广义C0半群的表示与逼近

合集下载

高考数学中的代数结构与半群论

高考数学中的代数结构与半群论在数学中，代数结构是指一类数学结构，它包括一些数学对象以及它们之间的关系。

代数结构在高考数学中也占有重要的地位。

其中，半群是一种简单且基础的代数结构，它被广泛地研究和应用于各个领域。

在本文中，我们将探讨高考数学中的代数结构和半群论，以及它们的应用。

一、代数结构的概念和性质代数结构是指在一个集合中定义的一些运算和一些规律。

它包括了群、环、域等各种各样的代数结构。

在高考数学中，一般只讨论群和半群。

半群是指一个集合和一个满足结合律的二元运算。

简单地说，这就是一个没有单位元和逆元的群。

半群包含了很多普通的数学对象，如自然数、整数、矩阵等等。

半群具有良好的性质，如闭合性、结合律等等。

由于半群比群更加简单，因此它们被广泛地研究和应用。

二、半群的例子1. 自然数半群对于自然数集合N，定义运算*为自然数的乘法。

那么(N，*)构成了一个半群。

这个半群没有单位元和逆元。

2. 整数半群对于整数集合Z，定义运算*为整数的加法。

那么（Z，*）构成了一个半群。

这个半群没有单位元和逆元。

3. 矩阵半群矩阵是一种广泛应用于各个领域的数学工具。

对于矩阵集合Mn(R)，定义运算*为矩阵的乘法。

那么（Mn(R)，*）构成了一个半群。

这个半群没有单位元和逆元。

三、半群在高考数学中的应用1. 代数结构的应用代数结构在高考数学中有广泛的应用。

例如，在高中数学的代数部分，我们学习了如何构造多项式以及如何求多项式的根。

这些问题都可以归结为代数结构上的问题。

2. 半群的应用在高考数学中，半群有许多重要的应用。

例如，在离散数学中，半群理论被广泛地用于证明一些基本的定理，如无穷原理和赛尔定理等等。

此外，在计算机科学中，半群也被广泛地应用于计算理论、编程语言和算法设计中。

四、总结代数结构和半群论是数学中非常重要的分支，它们在高考数学中占有非常重要的地位。

熟练掌握代数结构和半群论对于解决数学问题和应用于实际生活中都具有重要的作用。

广义C半群的指数公式与逼近

广泛．
ｊ（Ａ￡广抽柯问（ＧＰ当 —恒算ｚ）ｚ为义象西题简Ａ）ｅＪ等￡（一）称ｃ，（
由文献［３：４知ＧＡＣＰ的解可表示为ｚ￡一Ｔ（）其中ｚ为初值．（）ｔｘ，在很多情况下采用差分方程
』
ｌ（０）一Ｃｙ～【
已经在诸如迁移系统、口系统及弹性梁振动系统等无穷维前向型线性系统的研究中得到成功应用，人但
在诸如广义动态经济系统、网系统以及具有时滞的微分系统等后向一前向型系统的研究中得不到直电
接应用．
广义动态经济学中出现的后向或后向一前向型系统形式为：ｚ（）￡一Ａｚ（）￡＋Ｂ“ ￡，常要求算（）通
定理１设Ａ是广义Ｃ半群｛｝，ｆｆＴ（）ｆＴ（）ｆ≤Ｍｅ的Ｃ生成元，且
（一Ａ一Ｃｚ— 一Ａ一ｘ＝ＩｅＴｚｔＲ＞，）（）Ｃ＝一（ｄ，ｅｚ∈ｘ，：）
则有指数公式
基金项目：苏省自然科学基金资助项目（Ｋ２０１６＃国矿业大学科研基金资助项目（０４２江Ｂ０２１）中Ａ２００）作者简介：熳（９０，，苏徐州人，教，士，要从事应用泛函分析的研究．刘１８一）女江助硕主
Ｖｏ．５，Ｏ．Ｉ２Ｎ３
Ｓｐ．，００ｅ２７
广义Ｃ半群的指数公式与逼近

关于C0算子半群的扰动和应用

Ｉｎｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇ，ｗｅｓｔａｔｅｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｃｏｎｃｒｅｔｅｌｙ．Ｉｎｔｈｅｓｅｃｔｉｏｎ２ｏｆＣｈａｐｔｅｒ２，ｔｈｅｙａｒｅｍｏｓｔｌｙｏｎｂｏｕｎｄｅｄｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓ，ｉ．ｅ，ａｓＢ＝Ａ＋Ｋ（Ｋ∈Ｂ（．ｘ）），ｗｈｅｔｈｅｒ△（ｔ）：＝Ｔ（ｔ）一ｓ（ｔ）ｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｏｒｎｏｔ．Ｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇ．Ｔｈｅｏｒｅｍ２．２．１．ＩｆＡ（ｔ）ｉｓｃｏｍｐａｃｔｆｏｒｔ＞ｔ０（ｔｏ≥ｏ），ｔｈｅｎＡ（ｔ）ｉｓｒｉｇｈｔｎｏｒｍ．ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｏｒｔ＞ｔｏ．Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ２．２．２．Ｉｆ（ｓ（ｔ））ｔ≥ｏｉｓｎｏｒｍｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｏｒｔ＞ｔｏ（ｔｏ≥０）ａｎｄ△（ｔ）ｉ８ｃｏｍｐａｃｔｆｏｒｔ＞ｔｏ，ｔｈｅｎＡ（ｔ）ｉｓｎｏｒｕｌｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｏｒｔ＞ｔｏ．Ｉｎｔｈｅｓｅｃｔｉｏｎ３ｏｆＣｈａｐｔｅｒ２，ｗｅｇｏｏｎｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇｔｈｅｎｏｒｍｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｏｆ△（ｔ）ｗｈｅｎｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂｉｎｇｏｐｅｒａｔｏｒｉｓｕｎｂｏｕｎｄｅｄ．Ｗｅｃａ丑ｓｔａｔｅｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓａｓｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：Ｔｈｅｏｒｅｍ２．３．２．Ｉｆ△（ｔ）ｉｓｃｏｍｐａｃｔｆｏｒｔ＞岛ａｎｄｎｏｒｍｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓａｔｔ＝０，ｔｈｅｎ△（ｔ）ｉｓｒｉｇｈｔｎｏｒｍｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｏｒｔ＞ｔｏ．Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ２．３．３．Ｉｆ△（０ｉ８ｃｏｍｐａｃｔｆｏｒｔ＞ｔｏ，ｎｏｒｍｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓａｔｔ＝０，ａｎｄ

广义c0半群的谱映射定理

广义c0半群的谱映射定理
广义C0半群的谱映射定理是一类半群的性质的描述。

首先，我们需要了解什么是C0半群。

一个C0半群是一个连续的函数与一个半群的结合。

设X是一个Banach空间，对于一个参数t（通常是非负的），定义一个函数T: [0,∞)×X→X为C0半群，满足以下条件：
1. T(0, x) = x，对于所有的x∈X；
2. T(t+s, x) = T(t, T(s, x))，对于所有的t,s≥0和x∈X；
3. 对于每个固定的x∈X，函数t→T(t, x)是连续的。

现在，我们可以来讨论广义C0半群的谱映射定理。

设T是一个C0半群，定义谱集为：
σ(T) = {λ∈C : T(λ)不存在逆元素}，
其中T(λ)是T半群的生成元。

谱映射定理表示，对于每个
λ∈σ(T)，我们有：
||(λI - T(λ))x||≥c||x||，
对于所有的x∈X，其中I是X上的恒等算子，c是一个与x
无关的常数。

换句话说，如果λ是谱集中的元素，那么T(λ)不是可逆的（没有逆元素），即λ不是T半群的特征值。

此时，存在一个常数c>0，使得对于任意的x∈X，通过算子λI - T(λ)作用在x上得到的结果不为零。

这个不等式表示了零空间中“范数最小”的非零元素存在的下界。

广义C0半群的谱映射定理是对一类特殊函数的性质的一种数
学描述。

它在数学和物理领域中有广泛的应用，尤其在描述线性发展的动力系统和一些抽象泛函方程的解的稳定性上。

C0-半群的概率型逼近

ｑｉｍｕｌａｉｎ，９７ｕｕＰｂｉｔｓ１５．ｃｏ
［］Ｐｅｆｒ．ＡｐｒｘｍａｉｎｔｅｒｔｓｅｔｏｒｂｂｌｔｅｒｓｎａｉｎｏｐｒｔｒｓｍｉｒｕｓＥ３ｏｒａｏ — ３ｆｅｉＤｐｏｉｔ＿ｈ０ｅｉａｐｃｓｆｐｏａｉｓｉｒｐｅｅｔｔｓｆｒｏｅａｏｅ — ｏｐＪ．ＪｕｎｌｆＡｐｏｃｉｃｏｇ
，
则对ＩＪ￡＜，ｏ＜ ≤ ，有
７ｋ／＂
￣ｌ
ｅ ≤
进而，当 ≥ １ａ￣（）ａ＞０时，５／（）有
ｅｐｔ｛￣ｅｘ
）．号
ｃ
｝，
（）１
Ｅ（ — Ｉ）２－（Ｉ一 ≤ ｎ号Ｕａ
２主要结论
ｒ
有厂∈ｘ－， ∈ 厂
为Ｂｒｌｏｅ可测的，若存在某元素．∈Ｂ（）使－（（）一Ｉ（（））ｔ对所有厂∈ ，ｘ，厂Ｊ厂）／ｓ・厂ｄＬ
Ｊｎ
ｒ
ｒ
ｘ厂， ∈ｘ成立，ｓ可积， — Ｉ为Ｓ的则称为Ｊｓ积分，是概率测度Ｐ，Ｅｓ一Ｊ— Ｉｄ若则称（）ＰＳ
Ｉ：ＣｏｌｕｉｌｏｑｕｍＰｕｂｌｃｔｏｉａｉｎｓ，４８１９．
［］ＨｉｅＥ，ｈｌｓｚｌＰｉｐＳ．Ｆｎｔｎｌｎｌｓｓｎｅｇｏｐ［．ＡｍｅｉｎＭａｈｍａｉｌｏｉｙＰｏｉｎｅＲＩＣｌ — ｌｌＲｕｃｉａａａｙｉａｄｓｍＶｒｕｓＭ］ｏｒａｔｅｔａＳｃｔ，ｒｖｄｃ，：ｏｌｃｃｅｅｏ

一类广义抽象柯西问题的适定笥

１广义Ｃ０半群的概念、质性
定义１５一族定义在Ｉａｈ空间Ｘ上的有界线性算子｛ｔ｝被称为Ｃ０群，果满足：［】￣ｎｃＴ（） ≥０半如
（Ｉ）０Ｔ（）＝ｊｊ为Ｘ上的恒等算子）（，
【ｘＯＣ（）＝ｃｙ
西问题。义抽象柯西问题（记为ＧＰ）的应用相当广泛，有文献运用半群的方法对此展开讨论但大广简ＡＣ已多仅限于Ｃ可逆的情形。比如文献［］２［］４１［］３［］给出了适定性的概念一些表达式和性质。然［］也论及了Ｃ不可逆的情形，并未给出适定性的条件。们这里主虽１但我
要研究Ｃ不可逆的情形。必要指出的是，于滞后型泛函微分方程（ＤＥ）有对Ｆ的研究，以尝试一种全新的方可
法来考察。如有界滞量的Ｆ例ＤＥ：（）＝Ａｘ（ｔｔ— ｒ（中Ａ为线性算子，（）为抽象函数，常数ｒ≥ ）其ｔｒ为０．令（）若）＝（）Ｅ［ｔ＋，一ｒ，］０，（）＝（）＝（）则上述Ｆ０ｔ，ＤＥ转化为（ｘ）Ａｘ这种Ｐ＝形式的无穷维广义系统。见，对（ＡＣ有了足够的认识，Ｆ可若ＧＰ）对ＤＥ的研究将带来极大帮助。本文通过对（ＡＣＧＰ）解算子的研究引入全新的概念一广义Ｃ０群，广义Ｃ０群的理论框架下，半在半得到了广义抽象柯西问题适定性的充要条件。

c—余弦函数及c—半群理论

c—余弦函数及c—半群理论
余弦函数和c-半群理论是数学领域中重要的结构。

两者在许多领域有着重要的应用，如线
性代数、图论、信号处理等。

余弦函数是连续函数，它将实数映射到实数上。

它表示为：cos（x）= sin（x+π/2）。

它
的图形以0为极值点，向两边递减，且关于x轴对称。

余弦函数的重要性主要表现在它的定义域，范围和极点的行为及其应用中。

c–半群是介于群与半群之间的结构，它结合了群的代数性质以及半群的耦合性特征，是数
学中一种重要的张量形式的结构。

C–半群的特别之处在于它可以用来描述复杂多变的物理
系统，可以作为各种物理系统（如量子力学系统）的数学解释。

余弦函数和c–半群理论都是数学领域中重要的构造，它们都是数学模型的重要支撑。

余弦函数可以用来描述和解释许多属性，而c–半群理论则是用来描述和解释复杂系统的数学解释。

两者都有着重要的应用，有助于改善现有数学模型，为数学研究提供适当的理论支持。

半群

Δ
a
b
c
a
a
b
c
b
aLeabharlann bcca
b
c
验证<S, Δ>是一个半群。
解从表5-3.1中可知运算Δ是封闭的，同时a,b和c都是左幺元。所以，对于任意的x,y,zS，都有
xΔ(yΔz)=xΔz=z=yΔz=(xΔy)Δz 因此，<S, Δ>是半群。
明显地，代数系统<I+，->和<R，/>都不是半群，这里，和/分别是普通的减法和除法。
当k=4时， *k的运算表如下：
*k 0 1 2 3 00000 10123 20202 30321
找出<Nk，*k>中的等幂元。 0和1都是等幂元。
例题2 设S={a,b,c}，在S上的一个二元运算Δ 定义如表5-3.1 所示。表5-3.1：
Δ
a
b
c
a
a
b
c
b
a
b
c
c
a
b
c
验证<S, Δ>是一个半群。
因S是一个有限集合，所以必存在 j>i，使得
bi = bj
令
p=j-i 即 j =p+i 代入上式：bi = bp bi
所以， bq = bp bq i≤q
因为p≥1所以总可以找到k≥1，使得 kp≥i ,
对于bkp S，就有 bkp = bp bkp = bp (bp bkp )
本例题的实例见表5-3.2和表5-3.3
(1)由运算+m和×m的定义，可知它们在Zm上都是封闭的。
(2)对于任意[i]，[j]，[k]Zm ([i]+m[j])+m[k]=[i]+m([j]+m[k])

指数有界C半群的逼近问题

ｒＩ｝ｏ。 —
则
Ｔ）＝（ ∑ （＋（，ｔｘｔ。））ｅ
其中Ｔｔｄ）ｘ＝Ｒｓ：Ａ（，）ｘｉ，，）这里Ｒ１１ＲＡｅｅＡＣ（：１２… ，Ｒｅ＋＜＜ｅ一ＥＥ．Ａ，＞０
证明由定理２知，Ｖ当ｘ∈Ｄ（时，Ａ）有
南京大学学报数学半年刊第２卷第２８期
２１年ｌ月０１１
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＡＮＪＮＧＩＵＮＩＶＥＲＳＴＹＩ
Ｖｏ．２Ｎｏ２１８，．
Ｎｏ，０１ｖ．２１
ＭＡＨＥＴＩＬＢＱＵＴＲＬＴＭＡＣＡＩＡＲＥＹ
Ｅ— ａｌｏｇｙ＠ｘｚｔｅｕｃｍｉ：ｒｎｔｉ．ｄ．ｎ
南京大学学报数学半年刊
２１年ｎ月０１
ＴｔＩＭｅ则称Ｃ半群｛（）０（ｌ），ｔｔ为指数有界Ｃ半群，）记作
｛（）０（）Ｔｔｔ ∈ａＭ，．）≥
ＦＡ＝／ｅａｔｔ（（ｄ，））
（）且Ｉ（＋ｈ一￡ｌＭｈ＋ｔ０贝０＝０ｆ）（ｌＱ）ｅ（Ｍ，ｈ，０，：＞㈤
且右端积分在ｔ的任何有限区间上是一致收敛的．
引理２】设Ａ是佗次积分Ｃ半群｛ｔｔ０的无穷小生成元，［。（；））且（０，）则对Ｖｘ∈Ｄ（）有Ａ，ＭｅｔＷ
第２期
荣嵘：指数有界Ｃ半群的逼近问题
为，在点ａ的留数，记为Ｒｓ：，。ｅ。（）

第十六章半群与独异点SemigroupandMonoid

26
扩展的有穷自动机
有穷半自动机: 三元组M*=<Q,Σ*,δ*>,Q 为有穷状态集, Σ*为Σ上的串的集合, δ* ： Q×Σ*Q为状态转移函数
有穷自动机：五元组M*=<Q,Σ*,Γ*,δ*, λ*>, Γ*为Γ上的串的集合,λ*: Q×Σ* Γ* 为输出函数
© Peking University
例. <N,+>,<Z,+>,<R,+> , <N,×>,<Z,×>,<R,×>, <P(B), ∩>,<P(B), ∪>,<P(B), >都是半群。
© Peking University
2
二. 独异点 ( Monoid )
1.独异点定义：设<M,>是个半群,如果对有幺元(identity) 。则称<M,>是个独异点，也称它是含幺半群。 <Z,+>,<R,+> 幺元是0 <Z,×>,<R,×> 幺元是1 <P(B), ∩>,幺元是B <P(B), ∪>,幺元是Φ <P(B), >幺元是Φ 所以它们都是独异点。
© Peking University
25
16.2有穷自动机(有限状态自动机)
有穷半自动机: 三元组M=<Q,Σ,δ>,Q为有穷状态集, Σ为有穷输入字符表,δ： Q×ΣQ为状态转移函数
有穷自动机：五元组M=<Q,Σ,Γ,δ, λ>, Γ 为有穷输出字符表,λ: Q×Σ Γ为输出函数
© Peking University

【国家自然科学基金】_c0半群_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803

科研热词可修复系统适定性耗散算子稳定性无穷小生成元抽象cauchy问题半群特征 volterra方程 c0压缩半群 c0半群理论 banach空间
推荐指数 2 1 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2011年科研热词耗散算子生成元广义c0半群谱分析特征模态渐近稳定指数稳定性复杂网络可靠性共因故障 co半群 c0半群推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词指数稳定性严格占优本征值马尔柯夫链谱增长阶耗散算子机器人本质谱无穷小生成元扰动对偶分支矩阵周期修复函数可修复系统压缩积分半群 hilbert空间 feller转移函数 c0压缩半群 c0半群
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
科研热词推荐指数可修系统 3 预解正算子 2 指数稳定性 2 范数连续性 1 算子的谱 1 稳态指标 1 直接紧性 1 生成定理 1 生成元 1 本征值 1 有界扰动 1 可靠性 1 可观测性 1 双连续c正则预解算子族 1 双参数c0半群 1 共尾 1 c0半群理论 1
科研热词无穷小生成元谱分析解展开时滞方程无穷维hamilton算子可闭化算子伴随积分算子半群伴随半群 ω *-连续可微性 co半群 c_0半群 c0压缩半群 c0半群 banach空间
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

多参数C0-半群拓扑与弱多参数C0-半群拓扑

第３８卷第２期２０１９年６月
延安大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹａｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ＤＯＩ：１０．１３８７６／Ｊ．ｃｎｋｉ．ｙｄｎｓｅ．２０１９．０２．０３２
Ｖｏｌ．３８Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２０１９
多参数Ｃ０半群拓扑与弱多参数Ｃ０半群拓扑
族Ｓ＝｛Ｐｔ：ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ≥０｝可以诱导出一个局部凸向量拓扑，记为 τ。
定义２由上述拟范数族Ｓ＝｛Ｐｔ：ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ｝诱导的Ｘ上的局部凸向量拓扑，称为多参数Ｃ０－半群拓扑，相应的局部凸线性拓扑空间记为（Ｘ，τ）。
定理１Ｘ上的多参数Ｃ０－半群拓扑弱于由范数所诱导的局部凸向量拓扑。
１预备知识
设（Ｘ，‖·‖）为Ｂａｎａｃｈ空间，（Ｘ，‖·‖）′为Ｘ的共轭空间，Ｂ（Ｘ）表示Ｘ上的有界线性算子全体。
定义１［８］设Ｉ∈Ｂ（Ｘ）为恒等算子，若（Ｘ，‖·‖）上的多参数算子族｛Ｔ（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ）｝ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ≥０Ｂ（Ｘ）满足：
（１）Ｔ（０，…，０）＝Ｉ；（２）Ｔ（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ）Ｔ（ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ）＝Ｔ［（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ）＋（ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ）］，ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ，ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ≥０；
收稿日期：２０１９０３２８基金项目：延安大学校级科研计划项目（ＹＤＫ２０１５－７５）作者简介：毕伟（１９８６—），男，陕西米脂人，延安大学编辑。
第２期多参数Ｃ０－半群拓扑与弱多参数Ｃ０－半群拓扑
３３
‖Ｔ（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ）ｘ‖ ＋‖Ｔ（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ）ｙ‖ ＝Ｐｔ（ｘ）＋Ｐｔ（ｙ）；Ｐｔ（αｘ）＝‖Ｔ（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ）（αｘ）‖ ＝ ‖αＴ（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ）ｘ‖ ＝ α‖Ｔ（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ）ｘ‖ ＝ αＰｔ（ｘ）。即Ｐｔ（ｘ）是Ｘ上的一个拟范数，从而由拟范数

离散数学第10章——半群与群

e a b c
e e a b c
a a e c b
b c b c c b e a a e
特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素
二、群的定义、术语、实例
定义10.2 (1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群. (2) 只含单位元的群称为平凡群. (3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔 (Abel) 群.
方法：根据定义验证，注意运算的封闭性
2. 设V1= <Z, +>, V2 = <Z, >,其中Z为整数集合, + 和分别代表普通加法和乘法. 判断下述集合S 是否构成V1和V2的子半群和子独异点. (1) S= {2k | kZ} (2) S= {2k+1 | kZ} (3) S= {1, 0, 1}
定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最
小正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元.
若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元. 例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元. 在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
(3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环. (4) 设Zn＝{0,1, ... , n－1}，和分别表示模n的加法和乘法，则<Zn,,>构成环，称为模 n的整数环.
定义10.13 设<R,+,· >是环
(1) 若环中乘法 · 适合交换律，则称R是交换环 (2) 若环中乘法 · 存在单位元，则称R是含幺环 (3) 若a,b∈R，ab=0 a=0∨b=0，则称R是无零因子环 (4) 若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R 是整环

Banach空间上最终范数连续半群的相对有界扰动

科教之窗Banach空间上最终范数连续半群的相对有界扰动张蒙蒙（江苏商贸职业学院基础教学部，江苏南通 226011）摘要：本文讨论了Banach 空间上的最终范数连续半群的相对有界扰动，获得了一个新的扰动定理。

关键词：C 0半群；最终可微；最终范数连续；相对有界在Banach 空间X 上如果存在使得对在一致算子拓扑下是连续的，则C 0半群叫做最终范数连续的。

设A ,B 均为X 中的线性算子，称B 是A 相对有界的（或相对紧的），如果，且是有界的（或紧的）。

文章通过半群生成元的Yosida 逼近的性质，得到了一个扰动定理。

1 准备知识X 是一个Banach 空间，为X 上的C 0半群，生成元为A。

为A 的Yosida 逼近，为A 在的预解式，。

引理1［2］是Banach 空间X 上的C 0半群，A 是其无穷小生成，则对是最终可微的充要条件是存在常数，使。

引理2是Banach 空间X 上的C 0半群，A 是其无穷小生成是最终可微的充要条件是：引理3［4］0，又设B 是A 相对有界的，且存在，使得，，生成C 0半群。

2 最终范数连续半群的相对有界扰动定理假设下列条件成立：（1）是Banach 空间上的C 0半群，A是其无穷小（2（3）X 上的线性算子B 是相对A 有界的，即：且，其中a ，b 为非负常数，。

（4）存在，使（如引理3中定义），且。

则对任意的，由生成的C 0半群对是范数连续的。

证明由（1）是Banach 空间上的C 0半群，A 是如文献［4］中引理3的证明中所定义：这里表示显然成立。

设：所以：（1）又由引理3的证明知：（2）则生成的C 0半群满足上述证明中的（1）-（3）式。

科教之窗。

续的。

上接第50页环境中，混凝土结构由于长期受到腐蚀等因素的影响而出现裂缝问题。

所以在实际中就要及时关注到所出现的裂缝，做好有效的处理工作，以此来保证施工的顺利进行，提升土木工程施工的质量。

2 裂缝处理措施2.1 保证配比上的合理性在开展混凝土施工中，所使用的骨料在吸收率较大时，且其中含泥量相对较高时，就会增加混凝土的干缩性。

几个典型的代数系统

编辑课件
17
例5、证明 G 是阿贝尔群当且仅当对a,bG， (ab)2 a2b2。
证明：设 G 为阿贝尔群，
则 a,bG，有 abba ，
故 (ab)2(ab)(ab)a(ba)b a (a b )b(a a )(b b )a 2 b 2
编辑课件
18
例5、证明 G 是阿贝尔群当且仅当对a,bG， (ab)2 a2b2。
x y(xy)m o dn， x y(xy)m odn。
编辑课件
36
二、域。
定义：环 F , , 满足：
(1) F 至少两个元素，
(2) F , 含有幺元， (3) F , 是可交换的， (4) F , 除加法幺元外，其余元素均有逆元，则称 F , , 为域。
编辑课件
37
例2、 Q , , ， R , , 都是域，但 Z , , 不是域，
证明：反之，设 a,bG，(ab)2 a2b2 ，即 (ab)(ab)(aa)(bb)，即 a(ba)ba(ab)b，由消去律，得 ba ab ，
故G 为阿贝尔群。
编辑课件
19
例6、如果 G 中的每一个元素 a 都满足 a 2 e ，
则 G 是阿贝尔群。
证明：a,bG ，由题设知，a 1 a ，b1 b，(ab)1 ab 从而 ab(ab) 1b 1a 1ba，
编辑课件
41
下图给出了格 S 8 , D ， S 6 , D ，S30 , D ，S36 , D
6 8
4
2
3
2
1
1
S 8,D
S6,D
编辑课件
42
下图给出了格 S 8 , D ， S 6 , D ，S30 , D ，S36 , D

指数有界双连续ｎ_阶ｍ_次积分Ｃ_群的指数公式

ｄｏｉ:１０１１９２０/ｘｎｍｄｚｋ２０２４０２０１２指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式贺凯丽ꎬ赵华新ꎬ刘娟娟(延安大学数学与计算机科学学院ꎬ陕西延安７１６０００)摘㊀要:利用经典算子半群理论中的研究方法ꎬ基于指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群和预解式的定义ꎬ给出指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群与其预解式间积分的表示关系ꎬ得到指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式ꎬ从而推广了ｎ阶ｍ次积分Ｃ半群的相关结果ꎬ丰富了算子半群理论的研究内容.关键词:双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群ꎻ指数公式ꎻ指数有界ꎻ预解式中图分类号:Ｏ１５２.７ꎻＯ１７７㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:２０９５￣４２７１(２０２４)０２￣０１９９￣０７收稿日期:２０２３￣０７￣１４通信作者:赵华新(１９６４￣)ꎬ男ꎬ教授ꎬ研究方向:泛函分析Ｅ￣ｍａｉｌ:ｙｄｚｈｈｘ８１５＠１２６ｃｏｍ基金项目:国家自然科学基金项目(７１９６１０３０)ꎻ延安大学研究生教改项目(ＹＧＹＪＧ２０１９０３３)Ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｆｏｒｍｕｌａｏｆｂｉ￣ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ￣ｔｈｏｒｄｅｒ￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ￣ｇｒｏｕｐｓｗｉｔｈｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓＨＥＫａｉ￣ｌｉꎬＺＨＡＯＨｕａ￣ｘｉｎꎬＬＩＵＪｕａｎ￣ｊｕａｎ(ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅꎬＹａｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＹａｎａｎ７１６０００ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｕｓｉｎｇｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｍｅｔｈｏｄｏｆｃｌａｓｓｉｃａｌｏｐｅｒａｔｏｒｓｅｍｉｇｒｏｕｐｔｈｅｏｒｙꎬｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆｂｉ￣ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｎ￣ｔｈｏｒｄｅｒｍ￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ￣ｇｒｏｕｐｓｗｉｔｈｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓａｎｄｒｅｓｏｌｖｅｎｔꎬｔｈｉｓｐａｐｅｒｇａｖｅｔｈｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｂｉ￣ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｎ￣ｔｈｏｒｄｅｒｍ￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ￣ｇｒｏｕｐｓｗｉｔｈｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓａｎｄｉｔｓｒｅｓｏｌｖｅｎｔＴｈｅｎｔｈｅｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｆｏｒ￣ｍｕｌａｏｆｂｉ￣ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｎ￣ｔｈｏｒｄｅｒｍ￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ￣ｇｒｏｕｐｓｗｉｔｈｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄＴｈｕｓｔｈｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｎ￣ｔｈｏｒｄｅｒｍ￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ￣ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓｗｅｒｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄａｎｄｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｃｏｎｔｅｎｔｏｆｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒｓｅｍｉｇｒｏｕｐｔｈｅｏｒｙｗａｓｅｎｒｉｃｈｅｄ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｂｉ￣ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｎ￣ｔｈｏｒｄｅｒｍ￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ￣ｇｒｏｕｐꎻｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｆｏｒｍｕｌａꎻｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓꎻｒｅｓｏｌｖｅｎｔ㊀㊀算子半群理论在泛函分析和实际问题中有着广泛的应用ꎬ经过多年的持续发展ꎬ算子半群种类不断丰实ꎬ许多学者对此作了大量研究工作[１￣３] 一方面ꎬ文献[４]中提出了双连续半群ꎬ王文娟等人在文献[５￣７]中提出双连续Ｃ半群ꎬ双连续ｎ次积分Ｃ半群和双连续α次积分Ｃ半群在此基础上ꎬ张明翠等人在文献[８]中提出ｎ阶α次积分Ｃ半群ꎬ在文献[９￣１２]中周阳等人将Ｃ半群推广到Ｃ群ꎬ给出指数有界双连续ｎ阶α次积分Ｃ群和指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ群的定义和其次生成元另一方面ꎬ文献[１３￣１６]分别讨论了广义Ｃ半群ꎬＣ半群ꎬ双参数Ｃ半群ꎬｎ阶ｍ次积分Ｃ半群和双参数ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式ꎬ对于指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式还尚未被研究本文在此理论基础上ꎬ将给出指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的定义和预解式ꎬ并得到指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式ꎬ从而进一步完善了双连续ｎ阶次积分Ｃ群的相关理论.１㊀预备知识西南民族大学学报(自然科学版)第５０卷㊀㊀文中假设为无限维的复Ｂａｎａｃｈ空间ꎬ是上的有界线性算子全体所组成的代数ꎬ为线性算子的定义域ꎬ是的共轭空间ꎬ是上的局部凸拓扑并具有以下性质:(ｉ)￣拓扑比￣拓扑粗且是Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ拓扑ꎻ(ｉｉ)空间在￣有界集上序列完备ꎬ即对每个￣有界的柯西列在中收敛ꎻ(ｉｉｉ)空间中的范数可以由空间定义即对于ꎬ有:.记ꎬ不失一般性ꎬ假设ꎬꎬ.设ꎬꎬꎬ当且仅当存在使ꎬ.２㊀基本概念和引理㊀㊀定义１[６]㊀设ꎬ若对每个范数有界序列ꎬ当ꎬ有ꎬ则算子称为双连续的.定义２[６]㊀设ꎬ若存在ꎬ使ꎬ成立ꎬ则算子族称为指数有界的.定义３㊀设为单射ꎬꎬꎬ若存在闭线性算子ꎬ满足:(ｉ)ꎬꎬꎻ(ｉｉ)存在闭线性算子ꎬ使得:ꎬꎬꎬꎻꎬꎬꎻ(ｉｉｉ)￣连续ꎬ即对映射:￣连续ꎻ(ｉｖ)等度双连续ꎬ即对任意ꎬ若对每个范数有界序列且ꎬ则有一致成立ꎻ(ｖ)存在ꎬꎬ使得ꎬ.００２第２期贺凯丽ꎬ等:指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式㊀称是指数有界双连续ｎ阶次积分Ｃ群ꎬ其中为其次生成元.定义４㊀若为定义在Ｂａｎａｃｈ空间上的有界线性算子ꎬ则称为指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的次生成元的正则点ꎬ是的预解式的正则点的全体称为的Ｃ预解集ꎬ记做.引理１[６]㊀.引理２[６]㊀设是一￣连续函数ꎬ且ꎬꎬ且为整数ꎬ则有:.３㊀主要结果㊀㊀定理１㊀设ꎬ为单射ꎬ次生成指数有界双连续ｎ阶次积分Ｃ群ꎬ则当时ꎬ有:.证明㊀由于指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的次生成元为ꎬꎬꎬ是￣连续的ꎬ所以有:.用同时作用于等式两端ꎬ对于ꎬ由定义３可得:＝＝.即:.对于ꎬ得:.则:１０２西南民族大学学报(自然科学版)第５０卷ꎬ.因此ꎬ根据定义４有:ꎬ.定理２㊀设次生成指数有界双连续ｎ阶次积分Ｃ群ꎬ存在ꎬꎬ使得ꎬ若对ꎬꎬ则有:ꎬ其中.证明㊀因为为指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的次生成元ꎬ所以由定理１可得:.下面对上式右端进行分部积分ꎬ当时:＝㊀.由指数有界性及双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的性质有:.其中:ꎬ.即:.因此有:.假设当时ꎬꎬ成立.则当时ꎬ＝２０２第２期贺凯丽ꎬ等:指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式㊀.类似于的情形ꎬ由指数有界性及双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的性质有:ꎬ因此有:ꎬ也成立.因此原命题对成立.定理３㊀(指数公式)设为闭线性算子ꎬ次生成指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群ꎬ存在ꎬꎬ使得ꎬ则对ꎬ有:ꎬ且等式中的极限对在任意有界区间上是一致的.证明㊀由定理２可得ꎬ对于ꎬꎬ有:㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(１)将(１)式右端对连续求次导数ꎬ可得:(２)且有:＝＝＝.＝＝＝＝３０２西南民族大学学报(自然科学版)第５０卷.再由:＝＝＝.即有:.对关于求次导数ꎬ可得:㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(３)由(２)式和(３)式可得:.令ꎬꎬ代入上式可得:ꎬ.由引理１可得:＝㊀.再由引理２可得:.故:４０２第２期贺凯丽ꎬ等:指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式㊀.推论１㊀设为闭线性算子ꎬ次生成指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群ꎬ存在ꎬꎬ使得ꎬ则对ꎬ有:＝ꎬ且等式中的极限对在任意有界区间上是一致的.证明㊀由定理３可得:.对上式两端同时取次积分ꎬ可得:＝＝.参考文献[１]ＰＡＺＹＡＳｅｍｉｇｒｏｕｐｓｏｆｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｍ].ＮｅｗＹｏｒｋ:ＳｐｒｉｎｇＶｅｒｌａｇꎬ１９８３.[２]宋晓秋应用泛函分析[Ｍ].江苏徐州:中国矿业大学出版社ꎬ２０１３.[３]黄永忠算子半群与应用[Ｍ].湖北武汉:华中科技大学出版社ꎬ２０１１.[４]ＫＵＨＮＥＭＵＮＤＦＡＨｉｌｌｅ￣ＹｏｓｉｄａｔｈｅｏｒｅｍｆｏｒＢｉ￣ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ[Ｊ].ＳｅｍｉｇｒｏｕｐＦｏｒｕｍꎬ２００３ꎬ６７(２):２０５￣２２５.[５]王文娟双连续Ｃ￣半群[Ｄ].安徽芜湖:安徽师范大学ꎬ２００５.[６]常胜伟双连续ｎ次积分Ｃ￣半群[Ｄ].陕西延安:延安大学ꎬ２００８.[７]卢娜双连续α次积分Ｃ￣半群[Ｄ].陕西延安:延安大学ꎬ２０１０.[８]张明翠ꎬ宋晓秋ꎬ黄翠ｎ阶α次积分Ｃ半群[Ｊ].常熟理工学院学报(自然科学)ꎬ２０１４ꎬ２８(４):３３￣３７.[９]周裕然ꎬ赵华新ꎬ周阳指数有界双连续ｎ阶α次积分Ｃ半群的生成定理[Ｊ].河南科学ꎬ２０２０ꎬ３８(６):８６１￣８６４.[１０]周阳ꎬ赵华新ꎬ周裕然指数有界双连续ｎ阶α次积分Ｃ群的次生成元及其性质[Ｊ].延安大学学报(自然科学版)ꎬ２０２０ꎬ３９(４):８４￣８６.[１１]赵丹丹ꎬ赵华新双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的预解集[Ｊ].河南科学ꎬ２０１９ꎬ３７(５):６８９￣６９２.[１２]周阳ꎬ赵华新ꎬ周裕然指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ群的次生成元及其性质[Ｊ].延安大学学报(自然科学版)ꎬ２０２０ꎬ３９(３):９￣１２＋１５.[１３]刘嫚ꎬ宋晓秋ꎬ廖大庆广义Ｃ半群的指数公式与逼近[Ｊ].徐州师范大学学报(自然科学版)ꎬ２００７(３):３２￣３４＋３９.[１４]赵拓ꎬ赵华新ꎬ徐敏Ｃ半群和双参数Ｃ半群的指数公式[Ｊ].天津师范大学学报(自然科学版)ꎬ２０１３ꎬ３３(４):１３￣１５.[１５]刘乔乔ꎬ赵华新ｎ阶ｍ次积分Ｃ半群的指数公式[Ｊ].江西科学ꎬ２０２１ꎬ３９(３):４３６￣４３８＋４７３.[１６]白洋ꎬ赵华新双参数ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式[Ｊ].数学的实践与认识ꎬ２０２３ꎬ５３(３):２２９￣２３５.(责任编辑:张阳ꎬ付强ꎬ和力新ꎬ肖丽ꎻ英文编辑:周序林ꎬ郑玉才)５０２。

C0-半群拓扑(Ⅰ)

C0-半群拓扑(Ⅰ)
赵华新
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2006(022)003
【摘要】利用有界线性算子半群,引入了一新的局部凸向量拓扑,并对其基本性质进行了讨论.
【总页数】4页(P420-423)
【作者】赵华新
【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西,延安,716000
【正文语种】中文
【中图分类】O177.31
【相关文献】
1.弱双参数C0-半群拓扑 [J], 毕伟;贺小林
2.双参数C0-半群拓扑 [J], 毕伟
3.弱C0-半群拓扑 [J], 赵华新;常胜伟
4.广义C0-半群拓扑 [J], 王晓梦;赵华新;常胜伟
5.多参数C0-半群拓扑与弱多参数C0-半群拓扑 [J], 毕伟
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。