别为80、160、240．现要用分层抽样的方法抽取容量为60的样本参加普通话测试，则应抽取的中年老师的人数为20．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】11：计算题．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用该层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，160×=20，故答案为：20．【点评】本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．8．（4分）若双曲线x2﹣=1的焦点到渐进线的距离为2，则实数k的值是8．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先分别求双曲线的渐近线方程，焦点坐标，再利用焦点到渐近线的距离为，可求实数k的值【解答】解：双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是．由焦点到渐近线的距离为，不妨．解得k=8．故答案为8．【点评】本题主要考查双曲线的几何形状，考查解方程，考查学生分析解决问题的能力9．（4分）在一个小组中有5名男同学，4名女同学，从中任意挑选2名同学参加交通安全志愿者活动，那么选到的2名都是女同学的概率为（结果用分数表示）．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，这个小组共有9人，由组合数可得，从9人中取出2人以及选到的2名都是女同学的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，这个小组有5名男同学、4名女同学，共9人，从中取出2人，有C92=36种情况，若选到的2名都是女同学，则其有C42=6种情况，则选到的2名都是女同学的概率为=；故答案为．【点评】本题考查等可能事件的概率计算，关键是由组合数公式，求出从9人中取出2人以及选到的2名都是女同学的情况数目．10．（4分）如图所示的算法框图，则输出S的值是90．【考点】E7：循环结构．【专题】27：图表型．【分析】由框图知，此循环结构可以执行两次，S的初值为1，每执行一次即将S变为原来的k倍，由此规律计算出转出的结果即可得出正确答案【解答】解：由题意如图，此循环结构可以执行两次，S的初值为1，每执行一次即将S变为原来的k倍，k的初值为10，每执行一次循环体，其值减小1故S=1×10×9=90．故答案为：90．【点评】本题考查循环结构，解题的关键是由框图得出此程序对应的算法，由此运算规律解出输出的结果11．（4分）一个扇形的半径为3，中心角为，将扇形以一条半径所在直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是18π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】由于扇形的中心角为直角，可得以它的一条半径为轴旋转一周，形成的几何体是一个半球，利用球体积公式结合题中数据，可得该几何体的体积．【解答】解：∵扇形的中心角为，∴以扇形的一条半径所在直线为轴旋转一周，所成的几何体是半球∵扇形的半径为3∴球半径是R=3，根据球的体积公式得半球的体积V=××R3=18π故答案为：18π【点评】本题给出中心角为直角的扇形，求由该扇形旋转一周形成几何体的体积，着重考查了旋转体的理解和球的体积公式等知识，属于基础题．12．（4分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈[﹣，]的值域是[﹣1，]．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题．【分析】确定函数为偶函数，求导函数，确定当x∈[0，]时，f′（x）＞0，函数为单调增函数，即可求得函数的值域．【解答】解：∵f（﹣x）=（﹣x）2﹣cos（﹣x）=f（x）=x2﹣cosx=f（x）∴函数为偶函数求导函数，可得f′（x）=2x+sinx当x∈[0，]时，f′（x）＞0，函数为单调增函数，∵f（0）=0﹣1=﹣1，f（）=∴函数f（x）=x2﹣cosx，x∈[0，]的值域是[﹣1，]∴函数f（x）=x2﹣cosx，x∈[﹣，]的值域是[﹣1，]故答案为：[﹣1，]【点评】本题考查函数的性质，考查导数知识的运用，确定函数为偶函数，利用单调性确定函数的值域是关键．13．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=r2（r＞0）内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若=a•+b•（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是a2+b2=．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题．【分析】将向量用坐标表示，得出坐标之间的关系，再利用x2+y2=r2，即可求得结论．【解答】解：设P（x，y），则由题意，=（r，r），=（﹣r，r），∵=a•+b•（a、b∈R），∴（x，y）=（ar，ar）+（﹣br，br）∴x=ar﹣br，y=ar+br∴x2+y2=2a2r2+2b2r2∵x2+y2=r2∴r2=2a2r2+2b2r2∴a2+b2=故答案为：a2+b2=【点评】本题考查向量知识的运用，解题的关键是将向量用坐标表示，属于中档题．14．（4分）将正整数排成三角形数表：12，34，5，67，8，9，10…按上面三角形数表排成的规律，数表中第n行所有数的和为．【考点】F1：归纳推理．【专题】29：规律型．【分析】三角形数表中前n行共有1+2+…+n=个数字，即第i行的最后一个数是，从而得出三角形数表中第n行第一个数是，共有n 个数，它们构成等差数列，利用等差数列的求和公式求其和即得．【解答】解：因为三角形数表中前n行共有1+2+…+n=个，即第i行的最后一个数是．∴三角形数表中第n行第一个数是，共有n个数，它们构成等差数列，其和为：n×+=，故答案为：．【点评】本题考查数列的性质和应用，本题解题的关键是看出所形成的数列是一个等差数列，后面的问题按照等差数列来解题．二．选择题：（本大题满分20分）15．（5分）若集合P={1，2，3，4}，Q={x|0＜x＜5，x∈R}，则“x∈P”是“x ∈Q”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题．【分析】由集合P={1，2，3，4}，Q={x|0＜x＜5，x∈R}，知“x∈P”⇒“x∈Q”，反之，则不成立．【解答】解：∵集合P={1，2，3，4}，Q={x|0＜x＜5，x∈R}，∴“x∈P”⇒“x∈Q”，即充分性成立，反之，则不成立．例：0.1∈Q，但0.1∉P，即必要性不成立．故“x∈P”是“x∈Q”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．16．（5分）二次函数y=ax2+bx+c中，a•c＜0，则函数的零点个数是（）A．1B．2C．0D．无法确定【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】11：计算题．【分析】有a•c＜0，可得对应方程ax2+bx+c=0的△=b2﹣4ac＞0，可得对应方程有两个不等实根，可得结论．【解答】解：∵ac＜0，∴△=b2﹣4ac＞0，∴对应方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，故所求二次函数与x轴有两个交点．故选：B．【点评】本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来，有方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x 轴的交点的横坐标．17．（5分）若ab＜0，且a+b＞0，则以下不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．|a|＞|b|【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题．【分析】把不等式a+b＞0的两边同时除以负数ab可得＜0，化简可得，从而得出结论．【解答】解：∵a+b＞0，ab＜0，∴＜0，∴，故选：A．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题．18．（5分）直线xcosθ+y﹣1=0（θ∈R且θ≠kπ，k∈Z）与圆2x2+2y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】11：计算题．【分析】求出圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离等于，再由θ≠kπ，k∈Z，可得cosθ≠±1，故＞，即圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离大于半径，从而得出结论．【解答】解：圆2x2+2y2=1 即x2+y2=，圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离等于，由于θ≠kπ，k∈Z，∴cosθ≠±1，∴＞，即圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离大于半径，故直线和圆相离，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．三．解答题：（本大题满分74分）19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（2）求异面直线A1B与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题．【分析】（1）利用S=2S△ABC +S侧，可求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（2）连接BC1，确定∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角），在△A1BC1中，利用余弦定理可求结论．【解答】解：（1）在△ABC中，因为AB=2，AC=4，∠ABC=90°，所以BC=．…（1分）S△ABC=AB×BC=2．…（1分）所以S=2S△ABC +S侧=4+（2+2+4）×4=24+12．…（3分）（2）连接BC1，因为AC∥A1C1，所以∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角）．…（1分）在△A1BC1中，A1B=2，BC1=2，A1C1=4，…（1分）由余弦定理可得cos∠BA1C1=，…（3分）所以∠BA1C1=arccos．…（1分）即异面直线A1B与AC所成角的大小为arccos．…（1分）【点评】本题考查三棱柱的表面积，考查线线角，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．20．（14分）如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GD：单位圆与周期性；GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据三角函数的定义和题意求出cosα，sinα的值，再由两角差的余弦公式展开后代入求值；（Ⅱ）根据向量的数量积坐标运算和条件代入，利用两角和正弦公式进行化简，根据α的范围和正弦函数的性质求出值域．【解答】解：（Ⅰ）∵点Q的坐标是，∴．∴=．（Ⅱ）===．∵α∈[0，π），则，∴．故f（α）的值域是．【点评】本题是由关三角函数的综合题，考查了三角函数的定义，两角和差的正弦（余弦）公式，正弦函数的性质的应用，三角函数是高考的重点，必须掌握和理解公式以及三角函数的性质，并会应用．21．（14分）已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；（2）若a≠﹣1时，直线y=x﹣1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=，求曲线C的方程．【考点】J3：轨迹方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题．【分析】（1）对a进行讨论，分a＜0，a=0，0＜a＜1，a=1，a＞1时，可得曲线C所表示的轨迹形状；（2）直线与曲线联立，确定直线l与曲线C必有两个交点，利用韦达定理及|MN|=，即可求曲线C的方程．【解答】解：（1）当a＜0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；…（1分）当a=0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=﹣1；…（1分）当0＜a＜1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆；…（1分）当a=1时，曲线C的轨迹是圆x2+y2=1；…（1分）当a＞1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆．…（1分）（2）由，得（a+1）x2﹣2ax+a﹣1=0…①…（2分）因为a≠﹣1，所以方程①为一元二次方程，△=4a2﹣4（a+1）（a﹣1）=4＞0，所以直线l与曲线C必有两个交点．…（1分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2为方程①的两根，所以x1+x2=，x1x2=，…（1分）所以|MN|=|x1﹣x2|=×=，…（2分）所以a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3．…（2分）因此曲线C的方程为x2+y2=1或x2﹣3y2=1．…（1分）【点评】本题考查分类讨论的数学思想，考查直线与曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确分类是关键．22．（16分）定义x1，x2，…，x n的“倒平均数”为（n∈N*）．（1）若数列{a n}前n项的“倒平均数”为，求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：当n为奇数时，b n=1，当n为偶数时，b n=2．若T n为{b n}前n项的倒平均数，求；（3）设函数f（x）=﹣x2+4x，对（1）中的数列{a n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．【考点】8J：数列的极限；8K：数列与不等式的综合．【专题】15：综合题；23：新定义．【分析】（1）设数列{a n}的前n项和为S n，由题意，，所以．由此能求出{a n}的通项公式．（2）设数列{b n}的前n项和为S n，则分n为偶数和n为奇数时，分别求出S n，从而求出T n．由此能求出．（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立，则﹣x2+4x≤对任意n∈N*恒成立，令，则数列{c n}是递增数列，由此能推导出存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）对任意n ∈N*恒成立．【解答】解：（1）设数列{a n}的前n项和为S n，由题意，，所以．…（1分）所以a1=S1=6，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n+2，而a1也满足此式．…（2分）所以{a n}的通项公式为a n=4n+2．…（1分）（2）设数列{b n}的前n项和为S n，则当n为偶数时，，…（1分）当n为奇数时，．…（1分）所以．…（3分）所以．…（2分）（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立，则﹣x2+4x≤对任意n∈N*恒成立，…（1分）令，因为，所以数列{c n}是递增数列，…（1分）所以只要﹣x2+4x≤c1，即x2﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．…（2分）所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立．（2分）【点评】本题考查数列的通项公式、极限的求法，探索实数是否存在．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答．23．（18分）已知函数f（x）=|x|•（x﹣a）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）设函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为m（a），求m（a）的表达式；（3）若a=4，证明：方程f（x）+=0有两个不同的正数解．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3K：函数奇偶性的性质与判断；53：函数的零点与方程根的关系．【专题】15：综合题．【分析】（1）a=0时，f（x）是奇函数；a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣，函数f（x）图象的对称轴为直线x=，利用a的不同取值进行分类讨论，能求出m（a）．（3）若a=4，则x＞0时，f（x）=，方程可化为．令，h（x）=﹣x2+4x，在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象，数形结合能证明方程f（x）+=0有两个不同的正数解．【解答】解：（1）∵f（x）=|x|•（x﹣a）．∴a=0时，f（x）=|x|x是奇函数；…（2分）a≠0时，f（x）=|x|•（x﹣a）既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣，函数f（x）图象的对称轴为直线x=．…（1分）当，即a＜0时，函数f（x）在[0，2]上是增函数，所以m（a）=f（0）=0；（1分）当0，即0≤a≤4时，函数f（x）在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数，所以m（a）=f（）=﹣；…（1分）当，即a＞4时，函数f（x）在[0，2]上是减函数，所以m（a）=f（2）=4﹣2a．…（1分）综上，m（a）=．…（2分）（3）证明：若a=4，则x＞0时，f（x）=，方程可化为，即．…（2分）令，h（x）=﹣x2+4x，在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象．…（2分）因为g（2）=2，h（2）=4，所以h（2）＞g（2），即当x=2时，函数h（x）图象上的点在函数g（x）图象点的上方．…（3分）所以函数g（x）与h（x）的图象在第一象限有两个不同交点．即方程f（x）+=0有两个不同的正数解．…（1分）【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，考查函数最小值的求法，证明方程有两个不同的正数解．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论法和数形结合思想的灵活运用．。

数学_2012年上海市闵行区高考数学三模卷(文科)_(含答案)

2012年上海市闵行区高考数学三模卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 函数f(x)＝log 2(x +1)的定义域为________． 2. 在复平面内，复数1−2i −i对应的点位于第________象限．3. 方程9x =3x +2的解为________．4. 等比数列{a n }中，a 1+a 2=1，a 4+a 5=8，则a 10+a 11=________．5. 函数y =√2−x 2的图象绕x 轴旋转一周所形成的几何体的表面积为________．6. 设a →=(32,sinα)，b →=(cosα,13)，且a → // b →，则锐角α的弧度数为________． 7. 若直线2x −y −2a =0与圆x 2+y 2=1有公共点，则实数a 的取值范围________． 8. M 为△ABC 中BC 边的中点，若BM →=pAB →+qAC →，则p +q =________．9. 若数列{a n }满足2a n+1+a n =0(n ∈N ∗)，a 1=32，则limn →∞(a 1+a 2+⋯+a n )=________．10. 若不等式|x1−2a |<6的解集为(−1, +∞)，则实数a 等于________．11. 抛物线x 2=ay 过点A(1,14)，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________．12. 某部门随机对1890名高中生做有关作业时间的问卷调查，将所得到的数据按如图所示的程序框图进行处理．计每人平均每天做作业的时间为x （分钟），若最后输出A ，B ，C 的结果依次为1234，567，89．则平均每天做作业的时间超过90分钟的学生的频率约为________（精确到0.001）．13. 已知f(x)=10|lgx|，若方程f(x)=b （b 是实常数）有两个不同的实数根x 1、x 2，则x 1+x 2的最小值是________．14. 规定：直线l 到点F 的距离即为点F 到直线l 的距离，在直角坐标平面xOy 中，已知两定点F 1(−1, 0)与F 2(1, 0)位于动直线l:ax +by +c =0的同侧，设集合P ={l|点F 1与点F 2到直线l 的距离之和等于2}，Q ={(x, y)|(x, y)∉l, l ∈P}．则由Q 中的所有点所组成的图形的面积是________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 已知函数y =f(x)的图象经过点(1, 2)，其反函数为y =f −1(x)，则y =f −1(x)−1的图象经过定点（）A (2, 1)B (1, 1)C (2, 0)D (0, 2)16. 已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 17. 一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人，为了调查高三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数为( )A 20B 15C 12D 1018. 已知等差数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 1=8，S 2=25，S 3=42，S 4=86，后来该同学发现其中恰有一个数算错了，则该数为（） A S 1 B S 2 C S 3 D S 4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A +C =2B ，cosC =17，a =5，求△ABC 的面积．20. 将一个半径为18cm 的圆形铁板剪成两个扇形，使两扇形面积比为1:2，再分别以这两个扇形为圆锥的侧面卷成两个圆锥．设较小圆锥的侧面积为S 1，高为ℎ1，较大圆锥的侧面积为S 2，高为ℎ2，求：（1）S 1和S 2；（2）ℎ1ℎ2．21. 某商品在50天的销售期间，其单价f(t)（元）、销售数量g(t)（件）与时间t （天）（t 是正整数）之间的函数关系式分别是：f(t)={t +20(0≤t ≤30)−12t +35(31≤t ≤50)，g(t)=−t +50(0≤t ≤50)．（1）写出这种商品在50天内销售金额F(t)与时间t 的函数关系式；（2）问这种商品在50天内哪一天的销售金额最大？22. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点依次为F 1，F 2，点M(0, 2)是椭圆的一个顶点，MF →1⋅MF →2=0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）在椭圆Γ上是否存在两点P 、Q ，使PQ →=PF 1→+PO →（O 为坐标原点）？若存在，求出这两点，若不存在，请说明理由；（3）斜率为√22的直线经过点F 2，该直线交椭圆Γ于R 、S 两点，试在y 轴上找一点T ，使|TR|=|TS|．23. 已知数列{a n }中，a 1>0，a n+1=√3+a n 2(n ∈N ∗)．（1）试求a 1的值，使数列{a n }是一个常数列；（2）试求a 1的取值范围，使得数列{a n }是单调增数列；（3）若{a n}不为常数列，设b n＝|a n+1−a n|(n∈N∗)，S n为数列{b n}的前n项和，请你写出a1的一个值，使得S n<12恒成立，并说明理由．2012年上海市闵行区高考数学三模卷（文科）答案1. (−1, +∞)2. 一3. x=log324. 5125. 8π6. π47. [−√52，√52]8. 09. 110. −411. 5412. 0.04713. 214. π15. C16. A17. D18. C19. 解：在△ABC中，∵ A+C=2B，且A+B+C=π，∴ B=π3，又cosC=17可，得sinC=√1−cos2C=4√37，∴ sinA=sin(2π3−C)=sin(C+π3)=sinCcosπ3+cosCsinπ3=4√37⋅12+17⋅√32=5√314，在△ABC中，由正弦定理csinC =bsinB=asinA，∴ c=asinCsinA=8，三角形面积S=12acsinB=12×5×8×√32=10√3．20. 解：（1）由圆的面积公式，得半径为18cm的圆面积为π⋅182=324πcm2，∵ 两个圆锥的侧面积就是扇形的面积，两个扇形由半径为18cm的圆剪开且面积之比为1:2，∴ 两个扇形为圆锥的侧面积分别为13×324π=108πcm2与23×324π=216πcm2，即S1=108πcm2，S2=216πcm2．（2）设较小圆锥的底面半径为r1，较大圆锥的底面半径为r2，∵ 2π⋅r 1=13×2π×18，∴ r 1=6cm ；同理可得r 2=12cm ，∴ ℎ1=√182−r 12=12√2cm ，同理可得：ℎ2=√182−r 22=6√5cm ， ∴ ℎ1ℎ2=√26√5=2√105． 21. 解：（1）依题意该商品在50天内的销售金额F(t)与时间t 的函数关系式为：F(t)=f(t)g(t)={(t +20)(−t +50)(0≤t ≤30,t ∈Z)(−12t +35)(−t +50)(31≤t ≤50,t ∈Z)．（2）若0≤t ≤30，t ∈Z ，则F(t)=−(t −15)2+1225 此时，当t =15时，F(t)max =1225（元）若31≤t ≤50，t ∈Z ，则F(t)=12(t −60)2−50此时F(t)在[31, 50]上递减，故当t =31时，F(t)max =370.5 比较知第15天的销售金额最大，达到1225元．22. 解：（1）由已知可得 b =2，由MF →1⋅MF →2=0，得a =√2b ．所以a 2=2b 2=8，所求椭圆方程为x 28+y 24=1．（2）由椭圆方程可求得F 1的坐标为(−2, 0)，设在椭圆Γ上存在两点P(x 1, y 1)、Q(x 2, y 2)，使PQ →=PF 1→+PO →，则四边形PF 1QO 是平行四边形，且点P 、Q 关于OF 1的中点E(−1, 0)对称；由椭圆的对称性可知，PQ ⊥Ox 轴，且PQ 过点E ；联立{x 28+y 24=1x =−1，解得：{x =−1y =√142或{x =−1y =−√142，所以在椭圆Γ上存在两点P(−1,√142)，Q(−1,−√142)，使PQ →=PF 1→+PG →．（3）直线RS 的方程为y =√22(x −2)．由 {y =√22(x −2)x 2+2y 2=8，消去y 整理得 x 2−2x −2=0．设R(x 3, y 3)，S(x 4, y 4)，线段RS 的中点为D(x D , y D )，T 的坐标为(0, y 0)，则 x 3+x 4=2．所以x D =x 3+x 42=1，y D =√22(x D −2)=−√22，即D 的坐标为(1,−√22) 由条件知RS ⊥TD ，所以k RS ⋅k TD =√22⋅y 0+√22−1=−1⇒y 0=√22所以T 的坐标为(0,√22)．23. 由a n=a n+1=√3+a n2及a n>0，得a n=32．所以a1=32时，{a n}为常数数列．a n+1−a n=√3+a n2−√3+a n−12=n n−12[√3+a n2+√3+a n−12]．∵ 2[√3+a n2+√3+a n−12]>0，∴ a n+1−a n与a n−a n−1同号．要使a n+1>a n对任意正整数n都成立，只须a2>a1>0，即√3+a12>a1，解得0<a1<32，∴ 当0<a1<32时，a n+1>a n对任何正整数n成立．选取a1＝2时，由（2）的结论知a n+1−a n<0．∴ S n＝b1+b2+...+b n＝|a2−a1|+|a3−a2|+...+|a n+1−a n|＝a1−a2+a2−a3+...+a n−a n+1＝a1−a n+1＝2−a n+1，又a n+2=√3+a n+12<a n+1,解得a n+1>32，故2−a n+1<12，即S n<12恒成立．。

上海市嘉定区2012届高三第三次模拟考试数学(理)试题(2012嘉定三模)缺答案.pdf

福建省福州市第四十一中学初中英语教师教学论文初三英语总复习教学中的几个变化今年初三总复习教学即将结束，反思这届初三英语总复习教学，自己在教学上与往年的总复习教学进行了几个改变，并取得了较好的效果。

从教师提供详细的复习材料变为学生自行完成复习导纲。

过去，我总是将每课的词形变化、词组、句型以及语法等内容，全部打印成复习提纲，那么学生只是在上课时将这些复习提纲读一遍，然后回去背诵。

这种复习方法，没有给学生动脑的机会，只是将他们作为记忆的机器。

这种情况下，老师花了大量的时间、精力去归纳、打印提纲，但取得的效果并不理想。

今年，我将答案去掉，学生拿到的只是一份复习导纲。

那么学生就不得不翻开书，去查找解决的方法。

这样学生就主动动脑去思考，对复习的内容印象也更深。

从面面俱到变为重难点突出。

以往总复习过程中，总担心因为复习的不够详细，导致学生知识点没掌握，因此在语法讲解中，总是尽量详细、具体。

实际上，由于老师提供了太多的材料，以至于学生反而抓不住知识的重点。

这也体现了我对《大纲》没有吃透。

在本次总复习中，我紧紧抓住最重要的知识点，进行点拨，使学生对英语知识的结构了解得更清晰，对重难点的掌握更明确。

从课后练习到当场巩固。

往年总复习课，我总是在课堂上，不断地讲解知识点，学生单纯地记忆。

课后作业则是完成大量的练习，老师再进行讲评。

这样造成的问题是在题海中，学生把握不到练习的考点是什么，通过练习巩固知识的作用不明显。

在今年的总复习中，我通常是讲完几个知识点，马上进行小题量的巩固练习，并让学生分析题目的考点是什么。

这样学生完成了输入-内化-输出的过程。

练习从多而杂到精而少。

过去学生课堂复习后，往往要完成一份老师发的练习，而这份练习通常是现成的练习册或是一份试卷。

学生每天花大量的时间来完成书面练习。

今年，我根据中考题型以及每课的重难点，出一份精选的练习，题量少，但目的明确，使每道题都能体现一个知识点，不做单纯的重复练习。

2023-2024学年上海市静嘉定高考数学冲刺模拟试题(三模)含解析

2023-2024学年上海市静嘉定高考数学冲刺模拟试题（三模）一、填空题1．设集合{}{}213,log 3A x x B x x =-<<=<，则A B = __________.【正确答案】{}03x x <<【分析】化简集合B ，即可得出A B ⋂的值.【详解】由题意，{}13A x x =-<<在{}2log 3B x x =<中，解得：08x <<，∴{}03A B x x ⋂=<<，故答案为.{}03x x <<2．若复数z 是20.130x x -+=的一个根，则z =______.【分析】设i z a b =+，,R,0a b b ∈≠，代入20.130x x -+=中，得到方程组，求出,a b ，求出模长即可.【详解】由题意得20.130z z -+=，设i z a b =+，,R,0a b b ∈≠，则222i 0.10.1i 30a ab b a b +---+=，即()220.1320.1i 0a b a ab b --++-=，所以220.13020.10a b a ab b ⎧--+=⎨-=⎩，因为0b ≠，所以0.05a =，故220.13 2.9975b a a =-+=，故z ==3．二项式5(1的展开式中2x 的系数等于__________.【正确答案】5【分析】首先写出展开式的通项，再令122r =求出r ，最后代入计算可得.【详解】二项式(51展开式的通项为()()512155C 11C1rr r r rrrr T x-+=⋅⋅-⋅=-，()05,N r r ≤≤∈，令122r =，解得4r =，所以()422255C 51T x x =⨯-⨯=，所以展开式中2x 的系数为5.故54．一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺序________．【正确答案】②③①④⑥⑤【分析】根据给定条件，利用数学建模的活动过程及顺序写出结论作答.【详解】数学建模活动，根据实际情境，提出问题，基于问题，建立模型，通过模型的求解，以检验模型解决问题的结果，若结果不符合实际，还需重新建立模型；若结果符合实际，问题的回答便有了实际的结果，所以正确的序号顺序是②③①④⑥⑤.故②③①④⑥⑤5．在ABC 中，已知sin2sin 0b A a B +=，则角A 的大小为__________.【正确答案】2π3【分析】利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解.【详解】因为sin2sin 0b A a B +=，由正弦定理得sin sin2sin sin 0B A A B +=，即2sin sin cos sin sin 0B A A A B +=，又因为(),0,πA B ∈，所以sin ,sin 0A B ≠，所以1cos 2A =-，所以2π3A =.故答案为.2π36．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布()2100,N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为________．(若()2,X N μσ，则()20.9545P X μσ-<≈)【正确答案】12/0.5【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，1002X σ-<的解集()()1002,100299,101A σσ=-+⊆，即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解．【详解】依题可知，100μ=，再根据题意以及正态曲线的特征可知，1002X σ-<的解集()99,101A ⊆，由1002X σ-<可得，10021002X σσ-<<+，所以1002991002101σσ-≥⎧⎨+≤⎩，解得：12σ≤，故σ至多为12．故12．7．已知()6,8a =- ，b 与a垂直，5b = ，且b 与()1,0c = 的夹角是钝角，则b 在c 方向上的投影为______.【正确答案】()4,0-【分析】设(),b x y = ，利用向量垂直及模的坐标公式求出向量b的坐标，最后根据投影公式直接计算即可.【详解】设(),b x y = ，因为()6,8a =- ，b 与a垂直，所以6(8)0x y +-=，即34x y =，又5b = 5=，即2225x y +=，解得43x y =⎧⎨=⎩或43x y =-⎧⎨=-⎩，因为b 与()1,0c =的夹角是钝角，所以0b c x ⋅=< ，所以()4,3b =-- ，则b 在c方向上的投影为()4,0b c ccc⋅⋅=-.故答案为.()4,0-8．若关于x的方程22sin 10x x m +-=在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，则实数m 的取值范围是__________.【正确答案】[2,1]-【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简，结合三角函数性质判定值域即可.【详解】原方程22sin 10x x m +-=等价于2π12sin cos 212sin 216m x x x x x ⎛⎫--+-=+- ⎪⎝⎭即函数1y m =-，π2sin 216y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有交点，∵π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π7π13π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π1sin 21,62x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故[]3,0y ∈-，则[]310,2,1m m -≤-≤∴∈-.故[2,1]-9．甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙体积分别为V 甲和V 乙.若=2S S 甲乙，则=VV 甲乙___________.【分析】由题意知甲，乙两个圆锥的侧而展开图刚好拼成个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，结合=2S S 甲乙，即可求出122,1r r ==，再利用勾股定理可得12h h ==出答案.【详解】由题意知甲，乙两个圆锥的侧而展开图刚好拼成个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲､乙两个圆锥的底面半径分别为12,r r ，高分别为12,h h ，由=2S S 甲乙，则12212π2π34π,2π2π32π33r r =⨯⨯==⨯⨯=，解得122,1r r ==，由勾股定理得12h h =所以2112221π3=1π3r h V V r h=甲乙故答案为10．在等差数列{}n a 中，若11101a a -＜，且它的前n 项和n S 有最大值，则当n S 取得最小正值时，n 的值为_______.【正确答案】19.【详解】试题分析：因为等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，所以公差为负，所以由11101a a <-得1110111011100,0,0a a a a a a <-⇒+<，所以119191010()1002a a S a +==>，1202010()2a a S +=＝101110()02a a +<，所以当19n =时，n S 取到最小正值．1、等差数列性质；2、等差数列的前n 项和公式．【方法点睛】求等差数列前n 项和的最值常用的方法有：(1)先求n a ，再利用10{0n n a a +≥≤或10{0n n a a +≤≥求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值；（3）利用等差数列的前n 项和2n S An Bn ＝＋(A B ，为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．11．若P ，Q 分别是抛物线2x y =与圆()2231x y -+=上的点，则PQ 的最小值为________．1/1-+【分析】设点()200,P x x ，圆心()3,0C ，PQ 的最小值即为CP 的最小值减去圆的半径，求出CP 的最小值即可得解．【详解】依题可设()200,P x x ，圆心()3,0C ，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，PQ 的最小值即为CP 的最小值减去半径．因为()()222242000003069CP x x x x x =-+-=+-+，x ∈R ，设()4269f x x x x =+-+，()()()3242621223f x x x x x x =+-=-++'，由于22152232022x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()f x 在(),1-∞上递减，在()1,+∞上递增，即()min 15f f ==，所以min 1CP =>，即PQ1-．1．12．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的,,,AB AC BD CD 都是以O 为圆心的圆弧，CMNK 是为计算所做的矩形，其中,,M N K 分别在线段,,OD OB OA 上，,MN OB KN OB ⊥⊥.记AOB α∠=，AOC β=∠，BOD γ=∠，COD δ=∠，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有__________.①sin sin cos βγδ=②cos cos cos βγδ=；③sin sin cos δαβ=；④cos cos cos cos γδαβ=.【正确答案】①③④【分析】利用题设中的垂直关系可得Rt COK 、Rt OMN △、Rt OMC 、Rt KON △，利用这些直角三角形逐项计算各角的三角函数后可得它们的关系，从而可得正确的选项.【详解】因为四边形CMNK 是矩形，故MN KN ⊥，而MN OB ⊥，,,KN OB N KN OB =⊂ 平面AOB ，故MN ⊥平面AOB .因为四边形CMNK 是矩形，故//KC MN ，故KC KN ⊥，而KC OB ⊥，而,,KN OB N KN OB =⊂ 平面AOB ，故KC ⊥平面AOB .而KN OB ⊥，MN KN ⊥，//KN CM ，.故CM OB ⊥，MN CM ⊥，而,,MN OB N MN OB =⊂ 平面MON ，故CM ⊥平面MON ，因OD ⊂平面MON ，故CM OD ⊥,同理MN OB ⊥，KC OA ⊥.在Rt COK 中，有sin sin KC MNAOC OC OC β=∠==；在Rt OMN △中，有sin sin MNDOB OM γ=∠=；在Rt OMC 中，有cos sin OMDOC OCδ=∠=；故sin cos sin MNOCγδβ==，故①正确.在Rt KON △中，有sin sin KN MCAOB OK OKα=∠==，在Rt COK 中，有cos cos KOAOC OC β=∠=；故sin cos sin MCOCαβδ==，故sin sin cos δαβ=，故③正确.在Rt KON △中，有cos cos ONAOB OK α=∠=，在Rt OMN △中，有cos cos ONDOB OMγ=∠=；故cos cos cos cos ON OMONOM OC KO KO OCγδαβ⨯===，故④正确.若cos cos cos βγδ=不成立，否则由④的结论可得cos 1α=，这样α为锐角矛盾.故①③④.思路点睛：立体几何中的角的关系的计算，一般放置在直角三角形进行讨论，注意利用空间中的垂直关系实现不同面中的垂直关系的转化.二、单选题13．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x 、2x 和2212s s 、，且已知12x x =，则总体方差()2221212s s s =+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C ．若()0.3P B A =，()0.3P B =，则事件A 、B 相互独立D ．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10、3、8、3、2、18、7、4，则该样本数据的第50百分位数为4【正确答案】C【分析】利用方差公式可判断A 选项；利用相关系数与线性相关关系可判断B 选项；利用条件概率公式以及独立事件的定义可判断C 选项；利用百分位数的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，设2层数据分别为1a 、2a 、L 、m a ；1b 、2b 、L 、(),n b m n *∈N，因为12x x =，所以，总体平均数为1212mx nx x x x m n +===+，所以，()()222111111mm i i i i s a x a x m m ===-=-∑∑，()()222211111n n i i i i s b x b x n n ===-=-∑∑，所以，总体方差为()()()22222121111m n i i i i s a x b x ms ns m n m n==⎡⎤=-+-=+⎢⎥++⎣⎦∑∑2212m n s s m n m n=+++，则()()()()()()22122222222121212111222222m n s s mn m n m n s s s s s s s m n m n m n m n m n ----⎛⎫⎛⎫-+=-+-=-=⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭，所以，当m n =或2212s s =时，()2221212s s s =+，否则()2221212s s s ≠+，A 错；对于B 选项，在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 的绝对值越接近于1，B 错；对于C 选项，由条件概率公式可得()()()P AB P B A P A =，所以，()()()P AB P A P B A =，所以，()()()P AB P A P B A =，故()()()()()()()0.30.3P AB P B P AB P A P B P AB P B A ===，所以，事件A 、B 相互独立，C 对；对于D 选项，将样本数据由小到大排列分别为2、3、3、4、7、8、10、18，所以，该样本数据的第50百分位数为475.52+=，D 错.故选：C.14．已知函数()y f x =与它的导函数()y f x '=的定义域均为R ，则“()y f x =在R 上严格增”是“()y f x '=在R 上严格增”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【正确答案】D【分析】通过特例可得两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项.【详解】取()3f x x =，则()23f x x '=，而()3f x x =为R 上严格增函数，而()23f x x '=不是R 上严格增函数，故“()y f x =在R 上严格增”推不出“()y f x '=在R 上严格增”.取()212g x x =，()g x x '=，则()g x x '=是R 上严格增函数，而()212g x x =不是R 上严格增函数，故“()y f x '=在R 上严格增”推不出“()y f x =在R 上严格增”.故“()y f x =在R 上严格增”是“()y f x '=在R 上严格增”的非充分非必要条件，故选：D.15．已知双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，点B 的坐标为()0,b ，若Γ上的任意一点P 都满足PB b ≥，则（）A．112e <≤B．12e +≥C．1e <≤D．12e ≥【正确答案】C【分析】依题意即有22PB b ≥恒成立，设点(,)P x y ，把2PB 表示为关于y 的二次函数，求出此函数的最小值，即可建立不等式求解.【详解】设(,)P x y ，因为22221x y a b-=，所以22222a x a y b =+，则2222222222222()22a c PB x y b a y y by b y by c b b =+-=++-+=-+，所以当32b y c =时2PB 取得最小值为222442222444c c b c b b c c b ⋅⋅--=⋅，依题意22PB b ≥恒成立，所以4422c b b c-≥，即4224222()c c a c a c--≥-，化简整理得，422430c a c a -+≤，即42310e e -+≤，又1e >，所以21e <1e <≤故选：C16．已知函数()[]()()2023sin ,0,2log 1,2,x x f x x x π∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，若满足()()()f a f b f c ==（a 、b 、c 互不相等），则a b c ++的取值范围是（）A ．()3,2023.5B ．()3,2024C ．[)3,2024D ．[)3,2025【正确答案】D【分析】作出函数()[]()()2023sin ,0,2log 1,2,x x f x x x π∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩的图象，根据()()()f a f b f c ==，利用数形结合法求解.【详解】解：作出函数()[]()()2023sin ,0,2log 1,2,x x f x x x π∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩的图象，如图所示：不妨设a b c <<，因为()()()f a f b f c ==，由函数的性质得1a b +=，()20230log 11c <-<，即[2,2024)c ∈，所以[3,2025)a b c ++∈，故选：D三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点，2PA AB ==.(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线MN 的方向向量和平面PBD 的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，取PA 的中点E ，连接EB 、EM ，因为M 是PD 的中点，所以//EM AD ，且12EM AD =.又因为底面ABCD 是正方形，N 是BC 的中点，所以//BN AD ，且12=BN AD .所以//,EM BN EM BN =.所以四边形MNBE 是平行四边形，所以//MN EB .由于EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（2）因为底面ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD .所以以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系.()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，()0,1,1M ，()2,1,0N .()2,2,2PC =-，()2,0,0CD =- ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z = .有：0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x y z x +-=⎧⎨=⎩令1y =，则1z =，所以()0,1,1m = .()2,0,1MN =-.设直线MN 与平面PBD 所成角为θ.有.sin cos ,MN m MN m MN mθ⋅===⋅所以直线MN 与平面PCD18．已知数列{}n a 的前n 项和为12,n S a =，对任意的正整数n ，点()1,n n a S +均在函数()f x x =图象上.(1)证明：数列{}n S 是等比数列；(2)问{}n a 中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由题意，得到11n n n n S a S S ++==-，求得12n nS S +=，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）得到2nn S =，求得12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，假设存在2m n p ≤<<使得,,m n p a a a 成等差数列，化简得到1212n m p m +--≠+，即可求解.【详解】（1）证明：对任意的正整数n ，点()1,n n a S +均在函数()f x x =图象上，可得11n n n n S a S S ++==-，即12n n S S +=，又因为12a =，可得112S a ==，所以数列{}n S 表示首项为2，公比为2的等比数列.（2）解：不存在.理由：由（1）得1222n nn S -=⋅=，当2n ≥时，可得111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又因为12a =，所以12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，反证法：因为12a a =，且从第二项起数列{}n a 严格单调递增，假设存在2m n p ≤<<使得,,m n p a a a 成等差数列，可得2n m p a a a =+，即11222n m p --=+，两边同除以12m -，可得1212n m p m+--=+因为12n m +-是偶数，12p m -+是奇数，所以1212n m p m +--≠+，所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列.19．烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y （单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x （单位：份）的关系如下：x13467y56.577.58y 与x 可用回归方程g ˆˆl y a x b=+（其中ˆˆ,a b 为常数）进行模拟.参考数据与公式：设lg t x =，则ty()()51iii t t y y =--∑()521ii t t =-∑6.8线性回归直线 ˆy atb =+中，()()()121ˆˆˆ,niii ni i t t y y a b y att t ==--==--∑∑.(1)填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到1元）(2)据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n 辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若3n =或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议.【正确答案】(1)表格见解析，3236（元）(2)建议购买3辆车【分析】（1）根据表格与参考公式计算数据补全空并求出回归方程、估计成本即可；（2）由频率分布直方图得出送货箱数的概率，再由离散型随机变量的分布列与期望公式得出购3辆车和购4辆车时每天的利润的分布列，比较期望大小即可.【详解】（1）由表格及公式通过计算器可计算得lg1lg3lg 4lg 6lg 7lg5040.5455t ++++==≈补全填空如下：ty()()51iii t t y y =--∑()521ii t t =-∑0.546.8 1.530.45根据题意，()()()515211.53ˆ 3.40.45iii ii t t y y at t ==--===-∑∑，所以ˆˆ 6.8 3.40.54 4.964by at =-=-⨯=所以 3.4 4.964y t =+，又lg t x =，所以 3.4lg 4.964y x =+，所以100x =时， 6.8 4.96411.764y =+=（千元），即卖出100份的成本为11764元，故利润15000117643236-=（元）.（2）根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为：箱数[)40,80[)80,120[)120,160[]160,200P18141218设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为12,Y Y 元，则1Y 的可能取值为1500,800,100，其分布列为：1Y 1500800100P581418故()151115008001001150848E Y =⨯+⨯+⨯=，2Y 的可能取值为2000,1300,600,100-，其分布列为：2Y 20001300600-100P18121418故()()()211111200013006001001037.58248E Y E Y =⨯+⨯+⨯+⨯-=<，即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车.20．已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1F 和)2,ΓF 的下顶点为A ，直线:0l x y +-=，点M 在l 上.(1)若2a =，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；(2)若直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM 中有一个内角的余弦值为35，求b ；(3)在椭圆Γ上存在一个点()[]()cos ,sin 0,2π,P a b P θθθ∈到l 的距离为d ，使126PF PF d ++=，当a 变化时，求d 的最小值.【正确答案】(1)(M(2)b =(3)83【分析】（1）由题意及条件先得出椭圆方程，由AM 的中点在x 轴上先得出M 纵坐标，再代入直线方程即可求得M ；（2）分类讨论ABM 中哪个内角余弦值为35，分别解三角形求得对应的b 值即可；（3）根据点到直线的距离公式化简得出()tan ab θϕϕ⎫+=-=⎪⎭，再根据三角函数的有界性得出()sin 1θϕ+≤，解不等式求出a 的取值范围即可求得d 的最小值.【详解】（1）由题意可得(222,Γ:1,0,42x y a c b A ==∴=+=-，AM 的中点在x 轴上，则由中点坐标公式可知：A 、M 的纵坐标之和为0，M ∴0x y +-=得.(M（2）由直线方程可知(0,B ，由直线方程可知π4MBA ∠=，故有如下两种情况：①若3cos 5BAM ∠=，则3sin 5BMA ∠=，4tan 3BAM ∠=，即24tan 3OAF ∠=，234OA OF b ∴==∴=②若3cos 5BMA ∠=，则4sin 5BMA ∠=，()π34,cos 455MBA MBA AMB ∠=∴∠+∠==cos ,tan 710BAM BAM ∠∠∴=∴=.即2tan 7,7OAF OA b ∠=∴==，综上4b =或7.（3）设()cos ,sin P a b θθ，则由题意得62d a ==-，显然椭圆在直线的左下方，则62a =-，()tan a b θϕϕ⎫+-=-=⎪⎭，()222,a b a θϕ=++=-()()22,sin 1a θϕθϕ+=-+≤，整理可得()()1350a a --≤，即1≤53a ≤，又53a c a ⎤>=∴∈⎥⎦从而58626233d a =-≥-⨯=.即d 的最小值为83.21．已知函数32()(R)f x x bx cx bc =++∈、，其导函数为()f x '，(1)若函数()f x 有三个零点123x x x 、、，且123133,9x x x x x ++==-，试比较(3)(0)f f -与3(2)f '的大小.(2)若(1)2f '=-，试判断()f x 在区间(0,2)上是否存在极值点，并说明理由.(3)在（1）的条件下，对任意的,R m n ∈，总存在[0,3]x ∈使得|()|f x mx n t ++≥成立，求实数t 的最大值.【正确答案】(1)(3)(0)3(2)f f f '-=(2)存在，理由见解析(3)2【分析】（1）根据分析得到20x =，13,x x 是方程20x bx c ++=的两根，由韦达定理得3,9b c =-=-，计算出(3)(0)3(2)f f f '-=；（2）由导函数为二次函数，开口向上，结合特殊点的函数值及零点存在性定理得到极值点情况；（3）将0,2,3x =分别代入|()|f x mx n M ++≤，得到不等式组，整理得到6|5463||6663|12M m n m n ≥-+++-++≥，求出2M ≥，进而求出t 的最大值.【详解】（1）因为1390x x =-<，故13,x x 一正一负，322()()f x x bx cx x x bx c =++=++，所以20x =，所以13,x x 是方程20x bx c ++=的两根，由韦达定理得1313,x x b x x c +=-=，因为131303,9x x x x ++==-所以3,9b c =-=-，故32()39f x x x x =--，()2369f x x x '=--，(2)9f '=-，因为(3)(0)27f f -=-，3(2)27f '=-，所以(3)(0)3(2)f f f '-=；（2）2()32f x x bx c '=++，开口向上，(1)322f b c '=++=-，(0)f c '=，(2)1242f b c c '=++=-，①当0c >时，0(1)()0f f ''⋅<，根据零点存在定理可知，存在0(0,1)x ∈使得0()0f x '=，且0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，0(,1)x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在区间(0,2)上存在极大值点，②当0c ≤时，(2)20f c '=->，(1)(2)0f f ''⋅<，根据零点存在定理可知，存在0(1,2)x ∈使得0()0f x '=，且0(1,)x x ∈时，()0f x '<，0(,2)x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在区间(0,2)上存在极小值点；（3）对任意的,R m n ∈，总存在[0,3]x ∈使得|()|f x mx n t ++≥成立，设[0,3]x ∈，|()|f x mx n ++的最大值为M ，则()()()002233f m n M f m n M f m n M⎧+⋅+≤⎪⎪+⋅+≤⎨⎪+⋅+≤⎪⎩，即||n M ≤①，|222|m n M -++≤②，|273|m n M -++≤③，由①+③2⨯得3||2|273||5463|M n m n m n ≥+-++≥-++④，由②3⨯得3|6663|M m n ≥-++⑤，④+⑤得6|5463||6663|12M m n m n ≥-+++-++≥，即2M ≥，当且仅当222222732n m n m n =⎧⎪-++=-⎨⎪-++=⎩，即92m n =⎧⎨=⎩时取等，所以t 的最大值为2.设一元三次方程()3200ax bx cx d a +++=≠的三个根为123,,x x x ，原方程可化为()()()32123b c dx x x x x x x x x a a a+++=---，整理得()()3232123121323123b c dx x x x x x x x x x x x x x x x x x a a a+++=-+++++-，比较左右两边同类项，得到一元三次的根与系数关系：123121323123,,b c dx x x x x x x x x x x x a a a++=-++==-.。

上海市嘉定区高三三模数学试题(解析版)

上海市嘉定区高三三模数学试题一、单项选择题1．两条直线1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =〞是“两直线1l ，2l 平行〞的〔〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】由11220a b a b =得12210a b a b -=；由两直线1l ，2l 平行知12210a b a b -=且12210a c a c -≠，然后由充分条件必要条件的概念判断即可.【详解】假设11220a b a b =，那么12210a b a b -=，假设12210a c a c -=那么1l ，2l 重合；假设12l l ，那么12210a b a b -=，∴11220a b a b =；故“11220a b a b =〞是“两直线1l ，2l 平行〞的必要非充分条件. 应选：B.2．设抛物线28y x =的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，假设线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3，那么弦AB 的长为〔〕 A ．等于10 B ．大于10C ．小于10D ．与l 的斜率有关【答案】A【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由中点到y 轴距离结合焦点弦长公式求解．【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，那么1212(,)22x x y y E ++，由抛物线方程可知4p =，||||||AB AF BF =+=1222p px x +++=124x x ++由线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3得，()12132x x +=，∴12||410AB x x =++=应选：A3．曲线2(sin cos )y x x =+和直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为1P ，2P ，3P ，…，那么24P P 等于〔〕A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】A【分析】化简2(sin cos )y x x =+得到1sin 2y x =+，然后令11sin 22y x =+=，解方程即可求得交点的横坐标，给k 赋值，即可得到24,P P ，然后求出结果. 【详解】由得，2(sin cos )1sin 2y x x x =+=+ 令11sin 22y x =+=，即1sin 22x =-，那么226x k ππ=-或5226x k ππ=-，k Z ∈ 即12x k ππ=-或512πx k π=-，k Z ∈，即2111,122P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4231,122P π⎛⎫⎪⎝⎭，故24P P π=应选：A.二、填空题4．集合{}1,21A m =--，{}2B m =，假设B A ⊆，那么实数m =______．【答案】1【分析】由集合中元素的互异性可得211m -≠-，由集合相等可得21m =-或221m m =-，再求解即可得解.【详解】解：由集合{}1,21A m =--，{}2B m =，又B A ⊆，那么有21121m m ⎧-=⎨-≠-⎩或221121m m m ⎧-=⎨-≠-⎩，解得m 无解或1m =，综上可得实数1m =，故答案为1.【点睛】此题考查了集合相等的充要条件及集合中元素的互异性，重点考查了元素与集合的关系及运算能力，属根底题.5．计算：131lim 32n n nn +→∞-=+_________.【答案】3【分析】113313lim lim 32213nn n n n n n +→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后可得答案. 【详解】113313lim lim 332213nn n n n n n +→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭故答案为：36．假设复数(1i)i z =+⋅〔其中i 为虚数〕，那么共轭复数z =________. 【答案】1i --【分析】由复数乘法法那么计算出z 后可得其共轭复数．【详解】由得，(1i)i 1i z =+⋅=-+，那么1i z =-- 故答案为：1i --．7．不等式22ln ln 0x x -<的解集是________.【答案】()21,e【分析】由对数运算法那么得2ln 2ln x x =，把ln x 作为一个整体解一元二次方程，再由对数函数性质得解．【详解】由22ln ln 0x x -<得，()2200ln 21,(ln )2ln 0x x x e x x >⎧⇒<<⇒∈⎨-<⎩．故答案为：()21,e8．x ，y 满足202300x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，那么2z y x =-+的最小值为________.【答案】1【分析】画出不等式组表示的可行域，然后结合图形可得答案. 【详解】不等式组表示的可行域如图：由2z y x =-+可得2y x z =-，由图可得当直线2y x z =-过点()1,1A 时纵截距最大，即z 最小，最小值为121z =-+=故答案为：19．假设两个球的外表积之比为1:4，那么这两个球的体积之比为__________．【答案】1:8【详解】试题分析：由求得外表积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8【解析】球体的外表积体积10．在ABC 中，2AB =，3AC =，且ABC 的面积为32，那么BAC ∠=__________. 【答案】6π或56π 【分析】利用三角形的面积公式求出sin A ∠即可.【详解】ABC 中，2AB =，3AC =，且ABC 的面积为32，所以13sin 22AB AC A ⋅⋅∠=，所以1323sin 22A ⨯⨯∠=，整理得：1sin 2A ∠=，因为()0,A π∈，所以6BAC π∠=或56π，故答案为：6π或56π11．6311(1)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为________.【答案】19-【分析】由二项式定理可得6(1)x -展开式的通项，令0r =和3r =带入计算，即可得到6311(1)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项. 【详解】依题意，6(1)x -展开式的通项是16()rrr T C x +=-，当0r =时，066()1r r C x C -==，当3r =时，33366()()20r r C x C x x -=-=-所以6311(1)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项是331112019x x⨯-⋅=-，故答案为：19- 12．设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，假设AOP 为等腰三角形〔O 为坐标原点〕，且Q 是AP 的中点，那么Γ的长轴长等于________.【答案】23【分析】由题意可得,22a a Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入椭圆方程求解即可. 【详解】设()00,Q x y ，由题意可得：(,0)A a -，(0,)P a 因为Q 是AP 的中点，所以PQ QA = ∴()()0000,,x y a a x y -=---，∴02a x =-，02a y = 代入椭圆方程可得：2224411a a a +=，解得3a =∴椭圆Γ的长轴长等于23故答案为：2313．有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3，从中任取3个球，那么取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是__________. 【答案】14【分析】根据9个里面任取3个是39C ，取出的3个球颜色齐全但号码不全利用反面法计算是1113336C C C -，然后根据古典概型求概率的计算公式直接可求出结果.【详解】反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是11133339614C C C P C -== 故答案为：1414．假设圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为2，P 是圆O 上任意一点，点P 满足12BP PQ =，那么AB AQ ⋅的最大值为_________. 【答案】10【分析】法一、以AB 中点C 为原点建系，求出圆O 的参数方程，从而设(2cos ,32sin )P θθ+，()00,Q x y ，根据12BP PQ =，求出Q 点坐标，从而得12cos 2AB AQ θ⋅=-即可求解；法二、由根据向量的线性运算求出32AQ AP AB =-=332OP OA AB --，从而得(332)AB AQ AB OP OA AB ⋅=⋅--2332||AB OP AB OA AB =⋅-⋅-，利用投影的定义即可求解.【详解】解：法一、如图以AB 中点C 为原点建系，那么(1,0)A -，(1,0)B ，(0,3)O ，所以圆O 方程为22(3)4x y +-=，所以设(2cos ,32sin )P θθ+，()00,Q x y因为12BP PQ =，(2cos 132sin )BP θθ=-，PQ ()002cos ,32sin x y θθ=---，所以006cos 26sin 3x y θθ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩，所以12cos 2AB AQ θ⋅=-，因为cos [1,1]θ∈-，所以AB AQ ⋅的最大值为10.法二、连接OA ，OB 过点O 作OC AB ⊥，垂足为C ，那么112AC AB ==， ∴cos OAB ∠=AC OA 12=，因为12BP PQ =，所以1233AP AQ AB =+，所以32AQ AP AB =-=332OP OA AB --，(332)AB AQ AB OP OA AB ⋅=⋅--2332||AB OP AB OA AB =⋅-⋅- 3||||cos ,AB OP AB OP =<>2322cos 22OAB +⨯⨯∠-⨯322≤⨯⨯+21322222⨯⨯⨯-⨯10=，当且仅当//OP AB 且同向时取等号，所以AB AP ⋅的最大值为10，故答案为：10.【点睛】关键点点睛：法一、建立恰当直角坐标系，求出圆O 的参数方程，从而设(2cos 32sin )P θθ，()00,Q x y ，根据12BP PQ =，求出Q 点坐标；法二、将AQ 用OP ，OA ，AB 线性表示，根据数量积的运算律求出AB AQ ⋅，再利用投影的定义即可求解.15．数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项为哪项02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推，假设该数列的前n 项和为2的整数幂，如012S =，122S =，232S =，那么称2n kS =，k ∈N ，*n N ∈中的(, )n k 为“一对佳数〞，当100n ≥时，首次出现的“一对佳数〞是________. 【答案】(441,29)【分析】由1221211111--⨯+⨯1211221n n n +-++⨯=--，且前n 组共有22n n +个数，令21002n n+≥，求得14n ≥，根据题意12n +为2的整数幂，只需将2n --消去即可，分类讨论，即可求解.【详解】由得123212121111111---⨯+⨯+⨯2111n -++⨯13721n =+++-2121n n -=⨯-122n n +=--，又由2(1)12322n n n n n ++++++==，即前n 组共有22n n+个数，令21002n n+≥，解得14n ≥〔当14n =时有105个数〕，由题意可知：12n +为2的整数幂，只需将2n --消去即可，那么①12(2)0n ++--=时，解得1n =，总共有(11)1232+⨯+=项，不满足100n ≥； ②124(2)0n +++--=时，解得5n =，总共有(15)53182+⨯+=项，不满足100n ≥；③1248(2)0n ++++--=时，解得13n =，总共有(113)134952+⨯+=项，不满足100n ≥；④124816(2)0n +++++--=时，解得29n =；总共有(129)2954402+⨯+=项，满足100n ≥，所以n 的最小值为441 所以首次出现的“一对佳数〞是(441,29). 故答案为(441,29).【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的根底上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，到达灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事〞，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.三、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，90ABC BAD=∠=︒，2AB AD AP===，1BC=.且Q为线段BP的中点〔1〕求直线CQ与PD平面所成角的大小；〔2〕求直线CQ与平面ADQ所成角的大小【答案】〔1〕6arccos3；〔2〕6arcsin3.【分析】〔1〕以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系.，用向量法求异面直线所成的角；〔2〕用直线方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值求线面角的正弦值．【详解】以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系.(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(2,1,0)C那么(1,0,1)Q ，(1,1,1)CQ =--，(0,2,2)2(0,1,1)PD =-=-，设异面直线CQ 与PD 所成的角为α，那么cos 3CQ PD CQ PDα⋅===，即异面直线CQ 与PD 所成角的大小为. 〔2〕设平面ADQ 的法向量为(,,)n u v w =，0(1,0,1)00u w n AQ n v n AD ⎧+=⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨=⋅=⎩⎩设直线CQ 与平面ADQ 所成的角为β，那么sin 3CQ n CQ nβ⋅===即直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小为arcsin．【点睛】方法点睛：此题考查空间向量法求异面直线所成的角，求二面角．求空间角的方法：〔1〕几何法〔定义法〕：根据定义作出空间的平面角〔异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角〕并证明，然后解三角形得出结论；〔2〕空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角〔相等或互补〕，直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角〔它们相等或互补〕．17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且22cos cos 2A BB --sin()sin cos()A B B AC -++35=- 〔1〕求cos A 的值；〔2〕假设a =5b =，求B 和c . 【答案】〔1〕35；〔2〕4B π=，1c =.【分析】〔1〕根据题设条件和三角恒等变换的公式，求得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，即可求解.〔2〕由3cos 5A =-，得到4sin 5A =，利用弦定理求得sin B =，得到4B π=，进而求得sin C 的值，进而求得c 的值.【详解】〔1〕因为22coscos 2A BB --sin()sin cos()A B B AC -++35=-，所以[1cos()]cos A B B +-3sin()sin cos()5A B B A C --++=-，即cos cos()cos B A B B +-sin()sin cos()A B B B π--+-35=-，即3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=- 即3cos()cos 5A B B A -+==-.〔2〕因为3cos 5A =-，因为(0,)A π∈，所以4sin 5A ==，由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ==，所以sin sin b A B a == 因为A 为钝角，所以B 为锐角，故4B π=，所以sin sin 4C A π⎛⎫=+=⎪⎝⎭cos )A A += 所以sin 1sin b Cc B==. 18．数学建模小组检测到相距3米的A ，B 两光源的强度分别为a ，b ，异于A ，B 的线段AB 上任意一点C 处的光强度y 等于两光源到该处的强度之和，设AC x =米. 〔1〕假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数(0)k k >，测得数据：当1x =时，334y k =；当2x =时，3y k =，求A ，B 两处的光强度，并写出函数()y f x =的解析式；〔2〕假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数(0)k k >，测得数据：当1x =时，52y k =；当2x =时，2y k =，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度.【答案】〔1〕8,1，228(3)k k y x x =+-，(0,3)x ∈；〔2〕当(6AC =-时的C处，光强度最弱为(33k+. 【分析】〔1〕根据写出表达式，代入条件求得,a b 即可得；〔2〕同样代入条件求出,a b 得新表达式，然后由根本不等式求得最小值．【详解】〔1〕由，得22(3)ak bky x x =+- 所以3344834b a a a b ⎧+=⎪⎪⇒=⎨⎪+=⎪⎩，1b =，故228(3)k k y x x =+-，(0,3)x ∈. 〔2〕由，得3ak bk y x x =+-，所以522222b a a a b ⎧+=⎪⎪⇒=⎨⎪+=⎪⎩，1b = 故23k ky x x=+-，(0,3)x ∈. 因为21(3)33k y x x x x ⎛⎫=++- ⎪-⎝⎭33233k x x x x -⎛⎫=++⋅≥ ⎪-⎝⎭(33k+，当且仅当3263x xx x x-=⋅⇒=--所以当(6AC cm =-时的C处，光强度最弱为(33k+．【点睛】思路点睛：此题考查函数的应用，函数表达式，只要根据数据求得参数值即可得函数解析式．此题最值问题是利用函数解析式的形式采取利用根本不等式的方法求最小值．19．在直角坐标系xOy 中，直线2y x =是双曲线2222:1x yC a b-=的一条渐近线，点(1,0)A 在双曲线C 上，设(,)(0)M m n n ≠为双曲线上的动点，直线AM 与y 轴相交于点P ，点M 关于y 轴的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q . 〔1〕求双曲线C 的方程；〔2〕在x 轴上是否存在一点T ？使得||||TP TQ PQ +=，假设存在，求T 点的坐标；假设不存在，说明理由；〔3〕求M 点的坐标，使得MPQ 的面积最小.【答案】〔1〕2214y x -=；〔2〕存在，0()2,T ±；〔3〕或2)-或(或(2)-.【分析】〔1〕由渐近线方程得2ba=，再由顶点坐标可得,a b ，得双曲线方程；〔2〕假设()0,0T x ，由直线,AM AN 方程和是,P Q 坐标，由向量的数量积运算可得0TP TQ ⋅=，用坐标表示这个结论可得0x 与,m n 关系，再由点M 在双曲线可得结论；〔3〕直接计算MPQ 的面积，用根本不等式可得最小值，从而得点坐标．【详解】〔1〕由得21ba a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以1a =，2b =，所以双曲线方程为2214y x -=〔2〕设()0,0T x ，因为:(1)1n AM y x m =--，令0x =得0,1n P m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，:(1)1n AN y x m =---，令0x =得0,1n Q m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭因为||||||TP TQ PQ TP TQ +==-，平方可得0TP TQ ⋅=，所以222020111n n n x x m m m -⋅=⇒=+--，因为2214n m -=，所以2241n m =-，故02x =±，存在0()2,T ±；〔3〕因为1||211MPQn n Sm m m =⋅+=+-22212||211mn m nm m m ⋅=-- 22244||m n m n n ===214444||n n n n⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+≥，当且仅当2n 时，取得最小值，此时M的坐标是或2)-或(或(2)-.【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线有方程，双曲线中存在性问题，三角形面积的最值问题，解题方法是解析几何的根本方程，设出点的坐标，写出直线方程，求出交点坐标，由交点坐标表示数量积或三角形面积，然后根据定值或最值求解． 20．对于数列{}n a ，假设存在常数0M >对任意*n N ∈恒有1121n n n n a a a a a a M +--+-++-≤，那么称{}n a 是“γ-数列〞.〔1〕首项为1a ，公差为d 的等差数列是否是“γ-数列〞？并说明理由；〔2〕首项为1a ，公比为q 的等比数列是否是“γ-数列〞？并说明理由；〔3〕假设数列{}n a 是γ-数列，证明：{}2n a 也是“γ-数列〞，设12nn a a a A n+++=，判断数列{}n A 是否是“γ-数列〞？并说明理由.【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕答案见解析；〔3〕答案见解析.【分析】(1)由等差数列的性质得1=n n a a d +-，代入不等式得||n d M ≤，对d 的值分类讨论即可.(2)由等比数列的性质得111|||||1||n n n a a a q q -+-=⋅-⋅∣，对q 的值分类讨论即可.(3)由题意得11n a M a +≤+，有112()n n a a M a ++≤+(01q <≤), 推出222222112112()n n n n a a a a a a M a +--+-++-≤+即可;进而得到11213211nnn n n n AA a a a a a a a M ++=-≤+-+-++-≤∑，即证.【详解】〔1〕因为{}n a 是等差数列，所以11n n n n a a a a d +--=-==，设1121n n n n a a a a a a M +--+-++-≤，即||n d M ≤对一切*n N ∈恒成立，那么0d =，所以0d =时，等差数列是“γ-数列〞；当0d ≠时，等差数列不是“γ-数列〞.〔2〕由11n n a a q -=，那么111|||||1||n n n a a a q q -+-=⋅-⋅∣，①当1q =时，11210n n n n a a a a a a +--+-++-=，必定存在正数M 符合愿意，所以是“γ-数列〞； ②当1q =-时，1121n n n n a a a a a a +--+-++-12n a =，n →∞，12n a →∞，所以不是“γ-数列〞；③当1q >或1q <-时，n →∞，1n q-→∞，1121n n n n a a a a a a +--+-++-→∞，所以不是“γ-数列〞；④当10q -<<或01q <<时，1121n n n n a a a a a a +--+-++-()1|1|||na q q q =-+⋅+111|1||1|1||1||n q a q a q q q ⎛⎫-- ⎪=-< ⎪--⎝⎭，必定存在不小于1|1|1|a q q --∣的常数M 符合题意，所以是“γ-数列〞.综上，当10q -<<或01q <≤时，是“γ-数列〞；当1q >或1q <-时，不是“γ-数列〞. 〔3〕因为{}n a 是γ-数列，所以111211n n n n n a a a a a a a M a ++-≤-+-++-≤+当01q <≤时，112()n n a a M a ++≤+又22111112()n n n n n n n n a a a a a a M a a a ++++-≤⎡+⎤-≤+-⎣⎦ 可得222222112112()n n n n a a a a a a M a +--+-++-≤+所以{}2n a 是γ-数列.因为12nn a a a A n+++=所以1122311(2)(1)n n n n A A a a a a n a a n n ++-≤-+-++-+所以11213211nnn n n n AA a a a a a a a M ++=-≤+-+-++-≤∑所以{}n A 是γ-数列.【点睛】(1)在解决数列新定义的问题时应充分理解数列的概念，善于观察分析数列新定义的结构特征，灵活运用它的性质，善于把陌生的知识点转化为熟悉的知识点，到达解题的目的.(2)在解决等差数列运算问题的思想方法主要有方程思想、整体思想和利用性质，可以化繁为简，优化解题过程.(3)熟练应用等比数列的根本性质的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.。