导数在实际生活中的应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
所以当������ = 2500时, ������ ������ 取极大值也是最大值,
此时,产品单价为 ������ 2500 = 100 − 0.01 × 2500 = 75
总结回顾
导数在实际生活中有广泛的应用。最常见的是求一些最值 问题(用料最少,利润最大等到)
求A变量怎 么样的时候 B变量最少 或最多,所 谓建立数学 模型,就是 建立两个变 量之间的函 数关系
������ ������ ∙ ������ ������ ′ =
������������������ ′ =
特别的一个常数乘以一个函数的导数,就等于这个常数乘以这个函数的导数
������ ∙ ������ ������ ′ =
1 4
������
4
′
=
两个函数商的导数,等于分子的导数乘以分母,减去分子乘以分母的导数的差,再除以分母的平方
������0
曲线������ = ������(������)在������ = ������0处切线方程
������ − ������ ������������ = ������′(������������)(������ − ������������)
14个求导公式
������′ = ������3 ′ =
������底 = 2������������2 ������侧 = 2������������ℎ
������ = ������底ℎ = ������������2ℎ = 2������
ℎ
ℎ
=
2 ������2
������侧
=
4������ ������
������
������ ������
=
2������������2
例三:在经济学中,生产 ������单位产品的成本称为成本函数,记为������(������),出售x单位产品 的收益称为收益函数,记为������(������) , R ������ − ������(������)称为利润函数,记为P(������) (1)如果 ������ ������ = 10−6������3 − 0.003������2 + 5������ + 1000,那么生产多少单位产品时,边际成本 ������′(������)最低 (2)如果������ ������ = 50������ + 10000, 产品单价������ ������ = 100 − 0.01������,那么怎样定价可以使利润 最大?
������ ������ = ������ ∗ ������ ������ = ������(100 − 0.01������)
P ������ = ������ 100 − 0.01������ − 50������ + 10000 = −0.01������2 + 50������ − 10000
回带
若函数������ = ������(������)可由 ������ = ������(������), ������ = ������������ + ������
复合而成,则 ���������′���=���������′��� ∗ ���������′���,
即
���������′���=���������′��� ∗ ������
导数与函数的单调性
函数������(������)在区间(������, ������)上可导,若在区间内总有
������′ ������ > 0
函数������(������)在区间(������, ������)上单调递增
������′ ������ ≥ 0
������′ ������ < 0
=
2
当0 < ������ < 1时, ������′ ������ < 0, 当������ > 1时, ������′ ������ > 0
因此,当������ = 1, ℎ = 2时, ������ ������ 取极小值,也是最小值 ������ 1 = 6������
答:当罐子底面半径为1,高为2时,所需材料最少,为6������
������ ������
′
=
������ ������
tan ������
′
=
( sin
cos
������ )′=(sin
������
������)′cos ������ − sin cos2 ������
������(cos
������)′
=cos2co������s+2s���i���n2
������
则铁皮箱的高ℎ = 60−������
2
转化为求函
铁皮箱体积������ ������ = ������2ℎ = 30������2 − 1 ������3
数最值问题
2
由������′ ������ = 60������ − 3 ������2 = 0 得 ������ = 40 (������ = 0 舍去)
导数的综合复习
导数的概念
导数
导数的运算
导数的应用
概念 几何意义
切线斜率
14个导数公式 和差积商的求导法则 复合函数求导法则
单调性 极值 最值
导数的几何意义
切线斜率������ = ������′(������0) ������ = ������(������)
(������0, ������(������0)
建立数学模型
分析问题,解决问题
利用导数求最值
解(1)������′ ������ = 3 × 10−6������2 − 0.006������ + 5, 记 ������ ������ = ������′ ������ 由 ������′ ������ = 6 × 10−6������ − 0.006=0 解得 ������ = 1000 当0 < ������ < 1000时, ������′ ������ < 0 , 当������ > 1000时, ������′ ������ > 0 , 所以当������ = 1000时, ������ ������ 取极小值,也是最小值
函数������(������)在区间(������, ������)上单调递减
������′ ������ ≥ 0
������′ ������ = 0
函数������(������)在区间(������, ������)上为常函数
导数与极值
������(������1), ������(������3) 叫极大值
������2 ′ =
������������ ′ = ������������������−1
log������
������
′
=
������ ������
������������������
������
������
=
������ ������ ������������ ������
(ln ������)′
2
当0 < ������ < 40, ������′ ������ > 0 当40 < ������ < 60, ������′ ������ < 0
0
40
������′ ������ 图像
所以当������ = 40时,������(������)取极大值,也是最大值
������ 40 = 30 × 402 − 1 × 403 = 16000 (������������3)
+
4������ ������
2������������
解:设圆柱罐子底面半径为R, 高为 h,则 ������ ������ = 2������������2 + 2������������ℎ
又������ = ������������2ℎ = 2������, 则ℎ = ���2���2, 所以有
=
������ ������
(sin ������)′ =
Байду номын сангаас
cos ������ ′ =
和差积商求导法则
两个函数和的导数,等于两个函数的导数的和
������ ������ + ������ ������ ′ =
������2 + ln ������ ′ =
两个函数积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数
2
答:当箱底边长为40 cm 时,容积最大,为16000 (������������3)
例2:我要做一个容积为 2������ 圆柱形铁皮易拉罐饮料罐子,我比较抠,想尽可能的少用铁皮, 请同学们帮我想想,我应该把这个罐子的底面半径和高做成多大,才能让我最省材料?
用料最省是什么意思? 圆柱的表面积怎么算?
=
1 cos2
������
复合函数求导法则
������ = 3������ + 5 3
������ = ������3 , ������ = 3������ + 5
分解
求导
���������′���
���������′��� ���������′���
求积
= ������3 ′ 3������ + 5 ′ = 3������2 × 3 = 9������2 = 9 3������ + 5 2
������′(������)的最小值
������′ ������ = 3 × 10−6������2 − 0.006������ + 5
求出������′(������)的导数
������′′ ������ = 6 × 10−6������ − 0.006 = 0
P ������ = R ������ − ������(������)
������ ������
=
2������������2
+
2������������
∙
2 ������2
=
2������������2
+
4������ ������
(R > 0)
由������′ ������
=
4������������
−
4������ ������2
=
0,
解得
������
=
1, ℎ
例1:一个边长为60(cm)的铁皮,在四角挖去同样大小的正方形后, 将其沿着图中曲线折起,做成一个无盖的铁皮箱子。试问,当这个铁皮箱 子的边长为多少的时候,我们所做的铁皮箱容积最大?最大的容积为多少?
������
60
������ = ������底ℎ
������
解:设铁皮箱底面边长为������ ������������ , (0 < ������ < 60)
极大值点
������2
������4
������1
������3
极小值点
������(������2), ������(������4) 叫极小值
最值
求函数������ ������ 在区间[������, ������]上最值的方法 1、求函数������ ������ 在区间(������, ������)上的极值 2、用区间端点处的函数值������ ������ , ������ ������ 与求得的 极值比较,最大的为最大值,最小的为最小值
������������ + ������ ′ =
1
′
=
������
������������ ′ = ������������ ������������ ������ ������������ ′ = ������������
������ > 0, ������ ≠ 1
������′ = ������ ′ =
最值的几种特殊情况
没有极值
只有一个极大 值没有极小值
只有一个极大 值没有极小值
导数在实际生活中的应用
最值问题,在实际生活中是一种普遍存在的数学问题。 比如做个什么东西,怎么设计用料最省,生产个什么产 品,怎么样让利润最大等等。我们学习了导数,特别是 学习了利用导数求最值以后,应该就多了一种方法去解 决这些实际生活中的最值问题
(2)由������ ������ = 100 − 0.01������得收益函数 ������ ������ = ������(100 − 0.01������) 则利润函数 ������ ������ = ������ ������ − ������ ������ = ������ 100 − 0.01������ − (50������ + 10000) = −0.01������2 + 50������ − 10000 由������′ ������ = −0.02������ + 50 得 ������ = 2500 当0 < ������ < 2500时, ������′ ������ > 0 , 当������ > 2500时, ������′ ������ < 0
此时,产品单价为 ������ 2500 = 100 − 0.01 × 2500 = 75
总结回顾
导数在实际生活中有广泛的应用。最常见的是求一些最值 问题(用料最少,利润最大等到)
求A变量怎 么样的时候 B变量最少 或最多,所 谓建立数学 模型,就是 建立两个变 量之间的函 数关系
������ ������ ∙ ������ ������ ′ =
������������������ ′ =
特别的一个常数乘以一个函数的导数,就等于这个常数乘以这个函数的导数
������ ∙ ������ ������ ′ =
1 4
������
4
′
=
两个函数商的导数,等于分子的导数乘以分母,减去分子乘以分母的导数的差,再除以分母的平方
������0
曲线������ = ������(������)在������ = ������0处切线方程
������ − ������ ������������ = ������′(������������)(������ − ������������)
14个求导公式
������′ = ������3 ′ =
������底 = 2������������2 ������侧 = 2������������ℎ
������ = ������底ℎ = ������������2ℎ = 2������
ℎ
ℎ
=
2 ������2
������侧
=
4������ ������
������
������ ������
=
2������������2
例三:在经济学中,生产 ������单位产品的成本称为成本函数,记为������(������),出售x单位产品 的收益称为收益函数,记为������(������) , R ������ − ������(������)称为利润函数,记为P(������) (1)如果 ������ ������ = 10−6������3 − 0.003������2 + 5������ + 1000,那么生产多少单位产品时,边际成本 ������′(������)最低 (2)如果������ ������ = 50������ + 10000, 产品单价������ ������ = 100 − 0.01������,那么怎样定价可以使利润 最大?
������ ������ = ������ ∗ ������ ������ = ������(100 − 0.01������)
P ������ = ������ 100 − 0.01������ − 50������ + 10000 = −0.01������2 + 50������ − 10000
回带
若函数������ = ������(������)可由 ������ = ������(������), ������ = ������������ + ������
复合而成,则 ���������′���=���������′��� ∗ ���������′���,
即
���������′���=���������′��� ∗ ������
导数与函数的单调性
函数������(������)在区间(������, ������)上可导,若在区间内总有
������′ ������ > 0
函数������(������)在区间(������, ������)上单调递增
������′ ������ ≥ 0
������′ ������ < 0
=
2
当0 < ������ < 1时, ������′ ������ < 0, 当������ > 1时, ������′ ������ > 0
因此,当������ = 1, ℎ = 2时, ������ ������ 取极小值,也是最小值 ������ 1 = 6������
答:当罐子底面半径为1,高为2时,所需材料最少,为6������
������ ������
′
=
������ ������
tan ������
′
=
( sin
cos
������ )′=(sin
������
������)′cos ������ − sin cos2 ������
������(cos
������)′
=cos2co������s+2s���i���n2
������
则铁皮箱的高ℎ = 60−������
2
转化为求函
铁皮箱体积������ ������ = ������2ℎ = 30������2 − 1 ������3
数最值问题
2
由������′ ������ = 60������ − 3 ������2 = 0 得 ������ = 40 (������ = 0 舍去)
导数的综合复习
导数的概念
导数
导数的运算
导数的应用
概念 几何意义
切线斜率
14个导数公式 和差积商的求导法则 复合函数求导法则
单调性 极值 最值
导数的几何意义
切线斜率������ = ������′(������0) ������ = ������(������)
(������0, ������(������0)
建立数学模型
分析问题,解决问题
利用导数求最值
解(1)������′ ������ = 3 × 10−6������2 − 0.006������ + 5, 记 ������ ������ = ������′ ������ 由 ������′ ������ = 6 × 10−6������ − 0.006=0 解得 ������ = 1000 当0 < ������ < 1000时, ������′ ������ < 0 , 当������ > 1000时, ������′ ������ > 0 , 所以当������ = 1000时, ������ ������ 取极小值,也是最小值
函数������(������)在区间(������, ������)上单调递减
������′ ������ ≥ 0
������′ ������ = 0
函数������(������)在区间(������, ������)上为常函数
导数与极值
������(������1), ������(������3) 叫极大值
������2 ′ =
������������ ′ = ������������������−1
log������
������
′
=
������ ������
������������������
������
������
=
������ ������ ������������ ������
(ln ������)′
2
当0 < ������ < 40, ������′ ������ > 0 当40 < ������ < 60, ������′ ������ < 0
0
40
������′ ������ 图像
所以当������ = 40时,������(������)取极大值,也是最大值
������ 40 = 30 × 402 − 1 × 403 = 16000 (������������3)
+
4������ ������
2������������
解:设圆柱罐子底面半径为R, 高为 h,则 ������ ������ = 2������������2 + 2������������ℎ
又������ = ������������2ℎ = 2������, 则ℎ = ���2���2, 所以有
=
������ ������
(sin ������)′ =
Байду номын сангаас
cos ������ ′ =
和差积商求导法则
两个函数和的导数,等于两个函数的导数的和
������ ������ + ������ ������ ′ =
������2 + ln ������ ′ =
两个函数积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数
2
答:当箱底边长为40 cm 时,容积最大,为16000 (������������3)
例2:我要做一个容积为 2������ 圆柱形铁皮易拉罐饮料罐子,我比较抠,想尽可能的少用铁皮, 请同学们帮我想想,我应该把这个罐子的底面半径和高做成多大,才能让我最省材料?
用料最省是什么意思? 圆柱的表面积怎么算?
=
1 cos2
������
复合函数求导法则
������ = 3������ + 5 3
������ = ������3 , ������ = 3������ + 5
分解
求导
���������′���
���������′��� ���������′���
求积
= ������3 ′ 3������ + 5 ′ = 3������2 × 3 = 9������2 = 9 3������ + 5 2
������′(������)的最小值
������′ ������ = 3 × 10−6������2 − 0.006������ + 5
求出������′(������)的导数
������′′ ������ = 6 × 10−6������ − 0.006 = 0
P ������ = R ������ − ������(������)
������ ������
=
2������������2
+
2������������
∙
2 ������2
=
2������������2
+
4������ ������
(R > 0)
由������′ ������
=
4������������
−
4������ ������2
=
0,
解得
������
=
1, ℎ
例1:一个边长为60(cm)的铁皮,在四角挖去同样大小的正方形后, 将其沿着图中曲线折起,做成一个无盖的铁皮箱子。试问,当这个铁皮箱 子的边长为多少的时候,我们所做的铁皮箱容积最大?最大的容积为多少?
������
60
������ = ������底ℎ
������
解:设铁皮箱底面边长为������ ������������ , (0 < ������ < 60)
极大值点
������2
������4
������1
������3
极小值点
������(������2), ������(������4) 叫极小值
最值
求函数������ ������ 在区间[������, ������]上最值的方法 1、求函数������ ������ 在区间(������, ������)上的极值 2、用区间端点处的函数值������ ������ , ������ ������ 与求得的 极值比较,最大的为最大值,最小的为最小值
������������ + ������ ′ =
1
′
=
������
������������ ′ = ������������ ������������ ������ ������������ ′ = ������������
������ > 0, ������ ≠ 1
������′ = ������ ′ =
最值的几种特殊情况
没有极值
只有一个极大 值没有极小值
只有一个极大 值没有极小值
导数在实际生活中的应用
最值问题,在实际生活中是一种普遍存在的数学问题。 比如做个什么东西,怎么设计用料最省,生产个什么产 品,怎么样让利润最大等等。我们学习了导数,特别是 学习了利用导数求最值以后,应该就多了一种方法去解 决这些实际生活中的最值问题
(2)由������ ������ = 100 − 0.01������得收益函数 ������ ������ = ������(100 − 0.01������) 则利润函数 ������ ������ = ������ ������ − ������ ������ = ������ 100 − 0.01������ − (50������ + 10000) = −0.01������2 + 50������ − 10000 由������′ ������ = −0.02������ + 50 得 ������ = 2500 当0 < ������ < 2500时, ������′ ������ > 0 , 当������ > 2500时, ������′ ������ < 0