【全程复习方略】第四章 4.3.2 空间两点间的距离公式课时提升卷(含解析)新人教A版必修2

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课时作业3：4.3.2 空间两点间的距离公式

4．3.2 空间两点间的距离公式1在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和点B(2，－1，6)之间的距离是()A.2√43B.2√21C.9D.√862点A(2，－3，5)关于xOy平面的对称点为A'，则|AA'|等于()A.4B.6C.10D.√383点A在z轴上，它到点(3，2，1)的距离是√13，则点A的坐标是()A.(0，0，－1)B.(0，1，1)C.(0，0，1)D.(0，0，13)4如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A'B'C'D'，则A'C的中点E与AB的中点F间的距离为()A.√2aB.√2a2C.aD.1a25已知点P在x轴上，且它到点P1(0，√2，3)的距离是到点P2(0，1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是.6点A(1－t，1－t，t)和点B(2，t，t)间的距离的最小值为.7已知点A(2，5，－6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7.8如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，且E 是棱DD 1的中点，求BE ，A 1E 的长.参考答案1.解析:由空间两点间的距离公式，可得|AB|=√(－3－2)2+(4+1)2+(0－6)2=√86. 答案:D2.答案:C3.解析:设点A (0，0，c )，则√32+22+(1－c )2=√13，解得c=1.所以点A 的坐标为(0，0，1).答案:C4.解析:由题意知，F (a ，a 2，0)，E (a 2，a 2，a 2)，所以|EF|=√(a 2)2+(a 2)2=√22a.故选B. 答案:B5.解析:∵点P 在x 轴上，设P (x ，0，0)，则|PP 1|=√x 2+(√2)2+32=√x 2+11， |PP 2|=√x 2+(－1)2+12=√x 2+2.∵|PP 1|=2|PP 2|，∴√x 2+11=2√x 2+2，解得x=±1.故点P 的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0).答案:(1，0，0)或(－1，0，0)6.解析:|AB|2=(1－t －2)2+(1－t －t )2+(t －t )2=5t 2－2t+2=5(t －15)2+95.则当t=15时，|AB |min 2=95，即|AB|min =3√55.答案:3√557.解:因为点B 在y 轴上，可设为B (0，y ，0)，由空间两点间的距离公式可知7=√22+(5－y )2+(－6)2，解得y=2或y=8.所以点B 的坐标为(0，2，0)或(0，8，0).8.解:以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.依题意，可得B (1，0，0)，E (0，1，12)，A 1(0，0，1)，所以|BE|=√(1－0)2+(0－1)2+(0－12)2=32，|A 1E|=√(0－0)2+(0－1)2+(1－12)2=√52. 故BE 的长为32，A 1E 的长为√52.。

人教A版数学必修二第四章第八课时同步练习4.3.2空间两点间的距离公式

§4.3.2空间两点间的距离公式一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分）1. 点(3,4,5)P 在yoz 平面上的投影点1P 的坐标是（）A ．(0，4，5)B ．(３，0，5)C ．(3，4，0)D ．(3，0，0)2．已知点(1,2,11),(4,2,3),(6,1,4)A B C --，则ABC △ 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形3．已知(4,3,1)M -，记M 到x 轴的距离为a ，M 到y 轴的距离为b ，M 到z 轴的距离为c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c b a >>4. 在平面直角坐标系中，已知两点(4,2),(1,3)M N -，沿x 轴把直角坐标平面折成直二面角后，,M N 两点间的距离为（）A ．23B ．20C ．12D ．225. 在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z 满足方程222(2)(1)(3)1x y z -+++-=，则点P 的轨迹是（）A ．球面B ．球C ．圆D ．圆面二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）6. 在空间直角坐标系中，y a =表示___________.7. 空间直角坐标系中，x 轴上到点(4,1,2)P 的距离为的点有_________个.8. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，1A C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为_______.9. 已知平行四边形ABCD 的两个顶点的坐标分别为(2,3,5)A --和(1,3,2)B -，对角线的交点是(4,1,7)E -，则,C D 的坐标分别为 .10. 已知球面222(1)(2)(3)9x y z -+++-=，点(3,2,5)A -，则球面上的点与点A 距离的最大值与最小值分别是 .三、解答题（本题共4小题，共50分）11．(12分)在xoy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ，使M 到点(6,5,1)N 的距离最小12.（12分）已知点(1,1,0)A ，对于Oz 轴正半轴上任意一点P ，在Oy 轴上是否存在一点B ，使得PA AB ⊥恒成立？若存在，求出B 点的坐标；若不存在，请说明理由.13.（12分）已知三点(1,1,2),(1,2,1),(,0,3)A B C a --，这三点能共线吗？若能共线，求出a 的值；若不能共线，说明理由.14.（14分）在坐标平面yOz 内，求与三个已知点A （3，1，2），B （4，﹣2，﹣2），C （0，5，1）等距离的点D 的坐标参考答案及解析一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分）1.A 解析：yoz平面上点的坐标特征是(0,,)b c．2.B 解析：根据两点间距离公式得AB AC BC则有222AC BC AB+=．3.C解析：M到x轴的距离a M到y轴的距离b M到z轴的距离5c=，所以c b a>>．4.D 解析：翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系，M，N两点的坐标分别为(4,2,0)M，(1,0,3)N，利用空间直角坐标系中两点间距离公式得，M，N5.A 解析：动点P所以点P的轨迹是球面．二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）6.垂直于y轴的平面解析：在空间直角坐标系中，y a=表示垂直于y轴的平面．7.2 解析：设满足条件的点为(,0,0)x，代入两点间距离公式：解得9x=或1x=-，所以满足条件的点为(9,0,0)或(1,0,0)-．8.解析：点E的坐标为,,222a a a⎛⎫⎪⎝⎭，点F的坐标为(,,0)2aa，所以EF==.9.(6,1,19)与(9,5,12)-解析：点E分别是点A与点C、点B与点D的中点，所以,C D 的坐标分别为(6,1,19)与(9,5,12)-．10. 9与3 解析：球心为(1,2,3)-，半径为3，所以点A到球心的距离为6，所以球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是9与3．三、解答题（本题共4小题，共50分）11．解：因为点M在xOy平面内的直线1x y+=上，故可设点M为(,1,0)x x-+，所以MN1x=时MN取得最小值，此时点M坐标为(1,0,0).12．解：若PA AB ⊥恒成立，则AB ⊥平面POA ，所以AB OA ⊥.设(0,,0)B x ，则有,OA OB x AB =由222OB OA AB =+，得2221(1)x x =++-，解得2x =.所以存在点B ，当点B 为(0,2,0)时，PA AB ⊥恒成立.13.解：根据空间直角坐标系中两点间距离公式得，AB ，AC ，BC 因为BC AB >，所以若,,A B C 三点共线，则BC AC AB =+或AC BC AB =+，若BC AC AB =+，整理得2518190a a ++=，此方程无解；若AC BC AB =+，整理得2518190a a ++=，此方程也无解. 所以,,A B C 三点不能共线.14.解：设yOz 平面内一点D （0，y ，z ）与A ，B ，C 三点距离相等，则有222912AD y z =+-+-（）（），2221622BD y z =++++（）（）， 22251CD y z =-+-（）（）. 由|AD |=|BD |及|AD |=|CD |，得222222229(1)(2)16(2)(2),9(1)(2)(5)(1),y z y z y z y z ⎧+-+-=++++⎪⎨+-+-=-+-⎪⎩ 化简可得3450,460,y z y z ++=⎧⎨--=⎩解得1,2.y z =⎧⎨=-⎩∴ 点D （0，1，﹣2）为yOz 平面内到A ，B ，C 三点等距离的点。

课时提升作业(三十) 4.3.2 空间两点间的距离公式附答案

课时提升作业(三十)空间两点间的距离公式一、选择题1.点P到原点的距离为( )A. B. 1 C. D.【解析】选B.|OP|==1.【补偿训练】1.已知A(1,2,3),B(3,3,m),C(0,-1,0),D(2,-1,-1),则( ) A.|AB|>|CD| B.|AB|<|CD|C.|AB|≤|CD|D.|AB|≥|CD|【解析】选D. |AB|==,|CD|==,又(m-3)2≥0,所以|AB|≥|CD|.2.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是( )A. B. C. D.【解析】选A.设该定点的坐标为(x,y,z),则有x2+y2=1,z2+y2=1,x2+z2=1,三式相加得2(x2+y2+z2)=3.所以该点到原点的距离为=.故选A.【延伸探究】本题若改为“一定点到三个坐标轴的距离都是a,且该点到原点的距离是,则a的值为( )A. B. C.1 D.【解析】选C.设该定点的坐标为(x,y,z),则有x2+y2=a2,z2+y2=a2,x2+z2=a2,三式相加得2(x2+y2+z2)=3a2.由于该点到原点的距离为,解得a=1.2.(2015·鄂州高一检测)点A在z轴上,它到点(3,2,1)的距离是,则点A的坐标是( )A.(0,0,-1)B.(0,1,1)C.(0,0,1)D.(0,0,13)【解析】选C.设A(0,0,c),则=,解得c=1.所以点A的坐标为(0,0,1).【补偿训练】已知A(2,5,-6),点P在y轴上,|PA|=7,则点P的坐标是( ) A.(0,8,0) B.(0,2,0)C.(0,8,0)或(0,2,0)D.(0,-8,0)【解析】选C.点P在y轴上,可设为(0,y,0),因为|PA|=7,A(2,5,-6),所以=7,解得y=2或8.3.点B是过点A(1,2,3)作坐标平面yOz垂线的垂足,则|OB|等于( )A. B. C. 2 D.【解析】选B.由于点B是过点A(1,2,3)作坐标平面yOz垂线的垂足,可得点B 的坐标是(0,2,3),故|OB|==.【补偿训练】设点M是点N(2,-3,5)关于坐标平面xOy的对称点,则线段MN的长度等于( ).A.8B.9C.D.10【解析】选D.点N关于坐标平面xOy的对称点M的坐标是(2,-3,-5),故|MN|=10.二、填空题4.(2015·温州高一检测)在△ABC中,已知A(-1,2,3),B(2,-2,3),C,则AB边上的中线CD的长是.【解析】由题可知AB的中点D的坐标是D,由距离公式可得|CD|==.答案:【补偿训练】已知三角形的三个顶点A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2).则过A点的中线长为;过B点的中线长为.【解析】由题意,BC的中点D(4,1,-2),AC的中点E,所以|AD|==2,==.答案:25.(2015·嘉兴高一检测)在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且点M到点A与到点B的距离相等,则M的坐标是. 【解析】设点M的坐标为(0,y,0),则=,解得y=-1,所以点M的坐标为(0,-1,0). 答案:(0,-1,0).【延伸探究】本题中若将“点M在y轴上”改为“点M在z轴上”,其他条件不变,又如何求解?【解析】设点M的坐标为(0,0,z),则=,解得z=-3,所以点M的坐标为(0,0,-3).答案:(0,0,-3).三、解答题6.(10分)(2015·东营高一检测)已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),试判断△ABC的形状.【解题指南】利用空间两点间的距离公式求出三角形边长,利用三边的关系来判断其形状.【解析】由题意得:|AB|==,|BC|==,|AC|==.因为|BC|2+|AC|2=|AB|2,所以△ABC为直角三角形.【补偿训练】长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,D1D=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出点D,N,M的坐标.(2)求线段MD,MN的长度.【解题指南】(1)D是原点,先写出A,B,B1,C1的坐标,再由中点坐标公式得M,N的坐标.(2)代入空间中两点间距离公式即可.【解析】(1)因为D是原点,则D(0,0,0).由AB=BC=2,D1D=3,得A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3).因为N是AB的中点,所以N(2,1,0).同理可得M(1,2,3).(2)由两点间距离公式得:|MD|==,|MN|==.一、选择题1.(2015·合肥高一检测)已知三点A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),则( )A.三点构成等腰三角形B.三点构成直角三角形C.三点构成等腰直角三角形D.三点构不成三角形【解析】选D.因为|AB|=,|AC|=2,|BC|=,而|AB|+|BC|=|AC|,所以三点A,B,C共线,构不成三角形.2.在xOy平面内的直线x+y=1上的点M,当点M到点N(6,5,1)的距离最小时,M的坐标为( )A.(1,0,0)B.(0,1,0)C.(0,0,1)D.(1,1,0)【解题指南】设出M(x,1-x,0),利用空间两点间的距离公式转化为二次函数求最值问题求解.【解析】选A.由已知,可设M(x,1-x,0),则|MN|==.所以当x=1时,距离最小,此时M(1,0,0).【补偿训练】已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为( )A.19B.-C.D.【解析】选C.|AB|==,当x=时|AB|取得最小值.二、填空题3.(2015·沈阳高一检测)已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则|AB|的最小值为.【解析】由两点间的距离公式可得|AB|==≥.答案:4.(2015·苏州高一检测)已知x,y,z满足方程C:(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2,则x2+y2+z2的最小值是.【解题指南】利用x2+y2+z2的几何意义求解,即将x2+y2+z2可看成球面上的点到原点距离的平方.【解析】x2+y2+z2可看成球面上的点到原点距离的平方,其最小值为(-)2=(4)2=32.答案:32【补偿训练】已知球面(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=9与点A(-3,2,5),则球面上的点与点A的距离的最大值和最小值各是.【解析】由题意知球心B的坐标是(1,-2,3),球的半径是3,又|BA|==6,所以所求最大值为9,最小值为3.答案:9,3三、解答题5.(10分)(2015·抚顺高一检测)如图所示,建立空间直角坐标系D-xyz,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是正方体体对角线D1B的中点,点Q在棱CC1上.(1)当2|C1Q|=|QC|时,求|PQ|.(2)当点Q在棱CC1上移动时,求|PQ|的最小值.【解析】(1)由题意知点C1(0,1,1),点D1(0,0,1),点C(0,1,0),点B(1,1,0),点P是体对角线D1B的中点,则点P.因为点Q在棱CC1上,且2|C1Q|=|QC|,所以点Q的坐标为.由空间两点的距离公式,得|PQ|===.(2)当点Q在棱CC1上移动时,设点Q(0,1,a),a∈[0,1].由空间两点的距离公式得|PQ|==,故当a=时,|PQ|取得最小值,此时点Q.【补偿训练】(2014·洛阳高一检测)在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1),B(1,0,-3).(1)在y轴上是否存在点M,使=成立?(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.【解题指南】(1)先假设点M存在,然后利用两点间距离公式作出判断.(2)先假设点M存在,然后利用两点间的距离公式及等边三角形的三边相等列方程求解.【解析】(1)假设在y轴上存在点M,满足=,可设点M(0,y,0),则=,由于上式对任意实数都成立,故y轴上的所有点都能使=成立. (2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.由(1)可知y轴上的所有点都能使=成立,所以只要再满足=,就可以使△MAB为等边三角形.因为=2,==,于是=2,解得y=±.故y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形,此时点M的坐标为(0,,0)或(0,-,0).关闭Word文档返回原板块。

高中数学第四章圆与方程 4.34.3.2 空间两点间的距离

4.3.2 空间两点间的距离公式A级基础巩固一、选择题1．在空间直角坐标系中，点P(3，1，5)关于平面yOz对称的点的坐标为( )A．(－3，1，5) B．(－3，－1，5)C．(3，－1，－5) D．(－3，1，－5)解析：由于点关于平面yOz对称，故其纵坐标、竖坐标不变，横坐标变为相反数，即对称点坐标是(－3，1，5)．答案：A2．点P(2，3，4)到y轴的距离是( )A.13 B．2 5C．5 D.29解析：点P在y轴的射影P′为(0，3，0)，所以|PP′|＝22＋42＝20＝2 5.答案：B3．若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.答案：D4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(02，3)C．(1，0，3) D．(1，2，0)解析：点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)．答案：D5．点A(1，2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )A．2 5 B．4C ．2 2D ．27解析：点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1，2，1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2，1)，故|BC |＝（1－1）2＋（2＋2）2＋（1－1）2＝4.答案：B二、填空题6．如图所示的坐标系中，单位正方体顶点A 的坐标是_________．解析：点A 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影分别是B 1、D 1、C ，故A 点坐标为(1，－1，－1)．答案：(1，－1，－1)7．在空间直角坐标系中，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1，2)，其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1，2)，中心M (0，1，2)所以C 1(－3，3，2)．正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－（－3）]2＋（－1－3）2＋（2－2）2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393. 答案：23938．给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点P 0(4，1，2)的距离为30，则P 点坐标为______________________________．解析：设点P 的坐标为(x ，0，0)，由题意，得|P 0P |＝30，即（x －4）2＋12＋22＝30. 所以x ＝9或x ＝－1.所以P 点坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．答案：(9，0，0)或(－1，0，0)三、解答题9．已知A (3，2，1)，B (1，0，4)，求：(1)线段AB 中点的坐标和A 与B 的距离；(2)到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件，并指出方程表示什么图形．解：(1)M (x ，y ，z )是AB 的中点，则x ＝3＋12＝2， y ＝2＋02＝1，z ＝1＋42＝52，所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，1，52. 两点间的距离|AB |＝（1－3）2＋（0－2）2＋（4－1）2＝17.(2)由P (x ，y ，z )到A 、B 两点的距离相等．则（x －3）2＋（y －2）2＋（z －1）2＝（x －1）2＋（y －0）2＋（z －4）2，化简得4x ＋4y －6z ＋3＝0.即到A 、B 的距离相等的点的坐标(x ，y ，z )满足的条件是4x ＋4y －6z ＋3＝0.方程表示的图形是线段AB 的垂直平分面．10.如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，所以C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D (1，1，0)，E (0，1，2)，F (1，0，0)，所以|DE |＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF |＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.B 级能力提升1．在空间直角坐标系中的点P (a ，b ，c )，有下列叙述：①点P (a ，b ，c )关于横轴(x 轴)的对称点是P 1(a ，－b ，c )；②点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(a ，－b ，－c )；③点P (a ，b ，c )关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3(a ，－b ，c )；④点P (a ，b ，c )关于坐标原点的对称点为P 4(－a ，－b ，－c )．其中正确叙述的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：对于①，点P (a ，b ，c )关于横轴的对称点为P 1(a ，－b ，－c )，故①错；对于②，点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(－a ，b ，c )，故②错；对于③，点P (a ，b ，c )关于纵轴的对称点是P 3(－a ，b ，－c )，故③错；④正确．答案：C2．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0，1，1)，C (0，1，0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以 |EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：418 3．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、AB 、C 1B 1、CB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)在四边形ABB 1A 1内找一点P ，使△ABP 为正三角形．(2)能否在MN 上求得一点Q ，使△AQB 为以AB 为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)因为EF 是AB 的中垂线，在平面ABB 1A 1内只有EF 上的点与A ，B 两点的距离相等，A (2，0，0)，B (0，4，0)，设点P 坐标为(1，2，z )，由|PA |＝|AB |，得（1－2）2＋（2－0）2＋（z －0）2＝20，所以z 2＝15.因为z ∈[0，4]，所以z ＝15，故平面ABB 1A 1内的点P (1，2，15)使得△ABP 为正三角形．(2)设MN 上的点Q 坐标为(0，2，z )．因为△AQB 为直角三角形，所以|QF |＝12|AB |. 即（0－1）2＋（2－2）2＋（z －0）2＝1220，整理，得z 2＋1＝5，所以z 2＝4.因为z ∈[0，4]，所以z ＝2.故MN 上的点Q (0，2，2)使得△AQB 为直角三角形．。

4.3.1空间直角坐标系空间两点间的距离公式课时作业高一数学人教A版必修2 第四章圆与方程

课时作业29 空间直角坐标系空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点P (1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为( )A ．(－1,2,3)B ．(1，－2，－3)C ．(－1，－2,3)D ．(－1,2，－3) 2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( ) A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5) 3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1)B ．(2,2，23)C ．(2,2，13) D ．(2,2，43) 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( ) A ．9 B.29 C ．5D ．2 6 5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( ) A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 6 6．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 7．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝10.8．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为．9．已知空间点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则点A 到平面yOz 的距离是.10.如图所示，在长方体ABCO －A 1B 1C 1O 1中，OA ＝1，OC ＝2，OO 1＝3，A 1C 1与B 1O 1交于P ，分别写出A ，B ，C ，O ，A 1，B 1，C 1，O 1，P 的坐标．11．(1)已知A (1,2，－1)，B (2,0,2)，①在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．12．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( ) A.62 B. 3 C.32 D.6313．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 在( )A ．以点(1,1，－1)为圆心，以2为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于2393. 15．在空间直角坐标系中，已知点A (3,0,1)和B (1,0，－3)，试问：(1)在y 轴上是否存在点M 满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使得△MAB 为等边三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．|AB |＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，课时作业29 空间直角坐标系空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点P (1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为( B )A ．(－1,2,3)B ．(1，－2，－3)C ．(－1，－2,3)D ．(－1,2，－3)解析：关于x 轴对称，横坐标不变． 2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( A )A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5)解析：关于yOz 平面对称，y ，z 不变．3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( D )A ．(2,2,1)B ．(2,2，23)C ．(2,2，13) D ．(2,2，43) 解析：∵EB ⊥xOy 平面，而B (2,2,0)，故设E (2,2，z )，又因|EB |＝2|EB 1|，所以|BE |＝23|BB 1|＝43，故E (2,2，43)． 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( B )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6 解析：由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29.5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( B )A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 6 解析：|AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54.∴|AB |min ＝54＝3 6.6．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( C )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：由两点间的距离公式得|AB |＝89，|BC |＝14，|AC |＝75，满足|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，故选C.7．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝10.解析：∵点B 的坐标为B (2，－3，－5)，∴|AB |＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10.8．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为(0,0,3)．解析：设P (0,0，c )，由题意得(0－1)2＋(0＋2)2＋(c －1)2 ＝(0－2)2＋(0－2)2＋(c －2)2解之得c ＝3，∴点P 的坐标为(0,0,3)．9．已知空间点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则点A 到平面yOz 的距离是2或6.解析：∵|AB |＝26，∴(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝24，即(x －2)2＝16，∴x ＝－2或x ＝6，∴点A 到平面yOz 的距离为2或6.10.如图所示，在长方体ABCO －A 1B 1C 1O 1中，OA ＝1，OC ＝2，OO 1＝3，A 1C 1与B 1O 1交于P ，分别写出A ，B ，C ，O ，A 1，B 1，C 1，O 1，P 的坐标．解：点A 在x 轴上，且OA ＝1，∴A (1,0,0)．同理，O (0,0,0)，C (0,2,0)，O 1(0,0,3)．B 在xOy 平面内，且OA ＝1，OC ＝2，∴B (1,2,0)．同理，C 1(0,2,3)，A 1(1,0,3)，B 1(1,2,3)．∴O 1B 1的中点P 的坐标为(12，1,3)． 11．(1)已知A (1,2，－1)，B (2,0,2)，①在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．解：(1)①设P (a,0,0)，则由已知得(a －1)2＋(－2)2＋12＝(a －2)2＋4，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P 点坐标为(1,0,0)．②设M (x,0，z )，则有(x －1)2＋(－2)2＋(z ＋1)2 ＝(x －2)2＋(z －2)2，整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0.故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线．(2)由已知，可设M (x,1－x,0)，则|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2 ＝2(x －1)2＋51.所以当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M (1,0,0)．12．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( A ) A.62 B. 3 C.32 D.63解析：设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62. 13．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 在( C )A ．以点(1,1，－1)为圆心，以2为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定解析：(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2的几何意义是动点P (x ，y ，z )到定点(1,1，－1)的距离为2的点的集合．故选C.14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于2393. 解析：设正方体的棱长为a ，由|AM |＝9＋4＋0＝13可知，正方体的体对角线长为3a ＝213，故a ＝2133＝2393. 15．在空间直角坐标系中，已知点A (3,0,1)和B (1,0，－3)，试问：(1)在y 轴上是否存在点M 满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使得△MAB 为等边三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)假设在y 轴上存在点M 满足|MA |＝|MB |.由点M在y轴上，可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然此式对任意y∈R恒成立，故y轴上所有的点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使得△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任意一点都满足|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB为等边三角形．因为|MA|＝(3－0)2＋(0－y)2＋(1－0)2＝10＋y2，|AB|＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，所以10＋y2＝20，解得y＝±10.故在y轴上存在点M使得△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。

两点间的距离公式课时作业(含答案)

两点间的距离公式课时作业(含答案)课时提升作业(二十) 两点间的距离公式一、选择题(每小题4分，共12分) 1.(2013•兰州高一检测)过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y=x平行，则|AB|的值为( ) A.6 B. C. D.2 【解析】选C.kAB= =b-a. 又因为过点A，B的直线与y=x平行，所以b-a=1，所以|AB|= = . 2.(2014•佛山高一检测)已知点M(-1，3)，N(5，1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是( ) A.x+3y-8=0 B.x-3y+8=0 C.x-3y+9=0 D.3x-y-4=0 【解析】选D.由|PM|=|PN|，得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2，化简得3x-y-4=0. 3.已知两直线l1：x+y-2=0，l2：2x-y-1=0相交于点P，则点P到原点的距离为( ) A.B.5C.D.2 【解题指南】先求出两直线的交点，然后利用两点间距离公式求解. 【解析】选C.由得两直线的交点坐标为(1，1)，故到原点的距离为 = . 二、填空题(每小题4分，共8分) 4.(2014•南阳高一检测)已知点M(1，1)平分线段AB，且A(x，3)，B(3，y)，则x，y的值分别为________. 【解析】由中点坐标公式得解得答案：-1，-1 5.(2013•四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，-1)的距离之和最小的点的坐标是________. 【解题指南】分析四边形ABCD的形状，结合几何性质进行判断. 【解析】由题可知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，-1)构成的四边形为凸四边形，则四边形ABCD对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC的方程为2x-y=0，直线BD的方程为x+y-6=0，所以其交点为(2，4). 答案： (2，4) 三、解答题(每小题10分，共20分) 6.(2014•蚌埠高一检测)已知矩形ABCD的两个顶点A(-1，3)，B(-2，4)，若它的对角线的交点M在x轴上，求C，D两点的坐标. 【解析】设点M的坐标为(x，0)，由|MA|=|MB|根据两点间的距离公式，得 = ，解得x=-5，又点M是AC与BD的中点，根据中点坐标公式可得 C (-9，-3)，D(-8，-4). 7.已知正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB的中点，DE，CF交于点G，求证：AG=AD. 【证明】建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，E(1，0)，F(0，1)，D(2，2). 直线DE的方程为y=2x-2，直线CF的方程为y=- x+1，由得即点G . 从而|AG|= =2=|AD|，故AG=AD. 一、选择题(每小题4分，共8分) 1.已知两点M(a，b)，N(c，d)，且 - =0，则 ( ) A.原点一定是线段MN的中点 B.M，N一定都与原点重合 C.原点一定在线段MN上但不一定是中点 D.点M，N到原点的距离相等【解析】选D.将等式 - =0变形为 = ，根据两点间的距离公式可知，点M(a，b)到原点的距离与点N(c，d)到原点的距离相等. 2.(2014•济宁高一检测)已知A(1，3)，B(5，-2)，点P在x轴上，则使|AP|-|BP|取最大值的点P的坐标是( ) A.(4，0) B.(13，0) C.(5， 0) D.(1，0) 【解析】选B.点A(1，3)关于x轴的对称点为A′(1，-3)，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求.直线A′B的方程是y+3= (x-1)，即y= x- .令y=0，得x=13. 【变式训练】已知A(3，-1)，B(5，-2)，点P在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则P点坐标是( ) A.(1，-1) B.(-1，1) C. D.(-2，2) 【解析】选C.点A(3，-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1，-3)，连接A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y+3= (x-1)，即y= x- ，与x+y=0联立，解得x= ，y=- . 二、填空题(每小题5分，共10分) 3.(2014•咸阳高一检测)已知△ABC的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(2+ ，1- )，则AB边上的中线CM的长为________. 【解析】由中点公式得AB的中点的坐标为M(2，1). 由两点间的距离公式，有 |CM|= = . 所以AB边上的中线CM的长为 . 答案：4.(2014•淄博高一检测)在△ABC中，A(1，1)，B(3，1)，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标为________. 【解题指南】因为三角形为等边三角形，所以三边相等，又三角形的两个顶点A，B坐标已知，故可设点C(x，y)，由两点间的距离公式可知|AC|=|BC|，|AC|=|AB|，进而得到关于x，y的方程组可解. 【解析】设点C的坐标为(x，y)，因为△ABC为等边三角形，所以|AC|=|BC|，即 = . ① 又|AC|=|AB|，即 = . ② 由①得x=2，代入②得y=1± . 所以所求点C的坐标为(2，1+ )或(2，1- ). 答案：(2，1+ )或(2，1- ) 三、解答题(12分) 5.在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，1)，D(4，6)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P，求线段AP的长. 【解题指南】先求出点C，M的坐标，再求出直线BD，CM的方程，从而得交点P的坐标，最后由距离公式求出AP的长. 【解析】AB的中点为M(4，1)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC的中点与BD的中点重合，设C点坐标为(x，y)，则所以C(10，6). 所以直线CM的方程为y-1= (x-4)，即5x-6y-14=0. 又直线BD的方程为y-1= (x-7)，即5x+3y-38=0. 由得P . 所以由两点间距离公式得 |AP|= = . 【变式训练】(2014•泉州高一检测)点P(x，y)在直线4x+3y=0上，且满足-14≤x-y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是________. 【解题指南】利用点P在4x+3y=0上，表示出y与x的关系.由-14≤x-y≤7求出x的范围，最后用距离公式求出所求范围即可. 【解析】由4x+3y=0得y=- x，所以x-y= x. 由-14≤x-y≤7可知-6≤x≤3，所以x2∈[0，36]，所以点P到坐标原点的距离为 = = . 因为x2∈[0，36]，所以∈[0，10]. 答案：[0，10] 【拓展延伸】与距离相关的综合问题在解决与距离相关的综合问题时，往往要与直线的有关知识进行结合，例如直线的斜率、直线的位置关系等，这些关系往往用于确定点的坐标，再根据距离公式代入求距离或相关参数的值，因此要将相关知识有机地结合起来，在解题的过程中要注意这一特点.。

《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二强化练习4.3.1、2空间直角坐标系空间两点间的距离公式

第四章 4.3 4.3.1、2一、选择题1．如右图所示的坐标系中，单位正方体顶点A 的坐标是( ) A ．(－1，－1，－1) B ．(1，－1,1) C ．(1，－1，－1) D ．(－1,1，－1) [答案] C[解析] 依据空间点的坐标定义可知，点A 的坐标是(1，－1，－1)． 2．点P (－1,2,3)关于xOz 平面对称的点的坐标是( ) A ．(1,2,3) B ．(－1，－2,3) C ．(－1,2，－3) D ．(1，－2，－3)[答案] B3．已知点A (－3,1,5)与点B (4,3,1)，则AB 的中点坐标是( ) A ．(72，1，－2)B ．(12，2,3)C ．(－12,3,5)D ．(13，43，2)[答案] B4．点A 在z 轴上，它到点(3,2,1)的距离是13，则点A 的坐标是( ) A ．(0,0，－1) B ．(0,1,1) C ．(0,0,1) D ．(0,0,13) [答案] C[解析] 设A (0,0，c )，则32＋22＋(1－c )2＝13，解得c ＝1.所以点A 的坐标为(0,0,1)． 5．△ABC 的顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－83，2,3)，则它在yOz 平面上射影图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] D[解析] △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A ′(0,1,1)，B ′(0,2,1)，C ′(0,2,3)，△ABC 在yOz 平面上的射影是一个直角三角形A ′B ′C ′，容易求出它的面积为1.6．空间直角坐标系中，点A (3,2，－5)到x 轴的距离d 等于( ) A ．32＋22B ．22＋(－5)2C ．32＋(－5)2D ．32＋22＋(－5)2[答案] B[解析] 过A 作AB ⊥x 轴于B ，则B (3,0,0)，则点A 到x 轴的距离d ＝|AB |＝22＋(－5)2. 二、填空题7．已知P (32，52，z )到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.[答案] 0或－4[解析] 利用中点坐标公式可得AB 中点C (12，92，－2)，因为|PC |＝3，所以(32－12)2＋(52－92)2＋[z －(－2)]2＝3，解得z ＝0或z ＝－4. 8．已知正方体不在同一表面上的两顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积是________．[答案] 64[解析] 设棱长为a ，则a 2＋a 2＋a 2＝42＋(－4)2＋42，∴a ＝4，∴V ＝43＝64. 9．在空间直角坐标系中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．[答案]2393[解析] |AM |＝(3－0)2＋(－1－1)2＋(2－2)2 ＝13，∴对角线|AC 1|＝213，设棱长x ，则3x 2＝(213)2，∴x ＝2393.三、解答题10．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，若点P (x,0，z )满足P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，试求点P 的坐标．[解析] 因为P A ⊥AB ，所以△P AB 是直角三角形，所以|PB |2＝|P A |2＋|AB |2，即(x ＋1)2＋(z ＋1)2＝x 2＋1＋z 2＋1＋1＋1，整理得x ＋z ＝1①同理，由P A ⊥AC 得|PC |2＝|P A |2＋|AC |2，即(x －2)2＋1＋(z －1)2＝x 2＋1＋z 2＋4＋1，整理得2x ＋z ＝0② 由①②解得x ＝－1，z ＝2，所以点P 的坐标为P (－1,0,2)．11．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出点D ，N ，M 的坐标；(2)求线段MD ，MN 的长度．[分析] (1)D 是原点，先写出A ，B ，B 1，C 1的坐标，再由中点坐标公式得M ，N 的坐标；(2)代入空间中两点间距离公式即可．[解析] (1)因为D 是原点，则D (0,0,0)．由AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，得A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)． ∵N 是AB 的中点，∴N (2,1,0)．同理可得M (1,2,3)． (2)由两点间距离公式，得|MD |＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14， |MN |＝(1－2)2＋(2－1)2＋(3－0)2＝11.12．如图所示，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动．若|CM |＝|BN |＝a (0<a <2)．(1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长度最短？[解析] 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点M (22a,0,1－22a )．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以点N (22a ，22a,0)．(1)由空间两点间的距离公式，得 |MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1，即MN 的长度为a 2－2a ＋1. (2)由(1)，得|MN |＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12.当a ＝22(满足0<a <2)时，⎝⎛⎭⎫a －222＋12取得最小值，即MN 的长度最短，最短为22.。

【人教A版】必修2《4.3.2空间两点间的距离公式》课后导练含解析

课后导练基础达标1若A(1,3,-2)、B(2,-2,3),则A,B 两点间的距离为（）A.B.25C. D.615162解析：由两点间的距离公式得，|AB|=.51)32()23()21(222=--+++-答案：C2在长方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A 1(4,0,3),则对角线AC 1的长为（） A.9B.C.5D.2962解析：∵|AB|==2,|AD|=4,|AA 1|==3, 22)02()44(-+-222)30()00()44(-+-+-∴|AC 1|=.2991642122=++=++AA AD AB 答案：B3已知点A(1,-2,11)、B(4,2,3)、C(6,-1,4),则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析：∵|AB|=，89)311()22()41(222=-+--+-|AC|=， 35)411()12()61(222=-++-+-|BC|=，14)34()21()46(222=-+--+-∴|AC|2+|BC|2=|AB|2,∴△ABC 为直角三角形. 答案：C4设点B 是点A(2,-3,5)关于xOy 面的对称点，则|AB|等于( )A.10B.C. D.381038解析：由对称点的性质知，B （2，-3，-5），∴|AB|==10. 222)55()33()22(++-+-答案：A5点M(2，-3，5)到Ox 轴的距离d 等于( )A. B.C. D.38341329解析：点M （2，-3，5）到Ox 轴的距离为.345)3(22=+-答案：B6在y 轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C 的坐标为__________. 解析：设C （0,y,0）,由于|AC|=|BC|， ∴，得y=.4)5(949)1(1622+-+=+-+y y 27-答案：(0,,0) 27-7设A(4,-7,1)、B(6,2,z)、|AB|=11,则z=____________. 解析：由两点间的距离公式知|AB|==11,222)1()27()64(z -+--+-∴(z-1)2+4+81=112,得z=7或-5. 答案：7或-58在空间直角坐标系中,到点M(-4,1,7)和N(3,5,-2)等距离的动点P 的轨迹图形与Ox 轴交点的坐标为____________.解析：设所求的点的坐标为（x,0,0）,由两点距离公式得得x=-2.22222)2(5)3(71)4(-++-=+++x x 答案：(-2,0,0) 综合运用9在空间直角坐标系中，正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A(3,-1,2),其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长等于____________.解析：设正方体的棱长为a ，由条件知|AM|=，所以正方体的对角线长为13049=++2|AM|=，即a=,1323132∴a=. 3932答案： 393210设点P 在x 轴上，它到P 1（0，，3）的距离为到点P 2（0，1，-1）距离的两倍，求2点P 的坐标.解析：由条件可设P(x,0,0),则|PP 1|=2|PP 2|,即,平方得x 2=1,11232222++=++x x ∴x=±1.故点P 的坐标为(1,0,0)和(-1,0,0).11在坐标平面yOz 内的直线2y-z=1上确定一点P,使P 到Q(-1,0,4)的距离最小. 解析：∵P 在yOz 平面内,∴可设P(0,y,2y-1),由两点间的距离公式得 |PQ|=当y=26)2(526205)412()0()10(22222+-=+-=--+-++y y y y y 时,|PQ|取得最小值为,这时P(0,2,3).6拓展探究12如图,在河的一侧有一塔CD=5 m,河宽BC=3 m,另一侧有点A,AB=4 m,求点A 与塔顶D 的距离AD.解：以CD 所在直线为z 轴,BC 所在直线为x 轴,建立空间直角坐标系,由条件知CD=5 m,BC=3 m,AB=4 m.从而可得D(0,0,5),A(3,-4,0).由两点间距离公式得|AD|= m. 25)04()03(22=--+-答:点A 与塔顶D 的距离AD 为 m. 25。

2020高中数学必修2同步练习《空间两点间的距离公式》含解析

是
.
解析:由题意知点 P 的坐标为(0,0,1)或(0,0,-1),
所以|PA| (1-0)2 + (1-0)2 + (1-1)2 2,
或|PA| (1-0)2 + (1-0)2 + (1 + 1)2 6
答案: 2或 6
7.已知三棱锥 P-ABC 各顶点的坐标分别为 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3),则三棱锥
∴三角形 ABC 是直角三角形.故选 A.
答案:A
5.已知点 A(1,-2,1)关于坐标平面 xOy 的对称点为 A1,则 A,A1 两点间的距离为
.
解析:A1(1,-2,-1),
则|AA1| (1-1)2 + (-2 + 2)2 + (1 + 1)2 2
答案:2
6.已知点 P 在 z 轴上,且满足|PO|=1(O 为坐标原点),则点 P 到点 A(1,1,1)的距离
解:如图,以 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz,可得 D(0,0,0),B1(2,3,2),
所以|B1D| 22 + 32 + 22 17 9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为平面 A1B1C1D1 的中心,求证:PA⊥PB1.
.
解析:|AB| 44,
37 + ( -3)2,
145 + ( -1)2,
∵AB⊥AC,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2,解得λ=-14.
答案:-14
7.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,点 M 是 B1C1 的中点,点 N 是 AB 的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.

高中数学必修2第4章 4-3 4-3-空间两点间的距离公式

建立如图所示的空间直角坐标系．
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∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得， D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)， ∴|DE|＝ 1－02＋1－12＋0－22 ＝ 5， |EF|＝ 0－12＋1－02＋2－02 ＝ 6.
【提示】设 M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|，得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2， ∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．
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如图 431 所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， |AB|＝|AD|＝3， |AA1| ＝2，点 M 在 A1C1 上，|MC1|＝2|A1M|，N 在 D1C 上且为 D1C 的中点，求线段 MN 的长度．
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[再练一题] 1．在棱长都为 2 的正三棱柱 ABCA1B1C1 中，建立恰当的空间直角坐标系，并写出三棱柱 ABCA1B1C1 各顶点的坐标. 【导学号：09960145】
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【解】
取 BC，B1C1 的中点分别为 O，O1，连接 OA，OO1，
3 根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1 两两互相垂直，且 OA＝ 2 ×2 ＝ 3，
3 ∴N2，3，1.
M 是 A1C1 的三分之一分点且靠近 A1 点， ∴M(1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN|＝ 21 ＝ 2 .
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3 －12＋3－12＋1－22 2
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：

高中数学第四章 4.3.2 空间两点间的距离公式课时提升卷（含解析）2(1)

空间两点间的距离公式（45分钟 100分）一、选择题(每题6分,共30分)1.已知点P(1,2,3),点Q在z轴上,那么使|PQ|最小的点Q的坐标为( )A.(0,0,1)B.(0,1,0)C.(0,0,2)D.(0,0,3)⃗⃗⃗⃗⃗ |= ( )2.设点B是点A(2,-3,5)关于xOy坐标面的对称点,那么|ABB.√10C.√383.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),那么△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形4.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标知足( )+y+z=-1 +y+z=1+y+z=4 +y+z=05.(2021·肇庆高二检测)在空间直角坐标系中,与点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点的个数为( )B.2 D.无数二、填空题(每题8分,共24分)6.已知点A(3,5,-7)和点B(-2,4,3),点A在x轴上的射影为A′,点B在z轴上的射影为B′,那么线段A′B′的长为.7.(2021·广州高一检测)给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为√30,那么该点的坐标为.8.已知x,y,z知足方程C:(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2,那么x2+y2+z2的最小值是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9. (2021·临沂高一检测)长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,D 1D=3,点M 是B 1C 1的中点,点N 是AB 的中点.成立如下图的空间直角坐标系.(1)写出点D,N,M 的坐标.(2)求线段MD,MN 的长度.10.在正四棱锥S-ABCD 中,底面边长为a,侧棱长也为a,以底面中心O 为坐标原点,成立如下图的空间直角坐标系,P 点在侧棱SC 上,Q 点在底面ABCD 的对角线BD 上,试求P ,Q 两点间的最小距离.11.(能力挑战题)已知点A(1,1,0),关于Oz 轴正半轴上任意一点P ,在Oy 轴上是不是存在一点B,使得PA ⊥AB 成立?假设存在,求出B 点的坐标;假设不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选D.设Q(0,0,z 0),那么|PQ|=√(0−1)2+(0−2)2+(z 0−3)2 =√(z 0−3)2+5,因此当z 0=3时,|PQ|有最小值,现在Q(0,0,3).2.【解析】选A.点A(2,-3,5)关于坐标平面xOy 的对称点是点B(2,-3,-5),故|AB →|=√(2−2)2+[−3−(−3)]2+[5−(−5)]2=10.3.【解析】选C.由两点间距离公式可得|AB|=√89,|AC|=√75,|BC|=√14,从而|AC|2+|BC|2=|AB|2,因此△ABC 是直角三角形.4.【解析】选 D.设到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z),那么|CA|2=|CB|2,即(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2,化简得:x+y+z=0.5.【解析】选D.由两点间距离公式可得|AB|=√26,|BC|=√74,|AC|=√26.易知A,B,C 三点不共线,故可确信一个平面,在△ABC 所在平面内可找到一点到A,B,C 的距离相等.而过该点与平面ABC 垂直的直线上的每一点到A,B,C 的距离均相等.6.【解析】由题可知A ′(3,0,0),B ′(0,0,3),因此|A ′B ′|=√32+02+(−3)2=3√2. 答案:3√27.【解析】设点P 的坐标是(x,0,0),由题意得,|P 0P|=√30,即√(x −4)2+12+22=√30,因此(x-4)2=25.解得x=9或x=-1.因此点P 坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).答案:(9,0,0)或(-1,0,0)【误区警示】解答此题时容易轻忽对解的讨论而造成结果不全.8.【解析】x 2+y 2+z 2可看成球面上的点到原点距离的平方,其最小值为(√32+42+(−5)2-√2)2=(4√2)2=32. 答案:32【变式备选】在空间直角坐标系O-xyz 中,知足条件x 2+y 2+z 2≤1的点(x,y,z)组成的空间区域的体积为V,那么V= .【解析】由题意知,知足条件x 2+y 2+z 2≤1的点(x,y,z)组成的空间区域为半径为1的一个球,V=43π. 答案:43π 9.【解题指南】(1)D 是原点,先写出A,B,B 1,C 1的坐标,再由中点坐标公式得M,N 的坐标;(2)代入空间中两点间距离公式即可.【解析】(1)因为D 是原点,那么D(0,0,0).由AB=BC=2,D 1D=3,得A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3). 因为N是AB的中点,因此N(2,1,0).同理可得M(1,2,3).(2)由两点间距离公式,得|MD|=√(1−0)2+(2−0)2+(3−0)2=√14,|MN|=√(1−2)2+(2−1)2+(3−0)2=√11.10.【解析】由于S-ABCD是正四棱锥,因此P点在底面上的射影R在OC上,又底面边长为a,因此OC=√22a,而侧棱长也为a,因此SO=OC,于是PR=RC,故可设P点的坐标为(-x,x,√22a-√2x)(x>0),又Q点在底面ABCD的对角线BD上,因此可设Q点的坐标为(y,y,0),因此P,Q两点间的距离|PQ|=√(−x−y)2+(x−y)2+(√22a−√2x)2=√4(x−a4)2+2y2+a24,显然当x=a4,y=0时|PQ|取得最小值,|PQ|的最小值等于a2,这时,点P为SC的中点,点Q为底面的中心.11.【解析】如图,假设PA⊥AB成立,那么AB⊥平面POA,因此AB⊥OA,设B(0,y,0),那么有OA=√2,|OB|=y,|AB|=√1+(y−1)2.由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+(y-1)2,解得y=2,因此存在如此的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立.。

高中数学4.3.2 空间两点间的距离公式课时提升作业(三十)1

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课时提升作业(三十)空间两点间的距离公式一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2014·长春高一检测)△ABC的顶点坐标是A(3,1,1),B(-5,2,1),C,则它在yOz平面上射影图形的面积是( )A.4B.3C.2D.1【解析】选D.△ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0,1,1), B′(0,2,1),C′(0,2,3),△ABC在yOz平面上的射影是一个直角三角形A′B′C′,容易求出它的面积为1.2.(2013·广州高一检测)在空间直角坐标系中,以A(4,1,9),B(10,-1,6), C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形,则实数x的值为( ) A.-2 B.2 C.6 D.2或6【解析】选D.因为以A,B,C为顶点的△ABC是以BC为底的等腰三角形.所以|AB|=|AC|,所以=,所以7=,所以x=2或x=6.3.(2014·绵阳高一检测)正方体不在同一表面上的两顶点A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积为( )A.64B.8C.32D.128【解析】选A.设正方体棱长为a,则a=,所以a=4,所以V=a3=64.二、填空题(每小题4分,共8分)4.在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为________.【解析】|AM|==,所以对角线|AC1|=2,设棱长为x,则3x2=(2)2,所以x=.答案:5.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点间距离的最小值是________. 【解题指南】先利用两点间距离公式用t表示出A,B两点之间的距离,然后借助二次函数知识求|AB|的最小值.【解析】|AB|====.当t=时,|AB|最小=.答案:【变式训练】已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(-1,-1,2),点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点,则A,B两点的最短距离是________.【解析】因为B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点,设B(m,1-m,0),则|AB|==.令t=2m2-2m+9=2(m-)2+,所以当m=时,t取最小值.所以|AB|的最小值为=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)6.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,D1D=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出点D,N,M的坐标.(2)求线段MD,MN的长度.【解析】(1)因为D是原点,则D(0,0,0).由AB=BC=2,D1D=3,得A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3),因为N是AB的中点,所以N(2,1,0).同理可得M(1,2,3).(2)由两点间距离公式,得|MD|==,|MN|==.7.点P在xOy平面内的直线3x-y+6=0上,点P到点M(2a,2a+5,a+2)的距离最小,求点P的坐标.【解析】由已知可设点P(a,3a+6,0),则|PM|===,所以当a=-1时,|PM|取最小值,所以在xOy平面内的直线3x-y+6=0上,取点P(-1,3,0)时,点P到点M的距离最小.【举一反三】若把题干中“M(2a,2a+5,a+2)”改为“M(2,5,2)”,则结论如何? 【解析】由已知可设点P(a,3a+6,0),则|PM|===,所以当a=-时,|PM|取最小值,所以在xOy平面内的直线3x-y+6=0上,取点P(-,,0)时,点P到点M的距离最小.一、选择题(每小题4分,共8分)1.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),AB的中点M,则|CM|=( )A. B. C. D.【解析】选C.由于AB的中点M的坐标为(2,,3),则|CM|==.2.在空间直角坐标系中,已知点P(a,b,c)满足方程(x+2)2+(y-1)2+(z-3)2=3,则点P的轨迹是( )A.直线B.圆C.球面D.线段【解析】选C.由题意,动点P到定点(-2,1,3)的距离为定值,所以点P的轨迹是球面.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知A(1,2,3),B(3,3,m),C(0,-1,0),D(2,-1,-1),且m≠3,则AB与CD的大小关系是_______________.【解析】因为CD2=5,AB2=5+(m-3)2>5(m≠3),所以AB>CD.答案:AB>CD【误区警示】本题易忽视条件m≠3,将结论误填为AB≥CD.4.(2013·成都高一检测)在△ABC中,已知A(-1,2,3),B(2,-2,3),C,则AB边上的中线CD的长是________.【解析】由题可知AB的中点D的坐标是,由距离公式可得|CD|==.答案:三、解答题(12分)5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=2,CB=CC1=4,E,F,M,N分别是A1B1,AB,C1B1,CB的中点.如图所示,建立空间直角坐标系.(1)在平面ABB1A1内找一点P,使△ABP为等边三角形.(2)能否在MN上求得一点Q,使△AQB为以AB为斜边的直角三角形?若能,请求出点Q的坐标;若不能,请予以证明.【解题指南】本题解决的关键是根据图形的性质将问题简化.由△ABP是等边三角形,则P一定在AB的垂直平分线上,由|PA|=|AB|可确定P点;直角三角形斜边上的中线为斜边的一半,可由|QF|=|AB|确定Q点.【解析】(1)因为EF是AB的中垂线,在平面ABB1A1内只有EF上的点与A,B两点的距离相等,又A(2,0,0),B(0,4,0),设点P坐标为(1,2,m),由|PA|=|AB|得=.所以m2=15.因为m∈[0,4],所以m=,故平面ABB1A1内的点P(1,2,)使得△ABP为等边三角形.(2)设MN上的点Q(0,2,n)满足题意,由△AQB为直角三角形,其斜边上的中线长必等于斜边长的一半,所以|QF|=|AB|,又F(1,2,0),则=,整理得=.所以n2=4.因为n∈[0,4],所以n=2.故MN上的点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形.关闭Word文档返回原板块。

高中数学第四章4.3.2空间两点间的距离公式基础过关训练新人教A版必修2

4.3.2 空间两点间的距离公式一、基础过关1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为( ) A.61B ．25C ．5 D.57 2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4，0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9B.29C ．5D ．2 63．已知点A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于( )A.534B.532C.532D.1324．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足( )A ．x ＋y ＋z ＝－1B ．x ＋y ＋z ＝0C ．x ＋y ＋z ＝1D ．x ＋y ＋z ＝45．若点P (x ，y ，z )到平面xOz 与到y 轴距离相等，则P 点坐标满足的关系式为____________．6．已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.7．在yOz 平面上求与三个已知点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5,1)等距离的点的坐标．8. 如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(32，12，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．二、能力提升9．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则下列说法中正确的是( )A ．A 、B 、C 三点可以构成直角三角形 B ．A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形 C ．A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D ．A 、B 、C 三点不能构成任何三角形10．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87C.87D.191411．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B的距离相等，则M 的坐标是________．12. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．三、探究与拓展13．在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．答案1．C 2.B 3.B 4．B 5．x 2＋z 2－y 2＝0 6.0或－47．解设P (0，y ，z )，由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PA |＝|PC ||PB |＝|PC | 所以⎩⎨⎧－2＋y －2＋z －2＝－2＋y －2＋z －2－2＋y ＋2＋z ＋2＝－2＋y －2＋z －2即⎩⎪⎨⎪⎧4y －z －6＝07y ＋3z －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1z ＝－2，所以点P 的坐标是(0,1，－2)． 8．解由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt△BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1. ∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)，∴|AD | ＝322＋12＋2＋－32＝ 6.9．A 10．C 11．(0，－1,0)12．解如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三等分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＋－2＝21 2.13．解∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上，∴可设M(x,1－x,0)．∴|MN|＝x －2＋－x－2＋－2＝x－2＋51≥51，当且仅当x＝1时取等号，∴当点M的坐标为(1,0,0)时，|MN|min＝51.。

人教新课标版数学高一-人教A版必修2 课时提升 4.3.2 空间两点间的距离公式2

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课时提升作业(三十)空间两点间的距离公式一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2014·绍兴高一检测)已知两点M1(-1,0,2),M2(0,3,-1),此两点间的距离为( ) A. B. C.19 D.11【解析】选A.由题意,两点间的距离为|M1M2|==.2.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是( )A. B. C. D.【解析】选 A.设该定点的坐标为(x,y,z),则有x2+y2=1,z2+y2=1,x2+z2=1,三式相加得2(x2+y2+z2)=3.所以该点到原点的距离为=.故选A.【举一反三】在本题中若改为“一定点到三个坐标轴的距离都是a,且该点到原点的距离是,则a的值为( )A. B. C.1 D.【解析】选 C.设该定点的坐标为(x,y,z),则有x2+y2=a2,z2+y2=a2,x2+z2=a2,三式相加得2(x2+y2+z2)=3a2.由于该点到原点的距离为,解得a=1.3.(2014·新余高一检测)在xOy平面内的直线x+y=1上的点M,使M 到点N(6,5,1)的距离最小时的坐标为( )A.(1,0,0)B.(0,1,0)C.(0,0,1)D.(1,1,0)【解题指南】设出M(x,1-x,0),利用空间两点间的距离公式转化为二次函数求最值问题求解.【解析】选A.由已知,可设M(x,1-x,0),则|MN|==.所以x=1时,距离最小,此时M(1,0,0).二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2014·苏州高一检测)已知三角形的三个顶点A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2).则过A点的中线长为;过B 点的中线长为.【解析】由题意,BC的中点D(4,1,-2),AC的中点E,所以|AD|==2,==.答案:25.(2013·襄阳高一检测)方程(x-12)2+(y+3)2+(z-5)2=36的几何意义为.【解析】该方程几何意义是:在空间中以点(12,-3,5)为球心,半径长为6的球面.答案:在空间中以点(12,-3,5)为球心,半径长为6的球面三、解答题(每小题10分,共20分)6.如图ABCD-A1B1C1D1是正方体,M,N分别是线段AD1和BD的中点.(1)证明:直线MN∥平面B1CD1.(2)设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,若以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,试写出B1,M两点的坐标,并求线段B1M的长.【解析】(1)连接CD1,AC,则N是AC的中点,在△ACD1中,因为M是AD1的中点,所以MN∥CD1.又MN⊄平面B1CD1,CD1⊂平面B1CD1,所以MN∥平面B1CD1.(2)连接B1M,由条件知B1(a,a,a),M,所以==a,即线段B1M的长为 a.7.(1)已知实数x,y,z满足(x-3)2+(y-4)2+z2=4,求x2+y2+z2的最小值.(2)已知空间四个点O (0,0,0),A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),求三棱锥O -ABC的体积.【解析】(1)由已知得,点P(x,y,z)在以M(3,4,0)为球心,2为半径的球面上,x2+y2+z2表示原点O与点P的距离的平方,显然当O,P,M共线且P在O与M之间时,最小.此时=-2=-2=3.所以=9,即x 2+y2+z2的最小值是9.(2)由题意可知,O,A,B,C为一正方体中的四个顶点,且该正方体的棱长为1,其中V O-ABC=1-=.一、选择题(每小题5分,共10分)1.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标满足( )A.x+y+z=-1B.x+y+z=1C.x+y+z=4D.x+y+z=0【解析】选D.由题意得|CA|2=|CB|2,即(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2,化简得:x+y+z=0.2.(2013·肇庆高二检测)在空间直角坐标系中,与点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个【解析】选D.由两点间距离公式可得|AB|=,|BC|=,|AC|=.易知A,B,C三点不共线,故可确定一个平面,在△ABC所在平面内可找到一点到A,B,C的距离相等.而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A,B,C的距离均相等.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2014·徐州高一检测)以A(-4,-1,-9),B(-10,1,-6),C(-2,-4,-3)为顶点的三角形是.【解析】==7, ==7,==7,因为+=,且=.所以△ABC为等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形【误区警示】本题易发生求出两边相等后直接判断此三角形为等腰三角形的错误.4.(2014·南昌高一检测)在平面直角坐标系中,由点A(a,0),B(0,b)(ab≠0)确定的直线的方程为+=1,类比到空间直角坐标系中,由A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(abc≠0)确定的平面的方程可以写成.【解析】通过直线方程的结构形式,可以类比得出平面的方程为++=1.答案:++=1三、解答题(10分)5.(2014·洛阳高一检测)在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1),B(1,0,-3).(1)在y轴上是否存在点M,使=成立?(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.【解题指南】(1)先假设点M存在,然后利用两点间距离公式作出判断.(2)先假设点M存在,然后利用两点间的距离公式及等边三角形的三边相等列方程求解.【解析】(1)假设在y轴上存在点M,满足=,可设点M(0,y,0),则=,由于上式对任意实数都成立,故y轴上的所有点都能使=成立.(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.由(1)可知y 轴上的所有点都能使=成立,所以只要再满足=,就可以使△MAB为等边三角形.因为=2,==,于是=2,解得y=±.故y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形,此时点M的坐标为(0,,0)或(0,-,0).关闭Word文档返回原板块。

高中数学 2.4.2空间两点的距离公式课时作业(含解析)新

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.4.2空间两点的距离公式课时作业新人教B版必修2一、选择题1．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy坐标平面的对称点，则|AB|等于( )A．10 B．10C．38 D．38[答案] A[解析]A(2，－3,5)关于xOy坐标面的对称点B(2，－3，－5)∴|AB|＝2－22＋[－3－－3]2＋[5－－5]2＝10.2．已知三点A(－1,0,1)、B(2,4,3)、C(5,8,5)，则( )A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形[答案] D[解析]∵|AB|＝29，|AC|＝229，|BC|＝29，而|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A、B、C共线，构不成三角形．3．(2015·湖南郴州市高一期末测试)已知A(1,0,2)、B(1，－3,1)，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为( )A．(－3,0,0) B．(0，－3,0)C．(0,0，－3) D．(0,0,3)[答案] C[解析]设M(0,0，c)，由|AM|＝|BM|得：12＋02＋c－22＝12＋－32＋c－12，∴c＝－3，选C．4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)、B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为( )A．14 3 B．314C．542 D．42 5[答案] A[解析]d(A，B)＝－6－82＋－6－82＋－6－82＝14 3.5．(2015·湖南益阳市高一期末测试)已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．3或－4C ．6或－2D ．6或2[答案] C [解析] |AB |＝x －22＋1－32＋2－42＝26，∴(x －2)2＝16，∴x －2＝±4， ∴x ＝6或－2.6．(2015·辽宁葫芦岛市高一期末测试)在空间直角坐标系中，已知点P (0,0，3)和点C (－1,2,0)，则在y 轴上到点P 和点C 的距离相等的点M 的坐标是( )A ．(0,1,0)B ．(0，－12，0)C ．(0，12，0)D ．(0,2,0)[答案] C[解析] 设M (0，y,0)，由题意得y 2＋(3)2＝12＋(y －2)2， ∴y ＝12，故选C ．二、填空题7．(2015·辽宁锦州市高一期末测试)空间直角坐标系中点A (－2,1,3)、B (－1,2,1)，点P 在x 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________．[答案] －4[解析] 设点P 的坐标为(x,0,0)，由题意得x ＋22＋0－12＋0－32＝x ＋12＋0－22＋0－12，解得x ＝－4.8．在空间中，已知点A (－2，3,4)在y 轴上有一点B 使得|AB |＝7，则点B 的坐标为________．[答案] (0,3＋29，0)或(0,3－29，0) [解析] 设点B 的坐标为(0，b,0)，由题意得0＋22＋b －32＋0－42＝7，解得b ＝3±29.∴点B 的坐标为(0,3＋29，0)或(0,3－29，0)．三、解答题9．已知一长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，且棱长AA 1＝2，AB ＝6，AD ＝4.求长方体各顶点的坐标．[解析] 由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，∴A 1(3,2,1)、B 1(－3,2,1)、C 1(－3，－2,1)、D 1(3，－2,1)，A (3,2，－1)、B (－3,2，－1)、C (－3，－2，－1)、D (3，－2，－1)．10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．求|MN |的长．[解析] 如图所示，以C 为原点，以CA 、CB 、CC 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，∵CA ＝CB ＝1，AA 1＝2， ∴N (1,0,1)、M (12，12，2)，由两点间的距离公式得 |MN |＝1－122＋0－122＋1－22＝62. 故|MN |的长为62.一、选择题1．(2015·福建八县一中高一期末测试)在空间直角坐标系中一点P (1,3,4)到x 轴的距离是( )A ．5B ．17C ．10D ．26[答案] A[解析] 点P 在x 轴上的射影Q 的坐标为(1,0,0)， ∴点P 到x 轴的距离为 |PQ |＝1－12＋3－02＋4－02＝5.2．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534B ．532C ．532D ．132[答案] C[解析] ∵AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，C (0,1,0)，∴|CM |＝2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋3－02＝532. 二、填空题3．若点A (－1,2，－3)关于y 轴的对称点为B ，则AB 的长为________． [答案] 210[解析] ∵A (－1,2，－3)关于y 轴的对称点B (1,2,3)， ∴|AB |＝[1－－1]2＋2－22＋[3－－3]2＝210.4．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．[答案]2393[解析] ∵|AM |＝3－02＋－1－12＋2－22＝13，∴对角线|AC 1|＝213，设棱长为x ，则3x 2＝(213)2，∴x ＝2393.三、解答题5．已知点P 1、P 2的坐标分别为(3,1，－1)、(2，－2，－3)，分别在x 、y 、z 轴上取点A 、B 、C ，使它们与P 1、P 2两点距离相等，求A 、B 、C 的坐标．[解析] 设A (x,0,0)、B (0，y,0)、C (0,0，z )，由|AP 1|＝|AP 2|得，x －32＋1＋1＝x －22＋4＋9∴x ＝－3，同理，由|BP 1|＝|BP 2|得y ＝－1，由|CP 1|＝|CP 2|得z ＝－32，∴A (－3,0,0)、B (0，－1,0)、C (0,0，－32)．6．(1)在z 轴上求与点A (－4,1,7)和B (3,5，－2)等距离的点的坐标；(2)在yOz 平面上，求与点A (3,1,2)、B (4，－2，－2)和C (0,5,1)等距离的点的坐标． [解析] (1)设所求点P 为(0,0，c )由题设|PA |＝|PB |， ∴16＋1＋c －72＝9＋25＋c ＋22解之得c ＝149，∴P (0,0，149)．(2)设所求点为P (0，b ，c )∵|PA |＝|PB |＝|PC |，∴⎩⎨⎧9＋b －12＋c －22＝16＋b ＋22＋c ＋229＋b －12＋c －22＝0＋b －52＋c －12∴⎩⎪⎨⎪⎧3b ＋4c ＋5＝04b －c －6＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝－2∴P (0,1，－2)．7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．[解析] 建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：|A 1C 1|＝22， ∵|MC 1|＝2|A 1M |， ∴|A 1M |＝232，∴M (23，23，4)．又C (2,2,0)、D 1(0,2,4)，N 为CD 1中点∴N (1,2,2)， ∴|MN |＝1－232＋2－232＋2－42＝533.。

人教新课标版数学高一-人教A必修二习题 4.3.2空间两点间的距离公式

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．点A (－3,1,5)与B (4,3,1)的中点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫72，1，－2 B.⎝⎛⎭⎫12，2，3 C ．(－2,3,5)D.⎝⎛⎭⎫13，43，2 解析：所求中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－3＋42，1＋32，5＋12，即⎝⎛⎭⎫12，2，3. 答案： B2．已知三点A (－1,0,1)，B (2,4,3)，C (5,8,5)，则( )A ．三点构成等腰三角形B ．三点构成直角三角形C ．三点构成等腰直角三角形D ．三点构不成三角形解析： ∵|AB |＝29，|AC |＝229，|BC |＝29，而|AB |＋|BC |＝|AC |，∴三点A ，B ，C 共线，构不成三角形．答案： D3．已知A 点坐标为(1,1,1)，B (3,3,3)，点P 在x 轴上，且|PA |＝|PB |，则P 点坐标为( )A ．(0,0,6)B ．(6,0,1)C ．(6,0,0)D ．(0,6,0) 解析：设P (x,0,0)，|PA |＝(x －1)2＋1＋1，|PB |＝(x －3)2＋9＋9，由|PA |＝|PB |，得x ＝6.答案： C4．已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则A ，B 两点距离的最小值为( ) A.55 B.555 C.355 D.115 解析： |AB |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02＝5t 2－2t ＋2 ＝ 5⎝⎛⎭⎫t －152＋95≥355. 答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．在如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，所以点B 1的坐标为(a ，b ，c )．答案： (a ，b ，c )6．已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．解析：点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点P 1的坐标为(2,3,1)，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点P 2的坐标为(－2,3,1)，点P 2关于z 轴的对称点P 3的坐标是(2，－3,1)．答案： (2，－3,1)7．已知ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为________．解析：由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点O ⎝⎛⎭⎫72，4，－1，设D (x ，y ，z )，则72＝x ＋22，4＝－5＋y 2，－1＝1＋z 2， ∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故D (5,13，－3)．答案： (5,13，－3)三、解答题(每小题10分，共20分)8．如图，正四棱锥P －ABCD 中，底面边长为2，侧棱长为6，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，以O 为原点，射线OM ，ON ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．若E ，F 分别为PA ，PB 的中点，求A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解析： ∵正四棱锥P －ABCD 中，底面边长为2，侧棱长为6，∴OB ＝2，OP ＝PB 2－OB 2＝6－2＝2，∴由上可得A (1，－1,0)，B (1,1,0)，C (－1,1,0)，D (－1，－1，0)，P (0,0,2)．又∵E ，F 分别为PA ，PB 的中点，∴由中点坐标公式可得E ⎝⎛⎭⎫12，－12，1，F ⎝⎛⎭⎫12，12，1. 9．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，E 为C 1G 的中点，求EF 的长．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝⎛⎭⎫0，34，0，则E ⎝⎛⎭⎫0，78，12. 故EF ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋⎝⎛⎭⎫78－122＋⎝⎛⎭⎫12－02＝418.。

课时作业1：4.3.2　空间两点间的距离公式

4.3.2 空间两点间的距离公式一、基础过关1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为( ) A.61 B ．25 C ．5 D.57答案 C解析 |AB |＝(1＋2)2＋(3－3)2＋(－2－2)2＝5.2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4，0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5 D ．2 6答案 B解析由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29.3．已知点A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于( ) A.534 B.532 C.532 D.132答案 B解析 AB 的中点M (2，32，3)，它到点C 的距离d ＝(2－0)2＋(32－1)2＋(3－0)2＝532. 4．已知△ABC 顶点坐标分别为A (－1,2,3)，B (2，－2,3)，C (12，52，3)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵|AB |＝5，|BC |＝3102，|AC |＝102， ∴|AB |2＝|BC |2＋|AC |2，∴△ABC 为直角三角形．5．若点P (x ，y ，z )到平面xOz 与到y 轴距离相等，则P 点坐标满足的关系式为____________．答案 x 2＋z 2－y 2＝0解析由题意得|y |＝x 2＋z 2，即x 2＋z 2－y 2＝0.6．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B的距离相等，则M 的坐标是________．答案 (0，－1,0)解析设M 的坐标为(0，y,0)，由|MA |＝|MB |得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0， ∴y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．7.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为平面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥PB 1.(用坐标法)证明如右图所示，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)由中点坐标公式可得P (12，12，1)，根据空间两点间的距离公式可得|AP |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(0－1)2＝62， |PB 1|＝(12－1)2＋(12－1)2＋(1－1)2＝22， |AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝2，所以|AP |2＋|PB 1|2＝|AB 1|2，∴AP ⊥PB 1.二、能力提升8．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87 C.87 D.1914答案 C解析 |AB |＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，|AB |最小． 9．已知正方体不在同一平面上的两个顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积是( )A ．16B ．192 3C ．64D ．48 6答案 C解析 |AB |＝(－1－3)2＋(2＋2)2＋(－1－3)2＝4 3.又因为A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)不在同一平面上，所以A ，B 两点间的距离即为正方体的体对角线长．设正方体的边长为a ，则3a ＝43，即a ＝4，所以正方体的体积为64. 10.如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A (32，12，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.则三棱锥D －ABC 的体积为________．答案 14解析因为∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，|BC |＝2.所以|BD |＝1，|CD |＝BC cos 30°＝3，所以S △BCD ＝12×|BD |·|CD |＝32. 因为A (32，12，0)，即点A 到BC 的距离为32，所以三棱锥D －ABC 的体积为V ＝13×32×32＝14. 11．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，P ，Q 分别是D ′B ，B ′C 的中点，求PQ 的长．解以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题意得，B (a ，a,0)，D ′(0,0，a )，所以P (a 2，a 2，a 2)．又C (0，a,0)，B ′(a ，a ，a )，所以Q (a 2，a ，a 2)．所以|PQ |＝ (a 2－a 2)2＋(a 2－a )2＋(a 2－a 2)2＝a 2. 12.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．解如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1. ∵M 是A 1C 1的三等分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212. 三、探究与拓展13．在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上，∴可设M (x,1－x,0)．∴|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51≥51，当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M 的坐标为(1,0,0)时，|MN |min ＝51.。

2019年数学人教A必修二新一线应用案巩固提升4.3 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式

[学生用书P143(单独成册)])[A基础达标]1．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为()A．(0，0，3)B．(0，2，3)C．(1，3，0) D．(1，2，0)解析：选D．由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．2．设y∈R，则点P(1，y，2)构成的集合为()A．垂直于xOz平面的一条直线B．平行于xOz平面的一条直线C．垂直于y轴的一个平面D．平行于y轴的一个平面解析：选A．由空间直角坐标的意义，易知点P(1，y，2)(y∈R)构成的集合为垂直于xOz 平面的一条直线．3．已知空间中点A(1，3，5)，C(1，3，－5)，点A与点B关于x轴对称，则点B与点C的对称关系是()A．关于平面xOy对称B．关于平面yOz对称C．关于y轴对称D．关于平面xOz对称解析：选D．因为点(x，y，z)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y，－z)，所以B(1，－3，－5)，与点C的坐标比较，知横坐标、竖坐标分别对应相同，纵坐标互为相反数，所以点B 与点C关于平面xOz对称，故选D．4．已知A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(2，0，1)，则△ABC为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上均有可能解析：选A．由两点间的距离公式，得|AB|＝2，|BC|＝3，|AC|＝1，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为直角三角形．5．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则对角线|AC1|的长为()A．9 B．29C．5 D．2 6解析：选B．由已知，可得C1(0，2，3)，所以|AC1|＝（0－4）2＋（2－0）2＋（3－0）2＝29.6．在空间直角坐标系中，点M (－2，4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________．解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2，0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2，0，3)．答案：(2，0，3)．7．如图，正方体AOCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为2，则图中的点M 关于y 轴的对称点的坐标为____________．解析：因为D (2，－2，0)，C ′(0，－2，2)，所以线段DC ′的中点M 的坐标为(1，－2，1)，所以点M 关于y 轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．答案：(－1，－2，－1)8．已知点P (32，52，z )到线段AB 中点的距离为3，其中A (3，5，－7)，B (－2，4，3)，则z ＝________．解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为(12，92，－2)．又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以（32－12）2＋（52－92）2＋[z －（－2）]2＝3，解得z ＝0或－4. 答案：0或－49.如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，|P A |＝|AC |＝12|AB |＝4，N 为AB 上一点，|AN |＝14|AB |，M 、S 分别为PB 、BC 的中点．试建立适当的空间直角坐标系，求点M 、N 、S 的坐标．解：由线面垂直的性质可知AB 、AC 、AP 三条线段两两垂直，如图，分别以A 为坐标原点，以AB 、AC 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (8，0，0)，C (0，4，0)，P (0，0，4)，因为M 、S 分别为PB 、BC 的中点，由中点坐标公式可得，M (4，0，2)，S (4，2，0)．因为N 在x 轴上，|AN |＝14|AB |，所以|AN |＝2，所以N (2，0，0)．10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 点的坐标．解：如图所示，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．因为点E 在z 轴上，E 为DD 1的中点，故E 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，0，12. 过点F 作FM ⊥AD 于点M ，FN ⊥DC 于点N ，由平面几何知识知|FM |＝12，|FN |＝12，故F 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0. 点G 在y 轴上，又|GD |＝34，所以G 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，34，0. 过H 作HK ⊥CD 于点K .因为H 为C 1G 的中点，所以K 为CG 的中点，所以|DK |＝78，|HK |＝12.故H 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，78，12. 所以E ，F ，G ，H 四点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫0，0，12，⎝⎛⎭⎫12，12，0，⎝⎛⎭⎫0，34，0，⎝⎛⎭⎫0，78，12.[B 能力提升]11．一束光线自点P (1，1，1)出发，被xOy 平面反射到达点Q (3，3，6)被吸收，那么光线所经过的距离是( )A ．37B ．33C ．47D ．57解析：选D ．P 关于xOy 平面对称的点为P ′(1，1，－1)，则光线所经过的距离为 |P ′Q |＝（3－1）2＋（3－1）2＋（6＋1）2＝57.12．三棱锥P -ABC 各顶点的坐标分别为A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，3)，则三棱锥P -ABC 的体积为________．解析：由A ，B ，C ，P 四点的坐标，知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC ，P A ⊥底面ABC ．由空间两点间的距离公式，得|AB |＝1，|AC |＝2，|P A |＝3，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13×12×1×2×3＝1.答案：113．在空间直角坐标系中，已知A (3，0，1)和B (1，0，－3)，试问： (1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标．解：(1)假设在y 轴上存在点M ，使得|MA |＝|MB |. 因为M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y ，0)．由|MA |＝|MB |，得32＋（－y ）2＋12＝12＋（－y ）2＋（－3）2，显然，此式对任意的y ∈R 恒成立，说明y 轴上所有的点都满足|MA |＝|MB |.(2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形．由(1)，知y 轴上任意一点都有|MA |＝|MB |，所以只要满足|MA |＝|AB |，就可以使得△MAB 是等边三角形．因为|MA |＝32＋（－y ）2＋12＝10＋y 2，|AB |＝（1－3）2＋（0－0）2＋（－3－1）2＝20，所以10＋y 2＝20，解得y ＝±10，所以在y 轴上存在点M ，使得△MAB 为等边三角形，符合题意的点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．14．(选做题)已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若|CM |＝|BN |＝a (0<a <2)，求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小．解：(1)因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂平面ABEF ，所以BE ⊥平面ABCD ．所以AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB ．因为|CM |＝|BN |＝a ，所以|CH |＝|MH |＝|BG |＝|GN |＝22a ，所以以B 为坐标原点，以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.所以|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝ a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12(0<a <2)．(2)因为|MN |＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12(0<a <2)，故当a ＝22时，|MN |min ＝22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点．。