第21讲 直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个角度为90度的直角。
勾股定理是直角三角形中一条重要的几何定理，它描述了直角三角形三条边之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨直角三角形和勾股定理的相关内容。
一、直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形中包含一个角度为90度的角。
这个角被称为直角。
直角三角形的其他两个角度则被称为锐角和钝角。
直角三角形的特点是，它的两条边相互垂直。
二、勾股定理的定义勾股定理是直角三角形中的一条定理，表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表达式为：a² + b² = c²，其中a和b 表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。
勾股定理可以用来计算直角三角形中任意一条边的长度，只要已知其他两条边的长度即可。
三、勾股定理的应用勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。
下面举几个例子来说明：1. 测量距离：假设你想要测量两个不相邻点之间的距离，但是这两个点之间有一片湖泊无法直接测量。
你可以选择一个合适的位置作为测量起点，然后以直角三角形的形式测量出湖泊的宽度和起点到目标点的距离，再利用勾股定理计算出两个目标点之间的距离。
2. 建筑斜坡：在建筑设计中，经常会遇到需要设计斜坡的情况。
假设你需要设计一个台阶高度为a，长度为b的斜坡，你可以应用勾股定理计算出斜坡的斜边长度，以确定所需材料的长度和角度。
3. 导航和航空：导航和航空领域利用勾股定理来计算飞机或船只的航行距离和角度，以便安全导航和飞行。
四、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。
毕达哥拉斯定理是勾股定理的一个特例，即当直角三角形的两条直角边长度分别为3和4时，斜边的长度为5。
根据毕达哥拉斯定理，我们可以推导出勾股定理的一般表达式。
证明过程略。
五、总结直角三角形和勾股定理是几何学中的重要概念和定理。
直角三角形的定义是包含一个90度角的三角形，而勾股定理则描述了直角三角形的三边之间的关系。
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理在数学中，直角三角形是一种特殊的三角形，具有一个角度为90度的直角。
与直角三角形相关的一个重要定理就是勾股定理。
下面将介绍直角三角形以及勾股定理的相关内容。
一、直角三角形的定义和性质直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在直角三角形中，直角位于两条边的交汇处，我们通常将直角对边称为斜边，另外两条边分别称为直角边。
直角三角形的性质如下：1. 直角三角形的两个直角边相互垂直。
2. 直角三角形的斜边是直角边长度的最大值。
3. 直角三角形中，任意一个角的正弦、余弦和正切值都可以通过三角函数来表示。
二、勾股定理的介绍和应用勾股定理是描述直角三角形边长关系的重要定理，它表明直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表达式为：c² = a² + b²其中，a和b代表直角三角形的直角边的长度，c代表斜边的长度。
勾股定理有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 求解直角三角形的边长利用勾股定理，我们可以根据直角三角形的两个直角边的长度求解斜边的长度，或者根据斜边的长度求解直角三角形的直角边长度。
这在实际生活中经常用到，比如测量房间的对角线长度、计算建筑物的高度等。
2. 判断直角三角形通过勾股定理，我们可以判断一个三边长度符合勾股定理的三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三边长度满足a² + b² = c²，那么这个三角形就是一个直角三角形。
3. 计算三角形的面积对于已知两个直角边的直角三角形，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度，然后再利用三角形的面积公式求解三角形的面积。
三角形的面积公式为：S = 1/2 * a * b，其中S代表三角形的面积，a和b分别代表直角三角形的直角边的长度。
总结：直角三角形与勾股定理是数学中的基础概念和定理，它们在实际生活中有很多应用。
直角三角形的定义和性质以及勾股定理的介绍和应用都是我们学习数学时必须了解和掌握的内容。
中考数学一轮复习第21讲直角三角形与勾股定理教
第20讲:直角三角形与勾股定理一、复习目标（1）掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质。
（2）掌握角平分线性质的逆定理。
（3）掌握勾股定理及其逆定理。
二、课时安排1课时三、复习重难点直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形全等的判定及其应用。
四、教学过程（一）知识梳理直角三角形的概念、性质与判定b，外接圆勾股定理及逆定理互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互命题、定义、定理、公理述，作出_______（二）题型、技巧归纳考点一：利用勾股定理求线段的长度技巧归纳：勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．考点2实际问题中勾股定理的应用技巧归纳：利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．考点3勾股定理逆定理的应用技巧归纳：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．考点4定义、命题、定理、反证法技巧归纳：只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．（三）典例精讲例1 将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图21－1，则三角板的最大边的长为( )A、3CMB、6CMC、CMD、CM[解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝2AB＝62(cm)．例2 一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点B1到最短路径的距离．解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和．。
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理是初中数学中重要的概念和定理。
直角三角形是指一个角为直角（90度）的三角形，而勾股定理是指直角三角形的一条关于三边之间关系的定理。
在本文中，我们将探讨直角三角形的性质及勾股定理的应用。
一、直角三角形的性质直角三角形具有一些特殊的性质，下面将介绍其中几个重要的性质。
1. 直角三角形的两条直角边直角三角形的两条直角边分别称为直角边和斜边。
直角边是直角三角形中与直角相邻的两条边，斜边则是直角三角形的另一边。
直角边之间的关系是垂直的，而斜边则是直角三角形最长的一条边。
2. 直角三角形的两个锐角除直角外，直角三角形的其他两个角必定是锐角。
由于三角形的内角和为180度，所以直角三角形的两个锐角之和为90度。
3. 直角三角形的边长关系根据直角三角形的边长关系，如果直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有勾股定理成立，即a² + b² = c²。
二、勾股定理的应用勾股定理是直角三角形中最为重要的定理之一，它的应用非常广泛。
下面将介绍勾股定理在求解三角形边长和判断三角形形状方面的应用。
1. 求解三角形的边长通过勾股定理，我们可以利用已知的两条边的长度，求解第三边的长度。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算出斜边的长度：3² + 4² = 5²，即斜边的长度为5。
2. 判断三角形形状利用勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，即a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。
通过勾股定理，我们可以准确地判断三角形的形状。
三、勾股定理的证明勾股定理的证明可以通过几何方法和代数方法来完成。
其中，最著名的证明是毕达哥拉斯的证明，下面将简要介绍这个证明。
毕达哥拉斯的证明思路是基于平行线的性质和面积的相等关系。
2020届中考数学直角三角形与勾股定理相似三角形及其应用
第21讲：直角三角形与勾股定理一、夯实基础1.在△ABC 中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC 的长约为(精确到0.1)（ ） A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.52.如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ）A 2m B.3m C.6m D.9m3. 已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？A ． 100B ． 180C ． 220D ． 2604. 将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为A. 3cmB. 6cmC. 32cmD. 62cm5.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是O（第2题图）（A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）76. 如图3，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A ．21 B ．2 C ．3 D ．4图3A 'CBADE二、能力提升7.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行；全套资料联系QQ/微信：1403225658 ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3． 若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是 ．9. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为2米，坡角∠A ＝30°,∠B ＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE ＝ 米时,有DC 2＝AE 2＋BC 2.10. 把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +=”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：。
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理直角三角形是指其中一角为90度（直角）的三角形。
勾股定理是与直角三角形密切相关的定理，它描述了直角三角形中，直角边与斜边之间的关系。
在本文中，我们将讨论直角三角形和勾股定理，以及它们在几何学和实际生活中的应用。
1. 直角三角形的定义与特性直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度。
根据直角三角形的特性，我们可以得出以下结论：1.1 斜边：斜边是直角三角形中与直角不相邻的边，它是直角边的对边。
1.2 直角边：直角边是直角三角形中与直角相邻的边，我们通常将直角三角形的两个直角边分别称为“邻边”和“对边”。
1.3 邻边：邻边是直角三角形中与直角相邻的边，即与直角边共同组成直角的两条边之一。
1.4 对边：对边是直角三角形中与直角相邻的边，即与直角边共同组成直角的两条边之一。
2. 勾股定理的表述与证明勾股定理是描述直角三角形中直角边与斜边之间关系的定理。
它的数学表达式为：在一个直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方。
数学表达式：c² = a² + b²其中，c代表斜边的长度，a和b分别代表直角三角形的两个直角边的长度。
证明勾股定理可以采用多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明方法。
毕达哥拉斯证明利用了平方的几何性质，通过构建几个平方，并运用几何关系，得出了直角边与斜边之间的数学关系。
3. 勾股定理的应用勾股定理在几何学和实际生活中有广泛的应用。
以下是几个勾股定理的应用例子：3.1 测量直角三角形的边长：通过已知直角边的长度，可以利用勾股定理计算出斜边的长度或其他边的长度。
3.2 解决平面几何问题：在平面几何中，利用勾股定理可以求解各种与直角三角形相关的问题，如角度、面积等。
3.3 应用于物理学和工程学：勾股定理在物理学和工程学中有广泛的应用，例如在测量、导航和建筑设计中常用到勾股定理。
4. 直角三角形的性质及应用举例除了勾股定理，直角三角形还具有其他一些重要的性质。
中考数学复习方案第四单元三角形第21课时直角三角形及勾股定理
故答案是:4 5或 10.
第二十五页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
考向二 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的应用
例2 [教材(jiàocái)题]一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上,梯子的底部离建筑物0.7米,如果
梯子的顶部滑下0.4米,梯子的底部向外滑出多远?
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
题组二
易错题
【失分点】
直角的不确定引起的分类讨论;求最短距离时,将立体(lìtǐ)图形展开成平面图形求解.
6.[2018·东营]如图 21-2 所示的圆柱的高 AB=3,底面直径 BC=3,现在有一只蚂蚁
想从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食,则它爬行的最短距离是 (
A.3 1 + π
的中点,连接BM,MN,BN, ∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,则BN的长为
.
高
频
考
向
探
究
图21-6
第二十二页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
[答案] 2
1
[解析]在△ CAD 中,∵M,N 分别是 AC,CD 的中点,∴MN∥AD,MN= AD,
2
1
在 Rt△ ABC 中,∵M 是 AC 的中点,∴BM= AC=1.
∵∠ACB=45°,∴AF=CF=1,
∴DF= 2 - 2 = 3,
∴CD=DF-CF= 3-1.
第21讲┃直角三角形与勾股定理
条件 结论 每个命题都由 ______和______ 两个部分组成
公认的真命题称为________ 公理
除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理 的过程称为________ 定理 证明 ．经过证明的真命题称为________
第21讲┃直角三角形与勾股定理
归 类 探 究
探究一 直角三角形性质
图 21－6 请解答下列问题： 3； (1)S1＝________ 1＋ 3 3n －1 8 1＋ · (n 为整数) (2)通过探究，用含 n 的代数式表示 Sn，则 Sn＝ ________________. 8 4
第21讲┃直角三角形与勾股定理
考点2 勾股 定理 勾股 定理 的逆 定理 勾股数 勾股定理及逆定理 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c 2＋b2＝c2 的平方．即：a ________ 如果三角形的三边长a、b、c有关系： 逆定 2 a________ ＋b2＝c2 ，那么这个三角形是直角三角 理 形 (1)判断某三角形是否为直角三角形；(2) 用途 证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问 题 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称 为勾股数
图 21－5
第21讲┃直角三角形与勾股定理
解
1 析 第 1 个三角形的面积为1， 第 2 个三角形的面积为 2 2
2
1 2 × ( 2) ＝1，第 3 个三角形的面积为 × 2 ＝2，第 4 个三 2 1 1 2 2 角形的面积为 × ( 8) ＝4，第 5 个三角形的面积为 × 4 2 2 1 ＝8， 故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 2 31 ＋1＋2＋4＋8＝ . 2
第21讲┃直角三角形与勾股定理
勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三 边； (2)已知直角三角形的一边求另两边的关系； (3)用 于证明平方关系的问题．
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个内角为直角（度数为90度），这个特性使得直角三角形与勾股定理存在紧密的联系。
勾股定理是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形中三边之间的关系。
在本文中，我们将探讨直角三角形与勾股定理之间的关系以及一些应用例题。
一、直角三角形的定义和性质直角三角形是由三条边组成的三角形，其中一个内角为90度。
直角三角形的另外两个内角为锐角或钝角。
直角三角形的特性包括：1. 直角三角形的两条边相互垂直。
2. 直角三角形的两条直角边可以作为直角三角形的高和底。
3. 直角三角形的斜边是其他两条边的平方和的平方根。
二、勾股定理的定义和证明勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的。
勾股定理描述了直角三角形中三边之间的关系，它的公式如下：斜边的平方 = 直角边1的平方 + 直角边2的平方即c² = a² + b²其中，c代表直角三角形的斜边，a和b代表直角三角形的两条直角边。
勾股定理的证明有多种方法，其中一种常见的证明方法是通过几何图形推导得出。
三、直角三角形与勾股定理的应用1. 解决三角形的边长问题：有时候我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度，要求计算斜边的长度，就可以直接使用勾股定理来解决。
例如，如果一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，我们可以通过勾股定理来计算斜边的长度：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度为5。
2. 判断三角形的形状：在有些情况下，我们已知三角形的边长，但不确定它是不是直角三角形。
此时，我们可以利用勾股定理来判断。
例如，如果一个三角形的三边长度分别为5、12、13，我们可以通过勾股定理判断：5² + 12² = 25 + 144 = 169，而13² = 169，说明这个三角形是一个直角三角形。
精选-中考数学总复习第四单元三角形第21课时直角三角形与勾股定理课件
(1)把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题,所以每个命题都有逆命题.
(2)原命题成立,其逆命题不一定成立
若一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为 互逆定理
互逆定理
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4
课前双基巩固 考点四 命题、定义、定理、公理
定义
在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描述,做出明确的规定,也就是给它 们下定义
第 21 课时 直角三角形与勾股定理
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1
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 直角三角形的概念、性质与判定
定义
性质
判定 常见 结论
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有一个角是①
直角
的三角形叫做直角三角形
(1)直角三角形的两个锐角② 互余
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的③ 一半
(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的④ 一半
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精选中小Hale Waihona Puke 课件7课前双基巩固
3. [七下 P161 习题第 1(2)题改编] 已知命题:“自然数是整数.”写
出它的逆命题:
.该逆命题是
(填
“真”或“假”)命题.
[答案] 整数是自然数 假 [解析] 交换原命题的条件和结论,可得 到其逆命题.举一个反例,可说明这是一 个假命题,如“-2 是整数,但-2 不是自然 数”,可知该逆命题为假命题.
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课前双基巩固 考点二 勾股定理及逆定理
勾股定理 直角三角形两直角边 a,b 的平方和等于斜边 c 的平方,即① a2+b2=c2
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（也称为直角）。
直角三角形的性质可以用到数学中著名的勾股定理。
在本文中，我们将深入讨论直角三角形的特征和勾股定理的原理及应用。
一、直角三角形的特征直角三角形由三条边构成，其中一条边为直角边，与直角相对的两条边称为两腿。
下面我们将介绍直角三角形中著名的性质。
1. 勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两腿的平方之和。
假设直角三角形的两腿分别为a和b，直角边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。
2. 边界性质直角三角形中，较长的一边称为斜边，而斜边是直角三角形中的最长边。
根据勾股定理，斜边的长度为两腿长度平方和的平方根。
3. 角度性质直角三角形中，另外两个角称为锐角和钝角。
锐角是指小于90度的角度，钝角则是大于90度的角度。
在直角三角形中，锐角和钝角的和必定为90度。
二、勾股定理的应用勾股定理具有广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的问题时非常有用。
下面我们将介绍几个应用例子：1. 求解缺失的边长当已知一个直角三角形的两腿长度时，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度。
例如，如果一个直角三角形的两腿长度分别为3和4，我们可以计算斜边的长度：c = √(3^2 + 4^2) = 5。
2. 判断三角形是否为直角三角形我们可以应用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果三条边的边长满足勾股定理，那么这个三角形就是直角三角形。
3. 应用于几何问题勾股定理在解决几何问题时也非常实用。
例如，当我们知道一个平面上的直角三角形的斜边长度和一个锐角的大小，可以利用勾股定理求解另外两个角的大小。
总结：直角三角形和勾股定理是数学中重要的概念和工具。
直角三角形的特征和勾股定理的原理帮助我们解决各种与三角形相关的问题。
通过合理运用勾股定理，我们可以计算边长、判断三角形类型以及解决几何问题。
深入理解和熟练掌握直角三角形和勾股定理的原理和应用，对于数学学习及实际生活中的几何问题都具有重要意义。
中考数学冲刺复习课件：第21课时直角三角形和勾股定理
第21课时 直角三角形和勾股定理课时作业
一、选择题
1.(2014•黄石)如图21-1，一个矩形纸片，剪去部分后得到
一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是( C )
A．30°
B．60° C．90°
D．120°
2.如图21-2，△ABC与△ABD是直角三角形，点F是AB的中点
，若CF=8，则DF的长为( C )
第21课时 直角三角形和勾股定理
4.(2014•西宁)如图21-8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30° ，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说 法错误的是( D )
A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED
提示：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠CAD=∠BAD=∠B， ∴AD=BD，AD=2CD， ∴BD=2CD， 根据已知不能推出CD=DE， 即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确．
A．49
B．25
C．13
D．1
提示：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，
则四个直角三角形的面积和是25－1=24，即4× ab=24，
即2ab=24，a2+b2=25，
则(a+b)2=25+24=49．
5.(2013•济南)如图21-5，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端
，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆
8.在△ABC中，若BC边上的中线AD= BC， 则该三角形的形状为( B )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
9.在下列选项中，已知三角形三边长，能
2013届华东师大版数学全国中考复习方案第21讲直角三角形与勾股定理
图 21－ 5
第21讲┃ 回归教材
请解答下列问题： 3 ； (1)S1＝________ 1＋ 8 (2)通过探究，用含 n的代数式表示 Sn，则Sn＝ 3 3 n － 1 ________________. (n为整数) 1＋ 8 · 4
第21讲┃ 归类示例
勾股定理的作用： (1)已知直角三角形的两边求第三 边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证 明平方关系的问题．
第21讲┃ 归类示例 ► 类型之二 实际问题中勾股定理的应用
命题角度： 1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题．
第21讲┃ 归类示例
如图 21－ 2，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙 面和地面均没有缝隙 )，有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面 爬到柜角 C1处．
定义 分类
第21讲┃ 考点聚焦 考点4 互逆命题、互逆定理
互逆 命题 互逆 定理
如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把 这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其 中一个叫做 ________ 原命题 ，那么另一个叫做它的 ________ 逆命题 若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这 逆定理 ，称这两个定理为互逆定理 个定理的 ________
第21讲┃ 归类示例
[解析 ] 根据题意画出相应的图形，如图所示：
在 Rt△ ABC中， AC＝ 9， BC＝ 12， 根据勾股定理得： AB＝ AC2＋BC2＝ 15，过 C作 CD⊥ AB，交 AB于点 D， 1 1 又 S△ ABC＝ AC· BC＝ AB· CD， 2 2 AC·BC 9× 12 36 ∴ CD＝ ＝ ＝ ， AB 15 5 36 则点 C到AB的距离是 . 5 故选 A.
图 21－ 2 (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当 AB＝ 4， BC＝ 4， CC1＝ 5时，求蚂蚁爬过的最短路径 的长； (3)求点 B1到最短路径的距离．
21勾股定理及证明
初中数学勾股定理及其证明编稿老师蔡宝霞一校杨雪二校黄楠审核隋冬梅【考点精讲】知识点1 勾股定理如果直角三角形中两条直角边为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2。
注意：勾股定理应用的前提条件必须是直角三角形，解题时，只能是在同一直角三角形中，才能利用它求第三边的长。
知识点2 勾股定理的证明对于勾股定理的内容，世界上几个文明古国相继发现和研究过这个定理，并给出了勾股定理的许多证明，有人统计，现在世界上已找出370多种运用图形的割、补、移、拼表示出方法指导思想手段目的拼图法数形转换图形的拼补各部分面积和等于整体面积，整理变形推导出勾股定理。
【典例精析】例题1如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b。
利用这个图试说明勾股定理。
思路导航：根据大正方形面积＝四个相同直角三角形面积＋小正方形面积，得c2＝4×12ab＋（a－b）2即得c2＝a2＋b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理。
点评：应用图形的面积关系证明勾股定理内容时，通常是根据图形的面积和差之间的关系建立等式，从而推导得出勾股定理的内容。
例题2 观察探究：小明同学非常细心，火柴盒在桌面上倒下，便启迪他得到很多发现。
如图，火柴盒的一个侧面ABCD沿逆时针方向倒下后到AB′C′D′的位置，连接CC'′。
设AB＝b，BC＝a，AC ＝c。
（1）他在学习了因式分解后，意外地发现，代数式a2－b2表示了图中一个长方形的面积，请你把这个长方形画完整，并把它指出来；（2）学过勾股定理之后，他又惊奇地发现，利用四边形BCC′D′的面积可以得到证明勾股定理的新方法，请你利用这个四边形的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2。
思路导航：（1）根据题意作出长为（a＋b），宽为（a－b）的长方形图形；（2）四边形BCC′D′的面积从大的方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式即为所求，如图所示。
第21讲 直角三角形与勾股定理
第21讲 │ 考点随堂练
1.已知x、y为正数，且│x2－4│＋(y2－3)2＝0，如果以x、y的长为 直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长 的正方形的面积为( C ) A．5 B．25 C．7 D．15
[解析] 由│x2－4│＋(y2－3)2＝0得，x2－4＝0，y2－3＝0， 即x2＝4，y2＝3.设斜边长为c，则c2＝3＋4＝7，故正方形的面 积为7.
第21讲 │ 考点随堂练
考点2 直角三角形的判定方法
直角 互余
c2
第21讲 │ 考点随堂练
5.[2010· 湛江]下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( C A．1,2,3 B．2,3,4 C．3,4,5 D．4,5,6
[解析] 因为32＋42＝52.
)
6．三角形的三边长为a、b、c，且满足(a＋b)2＝c2＋2ab， 则这个三角形是( C ) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
第21讲 │ 考点随堂练
2．如图21－1，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a， b，c的大小关系是( C ) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
图21－1
[解析] 根据勾股定理，b＝AC＝ 32＋42 ＝5，a＝BC＝ 12＋42＝ 17，c＝AB＝4.因为5> 17>4，所以c<a<b.
第21讲 │ 归类示例
又∵∠BDC＝∠CEB＝90° ，AO＝AO. ∴△ADO≌△AEO(HL)． ∴∠DAO＝∠EAO. ∴点 O 在∠BAC 的角平分线上．
要证明三角形是等腰三角形：(1)需证明三角形的两边相 等；(2)证明有两个角相等，等角对等边．
第21讲 │ 归类示例
第21讲直角三角形
∴BE=
BD=
×3=3
，
故选 D．
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考 点 知 识 精 讲
中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
考 点 训 练
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1．已知在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则 BC∶AC∶AB
考的值为( C )
点 A．1∶2∶3
AB
左边阴影部分的面积为
S1，右边阴影部分的
面积和为 S2，则( )
举
A．S1＝S2 B．S1<S2
一 反
C．S1>S2 D．无法确定
三
【解析】∵AB2＝BC2＋AC2，∴π(A2B)2＝π·(B2C)2＋π·(A2C)2，
考 点
∴S1＝S2.
训 练
【答案】A
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精
讲( )
中
考
典
例
精
析
举 A．30° B．45° C．60° D．75°
一
反
三
【解析】α＝30°＋45°＝75°.
考
点 训 练
【答案】D
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考 点 知 识 精 讲
中
考
典 例
9．(预测题)如图，在 Rt△ABC 中，以三边 AB、BC、CA 为直径
精 析
向外作半圆，设直线
精 析
3 A.2
7 B.6
25 C. 6
D．2
举 【解析】连结 AE，∵DE 垂直平分 AB，∴AE＝BE.设 CE＝x，
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理直角三角形是数学中一个重要的概念，它与勾股定理有着密切的关系。
下面将对直角三角形和勾股定理进行详细的介绍和论述。
一、直角三角形的定义直角三角形是由一个直角和两个锐角组成的三角形。
直角指的是一个角度为90度的角。
在直角三角形中，直角位于三角形的底边上。
二、勾股定理的表述勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
以三条边分别为a，b，c，直角边长度为c，非直角边的长度为a和b，则有公式：```c^2 = a^2 + b^2```三、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。
该证明可以用几何方法、代数方法和三角方法进行。
1. 几何证明：通过构造三个相似三角形和应用勾股定理的变形，可以得到勾股定理的几何证明。
2. 代数证明：通过应用平方差公式和对角线平方和的关系，可以得到勾股定理的代数证明。
3. 三角证明：通过应用正弦定理、余弦定理和正切定理等三角函数的关系，可以得到勾股定理的三角证明。
四、勾股定理的应用勾股定理是应用广泛的数学定理之一，具有重要的实际意义。
它在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
1. 测量直角三角形的边长：当已知直角三角形中的两条边长时，可以通过勾股定理计算出第三条边的长度。
2. 判断三条边是否能构成直角三角形：根据勾股定理，如果三条边的关系符合勾股定理的条件，则可以判断这三条边能够构成直角三角形。
3. 解决实际问题：勾股定理可以用于计算实际问题中的距离、速度、力的大小等。
五、勾股定理的发展历史勾股定理最早出现在古代的各国数学文化中，但公认的最早发现和使用勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派将勾股定理广泛应用于几何学和数学推理中。
在中国，勾股定理被称为“勾股数学”，早在公元前11世纪的商代时期就已经有了记录。
中国古代的数学家通过勾股定理解决了很多问题，并在勾股定理的基础上发展了许多数学定理和方法。
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理逆定理 二、直角三角形的性质 1、直角三角形两锐角互余．2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．5.直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC 中， (1)若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°； (2)若c 2＜a 2＋b 2，则∠C ＜90°； (3)若c 2＞a 2＋b 2，则∠C ＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2那么这个三角形是直角三角形．6、勾股数的定义：如果三个正整数a 、b 、c 满足等式a 2＋b 2＝c 2，那么这三个正整数a 、b 、c 叫做一组勾股数。
简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。
【典例精析】◆例1：在△ABC 中，∠BAD ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，现将它们折叠，使B 点与C 点重合，求折痕DE 的长。
【巩固】1、四边形ABCD 中，∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝1，CD ＝2；求对角线AC 的长A BDC E ABCD◆例2：如图所示．已知：在正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，作EF ⊥AC 于F ，作FG ⊥AB 于G ．求证：AB 2＝2FG 2．【巩固】已知△ABC 中，∠A ＝90°，M 是BC 的中点，E ，F 分别在AB ，AC 上，ME ⊥MF ，求证：EF 2＝BE 2＋CF 2◆例3：已知正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF＝b ,且S EFGH ＝32求：a b 的值◆例4：已知：P 为等边△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数G F AE BD CFEC MB A HDAB C E F G A BP【巩固】如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O 点，AB ＝15，BC ＝40，CD ＝50，则AD ＝________.◆例5：一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直角边的长为15，那么它的另一条直角边的长有_______种可能，其中最大的值是______.【拓展】是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等若存在，求出它的各边长；若不存在，说明理由。
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第21讲 │ 归类示例
等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于 60°的结 论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．
·新课标
第21讲 │ 归类示例
方法一：如图，等边三角形 ABC 中， ∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
AB＝BC＝AC.
∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC， ∴△AEF 是等边三角形， ∴AE＝AF＝EF， ∴AB－AE＝AC－AF，即 BE＝CF. 又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°， ∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，
命题角度： 1．对等腰三角形的腰分类讨论 2．对等腰三角形的底角分类讨论 3．对等腰三角形的高分类讨论 [2010· 楚雄] 已知等腰三角形的一个内角为 70° ，则另外两 个内角的度数是( C ) A．55° ，55° C．55° ，55° 70° 或 ，40° B．70° ，40° D．以上都不对
·新课标
第21讲 │ 归类示例
∵FE∥BC， ∴∠AEF＝∠AFE＝60° ＝∠BAC， ∴△AEF 是正三角形，∠EFC＝180° －∠ACB＝120° ＝∠ABD. ∴△EFC≌△DBE， ∴DB＝EF， 而由△AEF 是正三角形可得 EF＝AE. ∴AE＝DB. (3)1 或 3.
·新课标
·新课标
第21讲 │ 考点随堂练
8．如图21－5，已知四边形ABCD中，∠B＝90° ，AB＝3，BC ＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
ห้องสมุดไป่ตู้
图21－5
解： 连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25, ∴AC＝5.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝52＋122＝169，而AD2＝132＝ 169，∴AC2＋CD2＝AD2，∴∠ACD＝90° 四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD .故S 1 1 1 1 ＝ AB· BC＋ AC· CD＝ ×3×4＋ ×5×12＝6＋30＝36. 2 2 2 2
·新课标
第21讲 │ 考点随堂练
3．[2010· 钦州]如图21－2是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为 DE，则BE的长为( B ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
图21－2
[解析] 由勾股定理得AB＝10 cm，将△ABC折叠，使点B与点 A重合，则BE＝AE＝5 cm.
·新课标
第21讲 │ 考点随堂练
考点2 直角三角形的判定方法
直角 互余
c2
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第21讲 │ 考点随堂练
5.[2010· 湛江]下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( C A．1,2,3 B．2,3,4 C．3,4,5 D．4,5,6
[解析] 因为32＋42＝52.
)
6．三角形的三边长为a、b、c，且满足(a＋b)2＝c2＋2ab， 则这个三角形是( C ) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
图21－2
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第21讲 │ 归类示例
[解析] (1)利用△BDC≌△CEB，证明∠DCB＝∠EBC. (2)连接 AO，通过 HL 证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝ ∠EAO，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论． 证明：(1)∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵BD、CE 是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90° . 又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)． ∴∠DCB＝∠EBC，∴AB＝AC. ∴△ABC 是等腰三角形． (2)点 O 在∠BAC 的角平分线上．连接 AO. ∵△BDC≌△CEB，∴BD＝CE.
·新课标
第21讲 │ 考点随堂练
4．[2010· 重庆]已知：如图21－3，在Rt△ABC中，∠C＝90° ， AC＝ 3 .点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60° ，求 △ABC的周长．(结果保留根号)
图21－3
1 AD，设CD 2 ＝x，则AD＝2x，由勾股定理，(2x)2＝x2＋( 3 )2，解得x＝1， AD＝2，则BD＝4，所以BC＝5，根据勾股定理，AB＝ 52＋ 32＝2 7，所以△ABC的周长为2 7＋5＋ 3. 解： 因为∠ADC＝60° ，则∠DAC＝30° ，则CD＝
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第21讲 │ 归类示例
(2)若 CE＝5，求 BC 长．
图 21－1
[解析] (1)利用AC的垂直平分线交AB于E和等边对等角求解．
(2)证明△BEC是等腰三角形．
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第21讲 │ 归类示例
解：(1)解法一：∵DE 垂直平分 AC， ∴CE＝AE，∠ECD＝∠A＝36° . 解法二：∵DE 垂直平分 AC， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90° . 又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE， ∠ECD＝∠A＝36° . (2)解法一：∵AB＝AC，∠A＝36° ， ∴∠B＝∠ACB＝72° . ∵∠ECD＝36° ， ∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36° ，
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第21讲 │ 归类示例
类型之二 等腰三角形判定
命题角度： 等腰三角形的判定 [2011· 扬州] 已知：如图 21－2，锐角△ABC 的两条高 BD、 CE 相交于点 O，且 OB＝OC. (1)求证：△ABC 是等腰三角形； (2)判断点 O 是否在∠BAC 的角平分 线上，并说明理由．
(2)特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE________DB(填“>”“<” ＝ 或“＝”)．理由如下：如图 21－4②，过点 E 作 EF∥BC，交 AC 于点 F. (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上， 且 ED＝EC.若△ABC 的边长为 1，AE＝2，求 CD 的长(请你直接写出 结果)．
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第21讲 │ 考点随堂练
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第21讲 │ 归类示例 归类示例
类型之一 等腰三角形的性质的运用
命题角度： 1．等腰三角形的性质 2．等腰三角形“三线合一”的性质 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质 [2011· 株洲] 如图 21－1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36° ， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC. (1)求∠ECD 的度数；
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第21讲 │ 考点随堂练
1.已知x、y为正数，且│x2－4│＋(y2－3)2＝0，如果以x、y的长为 直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长 的正方形的面积为( C ) A．5 B．25 C．7 D．15
[解析] 由│x2－4│＋(y2－3)2＝0得，x2－4＝0，y2－3＝0， 即x2＝4，y2＝3.设斜边长为c，则c2＝3＋4＝7，故正方形的面 积为7.
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第21讲 │ 考点随堂练
2．如图21－1，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a， b，c的大小关系是( C ) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
图21－1
[解析] 根据勾股定理，b＝AC＝ 32＋42 ＝5，a＝BC＝ 12＋42＝ 17，c＝AB＝4.因为5> 17>4，所以c<a<b.
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第21讲 │ 归类示例
类型之四 等边三角形的判定与性质
[2011· 绍兴] 数学课上，李老师出示了如下题目． 在等边三角形 ABC 中， E 在 AB 上， D 在 CB 的延长线上， 点 点 且 ED＝EC，如图 21－3.试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明
理由．
图 21－3
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第21讲 │ 归类示例
[解析] 此内角可能为等腰三角形的顶角或底角，当70°为 顶角时，另外两角为55°，55°；当70°为底角时，另外两角为 70°，40°.
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第21讲 │ 归类示例
遇到等腰三角形的问题时， 注意边有腰与底之分， 角有底角和 顶角之分； 遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况． 分类 讨论和方程的思想是解决等腰三角形双解问题的两大法宝． 画出图 形，数形结合是解这类题目的基本方法．在解这些题目时，同学们 要特别小心，考虑一定全面，进行分类讨论，不要漏解．
[解析] 由(a＋b)2＝c2＋2ab得，a2＋b2＝c2，所以三角形为直 角三角形．
·新课标
第21讲 │ 考点随堂练
7．五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两 个直角三角形，其中正确的是( C )
A
B 图21－4
C
D
[解析] 用勾股定理的逆定理去验证.242＋72＝252,152＋202＝252.
第21讲 │ 直角三角形与勾股定理
第21讲 直角三角形与勾股定理
·新课标
第21讲 │ 考点随堂练 │考点随堂练│
考点1 直角三角形的定义及其性质
直角 定义 有一个角是_______的三角形． 互余 ①两锐角_______；②勾股定理：若直角三角形两直角 a2＋b2＝c2 边为a、b，斜边为c，则有____________； ③直角三角形中有一锐角是30° ，那么它所对的直角边 性质 一半 等于斜边的________；④直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 ____________.
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第21讲 │ 归类示例
∠BEC＝72° ＝∠B，∴BC＝EC＝5. 解法二：∵AB＝AC，∠A＝36° ， ∴∠B＝∠ACB＝72° ， ∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72° ， ∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5.
1． 利用线段的垂直平分线进行等线段转换， 进而进行角度转换． 2． 在同一个三角形中， 等角对等边与等边对等角进行互相转换．